2017_18学年高中数学第二讲参数方程2.1曲线的参数方程练习

一曲线的参数方程

课后篇巩固探究

A组

1.与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程的是()

A.(t为参数)

B.(t为参数)

C.(t为参数)

D.(t为参数)

2.圆(θ为参数)的半径等于()

A.2

B.4

C.3

D.

(x-2)2+(y-2)2=9,故半径等于3.

3.参数方程(t为参数)表示的曲线是 ()

A.双曲线x2-y2=1

B.双曲线x2-y2=1的右支

C.双曲线x2-y2=1,且x≥0,y≥0

D.双曲线x2-y2=1,且x≥,y≥1

x2-y2=1,且x=,y=≥1,故选D.

4.曲线(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是()

A. B. C.1 D.

d满足d2=(|sin θ|+|cos θ|)2=1+|sin 2θ|≤2,且当

θ=时上式取等号,故d的最大值为.

5.参数方程(t为参数)表示的图形为()

A.直线

B.圆

C.线段(但不包括右端点)

D.椭圆

x=中解得t2=,将其代入y=中,整理得到2x+y-5=0.但由t2=≥0解得0≤x<3.所以其对应的普通方程为2x+y-5=0(0≤x<3),它表示一条线段,但不包括右端点.

6.若曲线(θ为参数)经过点,则a=.

1+cos θ=,则cos θ=,于是sin θ=±,a=2sin θ=±.

7.已知圆的方程为x2+y2=2x,则它的参数方程为.

2+y2=2x的标准方程为(x-1)2+y2=1,设x-1=cos θ,y=sin θ,则参数方程为

(0≤θ<2π,θ为参数).

(0≤θ<2π,θ为参数)

8.指出下列参数方程分别表示什么曲线:

(1);

(2)(t为参数,π≤t≤2π);

(3)(θ为参数,0≤θ<2π).

由(θ为参数)得x2+y2=9.

又由0<θ<,得0

所以其对应的普通方程为x2+y2=9(0

这是一段圆弧(圆x2+y2=9位于第一象限的部分).

(2)由(t为参数)得x2+y2=4.

由π≤t≤2π,得-2≤x≤2,-2≤y≤0.

所求圆的普通方程为x2+y2=4(-2≤x≤2,-2≤y≤0).

这是一段半圆弧(圆x2+y2=4位于y轴下方的部分,包括端点).

(3)由参数方程(θ为参数),得(x-3)2+(y-2)2=152,由0≤θ<2π知这是一个圆.

9.已知点P(2,0),点Q是圆上一动点,求线段PQ中点的轨迹的参数方程,并说明轨迹是什么曲线.

PQ的中点为M(x,y),

由题意知Q(cos θ,sin θ),

则(θ为参数),

即所求轨迹的参数方程为(θ为参数),它是以(1,0)为圆心,以为半径的圆.

10.导学号73574036设点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点.

(1)求2x+y的取值范围;

(2)若x+y+c≥0恒成立,求实数c的取值范围.

(θ为参数).

(1)因为2x+y=2cos θ+sin θ+1=sin(θ+φ)+1(其中tan φ=2),

所以1-≤2x+y≤1+.

(2)若x+y+c≥0恒成立,即c≥-(cos θ+sin θ+1)对一切θ∈R成立,且-(cos θ+sin θ+1)的最大值是-1,

则c≥-1时,x+y+c≥0恒成立.

B组

1.参数方程(α为参数)的普通方程为()

A.y2-x2=1

B.x2-y2=1

C.y2-x2=1(|x|≤,y≥0)

D.x2-y2=1(|x|≤,y≥0)

2==1+sin α,y2=2+sin α,所以y2-x2=1.

又x=sin+cos sin∈[-],y=≥0,即

|x|≤,y≥0.故应选C.

2.导学号73574037点P(x,y)是曲线(0≤θ<2π,θ为参数)上的动点,则的取值范围是()

A. B.

C. D.

是以(-2,0)为圆心,1为半径的圆,即(x+2)2+y2=1.

设=k,则y=kx.当直线y=kx与圆相切时,k取得最小值与最大值.

由=1,解得k2=.

故的取值范围是.

3.若圆(θ为参数,r>0)的直径为4,则圆心坐标是.

可化为

两式平方相加,得(x-r)2+=r2.

∵2r=4,∴r=2,

∴圆心坐标为(2,1).

4.已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数),以Ox为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为ρcos=0,则圆C截直线所得的弦长为.

C:(θ为参数)表示的曲线是以点(,1)为圆心,以3为半径的圆,将直线ρcos=0化为直角坐标方程为x-y=0,圆心(,1)到直线x-y=0的距离d==1,故圆C截直线所得的弦长为2=4.

5.导学号73574038已知圆C:(θ为参数)与直线x+y+a=0有公共点,则实数a的取值范围为.

方法一)∵

消去θ,得x2+(y+1)2=1.

∴圆C的圆心坐标为(0,-1),半径为1.

∴圆心到直线的距离d=≤1.

解得1-≤a≤1+.

故实数a的取值范围是[1-,1+].

(方法二)将圆C的方程代入直线方程,得cos θ-1+sin θ+a=0,

即a=1-(sin θ+cos θ)=1-sin.

∵-1≤sin≤1,

∴1-≤a≤1+.

故实数a的取值范围是[1-,1+].

-,1+]

6.已知动点P,Q都在曲线C:(β为参数)上,对应参数分别为β=α与

β=2α(0<α<2π),点M为线段PQ的中点.

(1)求点M的轨迹的参数方程;

(2)将点M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断点M的轨迹是否过坐标原点.

依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),

因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).

故点M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).

(2)点M到坐标原点的距离d=(0<α<2π).

当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.

7.在一次军事演习中,一台轰炸机以150 m/s的速度作水平直线飞行,在离地面飞行高度为490 m 时向目标投弹(不计阻力,重力加速度g取9.8 m/s2,炸弹的初速度等于飞机的速度).

(1)求炸弹离开飞机后飞行轨迹的参数方程.

(2)试问飞机在离目标的水平距离多远处投弹才能命中目标?

如图所示,建立平面直角坐标系,设A为投弹点,B为轰炸目标.

已知炸弹运动的水平速度和垂直速度,则可以用时间t作为参数,建立参数方程.

设曲线上任一点的坐标为(x,y),其对应的时刻为t,

则有(t为参数).

又由y≥0,得0≤t≤10,

所以参数方程为(t为参数,且0≤t≤10).

(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程490-4.9t2=0,解得t0=10.

因此,x=150t=1 500(m),即飞机在离目标的水平距离1 500 m处投弹才能命中目标.

8.导学号73574039如图,已知定点A(2,0),点Q是圆O:x2+y2=1上的动点,∠AOQ的平分线交AQ于点M,当Q在圆O上运动时,求点M的轨迹的参数方程.

O到AQ的距离为d,则|AM|·d=|OA|·|OM|·sin ∠AOM(∠

AOM≠0),|QM|·d=|OQ|·|OM|·sin ∠QOM(∠QOM≠0).

又∠AOM=∠QOM,所以.

所以.因为点Q是圆x2+y2=1上的点,则设点Q的坐标为(cos θ,sin θ)(θ为参数,θ≠0),M(x,y),所以(x-2,y-0)=(cos θ-2,sin θ-0),

即x-cos θ,y=sin θ.故点M的轨迹的参数方程为(θ为参数,θ≠0).