二阶线性常微分方程的幂级数解法
大学物理-二阶线性常微分方程的一般性质
设方程 (7-1-6) 的正则解为：
(7-1-7)
(7-1-8)
将 (7-1-7)、(7-1-8) 代入 (7-1-6) 式中，得到
消去因子 z ，有
(7-1-9)
要使上式在 |z| < R 的区域内成立，左边 z 的各次幂的 系数必须等于零。
由 z 的最低次幂的系数为零，得到
(a0,b0为已知)
(7-1-11) 一般可以得到两组系数。
(7-1-1)
(7-1-2)
或
(7-1-3)
其中：
是常数
可以看到，在 z0 是方程的奇点的情形下，如果 1 或 者 2 不是整数，或者 g ≠ 0，方程都有多值函数解。
显然，把解 (7-1-1), (7-1-2) 或 (7-1-3) 代入方程中去确
定 1, 2 , g, Ck , Dk 时会发现所得到的是一组无穷多个未
性、单值性等) 由方程的系数 p(z) 和 q(z) 的解析性确定。
设 p(z) 和 q(z) 在一定的区域中，除若干个孤立奇点外， 是 z 的单值解析函数。区域中的点可分为两类：
1. 方程的常点：如果 p(z) 和 q(z) 都在点 z0 的邻域解析， 则 z0 称为方程的常点。
2. 常点邻域的级数解
以 z2 乘方程
(7-1-5)
得到
(7-1-6)
其中
p1(z) zp(z) q1(z) ห้องสมุดไป่ตู้2q(z)
(7-1-6)
由条件 (7-1-4) 可知：p1(z) , q1(z) 在 z = 0 点及其邻域内是解 析的，将它们分别作泰勒展开，有
q1(z) bs zs s0
p1(z) as zs s0
(z – z0) p(z) 和 (z – z0)2 q(z) 在 0 < |z – z0| < R 中解析。(7-1-4)
二阶常微分方程解存在的问题
二阶常微分方程解的存在问题分析摘要本文首先介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的一般解法——特征方程法及二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，然后又介绍了一些可降阶的微分方程类型。
接着，讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法并论述了如何利用变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。
另外，本文还介绍了求解初值问题的另一种方法——拉普拉斯变换法。
最后，给出了二阶微分方程的存在唯一性定理的证明以及它在科学研究、工程技术以及数学建模中解决实际问题的一些应用。
1.引言1.1常微分方程的发展过程与研究途径二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。
这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。
在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题。
因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题是十分重要的。
常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。
牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。
他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。
用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。
17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。
20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。
1927－1945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。
第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。
40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。
22 二阶线性常微分方程的级数解法和一般本征值问题
(3)
k=0
k=0
k=0
其中的展开系数 pk 和 qk 是已知的，而 ak 是未知的．将这些展开式代入方程 (1)，合并同 幂项，将左边整理成一个幂级数，由于右边为零，故所有 (x − x0)k 的系数均必须为零，由
§2 Legendre 方程及其本征值问题
3
此可得 ak 间的一系列代数方程．求解这些代数方程即可用 a0 和 a1 表出 a2, a3, · · · ，从而 得到级数解．容易看出，a0 = c0，a1 = c1．如果不给定初始条件，则级数解中含有两个任意 常数 a0 和 a1，所以是方程 (1) 的通解．
下面补充讨论两个有关问题．它们与级数解法无关，也与常点或奇点无关．
首先，如果我们已经求得方程 (1) 的一个解 y1(x)（不管用什么方法），则第二解就可以用积分表出． 事实上，令 y2(x) = C(x)y1(x)，其中 C(x) 是未知函数．代入方程 (1)，容易得到 y1C +(2y1 +py1)C = 0，这是 C (x) 的一阶线性方程，容易求出 C (x)，再积分一次即得 C(x)，最后得到
y(x0) = c0, y (x0) = c1.
(2)
如果不附加初始条件，则通解中含有两个任意常数．
显然，方程 (1) 的解的行为取决于系数的行为．我们假定在复平面的某区域 D 内，p(x)
和 q(x) 除有限个孤立奇点外是单值解析的．级数解法就是在 D 内某点 x0 的邻域或去心邻 域内将 y(x) 展开为幂级数，即 Taylor 级数、Laurent 级数或更一般的幂级数（见后）．展开
∞
y(x) = akxk.
k=0
容易得到下列各式：
∞
∞
二阶微分方程的解法及应用【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学二阶微分方程的解法及应用一、选题的背景、意义两千多年以前的古希腊时代，地中海沿岸的奴隶们在繁重的生产劳动中，早就认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力因而在运输中广泛应用装有圆轮和圆轴的车子。
为了精密地制造这些工具，就需要对圆形有精确的认识，在深入地研究圆形的过程中，出现了“无限细分，无限求和”的微积分思想的萌芽。
到了16世纪前后，社会生产实践活动进入了一个新的时期。
在这段时间中，笛卡尔引进了变数的概念，有了变数，微分和积分也就立刻产生了！17世纪上半叶，随着函数观念的建立和对机械运动规律的探求，许多实际问题摆到了数学家的面前，几乎所有的科学大师都把自己的注意力集中到寻求解决这些难题的新的数学工具上来，他们在解决问题的过程中，逐步形成了微积分学的一些基本方法。
17世纪，当牛顿和莱布尼茨创立了微积分以后，数学家们便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决越来越多的物理问题，但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题，这类问题不能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运而生了。
它和天文学、力学、物理学等许多学科有广泛的联系，在数学领域，它和其它一些分支学科相互渗透，关系密切，为理工科院校数学专业重要的基础课程，理工科其它专业的高等数学课程也将会有越来越多的常微分方程内容。
17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容；从18世纪下半叶到19世纪，此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段，人们从求通解的热潮转向研究常微分方程问题的适定性理论；19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数解法，求出一些重要的二阶线性方程的幂级数解，并得到极其重要的一些特殊函数；19世纪至20世纪是常微分方程的定性理论阶段，以定性与稳定性理论为研究内容。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题研究的基本内容：本文着重讨论求解各种二阶微分方程的方法。
数学物理方法教学大纲(可编辑修改word版)
《数学物理方法》课程教学大纲（72 学时）（理论课程）一课程说明（一）课程概况课程中文名称：《数学物理方法》课程英文名称：Mathematics physics method课程编码：3910252114开课学院：理学院适用专业/开课学期：物理学/第 4 学期学分/周学时：4 学分/周4 学时《数学物理方法》是物理学本科专业的必修专业主干课，通过该课程的学习，使学生掌握复变函数、数学物理方程和特殊函数的基本理论、建模方法和计算方法，培养学生用数学方法和物理规律解决各类物理实际问题的能力，为后续课程的学习打下良好的基础。
本课程是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。
本课程在本科物理学专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。
（二）课程目标通过本课程的学习，使学生掌握处理物理问题的一些基本数学方法，为进一步学习后继课程提供必要的数学基础。
要求学生熟悉复变函数(特别是解析函数)的一些基本概念，掌握泰勒级数及洛朗级数的展开方法，利用留数定理来计算回路积分和三类实变函数的定积分；掌握傅立叶变换和拉普拉斯变换的概念及性质，并能运用拉普拉斯变换方法求解积分、微分方程。
了解三种类型的数学物理方程的导出过程，能熟练写出定解问题；掌握用行波法求解一维无界及半无界波动方程，利用分离变量法求解各类齐次及非齐次方程；了解特殊函数的常微分方程，掌握用级数解法求解二阶常微分方程，了解施图姆-刘维尔本征值问题及性质；掌握勒让德多项式、贝塞尔函数及性质，并能利用勒让德多项式求解三维轴对称拉普拉斯方程。
（三）学时分配二教学方法和手段1.本课程课堂讲授约需 72 课时。
2.学生在学习过程中应注重各专题所要求内容的全貌，以掌握基本思想和基本方法为主，培养创新精神。
3.在学习过程中，应以推荐教材为主，适当参考所列出的或其它的参考书，要适应各种不同的教材的编排体系和书写符号等。
第二章常微分方程
an (n c)(n c 1)xnc (F0 F1x F2 x2 ) an (n c)xnc
n0
n0
(G0 G1x G2 x2 ) an xnc 0
n0
第二章常微分方程——二阶变系数方程
首项xc的系数为0——指标方程
c2 (F0 1)c G0 0
第n项xn+c的系数为0 ——递推公式
rAs
)
dy dt
y
(rA
rAs )
[Qr (T )
Qr (Ts )]
第二章常微分方程——线性稳定性分析
将反应项与移热项线性展开
dx dt
1
rA cA
s
x
rA T
s
y
dy dt
rA cA
s
x
1
rA T
s
dQr dT
s
y
特征根方程
2 tr 0
detA I 0
从中可解出n个特征根和特征向量，构成基解矩阵
第二章常微分方程——一阶常系数方程组
通解 或
Y t e1t x 1 , e2t x 2 , ，ent x n
y t c1 x 1e1t c2 x 2e2t cn x nent
y=Yc 常数 c 由初始条件确定
y2
y c cc1
➢ 当c1－c2 为整数时，第二解为
y2
c
c
c2
y cc2
第二章常微分方程——二阶变系数方程
推导：设
y(x,c)
an不一定满足指标方程，将其代入
方程后有
x 2 d 2y dx 2
xF
(x
)
dy dx
G(x)y （c c1)(c c2)a0x c
二阶线性常微分方程的幂级数解法
二阶线性常微分方程的幕级数解法二阶线性常微分方程的幕级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幕级数来表示 一个函数。
因此，自然想到，能否用慕级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程)「-小=0的通解解： 设 y = a 0+a l x + a 2x 2 + + +•••为方程的解，这里q(20,1,2,…”…)是待定常系数，将它对x 微分两次, 有 y =2-k/2 + 3・2a 3x + ・•・ + n{n 一 \)a n x^2 + (n + \)na n ^}x n ^ + ・・・ 将y, y 的表达式代入方程，并比较的同次基的系数，得到 —x<x<co 2-1«2 =0 > 3-2a 3 — q = 0、 4-3a 4 — q = 0, 5・4y —a 2 = 0,… 或一般的可推得伽= -------- - ------- ,2-3-5-6••…(3k — l)・3k 53・4・6・7••…3&・(3k + l)G = °其中5,①是任意的，因而代入设的解中可得:“■X X X y = 1 H ----- 1 ------------- -- ----------------------------------- ■・•] + "[ [x + --- F° 2-3 2-3-56 2-3-56・•••・⑶2-1)・3料 1 3-4 3・4・6・7 •…这个幕级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和(其中包括两个任 意常数5及①)便是所要求的通解。
X 1 ---------- + •…]•(3/7 + 1)例6求方程八2卩-4y = 0的满足初值条件7(0) = 0及严=1的解。
解设级数y =兔＞ + a}x + a2x2+ …+ a n x n+ … 为方程的解。
首先，利用初值条件，可以得到«() = 0 >因而y = x + a2x2 + + • • • + a n x n+•••y =\ + 2a2x + 3a3x2 + ・・・ + na n x n 1+ • •・y = 2a2 + 3-2a3x + • • • + n(n-i)ci ft x r 2+•••将y, y, y”的表达式带入原方程，合并x的各同次幕的项，并令各项系数等于零，得到2勺=0,® =1“ =0厂・・，4” =―"”亠…77-1因而I n 1 1 n 1a s =刁4 =°4 =- = —^8 =0,為=石,…最后得111 n如k伙-1)! k\ ~k对一切正整数斤成立。
《常微分方程》课程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标常微分方程是信息与计算科学专业的基础课程之一。
通过该课程的学习，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解，培养学生计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及理论联系实际去分析问题、解决问题的能力，为学生学习后继课程打下基础。
1．学好基础知识。
理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。
2．掌握基本技能。
能够根据法则、公式正确地进行运算。
能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。
3．培养思维能力。
能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。
能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。
能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。
4．提高解决实际问题的能力。
对于简单应用问题会列出定解问题求解,能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。
能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。
三、教学学时分配《常微分方程》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。
四、教学内容和教学要求第一章绪论（4学时）（一）教学要求1．了解微分方程的背景即某些物理过程的数学模型；2. 掌握由简单的物理、几何等问题建立简单微分方程；3. 理解微分方程的基本概念；4. 掌握如何由通解求特解。
（二）教学重点与难点教学重点：微分方程的基本概念；教学难点：建立微分方程模型的思想、方法和例子。
（三）教学内容 第一节 常微分方程模型第二节 基本概念和常微分方程的发展历史1．常微分方程基本概念本章习题要点：微分方程基本概念题；建立微分方程的题。
第二章 一阶微分方程的初等解法（14学时）（一）教学要求1. 掌握变量可分离方程、一阶线性方程以及恰当微分方程的求解方法； 2．掌握齐次方程、Bernoulli 方程的求解； 3. 掌握用变量代换的方法求解微分方程；4. 掌握从积分因子满足的充分必要条件导出某些特殊形式积分因子存在的条件及计算公式,并用于解相应的微分方程；5. 掌握已解出y 或x 的微分方程)',(),',(y y f x y x f y ==的计算方法；6. 了解微分方程0)',(,0)',(==y y F y x F 的求解；7. 掌握一阶微分方程的应用方法,能建立一些简单的模型进行简单分析。
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二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。
因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程''0y xy -=的通解解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=⋅+⋅++-+++将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x -∞<<∞2210a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=或一般的可推得32356(31)3k a a k k =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，13134673(31)k a a k k +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，320k a +=其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：3634701[1][]2323562356(31)33434673(31)nx x x x x y a a x n nn n =+++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。
解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。
首先，利用初值条件，可以得到00a =， 11a =，因而2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+⋅++-+将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到214220,1,0,,,1n n a a a a a n -====-因而567891111,0,,0,,2!63!4!a a a a a ======最后得21111(1)!!k a k k k +=⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。
将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到52132!!k x x y x x k +=+++++2422(1),2!!k x x x x x xe k =+++++=这就是方程的满足所给初值条件的解。
是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。
考虑二阶齐次线性微分方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++= 及初值条件00()y x y =及''00()y x y =的情况。
不失一般性，可设 00x =，否则，我们引进新变量0t x x =-，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于0x x =的就是00t =了，因此，今后我们总认为00x =。
定理10 若方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=中系数()p x 和()q x 都能展成x 的幂级数，且收敛区间为||x R <，则方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=有形如n n n y a x ∞==∑的特解，也以||x R <为级数的收敛区间。
在上两例中方程显然满足定理的条件，系数x -，2x -和4-可看作是在全数轴上收敛的幂级数，故方程的解也在全数轴上收敛。
但有些方程，例如n 阶贝赛尔方程22222()0d y dyx x x n y dx dx++-= 这里n 为非负常数，不一定是正整数，（22()()0d y dy p x q x y dx dx ++=）在此1()p x x=，22()1n q x x =-，显然它不满足定理10 的条件，因而不能肯定有形如0nn n y a x ∞==∑的特解。
但它满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的幂级数解。
定理11 若方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=中系数()p x ，()q x 具有这样的性质，即()xp x 和2()x q x 均能展成x 的幂级数，且收敛区间为||x R <，若00a ≠，则方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=有形如0nn n y xa x α∞==∑ 即n n n y a x α∞+==∑的特解，α是一个特定的常数，级数0n n n y a x α∞+==∑也以||x R <为收敛区间。
若00a =，或更一般的，0(0,1,2,1)i i m α==-，但0ma ≠，则引入记号m βα=+，k m kb a +=，则nmkk n m k k n mk k y xa x xa x xb x ααβ∞∞∞++======∑∑∑， 这里00m b a =≠，而β仍为待定常数。
例7 求解n 阶贝赛尔方程22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=。
解 将方程改写成2222210d y dy x n y dx x dx x-++=， 易见，它满足定理11的条件（()xp x 和2()x q x 均能展成x 的幂级数，且收敛区间为||x R <），且()()2221,xp x x q x x n ==-，按展成的幂级数收敛区间为x -∞<<∞，由定理11，方程有形如a k k k y a x ∞+==∑的解，这里00a ≠，而k a 和α是待定常数，将a kk k y a x ∞+==∑代入：22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=中，得 221()(1)a k k k xa k a k a x ∞+-=++-∑ 11()a k k k x a k a x ∞+-=++∑220()0a k k k x n a x ∞+=+-=∑，把x 同幂次项归在一起，上式变为220[()(1)()]0a k a k kk k k k k k n a xa x ααα∞∞+++==++-++-+=∑∑令各项的系数等于0，得一系列的代数方程220221222[]0[(1)]0[()]02,3,kk a n a n a k n a k ααα-⎧-=⎪+-=⎪⎨+-+=⎪⎪=⎩因为00a ≠，故从22[]0a n α-=解得α的两个值 n α=和n α=-先考虑n α=时方程22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的一个特解，这时我们总可以从以上方程组中逐个地确定所有的系数k a 。
把n α=代入以上方程组，得到10a =2(2)k k a a k n k -=-+，2,3k =或按下标为奇数或偶数，我们分别有()()()212122*********k k k k a a k n k a a k n k -+--⎧=⎪+++⎪⎨-⎪=⎪+⎩1,2,k=从而求得210k a -= 1,2,k=()022211a a n =-⋅+()()()244122!12a a n n =-⋅++()()()()366123!123a a n n n =-⋅+++一般地()()()()2212!12kk ka a k n n n k =-⋅+++1,2,k =将k a 各代入a kk k y a x ∞+==∑得到方程22222()0d y dyx x x n y dx dx++-=的一个解()()()()02102112!12knk n kk a y a x x k n n n k ∞+=-=+⋅+++∑既然是求22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的特解，我们不妨令 ()0121na n =Γ+其中函数()s Γ定义如下：当s >0时，()10s xs x e dx +∞--Γ=⎰；当s <0且非整数时，由递推公式()1()1s s sΓ=Γ+定义。
()s Γ具有性质()()1s s s Γ+=Γ; ()1!n n Γ+=n 为正整数而()()()()02102112!12knk n k k a y a xx k n n n k ∞+=-=+⋅+++∑变为()()()()2101!112kk nk x y k n k n n +∞=-⎛⎫= ⎪++Γ+⎝⎭∑注意到Γ函数的性质，即有()()()2101!1`2kk nn k x y J x k n k +∞=-⎛⎫=≡ ⎪Γ++⎝⎭∑()n J x 是由贝塞尔方程22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=定义的特殊函数，称为n 阶贝赛尔函数。
因此，对于n 阶贝塞尔方程，它总有一个特解()n J x 。
为了求得另一个与()n J x 线性无关的特解，我们自然想到，求a n=-时方程22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的形如 20n kk k y a x∞-+==∑的解，我们注意到只要n 不为非负整数，像以上对于n α=时的求解过程一样，我们总可以求得210k a -= 1,2,k=()()()()2021,2!12kkk a a k n n n k =-⋅-+-+-+1,2,k =使之满足220221222[]0[(1)]0[()]02,3,kk a n a n a k n a k ααα-⎧-=⎪+-=⎪⎨+-+=⎪⎪=⎩中的一系列方程，因而()()()()02202112!12knk n k k a y a xx k n n n k ∞--=-=+⋅-+-+-+∑是22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的一个特解。
此时，若令 ()0121na n -=Γ-+则()()()()02202112!12knk nk k a y a xx k n n n k ∞--=-=+⋅-+-+-+∑变为()()()2201!12k nkn k x y J x k n k -∞-=-⎛⎫=≡ ⎪Γ-++⎝⎭∑称()n J x -为阶贝赛尔函数。