2011年高考数学一轮复习(共87节)27.3 参数方程

27.3 参数方程【知识网络】1. 参数方程的概念.2. 曲线的参数方程与普通方程的互化.3. 利用曲线的参数方程解决有关问题. 【典型例题】例1.（1）3．将参数方程222sin (sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)化为普通方程为 （C ）A ．2y x =-B ．2y x =+C ．2(23)y x x =-≤≤D ．2(01)y x y =+≤≤ 提示：将2sin y θ=代入22sin x θ=+即可，但是20sin 1θ≤≤.（2）参数方程为1(2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数)表示的曲线是 （D ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线 提示：2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线（3）直线112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数)和圆2216x y +=交于,A B 两点，则A B 的中点坐 标为 （D ）A ．(3,3)- B．(3) C．3)- D．(3,提示：221(1)()1622t ++-=，得2880t t --=，12128,42t t t t ++==中点为1143242x x y y ⎧=+⨯⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=-⎪⎩（4）直线34(45x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数)的斜率为______________________. 54-提示：455344y t k x t--===--（5）抛物线2414x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）在x 轴上截得的弦长为 .提示：令0y =，得12t =±.当12t =时，2x =；当12t =-时，2x =-，∴抛物线与x 轴交于点(2,0),(2,0)-.例2.分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2t tt t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：（1）θ为参数，t 为常数； （2）t 为参数，θ为常数；解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即||1,0x y ≤=且； 当0t ≠时，cos ,sin 11()()22ttttx y e e e e θθ--==+-而22sin cos 1θθ+=，即2222111()()44ttttx y e e e e --+=+-（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2t tx e e -=±+，即||1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1()2tty e e -=±-，即0x =；当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t t t t x e e y e e θθ--⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即222cos sin 222cos sin t t x y e x y e θθθθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得222222()()cos sin cos sin ttx y x y e eθθθθ-⋅=+-即22221cos sin xyθθ-=。

例3.求经过点000(,)M x y 倾斜角为α的直线l 的参数方程.解：设点(,)M x y 为直线l 上的任意一点，过点M 作y 轴的平行线，过点0M 作x 轴的平行线， 两直线相交于点Q .规定直线l 向上的方向为正方向.当0M M 与l 同方向或0,M M 重合时,因00||M M M M =,由三角函数定义, 有000cos ,sin M Q M M Q M M M αα==;当0M M 与l 反方向时, 00,,M M M Q Q M 同时改变符号,上式依然成立. 设0M M t =,取t 为参数, ∵000,M Q x x Q M y y =-=-,∴00cos ,sin x x t y y t αα-=-=, 即00cos ,sin x x t y y t αα=+=+,∴直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩.例4.已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，（1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。

解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，22cos sin 1)1x y θθθϕ+=++=++∵1)11θϕ≤++≤∴121x y ≤+≤,即2x y +的取值范围为[1].（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥∴(cos sin )1)114a πθθθ≥-+-=+-≥,∴实数a的取值范围为[1,)+∞.【课内练习】1.与参数方程为x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数)等价的普通方程为 （D ） A ．214y+=2x B ．21(01)4yx +=≤≤2xC ．21(02)4yy +=≤≤2x D ．21(01,02)4yx y +=≤≤≤≤2x提示：22222,11,1,44yyx t t x x ==-=-+=而0,011,t t ≥≤-≤得02y ≤≤2.若曲线C 的参数方程为21cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线C 上的点的轨迹是 （D ）A ．直线220x y +-=B ．以(2,0)为端点的射线C ．圆22(1)1x y -+= D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段 提示：将曲线的参数方程化为普通方程得220(02,01)x y x y +-=≤≤≤≤3.曲线25(12x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数)与坐标轴的交点是 （B ）A ．21(0,)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、 提示：令0x =，得25t =，此时1125y t =-=， ∴曲线与y 轴的交点为1(0,)5；令0y =，得12t =，此时1252x t =-+=， 曲线与x 轴的交点为1(,0)2.4.直线2(1x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数)被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为 （C ）AB ．1404CD提示：222112x x t y t y ⎧=-+⨯⎪=-+⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⨯⎪⎩，把直线21x t y t =-+⎧⎨=-⎩代入 22(3)(1)25x y -++=得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=12t t -==12t -=5.直线3(14x at t y t=+⎧⎨=-+⎩为参数)恒过定点_____________. (3,1)-提示：将参数方程化为乭方程得4(3)(1)0x a y -++=，当3x =且1y =-时，此方程对于任 何a 都成立，所以直线恒过定点(3,1)-.6. 直线122(112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被圆224x y +=截得的弦长为______________.提示：直线为10x y +-=，圆心到直线的距离2d ==，2=7. 已知曲线22(2x pt t y pt⎧=⎨=⎩为参数，p 为正常数)上的两点,M N 对应的参数分别为1t 和2t ，且120t t +=，那么M N =_______________. 14||p t提示：参数方程222x pt y pt⎧=⎨=⎩表示的曲线为抛物线22y px =，线段M N 垂直于抛物线的对称轴，∴ 121||2||2|2|M N p t t p t =-=8. 选取适当参数，把直线方程23y x =+化为参数方程.解：选t x =，则23y t =+， 由此得直线的参数方程为23x ty t =⎧⎨=+⎩.也可选1t x =+，则21y t =+， 由此得直线的参数方程为121x t y t =-⎧⎨=+⎩.可见，曲线的参数方程随参数选取的不同而不同，同一条曲线可以有多种不同形式的参数方程.9.已知弹道曲线的参数方程为020cos 1sin 2x v t y v t gt αα=⎧⎪⎨=-⎪⎩.（1）求发射角3πα=时，弹道曲线的普通方程和射程；（2）设0v 是定值，α可以变动，求证：当4πα=时射程最大.解：（1）发射角3πα=时，弹道曲线的参数方程为02012122x v t y t gt⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由012x v t =，得02x t v =，代入20122y t gt =-并化简，得222g y x v =-+.令0y =，得2x g=0x =2g.∴弹道曲线的普通方程为222g y x v =-+2g.（2）证明：由弹道曲线的参数方程020cos 1sin 2x v t y v t gt αα=⎧⎪⎨=-⎪⎩消去t ，得到它的普通方程为22201tan 2cos xy x g v αα=-⋅，由（1）知，射程为20sin 2v gα，∵02πα≤<， ∴02απ≤<，∴当4πα=时射程最大，为20v g.10.在椭圆2211612xy+=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值.解：设椭圆的参数方程为4cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，d =o s s i n 2c o s ()33πθθθ=-+- 当cos()13πθ+=，即53πθ=时，min 5d =，此时所求点为(2,3)-.作业本1.把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是 （D ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩提示：1xy =，x 可取一切非零实数，而A ，B ，C 中的x 都取不到一切非零实数.2. 直线：3490x y --=与圆：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）的位置关系是 （D ）A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 提示：圆的普通方程为224x y+=，圆心(0,0)O 到直线3490x y --=的距离为9,59025<<.3.椭圆42cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的焦距为 （B ）AB ．CD ．提示：椭圆的普通方程为22(4)(1)1425x y --+=，椭圆可通过平移将其方程化为221425x y ''+=，5,a c ==.4.直线l 的参数方程为(x a t t y b t=+⎧⎨=+⎩为参数)，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b之间的距离是 .1||t提示：11|||P P t ===1=.5.直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切，则θ=_______________.6π，或56π提示：直线为tan 0x y θ-=，圆为22(4)4x y-+=，圆心为(4,0)，由sin |4|cos |4sin |21||cos θθθθ===， ∴1sin 2θ=或1sin 2θ=-，∴6πθ=或56πθ=.6. 动点M 作等速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于(1,1)A ，求点M 的轨迹的参数方程.解：设动点运动的时间为t ，点M 的坐标为(,)x y ，由题设知，19,112(0)x t y t t =+=+≥，∴点M 的轨迹的参数方程为19112x t y t=+⎧⎨=+⎩（0t ≥）.7.设直线的参数方程为11x t y t=+⎧⎨=-⎩，求直线被圆224x y +=截得的弦长.解：把直线的参数方程代入圆的方程，得22(1)(1)4t t ++-=，得21t =， ∴1t =或1t =-，分别代入直线方程，得121202,20x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩， ∴直线与圆的交点为(0,2)A 和(2,0)B ，||A B =8. 设直线:38720l x y ++=，椭圆22:110025xyC +=.求椭圆C 到直线l 的最小距离（即椭圆上任意一点M 到直线l 的距离的最小值）.解：把椭圆方程化为参数方程10cos (5sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)，则椭圆上任意一点(,)M x y 为 (10cos ,5cos )θθ，它到直线l的距离为d ==，∴73d ≥=， ∴椭圆C 到直线l73。