小波变换ch4Mallat算法及二维小波
K
x(n) c(k)s%(n k)
k K 1
K
K
c(k)s%(n k ) c(1 k)s%(n k)
k K 1
k K 1
K 1
c(k)s%(n 1 k) x(n 1)
kK
K
K
x(N 1 n) c(k)s%(N 1 n k) c(k)s%(N 1 n k)
a j,l j,l , j1,k d jl ,jl j1,k
l
l
考虑到
j,l (x) 2 j 2(2 j x l) 2 j 2 2 hs(2(2 j x l) s) s
hs 2( j1) 2(2( j1) x (2l s)) hs j1,2ls (x)
s
s
以及同级尺度函数的平移正交性，有
j,l , j1,k hs , j1,2ls j1,k hk 2l
s
j,l , j1,k g k 2l
2l+s=k,<.,.>=1
则 a j1,k a jl hk2l d jl gk2l
l
l
令
aj,m
a j,m 0
2
m偶 m奇
d j,m
第四章 Mallat算法 及二维小波
小波变换应用于信号处理的一般过程
4.1 基于正交小波的分解算法
由已知序列 {a j,k }分别求出 j 1 级的近似序 列{a j1,k } 和 j 1级细节序列 {d j1,k }
分解目标： Vj Vj1 Wj1
f (x) a j-1,k j-1,k (x) d j-1,k j-1,k (x)
k K 1
k K 1
K
c(1 k)s%(N 1 n k)
k K 1
K 1
c(k)s%(N 1 n 1 k) x(N 2 n) kK
输出序列是2N-2的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只需 保留[0,N-1]的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列 a j1(n) 和 d j1(n) 并采用同样的延拓方式实现重构。(滤波器的对称中心为-0.5)
如何分解？
结论：序列 {a j1,k } 和 {d j1,k } 可分别由序列 {a j,k } 通过数字滤波器{ h' }和{ g ' }，并对输 出作偶数点抽样得到 。
近似序列
细节序列
推导:
j1,k (x) 2( j1) 2(2 j1 x k) 2( j1) 2 2 hs(2(2 j1 x k) s) s
以边界点为对称中心的对称周期延拓
step1 从 s(n)到 s(n) ， N’＝2N－2
step2 s(n) 作N’周期延 拓
主周期内以n=0和 n=N-1为对称中心
延拓后的信号不存 在周期性的剧烈突 变
不重复S(0),S(N-1)
当 c(n)不对称时，数据总量几乎增大一倍 当 c(n)对称时，数据总量保持不变
1
J
塔式数据 塔式算法
初始化问题
f (x) V0 , f (x) a0,k(x k) , a0,k =？
k
按照定义
a0,k f (x),(x k) f (x)(x k)dx
实际上， f (x) { fn} fn f (nx)
a0,k fn (n k )
n
a0,k fk
(1)L=2K+1,c(n k) c(k)s%(n k)
k K
kK
K
K
c(k)s%(n k) c(k)s%(n k) x(n)
kK
kK
K
K
x(N 1 n) c(k)s%(N 1 n k) c(k)s%(N 1 n k)
n
s
s
a j,n hn2k a j h(2k )
n
hk hk
d j1,k a j g(2k )
g k g k
多级分解
无需尺度函数和小波函数的具体表达式
离散小波变换的数据量不变性质
近似序列
j=0
细节序列
j=-1
从j=0开始经J级分解后最后得到
{1a2J3,k},{1d4J,k4},2L 4,{d413,k}
四种延拓方法
补零延拓 简单周期延拓 以边界点为对称中心的对称延拓 边界值重复的对称周期延拓
补零延拓
简单 保留多于N/2的
信息才能重构 长度为N的序列 如果信号的边 界点的值与0差 别很大，则会 在边界处产生 阶跃变化
简单周期延拓
数据总量保持不变 当信号序列的两端
边界值相差很大时， 延拓后的信号将存 在周期性的剧烈突 变
hs 2 j 2(2 j x (2k s)) hs j,2ks (x)
s
s
j1,k (x) gs j,2ks (x)
s
a j1,k f (x), j1,k (x) f (x), hs j,2ks (x) s
hs f (x), j,2ks (x) hs a j,2ks
fn fk
(n k) 1
n
原始数据就是j＝0的近似序列
DWT的相图
DWT分解树
W1
8点的DWT相图
W2
V1
W3
V3
V2
4.2重构算法
由已知近似序列 {a j,k } 和细节序列{d j,k }求出
序列 {a j1,k }
a j1,k Aj1(x), j1,k (x) (a j,l j,l d jl jl ), j1,k (x)
d j,m 0
2
m偶 m奇
原数据每两个 之间补0所得
则 a j1,k ajmhkm d j,m gkm a h(k ) d g(k )
m
m
重构算法 多级重构算法
4.3边界处理
以下两式的前提式信号为双向无限长序列
， a j1,k a j h(2k)
d j1,k a j g(2k )
实际信号是有限长序列，矛盾
解决方法：将信号以某种方式延拓为双向
无限长序列
边界处理问题
一般的，数据 aj (n) 的下标范围是0～N， 滤波器记为c(n)，n K1, K1 1,L , K2 ，其长度
L K2 K1 1 ，那么分解过程就是
K2
x(n) c(k)s(n k) k K1
y(n) x(2n)
k K
k K
K
c(k)s%(N 1 n k) x(N 1 n) kK
输出序列是2N-2的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只需 保留[0,N-1]的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列 a j1(n) 和 d j1(n) 并采用同样的延拓方式实现重构。 (滤波器的对称中心为0)
(2) L=2K+2, c(n)=±c(-1-n)
小波变换发展史
小波变换发展史传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。
在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。
小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。
小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。
1.从傅立叶分析到小波分析1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立分析。
傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反映了“整个”时间范围内信号的“全部”频谱成分，是研究信号的周期现象不可缺少的工具。
建立在傅立叶分析基础上的采样定理和FFT技术奠定了现代数字化技术的理论基础。
尽管傅立叶变换具有很强的频域局域化能力，但是它明显的缺点，那就是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。
为了研究信号在局部时间范围内的频谱特征，1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT），但是STFT的窗口宽度是固定的（和频率无关），这使得它无法同时兼顾信号的低频和高频特征，在分析时变信号时也有一定的局限性。
另外，STFT的窗口函数或核函数不能提供一组离散正交基，所以给数值计算带来了不便，这也是导致STFT 没有得到广泛应用的重要原因。
从傅立叶分析演变而来的小波分析的优点恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。
小波变换
1.2 背景知识及研究现状1.2.1 小波变换数学界和工业界在共同研究数据表示技术的过程中所发展起来的小波分析技术[1],摈弃了传统Fourier 分析所必须的前提假设——平稳性，成为分析非平稳信号的有力工具。
它的出现导致了我们从新的视角去研究信号压缩、噪声滤波等信号处理问题：一方面，由于小波基的紧支性和小波分解的多尺度结构，非线性小波逼近实质上等价于一个自适应的网格逼近，网格的分辨率在信号奇异点的邻域内被适当加细了；另一方面，由于小波基的无条件基特性，使它成为一大类信号的非线性逼近的最优基，许多信号在小波基的表示下，都可以获得稀疏的表示式。
小波分析是传统傅里叶分析发展史上的里程碑，在许多使用传统傅里叶分析的地方，均可用小波分析所取代。
小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，已经成为图像处理应用中的一个新的研究热点[2]。
小波分析方法的出现可以追溯到1910年Haar 提出Haar 规范正交基，以及1938年Littlewood-Paley 对傅里叶级数建立的L-P 理论。
1984年法国地球物理学家Morlet 引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存贮和表示。
L. Carleron 使用了非常象“小波”的函数构造了Stein 和Weiss 的空间1H 的无条件基。
直到1986年，法国数学家Meyer 成功地构造出了具有一定衰减性的光滑函数ψ，它的二进伸缩与平移()(){}Z k j k t t j j k j ∈-=--,:222/,ψψ构成()R L 2的规范正交基。
Lemarie 和Battle 继Meyer 之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。
1988年Daubechies 构造了具有紧支集的正交小波基。
Coifman, Meyer 等人在1989年引入了小波包的概念。
基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在1990年构造出来。
1992年A Cohen, I Daubechhies 等人构造出了紧支撑双正交小波基。
遥感影像像素级融合方法概述
遥感影像像素级融合方法概述摘要：本文介绍了6种不同的像素级遥感影像融合方法，并较为深入的探讨了几种融合方法的原理、实现过程和优缺点，并对几种融合方法进行了综合评价，得到了针对多光谱影像融合较好的方法，表明了不同传感器影像融合的潜力，同时论文也对融合影像的应用推广进行了初步的对比分析。
关键词：融合原理评价方法0 引言影像融合按照其水平和特点可以分为像素级、特征级和决策级融合[1]，本文讨论的是像素级的影像融合方法，像素级融合是对传感器的原始信息及预处理的各个阶段上产生的信息分别进行融合处理。
对不同卫星和不同传感器的遥感影像进行融合，可以取长补短，产生新的融合影像。
比较常见的影像融合是高分辨率全色影像和低分辨率多光谱影像的融合，生成的新的融合影像既具有全色影像的高分辨率，也一定程度上保持了多光谱影像的光谱信息。
目前比较成功的高分辨率商业卫星如QuickBird、IKONOS和SPOT5，都搭载有高分辨率全色和低分辨率的多光谱相机，能同时提供全色和多光谱影像，并提供两者的融合产品。
QuickBird、IKONOS和SPOT5的全色和多光谱影像分辨率之比都为1:4或1:2，而CBERS-02B星的全色和多光谱影像分辨率之比大约为1:8，虽然CBERS-02B星HR与CCD的融合影像能一定程度上保持HR的高空间分辨率和CCD的高光谱分辨率，但1:8的大比率给CBERS-02B星的全色和多光谱影像融合也带来了一些困难和问题，如全色和多光谱影像之间的配准精度难已保证、融合影像出现斑块效应等等。
1 像素级影像融合方法1.1 HSV融合方法 HSV融合方法属于一种颜色变换的融合方法，首先介绍一下HSV颜色变换，HSV颜色变换是把标准的RGB图像变换到为色度H (Hue)、饱和度S (Saturation)和亮度V (Value)图像。
HSV融合方法流程是对多光谱影像3个波段使用HSV颜色正变换为H、S和V三幅图像，然后用高分辨率影像替代H图像，最后对H、S和V图像实施HSV颜色变换的逆变换得到融合影像。
小波分析实验：二维离散小波变换Mallat快速算法
小波分析实验：实验2 二维离散小波变换(Mallat快速算法)实验目的：在理解离散小波变换原理和Mallat快速算法的基础上，通过编程对图像进行二维离散小波变换，从而加深对二维小波分解和重构的理性和感性认识，并能提高编程能力，为今后的学习和工作奠定基础。
实验工具：计算机，matlab6.5附录：（1）二维小波分解函数%二维小波分解函数function Y=mallatdec2(X,wname,level)%输入:X 载入的二维图像像数值;% level 小波分解次(级)数设定值(如果设定值超过最高可分解次数,按最高分解次数分解)% wname 小波名字wavelet name%输出：Y 多极小波分解后的小波系数矩阵[h,g]=wfilters(wname,'d'); %h,g分别为低通和高通滤波器X=double(X);hh=size(X,2);while t<=level%先进行行小波变换for row=1:hhY(row,1:hh)=mdec1(X(row,1:hh),h,g) ;end%再进行列小波变换for col=1:hhtemp=mdec1( Y(1:hh,col)',h,g);Y(1:hh,col)=temp';endt=t+1;hh=hh/2;X=Y;end%内部子函数，对一行(row)矢量进行一次小波变换，利用fft实现function y=mdec1(x,h,g)%输入：x 行数组% h为低通滤波器% g为高通滤波器%输出： y 进行一级小波分解后的系数lenx=size(x,2);lenh=size(h,2);rh=h(end:-1:1);rrh=[zeros(1,(lenx-lenh)),rh];rrh=circshift(rrh',1)';rg=g(end:-1:1);rrg=[zeros(1,(lenx-lenh)),rg];rrg=circshift(rrg',1)';r1=dyaddown(ifft(fft(x).*fft(rrh,lenx)),1); %use para 1r2=dyaddown(ifft(fft(x).*fft(rrg,lenx)),1);y=[r1,r2];（2）二维小波重构函数%二维小波重构函数function Y=mallatrec2(X,wname,level)%输入:X 载入的小波系数矩阵;% level 小波分解次(级)数设定值(如果设定值超过最高可分解次数,按最高分解次数分解)% wname 小波名字wavelet name%输出：Y 重构图像矩阵[h,g]=wfilters(wname,'d'); %h,g分别为重构低通滤波器和重构高通滤波器hz=size(X,2);h1=hz/(2^(level-1));while h1<=hz% 对列变换for col=1:h1temp=mrec1(X(1:h1,col)',h,g)';X(1:h1,col)=temp;end%再对行变换for row=1:h1temp=mrec1(X(row,1:h1),h,g);X(row,1:h1)=temp;endh1=h1*2;endY=X;%内部子函数，对一行小波系数进行重构function y=mrec1(x,h,g)%输入：x 行数组% h为低通滤波器% g为高通滤波器%输出： y 进行一级小波重构后值lenx=size(x,2);r3=dyadup(x(1,1:lenx*0.5),0); %内插零use para 0r4=dyadup(x(1,(lenx*0.5+1):lenx),0); %use para 0y=ifft(fft(r3,lenx).*fft(h,lenx))+ ifft(fft(r4,lenx).*fft(g,lenx));（3）测试函数（主函数）%测试函数（主函数）clc;clear;X=imread('E:\Libin的文档\Course\Course_wavelet\实验2要求\exp2\LENA.bmp');%路径X=double(X);A = mallatdec2(X,'sym2',3);image(abs(A));colormap(gray(255));title('多尺度分解图像');Y= mallatrec2(A,'sym2',3);Y=real(Y);figure(2);subplot(1,2,1);image(X);colormap(gray(255));title('原始图像');subplot(1,2,2);image(Y);colormap(gray(255));title('重构图像');csize=size(X);sr=csize(1);sc=csize(2);mse=sum(sum( (Y-X).^2,1))/(sr*sc);psnr=10*log(255*255/mse)/log(10)小波分析实验：实验1 连续小波变换实验目的：在理解连续小波变换原理的基础上，通过编程实现对一维信号进行连续小波变换，（实验中采用的是墨西哥帽小波），从而对连续小波变换增加了理性和感性的认识，并能提高编程能力，为今后的学习和工作奠定基础。
小波变换在面波去噪中的一些应用
小波变换在面波去噪中的一些应用摘要：地震资料的去噪，在处理中是非常重要的内容。
随着勘探技术的进步，地球物理可以用于去噪的方法越来越多。
目前去噪效果相对较好的是小波变换法。
小波变化以其独特的时频特性被广泛的使用于地震资料的去噪中。
与以前的频率滤波相比，其优越性是可见的。
本文简要介绍了小波函数以及用于地震去噪的小波变换的一些方法，并且结合实际来对小波去噪进行了介绍。
关键词：小波变换、地震、随机干扰Abstract: Seismic data noise attenuation is a very important part of seismic data processing. With the advancement of exploration techniques,more and more geophysical methods can be used in noise attenuation. Currently the wavelet transform is relatively a better methods. Wavelet transform are widely used in seismic data noise attenuation with its unique time-frequency characteristics. Compared with the previous frequency filter, it is visible superiority.In this paper,we briefly introduces the wavelet function as well as the methods of wavelet noise attenuation,then combined with the realities of wavelet noise attenuation was introduced.Key words：the wavelet transform, Seismic, randomnoise.0引言野外地震资料中包含着有关地下构造和岩性的信息，但是由于各种因素的影响，我们所需要的信息中往往包含着各种的噪声，这些噪声的存在严重影响了我们对地震资料的解释。
基于Daubechies4小波变换地形滤波的复杂电磁环境仿真加速方法
基于Daubechies4小波变换地形滤波的复杂电磁环境仿真加速方法王佳;石丹;刘艳梅;高攸纲;陈亚洲【摘要】本文提出了一种基于射线追踪算法的复杂电磁环境仿真计算的加速方法，同时结合并行系统来共同加速仿真计算。
对地形DEM数据进行Daubechies4二维离散小波变换，地形滤波在一定范围内有效降低了其复杂度。
继而搭建并行计算系统，将滤波后的地形应用到多个辐射源的仿真建模并行计算，提高复杂电磁环境仿真计算速度。
经过对该方法进行多次实验，验证了该方法可以在一定精度范围内提高复杂电磁环境计算速度。
%The paper proposes a method to improve the simulation speed of complex electromagnetic environment based on ray tracing model. Meanwhile the acceleration simulation calculation is done combined with parallel system. Do Daubechies4 two-dimensional discrete wavelet transform on the terrain DEM data to smooth the terrain to accelerate simulation. The complex of terrain filtering is reduced in a certain range. Then the parallel computing system is established; and the terrain after filtering is applied in several radiation source to simulation modelling and parallel computing. It can improve the simulating calculation speed in the complex electromagnetic environment. After a number of tests, the results show that this method can be adopted to improve the computation speed in the complex electromagnetic environment while maintaining the computation accuracy simultaneously.【期刊名称】《环境技术》【年(卷),期】2014(000)0z1【总页数】4页(P63-66)【关键词】射线追踪;Daubechies4二维离散小波变换;DEM滤波;并行计算【作者】王佳;石丹;刘艳梅;高攸纲;陈亚洲【作者单位】北京邮电大学电子工程学院，北京 100876;北京邮电大学电子工程学院，北京 100876;北京邮电大学电子工程学院，北京 100876;北京邮电大学电子工程学院，北京 100876;中国人民解放军军械工程学院，石家庄 050003【正文语种】中文【中图分类】TP391.9随着军事领域电磁应用的日趋广泛，使得时时掌握战场空间内复杂电磁环境对获得战争主动权显得至关重要[1]。
mallat算法原理
mallat算法原理Mallat算法，又称Wavelet Transform，是一种基于小波函数的数据分析和处理方法，它将信号或图像分解成一系列小波频带，然后进行变换和重构以完成特定的分析或处理任务。
这种算法的优点在于具有时间和频率上的局部性、多分辨率分析和灵活的压缩性能等。
Mallat算法基于小波函数的变换，这些小波函数是一系列的正交函数(如Haar、Daubechies、Coiflet等)，它们具有时频局部性质，可以捕捉信号的局部特征，如短暂的信号脉冲和边缘等。
这些小波函数都是由一个母小波函数通过平移、缩放、反转等操作得到的。
Mallat算法的基本过程分为分解、重构和逆变换三个步骤。
1. 分解：将原始信号或图像分解成一系列小波频带。
这个过程是由多层的低通和高通滤波器完成的，其中低通滤波器用于提取信号的低频成分，高通滤波器则用于提取信号的高频成分。
在每一层分解过程中，低频部分进一步分解，高频部分则用作下一层分解的输入。
这样就得到了一系列不同频段的小波系数，代表了原始信号或图像的局部特征。
2. 重构：将得到的小波系数重构成原始信号或图像。
这个过程是由多个逆滤波器和逆上采样操作完成的，逆滤波器用于将小波系数进行逆变换，同时逆上采样操作将分辨率恢复到原来的大小。
通过这种方式，可以从分解后的小波系数重构出与原始信号或图像相似的结果。
Mallat算法的应用范围很广，可以应用到信号和图像处理、数据压缩、模式识别、图像分割等领域。
其核心在于通过小波分析将信号和图像分解成不同频段的小波系数，通过对这些小波系数的变换和重构完成特定的分析或处理任务。
02-多分辨率信号分解理论：小波变换
一个多分辨率信号分解理论：小波表示摘要：多分辨率表示对于分析图像信号内容十分有效，我们研究了在一给定分辨率下逼近信号算子的性能。
显示出在分辨率12+j 和j 2下逼近信号的信息不同，通过在小波标准正交基2L 上分解这一信号可以将其提取。
小波标准正交基是一系列函数，它由扩大和转化唯一函数）（x ψ来构建。
这一分解定义了一个正交多尺度表示叫做小波表示。
它由金字塔算法来计算，其基于正交镜像滤波器的卷积。
对于图像，小波表示区分了几种空间定位。
我们研究这一表示在数据压缩，图像编码，结构辨别及分形分析上的应用。
关键词-编码，分形，多分辨率金字塔，正交镜像滤波器，结构辨别，小波变换 1. 引言在计算机视觉方面，很难由图像像素的灰度强度来直接分析一个图像的信息内容。
的确，这一数值依赖于照明条件。
更为重要的是图像强度的局部变化。
邻居的大小即对比计算处必须被采用于我们要分析的物体大小。
这一尺寸为测量图像局部变化定义了参考分辨率。
总的来说，我们想要识别的结构具有差异很大的尺寸。
因此，定义分析图像的优先或最优分辨率是不可能的。
一些研究人员发明了图像比对算法用来处理不同分辨率下的图像。
为这一目的，一种算法可以识别图像信息至一系列在不同分辨率下显现的细节。
给定一个提高分辨率的序列j r ，在分辨率j r 下的图像细节被定义为它的分辨率j r 下逼近与低分辨率1-j r 下逼近之间的信息差别。
多分辨率分解使得我们可以获得图像的尺度不变性演绎。
图像尺度随着场景与相机光学中心间的距离而变化。
当图像尺寸修改时，我们对于图像的演绎不应该变化。
多分辨率分解可以满足局部尺度不变性如果分辨率参量j r 的序列以指数形式变化。
我们假设存在分辨率一步R ∈α对于所有整数j ，j j r α=。
如果相机靠近场景时间为α，则每一物体被投影到一个2α的区域比相机焦平面更大。
即每一物体以α倍大的分辨率度量。
因此，新图片在分辨率j α下细节与先前在分辨率1+j α下图像细节相一致。
小波变换
第五章 小波变换 Wavelet Transform小波理论是20世纪80年代后期发展起来的一门新兴应用数学分支，在法国学者莫列特（J.morlet ）马莱特（S.Mallat ）杜比垂丝（I.Daubechies ）努力下，小波理论及其在工程中的应用迅猛发展，打破了积分变换领域长期以来付氏变换一统天下的格局，开创了一个划时代的局面。
小波变换被认为是信号分析工具和方法上的重大突破。
由于小波变换可看成是傅氏变换的发展，所以与傅氏变换一样具有极广的应用面。
目前，在通信、图像、语言、地震、雷达、声纳、机械振动分析、信号检测、特征提取、故障诊断、滤波、数据压缩等多方面都得到了应用。
小波变换的应用研究正方兴未艾。
小波变换之所以有如此好的局面，源于它具有的多分辨特性——多尺度特征，可以把小波变换看成是一组品质因数相同具有良好选频特性的带通滤波器，通过适当地选择尺度因子和平移因子和基本小波，可以得到一个伸缩窗使得小波变换在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力——称为数学显微镜本章不对小波变换进行完整的数学讲述。
只从信号处理的角度对小波变换的基本理论和方法作一简单的介绍。
突出其定性的概念，建立起对小波的一点概念和兴趣，为今后的应用研究打下基础。
主要讲：连续小波变换、多分辨分析、Mallat 算法、小波包分析。
5.1 傅立叶变换到小波变换5.1.1傅立叶变换的局限性傅立叶变换： ()()j t x j x t e dt ωω∞--∞=⎰ （5-1） ()()12j t x t x e d ωωωπ∞-∞=⎰ （5-2）一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式1.揭示了时间函数与频谱函数之间的内在联系（时域 频域）2.反映了信号在“整个”时间范围内的“全部”频谱成分。
注解：(1)积分区间都是无穷的，所以傅氏变换是对无穷区间函数的分析。
注解：(2)用傅氏变换的方法是提取信号频谱时，需要利用信号的全部时域信号。
小波变换的发展简史
小波变换的发展简史从时频分析方法发展的角度出发（对比每种方法的优缺点），简述了小波变换的发展历史。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。
幸运的是，1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。
与Fourier变换、窗口Fourier变换相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展，势必取代傅立叶分析的位置。
1．小波分析的3个特点：小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。
有利于分析确定时间发生的现象。
（傅里叶变换只具有频率分析的性质）小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。
信号长度为M 时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：2. 小波基表示发生的时间和频率：傅里叶变换（Fourier）基小波基时间采样基“时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较4.信号的时频分析：信号时频分析的重要性：时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。
信号的时域和频域之间具有紧密的联系。
信号时频分析的主要方法：3. 傅里叶变换（一）傅里叶变换伟大贡献及其局限性：傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。