算术基本定理描述
人教版高中数学选修4-6《初等数论：算术基本定理》
第六节 算术基本定理
推论2 设正整数a与b的标准分解式是
a p1 p2 pk q1 ql , b p1 p2 pk r1 rs
1 2 k 1 s
1
2
k
1
l
其中pi(1 i k)，qi(1 i l)与ri(1 i s)是两 两不相同的素数，i，i(1 i k)，i(1 i l) 与i(1 i s)都是非负整数，则
1 2
任何大于1的整数n可以
k
n p1 p2 pk
，
(2)
2, , k是正整数。
证明 由引理1，任何大于1的整数n可以表示成 式(2)的形式，因此，只需证明表示式(2)的唯 一性。
第六节 算术基本定理
假设pi（1 i k）与qj（1 j l）都是素数，
p1 p2 pk，q1 q2 ql，
n = p1p2pm， (1) 其中pi（1 i m）是素数.
第六节 算术基本定理
引理1 即 任何大于1的正整数n可以写成素数之积，
n = p1p2pm，
其中pi（1 i m）是素数。 证明 当n = 2时，结论显然成立。
(1)
假设对于2 n k，式(1)成立，我们来证明式(1) 对于n = k 1也成立，从而由归纳法推出式(1) 对任何大于1的整数n成立。
[a, b] p p p ， i max{ i , i }， 1 i k。
1 1
1 2
k k
第六节 算术基本定理
推论3 设a，b，c，n是正整数，
ab = cn ，(a, b) = 1，
则存在正整数u，v，使得
(5)
算术基本定理和欧拉定理
算术基本定理和欧拉定理是数论中两个非常重要的定理，它们在数论研究中有着广泛的应用和深远的影响。
本文将介绍这两个定理的数学原理和相关应用。
首先来看算术基本定理。
算术基本定理，又被称为质因数分解定理，它指出任何一个大于1的整数，都可以被唯一地表示为几个质数的乘积。
简单来说，就是一个数可以被因数分解为质因数的乘积。
例如，24可以分解为2的3次方和3的1次方，即24=2^3 × 3^1。
这种分解的方式是唯一的，也就是说质数分解是唯一的。
算术基本定理可以帮助我们解决一些数论问题。
例如，我们可以通过质因数分解来判断一个数是否为质数。
如果一个数只能被1和它本身整除，那么它就是一个质数。
我们可以将这个数进行质因数分解，如果只有一个质因数，那么这个数就是质数。
另外，算术基本定理还可以用于求一个数的因数个数。
通过质因数分解，我们可以得到一个数的所有质因数及其指数，将每个指数加1后相乘，即可得到该数的因数个数。
接下来介绍欧拉定理。
欧拉定理是一个与模运算有关的定理，它通过模运算来描述了指数运算的一些性质。
具体来说，欧拉定理指出对于任何正整数a和模数n，如果a和n互质（即a和n没有公共质因数），那么a的φ(n)次方模n 的结果等于1，其中φ(n)表示小于n且与n互质的数的个数。
欧拉定理有许多重要的应用。
首先，它可以用于快速求幂运算的模运算结果。
对于给定的底数a、指数b和模数n，欧拉定理可以帮助我们将指数运算转化为模运算，从而减少运算量，提高运算效率。
其次，欧拉定理在密码学中应用广泛。
基于欧拉定理的RSA加密算法是目前最常用的公钥加密算法之一。
在RSA 加密算法中，选取两个不相等的质数p和q，并计算它们的乘积n=p×q，然后选择一个整数e，使得e与φ(n)互质。
e和n的组合就是公钥，而p、q和一些已知的信息则是私钥。
欧拉定理的性质保证了在公钥和私钥之间的转换是可逆的，从而实现了安全的通信。
总而言之，算术基本定理和欧拉定理是数论中的两个重要定理。
算数基本定理
算数基本定理
一.定理含义：
算术基本定理，欧几里得提出的数学定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。
二.定理内容：
任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积N=（P_1^a1）*（P_2^a2）……（P_n^an），这里P_1<……质数，其诸方幂ai是正整数。
这样的分解称为N的标准分解式。
三.定理应用：
（1）一个大于1的正整数N，如果它的标准分解式为：N=
（P_1^a1）*（P_2^a2）……（P_n^an）
那么它的正因数个数为（1+a1）（1+a2）……（1+an）。
（2）它的全体正因数之和为d（N）=（1+p_1+……p_1^an）（1+p_2+……p_2^a2）……（1+p_n+……+p_n^an）
当d（N）=2N时就称N为完全数。
是否存在奇完全数，是一个至今未解决之猜想。
（3）利用算术基本定理可以重新定义整数a和b的最大公因子（a，b）和最小公倍数[a，b]，并证明ab=（a，b）[a，b]。
（4）此外还可证明根号2是无理数等等（毕达哥拉斯）。
（5）证明素数个数无限。
算术基本定理
算术基本定理关于质和计算基本定理的问题一、知识大于1的整数n总有两个不同的正约数：1和n.若n仅有两个正约数（称n没有正因子），则称n为质数（或素数）.若n有真因子，即n可以表示为a⋅b的形式（这里a,b 为大于1的整数），则称n为合数.正整数被分为三类：数1，素数类，合数类关于素数的一些重要理论1.大于1的整数必有素约数.2.设p为素数，n为任意一个整数，则或者p整除n，或者p与n互素. 事实上，p与n的最大公约数(p,n)必整除p，故由素数的定义推知，或者(p,n)=1，或者(p,n)=p，即或者p与n互素，或者p|n.3.设p为素数，a,b为整数.若p|ab，则a,b中至少有一个数被p整除. 事实上，若p 不整除a和b，由性质2知，p与a和b均互素，从而p与ab互素。
这与已知的p|ab矛盾.特别地：若素数p整除an(n≥1)，则p|a4.定理1 素数有无限多个 (公元前欧几里得给出证明)证明：（反证法）假设只有k个素数，设它们是p1，p2，，pk。
记N=p1p2 pw+1。
（N不一定是素数）由第一节定理2可知，p有素因数p，我们要说明p≠pi,1≤i≤k从而得出矛盾事实上，若有某个i,1≤i≤k使得p≠pi,则由p|N=p1p2 pw+1推出p|1，这是不可能的。
因此在p1，p2，，pk之外又有一个素数p，这与假设是矛盾的。
所以素数不可能是有限个。
5.引理1 任何大于1的正整数n可以写成素数之积，即n=p1p2 pm (1)其中pi,1≤i≤m是素数。
证明当n=2时，结论显然成立。
假设对于2≤n≤k，式(1)成立，我们来证明式(1)对于n=k+1也成立，从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数n成立。
如果k+1是素数，式(1)显然成立。
如果k+1是合数，则存在素数p与整数d，使得k+1=pd。
由于2≤d≤k，由归纳假定知存在素数q1,q2, ql，使得d=q1,q2, ql，从而k+1=pq1,q2, ql。
算术基本定理及其应用
算术基本定理及其应用李涛(广州大学数学与信息科学学院2010级博士生，510006)中图分类号：0156．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)07一O006—04(本讲适合高中)1基础知识1．1算术基本定理每个大于l的正整数均可分解成有限个质数的积．如果不计质因子在乘积中的次序，则其分解方式是唯一的，即It=p?’p；2…p≯，其中，P。
为质数，ai∈N+(i=l，2，…，k)．1．2正整数n的正约数的个数及正约数的和记r(，1)是凡的正约数的个数，6(几)是n 的正约数之和，且n的标准分解式为I t=p?1p≯…p≯，贝0r(I t)=(al+1)(a2+1)…(aI+1)，6(，1)=(1+pl+…+p71)(1+p2+…+p笋)…(1+p上+…+p：‘)pP+1—1p}+1—1p≯+1一IPl—l P2一l P^一l。
2算术基本定理的应用2．1若题目中涉及到正因数个数问题，先考虑算术基本定理例I设n为正整数．证明：若n的所有正因子之和是2的幂，则这些正因子的个数也是2的幂．¨1(2009，中欧数学竞赛)证明设／7,=p11醇甲≯，其中，P。
，P2，…，P。
为不同质数，s i∈N+(i=I，2，…，J})．则It 的所有正因子之和可表示为(I+pl+…+p：1)(1+p2+…+p孑)…(1+pI+…+p≯)．收稿日期：2010一06一04若它是2的幂，则它的因子Z=l+pi+p；+…+p：‘(i=l，2，…，||})也是2的幂．因此，所有的Pi、s。
均为奇数．若存在s i>l，则Z=(1+pi)(1+p；+p：+…+p?一1)．又由于Z不含大于l的奇因子，故偶数s i—l必为4J|}+2的形式．于是，Z=(1+p‘)(1+p；)(1+p：+…+p?一3)．由于l+pi和l+p；均为2的幂，故(1+pi)I(1+p；)，这与l+p；=(1+pi)(Pj—I)+2矛盾．因此，必有si=I(i=l，2，…，五)．故n的正因子的个数也是2的幂．例2设一个正整数满足下列性质：其所有模4不余2的正因数之和等于l000．求满足上述性质的所有正整数．拉J(2008，日本数学奥林匹克)解对于正整数n，设S(I t)为，l的所有模4不余2的正因数的和，假设凡的质因数分解为2’Pp≯一"Pk(m、m i∈N+，i=l，2，…，后)．因为一个整数模4余2等价于其恰被2整除，所以，S(n)是所有形如l。
北师大版高中数学选修4-6初等数论初步：算术基本定理
新知练习
练习1 写出下列各数的标准素因数分解式。
（1）350 （3）650
（2）420 （4）780
解：（1）350=2×5×5×7=2×5 2×7. （2）420=2×2×3×5×7=2 2×3×5×7. （3）650=2×5×5×13=2×5 2×13. （4）780=2×2×3×5×13=2 2×3×5×13.
新知学习
继而我们可以推出以下结论： 任一大于1的正整数m=p1 a1 p2a2 …psas ， 我们把上式称为m的标准素因数分解式。 其中mi（i=1,2，…，s）为正整数，p1， p2，…，ps为素数，且满足p1＜p2＜…ps.
新知学习
例1 把下列合数分解素因数，并写出其标 准素因数分解式。
（1）160 （3）360
新知练习
在441以内且与441互素的数有： 441-（147+63）+21=252个。 （4）1225=5 2×72 ，所以与441互素的数同时 也与5,7互素。 5的倍数有： 1225÷5=245个； 7的倍数有： 1225÷7=175个；
新知练习
35的倍数有： 1225÷35=35个； 在1225以内且与1225互素的数有： 1225-（245+175）+35=840个。
新知练习
练习3 计算。
（1）ψ （144） （2）ψ （108） （3）ψ （441） （4）ψ （1225）
解：（1）144=2 4×32 ，所以与144互素的数同 时也与2,3互素。 2的倍数有： 144÷2=72个； 3的倍数有： 144÷3=48个；
新知练习
6的倍数有： 144÷6=24个； 在144以内且与144互素的数有： 144-（72+48）+24=48个. （2）108=2 2×33 ，所以与144互素的数同时也 与2,3互素。 2的倍数有： 108÷2=54个；
算术基本定理质数公式
算术基本定理质数公式算术基本定理是数论中的一个重要定理，它为我们理解整数的结构和性质提供了关键的基础。
而质数公式，则是在这个定理的基础上，数学家们一直追寻和探索的神秘领域。
咱先来说说算术基本定理。
它告诉我们，任何一个大于 1 的整数，都可以唯一地分解成质数的乘积。
比如说12 吧，它可以分解成2×2×3。
这里的 2 和 3 就是质数。
你看，通过这种分解，我们就能更清楚地了解一个整数的“构成成分”。
那质数又是什么呢？质数就是那些只能被 1 和它本身整除的数。
比如说 2、3、5、7 等等。
可别小看这些质数，它们就像是整数世界的“基石”，构建出了整个算术的大厦。
记得我之前教过一个小学生，他对于质数和算术基本定理那是一脸懵。
我就拿分糖果的例子给他解释。
假设我们有 18 颗糖果，要平均分给小朋友。
那我们就得想想 18 可以怎么分。
18 可以是 2×9，也可以是3×6。
但是 2、3 这些数，它们除了 1 和自己，就不能再被别的数整除啦，这就是质数的特点。
通过分糖果这个具体的事儿，这孩子慢慢地就对质数有了点感觉。
再说回质数公式。
虽然到现在还没有一个能完美找出所有质数的简单公式，但数学家们可一直没放弃努力。
就像在黑暗中摸索，一点点地靠近那光明的答案。
在研究质数公式的过程中，有很多有趣的发现。
比如说，质数的分布看起来似乎毫无规律，但又隐隐有着某种神秘的秩序。
有时候，连续好几个数都不是质数，然后突然又冒出一个来，就像是在和我们捉迷藏。
对于我们普通人来说，了解算术基本定理和质数公式可能不会直接改变我们的生活，但它能锻炼我们的思维，让我们学会用更严谨、更有逻辑的方式去思考问题。
就好比我们在搭积木，每一块积木都有它的位置和作用，而算术基本定理和质数公式，就是帮助我们找到那些最关键的积木，搭出漂亮的“数学城堡”。
想象一下，如果有一天真的找到了一个超级厉害的质数公式，那对数学界乃至整个科学界的影响可就太大啦！密码学、计算机科学等领域都可能因此发生巨大的变革。
算术学基本定理
算术学基本定理算术基本定理是指在自然数范围内，每个大于1的自然数都可以唯一地表示为若干个质数的积，质数是指只有1和本身两个因数的自然数。
这个定理是数学中的一条重要定理，不仅在初中、高中数学教育中会涉及到，也在更高层次的数学研究中起着重要作用。
这个定理是由欧几里得证明的，也是数学历史上最重要的定理之一。
欧几里得在他的《几何原本》中所提到的定理，实际上就是算术基本定理。
这个定理通常是通过数学归纳法和反证法来证明的。
使用算术基本定理，我们可以对自然数进行因数分解，并找到他们的因数。
例如，假设我们要对数字18进行因数分解。
首先，我们知道质数是2、3、5、7、11、13、17、19等等，然后我们可以将数字18分解为2和9的乘积，然后再将9分解为3和3的积。
因此，数字18的因数分解为2 x 3 x 3。
利用算术基本定理，我们可以更容易地计算最大公因数和最小公倍数。
如果我们要计算数字12和30的最大公因数，我们可以将它们分别因数分解为2 x 2 x 3和2 x 3 x 5，然后找到它们的共同因子，即2和3。
这两个数字的最大公因数是6。
同样地，如果我们要计算数字12和30的最小公倍数，我们可以将它们分别因数分解为2 x 2 x 3和2 x 3 x 5，然后找到它们的共同因数和非共同因数的最小乘积，即2 x 2 x 3 x 5，这两个数字的最小公倍数是60。
算术基本定理的一个重要应用是RSA公钥密码系统，它是一种常见的加密算法，在计算机安全领域被广泛应用。
该算法基于算术基本定理的原理，利用两个大质数的乘积作为公钥，以及与两个大质数的积互素的一个随机数作为加密密钥。
因此，只有拥有私钥的用户才能够解密该信息。
总之，算术基本定理在数学中起着重要作用，可以用来进行因数分解，计算最大公因数和最小公倍数，以及实现RSA公钥密码系统等等。
如何有效利用算术基本定理可以帮助我们在数学领域获得更多的成就。
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定理1
设a是任一大于1的整数, 则a的除1外最小正因数q是一质数, 并且当a是合数时, q a .
证明 : 假设q不是质数,由定义, q除1及本身外还有一正因数q1 ,因而1 q1 q, 但q a , 所以q1 a , 这与q是a的除1以外的最小正因数矛盾, 故q是质数. 当a是合数时, 则a a1q, 且a1 1, 否则a是质数,由于q是a的除1外的最小正因数, 所以q a1 , q qa1 a, 故q a .
1 2 n
i i , i 1, 2, , n的形式.
证明 : 若d a , 则a dq, 又a的标准分解式是唯一的, 故d的标准分解式中出现的质数 都在p j (1 j n)中出现, 且p j 在d的标准分解式中出现的指数 j j . 反过来, 当 j j时, 显然d 整除a.
证明 : 假设a1 , a2 , , an都不能被p整除, 则由定理2, ( p, ai ) 1, i 1, 2, , n. 因此( p, a1a2 an ) 1, 这与p a1a2 an 矛盾, 故结论成立.
定理3
任何大于1的正整数a可以写成素数之积, 即a p1 p2 pn , 其中pi (1 i n)是素数.
i
• 例3 证明:(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)].
证明 : 设a pii , b pii , c pi i ,
i 1 i 1 i 1
kkBiblioteka k其中p1 , p2 , , pk 是互不相同的素数, i , i , i 0. (a,[b, c]) pi ,[( a, b), ( a, c)] pi ,1 i k ,
定理4(算术基本定理)
n 1 2 任何大于1的整数a可以唯一地表示成a p1 p2 pn , (1)
其中p1 , p2 ,, pn是素数, p1 p2 pn , 1 , 2 ,, n是正整数.
证明 :由定理3知, 任何大于1的整数可表示成(1)的形式, 因此, 只需证明(1)式的唯一性. 假设pi (1 i n)与qi (1 i k )都是素数, p1 p2 pn , q1 q2 qk . 且a p1 p2 pn q1q2 qk , p1 a q1q2 qk , 则必有某个q j , 使得p1 q j , 从而p1 q j . 同理, 又有某个pi , 使得q1 pi , 所以q1 pi . 又p1 p2 pn , q1 q2 qk , 可知p1 q1. 从而重复上述这一过程, 得到n k , pi qi , 所以结论成立.
定义及推论
使用定理4中的记号, a p1 p2 pn , 是a的标准分解式.
1 2 n
推论4.1
设a是一个大于1的整数,
1 2 n
且a p1 p2 pn , i (i 1, 2, , n)是正整数, 则a的正因数d 可以表示成d p1 p2 pn ,
i i
i 1 i 1 k k
i min{ i , max{i , i }}, i max{min{ i , i }, min{ i , i }},
不妨设i i , 则i min{ i , i }, 又 min{ i , i } min{ i , i }, i min{ i , i } i , ( a,[b, c]) [( a, b), ( a, c)].
推论4.2
设a, b是任意两个正整数, 且a
1 2 n 1 2 n p p p ,
1 2 n
b p1 p2 pn , i 0, i 0, i 1, 2, , n. 则(a, b)
1 2 n p p p ,[a, b]
1 2 n
1 2 n p p p ,
2
定理2
• 若p是一质数,a是任一整数,则a能被p整除或 p与a互质.
证明 : 因为( p, a) p , ( p, a ) 0, 由质数的定义( p, a) 1, 或( p, a) p, 则( p, a) 1或p a.
推论
设a1 , a2 ,, an是n个整数, p是质数, 若p a1a2 an , 则p一定能整除某一个ai .
例题
• 例1 写出51480的标准分解式.
解 : 51480 2 3 5 1113.
3 2
• 例2 证明:在1,2,…,2n中任取n+1个数,其中 至少有一个能被另一个整除.
证明 : 记i 2 i , 2 | i , i 1, 2,, 2n, 则i为1, 2,, 2n中的奇数, 即i只能取n个数值, 在n 1个这样的数中, 必存在i j (i j ), 于是易知i与j成倍数关系.
1 2 n
其中 i min{ i , i }, i max{ i , i }, i 1, 2, , n.
注:相关结论
已知a
1 2 n p p p 是a的标准分解式,
1 2 n
则a的不同的正约数的个数等于 (1 1 )(1 2 ) (1 n ).
证明 : 当a是素数时, 定理成立. 当a是合数时, 则必存在素数p1 , 且1 p1 a , a p1a1 , (1 a1 a ). 若a1是素数, 则可知定理成立; 若a1是合数,同理, 则必有素数p2以及适合1 a2 a1的正整数a2 , 使a p1 p2 a2成立. 由于a是有限的, 所以有限次地重复上述过程可得a p1 p2 pn , 其中p1 , p2 , , pn均为素数.