第四章《分解因式》回顾与思考

课时课题：第四章《分解因式》回顾与思考课型：复习课教学目标：1．复习因式分解的概念，以及提公因式法、运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，并能灵活运用上述方法分解因式，从而提高学生因式分解的运用技能．2．通过知识结构图的教学，培养学生归纳总结能力；在专题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.3．通过因式分解的练习，提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.教学重点与难点：重点：能熟练地将一个多项式分解因式.难点：综合应用提公因式法、运用公式法分解因式.教法与学法指导：分解因式这一章知识既是中考的重要考点之一，又是下一步学习分式的基础，所以分解因式的复习对学生来说至关重要.在教学中，注重学生对分解因式的理解，有意识地培养学生逆向思考问题的习惯，适当地分阶段进行必要的训练，使学生具备基本运算能力的同时，能够明白每一步的算理.在学习过程中，理解整式乘法与分解因式的关系；在提公因式法时，能准确地确定公因式；在运用公式法时，要掌握好各公式的特点，能准确的判断一个多项式是否满足公式；在解决综合练习题时要按照分解因式的步骤去分解，准确把握分解的方法.特别注意分解因式时，按照分解因式的一般步骤和分解因式的方法去分解，避免出现分解的结果又利用整式乘法再运算的情况.课前准备：多媒体课件．教学过程：一、激趣导入，建构网络师：知识在于积累，能力在于训练，每当学完一章节内容，我们都要及时进行总结归纳，形成知识体系，建构知识网络，查缺补漏，以求厚积薄发.现在就让我们共同对《分解因式》一章进行梳理归纳，以求人人达标过关.大家有没有信心？生：有！设计意图：本环节主旨在于激起学生学习的积极性，语言中有对章节复习的重要性的渗透，有复习重点的渗透，有树立学生信心的目标，从学生昂扬的斗志和铿锵的回答中可以看到学生的积极性和学习的欲望已经被调动起来，实现了导入的目的.师：很好.我们学习了《分解因式》一章后，你能构建出本章的知识结构网络图吗？请大家独自回忆后小组合作交流，形成小组的研讨成果.（3分钟后要展示你们小组的成果呦！）设计意图：通过学生独自回忆和小组交流，让学生重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系.(学生积极构建知识结构网络图，并合作交流充实各自的知识结构网络图.)生：我们构建的本章知识框架图是这样的.（实物展台展示）师：非常棒，别忘了分解因式的运用哟！下面就让我们利用所学知识解决以下问题吧！（出示专题）设计意图：通过放手让学生完成本章的知识网络图，这样既能锻炼学生的总结能力，又能加深学生对本章知识的理解，从而提高对本章知识的运用能力.二、专题解析，归纳整合专题一：分解因式的概念例1下列因式分解：①32-+=--；a a a ax x x x4(4)-=-；②232(2)(1)③222(2)2a a a a --=--；④2211()42x x x ++=+．其中正确的是_______．(只填序号) 解析：①选项没有分解彻底；②正确；③总体上没有化成乘积的形式，所以错误；④正确．故答案②④.师生反思：判断因式分解的方法是依据分解因式的定义.分解因式的定义：①一个多项式；②转化成整式；③积的形式.特别强调的是分解因式一定要分解彻底．设计意图：本专题考查分解因式的概念.通过对分解因式的判断，提高了学生对分解因式概念的理解，有意识地培养了学生逆向思考问题的习惯，从而达到巩固概念的目的.专题二：分解因式的方法1．提公因式法分解因式例2 因式分解：4ab 2＋6a 2b ＝ ．解析：先找公因式是2ab ，再提公因式就可以获得答案4ab 2＋6a 2b ＝2ab (2b ＋3a )． 师生反思：本题是对因式分解基本方法（提公因式法）的考查，解题的关键是找出多项式中的公因式，再提公因式.找公因式的方法：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同的字母或式子；③次数：相同字母（式子）次数最低的.提公因式的方法：按照公因式()多项式公因式的结构进行分解. 2．运用公式法分解因式例3 分解因式：241a -= ．解析：由于本题是二次二项式且各项都能写成平方的形式而又是差的形式，符合平方差公式的特征．224(2)a a =，211=，故本题可以用平方差公式进行因式分解．套用公式可得(21)(21)a a +-. 师生反思：本题属于基础题，考察知识点单一，把握用公式法分解因式的特征，解答就很方便了．解决本题的关键是观察所给的多项式是否符合公式的形式，也就是写成平方差公式（或完全平方）的形式再套用公式进行分解.3．先提公因式，再运用公式法分解因式例4 把代数式223363xy y x x +-分解因式结果是 .解析：先提公因式，得223363xy y x x +-＝)2(322y xy x x +-；再运用完全平方公式得223363xy y x x +-＝)2(322y xy x x +-＝2)(3y x x -．师生反思：分解因式常用的方法是提公因式法和运用公式法，本题综合考查了这两种方法，学生常出错的地方是提公因式以后，没有观察分解是否彻底，而本题综合考查了上述两种方法，使得本题的区分度较高．特别注意的是分解因式要分解彻底，要分解到每一个因式都不能分解为止．按照分解因式的步骤：一提、二套、三检查，进行分解就可以避免出现错误.4．先整理，再分解因式例5分解因式：x(x－1)－3x＋4= ．解析：将x(x－1)－3x＋4去括号，得x2－x－3x＋4；再合并同类项，得x2－4x＋4；可以看出满足完全平方公式.所以x(x－1)－3x＋4=x2－x－3x＋4=x2－4x＋4=(x－2)2.师生反思：本题根据因式分解的方法找不出解题的突破口，若先将多项式化简整理后，就很容易看出符合我们已经学习的完全平方式，所以对于有些多项式还需要化简后，再分解因式.设计意图：本专题考查学生对分解因式方法的掌握情况.为了提高学生对分解因式的方法和步骤的理解和掌握，把课本上出现的因式分解的题型及中考的考题全部呈现出来，目的使学生真正掌握因式分解的方法，并能根据多项式的特征选择合适的方法进行分解因式.专题三：分解因式的运用1．利用分解因式简化计算例6化简：(1－3a)2－2(1－3a)．解析：本题的处理方法有两个，一、将每个括号展开、化简（此种方法在去括号时常出现错误）；二、提取公因式，再化简（此种方法简便），故选第二种方法.(1－3a)(1－3a－2)= (1－3a)(－1－3a)=9a2－1．师生反思：化简整式时常常利用因式分解来简化运算.解决此类问题的关键是观察整式的特点来分解因式，再进行计算.2.利用分解因式求值例7 若m2－n2=6，且m－n=3，则m＋n= ．解析：因为m2－n2=（m＋n）（m－n）=6，且m－n=3，所以m＋n=2．师生反思：本题属于基础题，主要考查学生对平方差公式的掌握，考查知识点涉及平方差公式和代数式求值，既考察了基础知识，又考察了学生的运算技能，用整体思想求代数式的值.3．利用分解因式判断三角形的形状例8 若△ABC 的三边的长分别是a ，b ，c ，且22a ab c bc +=+，则△ABC 是 ． 解析：因为22a ab c bc +=+，所以(12)(12)a b c b +=+，移项得(12)(12)0a b c b +-+=， 所以(12)()0b a c +-=，因为1+2b ≠0，所以a =c ，所以△ABC 为等腰三角形．师生反思：本题是分解因式较为典型的运用，利用分解因式判断三角形的形状.解决问题的关键是将右边的项移到左边，并将左边的项分解因式，再判断三角形的形状.设计意图：本专题考查学生对分解因式运用情况.在分解因式的过程中，逐步提高观察、分析和归纳能力，体验类比的思想方法的重要性和重要作用，能从分解因式中获取相关信息，增加解决问题的能力.通过因式分解综合练习和开放题练习，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.三、巩固训练，培养能力1.（2012，济宁）下列式子变形是因式分解的是（ ）A 、()25656x x x x -+=-+B 、()()25623x x x x -+=-+C 、()()22356x x x x --=-+D 、()()25623x x x x -+=++2.（2012，四川凉山）下列多项式能分解因式的是（ ）A 、22x y +B 、22x y --C 、222x xy y -+-D 、22x xy y -+3.（2012，江苏无锡）分解因式(x －1)2 －2(x －1)+1的结果是( )A 、(x －1)(x －2)B 、x 2C 、(x +1)2D 、(x －2)24. (2012，湖北随州) 分解因式：249x -=__________________.5.（2012，威海）分解因式:22331212x y xy y ++= .6. 把下列各式分解因式：（1）3244ab ab ab -+； （2）22()()m x y n y x -+-．处理方式：1、练习必须由学生个人独立完成，教师既要做好监督，也要通过巡视了解学生对本章知识的掌握运用情况；2、师生共同纠错，并根据巡视情况做有针对性的指导.【参考答案：1.B 2.C 3. D 4.(2x +3)(2x -3) 5.23(2)y x y +6. 解：（1）322244(44)(2)ab ab ab ab b b ab b -+=-+=-（2）222222()()()()()()m x y n y x m x y n x y x y m n -+-=---=--()()()x y m n m n =-+-．】四、课堂小结，知识升华师：通过以上各专题的学习和研讨，你一定领悟到不少解决本章热点考点问题的技能了吧！请大家各自总结一下，然后共同分享一下！生：我懂得了……我收获了……我的疑惑是……师：总结归纳形成解题通法.设计意图：复习课大多是学生自主探究、交流、提高的过程，教师只做点拨.因此，小结的过程不妨大胆交给学生，听听学生的感悟、体会，以便教师更好的了解学生学习经验的获得情况.由学生发言，为他们提供一个互相交流的平台，让学生养成反思与总结的习惯，培养学生的语言概括能力.五、当堂检测，达成目标1. 多项式22361836a b a b x ab -+的公因式是（ ）A 、2abB 、6a 2bC 、6ab 2D 、6ab2.（2012，贵州黔南州）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A 、x 2－xyB 、x 2＋xyC 、x 2－y 2D 、x 2＋y 23.（2012，湖北恩施）a 4b －6a 3b ＋9a 2b 分解因式的正确结果是A 、a 2b (a 2－6a ＋9)B 、a 2b (a ＋3)(a －3)C 、b (a 2－3)2D 、a 2b (a －3)24.（2012，临沂）分解因式：a －6ab ＋9ab 2＝ .5.请写出一个三项式，使它能先“提公因式”，再“运用公式”来分解.你编写的三项式是________，分解因式的结果是________．6.已知x 2－y 2=69，x +y =3，则x －y =______．7.已知x ，y 是不相等的正数，试比较2()x x y -与2()y x y -.处理方式：给学生8分钟时间独立完成，教师认真监考，学生完成后教师出示答案，学生互换批改，然后更正；教师要收集学生答题信息并作出分析，为下一步教学提供依据.【参考答案：1.D 2.C 3.D 4.a (3b －1)2 5.答案不唯一，如：231212x x ++ 23(2)x + 6. 23 7. 解：2222()()()()x x y y x y x y x y ---=--2()()x y x y =+-.因为x ，y 是不相等的正数，所以x y +＞0，2()x y -＞0.所以2()()x y x y +-＞0.因此)(2y x x -＞)(2y x y -.】六、分层作业，强化目标必做题：课本 第61页 复习题 第2题.选做题：课本 第62页 复习题 第4、5题.课下探究：试说明：无论a ，b 为何值时，代数式2223a b ab -+的值均为正值．【答案：解：2223a b ab -+2()212ab ab =-++2(1)2ab =-+．因为2(1)ab -≥0， 所以2(1)2ab -+≥2．因此代数式2223a b ab -+的值均为正值．】设计意图：学生自由选择完成作业，让每个学生都有成就感，增强了学生学习数学的信心，在面向全体学生的同时，让不同学生得到不同发展．板书设计教学反思优点：本节课通过课前知识网络的整理、课堂展示讲解的过程及师生反思，为学生提供展示自己的机会，充分体现“以学生为主体，注重学生的自主探究与合作交流”的新课程理念，更利于教师在此过程中发现学生的闪光点以及思维的误区，以便指导今后的教学.本节课“专题设置”的内容较为全面典型，容括了分解因式的常见题型并且重点突出，便于学生整体把握分解因式的方法和技巧．在专题讲解的过程中，师生反思作为每一例题必备环节，培养了学生归纳总结能力及运用意识.在本节课中注重从近几年的中考试题中精选典型题目充实到课堂中来，增强学生对考点的把握能力，积累经验．同时，通过2012中考题的展示，让学生了解中考考试信息，增强了学生学习数学的信心.不足及改进建议：本节课堂教学容量相对来说较大，学生的自主学习和合作交流讨论的时间较为紧张，对后进生照顾不够. 基于以上的认识与反思，在今后的教学中逐步推进分层教育教学模式，为不同层次的学生精心设计合理的题型和题量，让班级中每位学生都有所收获，真正实现“不同的学生在数学上得到不同的发展”的目标.。