中科大组合数学试卷
2023中科大少年班招生试题
2023中科大少年班招生试题一、选择题（每题3分，共30分）已知集合A = {x | x^2 - 2x - 3 < 0}，则A的补集在实数集R中为：A. (-∞, -1) ∪ (3, +∞)B. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)C. (-1, 3)D. [-1, 3]函数y = 2x - 3的反函数是：A. y = (3 - x)/2B. y = (x + 3)/2C. y = (x - 3)/2D. y = (x + 2)/3已知直线l经过点P(1,2)且与x轴、y轴分别交于点A、B，若△OAB的面积为4（O为坐标原点），则直线l的方程为：A. x + 2y - 5 = 0B. 2x - y = 0C. x - 2y + 3 = 0D. x + y - 3 = 0已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且经过点(2, √3)，离心率为1/2，则椭圆C的方程为：A. x^2/4 + y^2/3 = 1B. x^2/16 + y^2/12 = 1C. x^2/16 + y^2/15 = 1D. x^2/12 + y^2/8 = 1设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，若P(X < 2) = 0.4，则P(X > 2) =：A. 0.4B. 0.3C. 0.2D. 0.1已知向量a = (1, -2)，向量b = (3, m)，若向量a与向量b垂直，则m的值为：A. -6B. -2C. 2D. 6已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)的图象过原点，且其导函数f'(x) = 2x - 1，则f(x)的解析式为：A. f(x) = x^2 - xB. f(x) = (1/2)x^2 - xC. f(x) = 2x^2 - xD. f(x) = (1/2)x^2 + x若命题“∀x ∈ R，x^2 - ax + 1 > 0”是真命题，则实数a的取值范围为：A. (-2, 2)B. [-2, 2]C. (-∞, -2) ∪ (2, +∞)D. (-∞, 2) ∪ (2, +∞)已知点P在椭圆C：(x^2/9) + (y^2/5) = 1上，F1、F2为椭圆C的左、右焦点，则△PF1F2的周长为：A. 4B. 6C. 8D. 10下列命题中，正确的是：A. 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l ⊂ αB. 若直线l与平面α有公共点，则l ⊂ αC. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意直线平行D. 若直线l与平面α内的无数条直线平行，则l ∥ α二、填空题（每题4分，共16分）函数y = 3sin(2x + π/6)的最小正周期为_______。
组合数学研究生试卷整理版
学科专业代码 081202/081203/430112学科专业名称 计算机应用技术、计算机软件与理论、计算机技术考试科目代码_ 01 考试科目 组合数学 题号一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 分数 评卷人（本试卷考试时间为2个小时，卷面分数100分，答案请写在答题本上）一、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）1、在35⨯棋盘中选取两个相邻的方格（即有一条公共边的两个方格），有 __________种不同的选取方法。
2、将5封信投入3个邮筒，有_________种不同的投法。
3、含3个变元,,x y z 的一个对称多项式包含9个项，其中4项包含x ，2项包含 xyz ，1项包含常数项，求包含xy 的项有 个.4、由1，2，3，4，5 组成的大于43500的五位数的共有____个。
5、把9个相同的球放入3个相同的盒，不允许空盒，则有_______种不同方式。
三、应用题（本大题共5小题，每题各15分，共75分）6、若有1克砝码3枚，2克砝码4枚，4克砝码2枚，问能称出多少种不同的重量？各有多少方案？7、 某学者每周上班6天工作42小时，每天工作的小时数是整数，且每天工作时间不少于6小时也不多于8小时。
今要编排一周的工作时间表，问有多少种不同的编排方法？8、 核反应堆中有α和β两种粒子，每秒钟内一个α粒子分裂成三个β粒子，而一个β粒子分裂成一个α粒子和两个β粒子，若在时刻t = 0时反应堆中只有一个α粒子，问t = 100秒时反应堆中将有多少个α粒子？多少个β粒子？9、 正六面体的8个顶点分别用红蓝两色染色，问有多少种不同的染色方案？刚体运动使之吻合算一种方案。
10、 期末考试有六科要复习，若每天至少复习完一科（复习完的科目不再复习），5天里把全部科目复习完，则有多少种不同的安排？一、填空题（每小题5分，共25分）：专业姓名1、22 解：用加法原则：5×（3-1）+3×（5-1）=22。
科技大学数学系《组合数学》试题及答案
组合数学试题 共 5 页 ，第 1 页科技大学研究生试卷及答案（考试时间： 至 ，共 2 小时）课程名称 组合数学 教师 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 20XX 年 XX 月 日 成绩 考核方式： （学生填写）一、(共10分) 1、（4分）名词解释：广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。
2、（6分）证明：R(C 4,C 4) ≥ 6，其中C 4为4个顶点的无向回路图。
解：1、使得K n 对于(H 1，H 2，…，H r )不能r －着色的最小正整数n 称为广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。
-----------------4分2、如下图所示的5个顶点的完全图就没有一个纯的C 4，实线和虚线分别代表不同的颜色。
-----------------4分故R(C 4,C 4)>=6。
-----------------2分二、(16分)未来5届欧盟主席职位只能有法国、德国、意大利、西班牙、葡萄牙五国的人当选，一个国家只能当选一次。
假如法国只能当选第一届、第二届或者第三届，德国不能当选第二届和第三届，意大利不能当选第一届，西班牙不能当选第五届，葡萄牙只能能当选第二届、第四届或者第五届。
问未来的5届欧盟主席职位有多少种不同的当选方案？ 解：原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。
-----------------4分学 号 姓 名 学 院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………组合数学试题 共 5 页 ，第 2 页1 5432EDCBA由图,可得C 的棋盘多项式为 R(C)=3223)21()21()1(])21)(1()1([x x x x x x x x x +++++++++ ----------------4分＝543211242281x x x x x +++++-----------------4分 所以安排方案数为5! - 8·4! + 22·3! - 24·2! +11-1 -----------------4分 = 22即共有22种。
2021年和2020年全部高校强基计划数学试题
A． B． C． D．
7．设 为常数， ， ，则（ ）．
A． B． 恒成立
C． D．满足条件的 不止一个
8．已知四面体 中， ，则 体积的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
9．在 中， 为 的中点， ，则 的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
A． B． C． D．前三个答案都不对
6．设 ， ， 均不为 ，其中 为整数，已知 ， ， 成等差数列，则依然成等差数列的是（ ）．
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D．前三个答案都不对
7．（微信公众号：乐思数学研究）方程 的整数解个数为（ ）．
A．4B．8C．16D．前三个答案都不对
8．从圆 上的点向椭圆 ： 引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆 内不与任何切点弦相交的区域面积为（ ）．
18．已知数列 满足 ， ．数列 满足 ， ．若正整数 满足 ，则 的最小值为________．
19．若 为非负整数，则方程 的解有________组．
20．已知 ，且 ，求 的最小值．
2021年清华大学强基计划数学试题
部分题目可能与实际考试有所出入，仅供参考.
1．甲乙丙丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛第一名到第四名的分数依次为4、3、2、1分．比赛结束甲获得14分第一名，乙获得13分第二名，则（ ）．
A． B． C． D．前三个答案都不对
9．使得 对所有正实数 ， 都成立的实数 的最小值为（ ）．
A．8B．9C．10D．前三个答案都不对
10．（微信公众号：乐思数学研究）设P为单位立方体 的面对角线 上的一点，则 的最小值为（ ）．
2020年安徽合肥中国科学技术大学自主招生数学试卷(创新班)-学生用卷
2020年安徽合肥中国科学技术大学自主招生数学试卷（创新班）-学生用卷一、综合题（本大题共11小题）1、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第1题 若z +z =1，则|z +1|−|z −i |的取值范围是 ．2、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第2题 若|5x +6y |+|9x +11y |⩽1，则包围图形的面积S = ．3、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第3题 f (x )=√3+1x 的离心率是 ．4、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第4题 a 1=1，a 2=3，a n =2a n−12a n−2+a n−1，则a n = ．5、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第5题 x 2−y 2=4p 2，x ，y 为正整数，p 为素数，则x 3−y 3= ．6、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第6题 a =20202020，b =√20192021⋅20212019，c =12(20192021+20212019)，则a ，b ，c 大小顺序是 ．7、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第7题 f (x )=(x −1)2+k 2，且a ，b ，c ∈[0,1]，f (a )、f (b )、f (c )为三角形的三边，则k 的取值范围是 ．8、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第8题a1，a2，⋯，a n为1，2，⋯，n的排列，若i<j且a i<a j则(a i,a j)为顺序对，设x为a1，a2，⋯，a n的顺序对的个数，则E(X)=．9、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第9题已知x∈[0,π2]，求y=3sin2x−2sin2x+2sinx−cosx的取值范围．10、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第10题已知f(x)=x3+ax2−x+1−a，求所有a∈R，使得∀x∈[−1,1]，|f(x)|⩾|x|恒成立．11、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第11题已知1+√2+⋯+√n<C(n+1)32，证明：当C=23，不等式成立，且C<23该不等式不成立．1 、【答案】暂无;2 、【答案】暂无;3 、【答案】暂无;4 、【答案】暂无;5 、【答案】暂无;6 、【答案】暂无;7 、【答案】暂无;8 、【答案】暂无;9 、【答案】暂无;10 、【答案】暂无;11 、【答案】暂无;。
2023中科大强基计划数学题解析
2023中科大强基计划数学题解析摘要：一、引言1.2023 年中科大强基计划数学试题背景2.试题对竞赛基础考生的友好程度二、试题解析1.填空题部分2.大题部分3.整体难度与考察知识点三、参考答案与解析1.填空题答案与解析2.大题答案与解析四、总结1.2023 年中科大强基计划数学试题的特点2.对考生的建议与启示正文：一、引言2023 年，中国科学技术大学（简称中科大）强基计划数学试题在考生中引起了广泛关注。
作为国内知名的高校，中科大的强基计划旨在选拔优秀的学生，培养具有扎实基础和科研潜质的优秀人才。
因此，其数学试题的难度和考察方向备受关注。
本文将对2023 年中科大强基计划数学试题进行解析，帮助考生更好地理解和掌握试题。
二、试题解析1.填空题部分填空题主要考察了基础的代数、几何、数列等知识点，如求解复数、解析几何中的距离问题、等差数列的性质等。
这部分试题难度适中，只要具备一定的竞赛基础，考生应该可以轻松应对。
2.大题部分大题部分涉及的知识点较为丰富，包括函数与导数、不等式、立体几何、解析几何、组合数学等。
题目设置了一定的难度，需要考生具备较强的综合运用能力。
例如，有一道题目要求考生求解一个四次函数的值域，需要运用到函数的性质、导数、不等式等多种知识点。
3.整体难度与考察知识点2023 年中科大强基计划数学试题整体难度适中，对考生的竞赛基础要求较高。
试题考察的知识点涵盖了高中数学竞赛的主要内容，包括函数与导数、不等式、解析几何、立体几何、数列、组合数学等。
考生在备考过程中，需要重点掌握这些知识点，形成自己的知识体系。
三、参考答案与解析1.填空题答案与解析（1）略（2）略（3）略（4）略2.大题答案与解析（1）略（2）略（3）略（4）略四、总结2023 年中科大强基计划数学试题体现了选拔优秀学生的目的，既考察了考生的基本运算能力，又考查了考生的综合运用能力和解决问题的能力。
这对考生在未来的学习和科研中具有重要的启示作用。
2022年中国科学技术大学创新班招生考试初试数学试题一
中国科学技术大学2022年创新班招生考试初试数学注意事项：1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。
2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷共10题，每题10分，共100分。
1.2,sin sin sin ABC ac b A C k B ∆=+=，2，求k 的取值范围。
2.向量(1,0),(1,0),(,),4,a b c x y c a c b c =-==--=则的值可能为（）。
A.1B.2C.3D.4E.以上都不对3.如图，G 为重心，,,,APQ ABC S T S S AP xAB AQ y AC ∆∆====，则（）。
A.x y +为定值B.11x y +为定值 C.11x y+为不定值 D.4192T S ≤≤为定值4.若函数22(log )()1a x x f x a-=-在1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒大于0，则a 的取值范围是（）5.22(2)1a b -+≤，求的最大值与最小值之差为（）。
6.在锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对角分别为22a b c b a ac -=、、，，则11tan tan A B-的取值范围为（）7.{}n a 满足[]122121+120002,5,54,log n n n n n nn n a a a a a b a S b b +++⎧⎫===+=⎨⎬⎩⎭，为的前n 的和为（）.A.12n n a += B.14+1n n a -= C.[]2022498S = D.[]2022499S =8.在ABC ∆中，1,cos cos 1c b C B =-=，则b 的可能正确的是（）.A.14B.34C.2D.29.菱形ABCD，AB AC =，将ACD ∆沿AC 折起至APC ∆，E 为PB 中点，5ACE S ∆=，则P ABC V -为（）.10.50axe x ->在[]0,+∞上恒成立，求a 的取值范围.中国科学技术大学2022年创新班招生考试初试数学答案解析1.2,sin sin sin ABC ac b A C k B ∆=+=，2，求k 的取值范围。
大学数学组合数学试题与答案(修正版)4
组合数学期末考查卷一、选择题。
（每小题3分，共24分）1.在组合数学的恒等式中n k ⎛⎫= ⎪⎝⎭A 11(1)1n n n k k k --⎛⎫⎛⎫+>≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭B 1(1)1n n n k k k -⎛⎫⎛⎫+>≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭C 1(1)11n n n k k k -⎛⎫⎛⎫+>≥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭D (1)1n n n k k k ⎛⎫⎛⎫+>≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2、14321=++x x x 的非负整数解个数为（ ）。
A.120B.100C.85D.503、()()=94P 。
A. 5B. 8C. 10D. 64、递推关系12432(2)n n n n a a a n --=-+≥的特解形式是（a 为待定系数）（）A 、2n anB 、2n aC 、32n anD 、22nan 5、错排方式数n D =（）A 1(1)n n nD ++-B (1)(1)n n n D ++-C -1(1)n n nD +- D 1(1)(1)n n n D +++-6、将n 个不同的球放入m 个不同的盒子且每盒非空的方式数为（ ）。
Ａ（nm ） Ｂ (),P n m Ｃ ｍ！Ｓ2（ｎ，ｍ） Ｄ（nm ）ｍ！7、有100只小鸟飞进6个笼子，则必有一个笼子至少有（ ）只小鸟。
A 15B 16C 17D 188、若颁发26份奖品给4个人，每人至少有3份，有（ ）种分法A 55B 40C 50D 39二、填空。
（每小题4分，共20分）1、现有7本不同的书，要分给6个同学，且每位同学都要有书，有__________________种不同的分法2、设q 1, q 2,…… ,q n 是n 个正整数，如果将q 1+ q 2+…+q n －n ﹢1件东西放入n 个盒子里，则必存在一个盒子j 0，1≤j 0≤n ，使得第0j 个盒子里至少装有0j q 件东西，我们把该定理称为__________________。
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2011年1月13日组合数学
1、有n 个正整数组成序列12:,,...,n S x x x ，求证：该序列中一定存在连续的一段 1:,...,(1)i j S x x i j n ≤<≤，使得该子序列的和能够被n 整除：|j
k k i n x =∑
2、写出如下等式的组合含义：1011...k k k k n n C C C C +++++=
3、 A 、B 两个玩家轮流拿n 个硬币，每人每次可以拿1个或2个。
问：第一次和最后一次都是A 拿的方案书是多少？
4、 求满足如下方程正的解的个数：123418x x x x +++=，其中，18i x ≤≤，*
i x Z ∈
5、 求
（1）n 位十进制整数中不出现1或2或3的个数
（2）直线x+ky=n 在第一象限与坐标轴围出的区域中覆盖的整数点的个数（在线上和坐标轴上的点也包括在内）
6、 A 、B 两种球各2个放在2个盒子中，问在如下两种情况下各有杜少中放法？
（1）2个盒子不同
（2）2个盒子相同
7、 在一条直线上放N 个k 中颜色的球，问在如下两种情况下放球的方案数：
（1）颜色数最多k 种
（2）颜色数恰等于k 2012-2013年第一学期
一、（10分）设12100,,...,a a a 是由数字1和2组成的序列，已知从任一数开始的顺序10个数的和不超过16，即19...16,191i i i a a a i +++++≤≤≤，则存在h 和k ，k > h ，使得1...39h k a a +++=
二、（12分）
（1）是否存在参数为b=12,k=4,v=16,r=3的BIBD ？
（2）设样品是44⨯棋盘上的16个方格，定义区组如下：对于每个给定的方格，取与其在同一行或同一列的6个方格（但不包括该方格本身）。
因此棋盘上的16个方格中的每个方格
都以这种方式确定一个区组。
证明折是一个BIBD 。
三、（16分）令{1,2,...,1},2S n n =+≥，{(,,)|,,,,}T x y z x y z s x z y z =∈<<，证明：
（1）21||n k T k
==∑
（2）11||223n n T ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
四、（16分）设长为n 个三元序列（即用0,1,2组成序列）中1与2的个数之和为奇数的序列个数为n a 。
（1）试建立{}n a 的递归关系（不同求解）
（2）用生成函数法求出n a （要求：不能使用第1小题建立的递推关系）
五、（8分）一个项链由7颗珠子装饰成的，其中两颗珠子是红色的，3颗是蓝色的，其余两颗是绿色的，问有多少种装饰方案？
六、（8分）四位十进制a b c d ，试求a+b+c+d=31的数的数目。
七、（14分）
（1）在有5个0，4个1组成的字符串中，出现01或10的总次数为4的字符串，有多少个？
（2）在有m 个0，n 个1,组成的字符串中，出现01或10的总次数为k 的字符串，有多少个？
八、（16分）来自n 个国家的5n 个人站在一排，每个国家5个人。
证明：
（1）求每个国家的5个人都站在一起的排列个数。
（2）证明：使得每一个人都挨着他的一个同胞而站的排列个数为：
120[(2)!(21)!(22)!...(1)!]12n
n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。