高三数学上册单元检测试题9
2019高三数学(人教A版理)一轮单元评估检测9 第9章第10章
单元评估检测(九)第9章算法初步、统计与统计案例第10章计数原理、概率、随机变量及其分布(120分钟150分)(对应学生用书第272页)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．组合式C0n－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)n C n n的值等于()A．(－1)n B．1C．3n D．3n－1[答案]A2．(2017·益阳模拟)某公司2010—2015年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如表所示：A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系D．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系[答案]B3．设随机变量X服从正态分布N(3,4)，若P(X＜2a－3)＝P(X＞a＋2)，则a ＝() 【导学号：97190439】A．3 B．5 3C．5 D．7 3[答案]D4．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝－2a n(n∈N*)．若从数列{a n}的前10项中随机抽取一项，则该项不小于8的概率是()A．310B．25C．35D．710[答案]B5．(2018·石家庄模拟)如图9-1给出了一种植物生长时间t(月)与枝数y(枝)之间的散点图．请你据此判断这种植物生长的时间与枝数的关系用下列哪种函数模型拟合最好？()图9-1A．指数函数y＝2t B．对数函数y＝log2tC．幂函数y＝t3D．二次函数y＝2t2[答案]A6．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为()A．72种B．52种C．36种D．24种[答案]C7．随着网络的普及，人们的生活方式正在逐步改变．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00—7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30—7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是()A．18B．58C．12D．78[答案]D8．如图9-2，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝1x(x＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为()图9-2A．ln 22B．1－ln 22C．1＋ln 22D．2－ln 22[答案]C9．已知a＝1π⎠⎛2－2(4－x2－ex)dx，若(1－ax)2 016＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b2016x2 016(x∈R)，则b12＋b222＋…＋b2 01622 016的值为()A．0 B．－1C．1 D．e[答案]B10．一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0,1,2,2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜(若数字相同则为平局)，则在甲获胜的条件下，乙摸到数字1的概率为( )【导学号：97190440】A ．516B ．916C ．15D ．25[答案] D11．(2018·六安模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，x ＋12≥0表示的区域为Ω，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2≤14表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机投入360粒芝麻，则落在区域Γ中的芝麻数为( )A ．150B ．114C ．70D ．50[答案] B12．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，x ∈N ，y ∈N ，集合B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋5，x ∈N ，y ∈N }．先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得到的点数记作a ，掷第二颗骰子得到的点数记作b ，则(a ，b )∈A ∩B 的概率等于( )A ．14 B ．29 C ．736 D ．536[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________．3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7181[答案] 0114．从0,1,2,3,4,5,6七个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有________个．(结果用数字作答)[答案] 6615．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________.【导学号：97190441】[答案] 1316．(2017·衡水模拟)已知n ＝⎠⎛02x 3dx ，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n 的展开式中常数项为________．[答案] －32三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2018·武汉模拟)某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图9-3所示的茎叶图．现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”．图9-3(1)记甲班“口语王”人数为m ，乙班“口语王”人数为n ，比较m ，n 的大小．(2)求甲班10名同学口语成绩的方差． [解] (1)m ＜n (2)86.818．(本小题满分12分)某班50位学生在2016年中考中的数学成绩的频率分布直方图如图9-4所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值．(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．图9-4[解](1)0.018(2)依题设知ξ的取值有0,1,2.P(ξ＝0)＝C29C212＝611；P(ξ＝1)＝C19C13C212＝922；P(ξ＝2)＝C23C212＝122.ξ0 1 2P611922122所以E(ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.19．(本小题满分12分)为了落实国家“精准扶贫”，某市现提供一批经济适用房来保障居民住房．现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供A，B，C 3人申请，且他们的申请是相互独立的．(1)求A，B两人不申请同一套住房的概率．(2)设3名申请人中申请甲套住房的人数为X，求X的分布列和数学期望．[解](1)设“A，B两人申请同一套住房”为事件N，则P(N)＝4×14×14＝14，所以A ，B 两人不申请同一套住房的概率 P(N )＝1－P(N)＝34.(2)随机变量X 可能取的值为0,1,2,3. P(X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764， P(X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764， P(X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964， P(X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164. 所以X 的分布列为所以E(X)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.20．(本小题满分12分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．(1)是否能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列(概率用组合数算式表示)； ②求X 的数学期望和方差．⎝ ⎛⎭⎪⎫K 2＝n (a d －b c )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d[解] (1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：K 2的观测值k ＝200×(80×10－40×70)2120×80×150×50≈11.111＞10.828，可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．(2)①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为25，且X 的取值可以是0,1,2,3,4,5.其中P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355；P(X ＝1)＝C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫25⎝ ⎛⎭⎪⎫354； P(X ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫353； P(X ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫253⎝ ⎛⎭⎪⎫352； P(X ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫254⎝ ⎛⎭⎪⎫351； P(X ＝5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫255.X 的分布列为：②由于X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，25，则E(X)＝5×25＝2；D(X)＝5×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝65.21．(本小题满分12分)2016年“十一”长假期间，中国楼市迎来新一轮的收紧调控大潮．自9月30日起直至黄金周结束，北京、广州、深圳、苏州、合肥等19个城市8天内先后出台楼市调控政策．某银行对该市最近5年住房贷款发放情况(按每年6月份与前一年6月份为1年统计)作了统计调查，得到如下数据：(1)试求z 与t 的线性回归方程z ＝b t ＋a ，再写出y 与x 的线性回归方程y ^＝b ^′x ＋a ^′.(2)利用(1)中所求的线性回归方程估算2017年房贷发放数额.【导学号：97190442】[解] (1)计算得t ＝3，z ＝2.2，∑i ＝15t 2i ＝55，∑i ＝15t i z i ＝45，所以b ^＝45－5×3×2.255－5×32＝1.2，a ^＝2.2－1.2×3＝－1.4， 所以z ^＝1.2t －1.4.注意到t ＝x －2 011，z ＝(y －50)÷10， 代入z ^＝1.2t －1.4，整理得y ^＝12x －240 96.(2)当x ＝2017时，y ^＝108，即2017年房贷发放的实际值约为108亿元． 22．(本小题满分12分)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如表所示：且X 1的数学期望1(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望．(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望/产品的零售价； ②“性价比”大的产品更具可购买性． [解] (1)由概率分布列及分布列的性质， X 1的数学期望E(X 1)＝6，可得：⎩⎪⎨⎪⎧0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X 2的概率分布列如下：所以E(X 2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.即乙厂产品的等级系数X 2的数学期望为4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1，因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2，据此，乙厂的产品更具可购买性．。
山西省晋中市部分校2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题
山西省晋中市部分校2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{}3|24B x x x =-<，则A B ⋂的真子集的个数为（ ）A ．8B ．7C ．16D ．152．“0ab >”是“+=+a b a b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知关于x 的不等式0ax b +>的解集为(4,)-+∞，则关于x 的不等式20bx ax -<的解集为（ ） A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,(0,)4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭UC ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1(,0),4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U4．已知函数()()(2)(3)(4)f x x a x x x =----，若()f x 的图象在2x =处的切线方程为6y x b =+，则a b +=（ ）A ．11-B ．12-C ．13-D ．14-5．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b +-==sin 21cos 2CC +，则角A 的大小为（ ）A ．π12B ．5π12C ．7π12D ．3π46．记{}max ,a b 表示a ，b 二者中较大的一个，函数2()75f x x x =---，()maxg x ={}133,log (2)xx -+，若1[1,1]x a a ∀∈-+，2[0,)x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[5,2]--B ．[4,3]--C ．95,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．117,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦7．已知0x >，0y >，且245(4)(4)x xy y y +=+-，则74x y +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若对于任意的x ，(0,)∈+∞y ，都有()()f x f y +=()2f xy +，当1x >时，都有()2f x >，且(3)3f =，则函数()f x 在区间[1,27]上的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．下列说法错误的是（ ）A ．命题:2p x ∃>，2340x x --<的否定为2x ∀≤，2340x x --≥B ．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2C ．已知函数(31)f x -的定义域为[1,1]-，则函数()f x 的定义域为[4,2]-D ．已知函数()2()lg 2f x x x a =++的值域为R ，则a 的取值范围是(1,)+∞10．已知函数sin cos ()sin 2x xf x x+=，则下列说法正确的是（ ）A ．2π是函数()f x 的周期B ．函数()f x 的图象关于直线πx =对称C ．函数()f x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x ≥11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若(31)f x +是偶函数，且(2)f x +-(2)f x x -=，令()()g x f x ='，则下列说法正确的是（ ）A ．函数1(2)2y x f x =-+是奇函数 B ．(1)0g = C ．函数()g x 的图象关于点(3,1)对称D ．261325()2i g i ==∑三、填空题12．2log 33715154log 7log 9log 3log 5-⋅++的值为.13．已知3sin cos 30-+=ββ，sin 3sin()=+ααβ，则tan()αβ+=. 14．已知点()11,A x y ，()22,B x y ，,A B 的“镜像距离”，若点,A B在曲线ln(2)1y x =-+上，则,A B 的“镜像距离”的最小值为.四、解答题15．已知集合{||25|3}A x x =-≤，{}2|4(21)(21)0B x x mx m m =-++-≤.(1)若:p x A ∈，:q x B ∈，且p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围；(2)若函数()22log 32y ax x =-+的定义域为C ，且A C ⋂≠∅，求a 的取值范围.16．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()33x x f x a -=⋅-，且8(1)3f -=.(1)求a 的值，并求出()f x 的解析式；(2)若()99140x x f x ----≤λ在(0,)x ∈+∞上恒成立，求λ的取值范围. 17．已知函数44()sin 2sin cos cos f x x x x x =+-.(1)若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭α，求πcos 12α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)将函数()f x 的图象向右平移π24个单位长度，得到函数()g x 的图象，再将函数()g x 图象上各点的横坐标变为原来的1(0)ωω>（纵坐标不变），得到函数()h x 的图象，若()h x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上没有零点，求ω的取值范围. 18．在ABC V 中，点D 是边AC 上一点，且BD BC ⊥，(1)若AB 1BC =，且sin ABC ∠=，求cos ADB ∠的值；(2)若π6ABD ∠=，且BD =ABC V 面积的最小值； (3)若3CD DA =，ABD BCD ∠=∠，且ABC V 的面积为12，求AB 的值. 19．已知函数2()ln 2()2a f x x x x a =+-+∈R . (1)若函数()f x 在定义域上单调递增，求a 的取值范围； (2)若0a =；求证：224e ()x f x x-<；(3)设1x ，()212x x x <是函数()f x 的两个极值点，求证：()()()121212f x f x a x x ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭.。
2021年高三上学期9月质检考试数学试题 含答案
2021年高三上学期9月质检考试数学试题含答案注意事项：1.本卷分第I卷和第II卷，满分150分，考试时间150分钟。
2.考生答题前注意答题要求（文理合卷），填写好自己的姓名、班级、考号等信息，条形码应贴在方框内，并将答案正确填写在答题卡上。
一、选择题：在每题所给的A、B、C、D四个选项中，只有一个选项最符合题意。
1、已知集合，，则＝( )A．B．C．D．2、已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．2 B．3 C．4 D．53、已知函数f（x）的定义域为，且为偶函数，则实数a的值是( )A． B．2 C．4 D．6 4、已知函数若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5、若正四面体ABCD的棱长为1，则它的外接球体积为（）A．π B．π C．π D．π6、两圆与的公共切线有( )A．1条B．2条C．3条 D．4条7、在一次案件中，公民D谋杀致死。
嫌疑犯A、B、C对簿公堂。
嫌疑犯A说：“我没有去D 家，我和C去了B家”；嫌疑犯B说：“C去了A家，也去了D家”；嫌疑犯C说：“我没去D 家”。
由此推断嫌疑最大的是（）A.AB.BC.CD.A和C8、函数的图象大致为（）9、已知函数满足，且当时，，则的大小关系是（）A． B．C． D．10、《九章算术》是我国古代最具影响力的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及委米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆形状为圆锥的四分之一状），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约有（）斛.A.14B.22C.36D.6611、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为（）A. B. C.或 D. 或12、过椭圆+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2二、填空题：每题5分，共20分.13.设f是从集合A={1，2}到集合B={1，2，3，4}的映射，则满足f(1)+f(2)=4的所有映射的个数为 _____．14.用二分法求函数y=f(x)在区间上零点的近似解，经验证有f(2)•f(4)＜0．取区间的中点为x1=3，计算得f(2)•f(x1)＜0，则此时零点x0∈_____.(填区间)16. 平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线y=e x-1交于不同的A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线，与曲线y=lnx交于点C，D，则直线CD的斜率是_____．三、解答题：70分，作答时应给出相关解题步骤、文字说明和公式过程。
2025届重庆市高三数学上学期9月检测考试卷附答案解析
2025届重庆市高三数学上学期9月检测考试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}4,3,2,0,2,3,4A =---，{}2290B x x =-≤，则集合A B 的真子集的个数为（）A ．7B ．8C ．31D ．322.若复数z 满足1i 1iz=--+，则z =（）A ．22i+B ．22i --C ．2i -D ．2i3.已知,0a b >且2ab =，则(1)(2)a b ++的最小值为（）A ．4B ．6C ．D ．84.已知向量,a b 的夹角为2π3，且5,4a b == ，则a 在b 方向上的投影向量为（）A ．38b -B ．58b -C ．58bD ．78b- 5.已知α，(0,π)β∈，且3cos 5α=，5sin()13αβ-=，则cos β=（）A ．5665B ．1665C ．3365D ．63656.命题()()()227,12:4ln 21,21x ax x p f x a x a x ⎧+--≤≤⎪=⎨++---<<-⎪⎩在(]2,2x ∈-上为减函数，命题()4:1ax q g x x +=-在()1,+∞为增函数，则命题p 是命题q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7.某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示，下列说法正确的是（）年龄[)25,30[)30,35[)35,40[)40,45[)45,50[]50,55人数126542A ．这20人年龄的80%分位数的估计值是46.5B ．这20人年龄的中位数的估计值是41C ．这20人年龄的极差的估计值是55D ．这20人年龄的众数的估计值是358.已知函数()()ln 11f x x a x =-++，()()21g x a x =+.当1x ≥时，()()20f x g x +≥恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,+∞二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、21、14，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查．已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用X 表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则（）A ．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人B ．随机变量57,7X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭C ．随机变量X 的数学期望为157D ．若事件A =“抽取的3人都感兴趣”，则()27P A =10.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线2:2(0)C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90180270､､后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若1p =，则（）A ．开口向上的抛物线的方程为212y x =B ．4AB =C ．直线x y t +=截第一象限花瓣的弦长最大值为34D ．阴影区域的面积大于411.已知直线12l l ∥，A 是12,l l 之间的一定点并且点A 到12,l l 的距离分别为1，2，B 是直线1l 上一动点，作AC AB ⊥，且使AC 与直线2l 交于点C ，1()3AG AB AC =+，则（）A ．ABC 面积的最小值为2B ．点G 到直线1l 的距离为定值C ．当GB GC = 时，GAB △的外接圆半径为3D ．GB GC ⋅的最大值为2-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个词典里包含10个不同的单词，其中有4个以字母“A ”开头，其余以其他字母开头.从中选择5个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“A ”开头，一共有_______个这样的子集.（要求用数字作答）13.在()3nx -的展开式中，若2x 的系数为()2n a n ≥，则2323333nna a a +++= _______.14.已知函数()()()211022420x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪++≤⎩，若函数()()()2g x f f x m =--，当()g x 恰有3个零点时，求m 的取值范围为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，三棱锥P ABC -中，AB BC ==6PA PB PC AC ====，O 是AC 的中点.（1）求POB 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积；（2）点M 在棱BC 上，且13BM BC =，求直线PC 与平面PAM 所成角的大小.16.（15分）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是sin sin ,,,sin a c A Ba b c a b C--=+.（1）求角B ；（2）若ABC 外接圆的面积为12π，且ABC 为锐角三角形，求ABC 周长的取值范围.17.（15分）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是23，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为13，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为12，如此往复．（提示：设n A 表示第n 天选择绿豆汤）（1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率（2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率；（3）记该同学第n 天选择绿豆汤的概率为n P ，求出n P 的通项公式.18.（17分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2235n S n n =+，数列{}n b 是等比数列，公比1330,6,24q b b a >==+.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足111,221,,2k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩，其中*k ∈N .①求数列{}n c 的前2024项和；②求()*221ii ni ac n =∈∑N .19.（17分）已知双曲线E的中心为坐标原点，左焦点为()，渐近线方程为2y x =±.（1）求E 的方程；（2）若互相垂直的两条直线12,l l 均过点()(,0n n P p p >，且)*n ∈N ，直线1l 交E 于,A B 两点，2l 交E 于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 交x 轴于点()()*,0n Q t n ∈N ，设2n n p =.①求n t ；②记n a PQ =，()*21n b n n =-∈N，求211(1)nk k k k k bb a +=⎡⎤--⎣⎦∑.重庆市2025届高三9月考试数学答案题号1234567891011答案ACDBAABDACDABDABD1．A 【试题解析】{}2290,22B x x ⎡=-≤=-⎢⎣⎦，{}2,0,2A B =- ，三个元素，真子集个数为3217-=.2．C 【试题解析】因为1i 1iz=--+，所以2(1i)2i z =-+=-.3．D 【试题解析】,0a b >且2ab =，则(1)(2)224248a b ab a b a b ++=+++=++≥+=，当且仅当2a b =，即1,2a b ==时取等号，所以当1,2a b ==时，(1)(2)a b ++的最小值为8.4．B 【试题解析】12π54cos 523448a b a bb b b b b b b b⎛⎫⨯⨯- ⎪⋅⎝⎭⋅=⨯=⨯=-，故a 在b 方向上的投影向量为58b - .5．A 【试题解析】由()0,παβ∈，，3cos 05α=>，则π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4sin 5α=.则ππ,2αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，由5sin()13αβ-=，则π0,2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()12cos 13αβ-=，()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-312455651351365=⨯+⨯=.6．A 【试题解析】()f x 要在(]2,2x ∈-上单调递减，则222401127aa a a ⎧-≥⎪⎪+<⎨⎪--≥--⎪⎩，解得54a -≤<-，()()1444:111a x a ax aq g x a x x x -++++===+---在()1,∞+为增函数，则40a +<，解得4a <-，因为54a -≤<-是4a <-的真子集，故命题p 是命题q 的充分不必要条件.7．B 【试题解析】因为2080%16i =⨯=，故80%分位数落在区间[)45,50，设其估计值为m ，则()12651450.82020202020m ⎛⎫++++-= ⎪⎝⎭，解得46m =，A 错；因为2050%10i =⨯=，所以中位数（50%分位数）落在区间[)40,45，设其估计值为n ，则()1261400.520202020n ⎛⎫+++-=⎪⎝⎭，解得41n =，B 正确；有表格中数据可知极差不超过552530-=，C 错；因为本题无法确定年龄的具体数值，故无法判断众数的值.8．D 【试题解析】令()()()()()222ln 2121h x f x g x x a x ax a x =+=-++++≥，则()()()()2112212x ax h x a ax x x--=-++='.若0a ≤，则()0h x '≤在[)1,+∞上恒成立，则()h x 在[)1,+∞上单调递减，则()()10h x h ≤=，不符合题意.若01a <<，则当11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减，则()()10h x h ≤=，不符合题意.若1a ≥，则()0h x '≥在[)1,+∞上恒成立，则()h x 在[)1,+∞上单调递增，即()()10h x h ≥=，符合题意.9．ACD 【试题解析】设甲、乙、丙三个社团分别需抽取,,x y z 人，则7142114142114x y z ===++，所以2x =，3y =，2z =，所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人，A 正确；随机变量X 的取值有1，2，3，()125237C C 11C 7P X ===，()215237C C 42C 7P X ===，()305237C C 23C 7P X ===，所以随机变量X 的分布列为：X 123P174727所以B 错误；由期望公式可得随机变量X 的数学期望()142151237777E X =⨯+⨯+⨯=，C 正确；因为()()237P A P X ===，所以D 正确.10．ABD 【试题解析】由题，开口向右的抛物线方程为2:2C y x =，顶点在原点，焦点为11(,0)2F ，将其逆时针旋转90后得到的抛物线开口向上，焦点为21(0,)2F ，则其方程为22x y =，即212y x =，故A正确；对于B ，根据A 项分析，由2222y xx y⎧=⎨=⎩可解得，0x =或2x =，即2A x =，代入可得2A y =，由图象对称性，可得(2,2),(2,2)A B -,故4AB =，即B 正确；对于C ，如图，设直线x y t +=与第一象限花瓣分别交于点,M N,由22y x t y x =-+⎧⎨=⎩解得11M M x t y ⎧=+-⎪⎨=⎪⎩22y x t x y =-+⎧⎨=⎩解得，11N N x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩,即得(11),1,1M t N t +--+,则弦长为：|||2MN t ==+-，由图知，直线x y t +=经过点A 时t 取最大值4，经过点O 时t 取最小值0，即在第一象限部分满足04t <≤，不妨设u =13u <≤，且212u t -=，代入得，221|||22||(2)1|22u MN u u -=+-=--，（13u <≤）由此函数的图象知，当2u =时，||MN取得最大值为2，即C 错误；对于D ，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求18部分面积的近似值.如图，在抛物线21,(0)2y x x =≥上取一点P ，使过点P 的切线与直线OA平行，由1y x '==可得切点坐标为1(1,2P ,因:0OA l x y -=,则点P 到直线OA的距离为124d ==，于是11242OPA S == ,由图知，半个花瓣的面积必大于12，故原图中的阴影部分面积必大于1842⨯=，故D 正确.11．ABD 【试题解析】对于A ，过A 作12,l l 的垂线，分别交12,l l 于点,E F ，则1,2AE AF ==，设FAC θ∠=，则在Rt ACF △中，2cos cos AF AC θθ==，因为AC AB ⊥，所以在Rt ABE △中，ABE θ∠=，所以1sin sin AE AB θθ==，所以1121222cos sin sin 2ABC S AB AC θθθ=⋅=⨯⨯=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当且仅当π4θ=时，sin 21θ=取到最大值，所以ABC 面积的最小值为2，所以A 正确，对于B ，如图，以A 为原点，EF 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则12tan ,tan FC BE θθ==，所以1(2tan ,2),(,1)tan C B θθ-，π0,2θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以1(2tan ,2),(,1)tan AC AB θθ=-= ，所以111211()(2tan ,1)(tan ,33tan 33tan 3AG AB AC θθθθ=+=+-=+- ，所以211(tan ,)33tan 3G θθ+-，所以点G 到直线1l 的距离为43，是定值，所以B 正确，对于C ，因为1(2tan ,2),(,1)tan C B θθ-，211(tan ,33tan 3G θθ+-，所以224415(tan ,),(tan ,)3tan 3333tan 3GB GC θθθθ=-=-- ，因为GB GC =，所以2222164125(tan )(tan )3tan 3933tan 9θθθθ-+=-+，所以2241161125(tan )(4tan )9tan 99tan 9θθθθ-+=-+，所以22114(tan )(4tan 9tan tan θθθθ-=-+，所以2222114(2tan )16tan 89tan tan θθθθ-+=-++22224184tan 16tan 89tan tan θθθθ-+=-++，所以2214tan 30tan θθ-+=，解得21tan 4θ=或2tan 1θ=-（舍去），所以1tan 2θ=，所以(1,2),(2,1)C B -，1(1,3G -，所以14(2,1),(1,(1,33AB AG GB ==-= ，所以123cos ,2AB AG -=，53GB == ，因为[],0,πAB AG ∈ ，所以π,4AB AG =，所以由正弦定理得532sin 32GB r BAG ===∠，所以526r =，即GAB △的外接圆半径为526，所以C 错误，对于D ，因为224415(tan ,(tan ,3tan 3333tan 3GB GC θθθθ=-=-- ，所以224120(tan )(tan 3tan 333tan 9GB GC θθθθ⋅=---22828220tan 99tan 999θθ=--+-222810(tan )9tan 99θθ=-+-108102999≤--=--=-，当且仅当2228tan 9tan 9θθ=，即21tan 2θ=时取等号，所以GB GC ⋅的最大值为2-，所以D 正确，12．186【试题解析】从含有4个以字母“A ”开头的10个不同的单词选择5个单词，其中至少包含两个“A ”开头的选法可分为4类，第一类：所选5个单词中，有且只有两个“A ”开头的单词，符合要求选法有2346C C ；第二类：所选5个单词中，有且只有三个“A ”开头的单词，符合要求选法有3246C C ；第三类：所选5个单词中，有且只有四个“A ”开头的单词，符合要求选法有4146C C ；由分类加法计数原理可得，符合要求的子集共有233241464646C C C C C C 186++=个.13．()181n n-【试题解析】由二项式的展开式的通项公式可得第1C 3C ()(1)3r r r r r n r n r rn n T x x -+-=-=-，令2r =，可得2x 的系数为222C (1)3n n --，所以222(1)C 332n n n n n n a ---==⋅，则2323181818(1)3(1)1n n n n a n n n n n n-⋅===--⋅--，则23233331818181818181818(1)182123131n n n a a a n n n n-+++=-+-++-=---- .14．(]{}1,34 【试题解析】如图，作出函数()f x的图象，令()()()20g x ff x m =--=，即()()2f f x m -=，由图可知，()2f x m -=-或()0f x m -=，则()2f x m =-或()f x m =，当()0f x <，函数无解；当()0f x =或()2f x >，函数只有一个解；当()01f x <≤或()2f x =，函数有两个解；当()12f x <<，函数有三个解；当()g x 恰有3个零点时，2012m m -<⎧⎨<<⎩或2001m m -=⎧⎨<≤⎩或202m m -=⎧⎨=⎩或0212m m <-≤⎧⎨>⎩或0210m m <-≤⎧⎨=⎩或1220m m <-<⎧⎨<⎩或220m m -=⎧⎨=⎩或222m m -=⎧⎨>⎩或2201m m ->⎧⎨<≤⎩或222m m ->⎧⎨=⎩，解得(1,3]{4}m ∈ .15．（1）（6分）如图：因为POB 绕PO 旋转一周形成的几何体为以OB 为底面圆半径的圆锥，由AB BC ==，6PA PB PC AC ====，所以222AB BC AC +=，所以π2ABC ∠=，所以3OB =，又因为6PA PC AC ===，点O 是AC 的中点，所以PO AC ⊥，且PO ==所以222PO OB PB +=，所以PO OB ⊥，且AC OB O = ，所以PO ⊥平面ABC ，所以POB 绕PO 旋转一周形成的几何体为以3OB =为底面圆半径，以PO =为高的圆锥，所以21π33V =⋅⋅⋅=.（2）（7分）如图：可知：PO ⊥平面ABC，又AB BC ==，6PA PB PC AC ====，所以222AB BCAC +=，所以π2ABC ∠=，ABC 为等腰直角三角形，又由点O 是AC 的中点，所以OB AC ⊥，以O 为坐标原点，以,,OB OC OP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，由13BM BC =，(P ，()0,3,0C ，()0,3,0A -，()2,1,0M ，所以(0,3,PC =-，又有((),2,4,0AP AM ==，设平面MAC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n AP n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30240y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令y =，则1x z =-=-，所以()1n =--，设直线PC 与平面PAM 所成角为π,0,2θθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以sin 644PC n PC nθ⋅===⨯⋅，所以arcsin 4θ=.16．（1）（6分）因为sin sin sin a c A B a b C --=+，所以由正弦定理得a c a ba b c--=+，化简可得222a cb ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，因为B 为三角形内角，()0,πB ∈，所以π3B =.（2）（9分）因为ABC 的外接圆面积为12π，故其外接圆半径为因为π3B =，所以由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C===故2π,6,3a A b B c C A ⎛⎫=====-⎪⎝⎭，所以2π6sin sin 3a b c A A ⎡⎤⎛⎫++=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦36sin cos 22A A ⎫=++⎪⎪⎭π612cos 3A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形，则2ππ32π02C A A ⎧=-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，(πππππππ,,cos ,1612cos 662366323A A A A ⎛⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎤∴∈⇒-∈-⇒-∈⇒+-∈+ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎦ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦，即ABC的周长的取值范围为(6⎤+⎦.17．（1）（2分）该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为212339⨯=；（2）（5分）设1A 表示第1天选择绿豆汤，2A 表示第2天选择绿豆汤，则1A 表示第1天选择银耳羹，根据题意得，()()()()11212121111,,,133322||P A P A P A A P A A ====-=，所以()()()()()212112121117333218||P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯=．（3）（8分）设n A 表示第n 天选择绿豆汤，则()(),1n n n n P P A P A P ==-，根据题意得，()()11111,1322||n n n n P A A P A A ++==-=，由全概率公式得，()()()()()()111|1113|2n n n n n n n n n P A P A P A A P A P A A P P +++=+=+-1162n P =-+，即11162n n P P +=-+，整理得，1313767n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又1350721P -=≠，所以37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以521为首项，16-为公比的等比数列．所以1351=(7216n n P --⨯-，所以1513=()2167n n P -⨯-+..18．（1）（5分）当1n =时，1112284S a a ==⇒=，当2n ≥时，()()22123523151nn S n n S n n -⎧=+⎪⎨=-+-⎪⎩，所以131n n n a S S n -=-=+，显然1a 符合上式，所以31n a n =+，由题意()23123314242b b q q =⨯++==⇒=，所以1132n nn b b q -==⋅.（2）①（6分）易知101121024,220482024==>，即数列{}n c 的前2024项中有10项分别为21425129102410,,,,c b c b c b c b ==== ，其余项均为1，故数列{}n c 的前2024项和()1012106122024102014815212n G b b b ⨯-=-++++=+=- ；②（6分）由（1）知2321i ia =⋅+，而232i ii c b ==⋅，所以()22323219432i i iiiia c =⋅⋅+=⋅+⋅，易知()11361494341214i nii i +=⨯-⋅==⋅--∑，()116123232612i ni i i +=⨯-⋅==⋅--∑，所以12112343218ii i i ni ac +=+=⋅+⋅-∑19．（1）（3分）依题意设双曲线方程为()22221,0x y a b a b -=>，则渐近线方程为by x a =±，则2222b a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得1a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以E 的方程为2212x y -=；（2）①（7分）当12,l l 中有一条的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，直线MN 与x 轴重合，不符题意；所以直线12,l l 的斜率均存在且不为0，设1l 的方程为()()0n y k x p k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，(),M M M x y ，(),N N N x y ，由()2212n y k x p x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22222124220n n k x k p x k p -+--=，则2120k -≠，所以2122412n k p x x k -+=-，221222212n k p x x k--=-，所以21222212nM k p x x x k -+==-，则()22221212n n M M n n k p kp y k x p k p k k ⎛⎫--=-=-= ⎪--⎝⎭，所以2222,1212n n k p kp M k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，同理可得222,22n n p kp M k k -⎛⎫⎪--⎝⎭，因为M 、N 、Q 三点共线，所以()()()N N M N M N n y x x y y x t -=--，又0N M y y -≠，所以2222222221222122212n n n nM N N M n n n n N Mk p kp p kp x y x y k k k k t p kp kp y y k k ---⋅-⋅-----===-----，因为2n n p =，所以12n n t +=；②（7分）1222nn n n a PQ +==-=，故{}2212122121212211(1)(1)(1)nnkk kk k k k k k k k kk k bb a b b a b b a -+--+==⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑()()21214143241412n k kk k k k k -=⎡⎤=-+-⨯++-+⨯⎣⎦∑2211124nnk k k k k k ++===⨯=⨯∑∑，设114nk k n k T +=⨯=∑，则23411424344n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ，所以345241424344n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ，所以()()22341221614163143444444143n n n n n n n T n n ++++----⨯-=++++-⨯=-⨯=- ，所以()2163149n n n T ++-⨯=，所以211(1)n kk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑()2163149n n ++-⨯=.。
广东省八校2024-2025学年高三上学期9月联合检测数学试卷
广东省八校2024-2025学年高三上学期9月联合检测数学试卷一、单选题1．样本数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数为（ ） A ．50B ．53C ．57D ．452．已知集合3{|278}A x x =-<<，{||2|3,Z}B x x x =-≤∈，则A B =I （ ） A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．已知向量()1,2a =-r ，()3,b λ=r ，若2a b +r r与2a b -r r 平行，则实数λ的值为（ ）A ．23-B ．23C ．6D ．6-4．已知函数()()()2sin 2xf x x x x a =++为偶函数，则a =（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．25．已知曲线()ln xy e ax x =-在点()1,ae 处的切线方程为y kx =，则k =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．e6．已知函数()()1cos 02f x x x ωωω=+>在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是（ ） A ．25,36⎛⎤⎥⎝⎦B ．28,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．15,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．18,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．已知抛物线2:8C y x =，圆22(2):4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是 A ．1324M M M M ⋅ B ．14FM FM ⋅ C ．1234M M M M ⋅D ．112FM M M ⋅8．已知函数()f x 是定义域为R 的函数，()()20f x f x ++-=，对任意1x ，[)21,x ∈+∞()12x x <，均有()()210f x f x ->，已知a ，b ()a b ≠为关于x 的方程22230x x t -+-=的两个解，则关于t 的不等式()()()0f a f b f t ++>的解集为（ ）A ．()2,2-B ．()2,0-C ．()0,1D ．()1,2二、多选题9．已知复数()i z a a =-∈R ，且6iz的虚部为3，则（ ） A ．1a =B ．3z=C ．()()213i z +⋅-为纯虚数 D ．2i2z ++在复平面内对应的点在第二象限 10．欧拉函数()()*n n ϕ∈N 的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：()32ϕ=，()42ϕ=，则（ ）A ．()()()468ϕϕϕ⋅=B ．当n 为奇数时，()1n n ϕ=-C ．数列(){}2nϕ为等比数列D ．数列()()23nnϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于3211．已知双曲线22:13y E x -=的左､右焦点分别为1F 、2F ，过点C 的直线l 与双曲线E的左､右两支分别交于P 、Q 两点，下列命题正确的有（ ）A ．当点C 为线段PQ 的中点时，直线lB ．若(1,0)A -，则222QF A QAF ∠=∠C ．212PF PF PO ⋅>D ．若直线l B ，则11PF QF PB QB +=+三、填空题12．52)a x 的展开式中的常数项是10，则a =. 13．中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E 对应的是正四棱台中间位置的长方体，,,,B D H F 对应四个三棱柱，A C I G ,,,对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为.14．随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为．四、解答题15．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2125b ac =，π3B =.(1)求sin sin A C +的值；(2)若ABC V ABC V 的周长. 16．已知函数()()2e xf x x ax a =--，a ∈R .(1)当2a >-时，研究()f x 的单调性；(2)若0a ≥，当1x x =时，函数()f x 有极大值m ；当2x x =时，()f x 有极小值n ，求m n -的取值范围.17．如图，四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=o ，2AB PC ==，,M N 分别为,PD PB 的中点.(1)证明：MN ⊥平面PAC ； (2)求二面角C PB D --的正弦值.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，点O 为坐标原点，线段OA 的中点恰好为F ，点F 到直线AB． (1)求C 的方程；(2)设点E 在直线4x =上，过F 作EF 的垂线交椭圆C 于,M N 两点．记MOE △与NOE △面积分别为12,S S ，求12S S 的值． 19．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为12，被感染的白鼠数用随机变量X 表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立 (1)若()()595P X P X ===，求数学期望()E X ；(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p 与参数()01θθ<<的取值有关.团队A 提出函数模型为()22ln 13p θθ=+-，团队B 提出函数模型为()11e 2p θ-=-.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量()1,2,,10i X i =⋅⋅⋅表示第i 组被感染的白鼠数，将随机变量()1,2,,10i X i =⋅⋅⋅的实验结果()1,2,,10i x i =⋅⋅⋅绘制成频数分布图，如图所示.（i ）试写出事件“11221010,,,X x X x X x ==⋅⋅⋅=”发生的概率表达式（用p 表示，组合数不必计算）；（ⅱ）在统计学中，若参数0θθ=时使得概率()11221010,,,P X x X x X x ==⋅⋅⋅=最大，称0θ是θ的最大似然估计.根据这一原理和团队A ，B 提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：3ln 0.40552≈.。
2023-2024学年河南省商丘市高三上册9月质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省商丘市高三上册9月质量检测数学试题e⎝⎭>>= ()()()1 f a f b f c因为()f x '在()0,∞+上单调递增，又0n >，所以()()f x n f x +'>'所以()0F x '>，所以()F x 在()0,∞+上单调递增，所以()0,m ∀∈+∞，()()00F m F >=，所以()()()f m n f m f n +>+，故C 正确，D 错误.故选：AC.12．ACD【分析】根据奇偶性列方程组求解可得()2f x x x =-，直接求值可判断A ；根据()()21g x g x =-进行迭代，结合()(),01g x f x x =≤≤可得当(]3,4x ∈时，()()323g x f x =-，可判断B ；作出()g x 的图像，结合图象求解即可判断CD.【详解】由()2f x x -是奇函数，()f x x +是偶函数，得()()()()()22f x x f x x f x x f x x ⎧---=-+⎪⎨--=+⎪⎩，解得()2f x x x =-，所以()23336f =-=，故A 正确；由()()(),0121,1f x x g x g x x ⎧≤≤⎪=⎨->⎪⎩，当(]1,2x ∈时，(]10,1x -∈，所以()()()2121g x g x f x =-=-；当(]2,3x ∈时，()()42g x f x =-；当(]3,4x ∈时，()()()32238712g x f x x x =-=-+，故B 错误；以此类推，()g x 的图像如图：当(]4,5x ∈时，()()164g x f x =-，由()3g x -≥，得()()16453x x ---≥，解得又[]0,x t ∀∈，()3g x -≥恒成立，所以1704t <≤，所以实数t 的最大值为174(),(21)g x m m =-<<-在[]0,5内的根为曲线标，即1ea≤即满足题意；所以max 1 ea=.故1 e方法点睛：构造函数并利用其单调性，根据函数与方程的思想利用数形结合求参数取值范围是求。
高三数学上学期9月模块诊断试题含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校大学附属2021届高三9月模块诊断数学试题考试时间是是：分钟总分值是：150分考察范围：函数·导数·三角函数一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C.或者 D.【答案】B【解析】【分析】先根据不等式的性质，化简集合A、B，再根据交集的定义求出A∩B．【详解】∵A={x|x2﹣4＞0}={x|x＞2或者x＜﹣2}B={x|}={x|x＜﹣2}∴A∩B={x|x＜﹣2}应选：B．【点睛】此题考察二次不等式的解法、指数不等式的解法及两个交集的求法：借助数轴．1．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析．中，满足“对任意的，当时，总有〞的是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题目所给条件，说明函数f〔x〕在〔﹣∞，0〕上应为减函数，其中选项A是二次函数，C是反比例函数，D是指数函数，图象情况易于判断，B是对数型的，从定义域上就可以排除．【详解】函数满足“对任意的x1，x2∈〔﹣∞，0〕，当x1＜x2时，总有f〔x1〕＞f〔x2〕〞，说明函数在〔﹣∞，1〕上为减函数．f〔x〕=〔x+1〕2是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=﹣1，所以函数在〔﹣∞，﹣1〕单调递减，在〔﹣1，+∞〕单调递增，不满足题意．函数f〔x〕=ln〔x﹣1〕的定义域为〔1，+∞〕，所以函数在〔﹣∞，0〕无意义．对于函数f〔x〕=，设x1＜x2＜0，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕=，因为x1，x2∈〔﹣∞，0〕，且x1＜x20，x2﹣x1＞0，那么，所以f〔x1〕＞f〔x2〕，故函数f〔x〕=在〔﹣∞，0〕上为减函数．函数f〔x〕=e x在〔﹣∞，+∞〕上为增函数．应选：C．【点睛】此题考察了函数的单调性，解决此题的关键，是能根据题目条件断定函数为〔﹣∞，0〕上的减函数．判断函数单调性的方法有：根据函数模型判断，由单调性得到结论，根据函数的图像得到单调性.的单调递增区间是〔〕A B C D【答案】A【解析】【分析】由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论．【详解】由题可得x2-3x+2＞0，解得x＜1或者x＞2，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为：〔-∞，1〕应选：A．【点睛】此题考察对数函数的单调性和复合函数的单调性，属根底题．的零点个数为〔〕A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】根据题目条件：“函数的零点个数〞转化为方程lnx=x2-2x的根的个数问题及一次函数2x+1=0的根的个数问题，分别画出方程lnx=x2-2x左右两式表示的函数图象即得．【详解】∵对于函数f〔x〕=lnx-x2+2x的零点个数∴转化为方程lnx=x2-2x的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图．由图象可得两个函数有两个交点．又一次函数2x+1=0的根的个数是：1．故函数的零点个数为3应选：D．【点睛】此题考察函数的零点个数的藕断．在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．表达了数形结合的数学思想．在点处的切线与直线垂直，那么＝〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，在点处的切线斜率，直线的斜率，与直线垂直的斜率，所以，解得．考点：导数的几何意义．6.在△ABC中，“A＞30°〞是“sinA＞〞的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解题时注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提．【详解】：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°∵A＞30°∴30°＜A＜180°∴0＜sinA＜1∴可判读它是sinA＞的必要而不充分条件应选：B．【点睛】此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．7.以下不等式①②③④⑤中恒成立的是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】①取a=-1，b=-2，即可判断出；②考察指数函数y=2x在R上单调性，即可判断出；③取a=1，b=-2，即可判断出；④考察幂函数在R上单调递增，即可判断出；⑤考察指数函数在R上单调性，即可判断出．【详解】①取a=-1，b=-2，虽然满足-1＞-2，但是〔-1〕2＞〔-2〕2不成立，因此a2＞b2不正确；②考察指数函数y=2x在R上单调递增，∵a＞b，∴2a＞2b，因此正确；③取a=1，b=-2，虽然满足1＞-2，但是不成立，因此不正确④考察幂函数在R上单调递增，∵a＞b，∴正确；⑤考察指数函数在R上单调递减，∵a＞b，∴，正确，应选：C．【点睛】此题考察了指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，属于根底题．8.，那么〔〕A.1-aB.C.a-1D.-a【答案】A【解析】此题考察对数的运算.代数式的变形和运算.又，所以.应选A9.假设方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，那么α·β的值是〔〕A.lg5·lg7B.lg35C.35D.【答案】D【解析】lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0,选D.10.函数f(x)=log2(x+1)且a>b>c>0,那么,,的大小关系是()A.>>B.>>C.>>D.>>【答案】B【解析】【分析】把,,分别看作函数f〔x〕=log2〔x+1〕图象上的点〔a，f〔a〕〕，〔b，f〔b〕〕，〔c，f〔b〕〕与原点连线的斜率，对照图象可得答案．【详解】由题意可得，,,分别看作函数f〔x〕=log2〔x+1〕图象上的点〔a，f〔a〕〕，〔b，f〔b〕〕，〔c，f〔b〕〕与原点连线的斜率，结合图象可知当a＞b＞c＞0时，>>．应选：B．【点睛】此题考察了对数函数的图象，数形结合判断函数单调性的方法，利用单调性比较大小，转化化归的思想方法．，当时，获得最小值，那么函数的图象为〔〕【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，那么〔当且仅当，即时取等号〕，即，即，那么在上单调递减，在上单调递增，当时，获得最大值1；应选B．考点：1.根本不等式；2.函数的图象与性质．满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，那么实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的对称性判断函数的单调性，采取排除法，由四个选项的特征代入特值求解【详解】，那么函数关于对称函数在上是增函数函数在是减函数，即在上是减函数当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出：，解得或者，满足不等式对任意恒成立，由此排除两个选项当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出：，解得，不满足不等式对任意恒成立，由此排除综上所述，选项是正确的应选【点睛】此题主要考察了抽象函数的性质探究方法与应用，解答此题直接求解较为复杂，采取排除法来求解，由四个选项里面的特征找出切入点，通过验证特殊值来排除错误答案。
2021年高三上学期数学综合检测九 Word版含答案
2021年高三上学期数学综合检测九 Word 版含答案1．已知集合若则__________________。
2．已知复数，若为实数，则实数m 的值为___________。
3．函数的定义域是___________。
4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在（元）内应抽出__________人。
5．如图是一个算法的流程图，若输入的值是10，则输出的值是________________。
6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为_______________。
7．曲线在点处的切线方程是___________。
8．已知，则_________________。
9．在三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是_____________________。
10．在边长为6的等边△ABC 中，点满足，则等于 ．11．若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是_________________。
12．已知圆，点在直线上，过点的直线与圆交于两点，且点为中点，则点的横坐标的取值范围为________________。
（第4题1001500xx 2500300040003500收入（元）频率/组距0.00010.00020.00040.00050.000313．若关于的方程有四个实数根，则实数的取值范围为_____________。
14．已知函数的定义域为[a ，b ]，其中a 、若函数的值域为，则满足条件的整数对个数为___________。
二、解答题：本大题共6小题，计90分.15．已知向量(4,5cos ),(3,4tan ),(0,),2a b a b πααα==-∈⊥，求：（1）； （2）的值。
2022学年高三数学上学期单元测试（9）大纲人教版
高三上学期数学单元测试（9）[原人教版] 直线、平面、简单几何体（第九章）注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束，试题和答题卡一并收回。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．空间两条直线a 、b 与直线都成异面直线，则a 、b 的位置关系是 （ ）A ．平行或相交B ．异面或平行C ．异面或相交D ．平行或异面或相交2．如果328 cm32 cm28 cm32 cm36 cm40 cm 34 632213+3323h 33h 343h 40 cm18cm144cm 1C 1F 411B A 1C 61M 1C 1C 1C 1C 1C 1C23323332323323⎪⎩⎪⎨⎧=+=(22b ab abc 4．D 解：设圆柱的底面半径为r ,则由题意得，圆柱高为2r ,设球半径为R ，有 S 圆柱侧=2πr ·2r =4πr 2, S 球=4πR 2∴4πr 2=4πR 2∴r =R又∵V 圆柱=πr 2·2r =2πr 3, V 球=34πR 3=34πr 3∴球圆柱V V =33π34π2r r =235．B 解：过N 作NO ⊥α于O 点，作NO =30°,设MN =2，NO =∴in N 12222⊂1C 1C %)211(2+r 10111011014a 433⊂⊂233633h 22222)2()22()22(222⋅⋅-+41cm 2122OHPO +22940+21215522954⋅⋅-+112 cm108 cm ⎪⎩⎨⎧=+=+.722,812222a ac c a 112 cm108 cm3π22223π3π2122)41(1+41711221212EE BE BE E E BE ⋅-+17151MC AC2632AC CC 11362C 1A 1∴∠AC 1C =∠MA 1C 1∴A 1M ⊥AC 1 …………………………7分∵ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱∴CC 1⊥1C 1C 1⊥A 1C 1,∴B 1C 1⊥平面AC 1∴AB 1⊥A 1M ………………………………12分19．分析：将（1）变为（2）的过程中∠B =90°,∠DCA =90°保持不变，依据题设证出结论即可（1）证明：∵AB ⊥BC , …………………………………2分在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC =a ,∴△ABC 为等腰直角三角形∴∠ACB =45°∵∠BCD =135°,∴∠ACD =90°∴DC ⊥AC （见图（1）） ∵平面DAC ⊥平面ABC ,∴DC ⊥⊂,∴DC ⊥⊥BC ，BC ∩DC =C ,∴AB ⊥平面BCD（2）解:由V C —ABD =V D —ABC , …………………………………7分设点C 到平面ABD 的距离为h ,则31·h ·S △ABD =31·CD ·S △ABC∵S△ABD=22a 2,S △ABC=21a 2,∴h =22a ∴点C 到平面ABD 的距离为22a ………………………………12分 20．（1）证明：∵A 1C 1=B 1C 1，D 1是A 1B 1的中点，∴C 1D 1⊥A 1B 1于点D 1∵平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴C 1D 1⊥平面A 1B 1BA ，AB 1⊂平面A 1ABB 1 ∴AB 1⊥C 1D 1 …………………………………4分 （2）证明：连结D 1D ，∵D 是AB 的中点,∴DD 1CC 1∴C 1D 1CD由（1）可得CD ⊥AB 1，∵C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，C 1B ⊥AB 1，∴BD 1⊥AB 1∵A 1D ∥D 1B ,∴AB 1⊥A 1D ∴AB 1⊥平面A 1CD …………………………………8分P ACH OBA P H Q R C B1A B OO(1)A B C D (2)BD（3）解：结合（2）中的AB 1⊥平面A 1CD ，O 是垂足，连结CO ,∴∠OCA 为直线AC 与平面A 1CD 所成的角∵AB 1=3，AC =A 1C 1=2，∴AO =1∴in OCA =ACAO =21∴∠OCA =30°∴AC 与平面A 1CD 所成的角为30° ………………………………12分 21．解：（1）在面AC 中，过D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，∴DD 1⊥面AC∴D 1E ⊥AC ∴D 1E 就是D 1到AC 的距离∴DE ·AC =AD ·DC ∴DE =552∴D 1E =221DE D D +=553…………………………4分（2）∵AB ∥CD ,∴AB ∥面A 1DC ∴A 到平面A 1DC 的距离就是AB 到面A 1DC 的距离若AD 1与A 1D 交于点O ，∴AO ⊥A 1D ∵面AA 1D ⊥面A 1DC ,∴AO ⊥面A 1DC∴AO =22∴直线AB 与面A 1DC 的距离为22…………………………………8分（3）∵A 1B 1⊥A 1D ，A 1B 1⊥B 1C 1,∴A 1B 1是异面直线A 1D 和B 1C 1的公垂线段∵A 1B 1=2，∴A 1D 与B 1C 1之间的距离为2 ………………………………12分 22．（1）证明：∵⊂⊂⊂，AM ∩AN =A ,∴N ……………………………8分（3）解：在Rt △2⊥=212=BM =22又∵N ，MN ⊂平面AMN ,∴N∴MN =2N ⊂平面N ∵AN =22MN AM -=θ22tan 8)22(-=θ2tan 88-, ∴S △AMN =21AN ·MN =21·22·θ2tan 1-·２2tan θ=441)21(tan 22+--θ∴当tan 2θ=21,即tan θ=22时，S △AMN 有最大值为21，∴当tan θ=22时，S △AMN 面积最大，最大值21………………………………12分。
高中数学第九章 算法初步、统计、统计案例单元评估检测
单元评估检测第九章算法初步、统计、统计案例(90分钟120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015·宿州模拟)某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )A.6B.8C.10D.12【解析】选B.设样本容量为N,则N×=6,所以N=14,所以高二年级所抽人数为14×=8.2.(2015·赣州模拟)在某次测量中得到的A样本数据如下:42,43,46,52,42,50,若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A.平均数B.标准差C.众数D.中位数【解析】选B.由A组数据为42,43,46,52,42,50,B组数据为37,38,41,47,37,45.可知平均数、众数、中位数都发生了变化,比原来A组数据对应量都减小了5,但标准差不发生变化,故选B.3.在如图所示的计算1+3+5+…+2 015的程序框图中,判断框内应填入( )A.i≤1 008B.i≤2 013C.i<2 015D.i≤2 015【解析】选D.由程序框图知,S=1+3+5+…+2 015,i初始值为1,每次增加2,S中加上的最后一项为2 015,故判断框中的条件应为i≤2 015.4.(2015·景德镇模拟)在样本频率分布直方图中,共有五个小长方形,这五个小长方形的面积由小到大成等差数列{a n}.已知a2=2a1,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为( )A.100B.120C.150D.200【解析】选A.设公差为d,则a1+d=2a1,所以a1=d,所以d+2d+3d+4d+5d=1,所以d=,所以面积最大的一组的频率等于×5=.所以小长方形面积最大的一组的频数为300×=100.5.(2015·淮北模拟)为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应为( )A.13B.19C.20D.51【解析】选C.抽样间隔为46-33=13,故另一位同学的编号为7+13=20,选C.6.(2015·太原模拟)已知x,y的取值如表所示:x 0 1 3 4y 0.9 1.9 3.2 4.4从散点图分析,y与x线性相关,且y=0.8x+a,则a= ( )A.0.8B.1C.1.2D.1.5【解析】选B.==2,==2.6,又因为回归直线y=0.8x+a过样本点中心(2,2.6),所以2.6=0.8×2+a,解得a=1.7.某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试.现随机调查了24名笔试者的成绩,如下表所示:分数段[60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) 人数 2 3 4 9 5 1据此估计允许参加面试的分数线大约是( )A.75B.80C.85D.90【解析】选B.由题可知,在24名笔试者中应选出6人参加面试,由表可得面试分数线大约为80.8.样本(x 1,x2,…,x m)的平均数为,样本(y1,y2,…,y n)的平均数为(≠).若样本(x 1,x2,…,x m,y1,y2,…,y n)的平均数=α+(1-α),其中0<α≤,则m,n的大小关系为( )A.m<nB.m≤nC.m>nD.m≥n【解析】选B.由题意可得=,=,===+,则0<α=≤,解得m≤n.9.(2015·南昌模拟)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110计算可得χ2=≈7.8.附表:P(χ2≥k) 0.050 0.010k 3.841 6.635参照附表,得到的正确结论是( )A.有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】选A.根据独立性检验的定义,由χ2≈7.8>6.635可知我们有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,故选A.10.执行如图所示的程序框图,则输出S的值为( )A.3B.-6C.10D.-15【解析】选D.程序运行过程为:i=1,S=0→S=0-12=-1,i=2→S=-1+22,i=3,由于判断条件i<6,所以当i=5时,执行最后一次后输出S的值,所以S=-1+22-32+42-52=-15.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2015·萍乡模拟)将某班的60名学生编号为01,02,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是.【解析】依据系统抽样方法的定义得知,将这60名学生依次按编号每12人作为一组,即01～12,13～24,…,49～60,当第一组抽得的号码是04时,剩下的四个号码依次是16,28,40,52(即其余每一小组所抽出来的号码都是相应的组中的第四个号码).答案:16,28,40,5212.如图所示,程序框图(算法框图)的输出结果是 .【解析】由T=T+k可知T是一个累加变量,题目实质为求1+2+3+…+k的和,其和为.令≤105,得k≤14.故当k=15时,T=1+2+3+…+15=120>105,此时输出k=15.答案:1513.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x(元) 4 5 6 7 8 9销量y(件) 90 84 83 80 75 68由表中数据,求得线性回归方程为y=-4x+a.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线左下方的概率为.【解析】==,==80,因为回归直线过点,所以a=106,所以y=-4x+106,所以点(5,84),(9,68)在回归直线左下方,故所求概率P==. 答案:14.某单位为了制定节能减排的计划,随机统计了某4天的用电量y(单位:度)与当天气温x(单位:℃),并制作了对照表(如表所示).由表中数据,得线性回归方程y=-2x+a,当某天的气温为-5℃时,预测当天的用电量约为度.x 18 13 10 -1y 24 34 38 64【解析】气温的平均值=×(18+13+10-1)=10,用电量的平均值=×(24+34+38+64)=40,因为回归直线必经过点(,),将其代入线性回归方程得40=-2×10+a,解得a=60,故回归方程为y=-2x+60.当x=-5时,y=-2×(-5)+60=70.所以当某天的气温为-5℃时,预测当天的用电量约为70度.答案:7015.若执行如图所示的框图,输入x1=1,x2=2,x3=4,x4=8,则输出的数等于.【解析】由循环结构知本题实质是求输入的4个数x1,x2,x3,x4的平均数x==,所以输出x=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)(2015·安康模拟)在某市今年的公务员考试成绩中随机抽取500名考生的笔试成绩,按成绩分组,得到频率分布表如下:组号分组频数频率第1组[160,165) 25 0.050第2组[165,170) 0.350第3组[170,175) 150第4组[175,180)第5组[180,185] 50 0.100合计500 1.000为了选拔出最优秀的公务员,政府决定在第3,4,5组中用分层抽样法抽取12名考生进行第二轮选拔,分别求第3,4,5组每组进入第二轮选拔的考生人数. 【解析】由题意可知,第2组的频数为500×0.350=175,所以第3,4,5组共有考生500-25-175=300(名),则第4组有100名考生,所以第3组抽取的人数为:×12=6,第4组抽取的人数为:×12=4,第5组抽取的人数为:×12=2.17.(10分)某个团购网站为了更好地满足消费者需求,对在其网站发布的团购产品展开了用户调查,每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是10分.上个月该网站共卖出了100份团购产品,所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值,将这些产品按照得分分成以下几组:第一组[0,2),第二组[2,4),第三组[4,6),第四组[6,8),第五组[8,10],得到的频率分布直方图如图所示.(1)分别求第三、四、五组的频率.(2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品,某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买,求他抽到的两个产品均来自第三组的概率.【解析】(1)第三组的频率是0.150×2=0.3;第四组的频率是0.100×2=0.2;第五组的频率是0.050×2=0.1.(2)设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A,由题意可知,从第三、四、五组中分别抽取3个,2个,1个.不妨设第三组抽到的是A1,A2,A3;第四组抽到的是B1,B2;第五组抽到的是C1,所含基本事件总数为:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,C1},{A2,B1},{A2,B2},{A2,C1},{A3,B1},{ A3,B2},{A3,C1},{B1,B2},{B1,C1},{B2,C1},所以P(A)==.18.(12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:甲82 81 79 78 95 88 93 84乙92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据.(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.【解析】(1)作出茎叶图如图:(2)派甲参赛比较合适,理由如下:=(70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5)=85,=(70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5)=85,=[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2 +(95-85)2]=35.5,=[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2 +(95-85)2]=41,因为=,<,所以甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.注:本小题的结论及理由均不唯一,如果考生能从统计学的角度分析,给出其他合理回答,同样给分,如:从统计的角度看,甲获得85分以上(含85分)的概率P1=,乙获得85分以上(含85分)的概率P2==.因为P2>P1,所以派乙参赛比较合适.19.(13分)(2015·渭南模拟)甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人,1 000人,为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩,并作出了频数分布统计表如下:甲校:分组[70,80) [80,90) [90,100) [100,110)频数 3 4 8 15分组[110,120) [120,130) [130,140) [140,150]频数15 x 3 2乙校:分组[70,80) [80,90) [90,100) [100,110)频数 1 2 8 9分组[110,120) [120,130) [130,140) [140,150]频数10 10 y 3(1)计算x,y的值.(2)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀,请分别估计两所学校数学成绩的优秀率.(3)由以上统计数据填写2×2列联表,并判断两所学校的数学成绩有差异吗?甲校乙校总计优秀非优秀总计【解析】(1)从甲校抽取110×=60(人),从乙校抽取110×=50(人),故x=10,y=7.(2)估计甲校数学成绩的优秀率为×100%=25%,乙校数学成绩的优秀率为×100%=40%.(3)表格填写如下,甲校乙校总计优秀15 20 35非优秀45 30 75总计60 50 110χ2=≈2.829>2.706,故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.【加固训练】1.某网站于2014年10月18日至24日,在全国范围内进行了持续一周的在线调查,随机抽取其中200名大中小学生的调查情况,就每天的睡眠时间分组整理如表所示:序号(i)每天睡眠时间(小时) 组中值(m i)频数频率(f i)1 [4,5) 4.5 8 0.042 [5,6) 5.5 52 0.263 [6,7) 6.5 60 0.304 [7,8) 7.5 56 0.285 [8,9) 8.5 20 0.106 [9,10) 9.5 4 0.02(1)估计每天睡眠时间小于8小时的学生所占的百分比约是多少?(2)该网站利用下边的算法框图,对样本数据作进一步统计分析,求输出的S的值,并说明S的统计意义.【解析】(1)由样本数据可知,每天睡眠时间小于8小时的频率是P=1-(0.10+0.02)=0.88.由此估计每天睡眠时间小于8小时的学生约占88%.(2)输入m1,f1的值后,由赋值语句S=S+m i·f i可知,流程图进入一个求和状态.设a i=m i·f i(i=1,2,…,6),数列{a i}的前i项和为T i,则T6=4.5×0.04+5.5×0.26+6.5×0.30+7.5×0.28+8.5×0.10+9.5×0.02=6.7. 故输出的S值为6.7.S的统计意义是指被调查者每天的平均睡眠时间估计为6.7小时.2.一次考试中,5名学生的数学、物理成绩如表所示:学生A1A2A3A4A5数学x(分) 89 91 93 95 97物理y(分) 87 89 89 92 93(1)要从5名学生中选2名参加一项活动,求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率.(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据的线性回归方程y=bx+a.【解析】(1)从5名学生中任取2名学生的所有情况为(A4,A5),(A4,A1),(A4,A2), (A4,A3),(A5,A1),(A5,A2),(A5,A3),(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共10种情况.其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有:(A4,A5),(A4,A1),(A4,A2),(A4,A3),(A5,A1),(A5,A2),(A5,A3),共7种情况,故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率为P=.(2)散点图如图所示.可求得:==93,==90,(x i-)(y i-)=30,(x i-)2=(-4)2+(-2)2+02+22+42=40,b==0.75,a=-b=90-0.75×93=20.25,故所求的线性回归方程是y=0.75x+20.25.。
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《不等式》单元测试21．设ab <，cd <，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．db ca ->- B ．bdac> C ．d b ca +>+ D ．cb da +>+2．“0>>b a ”是“222b aab +<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．不等式bax >的解集不可能是（ ）A ．φB ．RC ．),(+∞abD ．),(a b --∞4．不等式022>++bx ax的解集是)31,21(-，则ba -的值等于（ ）A ．－14B ．14C ．－10D ．10 5．不等式||x x x<的解集是（ ） A ．{|01}x x <<B ．{|11}x x -<<C ．{|01x x <<或1}x <-D ．{|10,1}x x x -<<>6．若011<<b a ，则下列结论不正确的是（ ）A ．22ba < B ．2bab < C ．2>+ba ab D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为（ ）A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f =C ．)()(x g x f <D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是（ ）A ．yx ＋xy B ．4522++x xC ．tan x ＋cot xD ． xx-+229．下列各组不等式中，同解的一组是 （ ）A ．2>x与0>x B ．1)2)(1(<-+-x x x 与02<+xC ．0)23(log21>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x10．如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,则a 的取值范围是 （ ）A. }8|{<a aB. }8|{>aa C. }8|{≥a a D.}8|{≤a a11．若+∈Rb a ,，则ba11+与ba +1的大小关系是 .12．函数121lg+-=x x y的定义域是 .13．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨. 14. 已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，, 则不等式3)2(≤+x f 的解集___ _____.15．已知()f x 是奇函数，且在（－∞，０）上是增函数，(2)0f =，则不等式()0xf x <的解集是___ _ ____. 16．解不等式：21582≥+-x xx17．已知1<a，解关于x 的不等式12>-x ax ．18．已知0=++c b a ，求证：0≤++ca bc ab 。
19．对任意]1,1[-∈a ，函数ax a xx f 24)4()(2-+-+=的值恒大于零，求x的取值范围。
20．如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器。
已知喷水器的喷水区域是半径为5m 的圆。
问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？21．已知函数b ax x x f ++=2)(.（1）若对任意的实数x ，都有a x x f +≥2)(，求b 的取值范围； （2）当]1,1[-∈x 时，)(x f 的最大值为M ，求证：1+≥b M ；（3）若)21,0(∈a ，求证：对于任意的]1,1[-∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是.142a b a-≤≤-《不等式》单元测试2参考答案1.C;2.A;3.D;4.C;5.C;6.D;7.A;8.D;9.B; 10.A;11. ba b a +>+111;12.)21,1(-; 13. 20 ; 14. ]1,(-∞;15．{|20,}x x -<<或0<x <2;16．解：原不等式等价于：158301720158301720215822222≤+-+-⇔≥+--+-⇔≥-+-x xx x x xx x x xx3250)5)(3()52)(6(<≤⇔≤----⇔x x x x x 或65≤<x∴原不等式的解集为]6,5()3,25[ 17．解：不等式12>-x ax 可化为022)1(>-+-x x a ．∵1<a ，∴01<-a ，则原不等式可化为0212<---x ax ， 故当10<<a 时，原不等式的解集为}122|{ax x -<<；当0=a 时，原不等式的解集为φ；当0<a时，原不等式的解集为}212|{<<-x ax ．18．证明：法一（综合法）0=++c b a ， 0)(2=++∴c b a展开并移项得：02222≤++-=++c b aca bc ab0≤++∴ca bc ab法二（分析法）要证0≤++ca bc ab ，0=++c b a ，故只要证2)(c b a ca bc ab++≤++即证0222≥+++++ca bc ab c b a，也就是证])()()[(21222≥+++++a c c b b a ，而此式显然成立，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立。
法三：0=++c b a ，b a c +=-∴222223()()[()]024b b a b bc c a a b b a c a b a b a b a b a ∴++=++=-+=---=-++≤ 0≤++∴ca bc ab法四：,222ab b a ≥+ bc c b 222≥+，ca a c 222≥+ ∴由三式相加得：ca bc ab c b a ++≥++222两边同时加上)(2ca bc ab ++得：)(3)(2ca bc ab c b a ++≥++ 0=++c b a ， ∴0≤++ca bc ab 19．解：设22)2()2(24)4()(-+-=-+-+=x a x a x a x a g ，则)(a g 的图象为一直线，在]1,1[-∈a 上恒大于0，故有⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(g g ，即⎩⎨⎧>+->+-02306522x x x x ，解得：1<x 或3>x∴x 的取值范围是),3()1,(+∞⋃-∞20．解：设花坛的长、宽分别为xm ，ym ，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界。
依题意得：25)2()4(22=+y x ，（0,0>>yx ）问题转化为在0,0>>yx ，100422=+yx的条件下，求xyS=的最大值。
法一：100)2(2222=+≤⋅⋅==yx y x xy S，由yx =2和100422=+y x及0,0>>y x 得：25,210==y x100max =∴S法二：∵0,0>>y x ，100422=+yx，41002xx xy S -==∴=10000)200(41)4100(2222+--=-⋅x xx∴当2002=x ，即210=x ，100max=S由100422=+y x可解得：25=y。
答：花坛的长为m 210，宽为m 25，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求。
21． 解：（1）对任意的R x ∈，都有⇔+≥a x x f 2)(对任意的R x ∈，0)()2(2≥-+-+a b x a x)(4)2(2≤---=∆⇔a b a)(1412R a b ab ∈≥⇔+≥⇔ ∴),1[+∞∈b .（2）证明：∵,1)1(M b a f ≤++=,1)1(M b a f ≤+-=-∴222+≥b M ，即1+≥b M 。
（3）证明：由210<<a 得，0241<-<-a ∴)(x f 在]2,1[a --上是减函数，在]1,2[a -上是增函数。
∴当1||≤x 时,)(x f 在2a x -=时取得最小值42ab -，在1=x 时取得最大值b a ++1.故对任意的]1,1[-∈x ，.1414111|)(|22a b a a b b a x f -≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤++⇔≤。