§9.5矩形截面杆的扭转
§9.5 矩形截面杆的扭转
学习思路:
应力函数的确定是扭转应力解法的关键。
但是矩形横截面柱体的扭转问题不能采用与椭圆形截面柱体相同的方法建立扭转应力函数。
矩形截面柱体分析的第一步是引入特解，将基本方程—泊松方程简化为拉普拉斯方程。
第二步是将应力函数表达为坐标x和y的函数。
并且根据问题性质，简化应力函数，为求解级数形式表达的应力函数作准备。
第三步是根据面力边界条件确定级数形式的应力函数。
最后，根据应力函数求解横截面切应力表达式。
并且分析横截面切应力分布。
学习要点：
1. 矩形截面柱体的扭转分析；
2. 扭转应力函数；
3. 扭转级数解；
4. 矩形截面柱体扭转切应力；
5. 横截面应力分析
设矩形的边长为a和b，如图所示。
矩形截面杆件的扭转问题，不能像椭圆截面杆件扭转问题一样假设扭转应力函数为
原因很简单，这个应力函数虽然满足ψc＝0，但是泊松方程却不可能满足。
由于根据边界条件难以直接确定满足基本方程的扭转应力函数，因此首先简化扭转问题的基本方程。
对于扭转问题的应力解法，基本方程为泊松方程。
为了简化分析，需要找到泊松方程的特解，将基本方程转化为拉普拉斯方程。
因为拉普拉斯方程求解相对简单。
因为变形协调方程有一个特解，所以设
则变形协调方程转化为
对于柱体的侧面面力边界条件，ψc＝0 ，则要求ψ0满足边界条件
由于柱体横截面是关于坐标轴x和y对称的，而扭矩T是关于坐标轴反对称的，因此横截面切应力必然是与坐标轴反对称的。
所以，设扭转应力函数ψ 0(x,y)为
代入变形协调方程，则
将上式改写为，, 其中λ为任意常数。
根
据
所
以
根据薄膜比拟，矩形横截面切应力是坐标的奇函数，因此应力函数应该为坐标x和y的偶函数。
所以
上式仅是方程的一个特解。
如果将所有特解作线性迭加就是方程的通解，所以 0(x,y)写作
根据边界条件的第二式，有
由于，所以。
因此，。
回代可得
根据边界条件的第一式，有
对于上式两边同时乘以，并在（-b，b）区间积分，可得
所以，应力函数为
根据应力函数表达式，应力分量为
上式中的单位长度扭转角ϕ由端面面力边界条件确定，即
对于上述级数，其收敛很快，取n=0一项分析，则
根据切应力表达式，可以得到矩形横截面的应力分布，
如图所示。
最大切应力发生在矩形长边的中点，即
根据公式,可得单位长度扭转角
和最大扭转切应
力
其中,β 和γ都是仅与比值a/b 有关的参数，这两个因子通过计算可以表示如下：
§9.6 开口薄壁杆的扭转
学习思路:
狭长矩形是指矩形横截面的一边长度远大于另外一边，这个问题有明显的工程意义。
工程结构中广泛使用的形材大多是狭长矩形或者曲边狭长矩形组成的开口薄壁杆件。
根据薄膜比拟，横截面的切应力方向是与狭长矩形的长边一致，而且数值不变。
这个条件使得狭长矩形的扭转切应力公式不难推导，同时，直边与曲边狭长矩形的应力分布是相同的。
对于开口薄壁杆件的扭转切应力分析，首先将开口薄壁杆件分解为一系列的狭长矩形。
这些狭长矩形共同承担截面内力扭矩，并且在扭矩作用下变形。
注意到各个狭长矩形的扭矩之和为外力矩，而相对扭矩角是相同的，可以得到各个狭长矩形的扭转切应力。
开口薄壁杆件的扭转切应力是在理想狭长矩形杆切应力基础上推导的，这个应力不能用于局部应力分析。
原因是开口薄壁杆件扭转切应力公式不能反映应力集中；而且为了减少应力集中的影响，工程型材在矩形与矩形的交接处有圆弧。
对于工程问题，局部应力分析可以查阅相关图表。
学习要点：
1. 狭长矩形的扭转应力；
2. 开口薄壁杆；
3. 开口薄壁杆扭转应力；
4. 局部切应力。
首先讨论狭长矩形的扭转应力，设狭长矩形的长边为a，短边长度为δ，而且a>>δ ，如图所示。
根据薄膜比拟，狭长矩形薄膜的形状沿长边方向基本不变，主要薄膜形状改变在短边方向。
因此可以推断，应力函数在横截面的几乎是不随长度方向变化，因此对应的薄膜形状近似于柱面。
所以可以近似地取
因此狭长矩形杆的扭转变形协调方程可以写作。
这是一个常微分方程，对上式作积分，并注意到边界条件，可得
将上述应力函数代入扭转端面边界条件，可得。
根据公式，有
最大切应力由薄膜比拟可以推论在矩形截面的长边上，其数值为。
单位长度的扭转角为。
上述结论与矩形截面杆件扭转应力分析结果完全一致。
工程结构中经常使用的开口薄壁杆，它们的横截面大都是由等宽度的狭长矩形组成的。
根据薄膜比拟可以想象，假如一个直边狭长矩形和一个曲边狭长矩形，它们具有相同的长度a和宽度δ，如果张在这两个狭长矩形上的薄膜受有相同的压力q和张力T，两个薄膜就与各自边界平面所占的体积V，以及薄膜的斜率大体是相同的。
因此,曲边狭长矩形截面扭杆与直边狭长矩形截面扭杆的扭转切应力是近似的。
所以，以下关于狭长矩形截面扭杆分析同样适用于曲边狭长矩形截面杆件。
如果用a i和δi分别表示开口薄壁杆第i个狭长矩形的长度和宽度，T i表示该矩形面积上承受的扭矩，τi表示该矩形长边中点的切应力，ϕ 为单位长度的扭转角。
则
根据合力条件，开口薄壁杆横截面的扭矩为
根据上述公式，消去ϕ，有。
回代可得
对于狭长矩形长边中点的切应力，上述公式给出了相当精确的解答。
但是需要注意的是：在开口薄壁杆件两个狭长矩形的连接处，由于应力集中，可能发生远大于狭长矩形中点的局部切应力。
开口薄壁杆件的局部应力与比值τmax/τi和ρ/δi有关，如图所示。
τmax是圆角处的最大切应力，τi是用公式计算出的切应力，ρ 是内圆角的曲率半径，δi 是狭长矩形的宽度。
图中列出局部应力与比值ρ/δi的关系。
《杆件的扭转理论天》课件
解析法适用于简单杆件的简单边界条 件，通过数学推导得到精确解。
边界元法是一种与有限元法类似的数 值方法，适用于具有复杂边界条件的 杆件扭转问题。
03
杆件扭转的实验研究
实验设备与材料
扭矩计
用于测量杆件在扭转过程中的扭矩。
不同直径和材料的杆件
用于研究不同参数对杆件扭转的影响。
杠杆
用于固定和支撑杆件，确保其稳定。
采矿工程
矿山的支架、提升机等设备需要考虑杆件扭转问 题，以确保矿山的安全生产和正常运行。
水利工程
大坝、水闸等水利设施需要考虑杆件扭转问题， 以确保水利设施的正常运行和安全性。
05
杆件扭转的研究展望
新型材料的杆件扭转性能研究
总结词
随着新材料技术的不断发展，新型材料的杆件在扭转性能方面具有广阔的研究前景。
全性。
高层建筑
高层建筑的柱、梁等结构部件在风 力、地震等外力作用下，容易发生 杆件扭转，影响建筑物的安全性能 。
建筑加固
对于已经存在的建筑物，如果存在 杆件扭转问题，需要进行加固处理 ，以增强其承载能力和稳定性。
机械系统中的杆件扭转问题
01悬挂系 统等部位需要考虑杆件扭 转问题，以确保车辆的正 常运行和安全性。
通过引入传感器、智能算法和机器学习等技 术，可以实现杆件的智能化监测、控制和优 化设计。例如，利用传感器监测杆件的扭转 状态，通过智能算法分析其力学性能和稳定 性，并根据分析结果进行优化设计。未来研 究可以进一步探索智能化技术在杆件扭转领 域的应用，以提高杆件的设计水平和应用范
围。
THANKS
感谢观看
详细描述
新型材料如碳纤维复合材料、钛合金等具有轻质、高强度等优点，在杆件扭转性能方面表现出 优异的力学性能。未来研究可以探索这些新型材料的杆件在复杂环境下的扭转性能，以及如何 优化设计以提高其扭转刚度和稳定性。
材料力学课件：扭转
B
D
C
12 3
A P
Page4
§3-6 热应力与预应力
扭转
§4-1 引言 §4-2 圆轴扭转应力
Page5
§3-6 热应力与预应力
lT=ll T
B
C
A A’
变形不受限制(静定结构)，杆内未引起应力
Page6
B lT=ll T
CB
C
A’
A
A
变形受到限制(静不定结构)，杆内引起应力
热应力：因温度的变化在杆件内部引起的应力 预应力：由于实际尺寸的误差在杆件内部引起的应力
各
截面的扭矩。
Page20
扭矩图：外扭力矩随杆轴线变化的情况。
M 3ml
m
x
A
B
C
D
l
l/2 l/2
T1 ( x)
x
T ml
x
2ml
例：(m：单位长度的扭力偶矩)
AB段： T1 x mx
BC段： T2 ml CD段： T3 2ml
Page21
思考：
M
M’
M’
M
(1)
M’
(2)
M’
(3)
FN3
FN1
FN2
Page9
3
1
2
3
1
2
协调方程:
l3+ l1/cos()=
l3
FN3
FN1
FN2
Page10
➢ 装配应力在工程结构中的应用
1 23
P
在准确加工、装配的情况下，2杆 的应力最大。
如果能使3根杆同时达到许用应力， 将对结构更有利。
FN1 [1 ]A FN 2 [ 2 ]A FN 3 [ 3 ]A
矩形截面杆、薄壁杆的扭转
max
(2-20)
将式(1-19)和式(1-20)分别写成
T ab3G
T ab 2
(2-21)
max
(2-22)
都是仅与比值 其中 和 算可以表示如下：
有关的参数，这两个因子通过计 a/b
图 2
由表可见，对于很狭长矩形截面的扭杆， a / b 很大， 则 和 都趋近于1/3,这时式(2-21)和(2-22)分别简化为 式(1-3)和(1-5)。
3T max 3T max 3 aii 3ds
（2）闭口薄壁杆 由式(2-10),得单位长度扭转角：
T 2 4A G
截面扭转刚度：
GD T
4 A2 G /
剪切力： 最大剪切力：
T 2 A
max
T 2 A min
最大剪切力发生在宽度最小处。
3T 3T G ai i3 G 3ds
(a)
图8
(b)
截面扭转刚度： 剪应力： 最大剪应力：
GD
T
G aii3 3
G 3ds 3
i
3T i 3T i 3 a i i 3ds
max ( i )max
最大剪切力发生在宽度最大处。
(1-17)
由式(1-2),可求得
1 64 a D 2 Fdxdy ab [ 5 R 3 π b n 0
3
th
(2n 1) πa 2b ] 5 (2n 1)
(1-18)
由此得
T GD T (2n 1) πa th 1 64 a 2b ab3G[ 5 ] 5 3 π b n0 (2n 1)
弹性力学与有限元智慧树知到答案章节测试2023年武汉工程大学
第一章测试1.下列不属于弹性力学研究对象的是（）。
A:板壳B:刚体C:杆件D:实体结构答案:B2.下列不属于弹性力学中基本未知量的是（）。
A:位移分量B:应力分量C:面力分量D:应变分量答案:C3.在工程强度校核中起着重要作用的是（）。
A:应力分量B:主应力C:正应力D:切应力答案:B4.已知物体内某点的应力张量(单位：Pa)，则沿方向的正应力大小为（）。
A:222.22 PaB:888.89 PaC:666.67 PaD:444.44 Pa答案:D5.下列关于应力分量的说法，正确的有（）。
A:坐标面上的应力B:一点的9个应力分量可以完全确定该点的应力状态C:应力分量与面力分量的正负号规定相同D:正截面上的应力E:弹性力学中应力分量的正负号规定反映了作用力与反作用力原理以及“受拉为正、受压为负”的传统观念。
答案:ABDE6.理想弹性体满足的假设有（）。
A:无初始应力假设B:均匀性假设C:连续性假设D:完全弹性假设E:各向同性假设答案:BCDE7.建立在基本假设上的弹性力学，也称为（）。
A:弹性理论B:线性弹性力学C:应用弹性力学D:数学弹性力学答案:ABD8.弹性力学的主要任务是解决各类工程中所提出的问题，这些问题包括（）。
A:稳定B:刚度C:强度D:动力答案:ABC9.弹性力学的研究方法是在弹性体的区域内严格考虑三方面条件，建立三套基本方程，这三方面条件包括（）。
A:几何学B:物理学C:静力学D:动力学答案:ABC10.中国科学家胡海昌于1954年最早提出了三类变量的广义变分原理。
（）A:错B:对答案:B11.物体内任意一点的应力分量、应变分量和位移分量，都不随该点的位置而变化，它们与位置坐标无关。
（）A:对B:错答案:B12.在最大正应力的作用面上切应力为零，在最大切应力的作用面上正应力为零。
（）A:对B:错答案:B13.应力张量的三个不变量是与坐标选择无关的标量。
（）A:错B:对答案:B14.弹性力学与材料力学在研究方法上是完全相同的。
弹性力学课件07-杆件的扭转
x 0
三、位移分量：
u x x v y y
x 0
不计刚体位移
y 0
z 0
xy 0
zy
zx
1 G x
u yz v zx
为单位长度的相对扭转角
z
w z
v u x y w v y z u w z x
2
弹性解：
x y z t xy 0
Mx t zy Ip
t zx
My Ip
(1 ) t zx
2
2 0 zx
2 2 2 2 2 2 2 x y z
4
2. 应变分量： x y z t xy 0
A
3
用应力表示的相容方程：
2 (1 ) x 0 2 x 2 2 (1 ) y 0 2 y 2 2 (1 ) z 0 2 z 2 2 (1 ) t xy 0 xy 2 (1 ) 2t yz 0 yz
12
2 2 2 2 2 2 2 x y z
边界条件：
侧面：
l dy dx ,m ,n 0 ds ds
o
dx dy ds
x
l x mt yx nt zx 0 lt xy m y nt zy 0 lt xz mt yz n z 0
l x m t yx nt zx Fx lt xy m y nt zy F y lt xz m t yz n z Fz
A A
侧面： 端面：
x y l ,m ,n 0 R R
l 0, m 0, n 1
杆的扭转定理和公式
圆截面杆的扭转外力与内力 || 圆杆扭转切应力与强度条件 || 圆杆扭转变形与刚度条件 || 圆杆的非弹性扭转1.外力与内力杆件扭转的受力特点是在垂直于其轴线的平面内作用有力偶（图2·2-1a），其变形特点是在任意两个截面绕轴线发生相对转动。
轴类构件常有扭转变形发生。
作用在传动轴上的外力偶矩m通常是根据轴所传递的功率N和转速n(r/min)来计算。
当N的单位为千瓦（kW）时当N的单位为马力（HP）时扭转时的内力为扭矩T，用截面法求得。
画出的内力图称为扭矩图（或T图），如图2·2-1b所示图2·2-1 圆杆的扭转2.圆杆扭转切应力与强度条件当应力不超过材料的剪切比例极限r p时，某横截面上任意C点（图2·2-2）的切应力公式为式中T——C 点所在横截面上的扭矩p——C点至圆心的距离L p——横截面对圆心的极惯性矩，见表2-2-1 等直杆扭转时的截面几何性质。
图2·2-2 切应力分布圆杆横截面上的切应力r沿半径呈线性分布，其方向垂直于半径（图2·3-2）。
模截面上的最大切应力在圆周各点上，其计算公式为等截面杆的最大切应力发生在T max截面（危险截面）的圆周各点（危险点）上。
其强度条件为式中，[τ]为许用扭转切应力，与许用拉应力[σ]的关系为：[τ]=（0.5～0.6）[σ] (塑性材料)或[τ]=（0.5～0.6）[σ]（脆性材料）3.圆杆扭转变形与刚度条件在比弹性范围内，圆杆在扭矩T作用下，相中为L的两截面间相对扭转角为或式中G——材料的切变模量单位扭转角公式为或式中GL p——抗扭刚度圆杆上与杆轴距离为p外（图2·2-2）的切应变r为圆杆表面处的最大切应变为式中,r——圆杆的半径等截面圆杆的最大单位扭转角，发生在T max一段内，其刚度条件为式中,[θ]为圆杆的许用单位扭转角（°）/m4.圆杆的非弹性扭转讨论圆杆扭转时切应力超过材料的比例极限并进入塑性状态的情况。
材料力学习题集 (有答案)
绪 论一、 是非题1.1 材料力学主要研究杆件受力后变形与破坏的规律。
（ ） 1.2 内力只能是力。
（ ）1.3 若物体各点均无位移，则该物体必定无变形。
（ ） 1.4 截面法是分析应力的基本方法。
（ ） 二、选择题1.5 构件的强度是指（ ），刚度是指（ ），稳定性是指（ ）。
A. 在外力作用下构件抵抗变形的能力B. 在外力作用下构件保持其原有的平衡状态的能力C. 在外力作用下构件抵抗破坏的能力1.6 根据均匀性假设，可认为构件的（ ）在各点处相同。
A. 应力 B. 应变C. 材料的弹性常数D. 位移1.7 下列结论中正确的是（ ） A. 内力是应力的代数和 B. 应力是内力的平均值 C. 应力是内力的集度 D. 内力必大于应力参考答案：1.1 √ 1.2 × 1.3 √ 1.4 × 1.5 C,A,B 1.6 C 1.7 C轴向拉压一、选择题1. 等截面直杆CD 位于两块夹板之间，如图示。
杆件与夹板间的摩擦力与杆件自重保持平衡。
设杆CD 两侧的摩擦力沿轴线方向均匀分布，且两侧摩擦力的集度均为q ，杆CD 的横截面面积为A ，质量密度为ρ，试问下列结论中哪一个是正确的？ (A) q gA ρ=；(B) 杆内最大轴力N max F ql =； (C) 杆内各横截面上的轴力N 2gAlF ρ=；(D) 杆内各横截面上的轴力N 0F =。
2. 低碳钢试样拉伸时，横截面上的应力公式N F A σ=适用于以下哪一种情况? (A) 只适用于σ≤p σ； (B) 只适用于σ≤e σ； (C)3. 在A 和B和点B 的距离保持不变，绳索的许用拉应力为[]σ取何值时，绳索的用料最省？ (A) 0； (B) 30； (C) 45； (D) 60。
4. 桁架如图示，载荷F 可在横梁（刚性杆）DE 为A ，许用应力均为[]σ（拉和压相同）。
求载荷F 的许用值。
以下四种答案中哪一种是正确的？(A)[]2A σ； (B) 2[]3Aσ；(C) []A σ； (D) 2[]A σ。
材料力学第三章3
例4-9 设有一弹簧，其工作圈数（即扣除两端与簧座接
触部分的圈数）为10圈，弹簧直径D=50mm，簧丝直 径d=8mm，材料的容许应力[]Pa, G=80GPa， 受拉力P=1000N作用，试校核弹簧强度，并计算弹簧 伸长。
4c–1 0.615 k= —— + ——— =1.24 c 4c–4 8PD 81000005 max=k —— = 1.24 —————— =308MPa 0.0083 d3 未超过容许应力的5%，为工程所允许。 (2) 变形计算 81000005 8PD3n = ———————— =0.03m=30mm = ——— Gd4 801090.084 弹簧伸长30mm。
第三章 扭转
第八节 矩形截面杆在自由扭转时的应力和 变形计算
第九节 密圈螺旋弹簧的计算
1
2
第三章 扭转
1. 1. 2. 1. 一. 基本内容 非圆截面杆扭转。 二. 教学目的 掌握矩形截面杆自由扭转时的应力和变形计算 掌握密圈螺旋弹簧的计算。 三、重点、难点 重点掌握矩形截面杆在自由扭转时的应力和变 形计算。 2. 难点是矩形截面杆在自由扭转时，横截面上的 应力分布规律。 1
8PD max=k —— (b) 3 d 式中k为修正系数，按下式计算 4c–1 0.615 k= —— + ——— c = D/d c 4c–4 c称为弹簧指数。例如当c =D/d=10时， k= 1.15，可 见按(a)式计算的误差为15%。 三、强度条件 max [] 容许应力[]可查阅有关设计手册。
当簧丝直径d远小于弹簧平均直径D时，括 号内第二项d/2D与1相比甚小，可以忽略不计， 例如当D/10时，d/2D 0.05。也就是说忽略 了剪切的影响，只考虑扭转的作用。故有： max
工程材料力学-矩形截面梁扭转应力测试
后 10.20 35.04
平均值 10.20 35.12
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中山大学工学院、理论与应用力学刘广编制
实验编号及题目：实验二
矩形截面梁扭转应力测试
《工程材料力学试验》课程实验报告纸
院系：工学院 姓名：刘广 学号：11309018 日期：2013 年 03 月 21 号
(20.10+20.52)/2=20.31 (25.13+25.18)/2=25.155 (30.02+30.06)/2=30.04 1、2 处 加载 减载 平均值 -398 -408 -403 4、5 处 520 526 523 1、2 处 -498 -500 -499 4、5 处 654 648 651 1、2 处 -596 -598 -597 4、5 处 784 774 779
1 max
(0.2)
式中 max 为长边上的最大切应力，系数 与比值 h/b 有关，可查找相关的材料力学理论。
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矩形截面梁扭转应力测试
《工程材料力学试验》课程实验报告纸
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式中 为泊松比。将式(0.6)和(0.7)代入式(0.5)，得：
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dR dl dA d R l A 2 m(1 2 ) 1 2 m(1 2 ) K 0
工程力学3_6_5 矩形截面杆件的扭转
6.5 矩形截面杆件的扭转
图6-14 非圆截 面杆的自由扭转
6.5 矩形截面杆件的扭转
图6-15 矩形截面 杆扭转切应力分布
6.5 矩形截面杆件的扭转
表6-1 矩形截面扭转的有关系数α和γ
1.当杆件受到两个大小相等、方向相反、作用线相距很近而且 垂直于杆件轴线的外力作用时，杆件将沿着两外力之间的横截
6.5 矩形截面杆件的扭转
1.当杆件受到两个大小相等、方向相反、作用线相距很近而且 垂直于杆件轴线的外力作用时，杆件将沿着两外力之间的横截 面发生相对错动，这种变形称为剪切变形。 2.工程中采用实用的计算方法，建立剪切强度条件和挤压强度 条件，保证构件的正常工作，即 3.圆轴两端受到一对大小相等、方向相反，且作用面垂直于杆 轴线的力偶作用，杆件的任意两个横截面将绕轴线相对转动， 杆件的轴线仍保持为直线，这种变形称为扭转变形。
6.7 一实心等直圆杆受力如图6-23所示，已知MA=2.99k N·m，MB=7.2kN·m，MC=4.21kN·m，材料的许用切应力［τ］ =70MPa。试确定该杆的直径。
6.8 由同一材料制成的实心和空心圆截面杆的长度和质量
均相等，实心杆的直径为D1，空心杆的外径为D2，内径为 d2，且α=d2/D2，二者承受的外力偶矩分别为M1和M2，若两 杆横截面上的最大切应力相等，试求M1和M2的比值。
的指向离开截面向外扭矩为正，反之为负。
5.受扭圆轴横截面上任一点的切应力与该点到圆心的距离成正 比，圆心处切应力为零，最大切应力出现在圆轴边缘各点处。
6.等直圆轴扭转时的强度条件为
7.矩形截面杆件扭转变形后横截面产生翘曲现象，不再保持为 平面。
6.2 如图6-18所示为一拉杆头部，已知D=32mm，d=20mm， h=12mm，杆件材料的许用切应力［τ］=100MPa，许用挤 压应力［σbs］=240MPa。试校核该杆的剪切强度和挤压强 度。