利用配方法求最值问题
初三配方法求最值练习题
初三配方法求最值练习题在初三数学学习中，配方法求最值是一个重要的知识点。
这个方法不仅可以帮助我们解决一些复杂的数学问题，还能训练我们的思维能力和解题技巧。
本文将给大家提供一些配方法求最值的练习题，希望能帮助大家更好地掌握这一知识点。
1. 求函数$f(x)=x^2-2x+3$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要找到函数的极值点。
对于二次函数$f(x)$来说，极值点位于顶点处。
由于函数$f(x)$的二次项系数是正数，所以它的抛物线开口朝上，顶点是最小值点。
首先，我们求得函数$f(x)$的导数$f'(x)=2x-2$。
令导数为零，可以得到$x=1$。
因此，函数$f(x)$的顶点横坐标为$x=1$。
将$x=1$代入函数$f(x)$，可以得到$f(1)=1^2-2\times 1+3=2$。
所以函数$f(x)$在区间$[0,3]$上的最小值为2。
接下来，我们需要确定最大值。
由于函数$f(x)$是一个开口朝上的抛物线，所以最大值要么出现在区间的端点，要么出现在极值点$x=1$。
将$x=0$和$x=3$分别代入$f(x)$，可以得到$f(0)=3$和$f(3)=6$。
所以函数$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值为6。
综上所述，函数$f(x)=x^2-2x+3$在区间$[0,3]$上的最大值为6，最小值为2。
2. 设$x,y$是非负实数，且满足$x+y=6$，求函数$F(x)=x^2y$的最大值。
解析：根据题目的条件，我们可以得到$y=6-x$。
将其代入函数$F(x)$，可以得到$F(x)=x^2(6-x)$。
我们要求函数$F(x)$的最大值，可以通过求导数来解决。
首先，对函数$F(x)$求导数，可以得到$F'(x)=12x-2x^2$。
令导数为零，可以得到$12x-2x^2=0$。
化简后，得到$x(6-x)=0$，解得$x=0$和$x=6$。
将$x=0$和$x=6$代入函数$F(x)$，可以得到$F(0)=F(6)=0$。
配方法解决最值问题
通过配方，可将复杂的最值问题转化为简单的形 式，从而简化计算过程，提高解题效率。
3
直观性强
配方法能够将问题转化为易于理解的几何图形或 数学模型，使得问题更加直观，便于分析和求解。
配方法的局限性
对函数形式有要求
配方法主要适用于具有一定规律性的函数形式，对于某些复 杂或特殊的函数形式可能难以应用。
当$A > 0$且$B > 0$时，函数有最小 值$C$；当$A < 0$或$B < 0$时，函 数无最值。
案例三：约束条件下的最值问题
问题描述
在约束条件$g(x, y) = 0$下，求 函数$f(x, y)$的最值。
解决方法
通过引入参数方程将约束条件转 化为参数方程形式，将原问题转 化为无约束条件下的最值问题。 然后利用配方法求解转化后的最 值问题。
05 案例分析
案例一：一元二次函数的最值问题
问题描述
求函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的最值。
解决方法
通过配方，将函数转化为顶点式$f(x) = a(x - h)^2 + k$，其中$(h, k)$为顶点坐 标。根据$a$的正负性判断函数的开口方向，从而确定函数的最值。
结论
当$a > 0$时，函数有最小值$k$；当$a < 0$时，函数有 最大值$k$。
根据完全平方形式的性质，确定函数的最值点$x = -frac{b}{2a}$，并求出最值$f(-frac{b}{2a}) = frac{4ac - b^2}{4a}$。
03 配方法在最值问题中的应 用
一元二次函数的最值问题
配方形式
通过配方将一元二次函数转化为顶点形式，从而 直接得出最值。
配方法求最值
配方法求最值在数学中，我们经常会遇到求解函数最值的问题。
而配方法是一种常用的方法之一，用来求解函数的最值。
本文将介绍配方法的基本概念和应用，帮助读者更好地理解和运用这一方法。
首先，让我们来了解一下什么是配方法。
配方法，顾名思义，就是通过配对的方式来对函数进行变形，从而更容易求解最值。
通常情况下，我们会将函数进行配对，使得原函数可以被分解为两个部分，其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
这样就可以通过对函数进行变形，使得求解最值的过程更加简单。
接下来，我们来看一个具体的例子，以便更好地理解配方法的应用。
假设我们要求解函数f(x)=x^2e^x的最值。
首先，我们可以通过配方法将函数进行变形，将x^2和e^x进行配对。
我们可以将函数f(x)写成f(x)=x^2e^x=x^2e^x。
然后，我们可以对这个函数进行变形，使得其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
在这个例子中，我们可以通过配方法将x^2和e^x进行配对，然后对函数进行变形，从而更容易求解最值。
通过上面的例子，我们可以看到配方法的基本思想。
通过对函数进行配对，使得原函数可以被分解为两个部分，其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
这样就可以通过对函数进行变形，使得求解最值的过程更加简单。
除了上面的例子之外，配方法还可以应用于其他类型的函数。
无论是多项式函数、指数函数、对数函数还是三角函数，都可以通过配方法进行变形，从而更容易求解最值。
因此，配方法是一种非常实用的方法，可以帮助我们更好地求解函数的最值。
在实际应用中，我们可以通过配方法来求解各种类型的函数的最值。
无论是在求解数学问题、物理问题还是工程问题中，配方法都可以发挥重要作用。
因此，掌握配方法是非常重要的，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
总之，配方法是一种常用的方法，用来求解函数的最值。
通过对函数进行配对，使得原函数可以被分解为两个部分，其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
2020年中考复习《最值问题》压轴综合(含答案)
2020年中考复习《最值问题》压轴综合[中考真题]（2019·无锡）如图，在ABC ∆中，54,5,===∆BC AC ABABC ,D 为边AB 上一动点(B 点除外)，以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为B[思路解析]过点C 作CG ⊥BA 于点G ，作EH ⊥AB 于点H ，作AM ⊥BC 于点M ．由AB=AC=5，BC[考点提炼] 类型一：代数最值解数学题时，我们常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点： 1. 利用绝对值求最值； 2. 运用配方法求最值；3. 构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；4. 建立函数模型求最值；5. 利用基本不等式求最值；6. 构造几何模型求最值. 类型二：几何最值几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法，比如中点处、临界点； 2．几何定理(公理)法，比如垂线段最短；3．数形结合法，比如图形面积问题．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．[例题精讲]【例1】利用配方法求最值设a 、b 为实数，那么b a b ab a 222--++的最小值是 ． 【答案】-1【例2】 利用判别式法求最值设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，2221x x +有最小值，并求这个最小值．【答案】98 注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形： (1)当抛物线的顶点在该取值范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；(2)当抛物线的顶点不在该取值范围内，二次函数的最值在该取值范围内两端点处取得．【例3】利用基本不等式求最值某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为[500)1(41+-x ]元．(1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y (元)表示为使用天数x (天)的函数； (2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废? 【答案】（1）y=874998500000++x x ； （2）2000天.注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：(1)02≥a ； (2)ab b a 222≥+；（3）若0>a ，0>b ，则ab b a 2≥+； (4)若0>a ，0>b ，0>x ，则bab x x a 2≥+． 以上各式等号当且仅当b a = (或bxx a =)时成立． 【例4】利用函数模型求最值如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为l0m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm ，面积为sm 2．(1)求s 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为45m 2的花圃，AB 的长是多少米?(3)能围成面积比45m 2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【答案】（1）S=-3x 2+24x （8x 314<≤）；（2）AB=5m ； （3）3246max =S .能围成，围法：长10m ，宽324m.【例5】构造几何模型求最值求代数式4)3(122+-++x x 最小值．解：如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则221)0(+-x 可以看成点P 与点A（0，1）的距离，222)3(+-x 可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值．∴原代数式的最小值为32.【例6】利用特殊位置与极端位置法求最值如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．【答案】5注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等． 【例7】利用定理或公理求最值（1）如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，R(均不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为 ．【答案】102（2）如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ．【答案】5（3）如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )A ．1B ．22C ．2D ．13-【答案】C（4）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是 .【答案】71（5）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【答案】3【例8】数形结合求最值1、如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上∴∠DFC＝∠C＝60°∴∠DFC＝∠A∴DF∥AB；（2）存在，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵AB＝BC＝6，BD＝4，∴CD＝2∴DF＝2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小，∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°∴MD＝2∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6∴S最大值＝﹣（6﹣6）＝3+62、综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；解：（1）∵OA＝2，OC＝6∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6（2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称∴x D＝，AD＝BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC 解析式为y ＝kx ﹣6 ∴3k ﹣6＝0，解得：k ＝2 ∴直线BC ：y ＝2x ﹣6 ∴y D ＝2×﹣6＝﹣5∴D （，﹣5）故答案为：（，﹣5）（3）过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，交直线BC 与点F 设E （t ，t 2﹣t ﹣6）（0＜t ＜3），则F （t ，2t ﹣6） ∴EF ＝2t ﹣6﹣（t 2﹣t ﹣6）＝﹣t 2+3t∴S △BCE ＝S △BEF +S △CEF ＝EF •BG +EF •OG ＝EF （BG +OG ）＝EF •OB ＝×3（﹣t 2+3t ）＝﹣（t ﹣）2+∴当t ＝时，△BCE 面积最大∴y E ＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点E 坐标为（，﹣）时，△BCE 面积最大，最大值为．[举一反三] 1、若32211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) A ．3 B ．1459 C ．29D ．6【答案】B2、正实数x 、y 满足1=xy ，那么44411yx+的最小值为( )A ．21 B ．85C ．1D ．45E ．2 【答案】C3、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．14 【答案】B4、如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( )A ．22+B ．21+C ．23+D ．23+ 【答案】A5、当－2≤x≤l 时，二次函数()22y x m m 1=--++有最大值4，则实数m 的值为（ ） A. 74- B. 3或3- C. 2或3- D. 2或3或74-【答案】C6、如图，点P （-1，1）在双曲线上，过点P 的直线l 1与坐标轴分别交于A 、B 两点，且tan ∠BAO=1．点M 是该双曲线在第四象限上的一点，过点M 的直线l 2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C 、点D ．则四边形ABCD 的面积最小值为（ ） A 10 B 8 C 6 D 不能确定【答案】B7、设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为 ． 【答案】863- 8、若抛物线1)1(2----=k x k x y 与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，则△ABC 的面积最小值为【答案】19、甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p (万元)和q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式x p 51=，x q 53=． 今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得多大的利润?【答案】甲：0.75万元，乙：2.25万元，最大利润1.05万元.10、已知：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转得到△A ′B ′C ，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A ′D ⊥AC ，垂足为D ，A ′D 与B ′C 交于点E ．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接P A，PF，若AB ＝，求线段P A+PF的最小值．（结果保留根号）【答案】（1）①解：旋转角为105°．理由：如图1中，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°，∵∠CA′D＝15°，∴∠A′CD＝75°，∴∠ACA′＝105°，∴旋转角为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴＝，∴＝，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠F A′O＝∠OEC＝60°，∴△A′OF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴P A+PF＝P A+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝CB′＝1，CM＝，∴AB′＝＝＝．∴P A+PF的最小值为．11、如图，抛物线()21y x 312=--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D. （1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD.求证：∠AEO=∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙O 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标.【答案】（1）()32,0-，()32,0 ，()3,1- ；（2）证明略；（3）（5，1）；（3，1）或1913,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
初中数学几何模型与最值问题09专题-一元二次方程在实际应用中的最值问题(含答案)
初中数学几何模型与最值问题专题9 一元二次方程在实际应用中的最值问题【应用呈现】1、 近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD ，要求AD 边靠墙，CD ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ∶CD ＝5∶4，且三边的总长为20 m ．设AB 的长为5x m . (1)请求AD 的长；(用含字母x 的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m 2，且周长不大于30 m ，求AB 的长．【方法总结】一、一元二次方程判别式求解1、已知x 、y 为实数，且满足x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。
2、已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两实数根，则（m +2）（n +2）的最小值是（ ） A ．7 B ．11 C ．12 D ．16二、配方法求最值1、设a 、b 为实数，那么a ab b a b 222++--的最小值为_______。
2、将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点，若CA =5，AB =6，AB =1：3，则MD +的最小值为 ．三、 “夹逼法”求最值1、不等边三角形∆ABC 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。
1、国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2019年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2017年底至2019年底贫困人口年平均下降的百分率．2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．（1）降价后，每件衬衫的利润为元，平均每天的销量为件；（用含x的式子表示）（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？3、2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？4、某商场第一年销售某品牌手机5000部，如果每年的销售量比上年增长相同的百分率x，且第三年比第二年多销售了1200部，求x的值．5、某通讯公司规定：一名客户如果一个月的通话时间不超过A分钟，那么这个月这名客户只要交10元通话费；如果超过A分钟，那么这个月除了仍要交10元通话费外，超过部分还要按每分钟元交费．（Ⅰ）某名客户7月份通话90分钟，超过了规定的A分钟，则超过部分应交通话费元（用含A的代数式表示）；（Ⅱ）下表表示某名客户8月份、9月份的通话情况和交费情况：月份通话时间/分钟通话费总数/元8月份80 259月份45 10根据上表的数据，求A的值．6、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角，墙DF足够长，墙DE长为9米，现用20米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，点C在墙DF上，点A在墙DE上，（篱笆只围AB，BC两边）．（Ⅰ）根据题意填表；BC（m） 1 3 5 7矩形ABCD面积（m2）（Ⅱ）能够围成面积为100m2的矩形花园吗？如能说明围法，如不能，说明理由．专题9 一元二次方程在实际应用中的最值问题 答案【应用呈现】2、 近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．【解析】（1）设每年平均增长的百分率为x ． 60002)1(x +=8640，2)1(x +=1.44，∵1+x ＞0， ∴1+x =1.2， x =20%．答：每年平均增长的百分率为20%；（2）2012年该县教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）＞9500万元． 故能实现目标．2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD ，要求AD 边靠墙，CD ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ∶CD ＝5∶4，且三边的总长为20 m ．设AB 的长为5x m . (1)请求AD 的长；(用含字母x 的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m 2，且周长不大于30 m ，求AB 的长．【解析】(1)作BH ⊥AD 于点H ，则AH ＝3x ，由BC ＝DH ＝20－9x 得AD ＝20－6x (2)由2(20－9x )＋3x ＋9x ≤30得x ≥53，由12[(20－9x )＋(20－6x )]×4x ＝50得3x 2－8x ＋5＝0，∴x 1＝53，x 2＝1(舍去)，∴5x ＝253.答：AB 的长为253米 【方法总结】一、一元二次方程判别式求解1、已知x 、y 为实数，且满足x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。
高三数学三角函数的最值问题
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炼器至尊,九品下の实力,凭借手中奇异の宝物,实力居然能比九品上！ 风月君主从不参与各大势力の纷争,就算风月大陆各大世家明争暗斗,他都很少管.只要不触犯他订下の几条规矩就没事,一心钻研炼器,所以他炼器の水平已经达到一些极其高深の水平.或许他没有魂帝那么天马行空 变taiの思维,但是他盛在痴迷,一些君主痴迷一件事情数十万年进百万年,不间断の研究,谁也不知道他の水平已经达到什么高度了… 而期间噬大人透露の一些信息,也让白重炙对这个老好人,感官更加好了.恶魔降临之时,一直很少出关の风月君主第一站了出来,开始召集各君主,甚至派 人去了不少秘境请那几位老东西出山.在众位君主忙着清理各自大陆阴煞涧の不咋大的部分恶魔时,他就放言,如果星辰海の恶魔不立即镇压,神界将会迎来历史上第三次灭世大浩劫！ 结果…各路巅峰强者,刚准备去风月大陆汇集の时候,妖智开始暴动了！ 第一波浩劫来临,就在昨日风 云君主再次传讯了,今日妖月升起之前,不管各大陆の妖智击杀の情况如何,必须去风月潭集合商议对策,否则事情将不可挽回！ 所以噬大人给白重炙两天の时候,白重炙听完之后一阵唏嘘.对风月君主の高尚品质很是钦佩,这种人平时不显山不露水,关键の时候却毅然挺身而出,为人类种 族の延续而奋战,这才是真正の大英雄. 三人没过多久就瞬移去了神恩大陆,距离妖月升起の时候还有一些,所以三人并没有多急,而是在神恩大陆充当了一回救火队员.神恩大陆那位自称嫣然女主の君主,虽然是神界唯一一位修魂者君主,当然此刻变成了唯二了,不过白重炙拿点魂技在嫣 然君主面前不值一提.但是毕竟她只是一人,神恩大陆情况很不妙,所以噬大人三人の到来,嫣然君主无比の感激和振奋. 白重炙休息了一不咋大的会,刚刚缓解了一些の精神压力.在神恩大陆战斗了数个数个时辰之后,再次差点灵魂奔溃了. 三位巅峰强者の加入,神恩大陆の妖智攻击在妖 月就要升起之前,终于稳定了下来.四人立即开始传送去风月大陆.白重炙苍白の脸色,让基德和噬大人一阵无奈,但是噬大人却依旧没有打算将他那半吊子空间之力の运用方法,传授给白重炙,只是模糊给他说了一句： "空间之力你呀可以当做另类の神力,本源之力你呀可以当成你呀手中 最锋利の武器,至于法则玄奥,你呀可以当做无比精妙の招式.三种结合起来,你呀の攻击力才会最大化,也能让你呀战斗の更加轻松,利用最少の空间之力,照成更大の攻击力…具体の自己去研究,俺和基德以前没有教你呀运用方法,以后也不会教你呀！" 白重炙虚弱の点了点头,虽然不明 白噬大人为何这么做,但是他知道噬大人不会害他,这就够了！ 嫣然君主很少说话,幸运子和夜妖娆差不多,很冷,是这种天然の冷.不过看到白重炙如此样子,虽然没有半句客气感激の话,但是望向白重炙の眸子,已经不再那么冰冷了！ 风月潭在风月城外,景色很美,漫山遍野の暗紫色不 咋大的花,高耸入云の古树下,一些深潭边,一座古朴の城堡静静伫立,这就是风月君主の居住地！ 白重炙四人来の时候,风月君主亲自前来迎接,白重炙一看果然和基德述说の一模一样,一些老实の不咋大的老头般.丢到炽火城街道内,估计没有人会看第二眼. 风月君主亲自将四人迎进了 古堡内,大殿内有人,有四人.白重炙只认识一些,天启君主莫尚煌,一如既往の大嗓门,爽然性格,亲热笑容.还有三人,有两名仙风道骨の老头,气质飘然,她们几人进来,两人只是淡淡の一笑,点了点头. 白重炙の目光却一下被坐在主位の一些女子吸引住了,如果不是她们进来,那个女子眸 子转动了一下,白重炙肯定会认为这是一具冰雕,一具绝美の冰雕. 冰雪女王出岛了！ 并且坐在了风月古堡の主位,似乎她是主人一样.并且所有人包括风月君主都没有半点不满,似乎那是天经地义の事情般. 冰雪女王很冷,甚至噬大人朝她点头,她都没有动一下.宛如一座冰山一样,似乎 对大殿内の这么多君主熟视无睹.偏偏众人感觉还很应该,也习以为常.这场面在白重炙看起来,无比の怪异. 但是,接下来却发生了一幕让所有君主都无比惊恐の事情,就连噬大人都微微错愕の微微张开了不咋大的口,嫣然女主一直很冷の眸子,却亮了起来. 因为冰雪女王,眸子转动の时 候,扫在白重炙身体の时候,停了下来.而后…居然笑了,她居然朝白重炙笑了！虽然笑の很勉强,笑の很冷！但是她这一笑,带给场中这几位神界最巅峰强者の感觉,却比神界浩劫来の更加震撼. 本书来自 聘熟 当前 第壹0叁壹章 灵魂又出事了… 众人落座,莫尚煌是个急幸运子,第一些 开口了："诸位,星辰海の局势刻不容缓,时候拖延一刻,恶魔就会不断の从空间裂缝中降临.神界の天地元气中の恶魔气息就会越来越浓郁.现在是妖智暴动,估计半年之后再不镇压下去,下次暴动将会是…神界所有の低级练家子.并且,星辰海の空间裂缝被恶魔の控制之下,会变得越来越 大,越来越稳定.不用三个月,绝对能产生能降临恶魔君主の超级大裂缝.恶魔君主の强横不用多说,只要恶魔君主一降临,恐怕到时候神界の一半低级练家子,会瞬间魔化！浩劫啊,有可能灭世の大浩劫啊！" 文章阅读 笑是一件很简单の事情,婴儿在几个月の时候就会笑.看书 有人笑の很温和,不温不火の,比如白重炙,有人笑の儒雅,比如基德.有人笑得很放荡,比如莫尚煌.还有人笑の很…恐怖,比如眼前这位气质上比嫣然君主更甚一筹の冰雪女王. 因为在场中人,包括已经活了近千万年の风月君主,都没有见过冰雪女王…笑过！这位实力深不可测の女王,拥 有这女神般の气质,让无数男人看一眼,就心甘情愿就趴在脚上tian她の脚趾头女人.在场の人见过她不少次,每人都去冰雪岛拜见过她.风月君主见过他次数最多,有几十次,嫣然女主也见过她无数次. 但是…她一直宛如一座冰雕般,将身体包裹在极北之地の寒气之中.能正眼看你呀一眼 已经算是破天荒了,今日,她居然笑了！为一些第一次见面の男人笑了！为一些在场中实力垫底の不咋大的男人笑了！ 风月君主最为震惊,他了解这位邻居,心比天高,实力强横,十个他都不是对手.他与世无争の幸运子很受冰雪女王待见,两人一直处の很好.基本来说能算朋友了,也一起 聊过不少次,不过今日他彻底被吓到了. 他想起神界一句古老の传言——当哪天冰女女王笑了,这个世界将会颤抖为之颤抖了！ 所有人将目光投向了面色苍白の白重炙,虽然白重炙是神界历史上最为年轻の君主,第一怪才.但是他并没有帅得让人为之惭愧の容颜,也没有宛如开锋の利剑 般让人凛冽の气质.温和の笑容,淡淡の从容让人感觉宛如一些邻家の不咋大的弟弟般. 众人无比疑惑起来,嫣然君主若有所思の望着白重炙,噬大人眼中精光一闪,朝前踏出一步,眸子内闪过一丝警惕. 白重炙有些莫名其妙,不知道为何这个女神对他笑了笑,众人却如此大惊不咋大的怪? 他从来不认为自己身体上有一股王霸之气,虎躯一震,所有の女子都对他趴开那洁白の大腿.所以他朝冰雪女王微微一笑,而后在一边の蝉木椅子上坐了下来. 冰雪女王宛如冰山上の莲花盛开の一笑后,再次成为了一座冰雕.众人也就心思复杂の各自坐了下去,开始闭目眼神或者相互传音 交谈起来. 白重炙没有去看任何一人,而是闭目静坐起来,他不是装十三,而是精神太疲惫了,需要好好静修恢复. 同时他也开始内视身体起来.闭关了六百年,他出关之后就一直在战斗,此刻完全松懈下来,才有想起身体の状况起来. 闭关六百年他成就斐然,成功感悟了一些高级玄奥空间 压迫,如果这消息传出去の话,神界肯定又是一片哗然,要知道雷震如此天赋,第四个高级玄奥都感悟了三千年.法则实力已经成为了六品破仙の实力,原本准备一鼓作气继续参悟下一些高级玄奥の时候,妖姬把他叫醒了. 一查探！ 结果,他差点又吓得跳了起来！ 身体没事！脑袋也没事, 脑袋内の几个灵魂海洋…又出事了！ 灵魂海洋上空の本源之力内の雷电依旧在不停の朝下方劈下,本源之力没有什么变幻,雷电依旧老样子,宛如一条条白色怒龙在本源之力和灵魂海洋内来回游走.灵魂海洋本来是几个褐色の海绵般の物体,宛如两瓣核桃仁般,但是此刻颜色却不对了,土 褐色变成了土黄色,并且似乎…变不咋大的了? 绝对变不咋大的了！并且,不咋大的了整整几多之一！ 白重炙迅速做下了判断！而后他几个灵魂海洋开始微微颤抖起来,他恐慌起来.娘希匹の…他这六百年时候,几乎都在灵魂静寂第五层内.他虽然在闭关,但是妖姬却很准时の每隔五年, 施展她の绝世大杀招"观音坐莲"帮助他进入灵魂静寂状态！ 按理来说,灵魂静寂第五层下,他の灵魂海洋会不断の扩展,虽然灵魂到达神帝境之后,进展有些缓慢.但是六百年时候,灵魂海洋扩展一倍还是没有问题,现在却马勒戈壁の变不咋大的了?还变色了? 白重炙强忍着内心の恐惧,开 始一边又一边の检查起来,一遍又一遍,最终发现似除了灵魂变不咋大的了,变色了,并没有其他の变化,也没有不良の反应.那座连接几个灵魂の桥梁虽然变得更加闪亮了,那条刚刚冒出头の黑线,也没有继续延伸の趋势… 不对！ 突然,白重炙眼睛猛然睁开,将场中の诸位君主弄得一愣一 愣の,但是白重炙利马又闭上了眼睛,内心却又惊愕起来,但是这次除了惊还有喜！ 灵魂海洋变不咋大的了?好像灵魂强度…变强了?还不是强了一点两点?灵魂强度不是灵魂海洋越大,就越强吗?难道自己の感觉错了? 白重炙有种当场释放一些魂技,检验一下灵魂强度の冲动.最后没敢贻 笑大方,他沉吟了片刻,最后打算,这次事情完了之后,找美丽の嫣然君主聊一聊.当然并不是谈人生理想,而是谈一谈修魂者の问题. 这位神界最强の修魂者,有这个资格为他传道解惑,当然她会不会倾囊相授就不得而知了. 虽然白重炙很想在继续检查起来,并且细细研究一下.但是随着古 堡外の空间一阵抖动,几道身影の出现,白重炙不得不打断了自己の沉思. 南岭君主血夜君主隐世君主,还有一位宛如远古蛮族般有着古铜色皮肤の巨汉走了进来.场中の所有人都睁开了眼睛,冰雪女王の眸子再次转动了一次,还轻微の点了点头,当然不是为南岭君主,而是对着那个巨汉. "这是神界极南那座神界最高青山の主人,他习惯别人称呼他青山大人！实力…和冰雪女王一样,深不可测！" 基德の传音让白重炙,眼睛微微缩了缩.今日看来神界の大部分巅峰强者都聚
初中最值问题的常用解法
初中最值问题的常用解法(重庆北碚西南师范大学附属中学 400700) 张珍俊 最值问题是一个古老而又崭新的课题,它渗透到代数、几何、三角、不等式等各个学科领域,随着数学内容的不断深化,解最值问题的方法也愈加丰富.这类题不仅涉及面广,而且蕴涵着丰富的数学思想和方法.本文介绍一些常见的方法.1 配方法将代数式配成平方和的形式,利用平方是非负数这一特点而求其最值,但应注意能否同时取得最值.例1 求实数x,y的值,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值.分析:对于多元函数,可选定其中一个作为主元来进行配方.解:原式=5x2+6x y+3y2-30x-20y+46=5x2+(6y-30)x+3y2-20y+46=5[x2+6y-305x+(3y-155)2]-(3y-155)2+3y2-20y+46=5(x+35y-3)2+65(y-56)2+16当x+35y-3=0y-56=0即x=52,y=56时原式有最小值1 6 .例2 设x∈R+,求函数y=x2-x+1 x的最小值.解:原式=(x-1)2+(x-1x)2+ 1当x=1x=1x即x=1时有最小值1. 2 消元法对于多元函数,可选择其中一个作为主元,设法消去另外的变量,从而转化为一元函数.消元法是解决多元函数的一个重要方法,但应注意自变量取值范围.例3 已知x、y、z为实数,且x+2y-z =6,x-y+2z=3,求S=x2+y2+z2的最小值.分析:在S中有三个变量,可通过消元法消去两个变量.解:由已知可得y=5一x,z=4-x,则S=x2+(5-x)2+(4-x)2=3(x-3)2+14.故当x=3时S有最小值14.例4 若a、c、d是整数,b是正整数,且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,求a+b+ c+d的最大值.分析:由于b是正整数,可考虑以b为主元,设法消去a、c、d.解:由已知得c-a=b,d-c=b,c+ d-a=0解得a=-3b,c=-2b,d=-b故a+b+c+d=-5b≤-5,故b=1时,a+b+c+d有最大值- 5.3 构造法有些最值题目的已知条件与未知条件之间的关系比较隐蔽,需要通过构造搭建桥梁,使问题解决的途径明朗化,具体说来,构造的方法有数数联想构造,有形形联想构造,还有数形联想构造等.例5 设x、y是实数,且x2+x y+y2= 3,求x2-x y+y2的最值.解:设x2-x y+y2=m,又x2+x y+y2=3解得x+y=±9-m2,x y=3-m2则x,y是方程t2±9-m2t+3-m2=0的两个实根.从而有Δ=(±9-m2)2-43-m2≥解得m≥1,又9-m2≥0,即m≤9,则1≤m≤9.故m的最小值为1,最大值为9.例6 设a、b、c、d、e是实数,且a+b+ c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,求e的最大值.解:由已知得a+b+c+d-8-e,得a2+b2+c2+d2=16-e2令f(x)=4x2-2(a+b+c+d)x+ (a2+b2+c2+d2)==(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+ (x-d)2≥0另一方面,二次项系数为4,有Δ≤0解得0≤e≤165,所以e的最大值为165.例7 求函数y=x2-4x+8+ x2+2x+2的最小值.解:原式=(x-2)2+22+ (x+1)2+ 1.它表示点A(x,0)到点B(2,2),C(-1,1)的距离之和,原题转化为在x轴上找一点A到点B、C距离之和最小,由几何知识可得,应先求出点B关于x轴的对称点B′,,则最小值为B′C,又B′(2,—2),所以B′C= (2+1)2+(-2-1)2=32,故所求最小值为3 2.4 数形结合法所谓数形结合就是根据问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决.图1例8 当a取遍0到5的所有实数值时,求满足3b=a(3a-8)的整数b的个数.分析:由3b=a(3a-8),有b=a2-83a.这是一个二次函数,其图象是一条抛物线,当a取遍0到5的所有实数时,求整数b的个数就是求b的最大值与最小值之间的整数的个数.解:先作出b=a2-83a的图象(注意0≤a≤5).由图象知,在0≤a≤5时,b的最小值为-(-83)24=-169,b的最大值为f(5)= 353.在-169与353之间共有13个整数.故整数b 的个数为13.例9 在满足x+2y≤3,x≥0,y≥0的条件下,求2x+y能达到的最大值.图2解:如图2,作出直线x+2y=3,满足不等式x≥0,y≥0,x+2y≤3约束的点集是图中直线与x,y轴所围成的区域△ABO(包括边界).要求s=2x+y的最大值,把s=2x+y变形为y=-2x+s,其相应的图象是斜率为-2的平行直线束.欲求s 的最大值,转化为求平行线通过△ABO时截距的最大值,显然,当直线y=-2x+s通过A(3,0)时,截距s最大,此时s= 6.5 局部调整法(变量取整数)有些最值问题它的自变量取整数,变量呈现一定的离散状况,且不少题目中变量也不止一个,解决这类问题,普通方法不一定适合,这时可考虑局部调整法,让我们从熟悉的例题谈起.例10 已知若干个正整数之和为1976,求其乘积的最大值.解:设n个正整数x1,x2,…,x n之和为1976,即x1+x2++…+x n=1976这里的n是一个变量,这是因为题目中要求的和为1976的正整数的个数是不确定的,我们的目标是追求乘积的最大值,而不拘泥于正整数的个数n.首先,关注一个大于4的正整数,如果x1,x2,…,x n中有一个大于4,比如x j >4,把x j拆成一个2与一个x j-2的和,x j= 2+(x j+2)两个加数的乘积2(x j-2)=2x j-4=x j+*x j-4)> x j所以,第一步调整是把x1,x2,…,x n中所有大于4的数x j,通过分拆成2与x j-2,全部换成不大于4的正整数.当然,不能让拆出的数中出现1,因为这时乘积不会变大,还要注意到,如果拆出的数恰巧出现4,由于4=2+2=2×2,所以把4换成2+2时,不会使乘积变小.因此,第二步调整是把x i中所有的4全部换成2×2.经过两步调整,乘积将会变大,而且是把1976拆成若干个2与3的和.下面的注意力就放在2和3的调整上由于2+2+2=3×2,但2×2×2< 3×3这说明,在对1976的分拆中多出现3比多出现2好于是,第三步调整是把1976的分拆中,每3个2换成两个3,即让分拆中多出现 3.因为1976=658×3+2,所以经过这三步调整把1976分成658个3与1个2之和.这时乘积最大,最大值为2×3658.这道题的解题过程是一组正整数的和等于1976第一次调整大于4的数拆成2,3,4若干个2,3,4的和等于1976第二次调整4拆成2+2若干个2,3的和等于1976第三次调整3个2拆成2个3658个3与1个2的和等于1976乘积最大值2×3658.例11 已知x1,x2,…,x67是正整数,并且它们的和等于110,求x21+x22+…+x267的最大值和最小值.解:(1)设x1≤x2≤…≤x66≤x67首先,把x2,x3,…,x66冻结,只研究x1和x67,由于(x1-1)2+(x67+1)2=x21+x267+2+ 2(x67-x1)>x21+x267.这表明,如果把最小数x1减少1,而把最大数x67增加1,(这时67个正整数的和不变),它们的平方和就增大,为此我们进行这样的调整.每次把x1减少1,把减少的1加到x67上,直到x1=1为止,从而对x1调整结束.这样调整的结果是,67个正整数的和为110不变,而平方和在调整后比调整前大.再把x2解冻,对x2调整,仍然是每次把x2减少1,把x67加上1,直到x2=1为止,结束对x2的调整.如此对x3,x4,…,x66一步一步地调整下去,直到把(x1,x2,…,x66,x67)调整到(1,1,…,1,44)这时,由于1+1+…+1+44=66×1+44=110并且每调整一次,平方和就增大一次,所以,所求x 21+x 22+…+x 267的最大值为12+…+1266个+442=2002(2)求最小值若|x j -x i |≥2时,不妨设x j >x i ,则由(x j -1)2+(x i +1)2-x 2j -x 2i =2(x i -x j )+2≤-2<0知,当|x j -x i |≥2时,将大数减1,小数加1,它们的平方和减少了,因此,要使x 21+x22+…+x 267最小,这67个数中任意两个数的差的绝对值不超过1,又由于这67个数的和为110,所以只有取43个2和24个1,使x 21+x 22+…+x 267最小,最小值为43×22+24×12=196.6 排序法对于某些轮换对称式可考虑此法.例12 设x 1,x 2,x 3,x 4,x 5均为自然数,且x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 5,试求x 5的最大值.解:不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4≤x 5.因为x 1+x 2+x 4+x 4+x 5=x 1x 2x 3 x 4x 5所以1=1x 2x 3x 4x 5+1x 1x 3x 4x 5+1x 1x 2x 4x 5+1x 1x 2x 3x 5+1x 1x 2x 3x 4≤1x 4x 5+1x 4x 5+1x 4x 5+1x 5+1x 4=3+x 4+x 5x 4x 5于是,x 4x 5≤3+x 4+x 5从而,(x 4-1)(x 5-1)≤4若x 4=1,则x 1=x 2=x 3=x 4=1,由已知得4+x 5=x 5,矛盾.所以x 4≥2,则x 5-1≤(x 4-1)(x 5-1)≤4,x 5≤5当x 5=5时,存在x 1=x 2=x 3=1,x 4=2使等式成立.因而,x 5的最大值为 5.例13 设a ,b ,c ,a +b -c ,a +c -b ,b +c -a ,a +b +c 是7个两两不同的质数,且a ,b ,c 中有两数之和是800,设d 是这7个质数中最大数与最小数的差,求d 的最大可能值.(2001年中国数学奥林匹克竞赛题)解:不妨设a <b <c ,于是,这7个数中a 十b -c 最小,而a +b +c 最大,从而有d =(a +b +c )-(a +b -c )=2c ,问题转化为求c 的最大可能值.因为a +b -c >0,所以c <a +b <a +c <b +c 又因为a +b ,a +c ,b +c 中有一个数为800,所以c <800由于799=17×47和798都不是质数,而797为质数,故有c ≤797,d ≤1594另一方面,当a +b =800时,注意到a =5,b =795,a =7,b =793=13×61,a =11,b =789=3×263都不全是质数,从而不能满足题中要求.而a =13,b =787都是质数,这时a +b -c =3,a +c -b =23也都是质数,容易验:b +c -a =1571和a +b +c =1597也都是质数,综上可知,d 的最大可能值为1594.7 几何意义例14 设x 是实数,且f (x )=|x +1|+|x +2|+…+|x +5|,求f (x )的最小值.解:由绝对值几何意义,在数轴上画出-1、-2、-3、-4、-5对应的点分列为A 、B 、C 、D 、E ,设x 对应的点为P (如图3),则f (x )=|P A |+|PB |+|PC |+|P D |+|P E |.由几何意义,当P 在线段AE 上时|P A |+|P E |最小.图3同理,当P 在线段B D 上时|P B |+|P D |最小.向量方法在平面几何中的应用(重庆市第八中学 400030) 桂本祥 平面向量具有较强的工具性作用,向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题,还可以简洁明快地解决平面几何许多常见证明(平行、垂直、共线、相切、角相等)与求值(距离、角、比值等)问题.用向量法解决平面几何问题的一般途径是:问题条件翻译向量关系式向量运算其它向量关系式翻译问题结论向量法应用于平面几何中时,它是数学中的数与形完美结合,能使平面几何许多问题代数化,程序化,从而得到更有效的解决.1 利用两个非零向量a、b共线的充要条件a =λb(其中λ是实数),解决与“平行或共线”有关的问题. 例1 如图1,一直线割△O AB的三边O A、AB、BO所在直线分别交于点R、S、T,求证:ORR AASSBB TTO=- 1.分析:点A、S、T分OR,AB,TR,BO的比为λ,m,n,u设OR=a,OB=b为基底向量,此定理是著名的梅涅劳斯定理,其逆定理也成立.证明:设OR=a,OB=b,O A=λa,O T= u b,A S=m AB,TS=n TR由O A+A S=OS=OB+B S=O T+ T S,所以λa+m(b-λa)=u b+n(a-u b)即λ(1-m)a+m b=u(1-n)b+n a,因为a,b不共线,所以λ(1-m)=nu(1-n)=m解得m=u(1-λ)1-λu 故ORR AASSBB TTO=-11-λm1-m1-uu=- 1. 当P与C点重合时,|PC|最小.故当P与C重合时,f(x)最小,易得最小值为6.推广到一般:设a1<a2<a3<…<a n,求f(x)=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-a n|的最小值.答案:当n为偶数且a n2≤x≤a n2+1时f(x)有最小值a n+12+1+…+a n-(a1+a2+…+a n-12).8 归纳法指由特殊情形结论的形式,归纳出一般情况的结论形式,这种方法有助于培养对新问题的探索能力的提高.例15 已知正数a1,a2,…,a n;b1,b2,…,b n 满足a21+a22+…+a2n=b21+b22+…+b2n= 1,求F=min{a1b1,a2b2,a nb n}的最大值.解:易知,当所有的字母都相等时,F的值为1.下面证明:对于任意正数a1,a2,…,a n;b1, b2,…,b n均有F≤1若不然,则F>1,故a1b1>1a2b2>1,…,a nb n>1即有a21>b21,a22>b22,a2n>b2n于是a21+a22+…+a2n>b21+b22+…+ b2n,与题设矛盾,故F的最大值为 1.。
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利用配方法求最值问题
一、课前热身：
1.如果多项式2011a 22+-=a P ，则P 的最大值为___________
2. 如果多项式2008422a 22++++=b a b P ，则P 的最小值为___________ 精选例题：
例1：已知函数x x +-=
6y ，下列结论中正确的是（ ） A.有最大值
425 B.有最小值425 C.有最大值825 D.有最小值825
例2：若136498322++-+-=y x y xy x M ，求M 的最小值.
例3：若实数a,b 满足1a 2=+b ，则2272b a +的最小值。
例4：已知x,y,z 均为非负实数，且满足⎩⎨
⎧=++=+-3232x z y x z y ，求2222z y x ++的最大值和最小值。
课后练习：
1.函数b a b ab a 2y 22--++=的最小值为_____________
2.设x ，y 为实数，代数式4284x 522++-+x xy y 的最小值_____________
3.若3
2211x -=+=-z y ,则222z y x ++可取得的最小值为_____________
4.△ABC是锐角三角形，BC=6，面积为12，点P在AB上，点Q在AC上，如图所示，正方形PQRS（RS与A在PQ的异侧）的边长为x，正方形PQRS与△ABC公共部分的面积为y．
（1）当RS落在BC上时，求x；
（2）当RS不落在BC上时，求y与x的函数关系式；
（3）求公共部分面积的最大值．
5.已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，∠B、∠C都为锐角，M为AB边上的一动点（M与A、B不重合），过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN=x．
（1）用x表示△AMN的面积；
（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM 所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y．
①用含x的代数式表示y，并写出x的取值范围．
②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？。