易错点04 导数及其应用-备战2021年高考数学(文)一轮复习易错题(解析版)

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导数的概念及运算——2021年高考文科数学一轮复习热点题型(附解析)

2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题3.1 导数的概念及运算目录一、题型全归纳 (1)题型一导数的运算 (1)命题角度一求已知函数的导数 (1)命题角度二求抽象函数的导数值 (2)题型二导数的几何意义 (3)命题角度一求切线方程 (3)命题角度二求切点坐标 (3)命题角度三已知切线方程(或斜率)求参数值 (4)二、高效训练突破 (4)一、题型全归纳题型一导数的运算命题角度一求已知函数的导数【题型要点】1．谨记一个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．2．熟记求导函数的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．3．求复合函数的导数的一般步骤(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数．(2)由外向内逐层求导．【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；(2)y ＝x －sin2x cos2x ；(3)y ＝e x cos x ；(4)y ＝ln (2x ＋1)x. (5)y ＝ln x ＋1x(6)y ＝sin x x(7)y ＝(x 2＋2x －1)e 2－x . 命题角度二求抽象函数的导数值【题型要点】对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．【例2】(2020·华中师范大学第一附中模拟)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且()x x f x x f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=2332，则f ′(1)＝________.【例2】已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝．题型二导数的几何意义命题角度一求切线方程【题型要点】求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．.(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；①根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．【例1】（2020年新课标全国1卷(文)）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.【例2】（2020年新课标全国1卷.6（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（）A. 21y x =--B. 21y x =-+C. 23y x =-D. 21y x =+命题角度二求切点坐标【题型要点】求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．【例3】(2020·广州模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)【例4】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是．命题角度三已知切线方程(或斜率)求参数值【题型要点】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：抓住以下三点①切点处的导数是切线的斜率；①切点在切线上；①切点在曲线上．【例5】(2020·高考全国卷Ⅲ)设函数()a x e x f x +=．若()41e f ='，则a =_________．【例6】(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)二、高效训练突破一、选择题1.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A ．3B ．2C ．1D ．122．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx 等于( )A ．f ′(x )B ．f ′(2)C ．f (x )D ．f (2)3.(2019·高考全国卷Ⅲ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝04.设f (x )＝ln (3－2x )＋cos2x ，则f ′(0)＝( )A ．－13B.13 C ．－23 D.23 5．(2020·宁夏中卫月考)函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )A ．1B ．2C ．3D ．46.(2020·太原模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋a 的图象在x ＝e 处的切线经过原点，则f (1)＝( )A ．eB.1e C ．1 D ．07．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ①N *，则f 2022(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x8.已知函数f (x )＝4e x ＋1＋x 3＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f ′(2020)＋f (－2020)－f ′(－2020)的值为( ) A ．4040B ．4C ．2D ．09．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B. 2 C.22 D.310已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f (x )＝x 2；①f (x )＝e －x ；①f (x )＝ln x ；①f (x )＝tan x .其中有“巧值点”的函数的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 11.若曲线y ＝x 的一条切线经过点(8,3)，则此切线的斜率为( ) A.14B.12C.14或18D.12或1412.(2020·华中师范大学第一附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x －2x ，x >0，x 2＋32x ，x ≤0，g (x )＝kx －1，f (x )的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y ＝－1的对称点在g (x )的图象上，则k 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛43,31 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛43,21 C.⎪⎭⎫⎝⎛1,31 D.⎪⎭⎫⎝⎛1,21二、填空题1.(2020·湖南省湘东六校联考)已知曲线f (x )＝e x ＋x 2，则曲线在(0，f (0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为．2．(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ①R )的图象与直线x －y ＋1＝0相切，则实数a 的值为．3．已知函数f (x )＝a x ln x ，x ①(0，＋∞)，其中a >0且a ≠1，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．4．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.5．如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线，则直线l的方程是；f(2)＋f′(2)的值为．6.(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是．7.(2020·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝．8．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t ＝，切线方程为．三解答题1.(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l①l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．2．(2020·衡水中学测试)设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题3.1 导数的概念及运算目录一、题型全归纳 (1)题型一导数的运算 (1)命题角度一求已知函数的导数 (1)命题角度二求抽象函数的导数值 (2)题型二导数的几何意义 (3)命题角度一求切线方程 (3)命题角度二求切点坐标 (3)命题角度三已知切线方程(或斜率)求参数值 (4)二、高效训练突破 (4)一、题型全归纳题型一导数的运算命题角度一求已知函数的导数【题型要点】1．谨记一个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．2．熟记求导函数的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．3．求复合函数的导数的一般步骤(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数．(2)由外向内逐层求导．【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；(2)y ＝x －sin2x cos2x ；(3)y ＝e x cos x ；(4)y ＝ln (2x ＋1)x .(5)y ＝ln x ＋1x(6)y ＝sin x x(7)y ＝(x 2＋2x －1)e 2－x .【解】(1)因为y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，所以y ′＝18x 2＋4x －3.(2)因为y ＝x －sin2x cos2x ，所以y ＝x －12sin4x ，所以y ′＝1－12cos4x ×4＝1－2cos4x .(3)y ′＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )．(4)y ′＝'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x x )12ln(＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.(5)y ′＝()2111ln 1ln x x x x x x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛+'='⎪⎭⎫ ⎝⎛+.(6)y ′＝'⎪⎭⎫ ⎝⎛x x sin ＝(sin x )′x －sin x ·x ′x 2＝x cos x －sin x x2. (7)y ′＝(x 2＋2x －1)′e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(e 2－x )′＝(2x ＋2)e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(－e 2－x )＝(3－x 2)e 2－x .命题角度二求抽象函数的导数值【题型要点】对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．【例2】(2020·华中师范大学第一附中模拟)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且()x x f x x f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=2332，则f ′(1)＝________. 【答案】0【解析】因为()x x f x x f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=2332，所以()132232-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+='x f x x f .所以132322323322-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛'f f .解得⎪⎭⎫⎝⎛'32f ＝－1.所以f ′(x )＝3x 2－2x －1，所以f ′(1)＝0.【例2】已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝．【答案】－94【解析】因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.题型二导数的几何意义命题角度一求切线方程【题型要点】求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．.(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即： ①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；①根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．【例1】（2020年新课标全国1卷(文)）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x =【解析】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.【例2】（2020年新课标全国1卷.6（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（）A. 21y x =--B. 21y x =-+C. 23y x =-D. 21y x =+【答案】B【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+.故选：B.命题角度二求切点坐标【题型要点】求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．【例3】(2020·广州模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(0,0) B ．(1，－1) C ．(－1,1) D ．(1，－1)或(－1,1)【答案】D【解析】f ′(x )＝(x 3＋ax 2)′＝3x 2＋2ax ，由题意得f ′(x 0)＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1， ①x 0＋x 30＋ax 20＝0， ① 由①知x 0≠0，故①可化为1＋x 20＋ax 0＝0，所以ax 0＝－1－x 20代入①得3x 20＋2(－1－x 20)＝－1，即x 20＝1，解得x 0＝±1.当x 0＝1时，a ＝－2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝－1；当x 0＝－1时，a ＝2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝1，所以点P 的坐标为(1，－1)或(－1,1)．【例4】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是．【答案】 (e ，e)【解析】设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1，所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)．命题角度三已知切线方程(或斜率)求参数值【题型要点】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：抓住以下三点①切点处的导数是切线的斜率； ①切点在切线上； ①切点在曲线上．【例5】(2020·高考全国卷Ⅲ)设函数()a x e x f x +=．若()41ef ='，则a =_________．【答案】1【解析】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aeea =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1.【例6】(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 C ．(0，＋∞) D ．[0，＋∞)【答案】D【解析】 f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．二、高效训练突破一、选择题1.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12【答案】A.【解析】：因为y ′＝x 2－3x ，令y ′＝12，解得x ＝3，即切点的横坐标为3.2．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx等于( )A ．f ′(x )B ．f ′(2)C ．f (x )D ．f (2)【答案】B.【解析】：因为函数f (x )可导，所以f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ，所以lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx ＝f ′(2)．3.(2019·高考全国卷Ⅲ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0 D ．x ＋y －π＋1＝0【答案】C.【解析】：依题意得y ′＝2cos x －sin x ，y ′|x ＝π＝(2cos x －sin x )|x ＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0，故选C. 4.设f (x )＝ln (3－2x )＋cos2x ，则f ′(0)＝( ) A ．－13B.13 C ．－23D.23【答案】C 【解析】因为f ′(x )＝13－2x ·(－2)－2sin2x ＝22x －3－2sin2x ，所以f ′(0)＝－23.5．(2020·宁夏中卫月考)函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处的切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，①y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，①5＋f (5)＝8，①f (5)＝3，①f (5)＋f ′(5)＝2.6.(2020·太原模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋a 的图象在x ＝e 处的切线经过原点，则f (1)＝( ) A ．e B.1e C ．1 D ．0 【答案】A【解析】由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1.所以f ′(e)＝ln e ＋1＝2，f (e)＝e ＋a .所以函数f (x )的图象在x ＝e 处的切线方程为y ＝2(x －e)＋e ＋a .因为此切线经过原点，所以2(－e)＋e ＋a ＝0，解得a ＝e.所以f (1)＝a ＝e. 7．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ①N *，则f 2022(x )＝( ) A ．－sin x －cos x B ．sin x －cos x C ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x【答案】C【解析】①f 1(x )＝sin x ＋cos x ，①f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，①f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，①f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，①f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，①f n (x )是以4为周期的函数，①f 2022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x .8.已知函数f (x )＝4e x ＋1＋x 3＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f ′(2020)＋f (－2020)－f ′(－2020)的值为( )A ．4040B ．4C ．2D ．0【答案】B【解析】函数f (x )＝4e x ＋1＋x 3＋sin x ①f (x )＋f (－x )＝4e x ＋1＋4e x e x ＋1＝4，因为f ′(x )＝－4e x(e x ＋1)2＋3x 2＋cos x 为偶函数，所以f ′(x )－f ′(－x )＝0，所以f (2020)＋f ′(2020)＋f (－2020)－f ′(－2020)＝4. 9．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D.3【答案】B【解析】设P (x 0，y 0)，当点P 处的切线与直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．又y ′＝2x －1x ，则y ′x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，则y 0＝1，即P (1,1)，所以最小距离为|1－1－2|12＋(－1)2＝ 2.10已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f (x )＝x 2；①f (x )＝e －x ；①f (x )＝ln x ；①f (x )＝tan x .其中有“巧值点”的函数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B.【解析】：对于①，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；对于①，若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e －x ，此方程无解，①不符合要求；对于①，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，①符合要求；对于①，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝'⎪⎭⎫⎝⎛x x cos sin ＝1cos 2x ，令f (x )＝f ′(x )，即sin x cos x ＝1，变形可sin 2x ＝2，无解，①不符合要求．故选B. 11.若曲线y ＝x 的一条切线经过点(8,3)，则此切线的斜率为( ) A.14 B.12 C.14或18 D.12或14【答案】C【解析】由题意，可设切点坐标为(x 0，x 0)，由y ＝x ＝x 12，得y ′＝12x ，切线斜率k ＝12x 0，由点斜式可得切线方程为y －x 0＝12x 0(x －x 0)，又切线过点(8,3)，所以3－x 0＝12x 0(8－x 0)，整理得x 0－6x 0＋8＝0，解得x 0＝4或2，所以切线斜率k ＝14或18.故选C.12.(2020·华中师范大学第一附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x －2x ，x >0，x 2＋32x ，x ≤0，g (x )＝kx －1，f (x )的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y ＝－1的对称点在g (x )的图象上，则k 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛43,31 B.⎪⎭⎫⎝⎛43,21 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31D.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21【答案】D【解析】y ＝kx －1关于直线y ＝－1的对称直线为y ＝mx －1(m ＝－k )，先考虑特殊位置：y ＝mx －1与y ＝x 2＋32x (x ≤0)相切，得Δ＝0①m ＝－12(舍去正数)，y ＝mx －1与y ＝x ln x －2x (x >0)相切，由导数几何意义得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ln x －2x ，y ＝mx －1，m ＝ln x －1①x ＝1，m ＝－1，结合图象可知－1<m <－12①12<k <1，故选D.二、填空题1.(2020·湖南省湘东六校联考)已知曲线f (x )＝e x ＋x 2，则曲线在(0，f (0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为．【答案】12【解析】由题意，得f ′(x )＝e x ＋2x ，所以f ′(0)＝1.又f (0)＝1，所以曲线在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0，所以该切线与x ，y 轴的交点分别为(－1，0)，(0，1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为12×1×1＝12.2．(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ①R )的图象与直线x －y ＋1＝0相切，则实数a 的值为．【答案】：1e2－1【解析】：设直线x －y ＋1＝0与函数f (x )＝ln x －ax 的图象的切点为P (x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1x －a ，所以由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＋1＝0f ′（x 0）＝1x 0－a ＝1f （x 0）＝ln x 0－ax 0＝y，解得a ＝1e2－1.3．已知函数f (x )＝a x ln x ，x ①(0，＋∞)，其中a >0且a ≠1，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．【答案】3【解析】因为f (x )＝a xln x ，所以f ′(x )＝ln a ·a xln x ＋a xx.又f ′(1)＝3，所以a ＝3.4．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.【答案】0【解析】由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，①f ′(3)＝－13.①g (x )＝xf (x )，①g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，①g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，①g ′(3)＝1＋3×⎪⎭⎫⎝⎛-31＝0.5．如图，已知直线l 是曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线，则直线l 的方程是；f (2)＋f ′(2)的值为．【答案】：x ＋2y －8＝0 52【解析】：由图象可得直线l 经过点(2，3)和(0，4)，则直线l 的斜率为k ＝4－30－2＝－12，可得直线l 的方程为y ＝－12x ＋4，即为x ＋2y －8＝0；由导数的几何意义可得f ′(2)＝－12，则f (2)＋f ′(2)＝3－12＝52.6.(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是．【答案】：(e ，1)【解析】：设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m(m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1.故点A 的坐标为(e ，1)．7.(2020·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝．【答案】：1＋e【解析】：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e.8．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，则t ＝，切线方程为．【答案】：－2 y ＝1【解析】：因为函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋t －1.因为函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋t －1＝2＋t ＝0，解得t ＝－2.此时f (x )＝x 3－3x －1，f (－1)＝1，切线方程为y ＝1.三解答题1.(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ①l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．【答案】（1）(－1，－4)；（2）x ＋4y ＋17＝【解析】：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1.令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l ①l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14.因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.2．(2020·衡水中学测试)设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．【答案】（1）f (x )＝x －3x.（2）见解析【解析】(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2031x (x －x 0)，即y －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-003x x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2031x (x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-06,0x .令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝6262100=-x x . 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.。

专题04 导数及其应用(4大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)(新高考专用)(原卷版)

(1)当
a
1 时，求曲线
f
x
在点
1 2
,
f
1 2
处的切线方程；
(2)当 a 0 时，若关于 x 的不等式 f x a a ln 2a 恒成立，求实数 a 的取值范围.
11．已知 a R ，函数 f (x) ex ax ， g(x) ax ln x ． (1)当 a e 时，若斜率为 0 的直线 l 是 g(x) 的一条切线，求切点的坐标； (2)若 f (x) 与 g(x) 有相同的最小值，求实数 a．
①若 f (x) 在某个区间上单调递增，则在该区间上有 f (x) 0 恒成立（但不恒等于 0）；反之，要满足 f (x) 0 ，才能得出 f (x) 在某个区间上单调递增；
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．易错提醒：1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：
连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外
y
f (x0 )
f (x0 )(x
x0
)
，抓住关键
ky0f
f (x0 ) (x0 )
．
应用 2．过点的切线方程设切点为 P(x0 ，y0 ) ，则斜率 k f (x0 ) ，过切点的切线方程为： y y0 f (x0 )(x x0 ) ，又因为切线方
程过点 A(m ，n) ，所以 n y0 f (x0 )(m x0 ) 然后解出 x0 的值．（ x0 有几个值，就有几条切线）
A． 3x y 1 0 B． 2x y 1 0
C． 4x y 1 0

2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用课时作业4函数及其表示含解析苏教版

第二章函数、导数及其应用课时作业4 函数及其表示一、选择题1．下列所给图象是函数图象的个数为( B)A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.2．函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg (x ＋1)的定义域为( B )A ．(－1,3]B ．(－1,0)∪(0,3]C ．[－1,3]D ．[－1,0)∪(0,3]解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得x ∈(－1,0)∪(0,3]．故选B.3．如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( D ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：因为－2x ＋a >0，所以x <a 2，所以a2＝1，得a ＝2.故选D.4．下列函数满足f (log 32)＝f (log 23)的是( C ) A ．f (x )＝2x ＋2－xB ．f (x )＝x 2＋2xC ．f (x )＝x 2＋1xD ．f (x )＝x －1x ＋1解析：由于log 32＝1log 23，故问题等价于满足f (x )＝f (1x )的函数．对于A 选项，f (1x )＝21x＋2－1x ≠f (x )，不符合题意．对于B 选项，f (1x )＝1x 2＋2x ≠f (x )，不符合题意．对于C 选项，f (x )＝x ＋1x ，f (1x )＝1x ＋x ＝f (x )，符合题意．对于D 选项，f (1x )＝1x －11x ＋1＝1－x1＋x ≠f (x )，不符合题意．故选C.5．(2020·广东华南师大附中月考)已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，则函数g (x )＝f (2x －1)ln (1－x )的定义域是( B )A ．[0,1]B ．(0,1)C ．[0,1)D ．(0,1]解析：由题意，函数f (x )的定义域为[－1,1]，即－1≤x ≤1，令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1，又g (x )满足1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，所以函数g (x )的定义域为(0,1)，故选B.6．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( A ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，故f (x )＝4x －1，则f (a )＝4a －1＝6，解得a ＝74.7．已知函数f (x )满足f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，则f (3)＝( C ) A.98 B ．94C.92D ．9解析：∵f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，∴f (3)＝2f ⎝⎛⎭⎫32＝2×⎝⎛⎭⎫322＝92. 8．(2020·山东聊城一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－f (x －2)，x >2，e x －1＋x 2，x ≤2，则f (2 019)＝( C ) A ．2 B ．1eC ．－2D ．e ＋4解析：因为当x >2时，f (x )＝－f (x －2)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，故f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，因此当x >2时，函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2 019)＝f (3＋4×504)＝f (3)＝－f (1)，又当x ≤2时，f (x )＝e x －1＋x 2，所以f (2 019)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.故选C.二、填空题9．(2020·湖南郴州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a log 3x ，x >0，1－x ，x ≤0，若f (f (－2))＝－2，则a ＝－2.解析：f (f (－2))＝f (3)＝a ＝－2.10．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝2x ＋7. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝ax ＋5a ＋b ，所以ax ＋5a ＋b ＝2x＋17对任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.11．(2020·河南南阳月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0，则不等式f (x )≤5的解集为[－2,4]．解析：由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0，当x >0时，令3＋log 2x ≤5，即log 2x ≤2＝log 24，解得0<x ≤4；当x ≤0时，令x 2－x －1≤5，即(x －3)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤3， ∴－2≤x ≤0.∴不等式f (x )≤5的解集为[－2,4]． 12．函数y ＝x 2x 2－x ＋1的值域是⎣⎡⎦⎤0，43. 解析：若x ＝0，则y ＝0；若x ≠0，则y ＝1⎝⎛⎭⎫1x 2－⎝⎛⎭⎫1x ＋1＝1⎝⎛⎭⎫1x －122＋34∈⎝⎛⎦⎤0，43. 故所求值域为⎣⎡⎦⎤0，43. 13．定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为[－2,0]∪(4,60]．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]；当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．三、解答题14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式．(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图．15．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1<x <0，2x ，x ≥0.若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( D ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：由题意得a >0.当0<a <1时，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a ，解得a ＝14，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝8，当a ≥1时，由f (a )＝f (a －1)，得2a ＝2(a －1)，不成立．故选D.16．(2020·贵州六盘水调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≥0)，2x ＋2(x <0)，若f (t ＋1)>f (2t －4)，则t 的取值范围是(－∞，5)．解析：如图，画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≥0)，2x ＋2(x <0)的大致图象，可知函数f (x )是增函数，若f (t ＋1)>f (2t －4)，则只需要t ＋1>2t －4，解得t <5.17．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2. (1)求f (2)，f (3)，f (4)的值． (2)求f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2 014)f (2 013)＋f (2 016)f (2 015)＋f (2 018)f (2 017)的值．解：(1)因为∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2，所以f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4，f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8， f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.(2)方法1：由(1)知f (2)f (1)＝2，f (4)f (3)＝2，f (6)f (5)＝2，…，f (2 018)f (2 017)＝2，故原式＝2×1 009＝2 018.方法2：对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝2，令x ＝n ，y ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，故f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2 018)f (2 017)＝2，故原式＝2×1 009＝2 018.。

专题03 导数及其应用-备战2021年高考数学(文)纠错笔记(解析版)

专题03导数及其应用易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系☞典例分析A ，B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如图所示，则一定有A ．两机关单位节能效果一样好B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好C ．A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大【错解】选C.因为在(0，t 0)上，()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭，所以在(0，t 0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比B 机关单位大．【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．【试题解析】由题可知，A 机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在0[0]t ,上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好．故选B. 【参考答案】B1．平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，2()y f x ∆=-1()f x ，则平均变化率可表示为y x∆∆. 2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近的常数.1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？【答案】见解析.【解析】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝10015005-=-，山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝1510170504-=-，∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多．易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”☞典例分析若经过点P (2,8)作曲线3y x =的切线，则切线方程为A ．12160x y --=B ．320x y -+=C ．12160x y -+=或320x y --=D ．12160x y --=或320x y -+=【错解】设()3f x x =，由定义得f ′(2)=12，∴所求切线方程为()8122y x -=-，即12160x y --=.【错因分析】曲线过点P 的切线与在点P 处的切线不同．求曲线过点P 的切线时，应注意检验点P 是否在曲线上，若点P 在曲线上，应分P 为切点和P 不是切点讨论．【试题解析】①易知P 点在曲线3y x =上，当P 点为切点时，由上面解法知切线方程为12160x y --=.②当P 点不是切点时，设切点为A (x 0，y 0)，由定义可求得切线的斜率为203k x =.∵A 在曲线上，∴300y x =，∴32000832x x x -=-，∴3200340x x -+=， ∴()()200120x x +-=，解得01x =-或x 0=2(舍去)，∴01y =-，k =3，此时切线方程为y +1=3(x +1)，即320x y -+=.故经过点P 的曲线的切线有两条，方程为12160x y --=或320x y -+=. 【参考答案】D1．导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k . 2．曲线的切线的求法若已知曲线过点00(),P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解：（1）当点00(),P x y 是切点时，切线方程为()000()y y f x x x '-=-；（2）当点00(),P x y 不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过()11()P x f x '，的切线方程为()()()111 y f x f x x x -='-；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程()()()111 y f x f x x x -='-，可得过点00(),P x y 的切线方程．2．过点()e,e -作曲线e xy x =-的切线，则切线方程为A ．()21e e y x =--+B ．()2e 1e y x =--C ．()e 1e 2e 1e y x ++=--D ．()e e 1e 1e y x +=--【答案】C【解析】由e xy x =-，得e 1xy '=-，设切点为000e x x x （-，），则00|e 1xx x y '-＝＝，∴切线方程为()()0000e e 1x x y x x x ---＝+，∵切线过点()e,e -，∴−e x 0＝e x 0(e −x 0)，解得0e 1x =+．∴切线方程为e 1e 1e e e 1y x x ++-=---（），整理得：()e 1e 2e 1e y x ++=--.故选C ．在求曲线()y f x =的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线()f x 上）的切线方程，前者的切线方程为()()()000y f x f x x x -='-，其中切点()()00,x f x ，后者一般先设出切点坐标，再求解.易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则☞典例分析求下列函数的导数：（1）22()2f x a ax x =+-；（2）sin ()ln x xf x x=. 【错解】（1）22()(2)22f x a ax x a x ''=+-=+；（2）2sin (sin )sin cos ()()sin cos 1ln (ln )x x x x x x xf x x x x x x x x'+''====+'.【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x ，a 是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了. 【试题解析】（1）22()(2)22f x a ax x a x ''=+-=-；（2）22sin (sin )ln sin (ln )sin ln cos ln sin ()()ln (ln )ln x x x x x x x x x x x x x xf x x x x''⋅-⋅+-''===. 【参考答案】（1）()22f x a x '=-；（2）2sin ln cos ln sin ()ln x x x x x xf x x+-'=.1．导数计算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．导数计算的方法①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；3．若函数()f x 满足()()32113f x x f x x '=-⋅-，则()1f '的值为 A ．0 B ．2 C ．1D ．1-【答案】A【解析】()()2211,f x x f x ''=--令x =1,则()()()()211211121,10.f f f f '''=-⨯-='-∴=故答案为A.（1）要准确记忆导数公式表和导数的运算法则，不要将幂函数()y x αα=∈Q 与指数函数(0xy a a =>且1)a ≠的导数公式，sin y x =与cos y x =的导数，ln y x =与lg y x =的导数及积与商的导数公式记混弄错．（2）本题中()1f '要将其看作一个常数进行计算，否则无法求解．易错点4 审题不细致误☞典例分析设函数()2ln af x ax x x=--. （1）若()20f '=，求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围．【错解】（1）∵()22a f x a x x '=+-，∴()2104a f a '=+-=，∴45a =. ∴()()2224422252555f x x x x x x'=+-=-+，令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得122x <<，∴函数()f x 的单调递增区间为122()()-∞+∞，，，单调递减区间为1()22，．（2）∵()f x 在定义域上为增函数，∴()0f x '≥恒成立，∵()22222a ax x af x a x x x-+'=+-=，∴220ax x a -+≥恒成立， ∴2440a a >⎧⎨∆=-≤⎩，∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞. 【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R 上取值的恒成立问题加以区分．【试题解析】（1）由已知得x >0，故函数()f x 的定义域为(0，+∞)．∵()22a f x a x x '=+-， ∴()2104af a '=+-=，∴45a =.∴()()2224422252555f x x x x x x'=+-=-+，令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得122x <<，∴函数()f x 的单调递增区间为()102)2(+∞,,,，单调递减区间为1()22，．（2）若()f x 在定义域上是增函数，则()0f x '≥对x >0恒成立，∵()22222a ax x af x a x x x-+'=+-=， ∴需x >0时220ax x a -+≥恒成立，即221xa x ≥+对x >0恒成立． ∵222111x x x x=≤++，当且仅当x =1时取等号， ∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.【参考答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为()102)2(+∞,,,，单调递减区间为1()22，；（2）[1,)+∞.用导数求函数()f x 的单调区间的“三个方法”： 1．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)可解时， ①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数()y f x '='；③解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2．当方程()0f x '=可解时，①确定函数()y f x =的定义域；②求导数()y f x '='，令()0f x '=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；④确定()f x '在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 3．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)及方程()0f x '=均不可解时， ①确定函数()y f x =的定义域；②求导数并化简，根据()f x '的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定()f x '的符号； ③得单调区间．5．已知函数()2ln f x x a x =-.（1）若函数()f x 在点()()3,3f 处切线的斜率为4，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()()21ln 222a ag x x f x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在[]1,4上是减函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）6；（2）见解析；（3）7,16⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）()2a f x x x ='-，而()34f '=，即2343a⨯-=，解得6a =. （2）函数()f x 的定义域为()0,+∞.①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；②当0a >时，()2222x x a x a f x x x x x⎛ '-⎝⎭⎝⎭=-==.当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下:由此可知，函数()f x 的单调递减区间是0,2⎛ ⎝⎭，单调递增区间是2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （3）()21ln 22g x x ax x =--，于是()21212ax x g x ax x x +-=--=-'.因为函数()g x 在[]1,4上是减函数，所以()0g x '≤在[]1,4上恒成立，即2210ax x x+-≥在[]1,4上恒成立. 又因为函数()g x 的定义域为()0,+∞，所以有2210ax x +-≥在[]1,4上恒成立.于是有212a x x ≥-在[]1,4上恒成立，设1t x=，则114t ≤≤，所以有()22211a t t t ≥-=--，114t ≤≤，当14t =时，()211t --有最大值716-，于是要使()0g x ≤在[]1,4上恒成立，只需716a ≥-，即实数a 的取值范围是7,16⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.若()f x 的单调减区间为[],m n ，则在()x m x n ==的两侧函数值异号，且()()0()0f m f n '='=；若()f x 在区间[],m n 上单调递减，则()0f x '≤在[],m n 上恒成立．易错点6 极值的概念理解不透彻☞典例分析已知()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b +=________.【错解】7-或0由题得，2()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =⎧+++=⎧∴⎨⎨'=++=⎩⎩解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，所以a b ＋等于7-或0.【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“()101f x '=≠>=是f (x )的极值点”的情况．【试题解析】由题得，2()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =⎧+++=⎧∴⎨⎨'=++=⎩⎩解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，所以a b ＋等于7-或0.当4,11a b ==-时，2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-在x =1两侧的符号相反，符合题意.当3,3a b =-=时，2()3(1)f x x '=-在x =1两侧的符号相同，所以3,3a b =-=不合题意，舍去.综上可知，4,11a b ==-，所以7a b +=-. 【参考答案】7-对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑()00f x '＝，又要考虑在0x x =两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根．1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． 2．求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域．②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值，如果()f x '在这个根的左右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.6．若函数()()23e x f x x ax =++在()0,+∞内有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,-∞-B ．(,-∞-C ．(],3-∞-D ．(),3-∞-【答案】C【解析】()()223e xf x x a x a '⎡⎤=++++⎣⎦，因为函数()f x 在()0,+∞内有且只有一个极值点，所以()00f '<，即30,3a a +<<-，又当3a =-时，()()2e x f x x x '=-，当0x >时，令()0,1f x x '==，满足题意.所以3a ≤-，故选C.（1）()f x 在0x x =处有极值时，一定有()00f x '=，()0f x 可能为极大值，也可能为极小值，应检验()f x 在0x x =两侧的符号后才可下结论；（2）若()00f x '=，则()f x 未必在0x x =处取得极值，只有确认102x x x <<时，()()120f x f x ⋅<，才可确定()f x 在0x x =处取得极值．（3）在本题中，不要遗漏掉3a =-这种特殊情况.一、导数的概念及计算 1．导数的定义：00()()()limlimx x y f x+x f x f x x x∆→∆→∆∆-'==∆∆. 2．导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.求曲线()y f x =的切线方程的类型及方法（1）已知切点()00,P x y ，求()y f x =过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k ，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，通过方程()0k f x ='解得x 0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，利用导数求得切线斜率()0f x '，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由()0k f x ='求出切点坐标()00,x y ，最后写出切线方程．（5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上． 3．基本初等函数的导数公式4．导数的运算法则（1）()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝.（2）()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋. （3）2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠. 二、导数的应用1．函数的单调性与导数的关系一般地，在某个区间(a ,b )内：①如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增; ②如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减; ③如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数3()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2()30f x x '=≥.（3）函数()f x 在(a ,b )内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ,b )内恒成立，且()f x '在(a ,b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=,不影响函数()f x 在区间内的单调性.2．函数的极值与导数的关系一般地，对于函数()y f x =，①若在点x = a 处有f ′(a )= 0，且在点x = a 附近的左侧()0f 'x <，右侧()0f 'x >，则称x= a 为f (x )的极小值点；()f a 叫做函数f (x )的极小值.②若在点x =b 处有()f 'b =0，且在点x=b 附近的左侧()0f 'x >，右侧()0f 'x <，则称x= b 为f (x )的极大值点，()f b 叫做函数f (x )的极大值．③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 3．函数的最值与极值的关系①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；②在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；③函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； ④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.求函数()y f x =在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数()y f x =在(a ,b )内的极值；②将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．（2018·全国高考真题（文））函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>，所以舍去C ；因此选B.2．（2018·全国高考真题（文））设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.3．（2019·全国高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C 【解析】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．4．函数2ln x x y x=的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】2ln x x y x=，∴0x ≠，且当0x >时，ln y x x =，()1ln y x x ='+，则函数ln y x x =在区间10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，由函数图象的对称性可知应选B. 【名师点睛】本题运用导数来画出函数图象，可以先判断其奇偶性，然后求导得出单调性，继而给出图象.5．已知函数()()2e e ln (e exf x f x '=-是自然对数的底数），则()f x 的极大值为 A ．2e 1- B ．1e-C ．1D ．2ln 2【答案】D【解析】函数()()2e e ln e xf x f x '=-的定义域为()0,+∞，()()2e e 1,ef f x x ''=-令e x =，则()()()2e e 11e ,e ,ee ef f f '=-∴=''()()212ln ,,e e x f x x f x x ==-'∴-令()0f x '>，得02e,x <<令()0f x '<，得2e,x >即函数()f x 在()0,2e 上单调递增，在()2e,+∞上单调递减，故函数()f x 在2e x =处取得极大值，极大值为()2e 2ln 2e 22ln 2,f =-=故选D.【名师点睛】本题考查导数的运用——求单调区间和求极值，考查运算能力，属于基础题．解本题时，求函数的导数，令e x =，先求出()e f '的值再求()f x 的极大值为即可得．6．设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，()()()()0f x g x f x g x '+'>，且()30g -=，则不等式()()0f x g x <的解集是A ．()(3,03)-+∞，B ．()()3,00,3-C ．3()()3-∞-+∞，，D ．()3()0,3-∞-，【答案】D【解析】设F (x )= f (x )g (x )，当x <0时，()()()()()0F x f x g x f x g x '='+'>，∴F (x )在x <0时为增函数．∵()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=-⋅=-，∴F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，+ ∞)上亦为增函数．已知()30g -=，必有()()330F F -==.构造如图的F (x )的图象，可知F (x )<0的解集为x ∈()3()0,3-∞-，．故选D.7．已知定义在()0,+∞上的函数()()2,6ln 4f x x m h x x x =-=-，设两曲线()y f x =与()y h x =在公共点处的切线相同，则m 值等于 A ．−3 B ．1 C ．3D ．5【答案】D【解析】设函数()()2,6ln 4f x x m h x x x =-=-在公共点（a ,b ）（a ＞0）处的切线相同，由题得()()62,4,f x x h x x =-'=所以26ln 4624b a m b a a a a ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，解之得a =1,b =−4,m =5.故答案为D.【名师点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是根据已知得到方程组26ln 4624b a m b a a a a ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=-⎩.8．若函数()()25e xf x x ax =++在1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．[)8,-+∞ B ．[)4,-+∞ C ．[)2,-+∞D ．[]4,2-【答案】B【解析】()()()()()2225e 5e 25e x x x f x x ax x ax x a x a '''⎡⎤=+++++=++++⎣⎦，要使函数()()25e xf x x ax =++在区间1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，需()0f x '≥在1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立；即()225e 0x x a x a ⎡⎤++++≥⎣⎦在1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，即()2250x a x a ++++≥在1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，即2251x x a x---≥+在1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，而()()221425414,111x x x x x x x -+----==-+-≤-=-+++当且仅当1x =时等号成立，此时符合题意. 即4a ≥-.故选B ．【名师点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，重点考查了转化思想与分类讨论的思想，此类问题关键是把问题转化成求最值问题解决．解本题时，函数在区间1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内是增函数，转化成导数在这个区间上大于等于0恒成立的问题，然后把恒成立转化成导数的最小值大于等于0即可顺利求解． 9．若方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是 A ．[]2,2- B ．[0,2]C ．[]2,0-D ．2()()2-∞-+∞，，【答案】A【解析】由题意得，方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则33m x x -=-，x ∈[0,2]，令33y x x =-，x∈[0,2]，则233y x '=-，令0y '>，解得x >1，因此函数在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，又x =1时，2y =-；x =2时，y =2；x = 0，y = 0，∴函数33y x x =-，x ∈[0,2]的值域是[]2,2-，故[]2,2m -∈-，∴[]2,2m ∈-，故选A.10．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】()f x 的定义域是()0,+∞，()11ax f x a x x'+=+=，当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增，且()10f a =≥，故存在()00,x ∈+∞，使()00f x >；当0a <时，令()0f x '>，解得10x a <<-，令()0f x '<，解得1x a >-，()f x ∴在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()max 11ln 10f x f a a ⎛⎫⎛⎫∴=-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1e a >-.综上，a 的取值范围是1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故选D.【名师点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.求出函数的导数，通过讨论a 的范围，确定函数的单调性，求出()f x 的最大值，得到关于a 的不等式，解出即可.11．（2018·全国高考真题（文））曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为__________．【答案】22y x =-【解析】由()2ln y f x x ==，得2()f x x'=，则曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率为(1)2k f '==，则所求切线方程为02(1)y x -=-，即22y x =-.12．（2018·天津高考真题（文））已知函数f (x )=e x lnx ，()'f x 为f (x )的导函数，则()'1f 的值为__________．【答案】e【解析】由函数的解析式可得：11()ln ln x x x f x e x e e x x x '⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭，则11(1)ln11f e e '⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即()'1f 的值为e ，故答案为e .13．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1).【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1xy x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .14．（2019·天津高考真题（文））曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________. 【答案】220x y +-= 【解析】1'sin 2y x =--，当0x =时其值为12-，故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=．【点睛】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组0010010()'()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨=⎪-⎩得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．15．（2020·全国高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x = 【解析】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.16．设函数()()23exx axf x a +=∈R . （1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）0a，3e 0x y ；（2）9[,)2-+∞. 【解析】（1）求导得()()()()2226e 3e 36()e e x xxx x a x ax x a x af x +-+-+-+'==，因为()f x 在0x处取得极值，所以(0)0f '=，即0a.当0a 时，23()=,e x x f x 236()e xx x f x -+'=,故33(1)=,(1)e e f f '=, 从而()f x 在点(1(1))f ，处的切线方程为33(1)e ey x ,化简得3e 0x y . （2）由（1）得，()236()exx a x af x -+-+'=, 令2()3(6)g x x a x+a =-+-，由()0g x =，解得2212636636=,66aa aa x x .当1x x 时，()g x <0,()0f x '<,故()f x 为减函数；当12x xx 时，()g x >0, ()0f x '>,故()f x 为增函数；当2xx 时，()g x <0, ()0f x '<,故()f x 为减函数；由()f x 在[3,)+∞上为减函数，知2636a x -+=≤，解得92a ≥-，故a 的取值范围为9[,)2-+∞.17．（2018·全国高考真题（文））已知函数()e 1xf x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．【答案】(1) a =212e ；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析. 【解析】（1）f （x ）的定义域为()0+∞，，f ′（x ）=a e x –1x．由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e．从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-．当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1exx --，则()e 1'e x g x x =-．当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1a e≥时，()0f x ≥． 18．（2018·全国高考真题（文））已知函数()()32113f x x a x x =-++．（1）若3a =，求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 只有一个零点．【答案】（1）f （x ）在（–∞，3-3++∞）单调递增，在（3-，3+减．（2）见解析.【解析】（1）当a =3时，f （x ）=3213333x x x ---，f ′（x ）=263x x --．令f ′（x ）=0解得x=3-x=3+当x ∈（–∞，3-3++∞）时，f ′（x ）>0；当x∈（3-3+ f ′（x ）<0．故f （x ）在（–∞，3-），（3++∞）单调递增，在（3-3+（2）由于210x x ++>，所以()0f x =等价于32301x a x x -=++．设()g x =3231xa x x -++，则g ′（x ）=()()2222231x x x xx ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=221116260366a a a ⎛⎫-+-=---< ⎪⎝⎭，f （3a +1）=103>，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．19．（2018·全国高考真题（文））已知函数()21xax x f x e+-=．（1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程；（2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．【答案】（1）切线方程是210x y --=（2）证明见解析【解析】（1）()()2212xax a x f x e-++'-=，()02f '=．因此曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程是210x y --=．（2）当1a ≥时，()()211x xf x e x x ee+-+≥+-+．令()211x g x x x e+=+-+，则()121x g x x e+=++'，()120x g x e+''=+>当1x <-时，()()10g x g '-'<=，()g x 单调递减；当1x >-时，()()10g x g '-'>=，()g x 单调递增；所以()g x ()1=0g ≥-．因此()0f x e +≥．20．（2019·全国高考真题（文））已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],0a ∈-∞.【解析】（1）()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x '=-+-=+- 令()cos sin 1g x x x x =+-，则()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++= 当()0,x π∈时，令()0g x '=，解得：2x π=∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '< ()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()0110g =-=，1022g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()112g π=--=-即当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >，此时()g x 无零点，即()f x '无零点 ()02g g ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =又()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 0x x ∴=为()g x ，即()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的唯一零点综上所述：()f x '在区间()0,π存在唯一零点（2）若[]0,x π∈时，()f x ax ≥，即()0f x ax -≥恒成立令()()()2sin cos 1h x f x ax x x x a x =-=--+ 则()cos sin 1h x x x x a '=+--，()()cos h x x x g x '''==由（1）可知，()h x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减且()0h a '=-，222h a ππ-⎛⎫'=-⎪⎝⎭，()2h a π'=-- ()()min 2h x h a π''∴==--，()max 222h x h a ππ-⎛⎫''==- ⎪⎝⎭①当2a ≤-时，()()min 20h x h a π''==--≥，即()0h x '≥在[]0,π上恒成立()h x ∴在[]0,π上单调递增()()00h x h ∴≥=，即()0f x ax -≥，此时()f x ax ≥恒成立②当20a -<≤时，()00h '≥，02h π⎛⎫'>⎪⎝⎭，()0h π'< 1,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10h x '=()h x ∴在[)10,x 上单调递增，在(]1,x π上单调递减又()00h =，()()2sin cos 10h a a ππππππ=--+=-≥()0h x ∴≥在[]0,π上恒成立，即()f x ax ≥恒成立③当202a π-<<时，()00h '<，2022h a ππ-⎛⎫'=->⎪⎝⎭20,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20h x '=()h x ∴在[)20,x 上单调递减，在2,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增()20,x x ∴∈时，()()00h x h <=，可知()f x ax ≥不恒成立④当22a π-≥时，()max 2022h x h a ππ-⎛⎫''==-≤⎪⎝⎭()h x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减00h x h可知()f x ax ≥不恒成立综上所述：(],0a ∈-∞21．（2019·全国高考真题（文））已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 【答案】（1）见详解；（2）见详解【解析】（1）由题意可得，()f x 的定义域为(0,)+∞，由()(1)ln 1f x x x x =---，得11()ln 1ln x f x x x x x -'=+-=-，显然1()ln f x x x'=-单调递增；又(1)10f '=-<，1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0x ，使得0()0f x '=；又当0x x >时，0()0f x '>，函数()f x 单调递增；当00x x <<时，0()0f x '<，函数()f x 单调递减；因此，()f x 存在唯一的极值点；（2）由（1）知，0()(1)2f x f <=-，又22()30f e e =->，所以()0f x =在0(,)x +∞内存在唯一实根，记作x α=. 由01x α<<得011x α<<，又1111()()(1)ln10f f αααααα=---==，故1α是方程()0f x =在0(0,)x 内的唯一实根；综上，()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.22．（2019·全国高考真题（文））已知函数32()22f x x ax =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<<3a 时，记()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围. 【答案】(1)见详解；(2) 8[,2)27.【解析】(1)对32()22f x x ax =-+求导得2'()626()3a f x x ax x x =-=-.所以有当0a <时，(,)3a -∞区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增；当0a =时，(,)-∞+∞区间上单调递增；当0a >时，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. (2)若02a <≤，()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f .而(0)2,(1)22(0)f f a f ==-+≥，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f .所以332(1)()(4)[2()()2]233327a a a a M m f f a a a -=-=---+=-+，设函数3()227x g x x =-+，求导2'()19x g x =-当02x <≤时)'(0g x <从而()g x 单调递减.而02a <≤，所以38222727a a ≤-+<.即M m -的取值范围是8[,2)27. 若23a <<，()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f 而(0)2,(1)22(0)f f a f ==-+≤，故所以区间[0,1]上最大值为(0)f .所以332(0)()2[2()()2]33327a a a a M m f f a -=-=--+=，而23a <<，所以3812727a <<.即M m -的取值范围是8(,1)27. 综上得M m -的取值范围是8[,2)27. 23．（2018·北京高考真题（文））设函数2()[(31)32]xf x ax a x a e =-+++.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a ；（Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12（Ⅱ）(1,)+∞ 【解析】（Ⅰ）因为()()23132e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，所以()()211e xf x ax a x ⎡⎤=-++⎣⎦'.()()2221e f a -'=，由题设知()20f '=，即()221e 0a -=，解得12a =. （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得()()()()211e 11e xxf x ax a x ax x ⎡⎤=-++=--⎣⎦'. 若a >1，则当1,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>. 所以()f x 在x =1处取得极小值.若1a ≤，则当()0,1x ∈时，110ax x -≤-<，所以()0f x '>.所以1不是()f x 的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是()1,+∞. 方法二：()()()11e xf x ax x =--'.（1）当a =0时，令()0f x '=得x =1.()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意. （2）当a >0时，令()0f x '=得121,1x x a==. ①当12x x =，即a =1时，()()21e 0x f x x '=-≥， ∴()f x 在R 上单调递增， ∴()f x 无极值，不合题意.②当12x x >，即0<a <1时，()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意.③当12x x <，即a >1时，()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：∴()f x 在x =1处取得极小值，即a >1满足题意. （3）当a <0时，令()0f x '=得121,1x x a==. ()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意. 综上所述，a 的取值范围为()1,+∞.24．（2020·全国高考真题（文））已知函数()(2)xf x e a x =-+.（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞. 【解析】（1）当1a =时，()(2)xf x e x =-+，'()1xf x e =-，令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >，所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，从方程可知，2x =-不成立，即2xe a x =+有两个解，令()(2)2x e h x x x =≠-+，则有'22(2)(1)()(2)(2)x x x e x e e x h x x x +-+==++，令'()0h x >，解得1x >-，令'()0h x <，解得2x <-或21x -<<-，所以函数()h x 在(,2)-∞-和(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，且当2x <-时，()0h x <，而2x +→-时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以当2xe a x =+有两个解时，有1(1)a h e >-=，所以满足条件的a 的取值范围是：1(,)e+∞.25．（2020·全国高考真题（文））已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．【答案】（1）详见解析；(2)4(0,)27. 【解析】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x < 令'()0f x >，得x <x >()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增. （2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<，当4027k <<>20f k =>，所以()f x在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<，所以()f x 在(1,k --上有唯一一个零点，又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知k 的取值范围为4(0,)27. 26．（2020·全国高考真题（文））已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．【答案】（1）1c ≥-；（2）()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间【解析】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)+∞()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ≤+⇒--≤⇒+--≤*，设()2ln 12(0)h x x x c x =+-->，则有22(1)()2x h x x x-'=-=，当1x >时，()0,()h x h x '<单调递减，当01x <<时，()0,()h x h x '>单调递增，所以当1x =时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ==+-⨯-=--，要想不等式()*在(0,)+∞上恒成立，只需max ()0101h x c c ≤⇒--≤⇒≥-；（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a+---==>--且)x a ≠因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a --+'=-，设()2(ln ln )m x x a x x x a =--+，则有()2(ln ln )m x a x '=-，当x a >时，ln ln x a >，所以()0m x '<，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，所以()g x 单调递减；当0x a <<时，ln ln x a <，所以()0m x '>，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间.________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________。

利用导数证明不等式——2021年高考文科数学一轮复习热点题型(附解析)

e－1
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2021 年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破
专题 3.4 高考解答题热点题型（一）利用导数证明不等式
目录一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1
x2
联立消参利用方程 f(x1)＝f(x2)消掉解析式中的参数 a
抓商构元
令
c＝x1，消掉变量 x2
x1，x2，构造关于
c
的函数
h(c)
用导求解利用导数求解函数 h(c)的最小值，从而可证得结论
【例 1】已知函数 f(x)＝ln x－1ax2＋x，a∈R. 2
(1)当 a＝0 时，求函数 f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程； (2)若 a＝－2，正实数 x1，x2 满足 f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥ 5－1.
题型一作差法构造函数证明不等式.................................................................................................................. 1 题型二拆分法构造函数证明不等式.................................................................................................................. 2 题型三换元法构造函数证明不等式.................................................................................................................. 3 题型四两个经典不等式的应用.......................................................................................................................... 3 二、高效训练突破.........................................................................................................................................................4

2021年高考数学一轮复习第四章导数及其应用第26课导数的综合问题(1)文(含解析)

2021年高考数学一轮复习第四章导数及其应用第26课导数的综合问题（1）文（含解析）1.利用研究不等式问题：证明方法（1）构造函数（2）利用函数的单调性证明【例1】设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）求证：对于定义域内的任意一个，都有．【解析】（1）∵，∴．令，解得；令，解得．∴函数的单调递增区间为；单调递减区间为．【变式】已知函数，，两函数图象的交点在轴上，且在该点处切线相同．（1）求，的值；（2）求证：当时，成立；【解析】（1）∵与的图象在轴上有公共点，∴，即．又∵，，由题意，即，∴，．（2）设，则．∴在时单调递减．∵，∴当时，，∴当时，．2。

利用导数来研究恒成立问题【例2】已知函数.(1)求的单调区间；(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【解析】(1).①当时，. ∴的单调递增区间为.②当时，由，得.时，，时，，∴函数的单调增区间为，单调递减区间为 .（2）由已知，转化为.∵，∴，由(1)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，∴max 11()()1ln()1ln()f x f aa a=-=-+-=---，∴，解得. 【变式】（xx房山二模）已知函数在处取得极值．（1）求的值；（2）求证：对任意，都有．【解析】（1），由已知得，解得．∵当，，时，，时，，∴在处取得极小值．∴．（2）由（1）知，．令得，∵，∴，∴对任意，都有．第26课导数的综合问题的课后作业（1）1. 设为曲线：在点处的切线.（1）求的方程；（2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方2.设f (x )＝ln x ＋ax (a ∈R 且a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a ＝1，证明：x ∈[1，2]时，f (x )－3<1x成立．【解】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋a ，当a >0时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．当a <0时，f ′(x )＝ax ＋1x，由f ′(x )>0得0<x <－1a ；由f ′(x )<0得，x >－1a. ∴函数f (x )在(0，－1a )上是增函数；在(－1a，＋∞)上是减函数． (2)证明：当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x ，要证x ∈[1，2]时，f (x )－3<1x成立，只需证x ln x ＋x 2－3x －1<0在x ∈[1，2]时恒成立．令g (x )＝x ln x ＋x 2－3x －1，则g ′(x )＝ln x ＋2x －2，设h (x )＝ln x ＋2x －2，则h ′(x )＝1x＋2>0，∴h (x )在[1，2]上单调递增， ∴g ′(1)≤g ′(x )≤g ′(2)，即0≤g ′(x )≤ln 2＋2，∴g (x )在[1，2]上单调递增，∴g (x )≤g (2)＝2ln 2－3<0， ∴当x ∈[1，2]时，x ln x ＋x 2－3x －1<0恒成立，即原命题得证． 3. 已知函数f (x )＝ln x ＋1x－1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m ∈R，对任意的a ∈(－1，1)，总存在x 0∈[1，e]，使得不等式ma －f (x 0)<0成立，求实数m 的取值范围．【解】(1)f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，x >0. 令f ′(x )>0，得x >1，因此函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)．令f ′(x )<0，得0<x <1，因此函数f (x )的单调递减区间是(0，1)．(2)依题意，ma <f (x )max .由(1)知，f (x )在x ∈[1，e]上是增函数，∴f (x )max ＝f (e)＝ln e ＋1e －1＝1e. ∴ma <1e ，即ma －1e<0对于任意的a ∈(－1，1)恒成立． ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ×1－1e ≤0，m ×（－1）－1e≤0，解得－1e ≤m ≤1e . ∴m 的取值范围是[－1e ，1e ]． 4. 已知函数f (x )＝ln x －a x. (1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性；(2)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．【解】(1)由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a x 2. ∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f (x )<x 2，∴ln x －a x<x 2.又x >0，∴a >x ln x －x 3. 令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2，h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x. ∵x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数．∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0，∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数．g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立．那a 的取值范围是[－1，＋∞)．N38316 95AC 閬A33320 8228 舨36976 9070 遰29386 72CA 狊<32065 7D41 絁21433 53B9 厹20456 4FE8 俨31256 7A18 稘30810 785A 硚Ge28939 710B 焋。

2021年高考数学热点04 导数及其应用(解析版)

故选：D
4．（2020·安徽高三月考（文））已知函数 f (x) xex ， g(x) x ln x ，若
ln t f (x1) g(x2 ) t ，t>0，则 x1x2 的最大值为（）
1 A． e2
4 B． e2
1 C． e
2 D． e
【答案】C
【分析】由题意得， x1ex1 t ， x2 ln x2 t ，即 eln x2 ln x2 t ， f (x) (1 x)ex ，易得 f(x)
2 cos
3
0
，则
3
2
k
k
Z
，解得
k k Z
6
.
f
f
4
2 sin
2
2 sin
2
2 sin
2 cos
2
2
sin
4
0
，
则
sin
4
0
2m
，可得
4
2m
m Z
，解得
2m 3 2m m Z
4
4
.
所以，当
取最小正数时，
π 6
，所以，
f
x
sin
不等式
f
t
f
3
t
sin
t
sin
t
3
可化
f
(t) sin t
f
3
t
sin
3
t
，
即
g (t )
g
3
t
，由
g(x)
是偶函数得
g(
t
)
g
3
t
，而
g(x)
在[0, )

易错点04导数及其应用(解析版)

易错点04 导数及其应用易错题【01】不会利用等价转化思想及导数的几何意义研究曲线的切线求曲线的切线方程一定要注意区分“过点A 的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同．虽只有一字之差,意义完全不同,“在”说明这点就是切点,“过”只说明切线过这个点,这个点不一定是切点,求曲线过某点的切线方程一般先设切点把问题转化为在某点处的切线,求过某点的切线条数一般也是先设切点,把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个数问题.易错题【02】对极值概念理解不准确致对于可导函数f (x )：x 0是极值点的充要条件是在x 0点两侧导数异号,即f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0的左右的符号：“左正右负”⇔f (x )在x 0处取极大值；“左负右正”⇔f (x )在x 0处取极小值,而不仅是f ′(x 0)＝0.f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的必要而不充分条件．对于给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑f ′(x 0)＝0,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”,防止产生增根．易错题【03】研究含有参数的函数单调性分类标准有误若函数的单调性可转化为解不等式()()()()1200a x x x x x −−><>或0求解此类问题,首先根据a 的符号进行讨论,当a 的符号确定后,再根据12,x x 是否在定义域内讨论,当12,x x 都在定义域内时在根据12,x x 的大小进行讨论.易错题【04】不会利用隐零点研究函数的性质函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为0x ,再利用导函数的单调性确定0x 所在区间,最后根据()00f x '=,研究()0f x ,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若)(x f 中含有参数a ,关系式0)('0=x f 是关于ax ,0的关系式,确定0x 的合适范围,往往和a 的范围有关.01（2022新高考1卷T7）若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线,则( )A ．b e a <B ．a e b <C ．0b a e <<D ．0a b e <<【警示】不会把切线条数有2条,转化为关于a 的方程有2个实根. 【答案】D【问诊】设过点(),a b 的切线与曲线e x y =切于(),e t P t ,对函数e x y =求导得e xy '=,所以曲线02已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a（2022全国1卷T12）设则0<<；综上b a2．（2021届山西长治市高三月考）已知函数m n+=（）03（2021新高考2卷T22（1.（2021届河南高三月考）已知函数04（2021届福建省龙岩高三月考）已知函数()f x '在)01m =+,,()f x f '>]1,0上单调递增()01f =,1.（2021届内蒙古海拉尔高三期中）已知函数又1x =是()f x 的极值点,则()110f a '=+=,解得1a =−,此时()111x f x x x −'=−+=：当01x <<时,()0f x ¢<；当1x >时,()0f x ¢>；∴易知：1x =是()f x 的极小值点,且()f x 的单调递增区间为()1,+?,单调递减区间为()0,1；（2）若1a =有()ln f x x x =+,设()ln 1x h x x x xe =+−+,()0,x ∈+∞； ∴()()()11111x x h x x e x e x x ⎛⎫'=+−+=+− ⎪⎝⎭；令()1xt x e x=−,()0,x ∈+∞,则()210x t x e x '=−−<对任意()0,x ∈+∞恒成立,∴()1xt x e x=−在()0,+?上单调递减；又1202t e ⎛⎫=−> ⎪⎝⎭,()110t e =−<,∴01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00010x t x e x =−=,即001x e x =,则001ln ln x e x =,即00ln x x −=；因此,当00x x <<时()0t x >,即()0h x '>,()h x 单调递增；当0x x >时,()0t x <,即()0h x '<,()h x 单调递减；故()()00000ln 10110xh x h x x x x e ≤=+−+=−+=,即得证.2.已知0a >,函数sin 1()ln a x f x x x x=−+. （1）证明：()f x 在(0,)π上有唯一的极值点；（2）当2a =时,求()f x 在(0,)+∞上的零点个数. 【解析】（1）证明：()2cos sin 1x x ax x a x f x −⋅+−'=,记()cos 1g x x ax x asinx =−+−,0()x π∈，, 则()sin 1g x ax x '=+.由0a >得()0g x '>在(0,)π上恒成立,从而()g x 在(0,)π上为增函数, 并且(0)10g =−<,()10g a πππ=+−>.根据零点存在性定理可知,存在唯一的()00x π∈，使得()00g x =, 并且当()00x x ∈，时,()0<g x ,当()0x x π∈，时,()0>g x . 由于()2()x g f xx '=,因此当()00x x ∈，时,()0f x '<, 当()0x x π∈，时,()0f x '>,当0x x =时,()0f x '=, 所以0x 是()f x 在(0,)π上唯一的极值点. （2）当2a =时,()22cos 2sin 1x x x x x f x −+−'=,并且根据（1）知存在1(0)x π∈，使得()f x 在1(0)x ，上为减函数,在1()x π，上为增函数.由于(1)2sin12cos10f '=−>,从而1(01)x ∈，. 由于(1)12sin10f =−<,1()ln 0f πππ=+>,根据零点存在性定理可知,()f x 在(1)π，上存在唯一的零点,在()11x ，上无零点；当x π>时,2sin 111()ln ln ln 0x f x x x x x x ππ=−+≥−>−>, 因此函数()f x 在()π+∞，上无零点；当()10x x ∈，时,记sin y x x =−,则cos 10y x '=−<, 所以sin y x x =−在()10x ，上为减函数,所以sin 0x x −<, 即sin 0x x >>对()10x x ∈，恒成立. 因此当()10x x ∈，时有2sin 11()ln ln 2x f x x x x x x=−+>+−, 因此()2240f e e −>−>,结合1()0f x <知函数()f x 在21()e x −，上存在唯一的零点,在()20e−，上无零点.综上所述,函数()f x 在(0)+∞，上共有2个零点.。

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易错点04 导数及其应用易错点1：导数与函数的单调性导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．易错点2：导数与函数的极（最）值求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

易错点3：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论．易错点4：导数与函数的零点研究函数图像的交点、方程的根、函数零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等。

用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数单调性，借助零点村子性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决。

01 导数与函数的单调性例1（2020•天津卷）已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（Ⅰ）当3k-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【警示】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅰ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【解析】(Ⅰ) (i) 当k ＝6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)； g (x )的极小值为g (1)＝1，无极大值.（Ⅰ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭. ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞.当x ＞1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t ＞1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t tt t t t tt ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 【叮嘱】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．1．（2014新课标Ⅰ）若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞ 【解析】∵，∴，∵在单调递增，所以当时，恒成立，即在上恒成立， ∵，∴，所以，故选D ． 2．（2020•全国1卷）已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a ＝1时，讨论f （x ）的单调性；【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()21x f x e x '=+-，由于()20xf x e ''=+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.02 导数与函数的极（最）值例2．（2020•北京卷）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅰ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【警示】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅰ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【解析】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，()ln f x kx x =-1()f x k x'=-()f x (1,)+∞1x >1()0f x k x '=-≥1k x≥(1,)+∞1x >101x<<k ≥1设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11，由点斜式可得切线方程：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅰ）显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t ++==++，所以4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==. 【叮嘱】求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

1．（2017新课标Ⅰ）若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则21()(1)x f x x ax e -=+-的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e - D ．1 【解析】∵，∵，∴，所以，，令，解得或，所以当，，单调递增；当时，，单调递减；当，，21()[(2)1]x f x x a x a e-'=+++-(2)0f '-=1a =-21()(1)x f x x x e-=--21()(2)x f x x x e-'=+-()0f x '=2x =-1x =(,2)x ∈-∞-()0f x '>()f x (2,1)x ∈-()0f x '<()f x (1,)x ∈+∞()0f x '>()f x单调递增，所以的极小值为，选A ．2．(2018全国卷Ⅰ)已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； (2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ．【解析】(1)当时，，．设函数，则．当时，；当时，．故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，．所以在单调递增．又，故当时，；当时，．(2)（i ）若，由(1)知，当时，，这与是的极大值点矛盾．（ii ）若，设函数．由于当时，，故与符号相同．又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点．．如果，则当，且时，，故不是的极大值点．如果，则存在根，()f x 11(1)(111)1f e -=--=-0a =()(2)ln(1)2f x x x x =++-()ln(1)1x f x x x'=+-+()()ln(1)1xg x f x x x'==+-+2()(1)x g x x '=+10x -<<()0g x '<0x >()0g x '>1x >-()(0)0g x g =≥0x =()0g x =()0f x '≥0x =()0f x '=()f x (1,)-+∞(0)0f =10x -<<()0f x <0x >()0f x >0a ≥0x >()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ++->=≥0x =()f x 0a <22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax ==+-++++||min{x <220x ax ++>()h x ()f x (0)(0)0h f ==0x =()f x 0x =()h x 2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++610a +>6104a x a +<<-||min{x <()0h x '>0x =()h x 610a +<224610a x ax a +++=10x <故当，且时，，所以不是的极大值点．如果，则．则当时，；当时，．所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，．03 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚例3．（2017浙江）函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．【警示】此类题目，考生容易将导函数图像的升降当作原函数图像的升降。