函数及其基本性质教案
函数的基本性质教案
函数的基本性质教案一、教学目标1. 让学生理解函数的概念，掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
2. 能够运用函数的基本性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的概念及定义2. 函数的单调性3. 函数的奇偶性4. 函数的周期性5. 函数的基本性质在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。
2. 教学难点：函数性质的证明和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解函数的基本性质。
2. 利用实例进行分析，帮助学生理解函数性质的应用。
3. 引导学生进行自主学习，培养学生的逻辑思维能力。
4. 利用小组讨论，提高学生的合作能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识函数，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解函数的概念，定义，并引入函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
3. 分析：分析函数性质的证明方法，并通过实例进行分析，让学生理解函数性质的应用。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数基本性质的重要性。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
7. 课后辅导：针对学生学习中遇到的问题进行辅导，提高学生的学习能力。
六、教学评价1. 评价方式：采用课堂表现、课后作业和单元测试相结合的方式进行评价。
2. 评价内容：(1) 函数概念的理解和运用；(2) 函数单调性、奇偶性、周期性的理解和证明；(3) 函数性质在实际问题中的应用能力。
七、教学资源1. 教材：《数学分析》；2. 教学课件；3. 实例素材；4. 练习题库；5. 课后辅导资料。
八、教学进度安排1. 第1周：讲解函数的概念及定义；2. 第2周：讲解函数的单调性；3. 第3周：讲解函数的奇偶性；4. 第4周：讲解函数的周期性；5. 第5周：函数性质在实际问题中的应用。
函数的概念与性质教案
函数的概念与性质教案一、教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2. 掌握函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
3. 能够运用函数的性质解决问题。
二、教学内容：1. 函数的概念：函数的定义、函数的表示方法（列表法、解析法、图象法）。
2. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性。
3. 函数性质的应用：解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 重点：函数的概念与表示方法，函数的性质及其应用。
2. 难点：函数的单调性、奇偶性、周期性的理解和应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数的性质。
2. 利用数形结合法，直观展示函数的性质。
3. 运用实例分析法，让学生学会运用函数的性质解决实际问题。
五、教学准备：1. 教学课件：包含函数的概念、性质及其应用的实例。
2. 教学素材：包括函数图象、实际问题等。
3. 学生用书、练习题。
【导入】（此处简要介绍本节课的教学目标和内容，引导学生进入学习状态。
）【新课导入】1. 函数的概念：（1）引导学生回顾数学中的变量概念，引入函数的定义。
（2）讲解函数的表示方法：列表法、解析法、图象法。
2. 函数的性质：（1）单调性：讲解函数单调递增和单调递减的概念，引导学生通过图象观察函数的单调性。
（2）奇偶性：讲解函数奇偶性的定义，引导学生通过图象观察函数的奇偶性。
（3）周期性：讲解函数周期性的定义，引导学生通过图象观察函数的周期性。
【课堂练习】1. 让学生自主完成教材中的练习题，巩固所学内容。
2. 选取部分学生进行答案展示，并讲解答案的得出过程。
【实例分析】1. 给出实际问题，让学生运用函数的性质解决问题。
2. 引导学生总结解题思路和方法，并进行讲解。
【小结】1. 让学生回顾本节课所学内容，总结函数的概念、性质及其应用。
2. 强调函数在实际问题中的重要性。
【作业布置】1. 让学生完成课后作业，巩固所学内容。
2. 鼓励学生进行自主学习，提前预习下一节课的内容。
人教版高中数学《函数的基本性质》优质教案
2.1函数的基本性质一、教学目标1．结合具体函数，了解函数单调性的含义；2．会运用函数奇偶性的定义和函数的图象理解研究函数的奇偶性；3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.二、教学重点1．回顾和理解函数的三大性质单调性、奇偶性以及周期性基础知识，掌握其概念的应用，一般是判断单调性、求参数或求值；2．掌握运用基础知识处理函数性质的综合应用题的解题思路. 其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．三、教学难点掌握周期性与抽象函数结合类的题型.高考对函数周期性的考查，常与抽象函数结合，题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相结合命题.四、教学过程（一）考情解读设计意图：对2016年广东开始高考卷之后的全国卷类型题进行整合，以表格形式呈现，一目了然，分析可得函数的基本性质是高考的常考内容，题型一般为选择填空，占分一般为5-10分.紧接着分析考点内容，明确复习方向.（二）知识梳理设计意图：对函数的单调性、奇偶性、周期性的定义、图像特点等进行梳理，把重点内容标红，并进行相应讲解，为后面的题型讲解奠定知识基础.1.单调函数的定义及几何意义2.函数的最值3.函数的奇偶性4.周期性（三）典例分析题型一：函数的单调性设计意图：精选了两道单调性的题目作为例题，例1为简单地应用单调性定义及函数图像特征判断单调性的题目，通过此题老师可带领学生总结判断函数单调性的方法：定义法、图像法等；例2为已知分段函数单调性求参数范围的题目，通过此题巩固应用单调性求参数、不等式等题型.【例1】（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（）A ．()f x x =-B ．()23x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x =D ．()f x 【例2】已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 题型二：函数的奇偶性设计意图：精选了两道奇偶性的题目作为例题，例1为简单地应用奇偶性定义求参数的题目，通过此题老师可带领学生巩固奇偶性的定义及图像特征；例2为奇偶性与分段函数结合的题目，但只要把握奇偶性的定义，可很快解决，通过此题再次强化奇偶性相关知识.【例1】（2021·全国Ⅰ卷）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【例2】（2019·全国Ⅰ卷）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+题型三：函数的周期性设计意图：由于周期性一般与抽象函数及奇偶性相结合，题目比较综合.这里选取了一道直接利用周期性定义进行求值的题目，教师通过此题引导学生回顾求值由内到外的原则及分段函数求值的相关知识，巩固周期性的定义，为下一题型综合题奠定基础.【例1】（2018·江苏卷）函数()f x 满足()()()4f x f x x +=∈R ，且在区间(]2,2-上，()πcos ,02,21,20,2x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则()()15f f 的值为________． 题型四：函数性质的综合应用设计意图：精选了两道函数性质的综合应用的题型.例1为单调性与奇偶性相结合解不等式 的相关问题，教师可引导学生将此类已知单调性和奇偶性的抽象函数问题具体化画图来思考，紧紧扣住定义解题.例2为奇偶性与周期性相结合求值的题，通过此题再次巩固奇偶性和周期性的定义，将题目已知条件转化为熟悉的定义再去解题.()2017(,)(1)11(2)1A.[2,2] B.[1,1] C.[0,4] D.[1,3]f x f f x x ⋅-∞+∞ =- -- --【例1】（全国Ⅰ卷）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）≤≤ ()(,)(1)(1).(1)2(1)(2)(3)(502018A.50 B.0 C.2 D.0)5f x f x f f f f f f x -∞+∞ -=+=++++= ⋅-若，则…（【例2】（全国Ⅱ卷）已知是定义域为的奇函数，满足）（四）巩固练习设计意图：精选了三道题作为练习题.第一题考查单调性的判断和奇偶性定义，再次巩固函数基本性质的概念，为基础题.第二题为单调性与奇偶性相结合解不等式的相关问题，巩固数形结合思想.第三题为奇偶性和周期性相结合求值的题，为自编题，难度系数不高，巩固学生对周期性和奇偶性的概念理解，提高信心.1.（2020·全国Ⅰ卷）设函数()331f x x x =-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增B ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减C ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增D ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减2．(2014·全国Ⅰ卷)已知偶函数f x ()在[0,)+∞单调递减，f (2)0=．若f x >(-1)0，则x 的取值范围是__________．()()()()()3R ,R,4,22,2022=A.2022 B.2 C.2022 D.2f x x f x f x f f ∈ +=-= --.已知函数是上的奇函数对任意都有若则（）（五）总结提升设计意图：制作了本节课的思维导图，引导同学们再次巩固函数基本性质高考重点考查的题型及其对应方法.五、作业设计设计意图：作业选取了两道单选题，一道多选题，四道填空题.题一考查单调性判断和奇偶性定义；题二考查奇偶性的定义，深化概念；题三考查单调性解不等式，为单调性的应用类题；题四考查奇偶性应用求解析式；题五考查偶函数的定义，跟2021出现的题目非常相像，说明研究高考题的重要性，值得深思；题六考查周期性的定义，为周期性和奇偶性的简单综合题；题七需要将题目所给等式经过化简才能变为周期性的定义的模式，进一步深化周期性与奇偶性的概念及其应用.。
函数基本性质教案
函数基本性质教案教案标题：函数基本性质教案教学目标：1. 理解函数的定义及其基本性质；2. 掌握函数的奇偶性、周期性和单调性的判断方法；3. 能够应用函数的基本性质解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备教案、教学课件和相关练习题；2. 学生准备笔记本、教科书和计算器。
教学过程：Step 1：导入与激发兴趣（5分钟）1. 教师通过提问或展示实际问题，引导学生思考函数的定义和作用。
2. 通过生活中的例子，让学生了解函数的基本性质对问题解决的重要性。
Step 2：函数的定义及基本性质（15分钟）1. 教师简要介绍函数的定义和符号表示，并通过示意图解释函数的横纵坐标关系。
2. 教师详细讲解函数的奇偶性、周期性和单调性的概念，并提供具体的判断方法和例子。
3. 学生跟随教师的讲解，记录重点内容，并提出问题进行讨论。
Step 3：奇偶函数的判断与性质（15分钟）1. 教师以奇函数为例，讲解奇函数的定义和特点，并通过图像和公式的对比进行说明。
2. 学生进行奇函数的判断练习，教师逐一点评并解答学生提出的问题。
3. 教师同样方式讲解偶函数的定义和特点，并进行相关练习。
Step 4：周期函数的判断与性质（15分钟）1. 教师介绍周期函数的定义和周期的概念，并提供常见周期函数的例子。
2. 学生通过观察函数图像和计算周期，判断给定函数是否为周期函数，并进行相关练习。
3. 教师解答学生提出的问题，并引导学生思考周期函数的应用场景。
Step 5：单调函数的判断与性质（15分钟）1. 教师讲解单调函数的定义和单调性的概念，并提供判断单调性的方法和例子。
2. 学生进行单调函数的判断练习，教师逐一点评并解答学生提出的问题。
3. 教师引导学生思考单调函数在实际问题中的应用，并进行相关讨论。
Step 6：综合应用与拓展（10分钟）1. 学生通过实际问题，运用所学的函数基本性质进行解决，并进行小组讨论和展示。
2. 教师总结本节课的重点内容，并提供一些拓展问题供学生进一步思考和探索。
函数的性质教案8篇
函数的性质教案8篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高一数学上册《函数的基本性质》教案、教学设计
3.学生在小组合作学习中的参与度有待提高。教师应关注学生的个体差异，调动每个学生的积极性，使他们在合作交流中发挥自己的优势，共同进步。
4.学生对于数学知识在实际生活中的应用认识不足，教师可通过引入实际问题，让学生体会数学知识的价值，激发学生学习数学的兴趣。
6.教学评价，关注成长
在教学过程中，教师应关注学生的成长和发展，采用多元化的评价方式，如课堂表现、作业完成情况、小组合作交流等，全面评估学生的学习效果。
7.创设互动氛围，激发学生学习兴趣
8.融入信息技术，提高教学质量
利用多媒体、网络等信息技术手段，丰富教学资源，提高教学质量。如通过数学软件绘制函数图像，让学生更直观地感受函数性质。
3.结合所学函数性质，尝试解决以下拓展性问题：
（1）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，判断其奇偶性，并求单调区间。
（2）已知函数g(x) = 3cos(2x) + 4sin(x)，求最小正周期及一个周期内的单调区间。
4.请同学们预习下一节课内容，了解函数的极值及其在实际问题中的应用。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，勇于表达自己的观点，培养学生自信、勇敢的品质。
4.通过解决实际问题，让学生认识到数学知识在生活中的重要作用，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的社会责任感。
在本章节的教学过程中，教师应以学生为主体，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性和创造性。通过讲解、示范、讨论等多种教学手段，使学生在掌握函数基本性质的基础上，提高自身的数学素养和综合素质。同时，注重培养学生的团队合作精神，使其在合作交流中相互学习、共同成长。
函数的基本性质教案设计
函数的基本性质教案设计教案设计：函数的基本性质教学目标：1.理解函数的定义和概念；2.了解函数的基本性质：定义域、值域、奇偶性和单调性；3.掌握函数的基本性质的判定方法和图像描述方法；4.能够运用函数的基本性质解决简单的问题。
教学内容：一、函数的定义和概念1.什么是函数？2.函数的记法和图像表示；3.函数的自变量和因变量；4.函数与方程的关系。
二、函数的基本性质1.定义域：如何确定函数的定义域？a.根据实际问题及函数表达式的限制；b.根据函数的图像和特性进行判断。
2.值域：如何确定函数的值域？a.根据函数的图像和特性进行判断；b.利用函数的性质推导。
3.奇偶性：a.奇函数的定义和特性；b.偶函数的定义和特性；c.奇偶函数的图像特点。
4.单调性：a.递增和递减函数的定义和特性；b.单调函数的图像特点；c.如何判断函数的单调性。
教学过程：第一步：引入问题（5分钟）教师通过提问的方式引入函数的概念，例如：“我们在日常生活中常用到的数学关系是什么？”“你能否举出一个函数的例子？”“函数和方程有什么区别？”等。
第二步：函数的定义和概念（10分钟）通过讲解和示例展示函数的定义和概念，包括函数的记法和图像表示，函数的自变量和因变量，函数与方程的关系。
第三步：函数的定义域和值域（15分钟）通过示例和练习，教师引导学生学习函数的定义域和值域的确定方法，并进行讲解和答疑。
第四步：函数的奇偶性（15分钟）通过讲解和示例，教师介绍奇函数和偶函数的定义和特性，并展示函数的图像特点。
学生在教师指导下进行练习，巩固奇偶函数的判定方法。
第五步：函数的单调性（20分钟）通过讲解和示例，教师介绍递增和递减函数的定义和特性，并展示单调函数的图像特点。
学生在教师指导下进行练习，掌握函数单调性的判定方法。
第六步：综合练习（20分钟）教师布置一些综合练习题，要求学生运用函数的基本性质解决问题，并在教师的指导下进行讨论和解答。
第七步：总结归纳（5分钟）教师引导学生总结函数的基本性质和判定方法，并进行概念梳理。
《函数的概念与性质》教案设计范例
《函数的概念与性质》教案设计范例一、教学目标：1. 了解函数的概念，理解函数的三个基本要素：定义域、值域、对应关系。
2. 掌握函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
3. 学会运用函数的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容：1. 函数的概念：函数的定义、函数的表示方法、函数的三个基本要素。
2. 函数的单调性：单调递增函数、单调递减函数、单调性判断方法。
3. 函数的奇偶性：奇函数、偶函数、非奇非偶函数。
4. 函数的周期性：周期函数的定义、周期性判断方法。
5. 函数性质在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：函数的概念与性质，函数的单调性、奇偶性、周期性的判断方法。
2. 难点：函数性质在实际问题中的灵活运用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解函数的概念与性质。
2. 利用案例分析法，引导学生运用函数性质解决实际问题。
3. 运用互动教学法，鼓励学生提问、讨论，提高学生的参与度。
五、教学过程：1. 导入：通过生活实例引入函数的概念，激发学生的兴趣。
2. 新课导入：讲解函数的三个基本要素，引导学生理解函数的定义。
3. 案例分析：分析具体函数的单调性、奇偶性、周期性，让学生掌握判断方法。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学函数性质。
5. 实际问题解决：引导学生运用函数性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课后作业：布置相关的习题，让学生巩固课堂所学知识。
2. 课堂练习：及时检查学生在课堂上的学习情况，对学生的学习进度进行掌握。
3. 小组讨论：组织小组讨论，让学生分享自己的学习心得，提高学生的合作能力。
七、教学反思：在教学过程中，要时刻关注学生的学习情况，根据学生的反馈及时调整教学方法和教学进度。
针对学生的难点问题，可以进行重点讲解，或者组织课后辅导，确保学生能够掌握函数的概念与性质。
八、教学拓展：1. 深入了解函数在其他领域的应用，如数学分析、物理、化学等。
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作者：严兆普（数学教育研究生）教学讲义Ⅰ知识网络 各个击破1、函数的概念：一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合中B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数。
记为y=f(x),x A y B ∈∈ (从映射的角度看，函数其实就是非空数集A函数及其基本性质重点 难点 ① 函数的定义，三要素② 函数两大性质③ 重难点系数★★★★★教 学 步 骤 及 教 学 内 容一， 课前温习 作业检查 二， 导入新课 各个击破知识点1 函数定义，三要素，解析式求法 知识点2 函数的单调性 知识点3 函数的奇偶性 三， 总结评价 师生互动 四， 拓展训练 能力提升 五， 家庭作业 温故知新到非空数集B 的一个特殊的映射) 2、定义域：自变量x 的取值范围定义域的求法：主要遇到的是（1）、分式函数的分母不为0。
例如：11y x =- 定义域为：{}/1x x ≠（写成集合的形式）（2）、含偶次根式的函数，根号底下的大于等于0。
例如：22y x =- 有220x -≥求得其函数定义域的为：{}/22x x x ≥≤-或练习：7、求23()2x f x x x-=-的定义域。
3、值域：函数值的取值范围 值域的求法：（值域的求法是比较难的内容，同学们暂时只要了解和掌握比较常见的值域求法就可以了）主要有以下几种：A 、观察法：只要适合于比较简单的函数，比如：1,00,01,0x y x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩值域就为{}1,0,1-。
练习：8、函数A 到B 的函数():21f x x x →-集合{}1,2,3A =，{}0,1,2,3,4,5,6B =求()f x 的值域。
B 、配方法求二次函数的值域（通常和函数图像一起来求解）例如：已知函数223y x x =+-分别求出下列区间上的值域，（1）x R ∈，（2）、[2,2)x ∈-（3）、[1,3]x ∈解：第一步：先进行配方。
第二步：作出函数的大致图像（要标出图像与坐标轴的交点和定点坐标、对称轴、要求的区间的端点坐标）第三步：从图像上分析，在要求的区间上的函数值域是多少 练习：9 函数2()41f x x x =-+，求(1,3)-上的值域。
C 、分离常数法：（主要针对于分子、分母都是一次式的分式函数，要我们分离出一个常数，得到一个常数和一个分子不含未知数的和）例如：求函数311x y x -=+的值域解：311x y x -=+()3144311x x x +-==-++（分子不含未知数x ）401x ≠+ 3y ∴≠ 即：函数的值域为()(),33,-∞⋃+∞ （写成区间或集合）再如：求224321x x y x x -+=--的值域（这里是上面例题的变式，主要对于分子分母都可因式分解，并含有公因子，消去公因子的时候注意公因子不能等于零！！怎么去求此函数的值域？笔记中有！）练习：10求2221()341x x f x x x --=-+ 的值域。
D 、换元法：（主要对于含有根号的函数，把较复杂的函数转化成我们常见的较简单的函数） 例如：求函数()12f x x x =--的值域 解：令 12t x =- （0t ≥）则 21122x t =-+∴()22111()11222f x t t t =--+=-++（此时转化成为求二次函数在[0,)t ∈+∞上的值域问题，可以画出图象，由图像得出） （画出图象）由函数图象可知，当[0,)t ∈+∞时，12y ≤所以，函数()12f x x x =-- 的值域为1(,]2-∞练习：11求()21f x x x =+-的值域。
4、函数的三要素：定义域、对应法则和值域，三者缺一不可。
定义域和对应法则确定，则函数确定！（一般由此判断两个函数是否为同一函数。
） 5、函数的表示方法：列表法、图象法和解析式法。
主要内容：函数解析式的求法： A 、 直接代入法：（主要针对于已给出f(x)的解析式，求另一个函数解析式） 例如：2()21f x x =- 求 2(1)f x - （可以把f(x)中的x 直接换成221x -）得到()222(1)211f x x -=-- （要化简）练习：13 若(1)21f x x -=+，则2()f x =_________________.B 、 待定系数法：主要用于简单函数例：已知()f x 为一次函数，(())43f f x x =+ 求()f x 的函数解析式。
（注：这里不仅要利用到待定系数法，也要用到直接代入法） 解：令 ()f x ax b =+则()2(())43f f x a ax b b a x ab b x =++=++=+所以 有243a ab b ⎧=⎨+=⎩解得：21a b =⎧⎨=⎩ 或23a b =-⎧⎨=-⎩ 则 ()21f x x =+ 或 ()23f x x =--例：二次函数 ()f x 图象的顶点为(1,2)-，且过 (2,4)点，求()f x 的解析式 解：由题意可设 2()(1)2f x a x =-- 因为 ()f x 图象过 (2,4)点 则有 2(21)24a --= 解得：4a =22()6(1)26124f x x x x ∴=--=-+练习：14 ()f x 是一次函数，(())49f f x x =+，求()f x练习：15 二次函数()f x 过(2,0)和(4,0)，且 ()f x 有最大值为1，求()f x 的解析式。
C 、换元法和拼凑法：（很多情况既可用换元法也可用拼凑法） 例：已知(1)3f x x x +=- 求 ()f x 的函数解析式法一：（换元法）解： 令1x t += 1x t =-（1t ≥）则 ()21x t =-所以()()2()131f t t t =---254t t =-+ （(1)t ≥）所以2()54f x x x =-+ (1)x ≥ （一定注意这里x 的范围）法二：（拼凑法）解：()2(1)1213f x x x x +=+---()()21514x x =+-++ （11x +≥）所以：2()54f x x x =-+ (1)x ≥ （一定注意这里x 的范围）练习：16 21()1xf x x x =+- 求 ()f x 的函数解析式。
D 、方程组法：（主要对于含有()f x 和1()f x或者含有()f x 和()f x -的情况）例：已知 1()2()32f x f x x-=+，求()f x （通过变换得到一个方程组消去1()f x 得到()f x 的解析式）解：把x 换成1x ，1x换成x得 11()2()32f f x x x-=+由1()2()3211()2()32f x f x x f f x xx ⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩可得 2()2f x x x=--- （或者把题目改成()2()23f x f x x --=-求()f x 。
求法相同！）练习：17 若()()1f x af x ax +-=+ （1a ≠±）6、函数的单调性定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对于区间I 上的任意的两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()f x 的单调增区间。
（可简单的认为：在定义域的一个子区间I 上，f(x)随着x 的增大而增大，就说()y f x =在区间I 上是单调增函数。
这里的区间I 一般是定义域的一个子区间，比如：2()1f x x =- 的单调增区间为(0,)+∞，单调减区间是？也可以是整个定义域比如：3()f x x = 其在整个定义域R 上是单调增函数） （单调减函数类似）注：()f x 在A 、B 两个单调区间上都是单调增的，不能简单的认为()f x 在A B ⋃也是单调增的，例如1()1f x x =-的单调增区间为(),0-∞和()0,+∞，但在()(),00,-∞⋃+∞上并不具有单调性。
关于单调性题型主要有：证明单调性和复合函数单调性a 、 函数单调性的判断和证明：（定义法主要步骤：1、取值；2、做差（作商）变形；3、定号；4、结论）例：证明1()f x x x =+ 在 (0,1)是单调增函数。
证明：任意取12,(0,1)x x ∈ 且12x x <……………..取值12121211()()()f x f x x x x x -=+-+ ……………（.作差 121211()x x x x =-+-1212121212121()x x x x x x x x x x x x -=--⋅⋅-=-⋅…………………变形）1201x x <<<120x x ∴-< 120x x ⋅> 1210x x ⋅-<所以12()()0f x f x -> 即12()()f x f x >……. …定号 所以()f x 在(0,1)上为单调减函数………….结论练习：18 求证：2()f x x x=-- 在区间(0,2)上是单调增函数。
（四步）b 、复合函数单调性：一个复杂函数可以看做两个简单函数复合而成。
复合函数单调性的特点是同增异减例如：求()21()1f x x =-的单调区间解：因为 ()210x ->所以 ()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞…….（求定义域） 令：()2()1g x x =- (1)x ≠…………………(设内函数) 所以 1()()f xg x =（()0g x >）单调增 而()g x 在(,1)-∞上单调减，在(1,)+∞上单调增…（分别判断外函数和内函数的单调性）所以()f x 在(,1)-∞上为单调减函数，在(1,)+∞为单调增函数…..（结论） 练习：19 求函数2()23f x x x =-- 的单调区间练习：20函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(-∞,4)上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(-∞,-3 ]B ．[-3,+∞)C ．[5,+∞)D ．(-∞,5) 7、函数的最大值和最小值 。
主要题型有怎样求最大、小值问题 a ，怎样求函数的最大、小值练习：21 求1()f x x x=+ 在(2,4)上的最大值。
（利用函数单调性，可先判断在(2,4)上的单调性。
）8、函数奇偶性（主要问题有：a 、证明一个函数是奇函数还是偶函数；b 、利用函数奇偶性解决实际问题）1）奇函数和偶函数的定义是什么？注：a 、奇、偶函数的定义域一定关于原点对称；b 、奇函数的函数图象关于原点对称（反之也成立），偶函数图象关于y 轴对称（反之也成立）；c 、奇函数在对称的区间上有相同的单调性，偶函数在对称的区间上有相反的对称性；d 、对于奇函数，如果0在定义域中，则一定有(0)0f =！（这个性质我们常会用到，一定注意！那若(0)0f =一定是偶函数么？） 2）怎样证明一个函数是奇函数还是偶函数？（分为三步：1、求定义域：看定义域是否关于原点对称。