有关圆的最值问题几种类型及方法
有关圆的最值问题几种类型及方法
有关圆的最值问题几种类型及方法圆形是初中数学中常见的图形，它有很多特殊的性质。
其中一项重要性质就是它具有最小和最大值。
在圆形的几何学中，有不同的最值问题类型，本文将介绍其中几种类型和解决方法。
问题类型1. 半周长最大问题描述：在一个固定的圆中，找到一个周长为定值的最大圆。
解决方法：利用相似三角形比值和性质，通过求出最大圆的半径得出周长最大的圆。
2. 面积最大问题描述：在一个固定的圆中，找到面积最大的圆。
解决方法：通过对已知条件进行约束，运用微积分的极值问题求解最大面积圆的面积。
3. 离心率最大问题描述：在一个固定的圆中，找到一点使得其到圆的距离与到圆心的距离之比最大。
解决方法：通过对于点到圆心的距离公式的推导，结合相关性质，使用数学分析方法解决问题。
4. 切线长度最短问题描述：如何从一个外圆割出一个内接圆的形状，且切线的长度最短。
解决方法：通过运用切线长度公式和勾股定理，推导出最短切线的长度公式，通过微积分求解最小值。
解决方法方法1：运用几何知识在解决这些最值问题时，通过几何知识、特殊性质、面积比和相似性质等直观的方法，可以解决一些简单的最值问题。
例如，第一类问题可以通过找到两个相似三角形的比值，解出最大圆的半径；第二类问题可以通过勾股定理求出直角三角形的面积比例。
方法2：微积分方法对于一些复杂的最值问题，采用微积分的方法计算可能更为简便。
通过设出方程，运用微积分的极值问题方法求出函数的最值点，并验证其确为最值点，就可以直接求解最大或最小值。
例如，第二类问题就是一个极大值问题，可以通过设定面积函数，求该函数的一阶和二阶导数，分析得出最大值点的位置和最大面积值。
方法3：从物理学的角度出发物理学的一些基本定理也可以用来解决圆的最值问题。
例如，第一类问题中，最大圆对应的角速度是圆心角的一半，这是由圆周运动的基本物理定律所得。
将圆周运动和相似三角形的比例性质联系起来，可以解出最大圆的半径。
圆是初中数学中比较基础的图形，但在解决圆的最值问题时，需要综合运用几何知识、微积分知识和物理学知识等多方面的知识。
(完整版)圆最值问题题型归纳
x圆中最值问题类型一 圆上一点到直线距离的最值问题例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 .变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S 的最小值为 .变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大．变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义）例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？类型三：转化成函数或不等式求最值例4已知圆O ：221x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值为例5已知圆C ：22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，（1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．6、已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q 为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部分）（Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分矩形ABCD 的面积；（Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切，试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆．l P E C M。
数学圆和(面积)的最值问题
数学圆和(面积)的最值问题数学圆的最值问题引言数学中，圆是一个重要的几何概念。
在研究圆的性质和应用时，我们经常会遇到关于圆的最值问题，即在一定的条件下，如何找到圆的面积或其他性质的最大值或最小值。
本文将探讨数学圆的最值问题，并介绍一些解决这类问题的方法和策略。
圆的面积最值问题在圆的最值问题中，我们常常涉及到最大面积和最小面积两种情况。
下面分别讨论这两种情况。
圆的最大面积当我们固定圆的半径时，要找到圆的最大面积，需要确定这个半径的取值范围。
根据数学知识，圆的面积公式为：A = πr²，其中π是一个常数，r代表半径。
当半径r取值为正数时，圆的面积是一个关于r的增函数。
因此，我们可以通过求导数的方法来找到最大面积。
具体步骤如下：1.对面积公式A = πr²求导，得到A' = 2πr。
2.令A' = 0，解方程得到r的临界点。
3.将临界点带入面积公式，找到最大面积。
圆的最小面积当我们固定圆的周长时，要找到圆的最小面积，也需要确定周长的取值范围。
根据数学知识，圆的周长公式为：C = 2πr。
由于周长是一个固定值，我们可以将周长公式改写为：r = C / (2π)，然后将该式代入圆的面积公式A = πr²中，得到面积的表达式只包含C一个变量。
通过对这个新的面积表达式进行求导和求临界点，可以找到圆的最小面积。
结论数学圆的最值问题是一个有趣且实用的数学问题。
通过应用求导等数学方法，我们可以找到圆的最大面积和最小面积。
在实际应用中，我们可以将这些方法应用于设计圆形物体的最优尺寸、优化圆形线路的长度等问题中，为实际生活带来便利和效益。
参考文献：数学圆的性质与应用，XXX，XX出版社，20XX年。
数学分析教程，XXX，XX出版社，20XX年。
以上是本文对数学圆的最值问题的讨论和总结，希望对读者有所帮助。
与圆有关的最值范围问题(九种题型) Word版含解析【KS5U 高考】
与圆有关的最值范围问题一．基础知识回顾1、圆上的点到定点的距离最值问题一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.2、圆上的点到直线的距离最值问题已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于3、切线长度最值问题1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.4、过圆内定点的弦长最值已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.C PC r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC N PC C lC l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M C N C l l PM lCPMC P P MN5、利用代数法的几何意义求最值（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题二．题型分类1.圆上动点到定点2.圆上两动点3.圆上动点到直线距离最值4.切线长最值5.圆内定点弦长最值6.面积最值7.代数式几何化最值—截距型 8.代数式几何化最值—斜率型 9.代数式几何化最值—距离型三．常用方法策略 1.数形结合 2.转化到圆心问题 3.三角换元 四．例题解析1.圆上动点到定点例1.若点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，O 为坐标原点，则OM 的取值范围是______．曲线2264120x y x y +--+=，即()()22321x y -+-=，表示圆心()3,2C ，半径1r =的圆，则223213OC =+因为点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，所以OC r OM OC r -≤≤+，131131OM ≤≤，即13131OM ⎡⎤∈⎣⎦； 故答案为：13131⎡⎤⎣⎦例2.在圆()()22232x y -++=上与点(0,5)-距离最大的点的坐标是______．()()22025382-+-+=>，∴点(0,5)-在圆外∴圆上与点(0,5)-距离最远的点，在圆心与点(0,5)-连线上，且与点(0,5)-分别在圆心两侧， 令直线解析式：y kx b =+，由于直线通过点(2,3)-和(0,5)-，可得直线解析式：5y x =-， 与圆的方程联立，可得()()22222x x -+-=，3x ∴=或1x =∴交点坐标为(3,2)-和(1,4)-，其中距离点(0,5)-较大的一个点为(3,2)-.2.圆上两动点例1.已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A ．32B ．52C ．522+D ．322+【答案】C【解析】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C 2又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --222(12))(13)5CD =+++=，∴AB 的最大值为22522CD =+ C.例2.设圆221:104250C x y x y +-++=与圆222:142250C x y x y +-++=，点A ，B 分别是1C ，2C 上的动点，M 为直线y x =上的动点，则||||MA MB +的最小值为( ) A ．3157- B ．3137- C ．524- D ．534- 【答案】B【解析】根据题意，圆221:104250C x y x y +-++=，即22(5)(2)4x y -++=，其圆1C 的圆心(5,2)-，2r =，圆222:142250C x y x y +-++=，即22(7)(1)25x y -++=， 其圆2C 的圆心(7,1)-，5R =，如图所示：对于直线y x =上的任一点M ，有1212||||||||||||7MA MB MC MC R r MC MC ++--=+-， 求||||MA MB +的最小值即求12||||7MC MC +-的最小值，即可看作直线y x =上一点到两定点1C 、2C 距离之和的最小值减去7， 由平面几何的知识易知当1C 关于直线y x =对称的点为(2,5)C -， 与M 、2C 共线时，12||||MC MC +的最小值，其最小值为2||313CC =， 故||||MA MB +的最小值为3137-；故选：B ．3.圆上动点到直线距离最值例1.点P 为圆22(1)2x y -+=上一动点，点P 到直线3yx的最短距离为（ ）A 2B ．1C 2D ．2【答案】C【解析】圆22(1)2x y -+=的圆心为(1,0)，半径2r =则圆心(2,0)到直线30x y -+=的距离为22103221(1)d -++-所以直线与圆相离， 则点P 到直线3yx的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径．所以点P 到直线20l x y -+=:的最短距离为2222=C ． 例2.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP△面积的取值范围为（ ）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．[]28,D ．[]4,6 【答案】A【解析】圆心()2,0到直线20x y ++=距离202222d ++==所以点P 到AB 距离即高h 的范围2,32⎡⎣，又可求得22AB = 所以ABP △面积12S AB h =⋅的取值范围为[]2,6.故选：A.4.切线长最值例1.直线1y x =-上一点向圆()2231x y -+=引切线长的最小值为（ ）A ．22B ．1C 7D ．3 【答案】B【解析】圆()2231x y -+=的圆心为()3,0，半径为1，圆心到直线10x y --=212=>. ()22211-=，故选：B例2.已知圆O ：223x y +=，l 为过2M 的圆的切线，A 为l 上任一点，过A 作圆N ：()2224x y ++=的切线，则切线长的最小值是__________.39【解析】由题，直线OM 2l 的斜率为2 故l 的方程为)221y x -，即230x y -=. 又N 到l 的距离22203312d -+-==+，251339433⎛⎫-== ⎪⎝⎭5. 圆内定点弦长最值例1.已知圆O ：2210x y +=，已知直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R 与圆O 的交点分别M ，N ，当直线l 被圆O 截得的弦长最小时，MN =（ ） A 35B 55C ．25D ．35 【答案】C【解析】直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R ，即()()210a x b y -++=，所以直线过定点()2,1A -，()22||215OA =+-=O 半径10r =点A 在圆O 内，所以当直线与OA 垂直的时候，||MN 最短， 此时22||2||25MN r OA =-=C ．例2.当圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心到直线:10l mx y m ++-=的距离最大时，m =（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43- 【答案】C【解析】因为圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心为(2,3)C -,半径4R =，又因为直线:10l mx y m ++-=过定点A(-1,1), 故当CA 与直线l 垂直时，圆心到直线的距离最大， 此时有1AC l k k =-，即4()13m ，解得34m =-.故选：C.6. 面积最值例1.点P 是直线2100++=x y 上的动点，P A ，PB 与圆224+=x y 分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________． 【答案】8【解析】如图所示，因为S 四边形P AOB ＝2S △POA .又OA ⊥AP ， 所以222122242=⨯=-=-四边形PAOB S OA PA OP OA OP 为使四边形P AOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小，即为点O 到直线2100++=x y 的距离：min 22521==+OP 故所求最小值为()222548-=.7. 代数式几何化最值—截距型例1．（2022·全国·高三专题练习）已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点，则x y +的最大值为（ ） A ．52B ．52C ．6D ．5【答案】A【解析】由22(3)(2)1x y -+-=，令3cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则52)4x y πθ+=+，所以当sin()14πθ+=时，x y +的最大值为52．故选：A例2．（2022·全国·高三开学考试（文））已知点(),P x y 是圆C ：()()2230x a y a -+=>上的一动点，若圆C 经过点(2A ，则y x -的最大值与最小值之和为（ ） A ．4 B ．26C ．4- D ．26-【答案】C【解析】因为圆C ：()()2230x a y a -+=>经过点(2A ， 2(1)23a -+=．又0a >，所以2a =，y x -可看成是直线y x b =+在y 轴上的截距．如图所示，当直线y x b =+与圆相切时，纵截距b 2032b-+=26b =-±所以y x -的最大值为26-26-y x -的最大值与最小值之和为4-． 故选：C ．8.代数式几何化最值—斜率型例1.（多选题）（2022·山东泰安·三模）已知实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（ ） A ．yx 的最大值为43B ．yx的最小值为0 C ．22x y +51 D ．x y ＋的最大值为32【答案】ABD【解析】由实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=可得点(,)x y 在圆()()22211x y -+-=上，作其图象如下，因为yx表示点(,)x y 与坐标原点连线的斜率， 设过坐标原点的圆的切线方程为y kx =22111k k -=+，解得：0k =或43k =，40,3y x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，max 43y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，min0y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A ，B 正确； 22x y +表示圆上的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，圆上的点(,)x y 到坐标原点的距离的最大值为+1OC ， 所以22x y +最大值为()21OC +，又2221OC + 所以22xy +的最大值为625+C 错，因为224240x y x y +--+=可化为()()22211x y -+-=， 故可设2cos x θ=+，1sin y θ=+，所以2cos 1sin 324x y πθθθ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭＋，所以当=4πθ时，即2221x y ==x y ＋取最大值，最大值为32，D 对， 故选：ABD ．9.代数式几何化最值—距离型例1.设(,)P x y 是圆22(2)1C x y -+=上任意一点，则22(5)(4)x y -++的最大值为()A ．6B ．25C ．26D ．36 【答案】【解析】22(5)(4)x y -++表示圆C 上的点到点(5,4)-的距离的平方，圆22(2)1C x y -+=的圆心(2,0)C ，半径为1， 圆心C 到点(5,4)-的距离为22(25)45-+=，22(5)(4)x y ∴-++的最大值是2(51)36+=．故选：D ．例2.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB 312（|P A |2＋|PB |2）的最大值为（ ） A ．33B ．7＋3C ．8＋3D ．16＋3【答案】C【解析】以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．不妨令A（－1，0），则B（1，0），设P（x，y）．由||||PAPB32222(1)3(1)x yx y++=-+（x－2）2＋y2＝3为P的轨迹方程．∴22222222||||(1)(1)1 22PA PB x y x yx y ++++-+==++，其中x2＋y2可以看作圆（x－2）2＋y2＝3上的点（x，y）到点（0，0）的距离的平方，∴x2＋y2的最大值为（232＝7＋3∴x2＋y2＋1的最大值为8＋322||||2PA PB+的最大值为8＋3。
圆中最值问题10种求法
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策,主要原因就是对求最值的方法了解不多,思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图:⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB，∠AOC=60°,P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]:延长AO交⊙O于D,连接CD交⊙O于P,即此时PA+PC最小,且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D,连接CD交OB于P连接PA,过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中 cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图:在直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－2）,⊙A的半径为1,P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q,则PQ长度的最小值为 .[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=,求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2。
解:连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2） ,根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6,D为PB的中点,一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2 C．3 D．3［分析］：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值,要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2,连接AB根据题意得:弧AC的长为2πr=2π·2=4π,PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C。
与圆有关的最值问题
a 2 1 2b2 a 1 a 1 或 r 2 b 1 b 1 a b 2 2 所求圆方程： x 1 y 1 2或( x 1)2 ( y 1)2 2
一、到圆心距离的最值问题; 二、到圆上一点距离的最值问题;
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题; 四、与圆半径有关的最值问题.
一、到圆心距离的最值问题：
例1：已知P是直线3x 4 y 8 0上的动点，PA, PB
2 2
是圆x y 2 x 2 y 1 0的两条切线,A, B是切点， C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
2 2
9 12 2 2 易求得P , 时,x y 最小为20 5 5 21 28 2 2 求得P , 时,x y 最大为100 5 5
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值： （） 1 3x 4 y
法二：x 2 y 2 ( x 2 y 2 )2 可看作圆 x ( y 1) 1上的点到坐标原点距离
2 2
y
1
的平方的最值，亦可求解
o
x
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值： （） 1 3x 4 y （2）x y
2 2
解：（3）法一：由（）知 1 : 3 sin k , 得 sin k cos k 3 1 cos
点评：在线性规划中，求形如 x a y b 的
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最值问题，总是转化为求圆 x a y b r
八种隐圆类最值问题,圆来如此简单(原卷版)
八种隐圆类最值问题，圆来如此简单在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。
正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。
“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。
一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！知识点梳理题型一定点定长得圆2023年湖北省鄂州市中考数学真题2023·邵阳市中考真题2023·广西南宁市二模2022·辽宁抚顺·中考真题2022·长春·中考真题题型二直角的对边是直径2023·菏泽市中考真题2022·通辽·中考真题2023·汕头市金平区一模2023·广州市天河区三模2022·成都市成华区二诊题型三对角互补得圆2023年·广元市一模题型四定弦定角得圆2023·成都市新都区二模2023·成都市金牛区二模2023·达州·中考真题题型五四点共圆题型六相切时取到最值2023·随州市中考真题2022·江苏无锡·中考真题2022扬州中考真题题型七定角定高面积最小、周长最小问题题型八米勒角（最大张角）模型徐州中考知识点梳理一、定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算二、直角的对边是直径前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)xB三、对角互补前世：在⊙O 上任意四点A ，B ，C ，D 所围成的四边形对角互补 今生：若四边形ABCD 对角互补，则A ，B ，C ，D 四点共圆四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．前世：在⊙O 中，若弦AB 长度固定则弦AB 所对的圆周角都相等(注意：弦AB 在劣弧AB 上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)今生：若有一固定线段AB 及线段AB 所对的∠C 大小固定，根据圆的知识可知C 点并不是唯一固定的点，C 在⊙O 的优弧ACB 上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C 的大小，小于90°，则C 在优弧上运动；等于90°，则C 在半圆上运动；大于90°则C 在劣弧运动)五、四点共圆模型前世:在⊙O 中，ABCD 是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD) 今生:若四边形ABCD 中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD 四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用六、定角定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC 外一点A ，A 到直线BC 距离为定值（定高），∠BAC 为定角。
与圆有关最值问题
类型四：圆外一点与圆的最近点、最远点 例:如图 ,在 Rt △ ABC 中,∠ACB=90°, AC=4, BC=3,点 D 是平面内的一个动点,且 AD=2, M 为 BD 的中点,在 D 点运动过程中,线段 CM 长 度的取值范围是 .
类型五：应用轴对称性求最值
类型六：隐形圆（辅助圆）
堂清练习
五、方法点睛
• 求圆中最值问题常用的方法有 • 1. 应用两点间线段最短的公理(含应用三角 形的三边关系)求最值; • 2. 应用垂线段最短的性质求最值; • 3. 应用轴对称的性质求最值; • 4. 借助辅助圆,运用圆的有关性质求最值
与圆有关的最值问题
2018.4.20
(1)如图 1,圆内(外)一点 P 与圆的最近点、最远点分 别是 ____ (2)如图 2,点 P 为⊙ O 外一定点,点 Q 为⊙ O 上一动 点,则当点 Q 运动到什么位置时 ∠ QPB 的最大? (3)如图 3,点 P 为⊙ O 上一动点(不与 A 、 B 重合),点 P 在什么位置时,△ ABP 的面积有最大值?
类型一：直径是圆中最长的弦
例:(15陕西)如图, AB 是⊙ O 的弦, AB=6,点 C 是⊙ O 上的一个动点,且∠ ACB=45°,点 M 、 N 分别是 AB , BC 的中点,求 MN 长的最大值。
类型二：两点之间线段最短
例:(14•三明)如图 1,在 Rt △ ABC 中,∠ ACB =90°, AC=BC=2,以 BC 为直径的半圆交 AB 于 D , P 是 圆上的一个动点,连接 AP ,则其最小值是 .
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圆的最值问题
一圆心到定直线的距离的最值问题
例1 设P 是直线043:=-y x l 上的动点,PA,PB 是圆012222=+--+y x y x 的两条切线,C 是圆心,那么四边形PACB 的最小值是_____________.
变式:已知）（y x P ,是直线)0(04>=++k y kx 上一动点,PA,PB 是圆：0222=-+y y x 的两条切线,A,B 是切点,若四边形PACB 最小面积是2,则k=_____________;
二圆上动点到定直线的距离的最值问题
例2 圆012222=+--+y x y x
上的点到直线2=-y x 距离的最大值是_______________;
变式：已知P 是圆122=+y x
上的一点,Q 是直线052:=-+y x l 上的一点,求PQ 最小值;
三圆的切线长最值问题
例3 从点Pm,3向圆C:
()()12222=+++y x 引切线,则切线长的最小值为_____________;
变式：由直线
2+=x y 上的点向圆()()12y 42
2=++-x 引切线,怎切线的最小值为____________;
四与圆的弦长有关的最值问题
例4 在圆06222=--+y x y x 内,过点E0,1的最长弦和最短弦分别是AC 和BD,
则四边形ABCD 的面积为_______________;
变式：已知圆O 的方程是01028y 22=+--+y x x
,过点M3,0的最短弦所在的直线方程是_____;
五圆中“斜率”最值问题
例3 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为0158y 22=+-+x x ;若直线2y -=kx 上至少存在一点,使得以改点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则k 的最大值是_________________;
变式：如果实数x,y 满足等式(),1222=+-y x 那么13y -+x 的取值范围________________;。