无锡一中2020高三期中数学
2019-2020学年江苏省无锡市第一中学高一上学期期中考试数学试题Word版含解析
江苏省无锡市第一中学2019-2020学年高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.已知集合，，若，则实数的值为（）或2 D. 1A. 2B. 0C. 02.函数的定义域为（）A. B. C. D.3.已知满足，则（）A. B. C. D.4.设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.5.函数的零点所在区间是A. B. C. D.6.已知函数与函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（）A. B. C. D.7.已知关于的方程的两个实根为满足则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知函数，则（）A. B. C. D. 59.已知函数，关于的性质，有以下四个推断：① 的定义域是；② 与的值域相同；③ 是奇函数；④ 是区间上的增函数.其中推断正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 410.性质① ；②在对任意，都有.下列函数中，性质①②均满足的是（）A. B. C. D.二、填空题11.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.12.已知一次函数满足条件，则函数的解析式为________.13.函数的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则________.14.已知函数在上单调递増，则的取值范围是________.15.若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件：①Ｐ，Q都在函数f(x)的图象上；②Ｐ，Q关点对(P，Q)与点对(Q，于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“友好点对”（．已知函数，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则实数的P)看作同一个“友好点对”）取值范围是________.三、解答题16.计算下列各式的值：（1）；（2）.17.已知集合，.（1）求；（2）若，，求实数的取值范围.18.某旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。
根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所以自行车的总收入减去管理费用后的所得）.（1）求函数的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？19.已知函数，，.（1）当时，求使的函数值为0的自变量的值；（2）若时，求的最小值.20.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明证明其在该区间上的单调性；（3）解关于的不等式.21.设函数.（1）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）若为常数，且函数在区间上存在零点，求实数的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】 B【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】因为，，，所以.故答案为： B【分析】根据集合的包含关系得到实数m的值.2.【答案】 D【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】要使原函数有意义，则，解得，原函数的定义域为，．故答案为：．【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出的范围即可．3.【答案】 A【考点】函数的值【解析】【解答】满足，∵f（1）．故答案为：．【分析】由满足，利用（1），能求出结果4.【答案】 A【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为，，，所以．故答案为：．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得，，的大小关系．5.【答案】 C【考点】函数零点的判定定理【解析】【解答】在上为增函数，且，，，，的零点所在区间为．故答案为：C．【分析】计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断．6.【答案】 B【考点】函数奇偶性的性质【解析】【解答】根据题意，，则，又由函数与函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，则，故（1）（1）；故答案为：．【分析】根据题意，由函数的解析式可得，结合函数的奇偶性可得（1）（1），即可7.【答案】 D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】设,根据二次方程实根分布可列式: ,即,即,解得: .故答案为： D.【分析】利用二次方程实根分布列式可解得.8.【答案】 A【考点】函数的值【解析】【解答】，，，故答案为： A.【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值9.【答案】 C【考点】函数的定义域及其求法，函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断【解析】【解答】根据题意，依次分析4个推断，对于①，函数，定义域是，所以①正确；对于②，的图象向右平移一个单位得到的图象，两者的值域相同，所以②正确；对于③，，，则为奇函数，所以③正确；对于④，，则（1），，有（1），故在区间上不是增函数，则4个推断中有3个是正确的；故答案为：．【分析】对于①，求函数的定义域再判断；对于②，利用图象变换分析判断得解；对于③，利用函数的奇偶性判断；对于④，举出反例即可判断得解10.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断【解析】【解答】根据①知在上为偶函数，根据②知在上为减函数，选项的函数为非奇非偶函数，错误；选项的函数为奇函数，错误；选项的函数的定义域是，不是，错误；排除选项，，，正确．故答案为：．【分析】根据①可知在上为偶函数，选项不是偶函数，选项不是偶函数，选项的定义域不是，从而排除选项，，，从而只能选．二、填空题11.【答案】 A【考点】复合函数的单调性，二次函数的性质【解析】【解答】由题可得x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为：（-∞，1）故答案为：A．【分析】由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论．【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设，，，，即，，解可得，，，故答案为：【分析】先设，，然后根据，代入后根据对应系数相等可求，，即可求解．13.【答案】【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】令，所以，即；设，则，；所以，故答案为：．【分析】先求出点P的坐标，再代入幂函数的解析式求得，即可得（9）．14.【答案】【考点】函数单调性的性质【解析】【解答】由已知得反比例函数在上单调递增，需，二次函数在上单调递增，则需对称轴，所以，同时当时，，解得，所以，故填：。
江苏省无锡一中高三上学期期中考试试题(数学)
江苏省无锡一中高三上学期期中考试试题（数学）考试时间：1 满分：160分一、解答题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题“b a >∀，都有22b a >”的否定是 ．2．已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}2,1{=B ，则=B A C U )( ． 3．已知(1,2),(2,),(2,1)a b k c =-==-，若()a b c +⊥，则k = ．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于___________．5．已知椭圆22149x y +=的上．下两个焦点分别为1F ．2F ，点P 为该椭圆上一点，若1PF ．2PF 为方程2250x mx ++=的两根，则m = ．6．在△ABC 中，A =60,b =1,ABC ∆外接圆的半径为 ． 7．函数2log log (2)x y x x =+的值域是______________． 8．设0ω>，函数)3sin(πω+=x y 的图像向右平移45π个单位后与原图关于x 轴对称，则ω的最小值是 ． 9．给定下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行； ②垂直于同一直线的两直线相互平行；③如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；④如果两个平面垂直，那么在一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．则其中真命题的序号是 ．10．设某商品一次性付款的金额为a 元，以分期付款的形式等额分成n 次付清，每期期末所付款是x 元，每期利率为r ，则x = ．11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=)1(3)5()1(31)(2x x x x x f ，则=+---)35()3(4321f f ．12．对于函数)(x f 定义域中任意的1x ．2x （1x ≠2x ）,有如下结论：①12()f x x + = 1()f x 2()f x ; ②)(21x x f ⋅ =1()f x +2()f x;③;0)()(2121>--x x x f x f④2)()()2(2121x f x f x x f +<+当)(x f =2x时，上述结论中正确结论的序号是 ．13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，若1<S k <9（k ∈N *），则k 的值为____________．14．二次函数()f x 的二次项系数为负，且对任意实数x ，恒有()(4)f x f x =-，若22(13)(1)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是 ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15． （本小题满分14分）已知集合{4A x y =，集合)}127lg(|{2---==x x y x B ，集合}121|{-≤≤+=m x m x C ．（1）求A B ；（2）若A C A = ，求实数m 的取值范围． 16．（本小题满分14分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1+2，S 3=9+3 2 （1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； （2）设nS b nn =，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 17．（本小题满分15分）设函数)(x f 是定义在]1,0()0,1[ -上的奇函数，当)0,1[-∈x 时，212)(x ax x f +=（a 为实数）． （1）当]1,0(∈x 时，求)(x f 的解析式；（2）当1->a 时，试判断)(x f 在]1,0(上的单调性，并证明你的结论． 18．（本小题满分15分）已知函数2()2sin cos 2f x x x x =+（1）求函数()f x 的对称轴方程； （2）当(0,)2x π∈时，若函数()()g x f x m =+有零点，求m 的范围； （3）若02()5f x =，0(,)42x ππ∈，求0sin(2)x 的值．19．（本小题满分16分）设数列}{n b 满足：211=b ，n n n b b b +=+21， （1）求证：11111+-=+n n n b b b ；（2）若11111121++++++=n n b b b T ，对任意的正整数n ，05log 32>--m T n 恒成立．求m 的取值范围．本小题满分16分）设1x 、2x )(21x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点． （1）若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式； （2）若22||||21=+x x ，求b 的最大值；（3）设函数)()(')(1x x a x f x g --=，12(,)x x x ∈，当a x =2时，求证：21|()|(32)12g x a a ≤+．参考答案一、填空题：1．b a ≤∃，使得22b a ≤； 2．}2{； 3．8； 4．6； 5．339； 6．-3；7．),3[]1,(+∞--∞ ； 8．45； 9．③④；10．1)1()1(-++nnr r ar ； 11．3；12．①③④； 13．4；14．),0()21,(+∞--∞ ． 二．解答题：15．解：（1）∵),7[]2,(+∞--∞= A ，………………………………………………2分)3,4(--=B ，………………………………………………4分∴)3,4(--=B A ．………………………………………………6分 （2） ∵A C A =∴A C ⊆．………………………………………………8分①φ=C ,112+<-m m ,∴2<m ．……………………………………9分 ②φ≠C ,则⎩⎨⎧-≤-≥2122m m 或⎩⎨⎧≥+≥712m m ．……………………………12分∴6≥m ．………………………………………………13分综上，2<m 或6≥m …………………………14分16．解：（1）∵S 3=9+32，∴a 2=3+2，∴d =2…………………………………2分∴a n =1222)1(21-+=⋅-++n n ，………………………4分n n n n S n 22)12221(2+=-+++⋅=．…………………6分（2）∵2+==n nS b nn …………………7分 假设数列{b n }存在不同的三项p b ，q b ，m b 成等比数列 ∴2q b =m p b b ⋅，…………………9分 ∴)2()2()2(2+⋅+=+m p q∴)(2222m p pm q q +⋅+=+…………………10分∴⎩⎨⎧+==mp q pm q 22，…………………………………12分 ∴0)(2=-m p ，即m p =与m p ≠矛盾，∴ 数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．…………………14分 17．解：（1）设]1,0(∈x ，则)0,1[-∈-x ，…………………1分212)(xax x f +-=-…………………3分 ∵)(x f 是奇函数∴)()(x f x f --=…………………5分 ∴212)(xax x f -=，]1,0(∈x …………………7分 （2）)(x f 在]1,0(上单调递增…………………8分 ∵3/22)(x a x f +=…………………10分 ∵1->a ，]1,0(∈x ∴013>+xa …………………13分 ∴0)(/>x f∴)(x f 在]1,0(上单调递增． …………………15分18．解：（1） ∵()sin 222f x x x =+=2sin(2)23x π++………………3分∴对称轴方程为212ππk x +=，Z k ∈．………………………………4分（2） ∵(0,)2x π∈ )34,3(32πππ∈+x∴sin(2)(3x π+∈ ∴]4,23(2)32sin(2+-∈++πx ……………………………7分∵函数()()g x f x m =+有零点，即()f x m =-有解．……………8分即]4,23(+-∈-m)23,4[--∈m ． ……………9分（3）02()5f x =即022sin(2)235x π++= 即04sin(2)35x π+=-……10分∵0(,)42x ππ∈ ∴0542(,)363x πππ+∈又∵04sin(2)35x π+=-，∴042(,)33x πππ+∈……11分∴03cos(2)35x π+=-………………………………………………12分∴0sin(2)x =0sin[(2)]33x ππ+-…………………………………13分=00sin(2)coscos(2)sin 3333x x ππππ+-+=413()()5252-⨯--⨯．………………………………………………15分 19．解：（1）∵,211=b )1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+, ∴对任意的0 *,>∈n b N n ． ∴,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+．…………4分（2）111132211211)11()11()11(+++-=-=-++-+-=n n n n n b b b b b b b b b T ．…7分 ∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列． ∴数列{n T }关于n 递增．∴1T T n ≥．……………………………10分 ∵211=b ，∴43)1(112=+=b b b ∴321221=-=b T ……………………………12分 ∴32≥n T ∵05log 32>--m T n 恒成立， ∴53log 2-<n T m 恒成立，∴3log 2-<m ……………………………14分 ∴810<<m ．……………………………16分 ：（1）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(22>-+='a a bx ax x f 依题意有-1和2是方程02322=-+a bx ax 的两根∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=32321a a b ，． ……………………………3分解得⎩⎨⎧-==96b a ，∴x x x x f 3696)(23--=．（经检验，适合）． ……………………4分（2）∵)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ,依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，∵0321<-=ax x 且22||||21=+x x ， ∴8)(221=-x x ．……………………………6分 ∴834)32(2=+-a ab ， ∴)6(322a ab -=． ∵20b ≥∴06a <≤．……………………………7分设2()3(6)p a a a =-，则2()936p a a a '=-+．由()0p a '>得40<<a ，由()0p a '<得4>a ．………………………8分 即：函数()p a 在区间(0,4]上是增函数，在区间[4,6]上是减函数，∴当4=a 时，()p a 有极大值为96， ∴()p a 在]6,0(上的最大值是96，∴b 的最大值为64． ……………………………9分（3）证明：∵21,x x 是方程0)('=x f 的两根，∴))((3)('21x x x x a x f --=． ．………………………10分 ∵321ax x -=⋅，a x =2， ∴311-=x ． ∴|]1)(3)[31(||)31())(31(3||)(|--+=+--+=a x x a x a a x x a x g ………12分 ∵21x x x <<，即1.3x a -<<∴)133)(31(|)(|++-+=a x x a x g ………13分 |()|g x )313)(31(3+-+-=a x x aa a a a x a 3143)2(3232+++--=……14分323143a a a ++≤12)23(2+=a a ．∴|()|g x 2(32)12aa +≤成立． ……………………………16分。
无锡市第一中学2020—2021学年高一下学期数学期中试卷原卷版
无锡市第一中学2020-2021学年度第二学期期中试卷高一数学2021.4命题：审核：一、单选题（每小题5分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知向量(1,1),(2,1)a b m =-=-+ ，若//()a a b +，则=m （）A.-1B.0C.1D.32.已知复数z 满足1z ii z -=+，则复数z=（）A.1i- B.1i+ C.1i-- D.1i-+3.在ABC 中，若2,23,30a b A === ，则B =（）A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150°4.5.如图，Rt △'''B A O 是一个平面图形的直观图，若2O B ''=，则这个平面图形的面积是（）A.1B.2C.22D.425.如果a 与b是一组基底，则下列不能作为基底的是（）A ．a b + 与a b -B ．2a b + 与2a b +C ．a b + 与a b-- D ．a与b- 6.下列命题正确的是（）A .若直线a ∥b ，则a 平行于经过b 的任何乎面B .若直线a 和平面α满足//a α，则a 与α内任何直线平行C .若直线a ，b 和平面α满足//a α，//b α，则a ∥bD .若直线a ，b 和平面α满足//a α，a ∥b ，b α⊄，则//b α7.八角红楼是某校现址上最早的教学大楼，她是一座三层的教学楼，中间是四层的八角楼，也是该校最具历史意义的一幢建筑.“以八角红楼为标志，绿树红墙，借锡惠、运河之景，形成大气、优美之校园环境”是该校校园的整体规划指导思想，因此在此后的综合教育楼等校园建筑的设计中，大多都以坡屋顶、八角顶和八角红楼相呼应，形成了现在该校校园建筑的整体风格，给无数校友和国内外来宾留下了深刻的印象，为迎接建党100周年及110年校庆，学校考虑更换楼项红瓦，考虑到拼接重叠、各种可能的其他损耗及后期维护需要，准备按楼顶面积的1.5倍准备红瓦，八角红楼的楼顶可近似看成正八棱锥，正八棱锥的底面边长约为2m ，高约为62m .已知红瓦整箱出售，每箱50片，每片规格为20cm ×30cm ，则学校至少需要采购红瓦（）A .10箱B .11箱C .12箱D .13箱8.在△ABC 中，,sin cos sin 62ABCS AB AC B A C ∆=⋅== ，P 为段AB 上的动点，且||||CA CB CP x y CA CB =+，则1x y +的最小值为（）A ．23+B ．13+C ．23+D ．13+二.多选题（每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设向量(),2a k =，()1,1b =- ，则下列叙述错误的是A ．若2k <-时，则a 与b的夹角为钝角B ．a 的最小值为2C ．与b共线的单位向量只有一个为,22⎛- ⎝⎭D ．若2a b =，则k =-10，在复平面内，下列说法错误的是（）A .若复数z 满足0z z ⋅=，则z =B .若复数12,z z 满足1212||||z z z z +=-，则120z z =C .若复数(,)z a bi a b R =+∈，则“z 为纯虚数”的充要条件是“0a =”D .若复数z 满足||1z =，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，1为半径的圆11.一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为29，则这个圆锥体积与球体积的比值为（）A .427B .827C .49D .8912.在ABC 中,角A,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c,下列判断正确的是（）A .若a b >，则sin sin AB >B .若sin sin A B >，则A B>C.若sin cos A B >，则ABC 为锐角三角形D .若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>三.填空题（每小题5分）13.已知向量a 与b 的夹角23π，||||1a b == ，则|2|=a b + .14.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知1(1,),(,cos )2p a q c b C ==- ,且p q ⊥ ,则角A =.15.锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,sin sin sin a b C Bc A B--=+,且2=a ,则△ABC 面积的取值范围是.16．在锐角ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,4b =,6c =,且sin a B =,则角A =_______；若角A 的平分线为AD ，则线段AD 的长为________.四.解答题17.（本小题满分10分）已知复数23(68)(1)41m m m i z m i--++=+--（i 为虚数单位,m R ∈）.(1)若z 是实数，求m 的值；(2)若复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，求m 的取值范围.18．(本小题满分12分)如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+，求+λμ的值．(2)若2AB =，当1AE BF ⋅=时，求EAF ∠cos 的值．19.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c cos sin B b A =.(1)求B ；(2)若b =2，c =2a ，求a .20.(本小题满分12分)已知两个不共线的向量b a ,的夹角为θ，且1||,3||==b a ，x 为正实数(1)若b a 2+与b a 4-垂直，求θtan ；(2)若6πθ=，求||b a x -的最小值及对应的x 的值，并判断此时向量a 与b a x -是否垂直.21.(本小题满分12分)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是111,A A D B BB ,的中点，(1)求证：MN //平面11BDD B .(2)平面α过,M N P ,三点，则平面α截此正方体的截面为一个多边形，(i)仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）；(ii )若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长22.(本小题满分12分)现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形．(1)求出所有可能的三角形的面积；(2)如图，已知平面凸四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD =，4DA =，(i)求cos ,cos A C 满足的数量关系；(ii )求四边形ABCD 面积的最大值，并指出面积最大时BD 的值．无锡市第一中学2020-2021学年度第二学期期中试卷高一数学2021.4命题：审核：一、单选题（每小题5分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知向量(1,1),(2,1)a b m =-=-+ ，若//()a a b +，则=m （）A.-1 B.0C.1D.3【答案】C【详解】(1,1),(2,1)a b m =-=-+ ,(1,)a b m +=- 若//()a a b +,111m =-⋅-=，故选C ．2.已知复数z 满足1z ii z -=+，则复数z=（）A.1i -B.1i+ C.1i-- D.1i-+【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】2,1,,11iz i iz i z i i z z z i i-=-=+==-+-+,故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.在ABC 中，若2,23,30a b A === ，则B =（）A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150°【答案】B【分析】由正弦定理可解得sin sin 23b B A a ==,利用大边对大角可得范围()30,180B ∈︒︒,从而解得B 的值．【详解】由2,23,30a b A === ，∴由正弦定理可得：sin sin 23b B A a ==，b c > ，由大边对大角可得：()30,180B ∈︒︒，∴解得B =60°或120°．故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，解题时要注意分析角的范围，属于基础题.6.如图，Rt △'''B A O 是一个平面图形的直观图，若2O B ''=，则这个平面图形的面积是（）A.1B.2C.22D.42【答案】C【解析】由直观图可知，原平面图形是Rt △OAB ，其中OA ⊥OB ，则OB ＝O ′B ′＝，OA ＝2O ′A ′＝4，∴S △OAB＝12OB ·OA ＝，故选C ．点睛：1.用斜二测法得直观图：“保平行，横不变，纵减半”是画图的标准；2.平面多边形的斜二测画法的直观图与原图的面积关系：一个平面多边形的面积为S 原，它的斜二测画法直观图的面积为S 直，则有S 直＝4S 原(或S 原＝S 直).5.如果a 与b是一组基底，则下列不能作为基底的是（）A ．a b + 与a b - B ．2a b + 与2a b + C ．a b + 与a b-- D ．a 与b-【答案】C【分析】判断各选项中两个向量是否共线，由此可得出结论.【详解】如下图所示，由于a 与b不共线，则a b + 与a b - 不共线，A 选项中的两个向量不共线，可以作为基底；如下图所示：由于a 与b 不共线，则2a b + 与2a b +不共线，B 选项中的两个向量不共线，可以作为基底；由题意知，a 与b不共线，()a b a b --=-+ ，C 选项中的两个向量共线，不能作为基底；a 与b - 不共线，D 选项中的两个向量可以作为基底.故选：C.【点睛】本题考查基底概念的判断，本质上就是要求两向量不共线，考查推理能力，属于基础题.6.下列命题正确的是（）A .若直线a ∥b ，则a 平行于经过b 的任何乎面B .若直线a 和平面α满足//a α，则a 与α内任何直线平行C .若直线a ，b 和平面α满足//a α，//b α，则a ∥bD .若直线a ，b 和平面α满足//a α，a ∥b ，b α⊄，则//b α【答案】D【分析】(1)根据“a 在以,a b 确定的平面内”，由此判断A 错误.(2)根据a 与α内直线可能异面，判断B 错误.(3)根据,a b 可能平行、相交或异面，判断C 错误.(4)根据线面平行的性质定理和判定定理，以及平行公理，证得//b α，由此判断D 正确.【详解】选项Aα不平行于同时过a b ，这两条直线的平面.选项B a 与α内的直线有平行和异面两种位置关系.选项C a 与b 可能出现三种位置关系：平行、相交、异面.选项D 已知//a α，//a b ，b α⊄，过a 作平面β交α于直线c ，则//a c ，所以//b c ，所以//b a .故答案为：D【点睛】本小题主要考查线线、线面平行的有关命题真假性的判断，属于基础题.7.八角红楼是某校现址上最早的教学大楼，她是一座三层的教学楼，中间是四层的八角楼，也是该校最具历史意义的一幢建筑.“以八角红楼为标志，绿树红墙，借锡惠、运河之景，形成大气、优美之校园环境”是该校校园的整体规划指导思想，因此在此后的综合教育楼等校园建筑的设计中，大多都以坡屋顶、八角顶和八角红楼相呼应，形成了现在该校校园建筑的整体风格，给无数校友和国内外来宾留下了深刻的印象，为迎接建党100周年及110年校庆，学校考虑更换楼项红瓦，考虑到拼接重叠、各种可能的其他损耗及后期维护需要，准备按楼顶面积的1.5倍准备红瓦，八角红楼的楼顶可近似看成正八棱锥，正八棱锥的底面边长约为2m，高约为62m .已知红瓦整箱出售，每箱50片，每片规格为20cm ×30cm ，则学校至少需要采购红瓦（）A .10箱B .11箱C .12箱D .13箱【答案】B【详解】正八棱锥的底面为正八边形,侧面为8个全等的等腰三角形,等腰三角形的高即为侧面的侧高,∵2222tan2228tan,tan ,21,210,4821tan 8t t t t t t ππππ-±===-+-==-∴22tan8tan,tan 21481tan 8ππππ==--,∴11tan 21=2+1821A H A H O H O H π'==-='-，，∴222669(221)22,(21)22(221)2242222OO OH OO HO +'''==+=++=+==+=+1212=842(2)164222S A A OH ⋅⋅=⋅⋅+=+侧,∴1.510000(1642)82210.828203050⨯+=+≈⨯⨯故答案为：11箱,选B8.在△ABC 中，,sin cos sin 62ABCS AB AC B A C ∆=⋅== ，P 为段AB 上的动点，且||||CA CBCP x y CA CB =+，则1x y +的最小值为（）A ．23+B ．13+C ．23+D ．13+【答案】B【详解】sin cos sin sin cos sin cos cos sin B A C A C C A A C =⇒+=,sin cos 0A C =∵sin 0A >∴cos 0C =∴2C π=又∵1sin cos ,266ABC S AB AC A AB AC AB AC A ∆=⋅⋅=⋅=⋅⋅∴tan ,3A =∴6A π=又∵1sin =,262ABC S AB AC A AB AC ∆=⋅⋅⋅= 1,2AC BC AB ===又∵||||CA CBCP x y CA CB =+ ,P 为段AB 上的动点∴PC 为CAB ∠的平分线,由角平分线定理得11y =∴114()213y x y x y x y y x +=+=+≥二.多选题（每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设向量(),2a k =，()1,1b =- ，则下列叙述错误的是A ．若2k <-时，则a 与b的夹角为钝角B ．a 的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．若2a b =，则k =-【答案】CD【分析】根据a 与b 的夹角为钝角，得出0a b ⋅< 且a 与b不共线，求出k 的取值范围，可判断A 选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B 选项的正误；根据与b共线的单位向量为b b± 可判断C 选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则0a b ⋅< 且a 与b不共线，则202a b k k ⎧⋅=-<⎨-≠⎩，解得2k <且2k ≠-，A 选项中的命题正确；对于B选项，2a =≥= ，当且仅当0k =时，等号成立，B 选项中的命题正确；对于C选项，b = 与b 共线的单位向量为b b ±，即与b共线的单位向量为,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项中的命题错误；对于D选项，2a b ===，解得2k =±，D 选项中的命题错误.故选：CD.【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及向量的夹角、模长以及单位向量等相关知识，考查推理能力，属于中等题.10，在复平面内，下列说法错误的是（）A .若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B .若复数12,z z 满足1212||||z z z z +=-，则120z z =C .若复数(,)z a bi a b R =+∈，则“z 为纯虚数”的充要条件是“0a =”D .若复数z 满足||1z =，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，1为半径的圆【答案】BC【分析】根据复数的运算及相关概念一一判断可得；【详解】解：对于A ：设z a bi =+，,a b ∈R ，所以2=0z z z ⋅=，则0a b ==，则0=z 故A 正确；对于B ：设1112221122,,,,,z a b i z a b i a b a b R =+=+∈,∵1212||||z z z z +=-,∴222222121212121212||()+(),||()+()z z a a b b z z a a b b +=++-=--，||||2121z z z z -=+则20ab =，则0,0a b =≠或0,0b a =≠或0a b ==，当0b =时z ∈R ，故B 错误；复数(),z a bi a b =+∈R ，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠，故C 错误；若复数z 满足1z =，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆，故D 正确；故选：BC 【点睛】本题考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题.11.一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为29，则这个圆锥体积与球体积的比值为（）A .427B .827C .49D .89【答案】AB【分析】设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ，由圆锥的底面面积与球面面积比值为29，得到r 与R 的关系，计算出圆锥的高，从而求出圆锥体积与球体积的比.【详解】设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ，∵圆锥的底面面积与球面面积比值为29，∴22249r R ππ=，则3r R =；设球心到圆锥底面的距离为d，则13d R ==，所以圆锥的高为43h d R R =+=或23h R d R =-=，设圆锥体积为1V 与球体积为2V ，当43h R =时，圆锥体积与球体积的比为22133214133383442733R R r h V V R R ππππ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，当43h R =时，圆锥体积与球体积的比为22133212133343442733R R r h V V R R ππππ⎛⎫ ⎪⎝⎭===.故选：AB 【点睛】求球的内接圆锥的体积关键是找球心到圆锥底面的距离，从而可以求出圆锥的底面半径和圆锥的高，代公式即可求出圆锥体积.12.在ABC 中,角A,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c,下列判断正确的是（）A .若a b >，则sin sin A B>B .若sin sin A B >，则A B>C.若sin cos A B >，则ABC 为锐角三角形D .若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >【答案】ABD【分析】在ABC ,大边对大角,小边对小角,若a b >，则sin sin A B >,若sin sin A B >，则A B >，选项A,B 正确；对于C ：,当()A B 为钝角，sin cos A B >此时，ABC 为钝角三角形，故C 错当ABC 为锐角三角形+-sin sin(-)222A B A B A B COSB πππ>>>=，，，故D 正确三.填空题（每小题5分）13.已知向量a 与b 的夹角23π，||||1a b == ，则|2|=a b + .【答案】【分析】2a b +=，再由平面向量数量积求出数值即可.【详解】解：由向量数量积得：22cos 3a b a b π⋅=,故.2a b +===【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题型.14.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知1(1,),(,cos )2p a q c b C ==- ,且p q ⊥ ,则角A =.【答案】3π【详解】解：由1(1,),(,cos )2p a q c b C ==- ,p q ⊥ 得：1cos 02c b a C -+=,由正弦定理得111sin sin sin cos 0,sin sin()sin cos 0,sin sin cos 0222C B A C C A C A C C C A -+=-++=-=.又∵sin 0C >∴1cos 2A =,故3A π=.15.锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,sin sin sin a b C Bc A B--=+,且2=a ,则△ABC 面积的取值范围是.【答案】1,2⎛ ⎝⎦【详解】∵sin sin sin a b C B c A B --=+由正弦定理得sin sin sin a b C B c c A B a b--==++,∴sinsin sin a b C B c c A B a b-==++,整理得222a b c -=-,222b c a +-=∴由余弦定理得222cos 22b c a A bc +-==,∴cos 2A =,故,224sin a A R A π===,1sin 2ABC S bc A ==23312sin sin sin sin()cos(2),(,424242R A B C B B B B ππππ=-=-+∈，故1,2ABC S ⎛∈ ⎝⎦ .故答案为：1,2⎛ ⎝⎦.16．在锐角ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,4b =,6c =,且sin a B =,则角A =_______；若角A 的平分线为AD ，则线段AD 的长为________.【答案】3π5【分析】首先根据正弦定理，求得sin sin a B b A ==，将4b =代入，得到sin 2A =，结合三角形的形状，求得3A π=；利用内角平分线定理得到32BD DC =，利用向量知识得到2355=+ AD AB AC ，利用向量的平方和向量模的平方相等，结合向量数量积公式求得结果.【详解】根据正弦定理得sin sin a bA B=，所以sin sin a B b A ==，因为4b =，所以sin 2A =，且三角形为锐角三角形，所以3A π=；由三角形内角平分线定理可得6342BD AB DC AC ===，所以2355=+ AD AB AC ，所以22222234129()55252525AD AD AB AC AB AB AC AC ==+=+⋅+41294323664cos 16252532525π=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，所以5AD =.故答案为：①3π；②5.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，内角平分线定理，三点共线的向量表示，属于简单题目.四.解答题17.（本小题满分10分）已知复数23(68)(1)41m m m i z m i--++=+--（i 为虚数单位,m R ∈）.(1)若z 是实数，求m 的值；(2)若复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，求m 的取值范围.【答案】(1)2m =(2)34m <<【解析】分析：(1)由复数的运算法则可得()23684m z m m i m-=+-+-.据此得到关于实数m 的方程组，解得2m =.(2)结合(1)中的结果得到关于m 的不等式组，求解不等式组可知34m <<.详解：(1)()()2681341m m i m z mi -++-=+--()()()()226813411m m i m mi i -++-=+--+()23684m m m i m-=+-+-.因为z 是实数，所以240680m m m -≠⎧⎨-+=⎩，解得2m =.(2)因为复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以2304680m m m m -⎧>⎪-⎨⎪-+<⎩，解得34m <<.点睛：本题主要考查复数的运算法则，已知复数的类型求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．(本小题满分12分)如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+，求+λμ的值．(2)若2AB =，当1AE BF ⋅=时，求EAF ∠cos 的值．【答案】(1)16；(2)32．【分析】(1)先转化得到13CF AB =- ，12EC AD = ,再表示出1132EF AB AD =-+ ,求出1=3λ-，1=2μ,最后求+λμ的值；(2)先得到12AE AB AD =+uu u r uu u r uuu r 和0AB AD ⋅=uu u r uuu r ,再建立方程421λ-+=求解1=4λ,最后求DF 的长.【详解】(1)∵点E 是BC 边上中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点，∴1133CF DC AB =-=-uu u r uuu r uu ur ，1122EC BC AD == ，∴1132EF EC CF AB AD =+=-+ ，∴1=3λ-，1=2μ故111326+λμ=-+=.(2)设CF CD λ= ，则BF BC AD AB λ=+=- ，又12=+=+ AE AB BE AB AD ，AB AD ⋅=0，∴22)4211((221)A AE BF AD AD AD B AB AB λλλ⋅=+⋅=--++=-= 故1=4λ，∴2211()(3233)54422AE AF AD A AB AB D AD AB ⋅=+⋅=+=+=+5=2AE AF = ，、∴5cos 552EAF ∠==【点睛】本题考查利用向量的运算求参数，是基础题19.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，ccos sin B b A =.(1)求B ；(2)若b =2，c =2a ，求a .【答案】(1)3π；(2)3．【分析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tan B ，进而可求B ；(2)由余弦定理及已知条件可求a ，c 的值，然后结合三角形的面积公式可求．【详解】解：(1)在△ABCcos sin B b A =cos sin sin A B B A =，因为sin A ≠0sin B B =，所以tanB =0＜B ＜π，所以3B π=，(2)因为b ＝2,c ＝2a ,由余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ,可得22144222a a a a =+-⨯⨯,所以a 3=,c 3=．【点睛】此题考查正、余定理的应用，考查三角恒等变换有应用，考查三角形面积公式的应用，20.(本小题满分12分)已知两个不共线的向量b a ,的夹角为θ，且1||,3||==b a ，x 为正实数(1)若b a 2+与b a 4-垂直，求θtan ；(2)若6πθ=，求||b a x -的最小值及对应的x 的值，并判断此时向量a 与b a x -是否垂直.【答案】(1)1cos 6θ=；(2)当6x =时，||xa b - 的最小值为12，垂直；【分析】(1)根据垂直关系计算得到12a b ⋅= ，再根据向量夹角公式得到答案.(2)计算221||964xa b x ⎛-=-+ ⎝⎭ ，根据二次函数性质得到最值,,计算60b a a ⎛⎫⋅= ⎪ -⎪⎝⎭ 得到位置关系.【详解】(1)()()2242892=802a b a b b a b b a a --⋅-=-⋅+⋅-=，故12a b ⋅= ，故1cos 3cos 2a b a b θθ⋅=⋅== ，故1cos 6θ=.(2)2222221||21964xa b x a b xa b x x ⎛⎫-=+-⋅=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，当6x =时，2||xa b - 最小为14，故||xa b - 的最小值为12，此时206262a b a a a b ⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝-⎭，故向量a与xa b - 垂直.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量模的最值，根据方程解的个数求参数，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.21.(本小题满分12分)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是111,A A D B BB ,的中点，(1)求证：MN //平面11BDD B .(2)平面α过,M N P ,三点，则平面α截此正方体的截面为一个多边形，(i)仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）；(ii )若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长【答案】(1)见解析；(2)(i)如图多边形PQNRM 即为截面多边形，(ii )10+32【解析】(1)连接,AC BD 交于O .连接1,NO B O .在正方体1111ABCD A B C D -中,11//=A B AB M 是11A B 的中点,∴11//=2MB AB ,又∵在正方形ABCD 中,连接AC BD O = 交于O ,∴O 是BD 的中点,又∵在ABD 中,N 分别是AD 的中点,∴NO 是ABD 的中位线,∴1//=2NO AB ,∴1//=NO MB ,∴1MNOB 是平行四边形,∴1MN OB ∥,又∵1OB ⊂平面11BDD B ,MN ⊄平面11BDD B ,∴MN //平面11BDD B (2),PQ QS RM RT ==,截面多边形的周长等于+PQ QN NR RM MP NS NT MP +++=++,221113,,1AT RM RM BS BP NS NT TA AN AN AT AS AB BS B M B P==+=====+,∴2293310NT NS ==+=222211232MP TS MT PS AS AT A M AT =--=++=∴截面多边形的周长等于10+3222.(本小题满分12分)现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形．(1)求出所有可能的三角形的面积；(2)如图，已知平面凸四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD =，4DA =，(i)求cos ,cos A C 满足的数量关系；(ii )求四边形ABCD 面积的最大值，并指出面积最大时BD 的值．【答案】(1)2515(2)(i)2cos 3cos 1A C -=；(2)(ii)ABCD 面积的最大值为26,3855BD =【解析】(1)根据三角形两边之和大于第三边,由题意可知,所有符合情况的可能三角形为1+2,3,4、2,3+1,4三角形三边为1+2,3,4时,由余弦定理知2223341cos 2339θ+-==⨯⨯,5sin 9θ=,145332529S ∆=⨯⨯⨯=三角形三边为2,3+1,4时,由余弦定理知2224427cos 2448θ+-==⨯⨯,15sin 8θ=,115441528S ∆=⨯⨯⨯(利用海伦公式也较简单)(2)(i)连接BD ,由余弦定理知222217cos 28AB AD BD BD A AB AD +--==⨯⨯222213cos 212CB CD BD BD C CB CD +--==⨯⨯∴22178cos ,1312cos BD A BD C =-=-,∴178cos 1312cos A C -=-∴2cos 3cos 1A C -=(ii)1114sin +23sin 2sin 3sin 22ABCD ABD BCD S S S A C A C =+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+∴222(2sin 3sin )4sin 9sin 12sin sin A C A C A C+=++又∵2cos 3cos 1A C -=,∴2(2cos 3cos )1A C -=,∴224cos 9cos 12cos cos 1A C A C +-=∴222224(1cos )9(1cos )+12sin sin =13(4cos 9cos )12sin sin ABCD S A C A C A C A C =-+--++=22213112cos cos 12sin sin =13(4cos 9cos )12sin sin 12cos()12ABCD S A C A C A C A C A C =--+-++=-+≤当且仅当A C π+=,224,ABCD ABCD S S ==,此时A C π+=,2cos 3cos 1A C -=,∴2cos 3cos 1A A +=,11cos ,cos 55A C ==-,2771312cos ,55BD C BD =-==。
江苏省无锡市普通高中2020届高三上学期期中调研考试数学试题及答案
江苏省无锡市普通高中2019—2020学年上学期高三期中调研考试数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．函数()f x =的定义域为 ．答案：[1，+∞) 考点：函数的定义域解析：∵x ﹣1≥0，∴x ≥1，故函数()f x =[1，+∞)．2．已知向量a r ＝(2，﹣3)与向量b r＝(x ，﹣6)共线，则x ＝ ．答案：4考点：平行（共线）向量的坐标表示解析：∵向量a r ＝(2，﹣3)与向量b r＝(x ，﹣6)共线，∴2×(﹣6)﹣(﹣3)x ＝0，解得x ＝4．3．若角α的终边过点(﹣1，2)，则tan α＝ ． 答案：﹣2考点：三角函数的定义解析：∵角α的终边过点(﹣1，2)， ∴tan α＝21-＝﹣2． 4．在等比数列{}n a 中，已知11a =-，427a =，则5a ＝ ． 答案：﹣81考点：等比数列的通项公式，等比数列的性质解析：∵数列{}n a 是等比数列，且11a =-，427a =， ∴34127271a q a ===--，解得q ＝﹣3， ∴5427(3)81a a q ==⨯-=-．5．已知集合A ＝{}1|31x x -<<，集合B ＝{}x x a a Z <∈，，若A I B 中恰好含有一个整数，则实数a 的值为 ． 答案：﹣1考点：集合的交集解析：∵集合A ＝{}1|31x x -<<，集合B ＝{}x x a a Z <∈，，且A I B ≠∅， ∴A I B ＝{}3|x x a a Z -<<∈，，∵A I B 中恰好含有一个整数，显然这个整数是﹣2，∴实数a 的值为﹣1．6．函数2sin y x x =-在区间[0，π]的单调递增区间为 ． 答案：[3π，π]（本题如果写开区间也算对） 考点：利用导数研究函数的单调性解析：∵2sin y x x =-，∴12cos y x '=-，列表如下：由表格可知，原函数在区间[0，π]的单调递增区间为[3π，π]． 7．偶函数()y f x =在(0，+∞)上单调递减，且满足(2)(1)f x f x >+，则x 的取值范围为 ． 答案：(13-，1) 考点：函数的单调性与奇偶性的综合解析：∵偶函数()y f x =在(0，+∞)上单调递减，且(2)(1)f x f x >+， ∴21x x <+，两边同时平方并化简得：23210x x --<， 解得113x -<<，故x 的取值范围为(13-，1)．8．函数()cos xf x e x =在点(0，(0)f )处的切线方程为 ． 答案：10x y -+=考点：利用导数研究函数的切线解析：∵()cos xf x e x =，∴()(cos sin )xf x e x x '=-， ∴(0)1f =，(0)1k f '==，故切线为：1y x -=，即10x y -+=． 9．已知sin 3cos 0αα+=，则sin2α＝ ． 答案：35-考点：同角三角函数关系式，二倍角公式 解析：∵sin 3cos 0αα+=， ∴tan α＝﹣3，∴sin2α＝2222sin cos 2tan 63sin cos tan 1915αααααα-===-+++．10．若函数()sin()f x x ωϕ=+，(ω＞0，2πϕ<)的图象关于点A(n ，0)中心对称，也关于直线：x ＝m 对称，且m n -的最小值为4π．已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象过点(6π，12)，则()4f π＝ ． 答案：32考点：三角函数的图像与性质 解析：由题意可知244ππω=⨯，解得ω＝2，∴()sin(2)f x x ϕ=+，∵函数()f x 的图象过点(6π，12)， ∴1sin(2)26πϕ=⨯+，∵2πϕ<，即22ππϕ-<<∴5636πππϕ-<+<，故36ππϕ+=，6πϕ=-，则()sin(2)6f x x π=-，故3()sin(2)4462f πππ=⨯-=． 11．家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加1份苹果汁，乙种饮料的主要配方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是2000L 李子汁和1000L 苹果汁，又厂方的利润是生产1L 甲种饮料得3元，生产1L 乙种饮料得4元．那么厂方获得的最大利润是 元． 答案：10000 考点：线性规划解析：设生产x 升甲种饮料，y 升乙种饮料，则312000421110004200x y x y x y ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪⎪≥⎩，设该厂获得的利润z ＝3x ＋4y ，画出可行域，如图：当直线z ＝3x ＋4y 经过点(2000，1000)时， z 的值最大，即z ＝3×2000＋4×1000 ＝10000．12．在直角△ABC 中，M ，N 是斜边BC 上的两个三等分点，已知△ABC 的面积为2，则AM AN ⋅u u u u r u u u r的最小值为 ．答案：169考点：平面向量数量积，基本不等式解析：如图建立直角坐标系：B(c，0)，C(0，b)，则N(23c，13b)，M(13c，23b)，∵△ABC的面积为2，则bc＝4，AMu u u u r＝(13c，23b)，ANu u u r＝(23c，13b)，∴AM AN⋅u u u u r u u u r＝(13c，23b)·(23c，13b)＝222221629999c b bc+≥⋅=，当且仅当b＝c时取“＝”．13．若数列{}n a和{}n b满足21n nb a=-，nb∈{﹣25，﹣9，﹣7，15，35}，且数列{}n a中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为q(q＜1)的等比数列，则q＝．答案：23-考点：等比数列解析：∵21n nb a=-，∴12nnba+=，∵nb∈{﹣25，﹣9，﹣7，15，35}，∴na∈{﹣12，﹣4，﹣3，8，18}，∵集合内恰有三个正数，两个负数，∴成等比数列的三个数不可能三个都是正数，而三个负数又不成等比数列故这三个数中1正2负或2正1负，∵集合中不存在两个负数的积为82，182，∴不可能是1正2负；故这三个成等比数列的数是2正1负，由q＜1，q＜0，284189q==，解得23q=-．14．已知函数22212()log(2)2x x xf xx x⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，，，1(1)4f x ax++=恰好有6个不同的解，则实数a的取值范围为．答案：(0，1)考点：函数零点解析：令114x tx++=，由对勾函数性质可知，t ＜0时两解，t ＝0时一解，0＜t ＜2时无解，t ＝2时一解，t ＞2时两解 画出()f x 图像，由图可知，关于t 的方程()f t a =的解的情况如下： a ≤0时两解，不成立，0＜a ＜1时三解，10t <，2323t t <<<，成立， a ＝1时，10t =，22t =，394t =，46t =，不成立， 1＜a ＜2时四解，12340123t t t t <<<<<<<，不成立， a ＝2时三解11t =，2323t t <<<，不成立，a ＞2时两解，不成立．故实数a 的取值范围为(0，1)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为AB 1的中点，点F 为A 1D 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：AA 1⊥EF ．16．（本题满分14分）如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，1e u r ，2e u u r分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r，则把有序数对(x ，y )叫做向量OP u u u r 在坐标系xOy 中的坐标．（1）设M(0，1)，N(1，0)，求OM ON ⋅u u u u r u u u r的值；（2）若12OP 32e e =+u u u r u r u u r，计算OP u u u r 的大小．17．（本题满分15分）如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD ⊥BC 于D ，点D 在边BC 上（不与端点重合），且AD ＝12BC ． （1）若∠BAC ＝60°，求sinBsinC 的值； （2）求b cc b+的取值范围．18．（本题满分15分）为了丰富学生活动，在体育课上，体育教师设计了一个游戏，让甲、乙、丙三人各抓住橡皮带的一端，甲站在直角△ABC斜边AC的中点F处，乙站在B处，丙站在C处．游戏开始，甲不动，乙、丙分别以v(m/s)和v2(m/s)的速度同时出发，匀速跑向终点A和B．运动过程中绷紧的橡皮带围成一个如图所示的△DEF．（规定：只要有一人跑到终点，游戏就结束，且0＜v≤3(m/s)）．已知AB长为40m，BC长为80m，记经过t(s)后△DEF的面积为S(m2)．（1）求S关于t的函数表达式，并求出t的取值范围；（2）当游戏进行到10s时，体育教师宣布停止，求此时S(m2)的最小值．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S (n N *∈)，当n ≥2时，满足11(2)n n nS nS n S -=+-．（1）求证：2132a a a =+； （2）求证：数列{}n a 为等差数列；（3）若12a =-，公差d N *∈，问是否存在n ，d ，使得n S ＝15？如果存在，求出所有满足条件的n ，d ，如果不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数2(1)()x e x bf x x -+=．（1）当b ＝0时，求函数()y f x =的单调区间；（2）当b ∈[0，1)，x ∈(0，2]时，记函数()y f x =的最小值为()h b ，求()h b 的最大值．。
2020届江苏省金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中高三下学期期初联考数学理科(解析Word版)
2020届江苏省金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中高三下学期期初联考数学理试题Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则A ∪B ＝ ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i （i 为虚数单位，a ∈R ），若z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．函数f (x )＝ln(x －1)的定义域为 ▲ ．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，x ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 的值为 ▲ ．5．已知抛物线y 2＝4x 上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为 ▲ ．6．已知命题p ：－1<x －a <1，命题q ：(x －4)(8－x )>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 1，2a 2，a 3成等差数列，a 1＝1，则S 7＝ ▲ ． 8．函数f (x )是在R 上的周期为3的奇函数，当0<x <2时，f (x )＝2x ，则f (－7)＝ ▲ ．9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝ ▲ ． 10．在等腰△ABC 中，已知底边BC ＝2，点D 为边AC 的中点，点E 为边AB 上一点且满足EB ＝2AE ，若BD →·AC →＝－12，则EC →·AB→＝ ▲ ． 11．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b （a ，b ∈R ）的值域为(－∞，0]，若关于x 的不等式f (x )>c －1的解集为(m－4，m )，则实数c 的值为 ▲ ．12．在锐角△ABC 中，已知sin C ＝4cos A cos B ，则tan A tan B 的最大值为 ▲ ．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为 ▲ ．14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ．（1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C 的值；（2）若C －B ＝π4，求sin A 的值．17．（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB 为直径），现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ． （1）写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； （2）试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，其离心率等于22． ABCFED（第15题） AD（第17题）（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，且MA 交椭圆E 于点P ． ①求证：OP OM ⋅为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝12ax 2＋ln x ，g (x )＝－bx ，设h (x )＝f (x )－g (x )．（1）若f (x )在x ＝22处取得极值，且f ′(1)＝g (－1)－2，求函数h (x )的单调区间；（2）若a ＝0时，函数h (x )有两个不同的零点x 1，x 2． ①求b 的取值范围； ②求证：x 1·x 2>e 2．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }前n 项和为S n ，数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足S 5＝2a 4＋a 5，a 9＝a 3＋a 4．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a m a m ＋1＝a m ＋2，求正整数m 的值； （3）是否存在正整数m ，使得122+m mS S 恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．2020届高三年级第二学期期初联考试卷数学试题命题单位：丹阳高级中学 审核单位：金陵中学 无锡一中Ⅱ试题21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t (t 为参数)，与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4k 2，y ＝4k (k 为参数)交于A ，B两点，求线段AB 的长．C ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E (X )．23．（本小题满分10分）已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n N ∈．记()021nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈，n T 都能被42n +整除．期初联考试卷 数学试题参考答案及评分标准Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{1，2，3，4} 2．－1 3．(1，＋∞) 4．8 5．(4，±4)6．[5，7] 7．127 8．－2 9．3：2 10．4311．－3 12．4 13．9 14．[－1，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）解：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ， 所以BD ∥EF ．………………3分因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．………………6分 （2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AE ⊥CD ．………………8分因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ，………………10分又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ．………………12分 又CD ⊂平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ．………………14分 16．（本小题满分14分） 解：（1）解法1：在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45．………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝b c ，所以sin B sin C ＝3510．………………6分 解法2：因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ．………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510．………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725．………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425．………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin(3π4－2B )＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ＝31250．………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为扇形 AOC 的半径为 40 m ，∠AOC ＝x rad ，所以扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝x ·OA 22＝800x ，0＜x ＜π．………………2分在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ，所以S △COD ＝12·OC ·OD ·sin ∠COD ＝1600sin(π－x )＝1600sin x ．………………4分从而 S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π．………………6分 （2）由（1）知， S (x )＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π． S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600(cos x ＋12)．………………8分由 S ′(x )＝0，解得x ＝2π3．从而当0＜x ＜2π3时，S ′(x )＞0；当2π3＜x ＜π时，S ′(x )＜0 ．因此 S (x )在区间(0，2π3)上单调递增；在区间(2π3，π)上单调递减．………………11分所以 当x ＝2π3，S (x )取得最大值．答：当∠AOC 为2π3时，改建后的绿化区域面积S 最大．………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）由题得223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y ．………………4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①直线MA 的方程为0042y y y x =+，代入椭圆得()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得()20120288y x y --=+，012088y y y =+，………………8分 所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭，，()22002200488488y y y y --=+=++．……………10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：由题得()02020208822828PB y y k y y y +==----+，………………12分由MQ PB ⊥得02MQ y k =， 则MQ 的方程为00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，………………14分 所以直线MQ 过定点(0 0)O ，．………………16分 19．（本小题满分16分） 解：（1）因为1()f x ax x'=+，所以(1)1f a '=+， 由(1)(1)2f g '=--可得3-=b a ．又因为()f x在x =处取得极值，所以0f '=+=， 所以1,2=-=b a ．………………2分所以2()ln h x x x x =-++，其定义域为),0(+∞．2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=， 令()0h x '=得121,12x x =-=，当)1,0(∈x 时，()>0h x '，当),1(+∞∈x 时，()<0h x '，所以函数h (x )在区间)1,0(上单调增，在区间),1(+∞上单调减．………………4分 （2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为),0(+∞．①由()0h x =得ln -x b x =，记ln ()x x x ϕ=-，则2ln 1()x x x ϕ-'=， 所以ln ()xx xϕ=-在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增， 所以当x e =时，ln ()x x x ϕ=-取得最小值1e-．………………6分 又(1)0ϕ=，所以(0,1)x ∈时，()0x ϕ>，而(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ<， 所以b 的取值范围是)0,1(e-．………………10分注：此处需用零点存在定理证明，如考生未证明，此问最多不超过3分． ②由题意得1122ln 0,ln 0x bx x bx +=+=，所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x ++=-+-=，所以12122121ln ln ln x x x xx x x x +=--，………………12分不妨设x 1<x 2，要证212x x e >，只需要证12122121ln (ln ln )2x x x x x x x x +=->-， 即证2121212()ln ln x x x x x x -->+．………………14分设21(1)x t t x =>，则2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++， 所以22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=-=>++，函数()F t 在),1(+∞上单调增， 而(1)0F =，所以()0F t >，即2(1)ln 1t t t ->+， 所以212x x e >．………………16分 20．（本小题满分16分）解：（1）设12531,,,,-k a a a a 的公差为d ，k a a a a 2642,,, 的公比为q ，则d a d d a a q q a a 41,1,291324+=+=+=== 由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧++=+=⇒⎩⎨⎧+=+=322421134439545q d q d a d a S a a a a a a S ，………………2分 所以⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-为偶数为奇数n n n a n n ,32,12．………………4分 （2）若)(12*∈-=N k k m ，则1221321232)12(11-+=⋅⇒+=⋅⋅---k k k k k ， 因为132-⋅k 为正整数，所以122-k 为正整数， 即1112=⇒=-k k ，此时3320≠⋅，不成立，舍去．………………6分 若)(2*∈=N k k m ，则1312=⇒=+k k ，2=m ，成立， 综上，2=m ．………………8分 （3）若122-m m S S 为}{n a 中的一项，则122-m m S S为正整数， 因为)()(2242123112---+++++++=m m m a a a a a a S1313)13(22)121(211-+=--+-+=--m m m m m ，………………10分所以313)1(2321212212122≤-+--=+=----m m S a S S S m m m m m m ，故若122-m mS S 为}{n a 中的某一项，只能为321,,a a a ．………………12分 ①若φ∈⇒=-+---m m m m 113)1(23212， ②2013213)1(2321212=⇒=-+⇒=-+----m m m m m m ， ③11313)1(232212=⇒=⇒=-+---m m m m m ，………………15分 综上，1=m 或2=m ．………………16分Ⅱ试题21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：在直线l ：ax ＋y －7＝0取点A (0，7)，B (1，7－a )．因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ 0 7＝⎣⎡⎦⎤ 0 7b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ 1 7－a ＝⎣⎡⎦⎤3 b (7－a )－1，………………4分 所以A ，B 在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A′(0，7b )，B′(3，b (7－a )－1)． 由题意，知A′，B′在直线l ′：9x ＋y －91＝0上，所以⎩⎨⎧7b －91＝0，27＋b (7－a )－1－91＝0．………………8分解得a ＝2，b ＝13．………………10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的参数方程化为普通方程得4x －3y ＝4，………………2分 将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ．………………4分联立方程组⎩⎨⎧4x －3y ＝4，y 2＝4x ，解得 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1．所以A (4，4)，B (14，－1)．………………8分所以AB ＝254．………………10分C ．选修4—5：不等式选讲证：因为|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|．………………5分由绝对值不等式性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1．即|x ＋5y |≤1．………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）记“恰有2人申请A 大学”为事件A ， P (A )＝C 42×2234＝2481＝827．答：恰有2人申请A 大学的概率为827．………………4分（2）X 的所有可能值为1，2，3． P (X ＝1)＝334＝127，P (X ＝2)＝C 43×A 32＋3×A 3234＝4281＝1427，P (X ＝3)＝C 42×A 3334＝3681＝49．所以X 的概率分布列为：所以X 的数学期望E (X )＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527．………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=．………………3分（2）∵()()()()()()()()()()121221!212!1C 121C 1!!!!n k n k n nn n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-∴()()()12121002121C21C nnnn k n kn n kn n k k k T k ak k -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212102121C21C21C nnnn kn kn kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()()122122n kn k n n n n++++()22122011221C21C 2212C 21221C nnnn n nk k n n n n n +===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑………………7分∴()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+．∵*21C n n N -∈，∴n T 能被42n +整除．………………10分金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中2020届高三年级第二学期期初联考试卷数学试题点评与参考答案Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则A∪B＝▲ ．【点评】集合并集的运算，简单题。
2020年江苏省无锡一中高考数学模拟试卷(4月份)(含答案解析)
2020年江苏省无锡一中高考数学模拟试卷（4月份）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共42.0分）1.已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为______．2.在复平面内，复数（1+2i）（1-2i）所对应的点的坐标是______．3.如图是一个算法流程图，则输出的n的值是______．4.正切曲线y=tan x的对称中心的坐标是______．5.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有______根在棉花纤维的长度小于20mm．6.如果关于x的方程x2+kx+k+1=0有实数根，则实数k的取值范围是______．7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．8.设数列{a n}的前n项和为S n，b n=，n=1，2，3，…，则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的______条件．9.直线l的斜率为2，它被圆x2+y2＝80截得的弦长小于10，则l在y轴上的截距的取值范围是____．10.经过长期观测，某一公路段在交通繁忙的时段内，汽车的车流量（千辆/时）与成正比，其中v（千米/时）是汽车的平均速度．则该公路段在交通繁忙的时段内，汽车的平均速度v为______时，车流量最大．11.我们称两条相交直线所成的角中不大于90°的角为这两条直线的夹角．设直线l1：y=x，与直线l2：y=-2x+4的夹角为θ，则cosθ的值为______．12.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px与双曲线（a＞0，b＞0）有一公共焦点，还有一公共点M（1，），则双曲线的实轴长为______．13.如果直角三角形ABC的边CB，CA的长都为4，D是CA的中点，P是以CB为直径的圆上的动点，则的最大值是 .14.有2000个实数，2是其中的一个，将它们任意的排序后组成数列a1，a2，…，a2000，若该数列的所有项的和为5100，且a1+a2+…+a1050---…-是常数A（即A不随排序改变而改变），则A的值是______．二、解答题（本大题共10小题，共120.0分）15.已知函数f（x）=2⋅，x∈R，其中=（2cos x，-sin2x），=（cos x，1），（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）在△ABC中，f（A）=-2，⋅=3，求△ABC中的面积．16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C．（1）若CA=2，CO=，且BF2=3，求椭圆的方程；（2）若椭圆的离心率为，证明：F1C⊥AB．18.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c ＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．19.已知m是实数，函数f（x）=|e x-e2m|，x∈R，（1）若函数f（x）在区间（-1，3-m）上的图象上存在两个点，在这两点处的切线互相垂直，求m的取值范围；（2）当m＜时，求函数h（x）=f（x）+ln x的单调区间．20.有两个各项都是正数的数列{a n}，{b n}，若对于任意自然数n都有a n，b n2，a n+1成等差数列，b n2，a n+1，b n+12成等比数列．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）如果a1=1，b1=，记数列{}的前n项和为S n，求S n．21.在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．22.已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B-1=，求矩阵AB的逆矩阵．23.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BC=8，侧面BCC1B1是正方形，M是CC1的中点，（1）求直线A1M与平面BCC1B1所成的角的正弦；（2）试在直线A1B求一点P，使BM⊥AP．24.记[x]r=x（x+1）…（x+r-1），x∈R，r∈N+，并规定[x]0=1，（1）分别求[3]2，[-3]2的值；（2）证明：[a+b]r=[a]r-k[b]k，a，b∈R，r∈N+．-------- 答案与解析 --------1.答案：1解析：【分析】本题考查交集运算,利用交集定义直接求解即可.【解答】解: ∵集合A={1，2}，B={a，a2+3},A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，当a=1时，A={1，2}，B={1，4}，成立；当a2+3=1时，方程无解．综上，a=1．故答案为1.2.答案：（5，0）解析：解：∵（1+2i）（1-2i）=1-2i+2i-4i2=5．∴复数（1+2i）（1-2i）所对应的点的坐标是（5，0）．故答案为：（5，0）．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：5解析：【分析】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5．故答案为5．4.答案：（，0），k∈Z解析：解：根据正切函数图象的性质知，曲线y=tan x的对称中心的坐标是（，0），k∈Z．故答案为：（，0），k∈Z．根据正切函数图象的性质写出y=tan x的对称中心坐标即可．本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题．5.答案：30解析：解：由图可知，棉花纤维的长度小于20mm段的频率为0.01+0.01+0.04，则频数为100×（0.01+0.01+0.04）×5=30．故填：30．由图分析可得：易得棉花纤维的长度小于20mm段的频率，根据频率与频数的关系可得频数．本题考查频率分布直方图的知识．考查读图的能力，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．6.答案：k≤2-或k≥2+解析：解：∵关于x的方程x2+kx+k+1=0有实数根，∴△=k2-4（k+1）≥0⇒k2-4k-1≥0，解得k≤或k；故答案为：k或k．利用△≥0即可求出答案．本题考查了一元二次方程有实数根应满足的充要条件，属于基础题．7.答案：解析：解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1-=．故答案为：．出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8.答案：充要解析：【分析】由等差数列的定义及充分必要条件的判定方法判断．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查充分必要条件的判定方法，是中档题．【解答】解：若数列{a n}是等差数列，则，∴b n==，为常数，则数列{b n}是等差数列；若数列{b n}是等差数列，则b n==kn+b，∴．a1=S1=k+b，当n≥2时，a n=S n-S n-1=kn2+bn-[k（n-1）2+b（n-1）]=2kn+b-k．n=1时适合上式．∴a n=2kn+b-k，数列{a n}是等差数列．∴“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件．故答案为：充要．9.答案：（-20，-5）∪（5，20）解析：解：设直线y=2x+b，圆心（0，0）到直线2x-y+b=0的距离d=，∵弦长为2，∴25＜b2＜400，解可得，5＜b＜20或-20＜b＜-5，故答案为：（-20，-5）∪（5，20）．先设直线y=2x+b，求出圆心（0，0）到直线2x-y+b=0的距离d，然后根据弦长为2，结合已知弦长范围可求b的范围．本题主要考查了直线与圆相交的弦长公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式10.答案：30解析：解：设y=（k≠0）．∵v＞0，∴y=，∵v+≥60，∴y≤，当且仅当v=，即v=30（千米/时）时，车流量最大．故答案是：30．将已知函数化简，从而利用基本不等式求车流量y最大值．本题以已知函数关系式为载体，考查基本不等式的使用，考查解不等式，解题的关键利用基本不等式求最值，同时考查计算能力，属于中档题．11.答案：解析：解：由题意可得：tanθ==3，∴cosθ==．故答案为：．由题意可得：tanθ，结合直角三角形，根据三角形函数的定义即可得出cosθ．本题考查了直线到角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：1解析：解：抛物线y2=2px与双曲线（a＞0，b＞0）有一公共点M（1，），可得6=2p，解得p=3，所以抛物线的焦点坐标（，0），所以，并且，解得a=，b=，所以双曲线的实轴长为：1．故答案为：1．求出抛物线的方程，得到焦点坐标，利用双曲线的焦点坐标以及点在双曲线上求出a，即可得到结果．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．13.答案：8+解析：【分析】本题考查了平面向量基本定理及三角函数的辅助角公式，属中档题．由平面向量基本定理及三角函数的辅助角公式可得：=（2，-4），=（-2cosθ，-2-2sinθ），则=-4cosθ+8sinθ+8=4sin（θ+φ）+8，由三角函数的有界性可得：因为sin（θ+φ）∈[-1，1]，所以当sin（θ+φ）=1时，取最大值4+8，得解．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系可得：C（0，0），D（2，0），B（0，4），P（2cosθ，2+2sinθ），则=（2，-4），=（-2cosθ，-2-2sinθ），则=-4cosθ+8sinθ+8=4sin（θ+φ）+8，又sin（θ+φ）∈[-1，1]，所以当sin（θ+φ）=1时，取最大值4+8，故答案为：4+8．14.答案：350解析：解：由题意可得a1+a2+…+a2000=5100，可得a1+a2+…+a1050=5100-（a1051+a1052+…+a2000），由题意可得5100-（a1051+a1052+…+a2000）---…-是常数A，由2是其中的一个，2+=5，且3+=5，可得a1051，a1052，…，a2000，都为2或3，则A=5100-（5+5+…+5）=5100-5×950=350．故答案为：350．由题意可得a1+a2+…+a1050=5100-（a1051+a1052+…+a2000），考虑到2是其中的一个，2+=5，且3+=5，可得a1051，a1052，…，a2000，都为2或3，计算可得所求和．本题考查数列的求和：并项求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．15.答案：解：（1）因为=（2cos x，-sin2x），=（cos x，1），所以f（x）=2⋅=4cos2x-2=2cos2x-2sin2x+2=4cos（2x+）+2，由T==π，由2kπ≤2x+≤2kπ+π，解得：k≤x≤k，k∈Z故f（x）的最小正周期为π，单调减区间为：[k，k]，k∈Z；（2）因为在△ABC中，f（A）=-2，所以cos（2A）=-1，所以2A+=π，即A=，又=3，所以|AB||AC|=3，即|AB||AC|=6，所以S△ABC=|AB||AC|sin=，故△ABC中的面积为．解析：（1）平面向量的数量积、三角函数图象的性质可得：f（x）=4cos（2x+）+2，由T==π，则易得：f（x）的最小正周期为π，单调减区间为：[k，k]，k∈Z；（2）由三角函数求值及三角形的面积公式可得：A=，又=3，所以|AB||AC|=3，即S△ABC=|AB||AC|sin=，得解．本题考查了平面向量的数量积、三角函数图象的性质及三角形的面积公式，属中档题．16.答案：解：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．解析：（1）根据三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．17.答案：解：（1）由题意可知：a=|BF2|=3，则C点坐标为（4，1），将C代入，解得b2=8，所以椭圆的方程；（2）证明：由离心率e==，则a=c，b2=a2-c2=4c，即b=2c，则椭圆方程为4x2+5y2=20c2，则B（0，2c），F1（-c，0），F2（c，0），则直线BA的斜率为-2，则直线BA的方程为y=-2x+2c，联立，解得x A=，则y A=-2×+2c=-，所以C（，），所以=（，），=（c，-2c），则•=×c-×2c=0，所以⊥，所以F1C⊥AB．解析：（1）根据题意求得a，求得C点坐标，代入椭圆方程，即可求得b，求得椭圆方程；（2）根据椭圆的离心率，求得a，b与c的关系，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，求得A和C 点坐标，利用向量的数量积或者直线的斜率之积为-1，即可求证F1C⊥AB．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．18.答案：解：（1）由体积V=，解得l=，∴y=2πrl×3+4πr2×c=6πr×+4cπr2=2π•，又l≥2r，即≥2r，解得0＜r≤2∴其定义域为（0，2]．（2）由（1）得，y′=8π（c-2）r-，=，0＜r≤2由于c＞3，所以c-2＞0当r3-=0时，则r=令=m，（m＞0）所以y′=①当0＜m＜2即c＞时，当r=m时，y′=0当r∈（0，m）时，y′＜0当r∈（m，2）时，y′＞0所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3＜c≤时，当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．所以r=2是函数y的最小值点．综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r=2；当c＞时，建造费用最小时r=解析：（1）由圆柱和球的体积的表达式，得到l和r的关系．再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表达式中的l用r表示．并注意到写定义域时，利用l≥2r，求出自变量r的范围．（2）用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（0，2]中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论．利用导数的知识研究函数单调性，函数最值问题是高考经常考查的知识点，同时分类讨论的思想也蕴含在其中．19.答案：解：（1）当x≥2m时，f（x）=|e x-e2m|=e x-e2m，此时为增函数，当x＜2m时，f（x）=|e x-e2m|=-e x+e2m，此时为减函数，即当x=2m时，函数取得最小值0，设两个切点为M（x1，f（x1）），N（（x2，f（x2）），由图象知，当两个切线垂直时，必有，x1＜2m＜x2，即-1＜2m＜3-m，得-＜m＜1，∵k1k2=f′（x1）f′（x2）=e x1•（-e x2）=-e x1+x2=-1，则e x1+x2=1，即x1+x2=0，∵-1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2m，∴2m＜1，解得m＜，综上m的取值范围为（，（2）当m＜时，由（1）当x≥2m时，f（x）=|e x-e2m|=e x-e2m，此时为增函数，当x＜2m时，f（x）=|e x-e2m|=-e x+e2m，此时为减函数，∵当x＞0时，函数y=ln x在（0，+∞）为增函数，增区间（0，+∞）解析：求出函数f（x）的表达式，利用数形结合，结合导数的几何意义进行求解即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.答案：（1）证明：∵a n，b n2，a n+1成等差数列，∴2=a n+a n+1，①∵b n2，a n+1，b n+12成等比数列，∴=，②∵a n＞0，b n＞0，∴由②得a n+1=b n•b n+1，∴当n≥2时，a n=b n-1•b n，∴由①得=b n-1•b n+b n•b n+1，∴2b n=b n-1+b n+1，∴数列{b n}是等差数列．（2）∵a1=1，b1=，a n，b n2，a n+1成等差数列，b n2，a n+1，b n+12成等比数列，∴，，解得a2=3，，∴，，解得a3=6，，∴，，解得a4=10，，由此猜想：a2-a1=3-1=2，a3-a2=6-3=3，a4-a3=10-6=4，…a n-a n-1=n，∴a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（a n-a n-1）=1+2+3+4+…+n=，∴==2（），∴+…+=．解析：（1）根据题设条件，由等差数列的性质得到2=a n+a n+1，由等比数列的性质得到=，由此进行化简整理，能够证明数列{b n}是等差数列．（2）由a1=1，b1=，a n，b n2，a n+1成等差数列，b n2，a n+1，b n+12成等比数列，利用递推思想分别求出数列{a n}的前四项，再得用合理猜想和累加法求出数列{a n}的通项公式，最后利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和为S n．本题考查等差数列的证明和数列前n项和的求法，解题时要注意递推思想、函数思想的合理运用，要合理猜想，灵活运用累加法和裂项求和法进行解题．21.答案：解：椭圆的普通方程为，右焦点为（4，0），直线（t为参数）的普通方程为2y-x=2，斜率为：；所求直线方程为：解析：椭圆的普通方程为，右焦点为（4，0），直线普通方程为2y-x=2，斜率为：，利用点斜式求出方程即可．本题考查参数方程与普通方程的转化．直线方程求解．属于基础题．22.答案：解：设B=，由BB-1=E，即=，可得a=1，-a+2b=0，c=0，-c+2d=1，解得a=1，b=，c=0，d=，则AB==，设矩阵AB的逆矩阵为，可得=，即有x+z=1，-z=0，y+w=0，-w=1，解得x=1，z=0，y=，w=-1，则矩阵AB的逆矩阵为．解析：设B=，由BB-1=E，结合矩阵的乘法，解方程可得a，b，c，d，求得AB，设矩阵AB的逆矩阵为，由逆矩阵的定义和矩阵的乘法可得x，y，z，w的方程，解方程即可得到所求矩阵．本题考查矩阵的逆矩阵的求法，注意运用方程思想和逆矩阵的定义，考查运算能力，属于基础题．23.答案：解：（1）取BC中点D，连结AD，以A为原点，AD为x轴，过A作BC的平行线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，8），M（3，4，4），=（3，4，-4），平面BCC1B1的法向量=（1，0，0），设直线A1M与平面BCC1B1所成的角为θ，则sinθ===．∴直线A1M与平面BCC1B1所成的角的正弦值为．（2）B（3，-4，0），设P（a，b，c），（0≤λ≤1），则（a-3，b+4，c）=（-3λ，4λ，8λ），解得P（3-3λ，-4+4λ，8λ），=（0，8，4），=（3-3λ，-4+4λ，8λ），∵BM⊥AP，∴=0+8（-4+4λ）+4×8λ=0，解得，∴P（，-2，4），即P是A1B的中点．解析：（1）取BC中点D，连结AD，以A为原点，AD为x轴，过A作BC的平行线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1M与平面BCC1B1所成的角的正弦值．（2）B（3，-4，0），设P（a，b，c），（0≤λ≤1），推导出P（3-3λ，-4+4λ，8λ），由此能求出P是A1B的中点，使BM⊥AP．．本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．24.答案：解：（1）[3]2=3×4=12．[-3]2=-3×（-3+2-1）=6．（2）证明：利用数学归纳法证明：r∈N+．①r=1时，[a+b]1=[a]1[b]0+=a+b成立．②假设r=n时成立，则[a+b]n=成立，则r=n+1时，[a+b]n+1=[a+b]n[a+b]1=（[a]n++……+）[a+b]=（[a]n+1+[a]n[b]1+……+[a][b]n）+（[a]n[b]+[a]n-1[b]2+……+[b]n+1．根据=．∴[a+b]n+1=（[a]n+1+[a]n[b]1+……+[b]n+1=[a]n+1-k[b]k．假设成立，即r=n+1时命题成立．综上可得：：[a+b]r=[a]r-k[b]k，a，b∈R，r∈N+．解析：（1）根据定义即可得出[3]2，[-3]2．（2）利用数学归纳法，及其=即可证明结论．本题考查了新定义、组合数的性质、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
江苏省无锡市第一中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
所以选出的4名志愿全是女性的选派方法数有3种,
（2） 的取值可能为0，1,2,3
，
，
，
，
列表如下:
0
1
2
3
∴ .
【点睛】本题考查组合问题和求概率分布列以及数学期望，求概率分布列先要弄清楚随机变量的取值情况，准确求出其对应的概率时关键，属于中档题.
20.物联网兴起、发展、完善极大的方便了市民生活需求.某市统计局随机地调查了该市某社区的100名市民网上购菜状况,其数据如下:
【解析】
【分析】
（1）选出的4名志愿全是女性，则从2名女医生选2人有 种选法，从3名女护士选2人有 选法，根据乘法原理可得答案。
（2）由题意有 的取值可能为0,1，2,3,再分别计算出 取各个值的概率，列出分布列,求出期望即可.
【详解】解：（1）从2名女医生选2人有 种选法，从3名女护士选2人有 选法
【解析】
【分析】
将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2,1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案．
【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，
分成1、1、3时，有 种分法，
分成2、2、1时，有 种分法，
所以共有 种分法,
12.对于定义在 上的可导函数 ,当 时， 恒成立,已知 ， ， ，则 ， , 的大小关系为（ ）
A。 B. C。 D。
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，并根据 ,即可得出结论。
【详解】设 ，则 ,所以 在 单调递增，
， ， ,
因 ，所以 ,即 。
江苏省无锡市2019-2020年度数学高三上学期理数期中考试试卷A卷
江苏省无锡市2019-2020年度数学高三上学期理数期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合, 则（）A .B .C .D .2. （2分）在等比数列中，，是方程的两个根，则 =（）A .B .C .D . 以上都不对3. （2分）cos150°的值为（）A .B . -C .D . -4. （2分）下列函数为奇函数的是（）A .B . y=C . y=xsinxD . y=log25. （2分） (2019高三上·凤城月考) 在中，，若为的中点，为中点，则（）A .B .C .D .6. （2分）在平面直角坐标系中，直线与圆相交于A、B 两点，则弦AB的长等于（）A .B .C .D . 17. （2分） (2018高二上·凌源期末) 若满足约束条件，则的最大值是（）A .B . 1C . 2D . 38. （2分）(2014·重庆理) 已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+ ，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A . bc（b+c）＞8B . ab（a+b）＞16C . 6≤abc≤12D . 12≤abc≤249. （2分）若直线y=mx是y=lnx+1的切线，则m=（）A . 1B . 2C . 0D . 410. （2分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一段图象如图所示，则过点P（ω，φ），且斜率为A的直线方程是（）A . y﹣ = （x﹣2）B . y﹣ = （x﹣4）C . y﹣ =2（x﹣4）D . y﹣ =2（x﹣2）11. （2分） (2016高二上·包头期中) 设双曲线的焦点为F1、F2 ，过F1作x轴的垂线与该双曲线相交，其中一个交点为M，则| |=（）A . 5B . 4C . 3D . 212. （2分）△ABC中，∠A=， BC=3，AB=，则∠C=（）A .B .C .D . 或二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）直线l1 ， l2的斜率k1 ， k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根，若l1⊥l2 ，则b=________；若l1∥l2 ，则b=________.14. （1分） (2018高二上·武汉期中) 已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左右焦点，过点作椭圆的切线和两轴分别交于点，当（为坐标原点）的面积最小时，，则椭圆的离心率为________.15. （1分）若数列{an}的前n项和为Sn=3×2n+1，则数列{an}的通项公式是an=________．16. （1分）已知函数f（x）对任意的实数满足：f（x+3）=﹣，且当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2 ，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）=________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2019高一下·上海月考) 已知函数＞0，＞0，＜的图象与轴的交点为（0，1），它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和（1）写出的解析式及的值；（2）若锐角满足，求的值.18. （10分） (2016高一下·成都期中) 已知公差不为零的等差数列{an}中，a1=1，且a1 ， a3 ， a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= +n，求数列Sn的前Sn项和Sn．19. （10分）(2020·海安模拟) 在棱长为的正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O 上一点，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.20. （10分） (2017高二下·河北期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：（x+1）2+y2= 的圆心为M，圆N：（x﹣1）2+y2= 的圆心为N，一动圆与圆M内切，与圆N外切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与曲线P交于A，B两点，若 =﹣2，求直线l的方程．21. （10分）(2016·北京理) 设函数f(x)=x +bx，曲线y=f(x)在点 (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，（1）求a,b的值；（2）求f(x)的单调区间。
江苏省无锡市第一中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
【详解】对于A选项，若 ， ，则 或 ，A错误
对于B选项，若 ， ,则 或 与 相交或异面，B错误
对于C选项，若 , ，则 或 ,C错误
对于D选项，若 , ，则 或 ，D正确
故选：D
【点睛】本题考查线面平行的判定与性质，属于基础题
4。一个球的表面积是 ，则它的体积是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据异面直线的定义，可得选项.
【详解】根据异面直线的定义，对于A：空间中不相交的直线可以是平行的，也可以是异面的,故A错误；
对于C:分别在两个平面内的两条直线，可以是相交的，可以是平行的，也可以是异面的,故C错误；
对于D：平面内的一条直线和平面外的一条直线，这两条可以相交的，可以是平行的，也可以是异面的，故D错误；
（2）设 的中点为 ，连接 、 ，根据三角形中位线的性质得出 ，得出 是异面直线 与 所成角或其补角，利用余弦定理求出 ,从而得出结果。
【详解】解：（1）由题可知, 底面 ， ,
且底面 是边长为 的正方形，
由于 ，
而 ，
，
在 中，有 ，则 ，
所以 ,
设点 到平面 的距离为 ，
由于 ，则 ，
则 ,
解得： ,
6.若三角形三边长分别是4，5，6，则这个三角形的形状是（ )
A。 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D。 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】
不妨设 ，由边的大小知C为最大角，利用余弦定理求 ,由 可得三角形的三个角均为锐角，即可得出结论。
【详解】不妨设 , , ,C为最大角，
，又 ,
为锐角,则A、B均为锐角，所以这个三角形是锐角三角形.
无锡市第一中学2020—2021学年度第一学期期中试卷高一数学参考答案
=6800 − (4x + 10000) ． x
所以
L(
x)
=
−10x 6800
2 + 600x − 3000，0 x − (4x + 10000)，40 ≤
x
40， x ≤100.
………………………6 分
a 0， g(1) ≤ 0，解得－3≤a＜0． g(2) ≤ 0，
因为 p 为真，则¬p 为假命题， 所以实数 a 的取值范围为(－∞，－3)．………………………………………12 分 （注：其他解答酌情给分．） 22 解：（1）①先证充分性（如果一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数为偶函数．） 设函数 y＝f(x)，在函数图象上取两点(x，f(x))，(－x，f(－x))． 因为函数的图象关于 y 轴对称， 所以横坐标互为相反数的两个点的纵坐标应该相等，即 f(x)＝f(－x)， 所以函数 y＝f(x)为偶函数． ②再证必要性（如果一个函数是偶函数，那么它的图象关于 y 轴对称．） 设 y＝f(x)是偶函数， 要证明图象关于 y 轴对称， 即证明图象上任意一点关于 y 轴的对称点还在自身图象上， 设 P(x，y)为 f(x)图象上任意一点，则 y＝f(x)， 此时 P 关于 y 轴的对称点 P′(x'，y')， 则 x'＝－x，y'＝y， 又函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)＝f(－x)，即 y＝f(x)＝f(－x)＝y′， 所以点 P′(x'，y′)在函数 f(x)图象上． 所以函数 y＝f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称．……………6 分 （2）g(x)＝(x＋1)4－1， 设 x＝a 为 g(x)的对称轴， 由题意，g(x＋a)＝(x＋1＋a)4－1 为偶函数． 任取 x∈R，g(x＋a)＝g(－x＋a)， 所以(x＋1＋a)4－1＝(－x＋1＋a)4－1， 所以[(x＋1＋a)2＋(x－1－a)2][ (x＋1＋a)2－(x－1－a)2]＝0， 所以[(x＋1＋a)2＋(x－1－a)2]4(1＋a)x＝0 恒成立， 故 1＋a＝0，则 a＝－1， 所以 g(x)的对称轴为直线 x＝－1． ………………………………………………9 分 （3）因为函数 y＝h(x＋2)为偶函数，且 y＝h(x)在(2，＋∞)上单调递减， 所以│m－2│＜│1－2m－2│，
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√
13. 函数 y = 2x − 1 的定义域为
.
14. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若
某户居民某月交纳水费 60 元，则该月用水量
m3．
每户每月用水量 不超过 12m3 的部分 超过 12m3 但不超过 18m3 的部分 超过 18m3 的部分
取值围．
19.（12 分）已知 x > 0，y > 0，且 1 + 4 = 1． xy
(1) 求 x + y 的最小值 (2) 若 xy > m2 + 6 恒成立，求实数 m 的取值范围．
20.（12
分）某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入
4
2
()
S 高一数学期中试卷 第 1 页（共 4 页）
10. 下列函数中是偶函数的有
A. y = x2 + 1
B.
y
=
2x
+
1 2x
()
√
√
C. y = x − 1 + 1 − x D. = |x + 1| + |x − 1|
11. 如图，某河塘浮萍面积 y(m2) 与时间 t(月) 的关系式为 ykat，则下列说法正确的是
无锡市第一中学 2020 ∼ 2021 第一学期期中考试试卷
高一数学
2020.11
一. 单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1. 设集合 A = {a，6}，B = {3，4，5}，A∩B = {3}，则 A∪B =
A. {3，4，5，6}
远．若 a，b，c∈R，则下列命题正确的是
()
A. 若 a > 0，则 a2 + 1 > (a − 1)(a + 2)
B. 若 a > b > 0，则 ac2 > bc2
C. 若 a > b，且 1 < 1 ，则 ab > 0 ab
D.
若
a
>
b
>
0，则
a a2 + 1
>
b b2 + 1
二. 多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
B. {3}
C. {3，6}
D. {3，4，5}
()
2. 命题“∀x∈R，x2 − 2x + 1⩾0”的否定是 A. ∀x∈R，x2 − 2x + 1 ⩾ 0 C. ∀x∈R，x2 − 2x + 1 < 0
B. ∃x∈R，x2 − 2x + 1⩾0 D. ∃x∈R，x2 − 2x + 1 ⩾ 0
()
水价 3 元/m3 6 元/m3 9 元/m3
x2 − 2ax + 6，x ⩽ 2
15. 已知函数 f(x) = a ，x > 2
是 R 上的减函Βιβλιοθήκη ，则实数 a 的取值范围为.
x
16. 已知函数 y = f(x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时，f(x) = 1 − 2x−1，则函数 y = f(x) 的 x+1
ã0
+
Å
4
ã−
1 2
；
2
9
(2) log3 54 − log3 2 + log2 3 · log3 4．
S 高一数学期中试卷 第 2 页（共 4 页）
18.（12 分）已知集合 A = {x|2 < x < 4}，B = {x|x2 − 4ax + 3a2 < 0}．
(1) 若 a = 1，求 ∁RB ∩A； (2) 若 a > 0，设命题 p：x∈A，命题 q：x∈B．已知命题 p 是命题 q 的充分不必要条件，求实数 a 的
9. 已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (−∞， − 2)∪(4， + ∞)，则
A. a > 0 B. 不等式 bx + c > 0 的解集为 {x|x < −4}
C. a + b + c > 0
ß
™
D. 不等式 cx2 − bx + a < 0 的解集为 x x < − 1 或x > 1
A. 0
B. 4
C. 0 或 4
D. 8 D. 不能确定
() ()
6.
已知
a
=
20.4，b
=
20.6，c
=
log2
1 2
，则
a，b，c
的大小关系是
A. a < b < c
B. a < c < b
C. c < b < a
D. c < a < b
®
7. 已知 f(x) = |x|，g(x) = x2，设 h(x) =
解析式为
；若关于 x 的方程 f(x2 + 4x + t) = 5 在 [1，3] 上有解，则 t 的最大值 3
为
. (注：第一个空 2 分，第二个空 3 分.)
四. 解答题：共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10 分）求值：
(1)
√5 32
+
8
2 3
+
Å
1
f(x)，f(x) ⩽ g(x) g(x)，f(x) > g(x)
则函数 y = h(x) 大致图象是
() ()
A.
B.
C.
D.
8. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家
哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深
3.“a > b > 0”是“a2 > b2”的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
()
4. 已知幂函数 y = f(x) 的图象经过点 A(4，2)，B(16，m)，则 m =
A. 1
B. 1
C. 4
5. 已知集合 A = {x|mx2 + 4x + 1 = 0} 仅有一个元素，则 m 的值是
()
A. 浮萍每月增加的面积都相等 B. 第 4 个月时，浮萍面积会超过 25m2 C. 浮萍面积蔓延到 100m2 只需 6 个月 D. 若浮萍面积蔓延到 10m2，20m2，40m2 所需时间分别为 t1，t2，t3，则 t1 + t3 = 2t2
12. 对于给定数集 M，若对于任意 a，b∈M，有 a + b∈M，a − b∈M，则称集合 M 为“F 集合”，则下列
说法中正确的有
()
A. 集合 M = {1，0， − 1} 为“F 集合”
B. 有理数集为“F 集合”
C. 集合 M = {x | x = 2k，k ∈ Z} 为“F 集合”
D. 若集合 A，B 为“F 集合”，则 A∪B 为“F 集合”
三. 填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分，共 20 分．