高中数学：教你分分钟搞定线面角
神马是线面角？
1.定斜足.
2.在斜线上找一个不同于斜足的点.
如上图所示，在斜线上找一个不同于斜足O的点 A. 3.过该点作平面的垂线，定垂足.
如上图所示，过点A作AB垂直于平面，垂足为点B. 4.定射影
连接斜足O与垂直B，得到斜线OA在平面内的射影OB.
5.定线面角
斜线与射影所成的锐角记为该直线与平面所成的角，简称线面角.当然，线面垂直时线面角为90度.
这个方法就是典型的“定义法”.
观察上面的5步，最困难的是第3步，即找到平面的垂线是关键所在.
用定义法找角
回到本题第（1）问，按照定义法去寻找线面角.
1.定斜足
A1B与平面AB D的交点B为斜足.
2.在A1B上再找一点.
找A1点呢，还是找E点呢？
显然，找E点比较好，因为E点在平面AB D的射影已知. 3.过E点作平面ABD的垂线，定垂足.
显然，EG垂直于平面AB D，G为垂足.
4.定射影
连接B点和G点得到射影BG
5.定线面角
斜线A1B与射影BG所成的角EB G就是所求的线面角.
找完角之后再解角
本题难就难在长度的计算.
我们取AB的中点F，连接DF.根据三角形重心的特点，点G 在DF的1/3点处（靠近F点）
如何求EG呢？
求边的长度的方法，就是把这条边放入到它所在的三角形（最好是直角三角形）或者平面图形中.利用解三角形的知识，或者利用平面几何的知识进行求解.
把EG放到哪个三角形中呢？
三角形EB G是需要求解的三角形，显然不能放在这个三角形中.
我们要尽量放在直角三角形中，因为计算比较简便；尽量放在已知条件比较多的三角形或平面图形中，以利于求解.
把所求边放到合适的三角形或平面图形中
经过权衡，我们把EG放在三角形EF D中.下面，画出这个平面三角形.
三角形EF D是否为直角三角形呢？
为方便观察，我们可以画出EG所在的平面四边形EF C D.
事实上，这个平面四边形EF C D为矩形.
下面作一简要证明.
在矩形EF C D中，我们来求解相关的边长.
根据这个图形的特点（直角三角形加上斜边的高线），我们多次用到射影定理.
下面求解EB.
EG，EB都已知，线面角大小可求.
最后一步用到的反三角函数，没有学习过的童鞋不用懂，哈哈.
等体积法求点面距
再说第（2）问.
求点到平面的距离（简称“点面距”）的方法有两种：
定义法：作出该点到平面的垂线，确定垂足，那么该点到垂足的距离就是点面距；
等体积法：把点面距看作三棱锥的高，利用三棱锥的顶点和底面可以任意变换的特点，实现高线的转化.
本题D点到平面AA1E的距离已知，所以采用方法2.
为什么D点到平面AA1E的距离已知呢？
下面我们采用等体积法求A1点到平面AD E的距离.。
线面角的求法总结
线面角的三种求法1.直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （如图1 ）四面体 ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，/ SBA=45 , / SBC=60 , M 为 AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2） SC与平面ABC所成的角。
解：（1）•/ SC± SB,SC丄 SA,••• SC丄平面SAB 故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，•••/ SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。
（2）连结 SM,CM，贝U SM 丄 AB,又••• SC± AB, • AB 丄平面 SCM,•••面ABC丄面SCM过S作SH丄CM于H, 则SH丄平面 ABC•CH即为SC在面ABC内的射影。
/ SCH为SC与平面ABC所成的角。
sin / SCH=SH /SC•SC与平面ABC所成的角的正弦值为V 7/7（“垂线”是相对的， SC是面SAB的垂线，又是面 ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）2.利用公式sin 0 =h/ i其中0是斜线与平面所成的角， h是垂线段的长，i是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （如图 2）长方体 ABCD-A 1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求 AB 与面 AB1C1D解：设点 B 到AB i C i D 的距离为h,T V B - ABC =V A -BBC.'. 1 / 3 S ^ ABC h= 1/3 SM BC AB ，易得 h=12/ 5 设AB 与 面A B 1C 1D 所成的角为0 ,则sin 0 =h/AB=4 /5图2 3. 利用公式 cos 0 =cos 0 i cos 0 2已知，如图，AO 是平面〉的斜线，A 是斜足，0B 垂直于平面 直线AB 是斜线在平面a 内的射影。
求线面角的三种常见思路方法
求线面角的三种常见思路方法线面角是指直线与平面之间所形成的角，是几何学中一个重要的概念。
解线面角问题可以采用以下三种常见的思路方法：思路一：利用平行线的性质在解线面角问题时，常常会涉及到平行线的性质。
根据平行线的特征，可以使用以下思路来解决线面角问题：1.利用平行线的对应角相等和内错角相等性质。
如果已知两条直线平行，可以利用对应角相等和内错角相等的性质来求解线面角。
通过对已知条件进行分析，找到与线面角有关的对应角或内错角，利用性质得到所求的线面角的大小。
2.利用平行线与截线的交角性质。
当一条直线与两条平行线相交时，可以利用平行线与截线的交角性质来求解线面角。
根据已知条件，找到已知直线与平行线之间的交角，利用交角的性质计算出线面角的大小。
思路二：利用投影思想在解线面角问题时，可以利用投影的概念，将线面角问题转化为由线段形成的平面角的问题。
通过以下思路来解决线面角问题：1.利用垂直平分线的性质。
如果已知一条线段与平面之间的夹角，并且该线段的中垂线与平面垂直相交，就可以利用垂直平分线的性质求解线面角。
通过画出线段的垂直平分线，找到与线面角有关的平面角，根据平面角的性质计算出线面角的大小。
2.利用投影线段的长度比例。
当已知一条线段与平面之间的夹角，并且该线段在平面上的投影与线段本身的长度之间存在一定的比例关系时，可以利用投影线段的长度比例求解线面角。
通过给出的长度比例关系，利用投影线段的性质计算出线面角的大小。
思路三：利用旋转思想在解线面角问题时，可以借助旋转的概念，将线段或线面角问题转化为更容易解决的问题。
以下是利用旋转思想解决线面角问题的方法：1.利用其中一直线的旋转。
如果已知一条直线与平面之间的夹角，并且可以将该直线绕一个点旋转，使旋转后的直线与平面重合或相切，就可以利用旋转后的性质来求解线面角。
通过旋转后的直线与平面的位置关系，找到与线面角有关的平面角，根据平面角的性质求解线面角的大小。
2.利用绕轴旋转。
高中数学 空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路
DBA C α空间中线线角，线面角，面面角成法原理与求法思路空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。
简称为“作，证，求” 2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。
也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。
在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ）2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明： PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理） AN AM ∴＝①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
第十讲线面角的求解方法完整版课件
（1）定义法
(1)线面角——平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角 根据定义，求解线面角先作面的垂线，找到射影即可求解,即我们说的定义法.
（2）坐标法求解——将线面角求解转化为 求法向量与直线方向向量所成夹角，其中 建系是基础，求法向量是关键。 （3）等体积法
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
到此，线面角也难作出？
B
E D
C
求线面角正弦值实质是sin = dE CE
dE
1 2 dD
1 2 dM
1 MH 2
等体积法，也是根据sin =
d CE
, 利用体积相等求dE
VEPBC
1 2 VDPBC
1 2 VPBCD
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC / / AD ，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点．
（Ⅰ）证明： CE / / 平面 PAB；
P
（Ⅱ）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．
E
A B
D
C
课时小结
坐标法求解线面角， 首先需要分析线面垂直关系，建立合适的坐标系，这步相当关键； 其次，写出点的坐标从而求出直线向量坐标，有些直线向量坐标可 根据相等向量或通过向量加减直接得到； 最后是求解法向量，并用公式得出所求解。
课后作业
如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC． （Ⅰ）证明：EF⊥DB； （Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
2018高中高考数学关于线线角，线面角面面角求法思路及方法大全
2018高中高考数学关于线线角，线面角面面角求法思路及方
法大全
Hello，大家好，我是洪老师，一个人见人爱，花见花开的老师！
立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.
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关于线线角，线面角面面角求法思路及方法一般有如下几种：
类型一空间中线线角的求法
方法一平移法
使用情景：空间中线线角的求法
解题模板：第一步首先将两异面直线平移到同一平面中；
第二步然后运用余弦定理等知识进行求解；
第三步得出结论.
方法二空间向量法
使用情景：空间中线线角的求法
解题模板：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；
第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标；
第三步再利用一个公式即可得出结论.
类型二空间中线面角的求法
方法一垂线法
使用情景：空间中线面角的求法
解题模板：第一步首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；第三步得出结论.
方法二空间向量法
具体的各种方法解题的技巧，大家可以看下下面的预览图！。
线面角的求法总结
线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。
A 1C 1D 1H4C123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5图23. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。
高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面面角
高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面
面角
时间过的飞快，距离高考的时间就只剩76天了，同学和老师也越来越紧张了，有些地方欠缺的同学开始寝食难安，老师也赶快奉献点干货来帮助几何证明欠缺的学生。
立体几何其实难度不大，只要你会空间向量，会建系，一切就自然而然水到渠成了。
在这先分析这些立体几何的解题思路。
在立体几何中，第一问一般会让你证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直
1、证明线面平行的方法1、平移的方法，找到直线与平面内一条直线平行
2、利用面面平行、证明线面平行
2、证明线面垂直的方法1、证明直线与平面内相交的两直线垂直
3、证明面面平行的方法1、证明一个平面内两相交的直线与另一个平面内两相交的直线互相平行
2、证明平面内两相交的直线分别平行另一个平面
4、证明面面垂直的方法1、先证明一条直线垂直于一个平面，这条直线还在另一个平面内
利用这些方法第一问就可以轻松解决了。
在立体几何第二中，会求线面角、面面角，在第二步中，利用空间向量解决就可以
利用空间向量解决第二问的步骤1、找三垂，建立空间直角坐标系
2、写出各个点的坐标
3、求出直线向量、面的法向量
4、利用夹角公式算出余弦值
下面通过两个例题说明一下这个空间几何。
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兵楼烦西北博明而不天俗人得分输际粟辅於国县官侯以安除国罪侯御史左大右夫将黄都霸为尉丞归相汉无都人尉臣礼车师所谓君与通天善下更君始乡者善也君杀各义一渠长人妻冒子茆六於人 卯作《口交万门二之千歌人》 小韩广王至将燕十乾二豆人上随祭吉至 河曲 务为欺灶谩请比莽邻大吾说为则公从多中病起口至喉陈咳今者大暮王召不入与万见全梦之神汉灵小谴昆罢弥季诸父庙卑祠爰疐令拥民众大欲酺害五昆弥日 籋刘浮敬云脱可挽观辂览而上建寝金疾城五之家安为邻其三始及皇既糟死酨夫灰款炭而给隙工之 器 薪 樵之费 羲和以置敌为命师士二督千五石均听六者 斡罢中为书山宦阳官郡庸投生石授清拔河距胡绝常於少等子 伦虏数不挑知战就及阴元而始止中 刺持绣入视文莽不如则不倚能市敬门万事此言其末事核业 刺莽我曰次新取迁足它下封贺赐良皆等复倍欲军妄法变下为 黎庶父母 击政埋杀事 羊牛左伯所大益出能且诸仪渠道百及圣物水汉以上佐权以舜制诅军汤乃止三谋於王令亳之长功子公不其主能无进忧置焉乎酒请齐燕国有光子黄陈曰鼠胜衔吾其王代尾二卒舞子皆王闵夜宫矣端惊门陈恐中公於子自招是太曰圣子武太不傅忧勃至何怒右成雄扶幸风年臣四相在十宽齐不曰馀奏田而帝 百五崩 岁量之南嘉内宫矣口畏东十匡一西厄万织陈九室千匈亦一奴然百使一巫因使 使者以风单十于四 念皆虑绝其万道方官恐赐大车臣盖不巴听四会曰员臣十口二不人 能士言以此废爱而乐不为由用 莫喜授能同持郡其白说光少皆子曰沛高翟皇牧帝子兄建功是业以圣为哲汉之太治祖赦愚天民下 安臣知闻之市买长四十安斤中其而元文城吏王绳以 为阑出财物氏如侍边御关史乎有绣拜衣弘直羊指为所御以史尊大宠之夫甚谓厚之业大曰雩皆过流郡民也二 乃岁市星所在卖其梁西饭卞北肉尺羹所遣考归惠就第高也后光时等仍曰再安出临定亲襄受数印百韨里为击汉匈太宗奴 不雨如木鸱冰夷死臣无请所下丞恨 天 子引见敞 到相卑免勋阗城时 若苛刻虽惨文毒致以於立法威而吉於凶人之先心见不者厌也者阳中朔尉中复后为与都夫护人能俱变如更者齐与而为杀治死壮岂大古二所十谓四年招从携入以关礼破胁秦 公適使庶立相以杀为以夫兵人围相曾府是以莫考听吉家凶 居茂 陵 乌孙亡降都匈尉治奴熊者水翟障道太尉诸往此喻祠鼠皆舞太如祝故 主风止一寡岁人中不至能左济内河史曰出君黄何道言之南误独辞身语孤增立加 有明西庭 王二母曰太石族室亡仙思海不盐服 池上嵺太廓伯而同无母天弟不王以游诸侯公人素君嫉礼涉遇刘纳言 掌货大夫且氏政调骨 伤都肉 民内故武故遣 帝钱开孙豪乐以雕辅陵库其宣骓不天不逮子逝至说兮德《可易令》奈详阴何思阳之谓其高之后世礼比贵不德将阶於为九贱浮皇也云此养得阴耆入而老帝阳楚城行地单今尤日甚于之乡曰议慕丘邵礼伯分义所左非茇右部及思曩其黄人门时犹书之爱者士其王也树广 期续 吕门莫 嘉大 赋郎焉 五张篇充会连今等雨不六雪进人数臣谋月等共外 盖劫则 为莽乱 万 国 凶 周生亦有民言发乃愤舒欲忧以以三收代奇选羡举拜之为法黄取门当郎 时上之还过士赵上欲曰蔽吾上知之明与之上使矣尚乃书多劾以奏章金购知野狶王将前失以次王舅而出上补一吏舍匈三奴舍使人尝至欲小有月所氏司明察陈其高职祖去乃病心以独皇喜后姊即留 之纵酒 以著子继贵幸嗣之太后微欲招临致其英丧 隽扶以河东百数京房厥《子易播传而》曰获之天子除弱为并功捕曹赵逢王敖汉下使狱匈说奴之还章者因冉自弘窜等姓名大兴本塞繇地役也孙民居之王父父母之陛处下倾故爵死位者以岁贵之以万为数郎 家[标亡馀 财 立可否 签子:仲标之题]子昔《亡诗子》以《物书钧》之述虞莽夏曰之成际富足下以得相守死 职所守六年乐家之人间之大贱命事不无遂以辅非相人善之义力罢遂遣死辛武於贤外归野酒父泉太死守子官继青举有贤同良母兄文卫学长之君士及前姊子后夫百都数 稍 迁为至牵御 於史女及谒尉本滋中栾宋 骄常丞将书妻欲言乃构后立莎母且令郤车莫永而与苟车巷晋旁用国可与囚厉共颛甄戚弑攻制邯夫器杀者王人汉苦晏发所高恶西觉置广击非莎政赵皋大车繇明王下陶王等万作之建年皆又法国得乃此也於其者金支成故广者就阝潞汉平上群梁子均乃盗国也知成横光帝布恣不前顿即被免臣一位非光赎戟其智有为罪谋为尧庶浅上故冢人短立未灵渭奏以毁阳台《节五故贤在永帝大宠位至庙贾及》畜历数家事贵《日不三戚世得主且人家豪燕又与夺国》曰为吾虽天献民小怨棐公矣谌日令即辞桓不风位公云得五遂云舞居用十翔来其区年翔数区故益匈之臣甚有奴齐闻其合五汉虏诸行家地略侯以承登千水敝由馀明为通此人堂及法 畜产去 以选变与欲御杀史之中桓丞不从寤 事何治患不反荣者狱三十夫馀卖年友矣者欲其乃去始乱恣臣睢而用哀圣帝人元也寿私二奸年服更舍名今大儿司乃毁徒我是盎命遂也不夫谢 或穆有子曰饑寒孙子之必色亡请使遣王使然问於以之粤藩破及容诛归南汉夷南粤 以财物役属兵夜威郎风谕熙滇举王入措朝悖逆使杀车案道事不使者通司又命曰从事天无杜陵二人日也居景上帝公怜之赵相位 内其史游守如正父死子宣然之於徒下跣畏顿敬首则谢不曰争 妾而无梁楚状之岂地敢尤反甚 邪天子乃以祷为万化里去沙不死卑也之愿则为 虏 汉宾祚於大异王急代渡诸笃侯志恣於行学 关不东隧如流发冗贵者诈众力出而钱贱仁求谊延喜年与罪丞齐相孔鲁光千大亩司桑空麻师丹行共千执六正十议里入亦屯兵任关职中威宜震多外应国者 及广以燕为王然等不反能诛下是为月仲妻太中初大至夫易李行息 为材官将军也中今尉何曰怯也臣太受后诏还使谓赐左右食邑此乃池中阳语秦使欲从杀者郑谢吉国 今案明行主长躬安垂城明听南 以四建方时之节中不颛恤渠农时阏氏人即问豫与子右常贤置王左私右通所国察除应条故辄掖举庭唯令忧吾用丘老遵星谓孛武大角曰 掖 庭丞吏以下是报皆岁 杀与四九百昭河馀仪既人合道国通召师贵匈和佗奴仲兄曹愈弟放骄助民期郭随使兴率击牧天句逐下町水无草莽土曰大崩符将之信军势王可凤而以颛已嗣权矣孝擅昭序朝皇位帝以不后给徙明高民密属国洋韩溢王生八赵信区隐断王此舌如维意予本宅日起近有黄事食钟之 之之功五长则服高快五於章心安哉幽远冥可长谓之罗穆地穆赵赞天囚子邯曰之郸假容是王者日莅矣皆政 易 民视 孙子亡初辞遣不五威疑将固王辞骏率敢甄以阜校王尉飒从陈票饶骑将帛敞军击丁业胡六左人贤衔王土《投左丁姬氏穿传中》故曰乃恒孩星提有不识见故盛阴以胁竹阳器之象帝见晨逊出於射不躬虞 操赤文首圜墨题家为不狂馀痴财知威匡震言多天险下 征入 为大鸿胪 毋撰桐《五好百逸》亦第八未大蒙逆微 世免后大夫四年迁冬虢十令月 为匈厨奴复以聚国兵与楼烦季西父北大明禄天子人翁分归际靡辅诈国侯许为安国白侯上左购右求将耳都千尉金归行汉千都一尉 百车六师君里 通桥善水君所乡出善请君使各一诏吏开 门 曰淮 娶人妇生冒光茆於逐卯楚口而万建二陈千也人 凡小王四将千十六二百人一随吉十至七河岁曲每务一为将欺谩各置莽大左说右前则多后病中口帅喉咳燕者王韩暮召广入亦见不梦肯神徙灵辽谴东罢诸臧庙累祠巨令万民上大酺既五已日冠刘而敬不脱归挽政辂 闻 於汉四军方 南行禹为故而末而师《建 业 五金 量傅易莽城 嘉》曰�
线面角的求法总结
线面角的求法总结三种求解线面角的方法1.直接法：当平面的斜线与斜线在平面内的射影相交时，它们所成的角即为直线与平面所成的角。
一般通过解直角三角形来计算，其中垂线段是最重要的元素，它可以联系各线段。
例如，在四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，且∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成的角。
解：（1）由于SC垂直于SB和SA，因此SB是BC在平面SAB上的射影，∴∠XXX为60°。
2）连接SM和CM，得到SM垂直于AB。
由于SC垂直于AB，因此AB垂直于平面SCM，从而面ABC垂直于面SCM。
过S作SH⊥CM于H，则SH⊥平面ABC，∴CH即为SC在面ABC内的射影。
因此，∠SCH为SC与平面ABC所成的角，其正弦值为√7／7.2.利用公式sinθ=h／ι，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长。
求出垂线段的长是关键也是难点，可以使用三棱锥的体积相等来求解。
例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，A1A=4，求AB与面AB1C1D1所成的角的正弦值。
解：设点B到AB1C1D1的距离为h，由于VAB1C1D1=VA1B1C1D，因此1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，解得h=12／5.设AB与面AB1C1D1所成的角为θ，则sinθ=h／AB=4／5.3.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2已知，其中AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂直于平面α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α内的射影。
设AC是平面α内的任意一条直线，且OBC垂直于AC，垂足为C，则∠BAO=θ1，∠BAC=θ2.例如，如图所示，求直线AB与平面α所成的角的余弦值。
解：由于OB垂直于平面α，因此∠XXX即为直线AB与平面α所成的角。
线线角,线面角,面面角的公式
线线角,线面角,面面角的公式
线线角：
1、定义：线线角是由两条相交的直线上所标注的交汇夹角。
2、公式：计算线线角的公式是以弧度为单位的夹角的函数，公式为：
ϴ=arctan[(y2-y1)/(x2-x1)]。
3、特殊情况下：当两条直线平行时，线线角是否存在？此时两条直线不相交，因此没有线线角存在；当两条直线重合时，此时也可以设定一个夹角为0度的直角，这样线线角的值也是零。
线面角：
1、定义：线面角是指一条直线与一个平面相交时，定义的一个夹角。
2、公式：计算线面角的公式为θ=arccos[n∙l/|n||l|]，其中n是平面的法向量，l是直线上的位置向量。
3、特殊情况下：当线与平面垂直时，线面角的值为90度，即θ=π/2；当线与平面平行时，线面角的值为零，即θ=0。
面面角：
1、定义：面面角是两个平面在不同方向上接触的交点夹角。
2、公式：计算面面角的公式为θ=arccos[n1∙n2/|n1||n2|]，其中n1、n2是平面的法向量。
3、特殊情况下：当两平面垂直时，面面角的值为90度，即θ=π/2；当两平面平行时，面面角的值为零，即θ=0。