2023年河北省高考数学二轮复习专题 专题6 导数解答题30题专项提分计划(含答案)

2023届河北省新高考数学复习 专题6 导数解答题30题专项提分计划1．（2022·河北·模拟预测）已知函数()()2e 2xm f x x m =+∈R ． (1)若存在0x >，使得()0f x <成立，求m 的取值范围；(2)若函数()()2e e x F x xf x =+-有三个不同的零点，求m 的取值范围．2．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知函数f x x ax bx =-++．(1)当0,1a b ==时，证明：当()1,x ∈+∞时，()ln f x x <；(2)若2b a =，函数()f x 在区间()1,2上存在极大值，求a 的取值范围．3．（2022·河北沧州·统考二模）已知函数(),R f x a x=∈. (1)求()f x 的单调区间；(2)证明：()e xxf x a -+>-.0a 、a<0讨论可得)()11f =得1x ，不等式1x--，利用的单调性可得答案，定义域为()1,f x x '=0a 时，)f x '单调递增；a<0时，)0,a --时，()0,f x 单调递减；)+∞时，f 综上，当0a 时，f 时，()f x 的单调递减区间为）知，当a =-)()11f =，1x +， ln x x a x-=，所以不等式等价于ln x e 1x-+-，则在0x >时恒成立，0时，(g x 1x ，所以1e x x x x ---+故ln e 0x x x -+>，即()e xxf x a -+>-.【点睛】本题关键点是讨论导数的正负判断函数的单调性，以及转化求出函数的最值证明不等式，考查了学生分析问题、解决问题能力.4．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）设函数()()3ln 1f x x x =++(1)求曲线()y f x =在()0,0处的切线方程； (2)证明：当n *∈N 且2n 时，()3121ln 1827n n n-+>++⋅⋅⋅+. 20x ，再换元，令）显然，(x ∈-()(00f '-=(3ln x x ++13x 0x 时，0g x，(g x ()()00g x g =，即当0x 时，()32ln 10x x x ++-1x n =，得21ln 10⎛> ⎝ ()31ln 1ln n n -+->由此可得，ln 20-= 1ln 2>-2n ，其中,a b ∈(1)若1a =，曲线()y f x =在2x =处的切线与直线210x y ++=平行，求()f x 的极值； (2)当1,1b a =≤-时，证明：2()e x f x x-≥. 1b ，进而得a +，由于函数1b ，111xx x--=的变化情况如下表，(2)解：当1,1b a =≤-，()ln f x x x a =++， 因为222()e ee ln ln e ex x x x f x x x x x a x a x --≥⇔≥++⇔≥+，所以只需证明2e ln e exx x x a ≥+成立即可.令e ,0x y x x >=，则()'1e 0,0xy x x =+>>，所以，函数e ,0x y x x >=在()0,∞+上单调递增，即e 0x y x =>. 令e ,0xx t t =>，则22e ln e ln e ex x x tx a t a ≥+⇔≥+，令()2ln ,0e t t g t a t -->=，则()2'2211e e et t t t g --==， 所以，当()20,e t ∈时，()'0g t <，()g t 单调递减，当()2e ,t ∈+∞时，()'0g t >，()g t 单调递增，所以，()()22e 1ln e1a a g g t ≥=--=--，因为1a ≤-，所以10a --≥，即()0g t ≥， 所以2ln e tt a ≥+成立， 所以2()e xf x x-≥成立，证毕. 6．（2022·河北保定·统考二模）已知函数()1e ln ln ln xf x x x a a -=--+.(1)若1a =，证明：()1f x ≥.(2)当[)1,x ∞∈+时，()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围.7．（2022·河北秦皇岛·统考二模）已知函数()2si cos n 2f x x x a x x =-++． (1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围．0,1，cos00=，处的切线的斜率为(0)k f '=0,1处的切线的斜率切线方程为10+=.8．（2022·河北·模拟预测）已知函数()1e xf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围.0（2）()e e x x ax af x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e xh x a '=-.①若a<0，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=， 解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意. ②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.9．（2022·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知函数()e ln =-xx f x a a．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若对任意的,()0x ∈+∞，总有()0f x ≥成立，试求正数a 的最小值．10．（2022·河北·模拟预测）已知函数()e x f x ax =-，R a ∈． (1)求()f x 的极值；(2)令()()sin 1F x f x ax x bx =++--，当12b <时，讨论()F x 零点的个数．【答案】(1)当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值()1ln a a -，无极大值 (2)2个零点【分析】(1)根据题意，求出函数的导函数，对导函数的正负进行分类讨论即可求解； (2)先对函数()F x 求导，令()()g x F x '=，对x 的取值范围分类讨论，利用导数的正负求出()F x 的单调性，由零点存在性定力判断零点个数即可.【详解】（1）()f x 的定义域为R ，且()e x f x a '=-．①当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 在R 上单调递增，无极值， ②当0a >时，令0fx，得ln x a >；令()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 在(),ln a ∞-上单调递减；在()ln ,a ∞+上单调递增；()f x 在ln x a =处取极小值()()ln 1ln f a a a =-，无极大值．综上所知，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值()1ln a a -，无极大值．（2）因为()()e sin 1xF x x bx x R =+--∈，所以()e cos x F x x b =+-'， 令()()e cos x g x F x x b '==+-，则()e sin xg x x '=-．①当x π≤-时，由12b ≤<，得bx b ππ-≥≥，所以()e sin 1110xF x x ππ≥++->-->故()F x 在(],∞π--上无零点．②当[)0,x ∈+∞时，()e sin 1sin 0xg x x x ≥-'=-≥，()F x '在[)0,∞+上单调递增；()()020F x F b ≥=-'>'，()F x 在[)0,∞+上单调递增，()()00F x F ≥=，()F x ∴在[)0,∞+上有唯一零点0x =，③当(),0x π∈-时，()sin 0,e sin 0xx g x x <=->'，()F x '∴在(),0π-上单调递增，()()020,e 10F b F b ππ-=->-=--'<'，∴存在(),0t π∈-，使()0F t '=，当(),x t π∈-时，()F x 单调递减； 当(),0x t ∈时，()F x 单调递增；又()()()e 10,00F b F t F πππ--=+-><=；()F x ∴在(),t π-上有唯一零点，在(),0t 上无零点，即()F x 在(),0π-上有1个零点． 综上，当12b ≤<时，函数()F x 有2个零点．11．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知函数()()[]πsin ,0,πf x x x x =-∈ (1)求()f x 在()0,0处的切线方程；(2)若()f x a =在定义域上有两解12,x x ，求证： ①2a <；②12ππa x x a -≤--.12．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知函数1ef x ax=+．f x+>；(1)当1a=时，求证：()10f x≤恒成立，求a的取值范围．(2)当a<0时，不等式()1【答案】(1)证明见解析(2){}1-0fx，∴f )211e 2=->-，即）由已知得()(1f x a '=++0f x，解得1,1a ⎫-∞--⎪⎭上单调递增，(1e a -⎛⎫=-13．（2022·河北邯郸·统考二模）已知函数()ln ex x f x a x =-，0a ≠．(1)若1ea =，分析f （x ）的单调性；(2)若f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围．14．（2022·河北唐山·统考三模）已知函数2()ln f x ax x x =--． (1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ． ①求实数a 的取值范围；②证明：()()12122ln +>-+f x x x x ．15．（2022·河北·统考模拟预测）已知()(2)e f x x ax =--为R 上的增函数.(1)求a ；(2)证明：若122x x +>，则()()121f x f x +>-.16．（2022·河北唐山·统考二模）已知函数()3f x x =+，()sin g x b x =，曲线()y f x =和()y g x =在原点处有相同的切线l ．(1)求b 的值以及l 的方程；(2)判断函数()()()h x f x g x =-在()0,∞+上零点的个数，并说明理由．【点睛】本题考查导数几何意义、函数的零点、用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，知识考查较为综合，对学生是一个挑战，属于难题.17．（2022·河北·校联考模拟预测）已知函数()()1eln f x ax =-，()()0ag x a x=>． (1)求函数()()()F x f x g x =-在()0,∞+上的极值；(2)当1a =时，若直线l 既是曲线()y f x =又是曲线()y g x =的切线，试判断l 的条数． )()0,+∞的根的个数，令的根的个数.)1eln x =-变化时，(F x 所以当e a x =时，()F x 取得极大值，12e ln e F a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极小值. （2）()1eln f x x =-，()e f x x '=-，()1g x x =，()21g x x '=-所以曲线()y f x =在点(),1eln t t -处的切线方程为，即()()e1eln y t x t t--=--，即eeln e 1y x t t=--++.同理可得曲线在点1,b b ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为()211y x b b b -=--，即212y x b b =-+.若曲线()y f x =与曲线()y g x =有公切线，则()2e 1,(i)2e ln e 1,ii t b t b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，由（i ）得2e t b =，代入（ii ）得22eln 10b b+-=，所以问题转化为判断关于b 的方程22eln 10b b+-=在()(),00,∞-+∞的根的个数.因0b ≠，当0b >时，令()()22eln 10h x x x x =+->，即()222e 22e 2x h x x x x -'=-=， 令()0h x '=，得1e x =.所以当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增；所以()max 110e h x h ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭.因为()()2214e 2e 12e e 210,110e h h ⎛⎫=-+-=-->=> ⎪⎝⎭，所以()21110,10e e e h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<⋅< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()()22eln 10h x x x x =+->在()0,∞+上有两个零点，即22eln 10b b+-=在()0,∞+上有两个不相等的正实数根； 当0b <时，令()()22eln 1k x x x =-+-，则()22e 2k x x x'=-，显然(),0x ∈-∞时，()0k x '<，则()k x 在(),0∞-上单调递减， 因为()()2e 2e 10,130ek k -=-->-=-<，所以()()22eln 1k x x x =-+-在(),0∞-上有唯一一个零点，即方程()22eln 10b b-+-=在(),0∞-上有唯一一个负实数根.所以曲线()y f x =与曲线()y g x =的公切线l 有3条.【点睛】本题考查利用导数研究含参数的极值，导数的几何意义，利用导数研究函数的零点个数等，考查运算求解能力，分类讨论思想，是难题.本题第二问解题的关键在于分别求出曲线()(),f x g x 在某点处的切线方程，进而根据公切线将问题转化为求解函数2()2eln 1(0)h x x x x=+->的零点个数，再利用导数研究函数的零点即可.18．（2022·河北沧州·统考模拟预测）已知函数()1ln 1xf x x x-=+. (1)求()f x 的单调区间；(2)当()()()1212f x f x x x =≠时，证明：122x x +>.0fx；当x ∈f x 的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由（1）知：若)x ≠，则0x <要证x x +101x <<又()f x 在()1f x =19．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知函数． (1)证明：当()0,x π∈时，()0f x >；(2)记函数()()g x f x x =-，判断()g x 在区间()2,2ππ-上零点的个数． ，f x 在(1-，()sin g π=①当x ⎛∈ ⎝()h x ∴在上单调递减，00h xh ，又cos x -即()g x 在sin cos x x x +，()2cos g x '''=上单调递减，又102g π⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，(g π''()0g x '>()'∴g x 在当2x π⎛∈ ⎝()g x ∴在()1g x g >③当(x ∈()g x ∴<综上所述：()g x -=()g x ∴在()g x ∴在【点睛】思路点睛；导函数的形式，区间内的单调性，结合零点存在定理确定零点个数.20．（2022·河北邯郸·统考一模）已知函数()()22e 1ln 22x f x a x a x =+--+.(1)讨论()f x 的单调性； (2)若()0f x ≥，求a 的取值范围.21．（2022·河北石家庄·统考模拟预测）已知函数()()()()2e 1x f x x a x a =-+-∈R ． (1)若12a =-，求()f x 的极值；(2)当a<0时，证明：()f x 不存在两个零点．0fx，(f x 0<，()f x 在时取极大值()0f =-0fx，(f x 0，结合上述单调性可知，0fx，(f x()f x 的极大值为()()()()()(){}22ln 2ln 222ln 21ln 2210f a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=--⋅-+--=--⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎦<⎣， 结合上述单调性可知，()f x 不存在两个零点． 所以当a<0时，()f x 不存在两个零点．22．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知函数()ln ,11ln ,01xx x af x x x x a⎧-≥⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩，其中1a >(1)求()f x 的单调区间(2)求方程()()1e ln xf f x a -=+的零点个数.0f x,[)1,+∞0,()0,1是单调23．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知函数()()3e 3xf x x a x x =--，0a >.(1)讨论函数()f x 极值点的个数；(2)设0m >，若1a =且()))e 2ln 1xf m fx x ≥--对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围.0fx ；f x 在上单调递增，f x 有且仅有一个极值点②当(ln3g (11,ln3x ∴∃∈)()12,x x 时，)()2,x +∞时，0fx；f x 在)1，(1,x x ()2,x +∞上单调递增， f x 有、1x x =和综上所述：当2e 3a <≤时，有且仅有一个极值点；当2e 3a >(2)ln ex =令12t x =-令()2h t =∴当ln t ⎡∈⎢()()()()3e ln3,ln 203ex x a x f x a g x f x a x +=+-=++≠+.(1)当1a =时，求()g x 的单调性； (2)若()f x 恒大于0，求a 的取值范围.25．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数()()ln 0f x a x x x x=++>. (1)若()f x 有唯一零点，设满足条件的a 值为1a 与2a ()12a a ≠证明：①1a 与2a ()12a a ≠互为相反数；②15843a >>； (2)设()()g x xf x =.若()g x 存在两个不同的极值点1x 、2x ，证明12x x a +>-. 参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1≈ 0fx，上为增函数，)()1,+∞有且只有两个零点，且它们互为倒数，0001x x x ++)()1,+∞有且只有两个零点26．（2022·河北秦皇岛·统考三模）已知定义在[)0,∞+上的函数()e sin ,e 6xf x m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为自然对数的底数．(1)当1m =时，证明：()32f x ≥； (2)若()f x 在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数m 的取值范围；(3)在（1）的条件下，若()2cos 16f x x tx π⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭'恒成立，求实数t 的取值范围．27．（2022·河北张家口·统考三模）已知函数()()()2ln 222g x a x a x x a =--+∈R 在1x =处取得极值.(1)求a 的值及函数()g x 的极值；(2)设()()f x g x t =-有三个不同的零点1x ，2x ，3x ()123x x x <<，证明：314x x <+.由()1知()()()3226g x g x g x =<-，且()g x 在()3,+∞上单调递增， ∴236x x ->②，∴结合①②得1362x x +>+，所以314x x <+.【点睛】该试题主要考查函数的导数与单调性､函数的导数与不等式等，主要考查了学生的运算思想､转化思想､构造思想和抽象推理，其中构造出()()()2H x g x g x =--()0,1x ∈和函数()()()6h x g x g x =--()1,3x ∈是解题的关键，属于难题. 28．（2022·河北·统考模拟预测）已知函数(1)ln (),()|ln |1x xf xg x x x -==+.(1)若()()(1,1)f m g n m n =>>，证明：m n >；(2)设函数()(1)ln (1)F x x x a x =--+，若()0F x =有两个不同的实数根12,x x ，且12x x <，证明：221e ax x >⋅.又2222(1)ln ()ln e ln e =(e )1a a a x x f x a g x -====+，即22()=(e )(1,e 1)a a f x g x >>，由(1)可得2e a x >⋅⋅⋅①，又由1()f x a =得1111111111(1)ln (1)ln 1()()ln e ln e =(e )111a a a x x x x f f x a g x x x --======++，即1111()=(e )(1,e 1)a a f g x x >>，由(1)可得11e a x >⋅⋅⋅②，①②相乘可得221e a x x >，即221e a x x >⋅. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 29．（2022·河北衡水·统考二模）已知函数()()f x a x=∈R . (1)当1a =时，求函数()f x 的极值；(2)若曲线()y f x x =-有1x ，()212x x x <两个零点. （i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：存在一组m ，n （0n m >>），使得()f x 的定义域和值域均为[],m n . 【答案】(1)极大值为1，无极小值 (2)（i ）ln 2122a >+；（ii ）证明见解析【分析】（1）求出导函数，求出的根，列表确定的正负，()f x 的单调性与极值；（2）（i ）转化为2ln 0x x a -+=有两解，设()2ln g x x x a =-+，利用导数确定()g x 的单调性与极值，最大值大于0，确定有小于0的函数值（需引入新函数，再利用导数确定单调性得f x 的极大值为11f =，无极小值；(2)（i ）解：由题意可知，ln 0x ax x+-=有两解，即2ln 0x x a -+=有两解，设()2ln g x x x a =-+，则，令，解得x =（，列表可知，()max ln 2122g x g a ==--+⎝⎭， 因为()g x 有两个零点，所以()max 0g x >，解得ln 2122a >+， 当0e a x -<<时，有ln 0x a +<，可得()ln 0g x x a <+<，令()21ln 2x x x ϕ=-，有，01x <<时，()0x ϕ'>．1x >时，()0x ϕ'<，可得函数()x ϕ的减区间为()1,+∞，增区间为()0,1，有()()1102x ϕϕ=-<≤，可得21ln 02x x -<，当x >时，()2221111ln 202222g x x x a x a x a a ⎛⎫⎛⎫=-+-<-<-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以存在1x <，2x >，使得()()120g x g x ==，所以ln 2122a >+； （ii ）证明：因为()21ln a xf x x--'=，令，解得1e a x -=， 列表可知，()f x 在()10,e a -上单调递增，在()1e ,a -+∞上单调递减，①若1e a m n -<≤，则()f x 在[,]m n 上单调递增，因此()f m m =，()f n n =，由上可知取1mx ，2n x =，此时()()1222e 1e 0a a g g x --=-≤=，ln 21122a +<≤，所以当ln 21122a +<≤时，存在一组m ，n 符合题意；②若1e a m n -≤<，则()f x 在[],m n 上单调递减，所以()ln m af m n m+==，()ln n af n m n+==， 所以ln ln m a n a mn +=+=，即m n =，不符题意；③若1e a m n -<<， ()f x 在)1,e a m -⎡⎣上单调递增，在()1e ,a -+∞上单调递减， 所以()()11max 1e eaaf x f n --===，由111e ea a-->得1a >，又因为()()11e 21e a af n a m --=->>，所以()()min f x f m m ==，即1mx ，11ean -=，所以当1a >时，存在一组m ，n 符合题意；综上，存在一组m ，n 符合题意.【点睛】本题考查用导数求函数的极值，研究方程的根与函数零点分布，研究函数的值域．难点有两个：第一个是由零点个数确定参数范围时，零点的存在性一般与零点存在定理结合，因此需要在某个区间的两个端点处函数值符号相反才能得出，本题中需要引入新函数，由函数的性质得出，第二个是确定函数值域问题，需对参数进行分类，一定要注意分类标准的确定，需要有统一标准，本题是按区间[,]m n 与函数的最大值点的关系分类，然后求出对应参数a 的取值范围，它们正好相适应，从而得出结论．本题对学生的逻辑能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力要求较高，属于困难题．30．（2022·河北·石家庄二中校联考模拟预测）已知函数()()e ln 0mx f x x x x m =+-≥.(1)当m ＝1时，求f （x ）在[1，e]上的值域；(2)设函数f （x ）的导函数为()'f x ，讨论()'f x 零点的个数.所以()'e ln e ln 0mx x f x m x x =-≥->，()'f x 没有零点.当01m <<时：令()()()'e ln 0mxg x f x m x x ==->，()()'23211e ,e 0mx mx g x m g x m x x'=-=+>'，所以()'g x 在()0,∞+上递增，由2e mx y m =与1y x=的图象可知，在区间()0,∞+上，存在唯一0x ，使0201e mx m x =①， 即()0'2001e 0mx g x m x =-=.所以()g x 在区间()()()'00,,0,x g x g x <递减；在区间()()()'0,,0,x g x g x +∞>递增， 所以当0x x =时，()f x 取得极小值也即是最小值()000e ln mxg x m x =-，由①得0201emx m x =，所以()0001ln g x x mx =-；。