4.4 第四章 因式分解 回顾与思考
新北师大版八年级数学下册《四章因式分解回顾与思考》教案_1
与 b 的积，并把整式乘法的过程反过来，得到分解因式的方法；介绍如何写十字相乘的 形式，以便快速准确地找出满足条件的 a 和 b.
3、探讨十字相乘法分解因式的方法 问题： x2 5x 6 如何因式分解？ 分析：根据 x2 ( a b) x ab 因式分解的结果是 x a x b ，让学生明确，分解
掌握。
3、在 C 组题安排对“二次项系数不为 1”的二次三项式分解因式的方法的探索，类比
“二次项系数为 1”的二次三项式的分解方法，进行研究方法的迁移。
【 1】重点说明：分解“二次项系数不是 1”的二次三项式活动内容将根据课堂学生学习
情况灵活处理。
二次项
常数项
因式
x
+a
x
+b
（ x+a ） （x+b）
一次项
ax
bx
师生活动： 学生计算， 师生共同分析结果， 利用因式分解与整式乘法是方向相反的变形，
得出 x2 a b x ab 型式子因式分解的方法 .
【设计意图】学生通过练习，再次体会因式分解与整式乘法是方向相反的变形；由特殊 到一般，发现形如 x2 a b x ab 的多项式的一次项系数是 a 与 b 的和，常数项是 a
1、因式分解 （ 1） x2 x ＝______________；
（2） x2 4 y2＝ ______________；
（ 3） x2 6x 9 ＝ ______________ ；
2 、你能把 x 2 5x 6 因式分解吗？
引出本课学习的课题——十字相乘法。 【设计意图】 通过具体题目回顾因式分解方法的选择， 让学生遇到新的问题： x2 5x 6
《十字相乘法》教学设计
【教学内容】“ 北师大版”八年级下册 第四章 《整式的乘法与因式分解》 “阅读与 思考”：十字相乘法 【教学目标】 1、理解十字相乘法的意义；会用十字相乘法对“二次项系数为 1”的二次三项式进行因 式分解。 2、通过学生的尝试，培养学生观察问题、分析问题的能力和逆向思维能力。 3、体验独立探索和交流的学习过程，培养总结归纳、灵活运用数学知识的能力。 【 教学 重点】理 解十字相 乘法 ，能熟练 应用十字 相乘 法的方法 对二次三 项式
北师大版数学八年级下册第四章因式分解回顾与思考说课稿
在总结反馈阶段，我会采用“自我评价”和“教师反馈”的方式。首先，我会让学生自我评价他们的学习成果，反思他们在因式分解方面的优点和不足。然后，我会根据学生的表现和作业情况，提供有效的反馈和建议，帮助他们进一步提高。
（五）作业布置
课后作业的目的是让学生巩固所学知识，提高因式分解的能力。我会布置一些因式分解的题目，包括一些实际问题，让学生在课后进行练习。同时，我还会布置一些拓展性的题目，鼓励学生进行深入研究和思考，提高他们的数学思维能力。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到可能会遇到学生对因式分解概念理解不深和应用能力不足的问题。为此，我将提供更多的实例和练习，以及个别辅导，帮助学生克服困难。我还会密切关注学生的学习反馈，及时调整教学策略和方法。课后，我将通过学生的作业和考试成绩来评估教学效果。根据评估结果，我会反思教学过程中的不足，并制定具体的改进措施，如加强巩固练习的设计，提高学生的学习兴趣和动机。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备整式的乘法、方程的解法等前置知识。可能存在的学习障碍主要有：对因式分解的概念理解不深，对一些复杂的多项式因式分解方法选择不当，以及因式分解在实际问题中的应用等。因此，在教学过程中，需要针对这些障碍进行有针对性的讲解和练习，帮助学生克服困难，提高他们的因式分解能力。
（二）教学目标
1.知识与技能：使学生理解和掌握因式分解的定义和方法，能够运用提公因式法、公式法、十字相乘法等进行因式分解。
2.过程与方法：通过复习和练习，提高学生运用因式分解解决实际问题的能力，培养学生的逻辑思维和运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和自信心，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
（二）媒体资源
为了辅助教学，我计划使用PPT、网络资源和数学软件等媒体资源。PPT可以用于展示因式分解的方法和实例，网络资源可以用于提供更多的学习材料和练习题，数学软件可以用于帮助学生直观地理解因式分解的过程。这些媒体资源在教学中的作用是提供丰富的学习材料，增加学习的趣味性，帮助学生更好地理解和掌握因式分解的为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我计划采用“情境导入”的方式。在上课开始时，我会向学生提出一个问题：“如果你有50元钱，你想怎么花？”让学生思考和讨论。然后，我会引入因式分解的概念，解释因式分解可以帮助我们更好地理解和解决问题，就像我们如何合理地花掉50元钱一样。这样的导入方式能够激发学生的兴趣，让他们意识到因式分解的重要性。
北师大版八年级下册数学《回顾与思考第四章因式分解复习课》课件
一、分解不彻底
1题：16-x4 2题：9(x-y)2-25(x+y)2
二、完全平方式严重丢解
若9x2+kxy+y2是完全平方式， 则k=
巩固练习
4x2-kx+25是完全平方式，则k=
课内小结：
谈谈本节课收获
作业：
1、改正错题 2、整理典型习题 3、挑选同类型习题，巩固练习
因式分解复习课
学习目标
一、整理学生出现的错题，归类分析 错误原因，形成因式分解的注意事项。
二、因式分解的典型题训练。 三、运用因式分解解决实际问题。
涉及的知识点
一、什么叫因式分解? 把一个多项式写成几个整式的积的情势
叫做因式分解.因式分解是整式乘法的逆变形。 二、因式分解有哪些方法？
(一)提公因式法； (二)运用公式法： a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
三、因式分解与整式乘法综合运用不过关 (x-y)2-4(x-y-1)
方法指点 ： 整体思想，转化思想
四、分解因式的灵活应用能力欠缺
已知：a、 b、 c为三角形的三条边，且满 足a²+b²+c²-ab-bc-ac=0，证明:三角形是等 边三角形
数学思想： 数形结合
巩固练习：
1.下列各式从左到右的变形中，哪些是
3、把下列各式分解因式：
(1)25x 2 16y 2 (2（) a b)2 6(a b) 9 (3) - x 2 4y 2 4xy
第四章《分解因式》回顾与思考
课时课题：第四章《分解因式》回顾与思考课型：复习课教学目标：1．复习因式分解的概念，以及提公因式法、运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，并能灵活运用上述方法分解因式，从而提高学生因式分解的运用技能．2．通过知识结构图的教学，培养学生归纳总结能力；在专题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.3．通过因式分解的练习，提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.教学重点与难点：重点：能熟练地将一个多项式分解因式.难点：综合应用提公因式法、运用公式法分解因式.教法与学法指导：分解因式这一章知识既是中考的重要考点之一，又是下一步学习分式的基础，所以分解因式的复习对学生来说至关重要.在教学中，注重学生对分解因式的理解，有意识地培养学生逆向思考问题的习惯，适当地分阶段进行必要的训练，使学生具备基本运算能力的同时，能够明白每一步的算理.在学习过程中，理解整式乘法与分解因式的关系；在提公因式法时，能准确地确定公因式；在运用公式法时，要掌握好各公式的特点，能准确的判断一个多项式是否满足公式；在解决综合练习题时要按照分解因式的步骤去分解，准确把握分解的方法.特别注意分解因式时，按照分解因式的一般步骤和分解因式的方法去分解，避免出现分解的结果又利用整式乘法再运算的情况.课前准备：多媒体课件．教学过程：一、激趣导入，建构网络师：知识在于积累，能力在于训练，每当学完一章节内容，我们都要及时进行总结归纳，形成知识体系，建构知识网络，查缺补漏，以求厚积薄发.现在就让我们共同对《分解因式》一章进行梳理归纳，以求人人达标过关.大家有没有信心？生：有！设计意图：本环节主旨在于激起学生学习的积极性，语言中有对章节复习的重要性的渗透，有复习重点的渗透，有树立学生信心的目标，从学生昂扬的斗志和铿锵的回答中可以看到学生的积极性和学习的欲望已经被调动起来，实现了导入的目的.师：很好.我们学习了《分解因式》一章后，你能构建出本章的知识结构网络图吗？请大家独自回忆后小组合作交流，形成小组的研讨成果.（3分钟后要展示你们小组的成果呦！）设计意图：通过学生独自回忆和小组交流，让学生重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系.(学生积极构建知识结构网络图，并合作交流充实各自的知识结构网络图.)生：我们构建的本章知识框架图是这样的.（实物展台展示）师：非常棒，别忘了分解因式的运用哟！下面就让我们利用所学知识解决以下问题吧！（出示专题）设计意图：通过放手让学生完成本章的知识网络图，这样既能锻炼学生的总结能力，又能加深学生对本章知识的理解，从而提高对本章知识的运用能力.二、专题解析，归纳整合专题一：分解因式的概念例1下列因式分解：①32-+=--；a a a ax x x x4(4)-=-；②232(2)(1)③222(2)2a a a a --=--；④2211()42x x x ++=+．其中正确的是_______．(只填序号) 解析：①选项没有分解彻底；②正确；③总体上没有化成乘积的形式，所以错误；④正确．故答案②④.师生反思：判断因式分解的方法是依据分解因式的定义.分解因式的定义：①一个多项式；②转化成整式；③积的形式.特别强调的是分解因式一定要分解彻底．设计意图：本专题考查分解因式的概念.通过对分解因式的判断，提高了学生对分解因式概念的理解，有意识地培养了学生逆向思考问题的习惯，从而达到巩固概念的目的.专题二：分解因式的方法1．提公因式法分解因式例2 因式分解：4ab 2＋6a 2b ＝ ．解析：先找公因式是2ab ，再提公因式就可以获得答案4ab 2＋6a 2b ＝2ab (2b ＋3a )． 师生反思：本题是对因式分解基本方法（提公因式法）的考查，解题的关键是找出多项式中的公因式，再提公因式.找公因式的方法：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同的字母或式子；③次数：相同字母（式子）次数最低的.提公因式的方法：按照公因式()多项式公因式的结构进行分解. 2．运用公式法分解因式例3 分解因式：241a -= ．解析：由于本题是二次二项式且各项都能写成平方的形式而又是差的形式，符合平方差公式的特征．224(2)a a =，211=，故本题可以用平方差公式进行因式分解．套用公式可得(21)(21)a a +-. 师生反思：本题属于基础题，考察知识点单一，把握用公式法分解因式的特征，解答就很方便了．解决本题的关键是观察所给的多项式是否符合公式的形式，也就是写成平方差公式（或完全平方）的形式再套用公式进行分解.3．先提公因式，再运用公式法分解因式例4 把代数式223363xy y x x +-分解因式结果是 .解析：先提公因式，得223363xy y x x +-＝)2(322y xy x x +-；再运用完全平方公式得223363xy y x x +-＝)2(322y xy x x +-＝2)(3y x x -．师生反思：分解因式常用的方法是提公因式法和运用公式法，本题综合考查了这两种方法，学生常出错的地方是提公因式以后，没有观察分解是否彻底，而本题综合考查了上述两种方法，使得本题的区分度较高．特别注意的是分解因式要分解彻底，要分解到每一个因式都不能分解为止．按照分解因式的步骤：一提、二套、三检查，进行分解就可以避免出现错误.4．先整理，再分解因式例5分解因式：x(x－1)－3x＋4= ．解析：将x(x－1)－3x＋4去括号，得x2－x－3x＋4；再合并同类项，得x2－4x＋4；可以看出满足完全平方公式.所以x(x－1)－3x＋4=x2－x－3x＋4=x2－4x＋4=(x－2)2.师生反思：本题根据因式分解的方法找不出解题的突破口，若先将多项式化简整理后，就很容易看出符合我们已经学习的完全平方式，所以对于有些多项式还需要化简后，再分解因式.设计意图：本专题考查学生对分解因式方法的掌握情况.为了提高学生对分解因式的方法和步骤的理解和掌握，把课本上出现的因式分解的题型及中考的考题全部呈现出来，目的使学生真正掌握因式分解的方法，并能根据多项式的特征选择合适的方法进行分解因式.专题三：分解因式的运用1．利用分解因式简化计算例6化简：(1－3a)2－2(1－3a)．解析：本题的处理方法有两个，一、将每个括号展开、化简（此种方法在去括号时常出现错误）；二、提取公因式，再化简（此种方法简便），故选第二种方法.(1－3a)(1－3a－2)= (1－3a)(－1－3a)=9a2－1．师生反思：化简整式时常常利用因式分解来简化运算.解决此类问题的关键是观察整式的特点来分解因式，再进行计算.2.利用分解因式求值例7 若m2－n2=6，且m－n=3，则m＋n= ．解析：因为m2－n2=（m＋n）（m－n）=6，且m－n=3，所以m＋n=2．师生反思：本题属于基础题，主要考查学生对平方差公式的掌握，考查知识点涉及平方差公式和代数式求值，既考察了基础知识，又考察了学生的运算技能，用整体思想求代数式的值.3．利用分解因式判断三角形的形状例8 若△ABC 的三边的长分别是a ，b ，c ，且22a ab c bc +=+，则△ABC 是 ． 解析：因为22a ab c bc +=+，所以(12)(12)a b c b +=+，移项得(12)(12)0a b c b +-+=， 所以(12)()0b a c +-=，因为1+2b ≠0，所以a =c ，所以△ABC 为等腰三角形．师生反思：本题是分解因式较为典型的运用，利用分解因式判断三角形的形状.解决问题的关键是将右边的项移到左边，并将左边的项分解因式，再判断三角形的形状.设计意图：本专题考查学生对分解因式运用情况.在分解因式的过程中，逐步提高观察、分析和归纳能力，体验类比的思想方法的重要性和重要作用，能从分解因式中获取相关信息，增加解决问题的能力.通过因式分解综合练习和开放题练习，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.三、巩固训练，培养能力1.（2012，济宁）下列式子变形是因式分解的是（ ）A 、()25656x x x x -+=-+B 、()()25623x x x x -+=-+C 、()()22356x x x x --=-+D 、()()25623x x x x -+=++2.（2012，四川凉山）下列多项式能分解因式的是（ ）A 、22x y +B 、22x y --C 、222x xy y -+-D 、22x xy y -+3.（2012，江苏无锡）分解因式(x －1)2 －2(x －1)+1的结果是( )A 、(x －1)(x －2)B 、x 2C 、(x +1)2D 、(x －2)24. (2012，湖北随州) 分解因式：249x -=__________________.5.（2012，威海）分解因式:22331212x y xy y ++= .6. 把下列各式分解因式：（1）3244ab ab ab -+； （2）22()()m x y n y x -+-．处理方式：1、练习必须由学生个人独立完成，教师既要做好监督，也要通过巡视了解学生对本章知识的掌握运用情况；2、师生共同纠错，并根据巡视情况做有针对性的指导.【参考答案：1.B 2.C 3. D 4.(2x +3)(2x -3) 5.23(2)y x y +6. 解：（1）322244(44)(2)ab ab ab ab b b ab b -+=-+=-（2）222222()()()()()()m x y n y x m x y n x y x y m n -+-=---=--()()()x y m n m n =-+-．】四、课堂小结，知识升华师：通过以上各专题的学习和研讨，你一定领悟到不少解决本章热点考点问题的技能了吧！请大家各自总结一下，然后共同分享一下！生：我懂得了……我收获了……我的疑惑是……师：总结归纳形成解题通法.设计意图：复习课大多是学生自主探究、交流、提高的过程，教师只做点拨.因此，小结的过程不妨大胆交给学生，听听学生的感悟、体会，以便教师更好的了解学生学习经验的获得情况.由学生发言，为他们提供一个互相交流的平台，让学生养成反思与总结的习惯，培养学生的语言概括能力.五、当堂检测，达成目标1. 多项式22361836a b a b x ab -+的公因式是（ ）A 、2abB 、6a 2bC 、6ab 2D 、6ab2.（2012，贵州黔南州）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A 、x 2－xyB 、x 2＋xyC 、x 2－y 2D 、x 2＋y 23.（2012，湖北恩施）a 4b －6a 3b ＋9a 2b 分解因式的正确结果是A 、a 2b (a 2－6a ＋9)B 、a 2b (a ＋3)(a －3)C 、b (a 2－3)2D 、a 2b (a －3)24.（2012，临沂）分解因式：a －6ab ＋9ab 2＝ .5.请写出一个三项式，使它能先“提公因式”，再“运用公式”来分解.你编写的三项式是________，分解因式的结果是________．6.已知x 2－y 2=69，x +y =3，则x －y =______．7.已知x ，y 是不相等的正数，试比较2()x x y -与2()y x y -.处理方式：给学生8分钟时间独立完成，教师认真监考，学生完成后教师出示答案，学生互换批改，然后更正；教师要收集学生答题信息并作出分析，为下一步教学提供依据.【参考答案：1.D 2.C 3.D 4.a (3b －1)2 5.答案不唯一，如：231212x x ++ 23(2)x + 6. 23 7. 解：2222()()()()x x y y x y x y x y ---=--2()()x y x y =+-.因为x ，y 是不相等的正数，所以x y +＞0，2()x y -＞0.所以2()()x y x y +-＞0.因此)(2y x x -＞)(2y x y -.】六、分层作业，强化目标必做题：课本 第61页 复习题 第2题.选做题：课本 第62页 复习题 第4、5题.课下探究：试说明：无论a ，b 为何值时，代数式2223a b ab -+的值均为正值．【答案：解：2223a b ab -+2()212ab ab =-++2(1)2ab =-+．因为2(1)ab -≥0， 所以2(1)2ab -+≥2．因此代数式2223a b ab -+的值均为正值．】设计意图：学生自由选择完成作业，让每个学生都有成就感，增强了学生学习数学的信心，在面向全体学生的同时，让不同学生得到不同发展．板书设计教学反思优点：本节课通过课前知识网络的整理、课堂展示讲解的过程及师生反思，为学生提供展示自己的机会，充分体现“以学生为主体，注重学生的自主探究与合作交流”的新课程理念，更利于教师在此过程中发现学生的闪光点以及思维的误区，以便指导今后的教学.本节课“专题设置”的内容较为全面典型，容括了分解因式的常见题型并且重点突出，便于学生整体把握分解因式的方法和技巧．在专题讲解的过程中，师生反思作为每一例题必备环节，培养了学生归纳总结能力及运用意识.在本节课中注重从近几年的中考试题中精选典型题目充实到课堂中来，增强学生对考点的把握能力，积累经验．同时，通过2012中考题的展示，让学生了解中考考试信息，增强了学生学习数学的信心.不足及改进建议：本节课堂教学容量相对来说较大，学生的自主学习和合作交流讨论的时间较为紧张，对后进生照顾不够. 基于以上的认识与反思，在今后的教学中逐步推进分层教育教学模式，为不同层次的学生精心设计合理的题型和题量，让班级中每位学生都有所收获，真正实现“不同的学生在数学上得到不同的发展”的目标.。
北师大版八年级下册数学：第四章 因式分解 回顾与思考
a
a
b
b
b
a2-b2=(a+b)(a-b)
活学活用
1.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积 相差960cm2.求这两个正方形的边长。
解：设正方形Ⅰ的边长为x cm,正方形Ⅱ的边长为y cm;
列方程得：4x 4 y 96 化简得：x y 24
我是纠错小能手
• 喜洋洋同学做了下列几题因式分解你帮他 看看是否正确？如果不正确，应怎样改正
• （1）2x3-4x2+2x=2x(x2-2x) • (2)-a2+ab-ac=-a(a-b-c) • (3)a2-4b2=(a+4b)(a-4b) • (4)p4-1=（p2-1)(p2+1) • (5)a2-2a-8=a(a-2)-8
典型例题
• 例1：将下列各式因式分解： • （1）5a2-45b2 • (2)2a2b-ab-a3b • (3)a4-8a2b2+16b4 • (4)6(x-2)+2x(2-x) • (5)(2n+1)2-(n+2)2 • (6)(x2-4)2-10(x2-4)+25
想一想
• 通过上面的例题你认为因式分解要注意什 么？
你能想办法把下列各 式因式分解吗？
• （1）a2-b2+ac-bc
永攀高峰
• （2）x2-2xy+y2-1
谈收获
• 通过本节课的学习你有什么收获？和同学 们交流一下。
只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不 了的东西.
——塞内加
作业
• 完成书上复习题
形式，另一项是其余两项 底数积的2倍 • （3）两平方项的符号一致 • 用字母表示为：
北师大版八年级数学下册第四章因式分解《因式分解》回顾与思考教学设计
-从练习题中选取3道题目进行详细解答，要求步骤清晰、符号准确。
2.提高作业：
-设计一道综合性的因式分解题目，要求学生运用所学知识解决问题。
-分析并解答一道实际应用题，让学生体会因式分解在生活中的应用。
3.拓展作业：
作业要求：
1.学生需独立完成作业，认真思考，确保作业质量。
2.家长督促孩子按时完成作业，关注学习进度。
3.教师将对作业进行认真批改，及时反馈，帮助学生发现并解决问题。
4.结合实际应用，展示因式分解在解决问题中的价值，提高学生的数学应用意识。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
1.因式分解的常用方法及其适用条件。
2.如何灵活运用因式分解解决实际问题。
3.在因式分解过程中，如何避免常见的错误和困惑。
4.分享各自在因式分解学习中的心得体会和成功经验。
-自我评价：鼓励学生进行自我反思，总结学习过程中的收获和不足，不断调整学习方法。
4.教学策略：
-对于学习困难的学生，提供个别辅导，加强基础知识的学习，提高他们的自信心。
-对于学习优秀的学生，设计具有挑战性的题目，鼓励他们深入探究，培养创新思维。
-创设开放性的学习环境，让学生在轻松的氛围中学习，减少学习压力。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解《因式分解》回顾与思考教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解因式分解的概念，掌握因式分解的基本方法，如提公因式法、平方差公式、完全平方公式等；
2.能够运用因式分解解决实际问题，如求解多项式方程、简化代数表达式等；
新北师大版八年级数学下册《四章 因式分解 回顾与思考》教案_8
《因式分解》复习课教案
一．总体回顾
举例说明什么是因式分解。
因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解用的方法有哪些？
交流展示本章的知识结构图。
二．归纳总结
1.思维导图展示
2.纠错练习，下列因式分解是否正确，并进行改正。
（1）原因：
（2）原因：
（3）原因：（4）原因：
（5）原因：
3.将下列多项式进行因式分解
总结：因式分解的一般步骤
______________________________________.
三．活学活用
1.如果x+y=-4,x-y=8,则
2.若则m=
3.已知，求x和y的值。
4通过本章学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解。
假设我们有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：
(1)如果取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，你能通过
拼图形象地说明多项式a2+3ab+2b2的因式分解吗？拼出图形，并根据图形写出因式分解的结果。
(2)如果取1号、2号、3号卡片分别为1张、3张、4张，你能通过拼图形象地说明一个怎样的多项式的因式分解？拼出图形，并根据图像写出因式分解的结果。
四：课堂小结。
北师大版初二数学下册《第四章 因式分解---回顾与思考》课件
⑴
⑵
解：原式
解：原式
⑶
解：原式
⑷
解：原式
可以先化简整理，再 考虑用公式或其它 方法进行因式分解。
小试牛刀
练一练：把下列各式分解因式 ⑴
解：原式
⑵
解：原式
连续两次使用公式 法进行分解因式。 当多项式形式上是二 项式时，应考虑用平 方差公式，当多项式 形式上是三项式时， 应考虑用完全平方公 式。
知识点四：综合运用多种方法分解因式 例4.把下列各式分解因式
解：
• 例7.已知 解：
，求
的值。
，求
的值。
• 例8.计算下列各式：
你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？ 请你利用你找到的简便方法计算下式：
能力提升
知识点六：分解因式的实际应用
例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，机械加工时冲去半径为r的四个小 圆． （1）用代数式表示剩余部分的面积； （2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．
解：(1)S=πR2 –4πr2
(2)当R=7.5，r=1.25时， S=πR2 –4πr2 =π(R+2r)(R –2r) =π(7.5+2×1.25)(7.5 –2×1.25) =π×10×5=50π
活学活用
1.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积 相差960cm2.求这两个正方形的边长。
1 n2
).
针对训练
7、当x取何值时，多项式 x2 2x 1取得最小值。
提公因式法
平方差公式
运用公式法 完全平方公式
如果把乘法公式反过来，那 么就可以用来把某些多项式 分解因式，这种分解因式的 方法叫做运用公式法。
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课题：第四章回顾与思考授课人：市中区徐利华课型：复习课授课时间：2014年5月5日，星期一，第1、2 节课教学目标：1．使学生进一步了解分解因式的意义及因式分解的常用方法；2．提高学生因式分解的基本运算技能；3.通过因式分解的综合练习,进一步培养学生的观察、分析问题的能力．教学重点：会用提公因式法、公式法进行因式分解．教学难点：本章知识的综合性应用．教法学法：本节课以学生活动为主，引入竞争机制，创造一种学生积极参与的学习环境．我通过设置“主动展示—归纳总结—例题解析—拓展应用”四个递进的活动，来引导学生展示知识结构图、归纳本章知识体系、总结分解因式的一般步骤、理解分解彻底的含义，并在教学中充分利用学生的想法和语言，帮助学生形成分解因式的基本技能和基本能力，体验成功的快乐，使学生更加投入的学习．课前准备：学生课前准备：梳理本章相关知识；教师课前准备：多媒体课件.教学过程：一、梳理知识形成体系师：同学们，第四章内容我们学习完了，昨天我已经请大家梳理本章知识进行并试着画出本章的知识结构图，这节课我们就来对本章知识进行总结.【教师板书课题：4.4 回顾与思考】【实物投影】由学生主动展示所画的知识结构图并投影.（师生共同评价，结合学生的知识结构图，师生在黑板上逐步绘制本章知识结构图．）mn mn n m 1892722-+-【设计意图】学生通过绘制本章知识结构图，将本章的主要知识点串联起来，形成体系.这样既能培养学生归纳整理的能力，又能促进学生相互学习，完善知识结构.让学生主动展示，一方面能让学生以自己喜欢的方式展示所学知识，另一方面也能体现出对学生个性发展的尊重.二、典型例题解析考点1：对分解因式概念的理解例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ ）. A. B. C.D. 【设计意图】题目简单，要求学生抢答，通过例题引导学生说出每一选择支错和对的理由，加深学生对因式分解概念的认识.考点2：利用提公因式法分解因式 例2.把下列各式分解因式 (1) (2) 考点3：利用公式法分解因式 例3. 把下列各式分解因式 (1) (2) (3)(4) 【设计意图】两道例题由学生独立完成，并且进行分组比赛，目的有三个，一是加强学生对因式分解的)11(1))(()21(4414)3(4322222xx x y x y x y x x x x y y y y -=--+=--=+---=--23)1(2)1(4-+-b b b 22)()(n m n m --+4932++x x abb a 8)2(2+-25)(10)(2++-+y x y x基本技能训练；二是增强学生在分解因式过程中运用整体思想进行运算，三是创造一个积极的学习气氛． 注意事项：前五题学生应该完成得较好，最后一题，可能有的学生处理时显得有些茫然，教师在讲解时，应引导学生先化简整理，再考虑用公式或其它方法进行因式分解. 跟踪练习：把下列各式分解因式（1）（a 2+4）2–16a 2（2） 【设计意图】连续两次使用公式法进行分解因式.当多项式形式上是二项式时，应考虑用平方差公式，当多项式形式上是三项式时，应考虑用完全平方公式. 考点4：综合运用多种方法分解因式 例4.把下列各式分解因式 （1） （2） （3） （4）师：同学们仔细观察，例4和例2、例3有没有区别？生：有，例2和例3适用解题方法比较单一，不是提公因式法，就是公式法，而例4好像是综合运用. 师：观察的非常仔细.以后大家做分解因式时，应先观察是否有公因式，若有，则先提公因式，若没有，则考虑公式法，另外还要注意分解是否彻底. 生：（学生尝试独自完成例题4） 师：（集体讲评，规范解题过程的书写）师：从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢? 生：分解因式的一般步骤为（1）先观察，若多项式各项有公因式,则先提取公因式；（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式； （3）每一个多项式都要分解彻底. 师：(追问)你是怎么理解分解彻底的？ 生：分解彻底，就是不能再分. 师：（追问）怎么评价不能再分？生：对分解后的每一个因式进行衡量，直到不能提公因式、运用公式为止. 师：说的精彩，大家以后要按这个标准分解因式.44222yx y x --xx 43-)1()1(2)1(2222-+-+-y y x y x )1(4)(2-+-+b a b axz z y x 449222++-【设计意图】进一步巩固因式分解的方法，提升因式分解的技能.在讲评中，注意让学生明确因式分解的基本步骤与应注意的问题，第四题是对因式分解较高要求，只是提供给学有余力的学生. 考点5：运用分解因式进行计算和求值 例5.利用分解因式计算（1）20112-2011×4024＋20102（2）3.14×5.52-3.14×4.52（3）已知x +y =1，求222121y xy x ++的值． 【设计意图】通过运用因式分解进行简便计算，解决实际问题，进一步让学生体会因式分解的价值，进一步感受因式分解的必要性，提高运用因式分解解决问题的能力.三、拓展应用师：本章的五个考点我们已复习完，大家通过例题解析和跟踪练习对本章知识进行了归纳和总结，不知同学们是否真正掌握？下面我们来做一组练习： 1.当x 取何值时，x 2+2x +1取得最小值？2.当k 取何值时，100 x 2-kxy +49y 2是一个完全平方式？ 3.计算 【设计意图】通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求．第1题主要考察学生对完全平方式的掌握，中等程度以上的学生都应该能解答；但第2题有两种情况需要考虑，部分学生被负号所迷惑只写了一个答案.第3题主要考察学生利用因式分解进行简便运算.四、师生交流，归纳小结师：本节课我们复习了分解因式五个考点，巩固了分解因式的两种方法，并总结分解因式的一般步骤，理解了分解彻底含义．相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写在导学案上．我掌握了分解因式的方法： ； 我总结了分解因式的一般步骤： ；我理解了分解彻底的含义： ； 我还懂得了： ． 学生写完后，全班交流各自的收获和心得．教师及时点评，鼓励．【设计意图】课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识，写下来更能加深印象．).11)...(1011)(911)...(411)(311)(211(222222n ------五、达标检测，反馈新知出示达标题目限时10分钟练习 A 组（必做题）：1. 把代数式29xy x -分解因式，结果正确的是（ ） Ａ．2(9)x y -Ｂ．2(3)x y +Ｃ．(3)(3)x y y +-Ｄ．(9)(9)x y y +-、2. 将整式29x -分解因式的结果是（ ） A ．2(3)x -B ．(3)(3)x x +-C ．2(9)x -D ．(9)(9)x x +-3. 分解因式：2(3)(3)x x +-+=___________． 4因式分解： 2(2)(3)4x x x +++-= . 5. 当k = 时，100x 2–kxy +49y 2是一个完全平方式； B 组（选做题）：6. 把a 4－2a 2b 2＋b 4分解因式，结果是（ ）A 、a 2(a 2－2b 2)＋b 4B 、(a 2－b 2)2C 、(a －b )4D 、(a ＋b )2(a －b )27. 把代数式 322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+ C ．2(3)x x y - D ．23()x x y - 8. 先分解因式，然后计算求值：（a 2+b 2－2ab ）－6（a －b ）+9，其中a =10000，b =9999。
【设计意图】设计分层训练，基础题要求全部学生掌握，提高题要求有能力的学生掌握，这样既满足了不同学生的需求，也便于老师及时地了解学生的情况.教师可以根据学生的情况选择课堂练习或留作家庭作业.六、布置作业必做题：课本P 104 复习题 第3、4、5、7题. 选做题：课本P 104 复习题 第6、12、15题.【设计意图】作业分为必做题与选做题，必做题能使学生课下将所学知识进一步巩固，并得以反馈，选做题有点难度，程度好的学生可以顺利完成，程度差的学生需要在老师或同学的帮助下完成.板书设计：教后反思：优点：本节课由学生通过课前知识的梳理、课堂展示的过程及师生共同评价，为学生提供展示自己的机会，充分体现“以学生为主体，注重学生的自主探究与合作交流”的新课程理念，更利于教师在此过程中发现学生的闪光点以及思维的误区，以便指导今后的教学.本节课“考点”的内容较为全面典型，包括概念理解、方法巩固、延伸拓展等，并且重点突出，便于学生整体把握每一类题型的方法和技巧．在典型例题讲解的过程中，师生反思作为每一例题必备环节，培养了学生归纳总结能力及运用意识.再教建议：本节课堂教学容量相对来说较大，学生的自主学习和合作交流讨论的时间较为紧张，对后进生照顾不够. 基于以上的认识与反思，在今后的教学中逐步推进分层教育教学模式，为不同层次的学生精心设计合理的题型和题量，让班级中每位学生都有所收获，真正实现“不同的学生在数学上得到不同的发展”的目标..。