函数的基本性质教案1第1课时

课题：§1.3.1函数的单调性及最大、小值
⑴通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
⑵学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
⑶够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
⑷理解函数的最大（小）值及其几何意义；
⑸学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
函数的单调性及其几何意义．函数的最大（小）值及其几何意义．
利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．利用函数的单调性求函数的
最大（小）值．
⑴观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？
⑵画出下列函数的图象，观察其变化规律：
①f(x) = x ○
1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2 在区间 ____________
上，随着x 的增
大，f(x)的值随着 ________ ． ②f(x) = -2x+1
○
1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________
． ③f(x) = x 2
○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．
○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．
⑴设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ⊆，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f < 成立，则称)(x f 在区间D 上是增函数．．．
，如图⑴ ⑵设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ⊆，D x x ∈21,，当21x x <时，都有
)()(21x f x f >成立，则称)(x f 在区间D 上是减函数．．．
，如图⑵
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间D 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有．．f(x 1)<f(x 2)
二、函数的单调性定义及判断步骤
⑴单调区间：函数)(x f 在区间D 上是增函数或减函数，我们就称函数)(x f 在这个区间D 具有（严格的）单调性，区间D 是这个函数的单调区间。

⑵判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：
①假设取值 x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；
②作差变形f(x 1)－f(x 2)；（通常是因式分解和配方）；
③判断符号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；
④下定结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．
三、单调性典型例题
例1．（教材P 32例1）根据函数图象说明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：课本P 36练习第1、2题
例2．（教材P 32例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：①课本P 36练习第3题； ②证明函数x x y 1+
=在（1，+∞）上为增函数． [附加]借助计算机作出函数y =－x 2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
解：（略） 思考：画出反比例函数x
y 1=的图象． ①这个函数的定义域是什么？
②它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论．
四、函数的最大、最小值
指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
（1）32)(+-=x x f （2）32)(+-=x x f ]2,1[-∈x
（3）12)(2++=x x x f （4）12)(2
++=x x x f ]2,2[-∈x
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
⑴对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；
⑵存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值．
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）．
y=f(x)的最小值的定义．（学生活动）
五、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；
六、最大（小）值典型例题
例3．（教材P 34例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解：（略）
[附加题]
旅 馆 定 价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．
设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为)160(x -元时，住房率为)%1020
55(⋅+x ，于是得 y =150·)160(x -·)%1020
55(⋅+x ． 由于)%1020
55(⋅+x ≤1，可知0≤x ≤90． 因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．
将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．
由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．
所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的） 例4．（教材P 35例4）求函数12-=
x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：（略）
巩固练习：（教材P 36练习5）
再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函
P 43 习题1．3（A 组） 第1-2题．
提高作业：设f(x)是定义在R 上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
⑴求f(0)、f(1)的值；
⑵若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．。