高考数学圆锥曲线小题解题技巧
圆锥曲线高考小题解析一、 考点分析1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系；2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法；3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质；4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）；5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力；6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题；7. 定值问题；8. 最值问题。
二、 真题解析1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题1.【2018全国1文15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于,A B 两点，则||AB =___________解析：2222230(1)4x y y x y ++-=⇒++=，圆心坐标为(0,1)-，半径2r =圆心到直线1y x =+的距离d =||AB ==2.【2018全国2理19文20】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，||8AB =（1）求l 的方程；（2）求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。
解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知22||8sin pAB θ==，则sin 2θ=，tan 1θ= 则l 的直线方程为1y x =-（2）由（1）知AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005(1)(1)162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得00003112-6x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1x y x y -+-=-+=或通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：在上图中过焦点的直线与抛物线交于,A B 两点，取AB 的中点M ，三点分别向准线作垂线，垂足分别为,,C D N ，因为1()2MN AC BD =+，,AC AF BD BF ==，所以11()22MN AF BF AB =+=，所以AB 为直径的圆与准线相切。
3.【2018北京理10】在极坐标中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________.解析：cos sin (0)a a x y a ρθρθ+=>⇒+= 222cos (1)1x y ρθ=⇒-+=直线与圆相切时1d r ===，解得1a =4.【2018天津理12】已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1232x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）与该圆相交于,A B 两点，则ABC ∆的面积为___________.解析：222220(1)1x y x x y +-=⇒-+=12232x x y y ⎧=-+⎪⎪⇒+=⎨⎪=-⎪⎩ 圆心(1,0)到直线20x y +-=的距离为2d =，所以||AB ==所以11||22ABC S AB d ∆== 5.【2018天津文 12】在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1)(2,0)的圆的方程为__.解析：(0,0),(1,1)两点的中垂线方程为10x y +-=，(0,0),(2,0)两点的中垂线方程为1x =，联立101x y x +-=⎧⎨=⎩解得圆心坐标为(1,0)，半径1r = 所以圆的方程为22(1)1x y -+=6.【2018江苏选修 C 】在极坐标中，直线l 的方程为sin()26πρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长。
解析：sin()2406x πρθ-=⇒-=224cos (2)4x y ρθ=⇒-+=，设直线与圆相交于,A B 两点圆心(2,0)到直线40x --=的距离212d ==||AB ==2. 椭圆，双曲线，抛物线中基础性的计算问题7.【2018全国1 文4】已知椭圆222:14x y C a +=的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为___________.解析：2,2c b ==所以2228a b c =+=，2c e a ===8.【2018全国2 理5 文6】双曲线22221x y a b-=___.解析：2223c e a ==，则令223,1c a ==则22b =，所以渐近线方程为by x a=±=9.【2018全国3 文10】已知双曲线2222:1x y C a b-=，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为_________.解析：ce a==0bx ay -=所以点(4,0)到渐近线的距离为4b d c==令1c a ==，则41,bb d c=====因为求的是比值，因此没必要求出,b c 具体的数字，因为无论,b c 是多少，其比值都是相同的。
10.【2018北京 文10】已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.解析：:1l x =，代入到24y ax =得y =4=，1a =（a 只能为正数）11.【2018北京文 12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_______.解析：22222222452,4c a b a b e a a a ++=====，解得4a = 12.【2018天津理 7】已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为12,d d ，且126d d +=，则双曲线的方程为_______________.解析：如上图，12d d +为右焦点F 到渐近线by x a=的距离的2倍，故126d d =+=，又因为2ce a==，解得223,9a b == 所以双曲线的方程为22139x y -=13.【2018江苏8】在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是_________. 解析：双曲线的渐近线为0bx ay -=，d b ===所以2e === 14.【2018浙江2】双曲线2213x y -=的焦点坐标是_________. 解析：222223,1,4a b c a b ===+=，且焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(2,0),(2,0)-15.【2018上海1】设P 为椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为__________.解析：25,a a ==，P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a =16.【2018上海6】双曲线2214x y -=的渐近线方程为__________. 解析：224,1a b ==，所以渐近线方程为12b y x x a =±=±17.【2018全国1 理8】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r=__________.解析：(1,0)F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线方程为2433y x =+，设1122(,),N(,)M x y x y ，联立22121245405,42433y x x x x x x x y x ⎧=⎪⇒-+=⇒+==⎨=+⎪⎩所以1212()18FM FN x x x x ⋅=-+++=u u u u r u u u r18.【2018江苏 12】在平面直角坐标系xoy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B 以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D 。
若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为__________.解析：因为AD BD ⊥，所以||BD 为点B 到直线2y x =的距离，所以BD ==ABD ∆为等腰直角三角形，所以AB ==设(,2)A m m =，且0m > 解得3m =3. 圆锥曲线的离心率问题19.【2018全国2 理12】已知12,F F 是椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过点A 12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ︒∠=，则C 的离心率为________.解析：如上图，212222,60,PF F F c PF Q F Q c PQ ︒==∠=⇒==所以(2)P c，因为(,0)A a -所以14AP K e ==⇒= 20.【2018全国2 文11】已知12,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ︒∠=，则C 的离心率是________.解析：因为12||2F F c =,12PF PF ⊥且2160PF F ︒∠=，则21||,||PF c PF =所以12||||(12PF PF c a +==，解得1ce a== 21.【2018全国3 理11】设12,F F 是双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点，O 是坐标原点，过1F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1|||PF OP =，则双曲线的离心率为_______.解析：由题意知：2:()a PF y x c b=--联立()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(,)a ab P c c2222221|||()()6[()()]a ab a ab PF OP c c c c c=⇒++=+解得e =22.【2018北京理14】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为___________;双曲线的N 的离心率为____.解析：如上图，点P 在椭圆上，也在以12F F 为直径的圆上，所以12211290,30,F PF PF F PF c PF ︒︒∠=∠===，所以12(12PF PF c a +==，解得1e =在上图中，260QOF ︒∠=，所以2be a=⇒= 4. 最值和范围问题23.【2018 全国3 理6文8】直线20x y ++=分别于x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是___________.解析：(2,0),(0,2),(2)A B P θθ--，(2,2),(4)AB AP θθ=-=+u u u r u u u r此处用到了三角函数方法和向量法求三角形面积的公式24.【2018北京理7】在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为__________.解析：题目中如果是按照常规的点到直线距离来算，则要同时面对两个变量，点P 在单位圆上，则d 最大时等于圆心(0,0)到直线的距离加半径，这样就可以不用考虑θ的变化对最值的影响。
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案2圆锥曲线形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__(答:b。
如 (1)短轴长为，于双曲线5S,1.圆锥曲线的两定义: ) 22,tan第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中，22xy2(2)双曲线(以()为,,1ab,,0,02a与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常22122aby2练习:点P是双曲线上上一点，为x,,1F,F2a数一定要大于，当常数等于时，轨迹FFFF例):?范围:或;?焦点:两个xayR,,,12xa,,121212;?对称性:两条对称轴，一焦点(,0),cxy,,0,0F，当常数小于时，无轨迹;双曲线是线段FFF=24，求的周双曲线的两个焦点，且PFPF1212,PFF1212个对称中心(0,0)，两个顶点，其中实轴长为(,0),a中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数长。
12b2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等a8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)2a2a，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝12时，称为等轴双曲线，其方程可设为以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦2a2a对值”与,|FF|不可忽视。
若,|FF|，则21212a点弦， M为准线与x轴的交点，则?AMF,?BMF;(3)22;?准线:两条准线; ?x,,xykk,,,,02a轨迹是以F，F为端点的两条射线，若，|FF|，1212设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，c11则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双c若P为AB的中点，则PA?PB;(4)若AO的延长线11e,1离心率:e,，双曲线，等轴双曲线,曲线的一支。
a，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行交准线于C2222如方程表示的(6)(6)8xyxy,，,，，,于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
，越小，开口越小，越大，开口越大;e,2ee,曲线是_____(答:双曲线的左支) b ?两条渐近线:。
高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结
高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结一.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
练习：1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）； A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF2.方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）3.已知点)0,22(Q 及抛物线4x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
高考数学二级结论快速解题：专题14 圆锥曲线的切线问题(解析版)
专题14圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0 来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0 来求解；对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解.而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C:222()()x a y b R上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R .2.过椭圆22221x y a b 上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y y a b.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p 和直线l :00()y y p x x .(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.(2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 222210x y a b a b ，则椭圆在其上一点 00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b ，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y ，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（）A ．1BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y ，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y ，令0y ，可得12(,0)C x ，令0x ，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y，又点B 在椭圆上，所以221112x y ，所以121111121111122x y S x y x y x x y y 当且仅当11112x yy x，即111,2x y 时等号成立，所以OCD故选：C【反思】过椭圆 222210x y a b a b上一点 00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y y a b ，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n上一点 00,P x y 的切线方程为001x x y y m n .过椭圆221124x y 上的点 3,1A 作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（）A ．30x yB ．-20x yC ．2330x yD ．3100x y 【答案】B 【详解】过椭圆221124x y 上的点 3, 1A 的切线l 的方程为 31124y x ，即40x y ，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为 13y x ，即20x y .故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n注意不要带错，通过对比本题信息，12m ，4n ，03x ，01y ，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点 1,1P 作圆22:2C x y 的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB_________.【答案】2 【详解】圆C 的圆心为 0,0C ，10110CP k，因为22112 ，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ，所以，直线AB 的斜率为1AB k ，故直线AB 的方程为 11y x ，即20x y ，直线20x y 交x 轴于点 2,0A ，交y 轴于点 0,2B ，所以， 1,1PA ， 1,1PB ，因此，112PA PB.故答案为：2 .另解：过圆C :222()()x a y b R 上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R .可知01x ，01y ；0a b ，22R ,代入计算得到过点 1,1P 作圆22:2C x y 的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y ，整理得：20x y ，直线20x y 交x 轴于点 2,0A ，交y 轴于点 0,2B ，所以， 1,1PA ， 1,1PB ，因此，112PA PB.故答案为：2 .【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。
高考数学中的圆锥曲线像分析技巧分享
高考数学中的圆锥曲线像分析技巧分享在高考数学中，圆锥曲线是一个重要且常见的考点。
掌握好圆锥曲线的分析技巧可以帮助考生在高考中取得更好的成绩。
本文将为大家分享一些在解题过程中的圆锥曲线分析技巧。
一、椭圆的图像分析椭圆是圆锥曲线中的一种，它的图像特点是对称性较强。
在分析椭圆的图像时，考生可以从以下几个方面入手：1. 观察方程的系数：椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆中心坐标，a为长半轴的长度，b为短半轴的长度。
考生可以通过观察系数的大小关系，确定椭圆的形状和位置。
2. 研究长轴和短轴的方向：在标准方程中，长轴通常与x轴或y轴平行，而短轴则与长轴垂直。
通过确定长轴和短轴的方向，可以更好地理解椭圆的形态。
3. 分析离心率：离心率是椭圆的一个重要参数，可以用来描述椭圆的偏心程度。
当离心率接近于0时，椭圆形状接近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆形状拉长。
二、双曲线的图像分析双曲线是圆锥曲线中的另一种类型，它的图像特点是两支曲线呈现镜像对称的形状。
在分析双曲线的图像时，考生可以注意以下几个方面：1. 观察方程的系数：双曲线的标准方程为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为双曲线中心坐标，a为长半轴的长度，b为短半轴的长度。
通过观察系数的值，可以确定双曲线的形状和位置。
2. 分析开口方向：双曲线有两种开口方式，分别为左右开口和上下开口。
通过观察方程中的加减号可以确定开口的方向。
3. 研究渐近线：双曲线有两条渐近线，它们与双曲线的曲线趋势无限接近。
通过求解方程，在图像上绘制渐近线，可以帮助考生进一步理解双曲线的特点。
三、抛物线的图像分析抛物线是圆锥曲线中的一种，它的图像特点是形状对称。
在分析抛物线的图像时，考生可以从以下几个方面入手：1. 观察方程的系数：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a为焦点到准线的距离。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，在高考中常常出现，并且是考察学生数学运算能力和理解能力的重要方面。
圆锥曲线问题在高考中的常见题型有：直线与圆锥曲线的交点问题、圆锥曲线的参数方程问题、圆锥曲线的性质和应用问题等。
下面我们来一一介绍这些常见题型的解题技巧。
一、直线与圆锥曲线的交点问题这是圆锥曲线问题中最常见的一个题型，题目通常要求求出直线与圆锥曲线的交点坐标。
解题技巧如下：1. 分析题目给出的直线和圆锥曲线，确定直线方程和圆锥曲线方程；2. 将直线方程代入圆锥曲线方程中，解方程得出交点坐标；3. 特别要注意，当圆锥曲线为椭圆或双曲线时，有两个交点，需要分别求解；4. 当圆锥曲线为抛物线时，还需要注意直线的位置与抛物线的开口方向。
二、圆锥曲线的参数方程问题圆锥曲线的参数方程问题通常考查学生对参数方程的理解和应用能力，解答这类问题的关键在于用参数代换替换变量。
解题技巧如下：1. 给出的圆锥曲线通常可以用参数方程表示，将已知的参数方程代入题目求解；2. 注意参数方程的参数范围，有时需要根据范围重新调整参数；3. 对于给出的参数方程，需要将参数代换替换变量，进而得出答案。
三、圆锥曲线的性质和应用问题圆锥曲线的性质和应用问题通常要求学生掌握圆锥曲线的基本性质，以及如何应用这些性质解决实际问题。
解题技巧如下：1. 需要牢记圆锥曲线的基本性质，例如椭圆的焦点、双曲线的渐近线等；2. 掌握各种类型圆锥曲线的标准方程和参数方程；3. 对于应用问题，需要在掌握了基本性质的前提下，将问题转化为数学模型，进而解决。
以上就是圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望对大家备战高考有所帮助。
在复习期间，建议大家多做练习题，加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力。
多思考，灵活运用各种解题技巧，相信大家一定能在高考中取得好成绩！。
高考数学点差法在圆锥曲线中的应用(解析版)
点差法在圆锥曲线中的应用一、考情分析圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为x1,y1、x2,y2,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.二、解题秘籍(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.【例1】过椭圆x216+y24=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求这条弦所在直线的方程.【解析】设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)∵M(2,1)为AB的中点∴x1+x2=4 y1+y2=2∵又A、B两点在椭圆上,则x12+4y12=16,x22+4y22=16两式相减得(x12−x22)+4(y12−y22)=0于是(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0∴y1−y2x1−x2=−x1+x24(y1+y2)=−44×2=−12即k AB=−12,故所求直线的方程为y−1=−12(x−2),即x+2y−4=0.【例2】已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),离心率e=3,虚轴长为22．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点P1,1能否作直线l,使直线l与双曲线C交于A,B两点,且点P为弦AB的中点?若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由．【解析】(1)∵e=ca=3,2b=22,∴c=3a,b=2．∵c2=a2+b2,∴3a2=a2+2．∴a2=1．∴双曲线C的标准方程为x2-y22=1．(2)假设以定点P(1，1)为中点的弦存在,设以定点P(1，1)为中点的弦的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),可得x1+x2=2,y1+y2=2．由A,B在双曲线上,可得：x21-y212=1 x22-y222=1,两式相减可得以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线斜率为：k=y2-y1x2-x1=2(x1+x2)y1+y2=2,则以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线方程为y-1=2(x-1)．即为y=2x-1,代入双曲线的方程可得2x2-4x+3=0,由Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以不存在这样的直线l ．(二)求弦中点轨迹方程求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦的中点轨迹方程.【例3】(2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 经过点P 0,1 ，且离心率为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点0,-35的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，设坐标原点为O ，线段AB 的中点为M ，求MO 的最大值.【解析】(1)∵椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点P (0,1)，其离心率为32．∴b =1，c a =32⇒1-b 2a2=34，∴b a =12，∴a =2，故椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)当直线l 斜率不存在时，M 与O 重合，不合题意，当直线l 斜率存在时，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)，则有x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，直线l 的斜率为y 1-y 2x 1-x 2=y 0+35x 0，A ，B 两点在椭圆上，有x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，两式相减，x 12-x 224=-y 12-y 22 ，即x 1+x 24y 1+y 2 =-y 1-y 2x 1-x 2，得x 04y 0=-y 0+35x 0，化简得x 02=-4y 02-125y 0，MO =x 02+y 02=-3y 02-125y 0=-3y 0+25 2+1225，∴当y 0=-25时，MO 的最大值为235【例4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.引理：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是二次曲线C :Ax 2+By 2+Cx +Dy +F =0上两点,P x 0,y 0 是弦AB 的中点,且弦AB 的斜率存在,则Ax 21+By 21+Cx 1+Dy 1+F =0⋯⋯(1)Ax 22+By 22+Cx 2+Dy 2+F =0⋯⋯(2)由(1)-(2)得A x 1-x 2 x 1+x 2 +B y 1-y 2 y 1+y 2 +C x 1-x 2 +D y 1-y 2 =0,∵x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22,∴x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0∴2Ax 0x 1-x 2 +2By 0y 1-y 2 +C x 1-x 2 +D y 1-y 2 =0,∴2Ax 0+C x 1-x 2 =-2By 0+D y 1-y 2 ,∴直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-2Ax 0+C2By 0+D2B +D ≠0,x 1≠x 2 .二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等．请根据上述求直线斜率的方法(用其他方法也可)作答下题：已知椭圆x 22+y 2=1.(1)求过点P 12,12且被P 点平分的弦所在直线的方程;(2)过点A 2,1 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是椭圆x 22+y 2=1上两点,P x 0,y 0 是弦AB 的中点,则x 122+y 12=1x 222+y 22=1,两式相减得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0,∵12=x 1+x 22,12=y 1+y 22,∴x 1+x 2=1,y 1+y 2=1∴x 1-x 2+2y 1-y 2 =0,∴直线AB 的斜率k AB =-12.直线AB 的方程为y -12=-12x -12,即2x +4y -3=0.因为P 12,12在椭圆内部,成立.(2)由题意知：割线的斜率存在,设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是椭圆x 22+y 2=1上两点,P x ,y 是弦AB 的中点,则x 122+y 12=1x 222+y 22=1 ,两式相减得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0,∵x =x 1+x 22,y =y 1+y 22,∴x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y∴2x x 1-x 2 +4y y 1-y 2 =0,∴直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-x2yx 1≠x 2又k AB =y -1x -2,所以 y -1x -2=-x 2y ,化简得：x 2+2y 2-2x -2y =0-2≤x ≤2 ,所以截得的弦的中点的轨迹方程为x 2+2y 2-2x -2y =0-2≤x ≤2 (三)求直线的斜率一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率【例5】已知椭圆C ：x 25+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点M ,N 在椭圆C 上.(1)若线段MN 的中点坐标为2,13,求直线MN 的斜率；(2)若M ,N ,O 三点共线,直线NF 1与椭圆C 交于N ,P 两点,求△PMN 面积的最大值.【解析】(1)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则x 215+y 21=1,x 225+y 22=1,两式相减,可得x 1+x 2 x 1-x 25+y 1+y 2 y 1-y 2 =0,则4x 1-x 2 5+2y 1-y 2 3=0,解得k MN =y 1-y 2x 1-x 2=-65,即直线MN 的斜率为-65；(2)显然直线NF 1的斜率不为0,设直线NF 1：x =my -2,N x 3,y 3 ,P x 4,y 4 ,联立x =my -2x 25+y 2=1,消去x 整理得m 2+5 y 2-4my -1=0,显然Δ=20m 2+1 >0,故y 3+y 4=4m m 2+5,y 3⋅y 4=-1m 2+5,故△PMN 的面积S △PMN =2S △OPN =2⋅12OF 1 ⋅y 3-y 4=2⋅4m m 2+5 2-4⋅-1m 2+5=45m 2+1m 2+5,令t =m 2+1,t ≥1,则S △PMN =45t t 2+4=45t +4t≤454=5,当且仅当t =2,即m =±3时等号成立,故△PMN 面积的最大值为5.【例6】已知椭圆x 225+y 29=1上不同的三点A x 1,y 1 ,B 4,95,C x 2,y 2 与焦点F 4,0 的距离成等差数列.(1)求证：x 1+x 2=8；(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k .【解析】(1)证略.(2)解∵x 1+x 2=8,∴设线段AC 的中点为D 4,y 0 .又A 、C 在椭圆上,∴x 1225+y 129=1,(1)x 2225+y 229=1,(2)1 -2 得：x 12-x 2225=-y 12-y 229,∴y 1-y 2x 1-x 2=-9x 1+x 2 25y 1+y 2=-925⋅82y 0=-3625y 0.∴直线DT 的斜率k DT =25y 036,∴直线DT 的方程为y -y 0=25y 036x -4 .令y =0,得x =6425,即T 6425,0 ,∴直线BT 的斜率k =95-04-6425=54.(四)点差法在轴对称中的应用【例7】(2023届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测)已知O 为坐标原点，点1,62 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上，直线l ：y =x +m 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为-12．(1)求C 的方程；(2)若m =1，试问C 上是否存在P ，Q 两点关于l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22 ,k AB =y 1-y 2x 1-x 2=1,k OM=y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2=-12∵A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 在椭圆上，则x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=y 1+y 2x 1+x 2×y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2∴k AB ⋅k OM =-b 2a 2，即-12=-b2a2，则a 2=2b 2又∵点1,62 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1上，则1a 2+32b 2=1联立解得a 2=4,b 2=2∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1(2)不存在，理由如下：假定存在P ，Q 两点关于l ：y =x +1对称，设直线PQ 与直线l 的交点为N ，则N 为线段PQ 的中点，连接ON∵PQ ⊥l ，则k AB ⋅k PQ =-1，即k PQ =-1由(1)可得k ON ⋅k PQ =-12，则k ON =12，即直线ON :y =12x联立方程y =12x y =x +1，解得x =-2y =-1 即N -2,-1∵-2 24+-1 22=32>1，则N -2,-1 在椭圆C 外∴假定不成立，不存在P ，Q 两点关于l 对称【例8】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，直线l ：y =x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，求实数m 的范围．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22，即k OM =y 1+y 2x 1+x 2=-12．因为A ，B 在椭圆C 上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 a 2+y 1+y 2 y 1-y 2 b 2=0，即1a 2+y 1+y 2 y 1-y 2b 2x 1+x 2 x 1-x 2=0，又k AB =y 1-y 2x 1-x 2=1，所以1a 2-12b2=0，即a 2=2b 2．又因为椭圆C 过点1,62 ，所以1a 2+32b2=1，解得a 2=4,b 2=2，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1；(2)设P x 3,y 3 ,Q x 4,y 4 ,PQ 的中点为N x 0,y 0 ，所以x 3+x 4=2x 0,y 3+y 4=2y 0，因为P ，Q 关于直线l 对称，所以k PQ =-1且点N 在直线l 上，即y 0=x 0+m ．又因为P ，Q 在椭圆C 上，所以x 234+y 232=1,x 244+y 242=1．两式相减得x 3+x 4 x 3-x 4 4+y 3+y 4 y 3-y 42=0．即x 3+x 44+y 3+y 4 y 3-y 42x 3-x 4=0，所以x 3+x 44=y 3+y 42，即x 0=2y 0．联立x 0=2y 0y 0=x 0+m，解得x 0=-2my 0=-m ，即N (-2m ,-m )．又因为点N 在椭圆C 内，所以(-2m )24+(-m )22<1，所以-63<m <63所以实数m 的范围为-63<m <63．(五)利用点差法可推导的结论在椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 中,若直线l 与该椭圆交于点A ,B ,点P x 0,y 0 为弦AB 中点,O 为坐标原点,则k AB ⋅k OP =b 2a2,对于双曲线、抛物线也有类似结论,求自行总结.【证明】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 且x 1≠x 2,则x 12a 2+y 12b 2=1,(1)x 22a 2+y 22b2=1,(2)1 -2 得：x 12-x 22a 2=-y 12-y 22b 2,∴y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 1+x 2 a 2y 1+y 2 ,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 1+x 2 a 2y 1+y 2.又k OP =y 1+y 2x 1+x 2,∴k AB =-b 2a 2⋅1k OP ,∴k AB ⋅k OP =-b 2a 2(定值).【例9】(2022届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a 、b为正常数)的右顶点为A ,直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点,且P 、Q 均不是双曲线的顶点,M 为PQ 的中点．(1)设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2,求k 1·k 2的值；(2)若AM PQ=12,试探究直线l 是否过定点？若过定点,求出该定点坐标；否则,说明理由．【解析】(1)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x 0,y 0),因为P 、Q 在双曲线上,所以x 12a 2-y 12b 2=1,x 22a 2-y 22b2=1,两式作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2-(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0,即2x 0(x 1-x 2)a 2=2y 0(y 1-y 2)b 2,即y 0(y 1-y 2)x 0(x 1-x 2)=b 2a2,即k 1·k 2=b 2a 2；(2)因为AM PQ=12,所以△APQ 是以A 为直角顶点的直角三角形,即AP ⊥AQ ；①当直线l 的斜率不存在时,设l ：x =t ,代入x 2a 2-y 2b2=1得,y =±bt 2a 2-1,由|t -a |=b t 2a2-1得,(a 2-b 2)t 2-2a 3t +a 2(a 2+b 2)=0,即[(a 2-b 2)t -a (a 2+b 2)](t -a )=0,得t =a (a 2+b 2)a 2-b 2或a (舍),故直线l 的方程为x =a (a 2+b 2)a 2-b 2；②当直线l 的斜率存在时,设l ：y =kx +m ,代入x 2a 2-y 2b2=1,得(b 2-k 2a 2)x 2-2km a 2x -a 2(m 2+b 2)=0,Δ=a 2b 2(m 2+b 2-k 2a 2)>0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=2km a 2b 2-k 2a 2,x 1x 2=-a 2(m 2+b 2)b 2-k 2a 2；因为AP ⊥AQ ,所以AP ·AQ =0,即(x 1-a ,y 1)·(x 2-a ,y 2)=0,即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+y 1y 2=0,即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0,即(km -a )(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+m 2+a 2=0,即-2km a 3-k 2a 2b 2-m 2a 2+m 2b 2-k 2a 4b 2-k 2a 2=0,即a 2(a 2+b 2)k 2+2ma 3k +m 2(a 2-b 2)=0,即[a (a 2+b 2)k +m (a 2-b 2)](ak +m )=0,所以k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)或k =-ma ；当k =-m a 时,直线l 的方程为y =-max +m ,此时经过A ,舍去；当k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)时,直线l 的方程为y =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)x +m ,恒过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2,0,经检验满足题意；综上①②,直线l 过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2,0．三、跟踪检测1.已知椭圆C :x 22+y 2=1,F 1为右焦点，直线l :y =t (x -1)与椭圆C 相交于A ，B 两点，取A 点关于x 轴的对称点S ，设线段AS 与线段BS 的中垂线交于点Q ．(1)当t =2时，求QF 1 ；(2)当t ≠0时，求QF 1|AB |是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，线段AB 的中点M 坐标为x M ,y M ，联立得x 2+2y 2-2=0,y =2(x -1), 消去y 可得：9x 2-16x +6=0，所以x 1+x 2=169,x 1x 2=69,所以x M =89，代入直线AB 方程，求得y M =-29，因为Q 为△ABS 三条中垂线的交点，所以MQ ⊥AB ，有k MQ k AB =-1，直线MQ 方程为y +29=-12×x -89.令y =0,x Q =49，所以Q 49,0 .由椭圆C :x 22+y 2=1可得右焦点F 11,0 ，故QF 1 =59．(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，中点M 坐标为x M ,y M ．x 212+y 21=1,x 222+y 22=1,相减得y 2-y 1x 2-x 1=-12×x 1+x 2y 1+y 2=-x M 2y M ，k AB k OM =-12.又Q 为△ABS 的外心，故MQ ⊥AB ,k MQ k AB =-1，所以k MQ =2k OM =2y M x M ，直线MQ 方程为y -y M =2y Mx Mx -x M ，令y =0,x Q =x M 2=x 1+x 24，所以Q x 1+x 24,0 而F 11,0 ,所以QF 1 =1-14x 1+x 2 ，AF 1 =x 1-1 2+y 21=x 1-1 2+1-x 212=x 212-2x 1+2=2-12x 1，同理BF 1 =2-12x 2，|AB |=AF 1 +BF 1 =22-12x 1+x 2 ，QF 1 |AB |=1-14x 1+x 2 22-12x 1+x 2 =24，所以当t 变化时，QF 1 |AB |为定值24．2.(2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，上顶点为D ，斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，当点M 的坐标为(2,1)时，直线l 恰好经过D 点.(1)求椭圆C 的方程：(2)当l 不过点D 时，若直线DM 与直线l 的斜率互为相反数，求k 的取值范围.【解析】(1)由题意知，离心率e =22，所以a =2b =2c ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，x 21a 2+y 21b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减得k ⋅k OM =-b 2a 2=-12，所以k =-1；所以直线为y -1=-(x -2)，即y =-x +3，所以b =c =3，椭圆方程为x 218+y 29=1；(2)设直线为y =kx +m ，由y =kx +mx 2+2y 2=18得1+2k 2 x 2+4km x +2m 2-18=0，则x M =x 1+x 22=-2km 1+2k 2，y M =m1+2k2，�=16k 2m 2-41+2k 2 2m 2-18 =818k 2-m 2+9 >0，所以k DM =y M -3x M -0=6k 2+3-m 2km =-k ，解得m =6k 2+31-2k2，1-2k 2≠0，k ≠±22因为l 不过D 点，则6k 2+31-2k 2≠3，即k ≠0则18k 2+9-6k 2+3 21-2k 22>0，化简得4k 4-4k 2-3>0，解得2k 2-3 2k 2+1 >0，k 2>32，所以k >62或k <-62.3.已知椭圆x 22+y 2=1．(1)过椭圆的左焦点F 引椭圆的割线，求截得的弦的中点P 的轨迹方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点Q 的轨迹方程；(3)求过点M 12,12且被M 平分的弦所在直线的方程．【解析】(1)设弦与椭圆两交点坐标分别为A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，设P x ,y ，当x 1=x 2时，P -1,0 ．当x 1≠x 2时，x 22+y 2=1⇒x 2+2y 2=2，x 21+2y 21=2,x 22+2y 22=2, 两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 +2y 1+y 2 y 1-y 2 =0，即1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2 x 1+x 2 x 1-x 2=0(*)，因为y 1-y 2x 1-x 2=k FP =yx +1，x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，所以，代入上式并化简得x 2+x +2y 2=0，显然P -1,0 满足方程.所以点P 的轨迹方程为x 2+x +2y 2=0(在椭圆内部分)．(2)设Q x ,y ，在(1)中式子1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2x 1+x 2 x 1-x 2=0里，将y 1-y 2x 1-x 2=2，x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y 代入上式并化简得点Q 的轨迹方程为x +4y =0(在椭圆内部分)．所以，点Q 的轨迹方程x +4y =0(在椭圆内部分).(3)在(1)中式子1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2x 1+x 2 x 1-x 2=0里，将y 1-y 2x 1-x 2=k ，x 1+x 2=1，y 1+y 2=1代入上式可求得k =-12．所以直线方程为2x +4y -3=0．4.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，直线l ：y =x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-0.5.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当m =1时，椭圆C 上是否存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22，即k OM =y 1+y 2x 1+x 2=-12．因为A，B在椭圆C上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，两式相减得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2=0，即1a2+y1+y2y1-y2b2x1+x2x1-x2=0，又k AB=y1-y2x1-x2=1，所以1a2-12b2=0，即a2=2b2．又因为椭圆C过点1,6 2，所以1a2+32b2=1，解得a2=4，b2=2，所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1；(2)由题意可知，直线l的方程为y=x+1．假设椭圆C上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，设P x3,y3，Q x4,y4，PQ的中点为N x0,y0，所以x3+x4=2x0，y3+y4=2y0，因为P，Q关于直线l对称，所以k PQ=-1且点N在直线l上，即y0=x0+1．又因为P，Q在椭圆C上，所以x234+y232=1，x244+y242=1，两式相减得x3+x4x3-x44+y3+y4y3-y42=0，即x3+x44+y3+y4y3-y42x3-x4=0，所以x3+x44=y3+y42，即x0=2y0．联立x0=2y0y0=x0+1，解得x0=-2y0=-1，即N-2,-1．又因为-224+-122>1，即点N在椭圆C外，这与N是弦PQ的中点矛盾，所以椭圆C上不存在点P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称．5.(2022届广东省清远市高三上学期期末)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若AB的中点到准线l的距离为4．(1)求抛物线C的方程；(2)设P为l上任意一点,过点P作C的切线,切点为Q,试判断F是否在以PQ为直径的圆上．【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2,则y21=2px1, y22=2px2,所以y21-y22=2p x1-x2,整理得y1-y2x1-x2=2py1+y2=1,所以y1+y2=2p．因为直线AB的方程为y=x-p 2,所以x1+x2=y1+y2+p=3p．因为AB的中点到准线l的距离为4,所以x1+x22+p2=2p=4,得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x．(2)设P(-1,t),可知切线PQ的斜率存在且不为0,设切线PQ的方程为x=m(y-t)-1,联立方程组x=m(y-t)-1,y2=4x,得y2-4my+4mt+4=0,由Δ=16m2-16(mt+1)=0,得t=m-1m,即P-1,m-1m,所以方程y 2-4my +4mt +4=y 2-4my +4m 2=0的根为y =2m ,所以x =m 2,即Q m 2,2m ．因为FP =-2,m -1m ,FQ =m 2-1,2m ,所以FP ⋅FQ =-2m 2-1 +2m m -1m=0,所以FP ⊥FQ ,即F 在以PQ 为直径的圆上．6.(2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1-1,0 ,F 21,0 ,过点F 1的直线l 1交椭圆C 于A ,B 两点.当直线l 1的斜率为1时,点-47,37是线段AB 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图,若过点F 2的直线l 2交椭圆C 于E ,G 两点,且l 1∥l 2,求四边形ABEG 的面积的最大值.【解析】 (1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .由题意可得b 2x 21+a 2y 21-a 2b 2=0,b 2x 22+a 2y 22-a 2b 2=0.∴y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2=-b 2a 2⋅-43,即4b 23a2=1,∴b 2a2=34.∵a 2-b 2=1,∴a 2=4,b 2=3,∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)根据对称性知AB =EG ,AB ∥EG ,∴四边形ABEG 是平行四边形,又S 四边形ABEG =2S △F 2AB ,∴问题可转化为求S △F 2AB 的最大值.设直线l 1的方程为x =my -1,代入x 24+y 23=1,得3m 2+4 y 2-6my -9=0.则y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4,∴S △F 2AB =12⋅2⋅y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=6m 3m 2+4 2-4⋅-93m 2+4=121+m 23m 2+4.令1+m 2=t ,则t ≥1,且m 2=t 2-1,∴S △F 2AB =12t 3t 2+1=123t +1t .记h t =3t +1tt ≥1 ,易知h t 在1,+∞ 上单调递增.∴h t min =h 1 =4.∴S △F 2AB =123t +1t≤124=3.∴四边形ABEG 的面积的最大值是6.7.如图,AB 是过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的弦,M 是AB 的中点,l 是抛物线的准线,MN ⊥l ,N 为垂足,点N 坐标为(-2,-3).(1)求抛物线的方程；(2)求△AOB 的面积(O 为坐标系原点).【解析】 (1)点N (-2,-3)在准线l 上,所以准线l 方程为：x =-2,则p 2=2,解得p =4,所以抛物线的方程为：y 2=8x ；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由A 、B 在抛物线y 2=8x 上,所以y 21=8x 1y 22=8x 2 ,则y 1-y 2 y 1+y 2 =8x 1-x 2 ,又MN ⊥l ,所以点M 纵坐标为-3,M 是AB 的中点,所以y 1+y 2=-6,所以-6y 1-y 2 =8x 1-x 2 ,即k AB =-43,又知焦点F 坐标为(2,0),则直线AB 的方程为：4x +3y -8=0,联立抛物线的方程y 2=8x ,得y 2+6y -16=0,解得y =2或y =-8,所以y 1-y 2 =10,所以S △AOB =S △AOF +S △BOF =y 1-y 2 =10.8.在平面直角坐标系xOy 中,设点F (1,0),直线l ：x =-1,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,RQ ⊥FP ,PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹E 的方程；(2)过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为M 、N .求直线MN 过定点D 的坐标.【解析】 (1)依题意,点P 在直线l ：x =-1上移动,令直线l 交x 轴于点K ,而点F(1,0),又R 是线段PF 与y 轴的交点,当点P 与点K 不重合时,OR ⎳l ,而O 为FK 中点,则点R 是线段FP 的中点,因RQ ⊥FP ,则RQ 是线段FP 的垂直平分线,QP =QF ,又PQ ⊥l 于点P ,即PQ 是点Q到直线l 的距离,当点P 与点K 重合时,点R 与点O 重合,也满足上述结论,于是有点Q 到点F 的距离等于点Q 到直线l 的距离,则动点Q 的轨迹E 是以F为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为：y 2=4x ,所以动点Q 的轨迹E 的方程为y 2=4x .(2)显然直线AB 与直线CD 的斜率都存在,且不为0,设直线AB 的方程为y =k(x -1),k ≠0,令A x A ,y A ,B x B ,y B ,M x M ,y M ,N x N ,y N ,由y 2A =4x A y 2B =4x B 两式相减得：(y A +y B )(y A -y B )=4(x A -x B ),则y A +y B =4k,即y M =2k,代入方程y =k (x -1),解得x M =2k 2+1,即点M 的坐标为2k 2+1,2k ,而CD ⊥AB ,直线CD 方程为y =-1k (x -1),同理可得：N 的坐标为(2k 2+1,-2k ),当2k 2+1=2k 2+1,即k =±1时,直线MN ：x =3,当k ≠1且k ≠-1时,直线MN 的斜率为k MN =y M -y N x M -x N =k 1-k 2,方程为y +2k =k 1-k 2(x -2k 2-1),整理得y 1k -k =x -3,因此,∀k ∈R ,k ≠0,直线MN ：y 1k-k =x -3过点(3,0),所以直线MN 恒过定点D (3,0).9.中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A 2,3 ；②该曲线的渐近线与圆x 2-8x +y 2+4=0相切；③点P 在该双曲线上,F 1、F 2为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为32时,恰好PF 1⊥PF 2.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点Q 1,1 能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于Q 1、Q 2两点,且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在,求出l 的方程；若不存在,说明理由.【解析】 (1)设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b2=1a >b >0 .选①：由题意可知,双曲线E 的两个焦点分别为F 1-2,0 、F 22,0 ,由双曲线的定义可得2a =AF 1 -AF 2 =42+32-3 =2,则a =1,故b =c 2-a 2=3,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选②：圆x 2-8x +y 2+4=0的标准方程为x -4 2+y 2=12,圆心为4,0 ,半径为23,双曲线E 的渐近线方程为y =±b a x ,由题意可得4b a 1+b a2=23,解得b a =3,即b =3a ,因为c =a 2+b 2=2a =2,则a =1,b =3,因此,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选③：由勾股定理可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2=16=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2+2PF 1 ⋅PF 2 ,所以,PF 1 ⋅PF 2 =2c 2-a 2 =2b 2,则S △F 1PF 2=12PF 1 ⋅PF 2 =b 2=12×32×4,则b =3,故a =c 2-b 2=1,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.(2)假设满足条件的直线l 存在,设点Q 1x 1,y 1 、Q 2x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2y 1+y 2=2 ,由题意可得x 21-y 213=1x 22-y 223=1 ,两式作差得x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 2 3,所以,直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=3,所以,直线l 的方程为y -1=3x -1 ,即y =3x -2.联立y =3x -2x 2-y 23=1,整理可得6x 2-12x +7=0,Δ=122-4×6×7<0,因此,直线l 不存在.10.己知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为42,短轴长为2,直线l 过点P -2,1 且与椭圆C 交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为1,求弦AB 的长；(3)若过点Q 1,12的直线l 1与椭圆C 交于E 、G 两点,且Q 是弦EG 的中点,求直线l 1的方程．【解析】 (1)依题意,椭圆C 的半焦距c =22,而b =1,则a 2=b 2+c 2=9,所以椭圆C 的方程为：x 29+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),依题意,直线l 的方程为：y =x +3,由y =x +3x 2+9y 2=9消去y 并整理得：5x 2+27x +36=0,解得x 1=-125,x 2=-3,因此,|AB |=1+12⋅|x 1-x 2|=325,所以弦AB 的长是325.(3)显然,点Q 1,12在椭圆C 内,设E (x 3,y 3),G (x 4,y 4),因E 、G 在椭圆C 上,则x 23+9y 23=9x 24+9y 24=9 ,两式相减得：(x 3-x 4)(x 3+x 4)+9(y 3-y 4)(y 3+y 4)=0,而Q 是弦EG 的中点,即x 3+x 4=2且y 3+y 4=1,则有2(x 3-x 4)+9(y 3-y 4)=0,于是得直线l 1的斜率为y 3-y 4x 3-x 4=-29,直线l 1的方程：y -12=-29(x -1),即4x +18y -13=0,所以直线l 1的方程是4x +18y -13=0.11.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,AB 为椭圆的一条弦,直线y =kx (k >0)经过弦AB 的中点M ,与椭圆C 交于P ,Q 两点,设直线AB 的斜率为k 1,点P 的坐标为1,32(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：k 1k 为定值.【解析】(1)由题意知1a 2+94b 2=1,c a =12,a 2=b 2+c 2, 解得a =2,b =3,c =1,故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)证明：设M x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由于A ,B 为椭圆C 上的点,所以x 214+y 213=1,x 224+y 223=1,两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 4=-y 1+y 2 y 1-y 2 3,所以k 1=y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2 4y 1+y 2=-3x 04y 0.又k =y 0x 0,故k 1k =-34,为定值.12.已知双曲线C ：2x 2-y 2=2与点P 1,2 ．(1)是否存在过点P 的弦AB ,使得AB 的中点为P ；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点,证明：A 、B 、C 、D 四点共圆．【解析】(1)双曲线的标准方程为x 2-y 22=1,∴a 2=1,b 2=2．设存在过点P 的弦AB ,使得AB 的中点为P ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,x 21-y 212=1,x 22-y 222=1两式相减得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=b 2a 2,即k AB ⋅21=b 2a2得：k ⋅2=2,∴k =1．∴存在这样的弦．这时直线l 的方程为y =x +1．(2)设CD 直线方程为x +y +m =0,则点P 1,2 在直线CD 上．则m =-3,直线CD 的方程为x +y -3=0,设C x 3,y 3 ,D x 4,y 4 ,CD 的中点为Q x 0,y 0 ,x 23-y 232=1,x 24-y 242=1两式相减得k CD ⋅y 0x 0=b 2a2,则-1⋅y 0x 0=2,则y 0=-2x 0又因为Q x 0,y 0 在直线CD 上有x 0+y 0-3=0,解得Q -3,6 ,x -y +1=02x 2-y 2=2 ,解得A -1,0 ,B 3,4 ,x +y -3=02x 2-y 2=2 ,整理得x 2+6x -11=0,则x 3+x 4=-6x 3⋅x 4=-11则CD =1+k 2x 3-x 4 =410由距离公式得QA =QB =QC =QD =210所以A 、B 、C 、D 四点共圆．13.李华找了一条长度为8的细绳,把它的两端固定于平面上两点F 1,F 2处,|F 1F 2|<8,套上铅笔,拉紧细绳,移动笔尖一周,这时笔尖在平面上留下了轨迹C ,当笔尖运动到点M 处时,经测量此时∠F 1MF 2=π2,且△F 1MF 2的面积为4．(1)以F 1,F 2所在直线为x 轴,以F 1F 2的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,求李华笔尖留下的轨迹C 的方程(铅笔大小忽略不计)；(2)若直线l 与轨迹C 交于A ,B 两点,且弦AB 的中点为N (2,1),求△OAB 的面积．【解析】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由椭圆的定义知2a =8,故a 2=16．∵在Rt △F 1MF 2中,|F 1F 2|=2c ,假设|MF 1|=x ,|MF 2|=y (x ,y >0),又∵△F 1MF 2的面积为4cm 2,x +y =8xy =8 ,故4c 2=x 2+y 2=(x +y )2-2xy =48,∴c 2=12,b 2=a 2-c 2=4,∴椭圆的标准方程为x 216+y 24=1．(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵弦AB 的中点为N (2,1),∴x 1+x 2=4,y 1+y 2=2 且 x 1≠x 2．又∵A ,B 均在椭圆上,∴x 21+4y 21=16x 22+4y 22=16,得x 21-x 22=-4(y 21-y 22),即(x 1+x 2)⋅(x 1-x 2)=-4(y 1+y 2)⋅(y 1-y 2).∴(x 1-x 2)=-2(y 1-y 2).∵x 1≠x 2,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-12故直线AB 的方程为：x +2y -4=0．联立 x +2y -4=0x 2+4y 2-16=0,整理得x 2-4x =0．得 x 1=0,x 2=4,∴A (0,2),B (4,0),∴S △OAB =12×2×4=4．∴△OAB 的面积为4cm 2．14.若抛物线C :y 2=x 上存在不同的两点关于直线l :y =m x -3 对称,求实数m 的取值范围.【解析】当m =0时,显然满足.当m ≠0时,设抛物线C 上关于直线l :y =m x -3 对称的两点分别为P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 ,且PQ 的中点为M x 0,y 0 ,则y 12=x 1,(1)y 22=x 2,(2)1 -2 得：y 12-y 22=x 1-x 2,∴k PQ =y 1-y 2x 1-x 2=1y 1+y 2=12y 0,又k PQ =-1m ,∴y 0=-m 2.∵中点M x 0,y 0 在直线l :y =m x -3 上,∴y 0=m x 0-3 ,于是x 0=52.∵中点M 在抛物线y 2=x 区域内∴y 02<x 0,即-m 2 2<52,解得-10<m <10.综上可知,所求实数m 的取值范围是-10,10 .。
2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)
圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。
圆锥曲线(4大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-备战2024年高考数学考试易错(原卷版)
D．3
变式
3．过双曲线
C
：
x a
2 2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的右焦点 F2 作双曲线一条渐近线的垂线，垂
足为
A
，且与另一条渐近线交于点
B
，若
|
AF2
|
1 3
|
F2 B
|
，则双曲线
C
的离心率是（
）
A． 6 2
B． 3 或 6 2
C． 3 6 2
D． 3 3
1．已知圆 C1 : x2
y2
b2 b
）
A． 1+ 5 2
B． 3 1 2
C． 3
D．2
变式
2．已知双曲线 E :
y2 a2
x2 8
1(a
0) 的上焦点为 F1 ，点
P
在双曲线的下支上，若
A(4, 0) ，且 PF1 | PA | 的最小值为 7，则双曲线 E 的离心率为（ ）
A．2 或 697 25
B．3 或 697 25
C．2
A． 3
B．2
C． 2 3
D． 13
8．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左、右焦点分别为 F1, F2 ，以 F1F2 为直径的圆与双
曲线在第二象限的部分交于点
P
，若双曲线上的点
Q
满足
F1P
2 3
F2Q
，则双曲线的离
心率为（ ）
A． 37 5
B． 35 5
C． 37
4
D． 15 3
专题 11 圆锥曲线
易错点一：求轨迹方程时忽略变量的取值范围（求动点轨迹 方程）
高考数学压轴题圆锥曲线解题技巧
高考数学压轴题圆锥曲线解题技巧一、常规七大题型： （1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
数学圆锥曲线解题技巧
数学圆锥曲线解题技巧数学圆锥曲线解题技巧现阶段大家都开始学习圆锥曲线，高考难题排名第二位。
以下是店铺收集整理了，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
数学圆锥曲线解题技巧（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
（3）充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
（4）充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。
（5）线段长的几种简便计算方法①充分利用现成结果，减少运算过程。
②结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。
③利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离。
圆锥曲线是数学中的难中之难，这已经成为几乎所有高三学生的心头痛。
其实，解析几何题目自有路径可循，方法可依。
只要经过认真的.准备和正确的点拨，完全可以让高考数学的圆锥曲线难题变成让同学们都很有信心的中等题目。
题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在两个选填（选择或填空）题，一个解答题上，分值约为25分，占总分值的近20%。
整体平衡，重点突出：解析几何部分19个知识点，一般会考查到其中的半数以上，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既要注意全面，更要注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。
能力立意，渗透数学思想：一些常见的基本题型，如果借助于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案，比死算要节省很多时间。