射影几何计算题选讲
̸= 0.
求射影变坐标换是将已知数据代入一般的射影坐标变换式，求出系 数即可。 但要注意的是，每代入一组数据，变换式中的 ρ要改成不同的字母。
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̸= 0,
一般的二维射影坐标变换为 ′ a11 a12 a13 ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ρx′ = a x + a x + a x a21 a22 a23 , 21 1 22 2 23 3 2 ρx′ = a x + a x + a x a31 a32 a33 31 1 32 2 33 3 3
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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解.
设所求的对和方程为 Axx′ + B(x + x′ ) + C = 0。 （i）方法一：
由已知条件有 4A + 4B + C = 0 ， 9A + 6B + C = 0 于是 A : B : C = −2 : 5 : −12， 所以所求的对和方程为 2xx′ − 5(x + x′ ) + 12 = 0。 {
1 1 −1 −1 1 −1 0 = B 0 , 1 = B 1 , −1 = B 2 . 1 1 1 1 1 1 1 −1 1 1 −1 −1 2 , 因此有 0 1 −1 = B 0 1 1 1 1 1 1 1
射影几何例题选讲
June 15, 2015
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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求仿射变换式
仿射变换式的一般形式为 { ′ x = a11 x + a12 y + a1 , y′ = a21 x + a22 y + a2 其中 a11 a12 a21 a22 ̸= 0。
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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解法三.
在仿射变换的一般式中令 x = x′ , y = y′ ，则直线 (a11 − 1)x + a12 y + a1 = 0和 a21 x + (a22 − 1)y + a2 = 0与 x + 2y − 1 = 0为同一直线， 故
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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Proof.
（ii）方法一：
设自对应元素为 t1 , t2 ，则它们是 at2 + 2bt + c = 0的根，所以 b c t1 + t2 = − 2 a ，t1 t2 = a 。 ′ 设 x, x 是此对合对应中的任意一对对应元素，则它们与 t1 , t2 调和共 轭，即 (xx′ , t1 t2 ) = −1， 所以 2xx′ − (t1 + t2 )(x + x′ ) + 2t1 t2 = 0， 从而 axx′ + b(x + x′ ) + c = 0。
a11 −1 1
=
a12 2
=
把 a11 = λ1 + 1，a12 = 2λ1 ，a1 = −λ1 ，a21 = λ2 ，a22 = 2λ2 + 1， a2 = −( λ2 代入变换式得 ) ( )( ) ( ) x′ λ1 + 1 2λ1 x −λ1 = + . y′ λ2 2λ2 + 1 y −λ2 此变换把点 (1, −1)变换成点 (−1, 2)，代入上式，然后解出 λ1 = 1, λ2 = −3/2， ( ′ ) ( )( ) ( ) x 2 2 x −1 因此所求的变换为 = + . y′ −3/2 −2 y 3/2
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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求一维射影对应式
射影对应式的一般形式为 aλλ′ + bλ + cλ′ + d = 0，ad − bc ̸= 0。
Examples
求射影对应式，使直线 l上坐标为 1，2，3 的三点对应于直线 l′ 上的 坐标为 4，3，2 的三点。
解.
以 P1 、P2 为基点，则 P4 = P1 + P2 。设 P3 = P1 + µP2 。 由已知 1/µ = 2，得 µ = 1/2，
1 1 3 所以 P3 = (1, 1, 1) + 2 (1, −1, 1) = ( 3 2 , 2 , 2 ) = (3, 1, 3)。
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求仿射变换式就是将已知条件代入这个一般式中，求出其中的六个 参数。
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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Examples
求仿射变换式，使直线 l : x + 2y − 1 = 0上的点不变，而点 (1, − 1)变为 (−1, 2)。
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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求射影坐标变换
一般的一维射影坐标变换为 { ′ ρx1 = a11 x1 + a12 x2 a a , 11 12 ρx ′ = a x + a x a 21 1 22 2 21 a22 2
所求的变换为
{
x′ = 2x + 2y − 1 3 y′ = − 3 2 x − 2y + 2
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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解法二.
x′ a11 a12 a1 x 把仿射变换的一般形式写成 y′ = a21 a22 a2 y , 1 0 0 1 1 a11 a12 a1 记 B = a21 a22 a2 ,则将已知条件代入得 0 0 1
a1 −1
21 ≡ λ1 , a1 =
a22 −1 2
=
a2 −1
≡ λ2 .
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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求点和直线的坐标
设平面上的点的非齐次坐标为 (x, y)，则该点的齐次坐标是 x2 1 (x1 , x2 , x3 )，其中 x x3 = x， x3 = y； 斜率为 k，k ̸= ∞的方向的无穷远点的齐次坐标为 (1, k, 0)或者 2 (x1 , x2 , 0)，其中 x x 1 = k； y轴方向的无穷远点的齐次坐标为 (0, 1, 0)。 假设直线 ℓ的方程为 ax1 + bx2 + cx3 = 0，则该直线的齐次坐标为 [a, b, c]； 无穷远直线的方程是 x3 = 0，齐次坐标为 [0, 0, 1]。
方法二：
′ xx A + (x + x′ )B + C = 0 4A + 4B + C = 0 按方法一，可得 ， 9A + 6B + C = 0 此方程组有非零解 A, B, C，故其系数行列式为零， xx′ x + x′ 1 4 4 1 = 0， 即 9 6 1 展开得 2xx′ − 5(x + x′ ) + 12 = 0。
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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解法一.
在直线 l上任取两点 (1, 0)和 (−1, 1)，则由已知条件，所求的仿射变 换将 (1, 0)变成 (1, 0)，将 (−1, 1)变成 (−1, 1)，将 (1, − 1)变成 (−1, 2)。
射影定理高中难题
射影定理高中难题【原创版】目录1.射影定理的概述2.射影定理在高中数学中的应用3.射影定理的解题技巧4.高中难题的射影定理解法举例5.总结正文【提纲】1.射影定理的概述射影定理是几何学中的一个基本定理，它主要研究的是空间中直线与平面的位置关系。
射影定理的内容是：在一个射影空间中，一条直线和一个平面要么相交于一点，要么平行，要么重合。
这个定理在高中数学中被广泛应用，是解决许多几何问题的关键思想。
2.射影定理在高中数学中的应用射影定理在高中数学中的应用非常广泛，涉及到的知识点包括空间几何、解析几何等。
在解决一些复杂的几何问题时，射影定理往往能够提供一种全新的解题思路。
例如，在解决一些涉及空间直线和平面的位置关系的题目时，射影定理就能够提供非常有力的解题工具。
3.射影定理的解题技巧在应用射影定理解题时，有一些常用的技巧需要掌握。
首先，要熟练掌握射影定理的内容和公式，理解其在空间几何中的几何意义。
其次，要学会利用射影定理将复杂的几何问题转化为简单的代数问题，从而简化解题过程。
4.高中难题的射影定理解法举例例如，有一道高中数学难题：已知空间中有两个相交的平面，它们的交线为一条直线，现在有一条直线与这两个平面都相交，问这条直线与交线的位置关系。
这道题就可以利用射影定理来解决。
首先，根据射影定理，这条直线与交线要么相交于一点，要么平行，要么重合。
然后，通过构建适当的坐标系，利用代数方法求解出直线与交线的具体位置关系。
5.总结总的来说，射影定理是高中数学中非常重要的一个定理，它为我们解决许多复杂的几何问题提供了有力的工具。
从射影几何视角分析北京高考解析几何试题
从射影几何视角分析北京高考解析几何试题北京高考解析几何试题分析射影几何是解析几何的重要分支，它通过引入射影无穷远点，将平面或空间中的直线或平面上无穷远处的点都看作一个整体，这就使得处理无穷远处的情况更为方便。
下面我们就可以从射影几何的角度出发，来看一看如何分析北京高考解析几何试题。
1. 题目一已知直线 l 与平面α 垂直，平面α 平行于直线 m。
过点A（不在平面α上）引直线n垂直于平面α，与直线m交于点B。
证明线段AB垂直于l。
这道题中，我们需要应用射影几何中直线与平面的相关知识。
我们假设平面α的法向量为n，它与直线l垂直，那么α在射影几何中的无穷远点就是与l垂直方向上的点P∞。
又因为平面α与直线m平行，所以m在α上的射影为m∞。
那么点A的射影点就是射影线AP∞与α的交点A'。
同理，点B的射影点就是射影线BP∞与α的交点B'。
我们知道，在射影几何中，垂直的两条直线(或是线段)在平面上的射影点互为对称，根据此性质即可证得线段AB垂直于l。
2. 题目二已知一个椭圆和两个相切的直线与该椭圆的交点，求切点到点对称的轴的距离。
这道题中，我们需要应用到椭圆的性质以及射影几何中点对称的知识。
通过观察题目中所给的条件，我们不难发现，椭圆是图形的主角。
我们可以通过椭圆的对称性，将切点移动到椭圆的另一侧，从而更方便地进行计算。
同时，我们知道根据射影几何的点-对称性质，可以通过将所求点的射影点找出，再通过求解射影点的坐标来获取该点在平面上的准确位置。
最终根据定义式计算距离即可。
3. 题目三已知四元组 D(a,b,c,d) 为 2x2 的矩阵 D 的特征根与特征向量问题，其中矩阵D=[ 3-a bc 2-d ]且其特征根为 1，2，特征向量分别为 (1,2)T，(-1,1)T。
试求矩阵D的行列式|D|。
这道题需要我们应用到矩阵的特征值与特征向量的性质。
同时，我们可以从射影几何的角度出发，将矩阵D视为二维实数平面上的线性变换。
小学数学中的射影问题
小学数学中的射影问题射影问题是小学数学中一种经典的几何问题，涉及到点、线、平面以及它们之间的关系。
通过对射影问题的学习，学生能够培养几何思维、观察和分析能力，为后续的数学知识打下坚实的基础。
本文将介绍射影问题的基本概念、解题方法以及实际应用等内容。
一、射影问题的概念在几何学中，射影是指一个几何体在某个维度上的投影。
在小学数学中，常见的射影问题主要涉及到平面上的线段或者几何图形在某一维度上的投影。
例如，我们可以研究一个几何图形在垂直于平面的方向上的投影，或者一个线段在水平方向上的投影等等。
二、射影问题的解题方法解决射影问题的方法有很多种，下面列举几种常用的方法：1. 几何方法：通过几何图形的相似性、共线性等性质，进行观察和分析。
例如，可以利用平行线的性质来解决线段的射影问题，或者利用相似三角形的性质来解决几何图形的射影问题。
2. 代数方法：通过建立数学模型，利用数学公式进行计算。
例如，可以使用代数方法来计算一个线段在某个方向上的投影长度，或者使用方程组求解的方法来解决包含多个几何体的射影问题。
3. 实验方法：通过实际操作和实验验证，进行观察和总结。
例如，可以利用光线投影的实验来研究线段的射影问题，或者通过使用纸板模型进行实验来解决平面图形的射影问题。
三、射影问题的实际应用射影问题不仅仅是数学课本中的理论问题，它在现实生活中也有广泛的应用。
以下列举几个与射影相关的实际应用：1. 建筑设计：在建筑设计中，设计师需要考虑建筑物在不同光线照射下的射影效果，以保证建筑物的美观和功能性。
2. 艺术绘画：在绘画中，艺术家需要准确地绘制物体在不同视角下的射影，以展现逼真和立体的效果。
3. 照相和摄影：在拍照和摄影中，摄影爱好者需要掌握光线投影的原理，使得拍摄的照片或者影像更加生动和艺术。
四、总结射影问题是小学数学中一个重要的几何问题，通过解决射影问题，学生可以培养几何思维、观察和分析能力。
通过几何、代数和实验等多种方法，我们可以解决射影问题，并将其应用到现实生活中。
射影问题 高二数学 立体几何
( 3 ) 若 P 点与三角形三个顶点的 那么 O 是 ABC — — 心 ( 4 ) 若 PA B PC ， 且 AB AC 那么 O 点 在 — — 线上
A 的角平分线
连线两两垂直
，
垂心
例2、PA垂直于矩形ABCD所在的平面，且 AB=3，AD=4，AP=
BD的距离
6 21 5
，求P到BC、CD、
PB
PD 34 5
3 109 5
PE 6
例 3、 直角 ABC 在平面 内 ， 点 P 在平面 外 ， 已知 P 到直角顶点 C 的距离是 24 ， 到两直角边的距离都是
6 10 ， 那么 P 点到面 的距离
12 _________
1、 若 ABC 为等腰三角形
练习:
1、一条直线在一个平面内的射影可能是（ D ） A 一个点 B一条线段 C 一条直线 D可能是一个点，能是一条直线 2、如果平面外的两条直线在平面内的射影是 一个点和不经过该点的一条直线，那么这两条 直线的位置关系（ A ） A 异面 B 平行 C 异面或平行 D异面或相交
射影定理高中难题
射影定理高中难题射影定理是高中数学中的一个重要概念，它是几何与代数的结合，常常用于解决一些复杂的几何问题。
本文将通过举例和详细讲解，帮助读者更好地理解射影定理，并解决一道高中难题。
I. 什么是射影定理射影定理是几何学中的一条重要定理，它描述了平面上两条平行线与一条交于它们之间的第三条线的关系。
简而言之，射影定理表明，当一条直线与两条平行线相交时，这两条平行线上任意一点到交点的距离比例相等。
II. 射影定理的应用举例为了更好地理解射影定理，我们来看一个经典的应用案例：例题：在平面直角坐标系中，已知直线L1过点A（2，5）和B（8，1），直线L2过点C（5，7）和D（11，3）。
求证：L1与L2平行。
解析：首先，我们可以根据两点式求解直线L1和L2的方程。
直线L1的方程为：(x-2)/(8-2)=(y-5)/(1-5)整理得：4x-y+17=0直线L2的方程为：(x-5)/(11-5)=(y-7)/(3-7)整理得：4x-y+33=0我们可以观察到，L1和L2的方程中x的系数和y的系数相等，即两直线的斜率相等。
因此，根据斜率相等定理即可证明L1与L2平行。
III. 高中难题解析现在我们来解决一道实际的高中难题，利用射影定理来解决。
难题：在平面直角坐标系中，已知直线L1过点A（4，5），L2过点B（3，2）。
直线L与x轴和y轴的交点分别为C和D，且AC=BD。
求证：L1与L2平行。
解析：首先，我们可以根据已知条件得出点C的坐标为（a，0），点D的坐标为（0，b）。
根据射影定理，我们知道AC/BC=AD/BD。
而AC=BD已知，因此可以得出BC=AD。
我们可以利用两点式得出直线L1和L2的方程：直线L1的方程为：(x-4)/(a-4)=(y-5)/(0-5)整理得：5x-ay+20=0直线L2的方程为：(x-3)/(0-3)=(y-2)/(b-2)整理得：2x-by+6=0观察L1和L2的方程，我们可以发现两个方程中x的系数和y的系数均不相等。
14直角三角形的射影定理
1.4 直角三角形的射影定理教学设计教材分析：本节是新课程标准选修4-1《几何证明选讲》中第一讲第四节的内容。
这是在学习了相似三角形性质的基础上研究直角三角形的射影定理。
从学生的生活经验出发先介绍了射影的概念，然后用“探究”引导学生探索直角三角形中的一些线段的关系。
经过逻辑推理而得出直角三角形的射影定理。
本节的内容可以看成是相似（直角）三角形的判定定理、性质定理的一个应用，体现了从一般到特殊的数学思想。
射影定理有比较重要的价值，它建立了三角形中边与射影之间的关系揭示了直角三角形内在的美）在解决与直角三角形相关的几何问题中是一个强有力的工具教学目标知识目标：掌握正射影的定义. ，掌握直角三角形的射影定理及其证明，会用直角三角形的射影定理解决问题能力目标：探求直角三角形的射影定理及证明，并会用直角三角形的射影定理解决问题, 在教学过过程中用到了启发、探究、的方法情感目标：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想教学重点：掌握直角三角形的射影定理及运用教学难点：直角三角形的射影定理及运用教具准备：幻灯片三角尺课时安排： 1 课时教学过程、复习引入1. 复习相似三角形的判定方法2. (1)太阳光垂直照在A点，留在直线MN上的影子应是什么？• A(2)线段AB留在MN上的影子是什么?正射影(射影)的定义(1)点在直线上的正射影结合图形给出正射影的定义特别地，当一个点在这条直线上时, 它的正射影就是它本身。
(2) —条线段在直线上的正射影线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段点和线段的正射影简称射影—、探究新知已知：如图，/ ACB=90 ° , CD丄AB 于D.(1)图中有几个直角三角形？(2)图中有几对相似三角形？可写出几组比例式？由图中△ ACDCBDABC ,可分别写出三组比例式:(△ACD S △CDB); (△CBD s △ABC); ( △ACD s △ABC).⑶观察第(2)题的结果，有几个带有比例中项的比例式？如何用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式？F面我们从射影的角度来研究直角三角形中边的关系。
空间射影几何精选全文完整版
1仿射变换群
A X' Ha X 0T 仿射不变量:
1t X , A是三阶可逆矩阵,12个自由度.
(1)保持无穷远平面不变，即无穷远点变换为无穷
远点。
(2)保持直线与直线，直线与平面以及平面与平面
之间的平行性。
(3)保持物体的体积比，(同一平面)平行图形的面积
比，平行线段的长度比不变。
2.3变换群
称平面 (0,0,0,1)T为无穷远平面，记作
2.1三维射影空间
如果 ,则该平面上的有限点X ( X~,1)T 满足方程
nT X~ d 0, 其中n (1, 2 , 3 )T
d 4
| d | / n 是坐标原点到该平面的距离。
该平面的无穷远直线由下面方程给出：
nT
X~
T
X~ 0
1x 2y 3z 4w 0
其中 X (x, y, z, w)T 表示空间点的齐次坐标。
称四维向量 (1, 2 , 3, 4 )T 为该平面的齐次坐标。
平面的齐次坐标可相差常数因子，所以有三个自由度
平面的齐次坐标仅依赖三个比值 ：1 : 2 : 3 : 4 写成更简洁的形式 T X 0
X
T 1
X
T 2
0
X
T 3
T 1
T 2
X
0
T 3
如果三面不共线 ,则系数矩阵的秩为 3
2.1三维射影空间
3空间平面点的参数化
空间平面上的点只有两个自由度，如果将空间平面上的点X作 为射影平面上的点，则X可以用三维向量来表示，三维向量称为 平面上X点的参数化表示。
给定平面上不共线三个点的齐次坐标X1, X 2, X 3,则平面上
0
ax by cz 0(a 1, b 2 , c 3 )
1.1.锐角三角函数与射影定理-人教B版选修4-1几何证明选讲教案
1.1.锐角三角函数与射影定理-人教B版选修4-1 几何证明选讲教案一、教学目标1.熟悉锐角三角函数的定义、性质及其应用；2.掌握射影的概念、性质及其应用；3.能够运用所学知识进行几何证明。
二、教学重难点1.锐角三角函数的应用；2.射影定理的应用。
三、教学内容1. 锐角三角函数1.1 锐角三角函数定义在一个锐角三角形ABC中，以角A为锐角，可依次定义三条比值：1.正玄，记作sin A，定义为A点的对边与斜边的比值；2.余玄，记作cos A，定义为A点的邻边与斜边的比值；3.正切，记作tan A，定义为A的对边与邻边的比值。
其中对边、邻边、斜边分别为AB、AC、BC。
1.2 锐角三角函数性质•对于同一角，三角函数值随着角度的变化而变化；•三角函数的正负性取决于角所在的象限；•sin A / cos A = tan A。
1.3 锐角三角函数应用•应用1：通过正弦定理求角度。
•应用2：通过余弦定理求边长和角度。
•应用3：通过正切函数计算高度。
2. 射影定理2.1 射影概述射影，是指从一点沿着一条直线所对应的影子线段的长度的比值。
在一个直角三角形ABC中，可以将点D到AB线段上的射影记作HD，即D 点的影子线段。
2.2 射影定理在一个直角三角形ABC中，对于点D到斜边BC的射影HD，有以下关系式：1.BD / HD = AB / AC（HD在AB线段上）；2.CD / HD = AC / AB（HD在AC线段上）。
2.3 射影定理应用•应用1：求出直角三角形的内切圆的半径。
•应用2：计算线段之间的比值。
四、教学方法1.课前预习，课堂讲解，课后巩固练习；2.通过练习题，加深对知识点的理解；3.分组讨论，激发兴趣，提高互动效果。
五、教学流程1.锐角三角函数定义及性质。
1.教师讲解定义及性质。
2.举例说明锐角三角函数的计算过程。
3.解答学生提问。
2.锐角三角函数应用。
1.小组合作和讨论解决一些应用问题。
2.教师和学生共同讨论解法，并解答学生提问。
专题11 射影定理——高分必刷题(解析版)-初中数学上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题11 射影定理-高分必刷题（解析版）射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
射影定理是数学图形计算的重要定理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。
图形1.（青竹湖）如图，在Rt△ABC中，ACB∠则AC的长等于__________.【解答】解：∵AD＝6，BD＝18，∴AB＝AD+BD＝24．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD 是AB边上的高，∴由射影定理得：AC2＝AD•AB＝6×24，∴AC＝12．故答案是：12．2.（青竹湖）如图,△ABC中,∠ACB=90∘，CD⊥AB于D. 若BC=4，BD:AD=1:3，则BD的长为33【解答】解：∵BC=4，BD:AD=1:3，．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴由射影定理得：B C2＝BD•AB，∴16＝)3(xxx+，∴2=x．故答案是：A．DC BA3.（长沙中考）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（点P 不与M ，N 重合），PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F ． （1）+＝ ．（2）若PN 2＝PM •MN ，则＝ ．【解答】解：（1）∵MN 为⊙O 的直径，∴∠MPN ＝90°，∵PQ ⊥MN ，∴∠PQN ＝∠MPN ＝90°，∵NE 平分∠PNM ，∴∠MNE ＝∠PNE ，∴△PEN ∽△QFN ，∴，即①，∵∠PNQ +∠NPQ ＝∠PNQ +∠PMQ ＝90°，∴∠NPQ ＝∠PMQ ，∵∠PQN ＝∠PQM ＝90°， ∴△NPQ ∽△PMQ ，∴②，∴①×②得，∵QF ＝PQ ﹣PF ，∴＝1﹣， ∴+＝1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ ＝∠MNP ，∠NQP ＝∠NPM ，∴由射影定理得：PN 2＝QN •MN ，∵PN 2＝PM •MN ，∴PM ＝QN ，∴，∵，∴，∴，∴NQ 2＝MQ 2+MQ•NQ ，即，设，则x 2+x ﹣1＝0，解得，x ＝，或x ＝﹣＜0（舍去）．4.（长郡）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，DE ＝EC ，过点B 的切线与AD 的延长线交于F ，过E 作EG ⊥BC 于G ，延长GE 交AD 于H ． （1）求证：AH ＝HD ； （2）若BFBD＝，DF ＝9，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，DE ＝EC ，∴AB ⊥CD ，∴∠C +∠CBE ＝90°，∵EG ⊥BC ，∴∠C +∠CEG ＝90°，∴∠CBE ＝∠CEG ，∵∠CBE ＝∠CDA ，∠CEG ＝∠DEH ，∴∠CDA ＝∠DEH ，∴HD ＝EH ，∵∠A +∠ADC ＝90°，∠AEH +∠DEH ＝90°，∴AH ＝EH ，∴AH ＝HD ； （2）解：∵∠BDF ＝90°，BFBD ＝，令BD=4x ，BF=5x ，则222)5(94x x =+）（，∴2=x ，BD=12,由射影定理得：BD 2＝DF •DA ，∴144＝9×DA ，∴DA=16，又由射影定理得：AB 2＝AF •DA ，∴AB 2＝25×16，∴AB=20,即半径为10.5.(长郡)如图，△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与AC 、BC 交于点F 、D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，且CE ＝FE ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连OE ．若OE AB ＝10，求CE 的长．【解答】证明：（1）连接DF ，OD ，过点O 作OH ⊥AC 于H ，∵DE ⊥AC ，CE ＝FE ，∴DF＝DC ，∴∠C ＝∠DFC ，∵四边形ABDF 是圆内接四边形，∴∠OBD +∠AFD ＝180°，∵∠AFD +∠CFD ＝180°，∴∠OBD ＝∠CFD ，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ，∴∠ODB ＝∠C ，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，又∵OD 为半径，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵OH ⊥AC ，DE ⊥AC ，OD ⊥DE ，∴四边形ODEH 是矩形，∴DE ＝OH ，OD ＝EH ，∵AB ＝10，∴AO ＝OB ＝OD ＝EH ＝5，∴DE ＝＝＝4，由射影定理得：DE 2＝CE ×AE,∴16＝CE （10-CE ），∴CE ＝2或8（舍去），∴CE ＝2．6.（长沙中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC 的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．解：（1）∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切线；(3)设DE＝1，则AC＝2，由射影定理得：AC2＝AD×AE,∴20＝AD（AD+1），∴AD＝4或﹣5（舍去），∵DC2＝AC2﹣AD2，∴DC＝2，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；7.（青竹湖）如图,在△ABC中,△C=90△，AD平分△BAC交BC于点D，O是AB边上一点，以点O为圆心，OA长为半径的圆经过点D，作DE△AB于点E，延长DE交△O于点F，连接FO并延长交△O于点G(1)求证：BC是△O的切线；(2)求证：OA2=OB△OE；(3)若AE=9，CD=3，求△ACD与△COE面积之比。
高中立体几何—三棱锥顶点射影问题
O为三角形ABC的内心
B
O
A
E
F
C
典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O
(1)P到三顶点距离相等
O是 ABC的外心
(2)侧棱两两垂直
O是 ABC的垂心
(3)P到三边AB、BC、AC距离相等
O是 ABC的内心
例：四面体P-ABC中，PA BC, PB AC
求证：PC AB
O是垂心
证明：∵OA⊥α PQ α
A
∴ OA⊥PQ
OB⊥β, PQ β
∴ OB⊥PQ
又OA∩OB=0
P
∴PQ⊥平面OAB
而AB 平面OAB
∴ PQ⊥AB
O Q
B
作业：如图S是ABC所在平面外一点，SA SB SB SC，SC SA，H是ABC的垂心， 求证；SH 平面ABC
S
A
H
C
B
作业：如图S是ABC所在平面外一点，SA SB
求证：（1）PA BC
A
（2）BC 平面PAC
O
B
解：（1）
C
AB , AC ,
且AB AC A PA AC, PA AB
\ PA 又 BC
(2)QC为圆O上一点，AB 为直径
\ BC AC
由1得BC PA,又Q PA AC A
\ BC 面PAC
\ PA BC
例：平面内有一个三角形ABC，平面外 有一点P，自P向平面作斜线PA，PB， PC，且PA＝PB＝PC，若点O是△ABC 的外心，求证：PO⊥平面ABC.
三棱锥顶点射影问题
三角形的“心”
1、重心:三条中线的交点 2、垂心:三条高的交点 3、外心:三条边垂直平分线的交点（或 说△外接圆的圆心）