配方法及其应用(题目)
初三配方法求最值练习题
初三配方法求最值练习题在初三数学学习中，配方法求最值是一个重要的知识点。
这个方法不仅可以帮助我们解决一些复杂的数学问题，还能训练我们的思维能力和解题技巧。
本文将给大家提供一些配方法求最值的练习题，希望能帮助大家更好地掌握这一知识点。
1. 求函数$f(x)=x^2-2x+3$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要找到函数的极值点。
对于二次函数$f(x)$来说，极值点位于顶点处。
由于函数$f(x)$的二次项系数是正数，所以它的抛物线开口朝上，顶点是最小值点。
首先，我们求得函数$f(x)$的导数$f'(x)=2x-2$。
令导数为零，可以得到$x=1$。
因此，函数$f(x)$的顶点横坐标为$x=1$。
将$x=1$代入函数$f(x)$，可以得到$f(1)=1^2-2\times 1+3=2$。
所以函数$f(x)$在区间$[0,3]$上的最小值为2。
接下来，我们需要确定最大值。
由于函数$f(x)$是一个开口朝上的抛物线，所以最大值要么出现在区间的端点，要么出现在极值点$x=1$。
将$x=0$和$x=3$分别代入$f(x)$，可以得到$f(0)=3$和$f(3)=6$。
所以函数$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值为6。
综上所述，函数$f(x)=x^2-2x+3$在区间$[0,3]$上的最大值为6，最小值为2。
2. 设$x,y$是非负实数，且满足$x+y=6$，求函数$F(x)=x^2y$的最大值。
解析：根据题目的条件，我们可以得到$y=6-x$。
将其代入函数$F(x)$，可以得到$F(x)=x^2(6-x)$。
我们要求函数$F(x)$的最大值，可以通过求导数来解决。
首先，对函数$F(x)$求导数，可以得到$F'(x)=12x-2x^2$。
令导数为零，可以得到$12x-2x^2=0$。
化简后，得到$x(6-x)=0$，解得$x=0$和$x=6$。
将$x=0$和$x=6$代入函数$F(x)$，可以得到$F(0)=F(6)=0$。
解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)
解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)直接开平方法1. 题目：解方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$解答：首先，根据直接开平方法，我们需要找到两个数，它们的和等于 $-5$，乘积等于 $6$。
很明显，这两个数分别是 $-2$ 和 $-3$。
因此，我们可以将方程变为两个线性方程：$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0$。
接下来，我们可以对这两个线性方程进行因式分解：$x(x - 2) - 3(x - 2) = 0$。
再进一步化简，我们可以得到：$(x - 2)(x - 3) = 0$。
因此，方程的解是 $x = 2$ 或 $x = 3$。
2. 题目：解方程 $2x^2 - 7x + 3 = 0$解答：这个方程也可以使用直接开平方法来解决。
我们需要找到两个数，它们的和等于 $-\frac{7}{2}$，乘积等于 $3$。
通过观察系数，我们可以确定这两个数分别是 $-\frac{1}{2}$ 和 $-3$。
因此，我们可以将方程变为两个线性方程：$2x^2 - \frac{1}{2}x - 6x + 3 = 0$。
接下来，我们可以对这两个线性方程进行因式分解：$x(2x -\frac{1}{2}) - 3(2x - \frac{1}{2}) = 0$。
再进一步化简，我们可以得到：$(2x - \frac{1}{2})(x - 3) = 0$。
因此，方程的解是 $x =\frac{1}{4}$ 或 $x = 3$。
配方法1. 题目：解方程 $3x^2 + 2x - 1 = 0$解答：对于这个方程，我们可以使用配方法来解决。
首先，我们需要找到一个数 $m$，使得方程 $3x^2 + 2x - 1$ 可以被写成 $(x +m)^2$ 的形式。
我们可以通过观察常数项的符号来得到一个启示。
由于常数项是负数，我们可以猜测 $m$ 的值为 $-\frac{1}{3}$。
将方程重新写成 $(x - \frac{1}{3})^2 = 0$，然后展开，我们可以得到$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0$。
“配方法”及其应用 【完整版】
“配方法”及其应用把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．例1．解方程2210x x +-=．解：方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122x x +=， 配方，得2111216216x x ++=+，即219416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．开方，得12112x x ==-，． 通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．一、用于比较大小例2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数解：（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．说明：本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.二、用于因式分解例3．分解因式：42221x x ax a +++-．解：42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（）22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．说明：这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．三、用于求待定字母的值例4．若实数x y ，满足224250x y x y +--+=的值是（ ）Ａ．1Ｂ．32+Ｃ．3+Ｄ．3-解：对已知等式配方，得2210x y -+-=2（）（），∴21x y ==，．3====+ 说明：本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．四、用于求最值例5．多项式21x x -+的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．54 Ｃ．12 Ｄ．34解：21x x -+21324x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．故选Ｄ． 说明：此例是“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．五、用于证明例6．证明方程85210x x x x -+++=没有实数根．证明：85210x x x x -+++=85221344244393x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 224132202433x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即对所有实数x ，方程左边的代数式的值均不等于0，因此，原方程没有实数根．说明：这是“配方法”在代数证明中的应用，要证明方程85210x x x x -+++=没有实数根.似乎无从下手，而用“配方法”将其变成完全平方式后，便“柳暗花明”了．以后，我们学习了函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．。
初三数学配方法公式法练习题
初三数学配方法公式法练习题在初三数学学习过程中，配方法和公式法是其中的两个重要的解题方法。
配方法主要适用于一元二次方程的解题，而公式法则广泛适用于各种数学题型。
下面我们来进行一些练习题，通过运用这两种方法解题，加深对它们的理解。
1. 配方法1.1 一元二次方程题问题：求解方程x^2 + 6x + 9 = 0的解。
解答：按照配方法的步骤来解题，我们需要先判断a、b、c的值分别是多少。
在这个方程中，a为1，b为6，c为9。
1. 将b除以2，得到3。
2. 计算3的平方，得到9。
3. 判断是否满足(a-b/2)^2 = c。
在这个例子中，(1-6/2)^2=9。
4. 若满足配方法的条件，可以进行下一步计算。
在这个例子中，满足条件。
5. 计算(x-b/2)^2 = c，即(x-3)^2 = 9。
6. 开方得到x-3=±3，即x=6或x=0。
所以，方程x^2 + 6x + 9 = 0的解为x=6或x=0。
2. 公式法2.1 面积计算题问题：求解一个半径为5cm的圆的面积。
解答：根据圆的面积公式S = πr^2，其中r为半径。
1. 将半径的值代入公式中，得到S = π(5)^2。
2. 进行计算，得到S = 25π。
所以，一个半径为5cm的圆的面积为25πcm²。
2.2 三角函数题问题：求解正弦函数f(x) = sin(x)在区间[0, π/2]上的极大值和极小值。
解答：根据三角函数的极值定理，f(x)在区间[0, π/2]上的极大值和极小值可通过求f'(x) = 0的根来得到。
其中，f'(x)代表f(x)的导数。
1. 对f(x) = sin(x)求导数，得到f'(x) = cos(x)。
2. 解方程f'(x) = 0，即cos(x) = 0。
在区间[0, π/2]上，cos(x) = 0的解为x = π/2。
3. 根据二阶导数的符号来判断极值类型。
在这个例子中，f''(x) = -sin(x)小于0，说明在x = π/2处是极大值。
配方法解一元二次方程基础练习30题含详细答案
即 ，
故选D．
10．B
【解析】
试题分析： ， ， ．故选B．
考点：解一元二次方程-配方法．
11．C
【分析】
常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，即 ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤和完全平方公式是解题的关键．
【详解】
a=3，b=-2，c=-2，
b2-4ac=（-2）2-4×3×（-2）=28>0，
∴x= = ，
， .
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键.
19．（1） ;（2） 是方程的解.
【解析】
【详解】
A、由原方程，得 ，
等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得 ；
故本选项正确；
B、由原方程，得 ，
等式的两边同时加上一次项系数−7的一半的平方，得， ，
故本选项正确；
C、由原方程，得 ，
等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得（x＋4）2＝7；
故本选项错误；
D、由原方程，得3x2−4x＝2，
12．用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（）．
A． B．
C． D．
13．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）
A． 化为 B． 化为
C． 化为 D． 化为
14．用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24＝0，下列变形结果，正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝8B．（x﹣4）2＝40C．（x﹣8）2＝8D．（x﹣8）2＝40
配方法例题20道及答案
配方法例题20道及答案本文列举了20道配方法例题，并提供了详细答案解析，旨在帮助读者加强配方法的理解和应用能力。
题目1：背景介绍某餐厅每天供应12种不同口味的冰淇淋，每种口味的冰淇淋都是相同的价格，每份冰淇淋的标价为\$3。
某天，小明去餐厅买了6份冰淇淋，他共花费了\$14。
请问，小明买了多少种不同口味的冰淇淋？解答1：假设小明买了X种不同口味的冰淇淋，则小明总共花费的金额为：X * 3。
根据题目中的信息，得到方程：X * 3 = 14。
带入数值求解： X * 3 = 14 X = 14 / 3 X ≈ 4.67根据题目背景可知，小明不能购买4.67种口味的冰淇淋，所以我们需要向上取整，即小明购买了5种不同口味的冰淇淋。
题目2：背景介绍某班级有10名男生和15名女生，老师需要选择一位男生和一位女生作为班级代表。
请问，老师有多少种不同选择的方式？解答2：老师选择男生的方式有10种，选择女生的方式有15种。
因此，老师选择班级代表的方式总共有10 * 15 = 150种。
题目3：背景介绍一家图书馆共有8本科学类书籍、6本文学类书籍和10本历史类书籍。
如果要选择一本科学类书籍和一本文学类书籍，问有多少种不同的选择方式？解答3：选择科学类书籍的方式有8种，选择文学类书籍的方式有6种。
因此，选择一本科学类书籍和一本文学类书籍的方式总共有8 * 6 = 48种。
题目4：背景介绍给定一个集合A，其中包含5个元素，即A = {1, 2, 3, 4, 5}。
从集合A中任意选择2个元素，问有多少种不同的选择方式？解答4：从集合A选择2个元素的方式数量可以通过计算组合数来求解。
组合数C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的方式数量。
利用组合数公式C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，可以得到： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 120 / (2 * 6) = 120 / 12 = 10因此，从集合A中选择2个元素的方式总共有10种。
专题训练(一) 配方法的四种应用
专题训练(一) 配方法的四种应用► 应用一 利用配方法解一元二次方程1．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝109 2．用配方法解一元二次方程x 2－22x ＋1＝0，所得结果是x 1＝________，x 2＝________．(x 1＜x 2)► 应用二 利用配方法求最值3．代数式x 2－4x ＋5的最小值是( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．54．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是( )A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值15．已知M ＝29a －1，N ＝a 2－79a(a 为任意实数)，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M ＜N B ．M ＝NC ．M ＞ND ．不能确定6．证明：(1)无论x 取何实数，代数式－x 2＋2x －3的值一定是负数；(2)无论x 取何实数，代数式x 2＋2x ＋5的值一定是正数．► 应用三 利用配方法和非负数的性质求值7．已知x 2＋y 2＋4x －6y ＋13＝0，则代数式x ＋y 的值为( )A ．1B ．－1C ．25D ．368．若a 2－6ab ＋10b 2＋b ＋14＝0，则a ＝________，b ＝________． 9．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0，请你根据此条件判断这个三角形的形状，并说明理由．► 应用四 利用配方法求代数式的值10．已知x ＋y ＝3，xy ＝－7，求下列各式的值：(1)x 2＋y 2；(2)x 2－xy ＋y 2；(3)(x －y)2.11．已知x 2－3x ＋1＝0，求下列各式的值：(1)x 2＋1x 2； (2)(x －1x)2.详解详析1．B [解析] B 项，x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝7，故本选项错误，其他选项均正确．2．[答案] 2－12＋13．B4．A5．A [解析] ∵M ＝29a －1，N ＝a 2－79a (a 为任意实数)，∴N －M ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34＞0，∴N ＞M ，即M ＜N .故选A.6．证明：(1)－x 2＋2x －3＝－(x 2－2x )－3＝－(x 2－2x ＋1)＋1－3＝－(x －1)2－2. ∵－(x －1)2≤0，∴－(x －1)2－2＜0.因此，无论x 取何实数，代数式－x 2＋2x －3的值一定是负数．(2)x 2＋2x ＋5＝(x 2＋2x ＋1)＋4＝(x ＋1)2＋4.∵(x ＋1)2≥0，∴(x ＋1)2＋4＞0.因此，无论x 取何实数，代数式x 2＋2x ＋5的值一定是正数．7．A [解析] ∵x 2＋y 2＋4x －6y ＋13＝0，∴x 2＋4x ＋4＋y 2－6y ＋9＝0，∴(x ＋2)2＋(y －3)2＝0，∴x ＋2＝0，y －3＝0，∴x ＝－2，y ＝3，∴x ＋y ＝1.故选A .8．[答案] －32 －12[解析] 将已知等式变形，得(a －3b)2＋(b ＋12)2＝0.由非负数的性质，得a －3b ＝0，b ＋12＝0.所以a ＝－32，b ＝－12. 9．解：△ABC 为等边三角形．理由如下：∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0.∴a 2＋b 2－2ab ＋b 2＋c 2－2bc ＋a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2＝0. ∴a －b ＝0，b －c ＝0，c －a ＝0.∴a ＝b ＝c.∴△ABC 为等边三角形．10．解：(1)x 2＋y 2＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy ＝(x ＋y)2－2xy ＝32－2×(－7)＝23.(2)x 2－xy ＋y 2＝x 2＋2xy ＋y 2－3xy ＝(x ＋y)2－3xy ＝32－3×(－7)＝30.(3)(x －y)2＝x 2－2xy ＋y 2＝x 2＋2xy ＋y 2－4xy ＝(x ＋y)2－4xy ＝32－4×(－7)＝37.11．解：(1)方程x 2－3x ＋1＝0的两边同除以x 并移项，得x ＋1x＝3， ∴x 2＋1x 2＝(x ＋1x )2－2x·1x＝9－2＝7. (2)(x －1x )2＝(x ＋1x )2－4x·1x＝9－4＝5.。
配方法解一元二次方程题
配方法解一元二次方程题一、基础题目1. 用配方法解方程x^2+6x + 4 = 0。
解析：- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，在这个方程x^2+6x + 4 = 0中，a = 1，b = 6，c = 4。
- 配方的关键步骤是在等式两边加上一次项系数一半的平方。
一次项系数b = 6，一半为3，其平方是3^2=9。
- 对原方程进行配方：- x^2+6x+9 - 9+4 = 0，即(x + 3)^2-9 + 4=0。
- 化简得(x + 3)^2=5。
- 然后求解：- 开平方得x+3=±√(5)。
- 解得x=-3±√(5)。
2. 解方程x^2-4x - 3 = 0。
解析：- 这里a = 1，b=-4，c=-3。
- 一次项系数b=-4，一半为- 2，其平方是(-2)^2=4。
- 配方：- x^2-4x+4 - 4-3 = 0，即(x - 2)^2-4 - 3 = 0。
- 得到(x - 2)^2=7。
- 求解：- 开平方得x - 2=±√(7)。
- 解得x = 2±√(7)。
二、稍复杂题目（二次项系数不为1）1. 用配方法解方程2x^2-5x+2 = 0。
解析：- 方程两边同时除以2，得到x^2-(5)/(2)x + 1=0。
这里a = 1（经过变形后），b=-(5)/(2)，c = 1。
- 一次项系数b =-(5)/(2)，一半为-(5)/(4)，其平方是(-(5)/(4))^2=(25)/(16)。
- 配方：- x^2-(5)/(2)x+(25)/(16)-(25)/(16)+1 = 0，即(x-(5)/(4))^2-(25)/(16)+1 = 0。
- 化简(x-(5)/(4))^2=(9)/(16)。
- 求解：- 开平方得x-(5)/(4)=±(3)/(4)。
- 解得x = 2或x=(1)/(2)。
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配方法及其应用
初一（ ）班 学号：_______ 姓名：____________
一、配方法：
将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。
配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。
配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2
，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ；
a 2＋a
b ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝(a －b )2
＋3ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32b 2； a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝12
[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]．
下面举例说明配方法的应用：
一、求字母的值
【例1】已知a ，b 满足a 2＋2b 2－2ab －2b ＋1＝0，求a ＋2b 的值．
分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式,从而求出两个未知数的值. 解：∵a 2＋2b 2－2ab －2b ＋1＝0，
∴a 2＋b 2－2ab ＋b 2－2b ＋1＝0，
∴(a －b )2＋(b －1)2＝0.
∵(a －b )2≥0，(b －1)2≥0，
∴a －b ＝0，b －1＝0，
∴a ＝1，b ＝1，
∴a ＋2b ＝1＋2×1＝3，
∴a ＋2b 的值是3.
变式练习：
1、已知,6134222x xy x y x =+++则x,y 的值分别为___ ___.
2、已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则3a 2＋5b 2－4的值为___ ___.
4. 已知096622
2=+--++y x y xy x ，则y x +的值为___ ___. 5、若a 、b 为有理数，且0442222=+++-a b ab a ，则22ab b a +的值为___ ___.
6、已知a 、b 、c 满足722=+b a ，122-=-c b ，1762-=-a c ，则a +b +c 的值为______．
7、已知0962222222=+---++c bc ab c b a ，则abc 的值为___ ___.
8. 已知b a ab b a ++=++122，则b a 43-的值为___ ___.
二、证明字母相等
【例2】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足,0222=---++ac bc ab c b a ，判断这个三角形的形状．
分析:等式两边乘以2,得,022*******=---++ac bc ab c b a
配方，得()()(),022*******=+-++-++-a ca c c bc b b ab a
即()()().0222=-+-+-a c c b b a 由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,
a=b,b=c,c=a,即a=b=c.
故△ABC 是等边三角形.
变式练习：
1、已知()
()22223c b a c b a ++=++，求证：c b a ==
2、已知：a 4＋b 4＋c 4＋d 4＝4abcd ，其中a ，b ，c ，d 是正数，求证：a=b=c=d 。
三、比较大小
【例3】若代数式,15,87102222+++=+-+=a b a N a b a M 则M-N 的值( )
A. 一定是负数
B.一定是正数
C. 一定不是负数
D.一定不是正数 分析: M-N=)15(1)8710(2222++++-+a b a a b a
=1587102222----+-+a b a a b a
=().0323341292
2 +-=++-a a a 故选B. 变式练习：
已知a 、b 满足等式2022++=b a x ，()a b y -=24，则x ，y 的大小关系是（ ） A ．y x ≤ B ．y x ≥ C ．y x < D ．y x >
四、证明代数式非负
【例4】用配方法证明:不论x 为任何实数,代数式5.442+-x x 的值恒大于0.
分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒大于0,说明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a +正数”的形式.
证明: ∵()()22
225.025.4445.44+-=++-=+-x x x x x , 又∵()022
≥-x ,∴05.442 +-x x ∴不论x 为任何实数,代数式5.442+-x x 的值恒大于0.
变式练习：
1、求证: 不论x 、y 为何值, 多项式2
5222+
+-+-y x y xy x 的值永远大于或等于0。
2、小萍说，无论x 取何实数，代数式x 2＋y 2－10x ＋8y ＋42的值总是正数．你的看法如何？请谈谈你的理由．
五、求代数式的最值
【例5】利用配方法求7422--=x x y 的最大值或最小值.
分析:求最大值或最小值,必须将它们化成()c b x a y ++=2
的形式,然后再判断,当a ＞0时,它有最小值c;当a ＜0时,它有最大值c.
解: ()()912271227422
22--=--+-=--=x x x x x y ∵(),0122≥-x ∴(),99122
--- x ∴它的最小值是-9.
变式练习：
1、证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2
－x －1的值总是负数，并求它的最大值．
2、对关于x 的二次三项式x 2＋4x ＋9进行配方得x 2＋4x ＋9＝(x ＋m )2＋n .
(1)求m ，n 的值；
(2)当x 为何值时x 2＋4x ＋9有最小值？并求最小值．
3、当a ，b 为何值时，多项式a 2＋2ab ＋2b 2＋6b ＋18有最小值？并求出这个最小值．
六、证明完全平方数
【例6】已知9x2＋18(n－1)x＋9n2＋n是完全平方式，求常数n的值．
解：9x2＋18(n－1)x＋9n2＋n
＝9[x2＋2(n－1)x]＋9n2＋n
＝9[x2＋2(n－1)x＋(n－1)2]－9(n－1)2＋9n2＋n
＝[3(x＋n－1)]2－9(n－1)2＋9n2＋n.
已知9x2＋18(n－1)x＋9n2＋n是一个完全平方式，
∴－9(n－1)2＋9n2＋n＝0，
化简，得19n-9＝0，解得n＝9/19.
变式练习：
1、一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数__________．
2、四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？
3、求证：五个连续整数的平方和不可能是一个整数的平方.
5、（1）请观察：25=52，1225=352，112225=3352，1122225=33352…写出表示一般规律的等式，并加以证明．
（2）26=52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？
6、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
如：4=42-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？。