2019年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题3.1导数概念及其几何意义(测)
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题13导数的概念及其运算(教学案)含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．1．函数f (x )在点x 0处的导数 (1)定义函数y ＝f (x )在点x 0的瞬时变化率lim Δx →0 00()()f x x f x x+∆-∆＝l ，通常称为f (x )在点x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即lim Δx →0 00()()f x x f x x+∆-∆＝f ′(x 0)．(2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))的切线的斜率等于f ′(x 0)．2．函数f (x )的导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 导数都存在，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )(或y ′x 、y ′)． 3．基本初等函数的导数公式4．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[]2()()()()()()()f x f x g x f x g'x 'g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦ (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．高频考点一 导数的运算 例1、分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x .【方法技巧】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导. 【变式探究】求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x ex ；(3)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5).(3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x . ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .(4)令u ＝2x －5，y ＝ln u . 则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5， 即y ′＝22x －5.高频考点二 导数的几何意义例2、(1)(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为________.(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)解析 (1)设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x2，所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1.(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x.因为x ＞0，所以2－1x＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2).答案 (1)y ＝x ＋1 (2)B【变式探究】(1)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1，0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案 (1)2x －y ＝0 (2)B【方法规律】(1)求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【变式探究】(1)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A.1 B.2C.－1D.－2(2)若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)设切点为(x 0，y 0)，y ′＝1x ＋a，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0＋1，1x 0＋a ＝1，y 0＝ln （x 0＋a ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝0，a ＝2.(2)∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，∴x ＋1x－a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2(x >0).答案 (1)B (2)[2，＋∞)【举一反三】已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1). ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2).由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案 8高频考点三、导数与函数图象的关系例3、如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的( )答案 D【感悟提升】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f x 1x 0－x 1求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．【变式探究】(1)已知函数f (x )＝3x ＋cos2x ＋sin2x ，a ＝f ′(π4)，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( )A ．3x －y －2＝0B ．4x －3y ＋1＝0C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0(2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________． 答案 (1)C (2)－e(2)设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e.1. （2018年全国I 卷理数）设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A.B.C.D.【答案】D2. （2018年全国Ⅱ卷理数）曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】1.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为________.解析 (1)设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x2，所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1.2.(2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________.解析 f (1)＝a ，切点为(1，a ).f ′(x )＝a －1x，则切线的斜率为f ′(1)＝a －1，切线方程为：y －a ＝(a－1)(x －1)，令x ＝0得出y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.答案 1【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =图象存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,x y x y y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A 。
高考数学一轮专项复习讲义-导数的概念及其意义、导数的计算(北师大版)
§3.1导数的概念及其意义、导数的计算课标要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．知识梳理1．导数的概念(1)设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值y 从f (x 0)变到f (x 1)，则函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝()()101010lim x x f x f x x x →--＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．3．基本初等函数的导数公式函数导数y ＝c (c 是常数)y ′＝0y ＝x α(α是实数)y ′＝αx α－1y ＝a x (a >0，a ≠1)y ′＝a x ln_a ，特别地(e x )′＝e x y ＝log a x (a >0，a ≠1)y ′＝1x ln a ，特别地(ln x )′＝1xy ＝sin x y ′＝cos_x y ＝cos x y ′＝－sin_x y ＝tan xy ′＝1cos 2x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)；[kf (x )]′＝kf ′(x )(k ∈R )．5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (φ(x ))对x 的导数为：y ′x ＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )φ′(x )，其中u ＝φ(x )．常用结论1．在点处的切线与过点的切线的区别(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．2.1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.(×)(4)(e －x )′＝－e －x .(√)2．若函数f (x )＝3x ＋sin 2x ，则()A ．f ′(x )＝3x ln 3＋2cos 2xB ．f ′(x )＝3x ＋2cos 2xC ．f ′(x )＝3xln 3＋cos 2xD ．f ′(x )＝3xln 3－2cos 2x答案A3．曲线y ＝12x 2－2处的切线的倾斜角是．答案π4解析y ′＝x ，所以切线的斜率k ＝1，所以倾斜角为π4.4．设曲线y ＝e 2ax 在点(0,1)处的切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为．答案－14解析∵y ＝e 2ax ，∴y ′＝e 2ax ·(2ax )′＝2a ·e 2ax ，∴在点(0,1)处的切线斜率k ＝2a e 0＝2a ，又∵切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，∴2a ×2＝－1，∴a ＝－14.题型一导数的运算例1(1)(多选)下列求导正确的是()A ．[(3x ＋5)3]′＝9(3x ＋5)2B ．(x 3ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2′＝2x cos x ＋4sin xx 3D ．(ln 2x )′＝12x答案AB解析对于A ，[(3x ＋5)3]′＝3(3x ＋5)2(3x ＋5)′＝9(3x ＋5)2，故A 正确；对于B ，(x 3ln x )′＝(x 3)′ln x ＋x 3(ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2，故B 正确；对于C ＝(2sin x )′x 2－2sin x (x 2)′x 4＝2x cos x －4sin x x 3，故C 错误；对于D ，(ln 2x )′＝2·12x ＝1x，故D 错误．(2)(2023·河南联考)已知函数f (x )满足f (x )＝2f ′(1)ln x ＋xe (f ′(x )为f (x )的导函数)，则f (e)等于()A ．e －1 B.2e ＋1C ．1D ．－2e＋1答案D解析f ′(x )＝2f ′(1)x＋1e ，当x ＝1时，f ′(1)＝2f ′(1)＋1e ，解得f ′(1)＝－1e，故f (x )＝－2ln x e ＋xe，所以f (e)＝－2ln e e ＋e e ＝－2e＋1.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1(多选)下列命题正确的是()A ．若f (x )＝x sin x －cos x ，则f ′(x )＝sin x －x cos x ＋sin xB ．设函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝eC ．已知函数f (x )＝3x 2e x ，则f ′(1)＝12eD ．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝－94答案BD解析对于选项A ，f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋sin x ，故选项A 不正确；对于选项B ，f ′(x )＝ln x ＋1，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e ，故选项B 正确；对于选项C ，f ′(x )＝6x e x ＋3x 2e x ，则f ′(1)＝6e ＋3e ＝9e ，故选项C 不正确；对于选项D ，f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94，故选项D正确．题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2023·全国甲卷)曲线y ＝e xx ＋1在点()A ．y ＝e4xB ．y ＝e2xC ．y ＝e 4x ＋e4D ．y ＝e 2x ＋3e4答案C解析因为y ＝e xx ＋1，所以y ′＝e x (x ＋1)－e x (x ＋1)2＝x e x(x ＋1)2，所以当x ＝1时，y ′＝e4，所以曲线y ＝e x x ＋1在点y －e 2＝e 4(x －1)，即y ＝e 4x ＋e4.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为，.答案y ＝1ex y ＝－1ex解析先求当x >0时，曲线y ＝ln x 过原点的切线方程，设切点为(x 0，y 0)，则由y ′＝1x ，得切线斜率为1x 0，又切线的斜率为y 0x 0，所以1x 0＝y0x 0，解得y 0＝1，代入y ＝ln x ，得x 0＝e ，所以切线斜率为1e ，切线方程为y ＝1e x .同理可求得当x <0时的切线方程为y ＝－1e x .综上可知，两条切线方程为y ＝1e x ，y ＝－1e x .命题点2求参数的值(范围)例3(1)(2024·泸州模拟)若直线y ＝kx ＋1为曲线y ＝ln x 的一条切线，则实数k 的值是()A ．eB ．e 2 C.1eD.1e 2答案D解析设直线y ＝kx ＋1在曲线y ＝ln x 上的切点为P (x 0，y 0)，因为y ＝ln x ，所以y ′＝1x ，所以切线在点P 处的斜率k ＝1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又y 0＝ln x 0，所以切线方程为y ＝1x 0·x －1＋ln x 0，又切线方程为y ＝kx ＋1，＝1x 0，＝－1＋ln x 0，0＝e 2，＝1e2.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．答案(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为000(,()e )xA x x a +，O 为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝0000()e (1)e x x x a x a x +++=，化简，得x 20＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以关于x 0的方程x 20＋ax 0－a ＝0有两个不同的根，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．(2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 的切线”．跟踪训练2(1)(2023·深圳质检)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝x 3－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程是()A ．2x －y －2＝0B ．4x －y －4＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．4x ＋y －4＝0答案C解析当x <0时，f (x )＝x 3－x ，则f ′(x )＝3x 2－1，所以f ′(－1)＝2，由f (x )为偶函数，得f ′(1)＝－f ′(－1)＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程是y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.(2)若函数f (x )＝x －1x ＋a ln x 存在与x 轴平行的切线，则实数a 的取值范围是．答案(－∞，－2]解析f ′(x )＝1＋1x 2＋ax(x >0)，依题意得f ′(x )＝1＋1x 2＋ax ＝0有解，即－a ＝x ＋1x有解，∵x >0，∴x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，∴－a ≥2，即a ≤－2.题型三两曲线的公切线例4(1)(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为()A ．2B ．5C ．1D ．0答案C解析根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a ＞0，由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率k ＝f ′(a )＝－4a ，由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率k ＝g ′(a )＝－3a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ，可得m ＝1.(2)若两曲线y ＝ln x －1与y ＝ax 2存在公切线，则正实数a 的取值范围是()A ．(0,2e] B.12e －3，12e －3D ．[2e ，＋∞)答案B解析设公切线与曲线y ＝ln x －1和y ＝ax 2的切点分别为(x 1，ln x 1－1)，(x 2，ax 22)，其中x 1>0，对于y ＝ln x －1有y ′＝1x，则切线方程为y －(ln x 1－1)＝1x 1(x －x 1)，即y ＝xx 1＋ln x 1－2，对于y ＝ax 2有y ′＝2ax ，则切线方程为y －ax 22＝2ax 2(x －x 2)，即y ＝2ax 2x －ax 22，2ax 2，x 1－2＝－ax 22，则－14ax 21＝ln x 1－2，即14a＝2x 21－x 21ln x 1(x 1>0)，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，x >0，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝32e ，当x ∈32(0,e )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈32(e ,) 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )max ＝32(e )g ＝12e 3，故0<14a ≤12e 3，即a ≥12e －3.思维升华公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3(1)(2023·青岛模拟)若曲线C 1：f (x )＝x 2＋a 和曲线C 2：g (x )＝4ln x －2x 存在有公共切点的公切线，则a ＝.答案－3解析f (x )＝x 2＋a ，g (x )＝4ln x －2x ，则有f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝4x －2.设公共切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝4x 0－2，f (x 0)＝x 20＋a ，g (x 0)＝4ln x 0－2x 0.x 0＝4x 0－2，20＋a ＝4ln x 0－2x 0，0>0，0＝1，＝－3.(2)已知f (x )＝e x －1，g (x )＝ln x ＋1，则f (x )与g (x )的公切线有()A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条答案C解析根据题意，设直线l 与f (x )＝e x －1相切于点(m ，e m －1)，与g (x )相切于点(n ，ln n ＋1)，对于f (x )＝e x －1，有f ′(x )＝e x ，则直线l 的斜率k ＝e m ，则直线l 的方程为y ＋1－e m ＝e m (x －m )，即y ＝e m x ＋(1－m )e m －1，对于g (x )＝ln x ＋1，有g ′(x )＝1x ，则直线l 的斜率k ＝1n，则直线l 的方程为y －(ln n ＋1)＝1n (x －n )，即y ＝1n x ＋ln n m ＝1n ，－m )e m ＝ln n ＋1，可得(1－m )(e m －1)＝0，即m ＝0或m ＝1，则切线方程为y ＝e x －1或y ＝x ，故f (x )与g (x )的公切线有2条．课时精练一、单项选择题1．若函数f (x )＝e x sin 2x ，则f ′(0)等于()A ．2B ．1C ．0D ．－1答案A解析因为f (x )＝e x sin 2x ，则f ′(x )＝e x (sin 2x ＋2cos 2x )，所以f ′(0)＝e 0(sin 0＋2cos 0)＝2.2.函数y ＝f (x )的图象如图所示，f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列大小关系正确的是()A ．2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)B ．2f ′(3)<2f ′(5)<f (5)－f (3)C ．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)D ．2f ′(5)<2f ′(3)<f (5)－f (3)答案A解析由图可知，f ′(3)<f (5)－f (3)5－3<f ′(5)，即2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)．3．(2023·榆林模拟)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2的图象在x ＝1处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则a ＋b 等于()A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案B解析因为f (x )＝a ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝ax＋2x .又函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，所以f ′(1)＝a ＋2＝3，解得a ＝1，则f (x )＝ln x ＋x 2，所以f (1)＝1，代入切线方程得3－1＋b ＝0，解得b ＝－2，故a ＋b ＝－1.4．(2023·成都川大附中模拟)若点P 是曲线y ＝ln x －x 2上任意一点，则点P 到直线l ：x ＋y －4＝0距离的最小值为()A.22B.2C ．22D ．42答案C解析过点P 作曲线y ＝ln x －x 2的切线，当切线与直线l ：x ＋y －4＝0平行时，点P 到直线l ：x ＋y －4＝0的距离最小．设切点为P (x 0，y 0)(x 0>0)，又y ′＝1x－2x ，所以切线斜率k ＝1x 0－2x 0，由题意知1x 0－2x 0＝－1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍)，所以P (1，－1)，此时点P 到直线l ：x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝2 2.5．直线l 与曲线y ＝e x ＋1和y ＝e x ＋1均相切，则l 的斜率为()A.12B ．1C ．2D ．e答案B解析由y ＝e x ＋1，可得y ′＝e x ；由y ＝e x ＋1，可得y ′＝e x ＋1，设两个切点分别为(x 1，1e x ＋1)和(x 2，21e x +)，直线l 的斜率k ＝121e e x x +=，故x 1＝x 2＋1，即x 1≠x 2，所以k ＝21121e e 1x x x x +---＝－1－1＝1，即直线l 的斜率为1.6．若函数f (x )＝x 2－2ax2＋ln(x ＋1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a 的取值范围是()A ．a ≤1B ．a <0C ．a ≥1D ．a ≤0答案A解析因为函数f (x )＝x 2－2ax2＋ln(x ＋1)(x >－1)，所以f ′(x )＝x ＋1x ＋1－a ＝x ＋1＋1x ＋1－a －1≥2(x ＋1)·1x ＋1－a －1＝1－a ，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立，因为函数f (x )的图象上不存在互相垂直的切线，所以f ′(x )min ≥0，即1－a ≥0，解得a ≤1.二、多项选择题7．对于函数f (x )＝ln x －1，则下列判断正确的是()A ．直线y ＝xe 2是f (x )过原点的一条切线B ．f (x )关于y ＝x 对称的函数是y ＝e x－1C ．若过点(a ，b )有2条直线与f (x )相切，则ln a <b ＋1D ．f (x )≤x －2答案ACD解析对于A ，设切点为(m ，ln m －1)，则k ＝f ′(m )＝1m ＝ln m －1－0m －0，∴ln m －1＝1m ·m ，∴ln m ＝2，∴m ＝e 2，k ＝1e2∴过原点的切线方程为y ＝xe2，故A 正确；对于B ，由反函数的概念可得y ＋1＝ln x ⇒e y ＋1＝x ，故与f (x )关于y ＝x 对称的函数为y ＝e x ＋1，故B 错误；对于C ，若过点(a ，b )有2条直线与f (x )相切，则点(a ，b )在f (x )上方，如图所示，即b >f (a )，即b >ln a －1，故C 正确；对于D ，由于∀x >0，设g (x )＝x －ln x －1⇒g ′(x )＝x －1x ，令g ′(x )>0⇒x >1，令g ′(x )<0⇒0<x <1，∴g (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，∴g (x )≥g (1)＝0⇒ln x ≤x －1⇒f (x )≤x －2，故D 正确．8．(2023·唐山质检)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D ()A ．f (x )＝sin x －cos xB ．f (x )＝ln x －3xC ．f (x )＝－x 3＋3x －1D ．f (x )＝x e －x答案BCD解析对于A ，f ′(x )＝cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－sin x ＋cos x ＝－2sin当x ，f ″(x )＝－2sin ，故A 错误；对于B ，f ′(x )＝1x －3，f ″(x )＝－1x 2<0B 正确；对于C ，f ′(x )＝－3x 2＋3，f ″(x )＝－6x <0C 正确；对于D ，f ′(x )＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x ，f ″(x )＝－e －x －(1－x )e －x ＝－(2－x )e －x ，因为x 2－x >0，所以f ″(x )＝－(2－x )e －x<0D 正确．三、填空题9．(2024·呼和浩特模拟)若曲线y ＝2sin x －2cos x x －ay ＋1＝0垂直，则实数a ＝.答案－2解析∵y ＝2sin x －2cos x ，∴y ′＝2cos x ＋2sin x ，∴曲线y ＝2sin x －2cos x k ＝2cos π2＋2sin π2＝2，∵切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，∴直线x －ay ＋1＝0的斜率为－12，即1a ＝－12，∴a ＝－2.10．(2023·本溪模拟)请写出与曲线y ＝sin x 在原点(0,0)处具有相同切线的另一个函数．答案y ＝x 3＋x (答案不唯一)解析∵y ＝sin x 的导函数为y ′＝cos x ，又y ＝sin x 过原点，∴y ＝sin x 在原点(0,0)处的切线斜率k ＝cos 0＝1，∴y ＝sin x 在原点(0,0)处的切线方程为y ＝x .所求曲线只需满足过点(0,0)且在x ＝0处的导数值y ′＝1即可，如y ＝x 3＋x ，∵y ′＝3x 2＋1，∴y ＝x 3＋x 在原点处的切线斜率为1，又y ＝x 3＋x 过原点，∴y ＝x 3＋x 在原点(0,0)处的切线方程为y ＝x .11．(2023·南京模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝ax 2和y ＝ln x 均相切，则a ＝.答案14解析设直线y ＝x ＋m 与y ＝ln x 相切于点(x 0，ln x 0)，因为y ＝ln x 的导函数为y ′＝1x ，所以1x 0＝1，且ln x 0＝x 0＋m ，解得x 0＝1，m ＝－1.因为直线y ＝x －1与曲线y ＝ax 2相切，联立得ax 2－x ＋1＝0，a ≠0且Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14.12．已知直线y ＝k 1x 与y ＝k 2x (k 1>k 2)是曲线y ＝ax ＋2ln|x |(a ∈R )的两条切线，则k 1－k 2＝.答案4e解析由已知得，曲线的切线过点(0,0)，当x >0时，曲线为y ＝ax ＋2ln x ，设x 1>0，直线y ＝k 1x 在曲线上的切点为(x 1，ax 1＋2ln x 1)，y ′＝a ＋2x 1，∴切线方程为y －(ax 1＋2ln x 1)x －x 1)，又切线过点(0,0)，∴－ax 1－2ln x 1－x 1)，∴x 1＝e ，k 1＝a ＋2e；同理，当x <0时，曲线为y ＝ax ＋2ln(－x )，设x 2<0，直线y ＝k 2x 在曲线上的切点为(x 2，ax 2＋2ln(－x 2))，y ′＝a ＋2x 2，∴切线方程为y －[ax 2＋2ln(－x 2)]x －x 2)，又切线过点(0,0)，∴－ax 2－2ln(－x 2)－x 2)，∴x 2＝－e ，k 2＝a －2e ，∴k 1－k 2＝4e .四、解答题13．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x .(1)求f ′(e)及f (e)的值；(2)求f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程．解(1)∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，∴f ′(e)＝－1e ，f (x )＝－2xe ＋ln x ，∴f (e)＝－2ee＋ln e ＝－1.(2)∵f (x )＝－2x e ＋ln x ，f ′(x )＝－2e ＋1x ，∴f (e 2)＝－2e 2e ＋ln e 2＝2－2e ，f ′(e 2)＝－2e ＋1e2，∴f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程为y －(2－2e)－2e ＋x －e 2)，即(2e －1)x ＋e 2y －e 2＝0.14．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12，又∵f ′(x )＝a ＋bx 2，a －b 2＝12，＋b 4＝74，＝1，＝3，∴f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为yx －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，∴切线与直线x ＝0令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，∴切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．∴曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|－6x 0|·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.15．已知函数f (x )＝ln x ＋x 的零点为x 0，过原点作曲线y ＝f (x )的切线l ，切点为P (m ，n )，则00e x mx 等于()A.1eB ．e C.1e 2D ．e 2答案B解析f ′(x )＝1x＋1，切点为P (m ，ln m ＋m )，则切线方程为yx －m )＋ln m ＋m ，因为l 过原点，所以0－m )＋ln m ＋m ，解得m ＝e ，则P (e ，e ＋1)，由ln x 0＋x 0＝0，可得x 0＝－ln x 0，故00e xmx ＝e x 0·0ln ex －＝e x 0·1x 0＝e.16．(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )＝|e x －1|，x 1<0，x 2>0，函数f (x )的图象在点A (x 1，f (x 1))和点B (x 2，f (x 2))的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则|AM ||BN |的取值范围是．答案(0,1)解析由题意得，f (x )＝|e x －1|－e x ，x <0，x －1，x ≥0，则f ′(x )e x ，x <0，x ，x ≥0，所以点A (x 1,1－1e x)和点B (x 2，2e x－1)，k AM ＝1e x－，k BN ＝2e x，所以12e e xx⋅－＝－1，x 1＋x 2＝0，所以AM ：y －1＋1e x＝11111(),(0,e e 1),e x x xM x x x -+－－所以|AM |=x 1|，同理|BN |·|x 2|，所以|AM ||BN |1e x ===∈(0,1)．。
高考数学一轮复习讲练测(浙江版)：专题3.1 导数的概念及其几何意义(讲)答案解析
【最新考纲解读】【考点深度剖析】本节中导数的概念、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．导数的几何意义命题的角度主要有求曲线的切线斜率、切线方程或已知曲线的切线斜率、切线方程求参数的值或范围等问题．【课前检测训练】[判一判]判断正误(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( )(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× [练一练]1. 【基础经典试题】曲线32y x x =-在(1,1)-处的切线方程为( )A ．20x y --=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y ++= 【答案】A【解析】由已知，点(1,1)-在曲线32y x x =-上，所以切线的斜率为211'|(32)|1x x y x ===-=，由直线方程的点斜式得20x y --=，故选A .2.【2016年山东卷.10】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ） （A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A3. 【百强校】2016届江苏省苏州大学高考考前指导卷1】已知直线x y b +=是函数2y ax x=+的图象在点(1,)P m 处的切线，则a b m +-= ． 【答案】2. 【解析】由于P 点在函数2y ax x=+图象和直线x y b +=上，则2m a =+，1m b +=. 又由函数2y ax x =+的导函数22'y a x=-可知，切线的斜率12k a =-=-，有1a =，3m =和4b =，则2a b m +-=.4. 【选修2-2P18T3改编】已知函数()r V =)r =________. 【答案】112π【解析】因为'()r V =1)12r π=.5.【2015·高考全国卷Ⅱ】已知曲线y x lnx ＝＋在点()1,1(1,1)处的切线与曲线221()y ax a x ＝＋＋＋相切，则a ＝________.【答案】8【解析】法一：∵x=11y'=1+,y|=2,y=x+ln x x∴∴在点()1,1处的切线方程为()1212 1.y x y x ∴－＝－，＝－又【题根精选精析】考点1 利用导数的定义求函数的导数【1-1】 求函数y =1x =处的导数. 【答案】12-【解析】y∆=-=x 0x 0x 1y x y 1lim lim[.x 21y |.2∆→∆→==∆=∆∆==-∆∴'=-【1-2】一质点运动的方程为283s t =-.（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 【答案】（1）63x --∆；（2）6-.【基础知识】1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆. 2．函数f (x )的导函数称函数0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆为f (x )的导函数．【思想方法】1.根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法：①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆，简记作：一差、二比、三极限.2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数【温馨提醒】导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系.对位移s 与时间t 的关系式求导可得瞬时速度与时间t 的关系.根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，应按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求.考点2 导数的运算 【2-1】求下列函数的导数.()()()()()()()222x x x 251y 2x 1(3x 1)x x 12y x x 13y 3e 2elnx 4y x 15y 32x =-+-+=++=-+=+=-【答案】（1）21843x x +-；（2）22222(1)x x x +-+；（3）()3322x xe ln e ln -；（4）2222ln )1x((11)x x x -++； （5）()41032.x --(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得：()()()()22222222222x x 1x x 12x 2xy 1,x x 1x x 1x x 12x x 12x 2x 12x 2y x x 1x x 1-+++-===-++++++++-+-∴'=-=++++【基础知识】基本初等函数的导数公式【思想方法】求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．【温馨提醒】导数的运算是用导数研究函数性质的工具，一般较少直接考查，通常情况下涉及导数的综合运算及导数公式的灵活运用.考点3 导数的几何意义【3-1】【2016年河南郑州高三二模】曲线3)(3+-=x x x f 在点P 处的切线平行于直线12-=x y ，则P 点的坐标为（ ）A ．)3,1(B ．)3,1(-C ．)3,1(和)3,1(-D ．)3,1(- 【答案】C.【解析】因2'()31f x x =-，令'()2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，所以(1,3)P 或(1,3)-，经检验，点(1,3)，(1,3)-均不在直线21y x =-上，故选C ．【3-2】【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A【3-3】已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 【答案】D【基础知识】函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．【思想方法】1.求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ，由导数的几何意义知0'()k f x =，故当0'()f x 存在时，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-.2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数()y f x =在0x x =处的导数表示曲线在点00(,())P x f x 处切线的斜率，因此，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程，可按如下方式求得：第一，求出函数()y f x =在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程000'()()y y f x x x =+-；如果曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为0x x =.【温馨提醒】根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解. 【易错问题大揭秘】 已知曲线31y x =+．（1）求曲线在1x =-处的切线方程； （2）求曲线过点(1,0)-的切线方程．【易错点】易于因为审题不严或理解有误，将两道小题混淆，特别是第（2）小题独立出现时．【分析】（1）∵ 23y x '=， ∴曲线在1x =-处的斜率213(1)3x k y =-'==⨯-=． ∵1x =-时，0y =，∴曲线在1x =-处的切线方程为3(1)y x =+， 即330x y -+=．(2) 设过点(1,0)-的切线与曲线相切于点00(,)x y ， 则切线的斜率为023x x k y x ='==， ∴20003000311y x x y x -⎧=⎪+⎨⎪=+⎩， 整理得32002310x x +-=，∴200(1)(21)0x x +-=， 解得01x =-，或012x =， ∴所求的切线为330x y -+=，或3430x y -+=．温馨提醒：(1)对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分“该曲线过点P 的切线方程”与“该曲线在点P 处的切线方程”的两种情况，避免出错.从历年高考题看，“该曲线在点P 处的切线方程”问题的考查较为普遍. 【针对训练】已知曲线31433y x =+， （1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程； （2）求曲线过点P(2,4)的切线方程； （3）求斜率为4的曲线的切线方程.. 【答案】（1）440.x y --=(2)44020x y x y --=-+=或(3)440123200x y x y --=-+=和.即440123200x y x y --=-+=和.。
2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：3.1 导 数
第三章导数§3.1导数考纲解读分析解读 1.导数是高考中的重要内容.导数的运算是高考命题的热点,是每年的必考内容.2.本节主要考查导数的运算,导数的几何意义,考查函数与其导函数图象之间的关系.3.预计2019年高考中,导数运算的考查必不可少,同时要注意对切线的考查,复习时应引起高度重视.五年高考考点一导数的概念及其几何意义1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sinxB.y=lnxC.y=e xD.y=x3答案A2.(2014课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3答案D3.(2017课标全国Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=04.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案15.(2016课标全国Ⅲ,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.答案y=-2x-16.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.答案-37.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.答案(-ln2,2)8.(2016浙江自选,“复数与导数”模块,03(2),5分)求曲线y=2x2-lnx在点(1,2)处的切线方程.解析因为(2x2-lnx)'=4x-,所以曲线在点(1,2)处的切线的斜率为3.因此,曲线在点(1,2)处的切线方程为y=3x-1.9.(2013浙江,22,14分)已知a∈R,函数f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.解析(1)由题意得f'(x)=3x2-6x+3a,故f'(1)=3a-3.又f(1)=1,所以所求的切线方程为y=(3a-3)x-3a+4.(2)由于f'(x)=3(x-1)2+3(a-1),0≤x≤2.故(i)当a≤0时,有f'(x)≤0,此时f(x)在[0,2]上单调递减,故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3-3a.(ii)当a≥1时,有f'(x)≥0,此时f(x)在[0,2]上单调递增,故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3a-1.(iii)当0<a<1时,设x1=1-,x2=1+,则0<x1<x2<2,f'(x)=3(x-x1)(x-x2).由于f(x1)=1+2(1-a),f(x2)=1-2(1-a)·,故f(x1)+f(x2)=2>0,f(x1)-f(x2)=4(1-a)·>0.从而f(x1)>|f(x2)|.所以|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}.①当0<a<时,f(0)>|f(2)|.又f(x1)-f(0)=2(1-a)-(2-3a)= >0,故|f(x)|max=f(x1)=1+2(1-a).②当≤a<1时,|f(2)|=f(2),且f(2)≥f(0).又f(x1)-|f(2)|=2(1-a)-(3a-2)=,所以当≤a<时,f(x1)>|f(2)|.故f(x)max=f(x1)=1+2(1-a).当≤a<1时,f(x1)≤|f(2)|.故f(x)max=|f(2)|=3a-1.综上所述,|f(x)|max=10.(2013浙江文,21,15分)已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.解析(1)当a=1时,f'(x)=6x2-12x+6,所以f'(2)=6.又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).令f'(x)=0,得到x1=1,x2=a.比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得g(a)=当a<-1时,得g(a)=3a-1.综上所述,f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为g(a)=11.(2017北京文,20,13分)已知函数f(x)=e x cosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解析本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值.(1)因为f(x)=e x cosx-x,所以f'(x)=e x(cosx-sinx)-1,f'(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=e x(cosx-sinx)-1,则h'(x)=e x(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2e x sinx.当x∈时,h'(x)<0,所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x∈有h(x)<h(0)=0,即f'(x)<0.所以函数f(x)在区间上单调递减.因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f=-.12.(2017山东文,20,13分)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析本题考查导数的几何意义;用导数研究函数的单调性;用导数求函数的极值、最值.(1)由题意f'(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x2-2x,所以f'(3)=3,因此,曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,所以g'(x)=f'(x)+cosx-(x-a)sinx-cosx=x(x-a)-(x-a)sinx=(x-a)(x-sinx),令h(x)=x-sinx,则h'(x)=1-cosx≥0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0;当x<0时,h(x)<0.(1)当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sinx),当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-a3-sina,当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.(2)当a=0时,g'(x)=x(x-sinx),当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增;所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.(3)当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sinx),当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-a3-sina.综上所述:当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=-a3-sina,极小值是g(0)=-a;当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-a3-sina.教师用书专用(13—19)13.(2015陕西,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)14.(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案815.(2014广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.答案5x+y-3=016.(2017山东,20,13分)已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=e x(cosx-sinx+2x-2),其中e=2.71828…是自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析本题考查导数的几何意义和极值.(1)由题意知,f(π)=π2-2,又f'(x)=2x-2sinx,所以f'(π)=2π,因此曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为y-(π2-2)=2π(x-π),即y=2πx-π2-2.(2)由题意得h(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx),因为h'(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)+e x(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)=2e x(x-sinx)-2a(x-sinx)=2(e x-a)(x-sinx),令m(x)=x-sinx,则m'(x)=1-cosx≥0,所以m(x)在R上单调递增.因为m(0)=0,所以当x>0时,m(x)>0;当x<0时,m(x)<0.(i)当a≤0时,e x-a>0,当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;(ii)当a>0时,h'(x)=2(e x-e lna)(x-sinx),由h'(x)=0得x1=lna,x2=0.①当0<a<1时,lna<0,当x∈(-∞,lna)时,e x-e lna<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(lna,0)时,e x-e lna>0,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,e x-e lna>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以当x=lna时h(x)取到极大值,极大值为h(lna)=-a[(lna)2-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2],当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;②当a=1时,lna=0,所以当x∈(-∞,+∞)时,h'(x)≥0,函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;③当a>1时,lna>0,所以当x∈(-∞,0)时,e x-e lna<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(0,lna)时,e x-e lna<0,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(lna,+∞)时,e x-e lna>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;当x=lna时h(x)取到极小值,极小值是h(lna)=-a[(lna)2-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].综上所述:当a≤0时,h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当0<a<1时,函数h(x)在(-∞,lna)和(0,+∞)上单调递增,在(lna,0)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(lna)=-a[(lna)2-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2],极小值是h(0)=-2a-1;当a=1时,函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;当a>1时,函数h(x)在(-∞,0)和(lna,+∞)上单调递增,在(0,lna)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(lna)=-a[(lna)2-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].17.(2013湖南,22,13分)已知a>0,函数f(x)=.(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.解析(1)当0≤x≤a时,f(x)=;当x>a时,f(x)=.因此,当x∈(0,a)时,f'(x)=<0,f(x)在(0,a)上单调递减;当x∈(a,+∞)时,f'(x)=>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=.②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.所以g(a)=max{f(0),f(4)}.而f(0)-f(4)=-=,故当0<a≤1时,g(a)=f(4)=;当1<a<4时,g(a)=f(0)=.综上所述,g(a)=(2)由(1)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求.当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线y=f(x)在(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点处的切线互相垂直,则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f'(x1)·f'(x2)=-1.即·=-1.亦即x1+2a=.(*)由x1∈(0,a),x2∈(a,4)得x1+2a∈(2a,3a),∈.故(*)成立等价于集合A={x|2a<x<3a}与集合B=的交集非空.因为<3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a<时,A∩B≠⌀.综上所述,存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是.18.(2015安徽,18,12分)设n∈N*,x n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)记T n=…,证明:T n≥.解析(1)y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2.从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标x n=1-=.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知T n=…=….当n=1时,T1=.当n≥2时,因为==>==.所以T n>×××…×=.综上可得对任意的n∈N*,均有T n≥.19.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解析(1)设f(x)=,则f'(x)=.所以f'(1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f'(x)=.当0<x<1时,x2-1<0,lnx<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;当x>1时,x2-1>0,lnx>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.考点二导数的运算1.(2014大纲全国,7,5分)曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于()A.2eB.eC.2D.1答案C2.(2013江西,13,5分)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f'(1)=.答案23.(2017浙江,20,15分)已知函数f(x)=(x-)e-x.(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间上的取值范围.解析本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的能力.(1)因为(x-)'=1-,(e-x)'=-e-x,所以f'(x)=e-x-(x-)e-x=.(2)由f'(x)==0,解得x=1或x=.又f(x)=(-1)2e-x≥0,所以f(x)在区间上的取值范围是.4.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xe a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(2)求f(x)的单调区间.解析(1)因为f(x)=xe a-x+bx,所以f'(x)=(1-x)e a-x+b.依题设,知即解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f'(x)=e2-x(1-x+e x-1)及e2-x>0知,f'(x)与1-x+e x-1同号.令g(x)=1-x+e x-1,则g'(x)=-1+e x-1.所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一导数的概念及其几何意义1.(2018浙江镇海中学12月测试,2)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为()A.2B.1C.-1D.-2答案A2.(2017浙江测试卷,4)已知直线y=ax是曲线y=lnx的切线,则实数a=()A. B. C. D.答案C3.(2017浙江衢州质量检测(1月),14)已知函数f(x)=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1,则实数a=,此时函数y=f(x)在[0,1]最小值为.答案-;4.(2017浙江台州质量评估,20)已知函数f(x)=x3+|x-a|(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最小值(用a表示).解析(1)当a=1,x<1时,f(x)=x3+1-x,f'(x)=3x2-1,所以f(0)=1,f'(0)=-1,所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=-x+1.(2)当a∈(0,1)时,由已知得f(x)=当a≤x≤1时,由f'(x)=3x2+1>0,知f(x)在(a,1)上是单调递增的.当-1≤x<a时,f'(x)=3x2-1,(i)当a∈时,f(x)在上递增,在上递减,在上递增,所以在区间[-1,1]上,f(x)min=min=min=a-.(ii)当a∈时,f(x)在上递增,在上递减,所以在区间[-1,1]上,f(x)min=min{f(-1),f(a)}=min{a,a3}=a3.综上所述,f(x)min=考点二导数的运算5.(2018浙江镇海中学12月测试,1)下列求导结果正确的是()A.(1-x2)'=1-2xB.(cos30°)'=-sin30°C.[ln(2x)]'=D.()'=答案D6.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,4)设f1(x)=sinx+cosx,对任意的n∈N*,定义f n+1(x)=f n'(x),则f2017(x)等于()A.sinx-cosxB.sinx+cosxC.-sinx-cosxD.-sinx+cosx答案B7.(2017浙江镇海中学阶段测试(二),13)已知函数f(x)=sinx-f'cosx,若f'=0,则f'=.答案-1B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2017浙江湖州期末调研,2)函数y=e x(e是自然对数的底数)的图象在点(0,1)处的切线方程是()A.y=x-1B.y=x+1C.y=-x-1D.y=-x+1答案B二、解答题2.(2018浙江重点中学12月联考,20)已知函数f(x)=-ln(x+b)+a(a,b∈R).(1)若y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=-x+3,求a,b的值;(2)当b=0时,f(x)≥-对定义域内的x都成立,求a的取值范围.解析(1)由f(x)=-ln(x+b)+a,得f'(x)=-,所以得(6分)(2)当b=0时,f(x)≥-对定义域内的x都成立,即-lnx+a≥-恒成立,所以a≥lnx-恒成立,则a≥(lnx-)max.(9分)令g(x)=lnx-,则g'(x)=-=.(11分)令m(x)=-x,则m'(x)=-1=,令m'(x)>0,得x<1,所以m(x)在上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以m(x)max=m(1)=0,(13分)所以g'(x)≤0,所以g(x)在定义域上单调递减,所以g(x)max=g=ln,所以a≥ln.(15分)3.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,20)已知函数f(x)=+alnx(a>0).(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=-x平行,求函数y=f(x)的单调区间;(2)若对任意x∈(0,+∞),都有f(x)>0成立,试求实数a的取值范围;(3)记g(x)=f(x)+2x-b(b∈R),当a=1时,函数g(x)在区间[e-1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围.解析(1)直线y=-x的斜率为-1.函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-+,所以f'(1)=-3+a=-1,解得a=2,(3分)所以f(x)=+2lnx,f'(x)=.由f'(x)>0,得x>;由f'(x)<0,得0<x<,所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.(5分)(2)f'(x)=-+=(a>0),由f'(x)>0,得x>,由f'(x)<0,得0<x<,所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,当x=时,f(x)取极小值,也是最小值,即f(x)min=f,(7分)∵对任意x∈(0,+∞),都有f(x)>0成立,∴f>0,即a+aln>0,(9分)又a>0,∴ln>-1,得0<a<3e.∴实数a的取值范围为(0,3e).(10分)(3)当a=1时,g(x)=+lnx+2x-b(x>0),g'(x)==,由g'(x)>0,得x>1,由g'(x)<0,得0<x<1.所以g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞),则x=1时,g(x)取得极小值g(1).(12分)因为函数g(x)在区间[e-1,e]上有两个零点,所以得∵-=e--2>0,∴5<b≤2e++1.所以b的取值范围是.(15分)4.(2017浙江宁波二模(5月),20)设函数f(x)=x2-ax-lnx,a∈R.(1)若函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为1,求实数a的值;(2)当a≥-1时,记f(x)的极小值为H,求H的最大值.解析(1)f'(x)=(x>0),由题知,f'(1)=1,解得a=0.(2)令f'(x0)=0,则2-ax0-1=0,解得x0=,且2-1=ax0.可知f(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,则H=f(x)极小值=f(x0)=-ax0-lnx0=-+1-lnx0.记g(a)=(a≥-1),当a≥0时,g(a)为增函数;当-1≤a<0时,g(a)=,此时g(a)为增函数,故x0≥g(-1)=.设y=-x2+1-lnx.易知,函数y=-x2+1-lnx在上为减函数,所以H的最大值为+ln2.5.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,20)已知函数f(x)=2alnx+x2-(a+2)x,a∈R.(1)当a=时,求曲线y=f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值.解析(1)当a=时,f(x)=lnx+x2-x,所以f(1)=-2.又f'(x)=+x-,所以f'(1)=-.由点斜式得所求切线方程为y=-x-.(2)f'(x)=+x-(a+2)==,因为x∈[1,2],所以有①当a≥2时,函数f(x)在区间[1,2]上为增函数.此时f(x)max=f(2)=2aln2-2a-2.②当1≤a<2时,函数f(x)在区间[1,a]上为增函数,在区间[a,2]上为减函数.此时f(x)max=f(a)=2alna-a2-2a.③当a<1时,函数f(x)在区间[1,2]上为减函数.此时f(x)max=f(1)=-a-.故函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(x)max=6.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,20)已知函数f(x)=lnx-+1.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当x∈(0,1)时,函数g(x)=af(x)-x2在x=m处取得极大值,求实数a的取值范围.解析(1)由f'(x)=+,得f'(1)=3.又f(1)=-1,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x-4.(2)g(x)=a-x2,∴g'(x)=+-x=-(x>0),∵g(x)在x=m处取得极大值,∴g'(m)=0,∴m3-2am-4a=0,即a=(0<m<1),设h(m)=(0<m<1),则h'(m)==>0.∴h(m)在(0,1)上单调递增,∴0<a<.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1导数运算的解题策略1.求下列函数的导数:(1)y=x;(2)y=1+sin cos;(3)y=xsinx+;(4)y=-2x.解析(1)因为y=x+2+,所以y'=1-.(2)因为y=1+sin cos=1+sinx,所以y'=cosx.(3)y'=(xsinx)'+()'=sinx+xcosx+.(4)y'='-(2x)'=-2x ln2=-2x ln2.方法2导数的几何意义的解题策略2.(2017浙江镇海中学模拟卷一,20)已知函数f(x)=x3+3ax2.(1)判断函数f(x)的单调性;(2)若过点(1,0)可作曲线y=f(x)的三条切线,求a的取值范围.解析(1)f'(x)=3x2+6ax=3x(x+2a),所以当a=0时,f'(x)≥0恒成立,因此f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,-2a)上单调递减,在(-2a,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(-∞,-2a)上单调递增,在(-2a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)设切点坐标为(t,f(t)),则过该点的切线方程为y-f(t)=f'(t)(x-t).易知该直线经过点(1,0),则有-f(t)=f'(t)(1-t),即t[2t2+(3a-3)t-6a]=0,由题可知,上述方程有三个互不相等的实根,即2t2+(3a-3)t-6a=0有两个互不相等的非零实根,所以有解得所以a的取值范围是(-∞,-3)∪∪(0,+∞).3.(2017浙江镇海中学模拟卷四,20)已知函数f(x)=ax2-lnx(其中a为正常数).(1)当a=时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)试求函数f(x)在[1,2]上的最小值.解析(1)当a=时,f(x)=x2-lnx,则f'(x)=x-=,所以f'(2)=,且f(2)=2-ln2,因此曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(2-ln2)=(x-2),即y=x-(1+ln2).(6分)(2)f'(x)=2ax-=,其中x>0,因此,f(x)在上单调递减,在上单调递增.(8分)当≤1,即a≥时,f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=a;(10分)当≥2,即0<a≤时,f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)min=f(2)=4a-ln2;(12分)当1<<2,即<a<时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)min=f=+ln(2a).(14分)综上,f(x)min= (15分)。
2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算实用课件理
第一节 导数的概念及运算
本节主要包括 2 个知识点： 1.导数的运算； 2.导数的几何意义.
突破点(一) 导数的运算
突破点(二) 导数的几何意义
01234
全国卷5年真题集中演练——明规律
课时达标检测
01 突破点(一) 导数的运算
抓牢双基·自学区 完成情况
[基本知识]
1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数
法二：f(x)＝(x＋1)2(x－3)＝x3－x2－5x－3，则 f′(x)＝3x2 －2x－5.
(2)因为 f′(x)＝ln x＋1，所以 f′(1)＝0＋1＝1，所以 f′(1)
＋f(4)＝1＋4ln 4＝1＋8ln 2.故选 B.
(3)因为 f(x)＝sin xcos φ－cos xsin φ－10<φ<π2，所以 f′(x)
分式形式
观察函数的结构特征，先化为整式函数或较 为简单的分式函数，再求导
对数形式 先化为和、差的形式，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式， 再求导
含待定系数 如含f′(x0)，a，b等的形式，先将待定系数 看成常数，再求导
复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
f′(x)＝ _c_o_s__x__
基本初等函数 f(x)＝xα (α∈Q *)
f(x)＝cos x
导函数
f′(x)＝ _α_x_α_－_1 _
f′(x)＝ _－__s_i_n_x_
f′(x)＝ ex
f(x)＝ax (a>0，a≠1)
1 f′(x)＝ x
f(x)＝logax (a>0，a≠1)
f′(x)＝ __a_xl_n__a_ f′(x)＝
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题3：导数1(导数的概念、运算和几何意义)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题3：导数（导数的概念、运算和几何意义）（一）导数的概念和运算填空题1．（2015•天津文）已知函数()f x axlnx =，(0,)x ∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若f '（1）3=，则a 的值为 3 ．【考点】导数的乘法与除法法则【分析】由题意求出()f x '，利用f '（1）3=，求a ．【解答】解：因为()f x axlnx =，所以1()f x alnx ax alnx a x'=+=+，又f '（1）3=，所以3a =；故答案为：3．【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．2．（2016•天津文）已知函数()(21)x f x x e =+，()f x '为()f x 的导函数，则(0)f '的值为 3 ． 【考点】导数的运算【分析】先求导，再带值计算． 【解答】解：()(21)x f x x e =+，()2(21)x x f x e x e ∴'=++，00(0)2(201)213f e e ∴'=+⨯+=+=． 故答案为：3．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．3．（2018•天津文10）已知函数()x f x e lnx =，()f x '为()f x 的导函数，则f '（1）的值为 e ． 【考点】导数的运算【分析】根据导数的运算法则求出函数()f x 的导函数，再计算f '（1）的值． 【解答】解：函数()x f x e lnx =， 则1()x xf x e lnx e x'=+； f ∴'（1）11e ln e e =+=．故答案为：e ．【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题． （二）导数的几何意义选择题1．（2014•新课标Ⅱ理）设曲线(1)y ax ln x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】根据导数的几何意义，即0()f x '表示曲线()f x 在0x x =处的切线斜率，再代入计算． 【解答】解：11y a x '=-+， (0)12y a ∴'=-=，3a ∴=．故选：D ．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视． 2．（2014•大纲版理）曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A ．2eB ．eC ．2D ．1【考点】导数及其几何意义【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率． 【解答】解：函数的导数为111()(1)x x x f x e xe x e ---'=+=+， 当1x =时，f '（1）2=，即曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率k f ='（1）2=， 故选：C ．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．3．（2014•陕西文）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．321122y x x x =-- B ．3211322y x x x =+- C ．314y x x =- D ．3211242y x x x =+- 【考点】函数解析式的求解及常用方法；导数及其几何意义【分析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案．【解答】解：由函数图象知，此三次函数在(0,0)上处与直线y x =-相切，在(2,0)点处与36y x =-相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线．A 、2312y x x '=--，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是1-，3，符合题意，故A 正确；B 、2332y x x '=+-，将0代入，此时导数为3-，不为1-，故B 错误；C 、2314y x '=-，将2代入，此时导数为1-，与点(2,0)处切线斜率为3矛盾，故C 错误；D 、2324y x x '=+-，将0代入，此时导数为2-，与点(0,0)处切线斜率为1-矛盾，故D 错误．故选：A ．【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一． 4．（2014•陕西理）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．3131255y x x =- B ．3241255y x x =- C ．33125y x x =- D ．3311255y x x =-+ 【考点】函数解析式的求解及常用方法；导数及其几何意义【分析】分别求出四个选项中的导数，验证在5x =±处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式． 【解答】解：由题意可得出，此三次函数在5x =±处的导数为0，依次特征寻找正确选项：A 选项，导数为2331255y x '=-，令其为0，解得5x =±，故A 正确； B 选项，导数为2641255y x '=-，令其为0，5x =±不成立，故B 错误； C 选项，导数为291125y x '=-，令其为0，5x =±不成立，故C 错误； D 选项，导数为2911255y x '=-+，令其为0，5x =±不成立，故D 错误． 故选：A ．【点评】本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用．5．（2016•四川文理）设直线1l ，2l 分别是函数,01(),1lnx x f x lnx x -<<⎧=⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB ∆的面积的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设出点1P ，2P 的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线1l 与2l 的斜率，由两直线垂直求得1P ，2P 的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A ，B 两点的纵坐标，得到||AB ，联立两直线方程求得P 的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得PAB ∆的面积的取值范围．【解答】解：设11(P x ，1)y ，22(P x ，212)(01)y x x <<<， 当01x <<时，1()f x x '=-，当1x >时，1()f x x'=，1l ∴的斜率111k x =-，2l 的斜率221k x =， 1l 与2l 垂直，且210x x >>，∴1212111k k x x =-=-，即121x x =． 直线11111:()l y x x lnx x =---，22221:()l y x x lnx x =-+． 取0x =分别得到1(0,1)A lnx -，2(0,1)B lnx -+，121212|||1(1)||2()||2|2AB lnx lnx lnx lnx lnx x =---+=-+=-=．联立两直线方程可得交点P 的横坐标为12122x x x x x =+， ∴1212121121122||||2122PAB P x x S AB x x x x x x x ∆==⨯⨯==+++． 函数1y x x=+在(0,1)上为减函数，且101x <<， ∴111112x x +>+=，则1111012x x <<+，∴112011x x <<+． PAB ∴∆的面积的取值范围是(0,1)．故选：A ．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．6．（2016•山东文理）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( ) A ．sin y x =B ．y lnx =C ．x y e =D ．3y x =【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数()y f x =的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1-，进而可得答案．【解答】解：函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数()y f x =的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1-， 当sin y x =时，cos y x '=，满足条件； 当y lnx =时，10y x'=>恒成立，不满足条件； 当x y e =时，0x y e '=>恒成立，不满足条件； 当3y x =时，230y x '=>恒成立，不满足条件； 故选：A ．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．7．（2018•新课标Ⅰ文理）设函数32()(1)f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用函数的奇偶性求出a ，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程． 【解答】解：函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数， 可得1a =，所以函数3()f x x x =+，可得2()31f x x '=+， 曲线()y f x =在点(0,0)处的切线的斜率为：1， 则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为：y x =． 故选：D ．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力． 8．（2019新课标Ⅱ文10）曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( ) A ．10x y π---=B ．2210x y π---=C ．2210x y π+-+=D ．10x y π+-+=【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x π=时的导数，再由直线方程点斜式得答案．【解答】解：由2sin cos y x x =+，得2cos sin y x x '=-， |2cos sin 2x y πππ=∴'=-=-，∴曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为12()y x π+=--，即2210x y π+-+=． 故选：C ．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．9．（2019•新课标Ⅲ文理）已知曲线x y ae xlnx =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则( ) A ．a e =，1b =-B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得102ae ++=，可得a ，进而得到切点，代入切线方程可得b 的值．【解答】解：x y ae xlnx =+的导数为1x y ae lnx '=++， 由在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+， 可得102ae ++=，解得1a e -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-， 故选：D ．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．填空题 1．（2014•广东文）曲线53x y e =-+在点(0,2)-处的切线方程为 520x y ++=． ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可． 【解答】解：5x y e '=-， 0|5x y =∴'=-．因此所求的切线方程为：25y x +=-，即520x y ++=． 故答案为：520x y ++=．【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题．2．（2014•广东理）曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为 53y x =-+． ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程． 【解答】解；55x y e -'=-，5k ∴=-，∴曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为35y x -=-，即53y x =-+．故答案为：53y x =-+【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题．3．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2(by ax a x=+，b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 3- ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由曲线2(by ax a x =+，b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，可得2|5x y ==-，且27|2x y ='=-，解方程可得答案．【解答】解：直线7230x y ++=的斜率72k =-，曲线2(by ax a x =+，b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，22b y ax x ∴'=-， ∴4527442b a b a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩，故3a b +=-， 故答案为：3-【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到2|5x y ==-，且27|2x y ='=-，是解答的关键．4．（2014•江西文）若曲线y xlnx =上点P 处的切线平行与直线210x y -+=，则点P 的坐标是 (,)e e ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论． 【解答】解：函数的定义域为(0,)+∞，函数的导数为1()1f x lnx xlnx x'=+=+， 直线210x y -+=的斜率2k =，曲线y xlnx =上点P 处的切线平行与直线210x y -+=， ()12f x lnx ∴'=+=，即1lnx =，解得x e =，此时y elne e ==， 故点P 的坐标是(,)e e ， 故答案为：(,)e e ．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义． 5．（2014•江西理）若曲线x y e -=上点P 的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是 (2,2)ln - ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先设(,)P x y ，对函数求导，由在在点P 处的切线与直线210x y ++=平行，求出x ，最后求出y ． 【解答】解：设(,)P x y ，则x y e -=，x y e -'=-，在点P 处的切线与直线210x y ++=平行， 2x e -∴-=-，解得2x ln =-，2x y e -∴==，故(2,2)P ln -． 故答案为：(2,2)ln -．【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P 处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．6．（2015•新课标Ⅰ文）已知函数3()1f x ax x =++的图象在点(1，f （1）)处的切线过点(2,7)，则a = 1 ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解：函数3()1f x ax x =++的导数为：2()31f x ax '=+，f '（1）31a =+，而f （1）2a =+， 切线方程为：2(31)(1)y a a x --=+-，因为切线方程经过(2,7)， 所以72(31)(21)a a --=+-， 解得1a =． 故答案为：1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．7．（2015•新课标Ⅱ文）已知曲线y x lnx =+在点(1,1)处的切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，则a =8 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出y x lnx =+的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△0=得到a 的值． 【解答】解：y x lnx =+的导数为11y x'=+， 曲线y x lnx =+在1x =处的切线斜率为2k =，则曲线y x lnx =+在1x =处的切线方程为122y x -=-，即21y x =-． 由于切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切， 故2(2)1y ax a x =+++可联立21y x =-， 得220ax ax ++=，又0a ≠，两线相切有一切点， 所以有△280a a =-=， 解得8a =． 故答案为：8．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键． 8．（2015•陕西文）函数x y xe =在其极值点处的切线方程为 1y e=- ．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程． 【解答】解：依题解：依题意得x x y e xe '=+， 令0y '=，可得1x =-， 1y e∴=-．因此函数x y xe =在其极值点处的切线方程为1y e =-．故答案为：1y e=-．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．9．（2015•陕西理）设曲线x y e =在点(0,1)处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 的切线垂直，则P 的坐标为(1,1) ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用x y e =在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标． 【解答】解：()x f x e '=，0(0)1f e '∴==．x y e =在(0,1)处的切线与1(0)y x x=>上点P 的切线垂直∴点P 处的切线斜率为1-．又21y x '=-，设点0(P x ，0)y 2011x ∴-=-， 01x ∴=±，0x >，01x ∴=01y ∴=∴点(1,1)P故答案为：(1,1)【点评】本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．10．（2016•新课标Ⅱ理）若直线y kx b =+是曲线2y lnx =+的切线，也是曲线(1)y ln x =+的切线，则b = 12ln - ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可 【解答】解：设y kx b =+与2y lnx =+和(1)y ln x =+的切点分别为1(x ，1)kx b +、2(x ，2)kx b +； 由导数的几何意义可得12111k x x ==+，得121x x =+ 再由切点也在各自的曲线上，可得11222(1)kx b lnx kx b ln x +=+⎧⎨+=+⎩联立上述式子解得1221212k x x ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩；从而112kx b lnx +=+得出12b ln =-．【点评】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题11．（2016•新课标Ⅲ文）已知()f x 为偶函数，当0x …时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是 2y x = ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由已知函数的奇偶性结合0x …时的解析式求出0x >时的解析式，求出导函数，得到f '（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：已知()f x 为偶函数，当0x …时，1()x f x e x --=-，设0x >，则0x -<，1()()x f x f x e x -∴=-=+，则1()1x f x e -'=+，f '（1）012e =+=．∴曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是22(1)y x -=-．即2y x =．故答案为：2y x =．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题．12．（2016•新课标Ⅲ理）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()3f x ln x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是 210x y ++= ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由偶函数的定义，可得()()f x f x -=，即有0x >时，()3f x lnx x =-，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：()f x 为偶函数，可得()()f x f x -=，当0x <时，()()3f x ln x x =-+，即有0x >时，()3f x lnx x =-，1()3f x x'=-， 可得f （1）133ln =-=-，f '（1）132=-=-，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程为(3)2(1)y x --=--，即为210x y ++=．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．13．（2017•新课标Ⅰ文）曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为 10x y -+= ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．【解答】解：曲线21y x x =+，可得212y x x'=-， 切线的斜率为：211k =-=．切线方程为：21y x -=-，即：10x y -+=．故答案为：10x y -+=．【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．14．（2017•天津文）已知a R ∈，设函数()f x ax lnx =-的图象在点(1，f （1）)处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l 在y 轴上的截距．【解答】解：函数()f x ax lnx =-，可得1()f x a x'=-，切线的斜率为：k f ='（1）1a =-， 切点坐标(1,)a ，切线方程l 为：(1)(1)y a a x -=--，l 在y 轴上的截距为：(1)(1)1a a +--=．故答案为：1．【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．15．（2018•新课标Ⅱ文12）曲线2y lnx =在点(1,0)处的切线方程为 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在1x =的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：2y lnx =，2y x ∴'=， 当1x =时，2y '=∴曲线2y lnx =在点(1,0)处的切线方程为22y x =-．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．16．（2018•新课标Ⅱ理13）曲线2(1)y ln x =+在点(0,0)处的切线方程为 2y x = ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在0x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：2(1)y ln x =+，21y x ∴'=+， 当0x =时，2y '=，∴曲线2(1)y ln x =+在点(0,0)处的切线方程为2y x =．故答案为：2y x =．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．17．（2018•新课标Ⅲ理14）曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a = ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．【解答】解：曲线(1)x y ax e =+，可得(1)x x y ae ax e '=++，曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，可得：12a +=-，解得3a =-．故答案为：3-．【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力．18．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用导数求平行于0x y +=的直线与曲线4(0)y x x x=+>的切点，再由点到直线的距离公式求点P 到直线0x y +=的距离的最小值．【解答】解：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0(x ，004)x x +， 由20411x -=-，解得000)x x =>． ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4=． 故答案为：4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．19．（2019江苏11）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y lnx =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e -，1)(e -为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设0(A x ，0)lnx ，利用导数求得曲线在A 处的切线方程，代入已知点的坐标求解0x 即可．【解答】解：设0(A x ，0)lnx ，由y lnx =，得1y x '=， ∴001|x x y x ='=，则该曲线在点A 处的切线方程为0001()y lnx x x x -=-， 切线经过点(,1)e --，∴0011e lnx x --=--， 即00e lnx x =，则0x e =． A ∴点坐标为(,1)e ．故答案为：(,1)e ．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．20．（2019•新课标Ⅰ文理）曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】对23()x y x x e =+求导，可将0x =代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．【解答】解：23()x y x x e =+，23(31)x y e x x '∴=++，∴当0x =时，3y '=，23()x y x x e ∴=+在点(0,0)处的切线斜率3k =，∴切线方程为：3y x =．故答案为：3y x =．【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础题．21．（2019•天津文11）曲线cos 2x y x =-在点(0,1)处的切线方程为 ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将0x =代入导数方程得出在点(0,1)处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．【解答】解：由题意，可知：1sin 2y x '=--， 011|sin 022x y ='=--=-． 曲线cos 2x y x =-在点(0,1)处的切线方程：112y x -=-， 整理，得：220x y +-=．故答案为：220x y +-=．【点评】本题主要考查函数求导以及某点处导数的几何意义就是切线斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．本题属基础题．。
(浙江专版)2019年高考数学一轮复习 专题3.1 导数概念及其几何意义(测)
第01节导数概念及其几何意义班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 【2018年新课标I卷】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.2．【2018届山西省榆社中学模拟】若曲线的一条切线经过点，则此切线的斜率为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C3【2018届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷（二）】已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求导，利用函数f （x ）在x=1处的倾斜角为 得f′（1）=﹣1，由此可求a 的值.详解: 函数（x ＞0）的导数，∵函数f （x ）在x=1处的倾斜角为∴f′（1）=﹣1，∴1+=﹣1，∴a=﹣1． 故选：D ． 4．设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a 等于( )A. 2B. -2C.D. - 【答案】B【解析】函数的导函数为y′＝，所以函数在(3,2)处的切线斜率为k ＝－，直线ax＋y ＋3＝0的斜率为－a ，所以－a·(－)＝－1，解得a ＝－2，选B ． 5.【2018届相阳教育“黉门云”等值模拟】设函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ）A. 0B.C. 1D. 2 【答案】A 【解析】将代入直线方程得,故切点为,直线斜率为,,.故选A.6. 已知曲线2212-=x y上一点，3(1,)2P -，则过点P 的切线的倾斜角为（ ）A.30°B.45°C.135°D.165° 【答案】B【解析】()''y f x x ==，所以()'11f =.由导数的几何意义可得在点P 处切线的斜率为1，设此切线的倾斜角为θ，即tan 1θ=，因为0180θ≤< ，所以45θ= .故B 正确. 7. 【2018届湖南省株洲市检测（二）】设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象一部分可以是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：求出函数的导数，得到切线的斜率的函数的解析式，然后判断函数的图象即可． 详解：由可得：即，函数是奇函数，排除选项B ，D ； 当 时，，排除选项C ．故选：A ．8.【2018届云南省曲靖市第一中学4月监测卷（七）】若抛物线在处的切线的倾斜角为，则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而利用二倍角公式和同角三角函数基本关系式进行求解． 详解：因为，所以， 则该切线的斜率，则.故选A ．9.【2018届四川省绵阳市三诊】 若曲线ln 1y x =+的一条切线是y ax b =+，则4b a e +的最小值是（ ）A. 2B. 【答案】C10.若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为（ ）A 【答案】C 【解析】 试题分析：根据题意，函数与函数在()0+∞，上有公共点，令2xax e =得：由()0f x '= 得：2x =当02x << 时，()0f x '<，函数在区间()0,2 上是减函数，当2x > 时，()0f x '>，函数在区间()2,+∞ 上是增函数，所以当2x =时，函数在()0+∞，上有最小值，故选C.二、填空题：本大题共7小题，共36分． 11.【2018年全国卷II 】曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 详解：点睛：求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 12．【2018届天津市部分区质量调查（二）】曲线的切线方程为，则实数的值为_______. 【答案】2 【解析】分析：根据题意，设直线与曲线的切点坐标为利用导数求出切线的方程，与比较分析可得且，解可得，即可得切点的坐标，将切点坐标代入曲线方程，分析可得答案． 详解：根据题意，设曲线与的切点的坐标为其导数，则切线的斜率，又由切线方程为，即则则切线的方程为又由，则切线方程为，即则有，解可得，则切点的坐标为 ，则有， ；故答案为2．13.已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为___________． 【答案】2【解析】试题分析：根据题意1'1y x a==+，求得1x a =-，从而求得切点为(1,0)a -，该点在切线上，从而求得011a =-+，即2a =.14．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线4y x =-的最小距离为_______.【答案】15.【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________． 【答案】21y x =--【解析】当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．16.【2018届重庆市綦江区5月预测】曲线在点处的切线的倾斜角为，则_____【答案】5【解析】分析：对函数求导，可得切线斜率即,利用同角三角函数之间的关系可得结果. 详解：因为，所以 ,,即,所以，故答案为.17．【2018届福建省漳州市5月测试】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为______________.【答案】【解析】分析：先利用函数的奇偶性求出函数在区间的解析式，求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而写出切线方程． 详解：设，则，所以，因为函数为奇函数，所以，则， 又，则切线方程为，即． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．求函数y =1x =处的导数. 【答案】12-【解析】y∆=-=x 0x 0x 1y x y 1limlim[.x 21y |.2∆→∆→==∆=∆∆==-∆∴'=-19.已知函数2()f x x ax =-的图像在点A(l,f(1))处的切线l 与直线x 十3y ＋2＝0垂直，若数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，求2014S 的值. 【答案】201420142015S=20.已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围.【答案】(1)3x ＋3y －11＝0.(2) ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π【解析】(1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， ∴当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，∴斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.故α的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 21．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 【答案】(1)f (x )＝x －3x.(2)证明见解析，定值为6.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.22.（Ⅰ）求函数)(x f 在点)4,2(P 处的切线方程；（Ⅱ）求过点)4,2(P 的函数)(x f 的切线方程.【答案】（Ⅰ）044=--y x （Ⅱ）02=+-y x 或044=--y x试题解析：（Ⅰ）∵2')(x x f =∴在点)4,2(P 处的切线的斜率4)2('==f k∴函数)(x f 在点)4,2(P 处的切线方程为),2(44-=-x y 即044=--y x（Ⅱ）设函数)(x f 与过点)4,2(P 的切线相切于则切线的斜率200')(x x f k ==∵点)4,2(P 在切线上即0432030=+-x x ∴0)2)(1(200=-+x x ，解得10-=x 或20=x ∴所求的切线方程为02=+-y x 或044=--y x .。
(浙江专版)2019年高考数学一轮复习 专题3.1 导数概念及其几何意义(讲)
-—--近似与精确、有限与无限—-无限逼近的极限思想
1.由 可以知道,函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量,向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵.
2。可以利用导数求曲线的切线方程,由于函数 在 处的导数表示曲线在点 处切线的斜率，因此，曲线 在点 处的切线方程，可按如下方式求得：
第一，求出函数 在 处的导数,即曲线 在点 处切线的斜率；
第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程 ;如果曲线 在点 处的切线平行于y轴（此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为 。
2。曲线的切线定义,充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合（切点）" “割线→切线”。
(1)在求曲线的切线方程时,注意两个“说法"：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线,一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．
详解:根据题意可得， ，
令 ，解得 ，
则 ,所以 的值为2.
【2-4】已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则 ．
【答案】
【解析】
由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知 ，有点 必在切线上，代入切线方程 ，可得 ,所以有 ．
【2-5】【2017届北京西城八中高三上期中】某堆雪在融化过程中，其体积 (单位： ）与融化时间（单位：）近似满足函数关系： （
为函数y＝f(x）在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′｜x＝x0,即 .
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专题3.1 导数概念及其几何意义一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．已知函数f(x)的导函数为f′（x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于( ) A．－e B．－1C．1 D．e【答案】B【解析】2．【2017洛阳二练】曲线f(x)＝x2＋ax＋1在点(1，f(1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a＝( )A．1 B．－1 C．7 D．－7 【答案】C【解析】f′（x)＝2x x＋－x2＋ax＋2＝x2＋2x－ax＋2，又∵f′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a＝7.3．[2017·河北质检]已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值是( ) A．e B．－eC.1eD．－1e【答案】C 【解析】依题意，设直线y＝kx与曲线y＝ln x切于点(x0，kx0)，则有kx0＝ln x0，k＝1x0，由此得lnx0＝1，x0＝e，k＝1e，选C.4．【2017海南文昌模拟】曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1【答案】A 【解析】依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e＋2＝3，故曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1，故选A.5.【2017上饶模拟】若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为( ) A ．1 B.2 C.22D. 3【答案】B 【解析】6.若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】依题意得，f ′（x )＝－a sin x ，g ′（x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×０＋b ，则b ＝0，又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.7. 已知曲线2212xy上一点，3(1,)2P ，则过点P 的切线的倾斜角为（）A.30°B.45°C.135° D.165°【答案】B 【解析】''y f x x ，所以'11f .由导数的几何意义可得在点P 处切线的斜率为1，设此切线的倾斜角为，即tan1，因为0180，所以45.故B 正确.8.【2017杭州质测】曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，3)和(－1，3)D.(1，－3)【答案】C【解析】f′（x)＝3x2－1，令f′（x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选 C.9.【2017石家庄调研】已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )A.eB.－eC.1eD.－1e【答案】C【解析】10.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4【答案】B【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，∴f′(3)＝－13，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′（x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×－13＝0.11. 在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（）A．（0，0） B．（2，4） C．（，） D．（，）【答案】D【解析】根据切线的倾斜角的大小，求出其切点的坐标，故先设切点的坐标，利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解：y'=2x ，设切点为（a ，a 2）∴y'=2a ，得切线的斜率为2a ，所以2a=tan45°=1，∴a=，在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（，）．故选D ．12.若曲线21:C yax (0)a与曲线2:xC ye 存在公共切线，则a 的取值范围为（）A ．2,8eB ．20,8eC ．2,4eD ．20,4e【答案】C 【解析】当02x 时，0f x ，函数2x ef xx在区间0,2上是减函数，当2x时，0f x ，函数2x e f xx在区间2,上是增函数，所以当2x 时，函数2x ef xx在0+，上有最小值224ef 所以24ea，故选 C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2017广东惠州二调】已知直线1yx 与曲线ln y x a 相切，则a 的值为___________．【答案】2 【解析】试题分析：根据题意1'1y xa，求得1x a ，从而求得切点为(1,0)a ，该点在切线上，从而求得011a ，即2a.14．【2017湖北襄阳期中】若点P 是曲线2ln y xx 上任意一点，则点P 到直线4yx 的最小距离为_______. 【答案】2215.【2016高考新课标3理数】已知f x 为偶函数，当0x 时，()ln()3f x x x ，则曲线y f x 在点(1,3)处的切线方程是_______________．【答案】21yx 【解析】当0x时，0x，则()ln 3f x x x ．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x 所以1()3f x x，则切线斜率为(1)2f ，所以切线方程为32(1)y x ，即21y x ．16.若曲线2f xx 在点2,(0)a a a 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3，则32log a．【答案】2 【解析】求导得32)(x x f ，所以在点),(2a a 处的切线方程为)(232a xa ay .令0x得，;32a y 令0y得，.23a x，所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积3233212aa，43a（舍去负值），2log23a .三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数2()f x x ax的图像在点A(l,f(1))处的切线l与直线x十3y＋2＝0垂直，若数列1{}()f n的前n项和为nS，求2014S的值.【答案】20142014 2015S18.【2017长沙调研】已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围.【答案】(1)3x＋3y－11＝0.(2) 0，π2∪3π4，π【解析】(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，∴当x＝2时，y′＝－1，y＝5 3，∴斜率最小的切线过点2，53，斜率k＝－1，∴切线方程为3x＋3y－11＝0.(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈0，π2∪3π4，π.故α的取值范围为0，π2∪3π4，π.19．【2017云南大理月考】设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【答案】(1)f(x)＝x－3 x.(2)证明见解析，定值为 6.【解析】(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3.当x＝2时，y＝12.又f′（x)＝a＋bx2，于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上的任一点，由y′＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－x0－3x0＝1＋3x20(x－x0)．20. 如图，从点P1(0，0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0，1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n，记P k点的坐标为(x k，0)(k＝1，2，…，n).(1)试求x k与x k－1的关系(k＝2，…，n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.【答案】(1)x k＝x k－1－1(k＝2，…，n).(2)e－e1－n e－1.【解析】(1)设点P k－1的坐标是(x k－1，0)，∵y＝e x，∴y′＝e x，∴Q k－1(x k－1，e x k－1)，在点Q k－1(x k－1，e x k－1)处的切线方程是y－e x k－1＝e x k－1(x－x k－1)，令y ＝0，则x k＝x k－1－1(k＝2，…，n).。