中考数学复习线角三角形与证明
中考数学复习专题17：三角形及其性质(含中考真题)
专题17 三角形及其性质☞解读考点知识点名师点晴三角形的重要线段中线、角平分线、高线理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线三角形的中位线理解并掌握三角形的中位线的性质三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围三角形的内角和定理三角形的内角和等于180°掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理三角形的外角三角形的外角的性质能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明☞2年中考【题组】1．（崇左）如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】C．【解析】试题分析：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．故选C．考点：三角形三边关系．2．（来宾）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C．【解析】试题分析：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．考点：三角形的外角性质．3．（柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D ．考点：三角形的外角性质．4．（南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．5，6，10B ．5，6，11C ．3，4，8D ．4a ，4a ，8a （a ＞0） 【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确； B ．∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； C ．∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； D ．∵4a+4a=8a ，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误． 故选A ．考点：三角形三边关系．5．（宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（ ） A ．9 B ．12 C ． 7或9 D ．9或12 【答案】B ． 【解析】试题分析：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12； 当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 所以这个三角形的周长是12． 故选B ．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．10 【答案】B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．7．（绵阳）如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）A ．118°B ．119°C ．120°D ．121° 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE ，CD 是∠B 、∠C 的平分线，∴∠CBE=21∠ABC ，∠BCD=21∠BCA ，∴∠CBE+∠BCD=21（∠ABC+∠BCA ）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选C ． 考点：三角形内角和定理．8．（广州）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ）A ．10B ．14C ．10或14D ．8或10 【答案】B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．9．（北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．中心 D ．重心 【答案】D ． 【解析】试题分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D ． 考点：三角形的重心．10．（百色）下列图形中具有稳定性的是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵三角形具有稳定性，∴A 正确，B ．C 、D 错误．故选A ．考点：三角形的稳定性．11．（百色）△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（ ）A ．4B ．4或5C ．5或6D ．6 【答案】B ． 【解析】试题分析：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么a=24S ，b=212S ，c=2S h ，又∵a ﹣b ＜c ＜a+b ，∴22222412412S S S S Sh -<<+，即2233S S Sh <<，解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故选B ．考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．三角形的面积；3．三角形三边关系；4．综合题．12．（广安）下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．考点：三角形的角平分线、中线和高．13．（宜昌）下列图形具有稳定性的是（ ）A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．直角三角形 【答案】D ． 【解析】试题分析：直角三角形具有稳定性．故选D ． 考点：1．三角形的稳定性；2．多边形．14．（长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A ． 【解析】试题分析：为△ABC 中BC 边上的高的是A 选项．故选A ． 考点：三角形的角平分线、中线和高．15．（鄂尔多斯）如图，A ．B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（ ）A ．256B ．51C ．254D ．257【答案】A ．考点：1．概率公式；2．三角形的面积．16．（淄博）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=12AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（ ）A．17 B ．16 C．15 D．14【答案】C．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的面积；3．三角形中位线定理；4．综合题．17．（淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．【答案】75°．【解析】试题分析：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB ∥CD ，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．18．（宜宾）如图，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．若∠B=35°，∠D=45°，则∠AEC= ．【答案】80°．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．19．（巴中）若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 满足229(2)0a b -+-=，则第三边c 的取值范围是 ．【答案】1＜c ＜5． 【解析】试题分析：由题意得，290a -=，20b -=，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c ＜5．故答案为：1＜c ＜5．考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根． 20．（南充）如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD ，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE 的大小是 度．【答案】60． 【解析】试题分析：∵∠ACD=∠B+∠A ，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°，∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE=60°，故答案为：60．考点：三角形的外角性质．21．（佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有 个． 【答案】10． 【解析】试题分析：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．故答案为：10． 考点：三角形三边关系．22．（广东省）如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若ABC 12S =△，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】4．考点：1．三角形的面积；2．综合题．23．（长春）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为 ．【答案】5． 【解析】试题分析：过E 作EM ⊥AB 于M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC=CD=AB ，∴EM=AD ，BM=CE ，∵△ABE 的面积为8，∴12×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE=22BC CE +=2243+=5，故答案为：5．考点：1．正方形的性质；2．三角形的面积；3．勾股定理．24．（昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．【答案】53 2．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．25．（临沂）如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，则OBOD = ．【答案】2． 【解析】试题分析：∵△ABC 的中线BD 、CE 相交于点O ，∴点O 是△ABC 的重心，∴OBOD =2．故答案为：2．考点：1．三角形的重心；2．相似三角形的判定与性质．26．（六盘水）如图，已知， l1∥l2，C1在l1上，并且C1A ⊥l2，A 为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B 在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由．【答案】理由见试题解析．考点：1．平行线之间的距离；2．三角形的面积．27．（达州）化简2221432a a a a a a +⋅----，并求值，其中a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数．【答案】13a -，1．【解析】试题分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a 的值代入计算即可求出值．考点：1．分式的化简求值；2．三角形三边关系．28．（青岛）【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．n 3 4 5 6m 1 0 1 1【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）n 7 8 9 10m你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2m【问题应用】：用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填结果）【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型．【题组】1.（福建南平）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，4【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可：A、1+1=2，不能组成三角形，故此选项错误；B、1+2＞2，能组成三角形，故此选项正确；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、1+2＜4，能组成三角形，故此选项正确．故选B．考点：三角形的三边关系．2.（浙江台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm【答案】D．考点：三角形的中位线．3．（•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C．【解析】试题分析：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×5=10．故选C．考点：三角形中位线定理．4.（•营口）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°【答案】B．考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．5.（•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．试题解析：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12（180°-60°）=60°，∴∠BDC=180°-85°-60°=35°，故C选项正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12（180°-70°）=55°，故D选项正确．故选B．考点：角平分线的性质；三角形内角和定理．6.（江苏淮安）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）【答案】4（答案不唯一）．考点：三角形的三边关系．7、（广东广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是___________°．【答案】140．．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．考点：三角形的外角的性质．8.（湖北随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．【答案】75．【解析】试题分析：如答图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．考点：1．三角形内角和定理；2．对顶角的性质．☞考点归纳归纳 1：三角形的有关线段基础知识归纳：中线：连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段中位线：连接三角形两边中点的线段基本方法归纳：三角形的中位线平行线于第三边，且等于第三边的一半注意问题归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分【例1】如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB＝4，BC＝6，则DF＝_____．【答案】1．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．归纳 2：三角形的三边关系基础知识归纳：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．基本方法归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．注意问题归纳：三角形的三边关系是中考的热点问题之一，是解决三角形的边的有关问题的重要依据．【例2】已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．12【答案】B．考点：三角形三边关系．归纳 3：内角和定理基础知识归纳：三角形三个内角的和等于180°．基本方法归纳：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角．注意问题归纳：三角形的内角和定理是求三角形一个角的度数或证明角相等的重要工具．【例3】如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选C．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．归纳 4：三角形的外角基础知识归纳：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．基本方法归纳：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．注意问题归纳：三角形的外角是解决角的计算与角的大小比较的重要工具．【例4】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，∠B=30°，∠D=40°，则∠AOC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】B．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．☞1年模拟1．（北京市平谷区中考二模）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】D．【解析】试题分析：根据平行线的性质及三角形的内角和定理，有图像可知∠1与∠2互余，因此∠2=90°-65°=25°．故选D．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理．2．（安徽省安庆市中考二模）如图所示，AB∥CD，∠D=26°，∠E=35°，则∠ABE的度数是（）A．61° B．71° C．109° D．119°【答案】A ．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．3．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20° B．40° C．30° D．25°【答案】A．【解析】试题分析：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选A．考点：1．三角形的外角性质；2．平行线的性质．4．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为（）A． 120° B． 135° C． 150° D． 180°【答案】D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．三角形内角和定理．5．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（）A55255225105【答案】A．【解析】试题分析：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，∵55，AB=5，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴sinA=55BEAB，故选A．考点：1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．表格型．6．（山东省威海市乳山市中考一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．【答案】4．考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．三角形的面积．7．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）长为1、2、3、4、5的线段各一条，从这5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是．【答案】1 5．【解析】试题分析：从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条，所有的情况共有10种，其中，取出的三边能构成钝角三角形时，必须最大边的余弦值小于零，即：较小的两个边的平方和小于第三边的平方，故满足构成钝角三角形的取法只有：2、3、4 和2、4、5两种，故取出的三条线段为边能构成钝角三角形的概率是21105 ． 考点：1．列表法与树状图法；2．三角形三边关系．8．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，已知△ABC 中，∠A=40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1+∠2= 度．【答案】220．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．9．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An 在射线OA 上，点B1，B2，B3，…，Bn ﹣1在射线OB 上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An ﹣1Bn ﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn ﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An ﹣1AnBn ﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于的阴影三角形共有__________个．【答案】12；6．【解析】试题分析：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，因此可知2132A B A B =212323A B B A B B S S=12，2233A B A B =212323A B B A B B SS=12，再由考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行线的性质；3．三角形的面积；4．规律型．。
2024年中考数学复习 证明三角形全等的五种基本思路(原卷+答案解析)
证明三角形全等的五种基本思路考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对证明三角形全等的五种基本思路的理解！【类型1已知两边对应相等，寻找第三边相等，用“SSS”】1(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是()A.①或②B.②或③C.①或③D.①或④2(2023春·陕西西安·七年级统考期末)如图，点E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE、AE=CF，AC与BD交于点O．则下列说法不正确的是()A.BE=DFB.△AEB≌△CFDC.∠EAB=∠OAED.AE∥CF3(2023春·广东江门·八年级校考期中)如图，已知：PA=PB，AC=BD，PC=PD，△PAD和△PBC全等吗？请说明理由．4(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF=BC，DF=AC，DA =EB.试说明：∠F=∠C.5(2023春·浙江杭州·八年级校考开学考试)如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，边BC上，连接DE,AD=AC，ED=EC．(1)求证：∠ADE=∠C．(2)若AB⊥DE,∠B=30°，求∠A的度数．6(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上的一点，AE⊥CD 于点E，BF⊥CD交CD的延长线于点F，若CE=BF，AE=EF+BF，试判断直线AC与BC的位置关系，并说明理由．【类型2已知两边对应相等，寻找夹角相等，用“SAS”】1(2023春·贵州遵义·八年级统考阶段练习)如图，F，C是AD上两点，且AF=CD；点E，F，G在同一直线上，∠B=∠AGF，BC=EF求证：ΔABC≌ΔDEF.2(2023春·山西朔州·八年级校考期末)已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD=CE；(2)求证：AD⊥CE3(2023·陕西西安·九年级西北工业大学附属中学校考期末)已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE=BD．连接DE、DC，求证：CE=CD．4(2023春·七年级课时练习)如图，点E在AB上，DE∥BC，且DE=AB，EB=BC，连接EC并延长，交DB的延长线于点F．(1)求证：AC=DB；(2)若∠A=30°，∠BED=40°，求∠F的度数．5(2023春·上海·七年级专题练习)如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、E在一直线上，AC、BD交于F点，AE、CD交于G点，试说明FG∥BE的理由．6(2023春·四川成都·八年级校考开学考试)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上载取CE=BD，连接AD、AE.(1)如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE；(2)在(1)的条件下，求出∠ADE的度数；(3)如图2，当点D落在线段BC(不含端点)上时，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC,垂足为G，连接HG，判断△GHC的形状，并说明现由.【类型3已知两角对应相等，寻找夹边相等，用“ASA”】1(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，若AB: BC=5:7，S△ADC=8，则S△ABD=.2(2023春·湖南永州·八年级校考期中)如图四边形ABCD中，∠AEB=∠CFD，∠BAE=∠DCF，AF=CE．求证：BE=DF．3(2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考阶段练习)如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且∠CAD=45°．若BC=7，AD=5，求AF的长．4(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)如图，∠ABC=∠E,∠D=∠A,BE=CF，求证：△ABC≌△DEF．5(2023春·云南文山·七年级统考期末)如图．已知线段AB，分别过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，点E为∠MAB平分线上的一点，且BE⊥AE，垂足为E，若∠BAE=60°，请解答下列问题：(1)求∠EBN的度数；(2)过点E作直线CD，交AM于点D，交BN于点C．求证：DE=CE；(3)无论线段DC的两个端点在AM、BN上如何移动，只要线段DC经过点E，那么AD+BC的值是否发生变化？请说明理由．6(2023春·陕西咸阳·七年级统考期末)【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G．【问题探究】(1)∠AGB的度数为°；(2)过G作GF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，判断AB与FB的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若AD=10，FG=6，求GH的长．【类型4已知一边一角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA”】7(2023春·四川德阳·八年级校考阶段练习)如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE =74S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论是()A.①②③B.②③④C.①②④⑤D.①②⑤8(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，∠ABC=∠CAD=90°，AB=4，AC=AD，求△BAD的面积．9(2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习)将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．(1)试说明△ABC≌△DBE．(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度数．10(2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，且AD=CD．(1)求证：△ABD≅△CFD；(2)若BC=9，AD=7，求AF的长．11(2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末)如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)求证：△ACD≌△CBE；(2)若AD=12，DE=7，求BE的长．12(2023春·七年级课时练习)(1)如图1，AB=AC，∠B=∠EDF，DE=DF，FC=2，BE=4，求BC的长度.(2)如图2，AB=AC，∠ABC=∠EDF，DE=DF，探索BC、BE、CF的数量关系，并证明.(3)如图3，在中，∠B=∠ADE=45°，∠C=22.5°，DA=DE，AB=3，BD=2，则DC=.【类型5已知一边一角对应相等，寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS”】13(2023春·江苏·七年级统考期末)如图，在五边形ABCDE中，AB=AE=4，BC=3，DE=2，∠BAE，则五边形ABCDE的面积等于()∠ABC=∠AED=90°，∠DAC=12A.16B.20C.24D.2614(2023春·广东深圳·七年级统考期末)如图，长方形ABCD中，点E为AD上一点，连接CE，将长方形ABCD沿着直线CE折叠，点D恰好落在AB的中点F上，点G为CF的中点，点P为线段CE上的动点，连接PF、PG，若AE=a、ED=b、AF=c，则PF+PG的最小值是()A.a+c-bB.b+2cC.a+b+2cD.a+b15(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，线段AB与CF交于点E，点D为CF上一点，连接AD、AF、BC，已知AD=BC，∠1=∠2．(1)请添加一个条件使△ADF≌△BCE，并说明理由．(2)在(1)的条件下请探究AE与BE的数量关系，并说明理由．16(2023·江苏·八年级假期作业)已知：在△ABC中，AB=CD-BD，AD⊥BC，求证：∠B=2∠C．17(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．(1)按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．(2)求证：△ACD≌△EBD．(3)求证：AB+AC>2AD．(4)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．18(2023春·江西吉安·七年级统考期末)在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的将分线，BD 与CE相交于点P．(1)如图1，如果∠A=60°，∠ACB=90°，那么∠BPC=．(2)如图2，如果∠A=60°，∠ACB不是直角，那么(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)小月同学在完成(2)之后，发现CD、BE、BC三者之间存在着一定的数量关系，于是她在边CB上截取了CF=CD，连接PF，把DC、EB转换到BC边上来，请你写出小月同学发现，并完成她的说理过程．证明三角形全等的五种基本思路考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对证明三角形全等的五种基本思路的理解！【类型1已知两边对应相等，寻找第三边相等，用“SSS”】1(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是()A.①或②B.②或③C.①或③D.①或④【答案】A【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．【详解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，在△ABC和△FED中，AC=FD BC=ED AB=FE，∴△ABC≌△FED(SSS)，∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．2(2023春·陕西西安·七年级统考期末)如图，点E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE、AE=CF，AC与BD交于点O．则下列说法不正确的是()A.BE=DFB.△AEB≌△CFDC.∠EAB=∠OAED.AE∥CF【答案】C【分析】利用线段的和差即可判断A选项；利用“SSS”即可证明△AEB≌△CFD，判断B选项；利用全等三角形的性质和平行线的判定，即可判断C、D选项．【详解】解：∵BF=DE，∴BF-EF=DE-EF，∴BE=DF，A选项正确；在△AEB和△CFD中，AB=CD BE=DF AE=CF，∴△AEB≌△CFD SSS，B选项正确；∵△AEB≌△CFD，∴∠EAB=∠FCD，∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，C选项不正确，D选项正确．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．3(2023春·广东江门·八年级校考期中)如图，已知：PA=PB，AC=BD，PC=PD，△PAD和△PBC全等吗？请说明理由．【答案】详见解析【分析】由AC=BD，利用线段的和差关系可得AD=BC，利用SSS即可证明△PAD≌△PBC.【详解】∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC，又∵PA=PB，PC=PD，∴△PAD≌△PBC(SSS)【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.4(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF=BC，DF=AC，DA =EB.试说明：∠F=∠C.【答案】见解析【分析】根据SSS的方法证明△DEF≌△ABC,即可得到结论.【详解】因为DA=EB，所以DE=AB.在△DEF和△ABC中，因为DE=AB，DF=AC，EF=BC，所以△DEF≌△ABC(SSS)，所以∠F=∠C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,属于简单题,找到证明全等的方法是解题关键.5(2023春·浙江杭州·八年级校考开学考试)如图，在△ABC 中，点D ，点E 分别在边AB ，边BC 上，连接DE ,AD =AC ，ED =EC．(1)求证：∠ADE =∠C ．(2)若AB ⊥DE ,∠B =30°，求∠A 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】(1)连接AE ，利用SSS 定理证出△ADE ≅△ACE ，根据全等三角形的性质即可得证；(2)先根据垂直的定义可得∠ADE =90°，再根据(1)的结论可得∠C =90°，然后根据三角形的内角和定理即可得．【详解】(1)证明：如图，连接AE ，在△ADE 和△ACE 中，AD =ACED =EC AE =AE，∴△ADE ≅△ACE SSS ，∴∠ADE =∠C ．(2)解：∵AB ⊥DE ，∴∠ADE =90°，由(1)已证：∠ADE =∠C ，∴∠C =90°，∵∠B =30°，∴∠A =180°-∠B -∠C =60°．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、垂直的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．6(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，在△ABC 中，AC =BC ，D 是AB 上的一点，AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ，若CE =BF ，AE =EF +BF ，试判断直线AC 与BC 的位置关系，并说明理由．【答案】AC⊥BC．理由见解析【分析】证明∴△ACE≌△CBF，可得∠BCF=∠CAE，再根据AE⊥CD，利用等量代换可得∠ACB=90°即可．【详解】解：AC⊥BC．理由如下：∵AE=EF+BF，CE=BF，∴AE=EF+CE，∴AE=CF，在△ACE和△CBF中，AC=CB AE=CF CE=BF，∴△ACE≌△CBF SSS，∴∠BCF=∠CAE，∵AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°，∴AC⊥BC．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明△ACE≌△CBF是解题的关键．【类型2已知两边对应相等，寻找夹角相等，用“SAS”】1(2023春·贵州遵义·八年级统考阶段练习)如图，F，C是AD上两点，且AF=CD；点E，F，G在同一直线上，∠B=∠AGF，BC=EF求证：ΔABC≌ΔDEF.【答案】证明见解析【分析】根据同位角相等，两直线平行得到BC∥EG，再根据平行线的性质得到∠BCA=∠EFD．根据等式的性质得到AC=DF，即可根据SAS证明△ABD≌△DEF．【详解】∵∠B=∠AGF，∴BC∥EG，∴∠BCA=∠EFD．∵AF=CD，∴AC=DF．在△ABD和△DEF中，∵AC=DF，∠BCA=∠EFD，BC=EF，∴△ABD≌△DEF(SAS)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．2(2023春·山西朔州·八年级校考期末)已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD=CE；(2)求证：AD⊥CE【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】试题分析：(1)要证AD=CE，只需证明△ABD≌△CBE，由于△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，所以易证得结论．(2)延长AD，根据(1)的结论，易证∠AFC=∠ABC=90°，所以AD⊥CE．试题解析：(1)∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△CBE，∴AD=CE．(2)延长AD分别交BC和CE于G和F，∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD=∠BCE，∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，又∵∠BGA=∠CGF，∴∠AFC=∠ABC=90°，∴AD⊥CE．考点：1.等腰直角三角形；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．3(2023·陕西西安·九年级西北工业大学附属中学校考期末)已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE=BD．连接DE、DC，求证：CE=CD．【答案】见解析.【分析】由已知可得△ABC是等腰直角三角形，由AE⊥AB即可得到∠CAE=∠B，从而可利用SAS判定△ACE≌△BCD,得证．【详解】证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠CAD=45°．∵AE⊥AB，∴∠CAE+∠CAD=90°．∴∠CAE=45°．∴∠CAE=∠B．在△ACE和△BCD中，AE=BD∠CAE=∠B AC=BC，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴CE=CD．【点睛】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的性质的综合运用，证明△ACE≌△BCD 是解题的关键．4(2023春·七年级课时练习)如图，点E在AB上，DE∥BC，且DE=AB，EB=BC，连接EC并延长，交DB的延长线于点F．(1)求证：AC=DB；(2)若∠A=30°，∠BED=40°，求∠F的度数．【答案】(1)见解析(2)∠F=40°【分析】(1)由DE∥BC得到∠ABC=∠DEB，证明△ABC≌△DEB即可；(2)推导BE=BC，即∠BCE=∠BEC解题即可．【详解】(1)证明：∵DE∥BC，∴∠ABC=∠DEB，在△ABC和△DEB中，AB=DE∠ABC=∠DEB BC=DB，∴△ABC≌△DEB(SAS)，∴CD=CE；(2)解：∵△ABC≌△DEB，∴∠D=∠A=30°，∵DE∥BC，∴∠FBC=∠D=30°，∵∠CDE=40°∴∠EBC=40°，∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC=70°，∴∠F=40°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．5(2023春·上海·七年级专题练习)如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、E在一直线上，AC、BD交于F点，AE、CD交于G点，试说明FG∥BE的理由．【答案】见解析【分析】运用SAS证得△ACD≌△ACE，得到∠CAE=∠CBD，∠BCD=∠ACE;由公共部分∠ACD,利用角和差可确定∠BCF=∠DCF，结合BC=AC，判定△BCF≌△ACG，可得∠ACD=∠BAC=60°,CF= CG;可以发现△CFG也是等边三角形，则∠CFG=60°,即∠CFG=∠BCA=60°，利用平行线判定定理，即可判定平行．【详解】解：理由如下：∵已知△ABC和△CDE都是等边三角形∴AC=AB,CD=CE,∠BAC=∠ABC=∠BCA=∠DCE=∠CED=∠EDC=60°∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE在△ACD和△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE CD=CE∴△ACD≌△ACE(SAS)∴∠CAE=∠CBD，∠BCD=∠ACE∴∠BCD-∠ACD=∠ACE-∠ACD 即∠ACD=∠BCA=60°；在△BCF和△ACG中，∠CAE=∠CBD AC=BC∠ACD=∠BCA∴△BCF≌△ACG(ASA)∴CF=CG∴△CFG是等边三角形∴∠CFG=60°∴∠CFG=∠BCA=60°∴FG∥BE(内错角相等，两直线平行)【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及平行线的判定，其中全等三角形的判定是解题的关键．6(2023春·四川成都·八年级校考开学考试)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上载取CE=BD，连接AD、AE.(1)如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE；(2)在(1)的条件下，求出∠ADE的度数；(3)如图2，当点D落在线段BC(不含端点)上时，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC,垂足为G，连接HG，判断△GHC的形状，并说明现由.【答案】(1)证明见解析；(2)30°；(3)∆HGC 为等边三角形，理由见解析.【分析】(1)利用SAS 定理证明△ABD ≌△ACE ；(2)根据全等三角形的性质得到AD =AE ，∠CAE =∠BAD ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可求得∠ADE 的度数；【详解】解：(1)∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠ABC =∠ACB =30°，∵∠ACM =∠ACB ，∴∠ACM =∠ABC ，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠ABC =∠ACEBD =CE ，∴△ABD ≌△ACE .(2)由(1)可知，△ABD ≌△ACE ，∵ΔABD ≌ΔACE ，∴AD =AE ，∠BAD =∠CAE ．∴∠CAE +∠DAC =∠BAD +∠DAC =∠BAC =120°．即∠DAE =120°．∵AD =AE ，∴∠ADE =∠AED =30°；(3)∆HGC 为等边三角形.理由:∵AH ⊥BC ,AG ⊥EC ,∴∠AHC =∠AGC =90°.∵∠ACB =∠ACM ,AC =AC ,∴ΔAHC ≅ΔAGC (ASA ).∴HC =GC .∵∠HCA =30°,∴∠HCG =60°.∴∆HGC 为等边三角形.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【类型3已知两角对应相等，寻找夹边相等，用“ASA ”】1(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，AD ⊥BD ，若AB :BC =5:7，S △ADC =8，则S △ABD =.【答案】20【分析】延长AD 交BC 于点E ，证△ABD ≌△EBD 可得AB =BE ，S △ABD =S △EBD ，AD =DE ，由AB :BC =5:7可得S △EBD ：S △ECD =5:2，进而即可求解；【详解】解：如图，延长AD 交BC 于点E ，∵BD 平分∠ABC ，AD ⊥BD ，∴∠ABD =∠EBD ，∠ADB =∠EDB =90°∵BD =BD ，∴△ABD ≌△EBD ASA∴AB =BE ，S △ABD =S △EBD ，AD =DE ，∵AB :BC =5:7，即BE :BC =5:7∴BE :EC =5:2∴S △EBD ：S △ECD =5:2，∵AD =DE ，S △ADC =8，∴S △ECD =S △ADC =8，∴S △ABD =52S △ADC =20故答案为：20．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，三角形中线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．2(2023春·湖南永州·八年级校考期中)如图四边形ABCD 中，∠AEB =∠CFD ，∠BAE =∠DCF ，AF =CE ．求证：BE =DF ．【答案】证明见解析【分析】根据等量代换可得AE =CF ，根据全等三角形的判定和性质即可证明．【详解】证明：∵AF =CE ，AF +FE =CE +FE ，∴AE =CF ，在△ABE 和△CDF 中，∠AEB =∠CFDAE =CF ∠BAE =∠DCF，∴△ABE ≌△CDF ASA ，∴BE =DF ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．3(2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考阶段练习)如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB于E ，AD 与CE 交于点F ，且∠CAD =45°．若BC =7，AD =5，求AF 的长．【答案】3【分析】证明△ABD ≌△CFD ASA ，得到BD =DF ，利用BD =BC -CD ，求出BD 的长，再利用AF =AD -DF ，计算即可．【详解】解：∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠ADB =∠ADC =∠CDF =∠CEB =90°，∴∠BAD +∠B =∠FCD +∠B =90°，∴∠BAD =∠FCD ，∵∠ADC =90°，∠CAD =45°，∴∠ACD =45°，∴AD =CD ，在△ABD 和CFD 中，∠ADB =∠CDFAD =DC ∠BAD =∠DCF，∴△ABD ≌△CFD ASA ．∴BD =DF ．∵BC =7，AD =DC =5，∴DF =BD =BC -CD =2，∴AF =AD -DF =5-2=3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△ABD ≌△CFD ．4(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)如图，∠ABC =∠E ,∠D =∠A ,BE =CF ，求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】根据已知条件证明EF =CB ，进而根据AAS 证明△ABC ≌△DEF ．【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +BF =BF +FC ，即EF =CB ，在△ABC ,△DEF 中，∠D =∠A∠ABC =∠EEF =CB∴△ABC ≌△DEF AAS ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．5(2023春·云南文山·七年级统考期末)如图．已知线段AB ，分别过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN，使AM∥BN，点E为∠MAB平分线上的一点，且BE⊥AE，垂足为E，若∠BAE=60°，请解答下列问题：(1)求∠EBN的度数；(2)过点E作直线CD，交AM于点D，交BN于点C．求证：DE=CE；(3)无论线段DC的两个端点在AM、BN上如何移动，只要线段DC经过点E，那么AD+BC的值是否发生变化？请说明理由．【答案】(1)30°(2)见解析(3)AD+BC的值不会发生变化，都等于AB的长，理由见解析【分析】(1)根据平行线的性质得出∠BAM+∠ABN=180°,得出∠ABN=60°,再根据直角三角形两锐角互余可得∠ABE=30°,从而可得出结论；(2)延长AE交BN于点F，证明△AEB≌△FEB得到AB=FB，再根据ASA证明△AED≌△FEC即可得出DE=CE；(3)由(2)知△AED≌△FEC得AD=FC，从而可证明AD=FC,再证明FB=AB，从而可得出结论．【详解】(1)∵AE是∠BAM的平分线，∴∠BAE=∠MAE=1∠MAB,2∵∠BAE=60°,∴∠BAM=2∠BAE=120°,∵AM∥BN,∴∠BAM+∠ABN=180°,∴∠ABN=180°-∠BAM=180°-120°=60°,∵AE⊥BE,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°,∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-60°=30°,∴∠EBN=∠ABN-∠ABE=60°-30°=30°；(2)证明：如图所示，延长AE交BN于点F，∵AE⊥BE，∴∠AEB=∠FEB=90°，∵AE是∠BAM的平分线，∴∠BAE=DAF，∵AM∥BN，∴∠BFA=∠DAF，∠ADE=∠FEC，∴∠EAB=∠EFB，又∵BE=BE，∴△AEB≌△FEB AAS，∴AE=FE,∴△AED≌△FEC ASA，∴DE=CE；(3)解：AD+BC的值不会发生变化，都等于AB的长，理由如下：由(2)得△AED≌△FEC，△AEB≌△FEB∴AD=FC,AB=BF，∴AD+BC=FC+BC=BF=AB，∴线段DC经过点E，那么AD+BC的值不会发生变化，都等于AB的长【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键6(2023春·陕西咸阳·七年级统考期末)【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G．【问题探究】(1)∠AGB的度数为°；(2)过G作GF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，判断AB与FB的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若AD=10，FG=6，求GH的长．【答案】(1)135(2)AB=BF，理由见解析(3)4【分析】(1)利用三角形内角和定理得到∠ABC+∠BAC=90°，再由角平分线的定义得到∠GAB+∠GBA=12∠ABC+12∠BAC=45°，由此即可利用三角形内角和定理求出答案；(2)利用三角形内角和定理证明∠F=∠HAG，进而证明∠F=∠BAG，由此可证明△ABG≌△FBG得到AB=BF；(3)由全等三角形的性质得到AG=FG=6，则DG=AD-AG=4，再证明△AGH≌△FGD，即可得到GH=DG=4．【详解】(1)解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=90°，∵∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G，∴∠GAB=12∠BAC，∠GBA=12∠ABC，∴∠GAB+∠GBA=12∠ABC+12∠BAC=45°，∴∠AGB=180°-∠GAB-∠GBA=135°，故答案为：135；(2)解：AB=BF，理由如下：∵∠ACB=90°，∴∠ACF=90°，∵FG⊥AD，∴∠AGH=∠FCH=90°，又∵∠FHC=∠AHG，∴∠F=∠HAG，∵∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G，∴∠CAD=∠BAD，∠ABG=∠CBG，∴∠F=∠BAG，又∵BG=BG，∴△ABG≌△FBG AAS，∴AB=BF；(3)解：∵△ABG≌△FBG，∴AG=FG=6，∴DG=AD-AG=4，又∵∠AGH=∠FGD=90°，∠HAG=∠F，∴△AGH≌△FGD ASA，∴GH=DG=4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【类型4已知一边一角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA”】7(2023春·四川德阳·八年级校考阶段练习)如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE =74S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论是()A.①②③B.②③④C.①②④⑤D.①②⑤【答案】D【分析】①利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可判定；②证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可判定；③利用反证法，假设成立，推出矛盾即可；④可以证明S四边形ABDE=2S△ABP，据此即可判定；⑤由DH∥PE，利用等高模型即可判定．【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAP=∠DAC，∠ABP=∠FBP，∴∠BAD+∠ABE=12∠CAB+∠CBA=12×90°=45°，∴∠APB=180°-∠BAD+∠ABE=135°，故①正确；∴∠BPD=180°-∠APB=180°-135°=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPD=∠APF=90°，∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，在△ABP和△FBP中，∠ABP=∠FBP BP=BP∠APB=∠FPB，∴△ABP≌△FBP ASA，∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，∴∠PAH=∠BAP=∠PFD，在△APH和△FPD中，∠APH=∠FPD AP=FP∠PAH=∠PFD，∴△APH≌△FPD ASA，∴PH=PD，∴AD=AP+PD=PF+PH，故②正确；∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH=S△EPD，∴S△EPH+S△APE=S△EPD+S△APE，即S△APH=S△AED，故⑤正确；∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD=S△ABP+S△AEP+S△EPH+S△PBD=S△ABP+S△APH+S△PBD=S△ABP+S△FPD+S△PBD=S△ABP+S△FBP=2S△ABP，故④不正确；若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，∵DH∥BE，∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，∴∠CDE=∠ABC，∴DE∥AB，这个显然与已知条件不符，故③不正确，综上所述，正确的结论有①②⑤，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．8(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，∠ABC=∠CAD=90°，AB=4，AC=AD，求△BAD的面积．【答案】8【分析】过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，通过证明△DAE≌△ACB求得三角形高，从而求面积．【详解】解：过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，∵∠ABC=∠CAD=90°，∴∠DEA=∠ABC，∠DAE+∠ADE=∠DAE+∠BAC=90°，∴∠ADE=∠BAC，又∵AC=AD，∴△DAE≌△ACB，∴DE=AB=4，∴S△BAD=12AB⋅DE=12×4×4=8，即△BAD的面积为8．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．9(2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习)将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．(1)试说明△ABC≌△DBE．(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度数．【答案】(1)见解析(2)∠BED=36°【分析】(1)利用AAS证明三角形全等即可；(2)全等三角形的性质，得到∠BED=∠BCA，证明△DBC≌△ABC SSS，得到∠BCD=∠BCA=12∠ACD=36°，即可得解．【详解】(1)解：因为∠DBA=∠CBE，所以∠DBA+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠DBE=∠ABC．在△ABC和△DBE中，∠ABC=∠DBE ∠BAC=∠BDE AC=DE，所以△ABC≌△DBE AAS．(2)因为△ABC≌△DBE，所以BD=BA，∠BCA=∠BED．在△DBC和△ABC中，DC=AC CB=CB BD=BA，所以△DBC≌△ABC SSS，所以∠BCD=∠BCA=12∠ACD=36°，所以∠BED=∠BCA=36°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．10(2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，且AD=CD．(1)求证：△ABD≅△CFD；(2)若BC=9，AD=7，求AF的长．【答案】(1)见解析(2)AF=5【分析】(1)先证明∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，则∠BAD=∠FCD=90°-∠B，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABD≅△CFD；(2)先由BC=9，AD=CD=7求得BD=2，再根据全等三角形的对应边相等证明BD=FD=2，则AF= AD-FD=5．【详解】(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°．∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°．∴∠BAD=∠FCD．在△ABD和△CFD中，∠ADB=∠CDF, AD=DC,∠BAD=∠FCD,∴△ABD≌△CFD ASA．(2)∵△ABD≌△CFD，∴BD=DF．∵BC=9，AD=DC=7，∴BD=BC-CD=2．∴DF=2．∴AF=AD-DF=7-2=5．【点睛】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且通过推理证明三角形全等的条件是解题的关键．11(2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末)如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)求证：△ACD≌△CBE；(2)若AD=12，DE=7，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据等式性质求出∠ACD=∠CBE，根据AAS 证明△BCE≌△CAD；(2)根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，CD=BE，再根据AD=12，DE=7，即可解答．【详解】(1)证明：∵∠ACB=90°,BE⊥CE，∴∠ECB+∠ACD=90°,∠ECB+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵AD⊥CE,BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE；(2)解：∵△ACD≌△CBE，∴AD=CE,CD=BE，∵AD=12,DE=7，∴BE=CD=CE-DE=12-7=5．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．12(2023春·七年级课时练习)(1)如图1，AB=AC，∠B=∠EDF，DE=DF，FC=2，BE=4，求BC的长度.(2)如图2，AB=AC，∠ABC=∠EDF，DE=DF，探索BC、BE、CF的数量关系，并证明.(3)如图3，在中，∠B=∠ADE=45°，∠C=22.5°，DA=DE，AB=3，BD=2，则DC=.【答案】(1)6；(2)BC=BE-CF，证明见解析；(3)5【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=∠EDF，再根据三角形的内角和定理得到∠BED=∠FDC，根据全等三角形的性质得到BD=FC=2，BE=CD=4，最后由BC=BD+CD即可解答；(2)根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=∠EDF，求得∠ABD=∠DCF，最后根据全等三角形的性质即可解答；(3)在△ABC内部作∠CEF=∠C交BC于F，于是得到∠DFE=∠CEF+∠C=45°，EF=CF，求得∠DFE=∠B=∠ADE=45°，最后根据全等三角形的性质得到BD=EF=CF=2，最后根据DC=DF+ CF即可解答．【详解】(1)解：∵AB=AC，∠B=∠EDF，∴∠B=∠C=∠EDF，∵∠B+∠BED+∠BDE=∠FDC+∠EDF+∠BDE，∴∠BED=∠FDC，在△BED和△FDC中，∠B=∠C∠BED=∠CDF DE=DF∴△BED≅△FDC(AAS)，∴BD=FC=2，BE=CD=4，∴BC=BD+CD=6；(2)BC=BE-CF，证明如下：∵AB=AC，∠ABC=∠EDF，∴∠ABC=∠ACB=∠EDF，∴∠ABD=∠DCF，∠BED+∠BDE=∠BDE+∠CDF，∴∠BED=∠CDF，∴△BED≅△CDF(AAS)，∴BD=CF，BE=CD，∴BC=CD-BD=BE-CF；(3)如图：在△ABC内部作∠CEF=∠C交BC于F，∴∠DFE=∠CEF+∠C=45°，EF=CF，∵∠B=∠ADE=45°，∴∠DFE=∠B=∠ADE=45°，∵∠BAD+∠B+∠ADB=∠FDE+∠ADE+ADB=180°，∴∠BAD=∠FDE，∴△BAD≌△FDE(AAS)，∴BD=EF=CF=2，AB=DF=3，∴DC=DF+CF=5．【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【类型5已知一边一角对应相等，寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS ”】13(2023春·江苏·七年级统考期末)如图，在五边形ABCDE 中，AB =AE=4，BC =3，DE =2，∠ABC =∠AED =90°，∠DAC =12∠BAE ，则五边形ABCDE 的面积等于()A.16B.20C.24D.26【答案】B【分析】延长DE 至F ，使EF =BC ，连接AF ，通过证明△AEF ≌△ABC 可得∠FAE =∠CAB ，AF =AC ，由∠DAC =12∠BAE 可得∠DAF =∠DAC ，从而可证明△ADF ≌△ADC SAS ，得到S △ADC =S △AFD =S △ADE +S △ACB ，最后由S 五边形ABCDE =S △ADE +S △ACD +S △ABC ，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，延长DE 至F ，使EF =BC ，连接AF ，则∠AEF =90°，在△AEF 和△ABC 中，EF =BC∠AEF =∠ABC AE =AB，∴△AEF ≌△ABC SAS ，∴∠FAE =∠CAB ，AF =AC ，∵∠DAC =12∠BAE ，∠BAE =∠EAD +∠DAC +∠BAC ，∴∠DAC =∠EAD +∠BAC =∠EAD +∠EAF =∠DAF ，在△ADF 和△ADC 中，AD =AD∠DAF =∠DAC AF =AC ，∴△ADF ≌△ADC SAS ，∴S △ADC =S △AFD =S △ADE +S △ACB ，∵S △ADE =12DE ⋅AE =12×2×4=4，S △ABC =12BC ⋅AB =12×3×4=6，∴S △ADC =4+6=10，∴S 五边形ABCDE =S △ADE +S △ACD +S △ABC =4+10+6=20，故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形，是解题的关键．14(2023春·广东深圳·七年级统考期末)如图，长方形ABCD 中，点E 为AD 上一点，连接CE ，将长方形ABCD 沿着直线CE 折叠，点D 恰好落在AB 的中点F 上，点G 为CF 的中点，点P 为线段CE 上的动点，连接PF 、PG ，若AE =a 、ED =b 、AF =c ，则PF +PG 的最小值是()。
2023届初中数学中考复习-一线三垂直与一线三等角
一线三垂直与一线三等角一、基础知识回顾1) 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°2)1 平角= 180 度二、模型的概述：1) 一线三垂直模型[模型概述] 只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。
根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。
基础构造1构造2一线三垂直模型一：如图A B ⊥BC，AB = BC，CE ⊥DE，AD ⊥DE，则∆ABD ≌∆BCE，DE =AD +EC证明：∵CE ⊥DE，AD ⊥DE，AB ⊥BC∴∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90°∴∠1 + ∠2 = 90°, ∠2 + ∠3 = 90°∴∠1 = ∠3∠1 = ∠3在∆ABD 和∆BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90°AB = BC∴∆ABD ≌∆BCE(AAS)∴AD = BE,EC = BD则DE = BE + BD = AD + EC一线三垂直模型二：如图A B ⊥BC，AB = BC，CE ⊥DE，AD ⊥DE，则∆ABD ≌∆BCE，DE =AD - EC证明：∵CE ⊥DE，AD ⊥DE，AB ⊥BC∴∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90°∴∠A + ∠ABD = 90°, ∠ABD + ∠CBE = 90°∴∠A = ∠CBE∠A = ∠CBE在∆ABD 和∆BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90°AB = BC∴∆ABD ≌∆BCE(AAS)∴AD = BE,EC = BD则DE = BE - BD = AD - EC一线三垂直其它模型1) 图1，已知∠AOC = ∠ADB = ∠CED = 90°, AB = DC，得∆ADB ≌∆DEC2) 图2，延长DE 交AC 于点F，已知∠DBE = ∠ABC = ∠EFC = 90°, AC = DE，得∆ABC ≌∆DBE图1图22) 一线三等角模型[模型概述] 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
中考数学相似三角形重要模型一线三等角模型
相似三角形重要模型-一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1 图2 图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，A B C为等边三角形，点D，E分别在边B C，A B上，60A D E∠=︒，若4B D D C=， 2.4D E=，则A D的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.2例2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，,C A ADE D A D⊥⊥，点B是线段A D上的一点，且C B B E⊥．已知8,6,4A B A C D E===．(1)证明：A B C D E B∽△△．(2)求线段B D的长．例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，A BA C＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：B DA E＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，A BA C＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，A BA E ＝A CA G＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．例4．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，A B A C=，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有B D AA E CB AC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设C P Qβ∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在A B C中，90A C B ∠=︒，A C B C=，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：A D C C E B△≌△．（1）探究问题：如果A CB C≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；A D CC E B△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x=与直线C D 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3ta n 2α=，请你求出直线C D 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形A B C D 中，3A B=，5B C=，点E为B C 边上—个动点，连接A E ，将线段A E 绕点E 顺时针旋转90︒，点A 落在点P 处，当点P 在矩形A B C D外部时，连接P C ，P D ．若D P C △为直角三角形时，请你探究并直接写出B E 的长．Rt ABD中，上一动点，连接折叠得H E F，延长②B E M H E M≅；③当M2B，则正确的有（九年级校考阶段练习）已知A B C是等边三角形，E F和B D F∠，将B C E沿B则A F=P C D△；九年级校考阶段练习）如图，在A B C中，12．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线l上，分别过两锐角的顶点M，N作l的垂线，垂足分别为P，Q，（1）如图1.观察图1可知：与NQ相等的线段是______________，与N R Q∠相等的角是_____(2)问题探究直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作正方形ACEF 和正方形CDGH，如图2，过E，H分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为K，L.试探究EK与HL之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH，连接EH交BC所在的直线于点T，如图3.如果A C kC E=，试探究TE与TH=，C D kC H之间的数量关系，并证明你的结论.将．A B P沿着这样的点P，使得点问题解决（3）15．（2023春·四川广安·九年级校考阶段练习）如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．（1）求证：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，则点B的坐标为；若m=﹣3，则点B的坐标为；（3）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由．16．（2020·四川雅安·中考真题）如图，已知边长为10的正方形A B C D E、不重，是B C边上一动点（与B C 合），连结A E G，是B C延长线上的点，过点E作A E的垂线交D C G∠的角平分线于点F，若F G B G⊥．（1）求证：A B E E G FE C=，求C E F△△；（2）若2∽△的△的面积；（3）请直接写出E C为何值时，C E F面积最大．的何位置时有B E H B A E∽？B C。
中考数学专题复习全攻略：第二节 三角形的基础知识与全等三角形
第二节 三角形的基础知识与全等三角形知识点一：三角形的分类及性质 1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上， 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接三角形用符号“∆”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“∆ABC ”，读作“三角形ABC ”。
5.三角形的分类（1）按角的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形（2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形6.三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
.变式练习1：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.[变式练习2：已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是()A. 5B. 6C. 11D. 16【解析】C组成三角形的三条线段长度须满足“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．此三角形的两边之和为14，两边之差为6，所以此三角形第三边的长可能是11.变式练习3：下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( D )A．2 cm，3 cm，5 cm B．7 cm，4 cm，2 cmC．3 cm，4 cm，8 cm D．3 cm，3 cm，4 cm7.角的关系（1）内角和定理：①三角形的内角和等180°；②推论：直角三角形的两锐角互余.变式练习：在△ABC中，若∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数为( C ) A．35°B．40°C．45°D．50°（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.8.三角形中的重要线段8.三角形中的重要线段四线性质角平分线（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半注意：在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系注意：（1）在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
初中三角形总复习+中考几何题证明思路总结
初中三角形总复习【知识精读】1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）3. 三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于180°（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（5）三角形具有稳定性。
4.⋅S SABE∆基础。
5. 三角形边角关系、性质的应用【分类解析】例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B分析：因为∆ABC 为锐角三角形，所以090︒<<︒∠B 又∠C ＝2∠B ，∴︒<<︒0290∠B ∴︒<<︒045∠B又∵∠A 为锐角，()∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90∴>︒390∠B ，即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ，故选择C 。
例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。
解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ，3x ∴+=23200x x 解得：x =40 2803120x x ==， 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形 应选C例3. 如图，已知：在∆ABC 中，AB AC ≤12，求证：∠∠C B <12。
中考数学考点专题(六) 与三角形有关的计算与证明
中考数学复习专题(六) 与三角形有关的计算与证明1．(2016·河北)如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上(F ，C 之间不能直接测量)，点A ，D 在l 异侧，测得AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝EC.(1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．解：(1)证明：∵BF ＝EC ，∴BF ＋FC ＝EC ＋FC ，即BC ＝EF.又∵AB ＝DE ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF.(2)AB ∥DE ，AC ∥DF.理由：∵△ABC ≌△DEF ，∴∠ABC ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠DFE.∴AB ∥DE ，AC ∥DF.2．(2017·苏州)如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O.(1)求证：△AEC ≌△BED ；(2)若∠1＝42°，求∠BDE 的度数．解：(1)证明：∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD ＝∠BOE.又∵∠A ＝∠B ，∴∠BEO ＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO.∴∠AEC ＝∠BED.在△AEC 和△BED 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，∠AEC ＝∠BED ，∴△AEC ≌△BED(ASA )．(2)∵△AEC ≌△BED ，∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE.在△EDC 中，∵EC ＝ED ，∠1＝42°，∴∠C ＝∠EDC ＝69°.∴∠BDE ＝∠C ＝69°.3．(2016·襄阳)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AD ＝23，∠DAC ＝30°，求AC 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.又∵BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF.∴∠B ＝∠C.∴AB ＝AC.(2)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC.在Rt △ADC 中，∵∠DAC ＝30°，AD ＝23，∴AC ＝AD cos 30°＝4.4．(2017·重庆)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点E 是AC 上一点，连接BE.(1)如图1，若AB ＝42，BE ＝5，求AE 的长；(2)如图2，点D 是线段BE 延长线上一点，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，连接CD ，CF ，当AF ＝DF 时，求证：DC ＝BC.解：(1)∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴AC ＝BC ＝22AB ＝4. ∵BE ＝5，∴CE ＝BE 2－BC 2＝3.∴AE ＝4－3＝1.(2)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝45°.∵AF ⊥BD ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°.∴A ，F ，C ，B 四点共圆．∴∠CFB ＝∠CAB ＝45°，∴∠DFC ＝∠AFC ＝135°.在△ACF 和△DCF 中， ⎩⎨⎧AF ＝DF ，∠AFC ＝∠DFC ，CF ＝CF ，∴△ACF ≌△DCF.∴AC ＝DC.又∵AC ＝BC ，∴DC ＝BC.5．(2017·北京)在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，P 是线段BC 上一动点(与点B ，C 不重合)，连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ ＝CP ，过点Q 作QH ⊥AP 于点H ，交AB 于点M.(1)若∠PAC ＝α，求∠AMQ 的大小；(用含α的式子表示)(2)用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明．解：(1)∵∠PAC ＝α，△ACB 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠B ＝45°，∠PAB ＝45°－α.∵QH ⊥AP ，∴∠AHM ＝90°.∴∠AMQ ＝180°－∠AHM －∠PAB ＝45°＋α.(2)PQ ＝2MB.理由如下：连接AQ ，作ME ⊥QB 于点E ，∵∠PAC ＋∠APC ＝∠MQE ＋∠APC ＝90°，∴∠PAC ＝∠MQE.∵AC ⊥QP ，CQ ＝CP ，∴∠QAC ＝∠PAC ＝α.∴∠QAM ＝45°＋α＝∠AMQ.∴AP ＝AQ ＝QM.在△APC 和△QME 中，⎩⎨⎧∠PAC ＝∠MQE ，∠ACP ＝∠QEM ，AP ＝QM ，∴△APC ≌△QME(AAS )．∴PC ＝ME.∵△MEB 是等腰直角三角形，∴MB ＝2ME ＝2PC ＝22PQ ， 即PQ ＝2MB.6．如图，已知∠ABC ＝90°，D 是直线AB 上的点，AD ＝BC.(1)如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF ＝BD ，连接DC ，DF ，CF ，判断△CDF 的形状并证明；(2)如图2，E 是直线BC 上一点，且CE ＝BD ，直线AE ，CD 相交于点P ，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．解：(1)△CDF 是等腰直角三角形．理由如下：∵AF ⊥AD ，∠ABC ＝90°，∴∠FAD ＝∠DBC.在△FAD 和△DBC 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠FAD ＝∠DBC ，AF ＝BD ，∴△FAD ≌△DBC(SAS )．∴FD ＝DC.∴△CDF 是等腰三角形．∵△FAD ≌△DBC ，∴∠FDA ＝∠DCB.∵∠BDC ＋∠DCB ＝90°，∴∠BDC ＋∠FDA ＝90°，即∠CDF ＝90°. ∴△CDF 是等腰直角三角形．(2)∠APD 的度数是固定值．作AF ⊥AB 于A ，使AF ＝BD ，连接DF ，CF. ∵AF ⊥AD ，∠ABC ＝90°，∴∠FAD ＝∠DBC ，AF ∥CE. 在△FAD 和△DBC 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠FAD ＝∠DBC ，AF ＝BD ， ∴△FAD ≌△DBC(SAS )．∴FD ＝DC.∴△CDF 是等腰三角形．∵△FAD ≌△DBC ，∴∠FDA ＝∠DCB.∵∠BDC ＋∠DCB ＝90°，∴∠BDC ＋∠FDA ＝90°，即∠CDF ＝90°. ∴△CDF 是等腰直角三角形．∴∠FCD ＝45°.∵AF ∥CE ，且AF ＝BD ＝CE ，∴四边形AFCE 是平行四边形．∴AE ∥CF.∴∠APD ＝∠FCD ＝45°.。
2023年中考数学常见几何模型归纳(全国通用版)：一线三等角模型(从全等到相似)(解析版)
专题05一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B +CE=DE证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED +任意一边相等证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ，AB AC ，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转 045 ，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转 4590 ，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE ，1DE ，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析(3)258BFC S【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ，45EAC ACE ，再根据90BDA CEA ，求出45ABD ，45ACE ，即可得出45DAB ABD EAC ACE ，最后根据三角函数得出1AD BD ，1AE CE ，即可求出2DE AD AE ；（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt △AEC 中，根据勾股定理求出5AC ，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF ，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：∵90BAC ，AB AC ，∴90452ABC ACB ，∵l BC ∥，∴45DAB ABC ，45EAC ACE ，∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ，∴904545ABD ，904545ACE ，∴45DAB ABD EAC ACE ，∴sin 12AD BD AB DAB ，sin 1AE CE AC EAC ，∴2DE AD AE ．(2)①DE =CE +BD ；理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ，∴90DAB DBA ，∵90BAC ，∴90DAB CAE ，∴DBA CAE ，∵AB =AC ，∴ABD CAE ≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ，∴90DAB DBA ，∵90BAC ，∴90DAB CAE ，∴DBA CAE ，∵AB =AC ，∴ABD CAE ≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，∴314AE AD DE ，在Rt △AEC 中，根据勾股定理可得：5AC ，∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DF CE ∥，∴AD AF AE CF ，即345AF ，解得：154 AF ，∴155544CF AC AF ，∵AB =AC =5，∴1152552248BFC S CF AB ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明∶DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC = ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA=∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC= ，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°- ．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC= ，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°．∴△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF ，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l 于E ，CF l 于F ．若1AE ，2CF ，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，BE CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE ，6cm AD ，求BE 的长．∵∠EDF =45゜∴∠ADE +∠BDF =180゜−∠EDF =135゜∴∠ADE =∠BFD在△AED 和△BDF 中A B ADE BFD AE BD ∴△AED ≌△BDF (AAS )答案为：△BDF ；②∵△ABC 是等边三角形∴∠B =∠C =60゜∴∠BDE +∠BED =180゜−∠B =120゜∵∠EDF =60゜∴∠BDE +∠CDF =180゜−∠EDF =120゜∴∠BED =∠CDF在△BDE 和△CFD 中B C BED CDF BD CF∴△BDE ≌△CFD (AAS )故答案为：△CFD ；③∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC =90゜，AB =BC∴∠ABE +∠CBF =180゜−∠ABC =90゜∵AE ⊥l ，CF ⊥l ∴∠AEB =∠CFB =90゜∴∠ABE +∠EAB =90゜∴∠EAB =∠CBF在△ABE 和△BCF 中AEB CFB EAB CBF AB BC∴△ABE ≌△BCF (AAS )∴AE =BF =1，BE =CF =2∴EF =BE +BF =2+1=3故答案为：3；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，如图所示∵四边形OABC 是正方形∴∠AOC =90゜，AO =OC∴∠COE +∠AOD =180゜−∠ACO =90゜∵AD ⊥x 轴，CE ⊥x 轴∴∠CEO =∠ADO =90゜模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，AB AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C ．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ ．当 在许可范围内变化时， 取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当 在许可范围内变化时， 取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有 、 的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE ；证明见解析；（2）30 ；75 ；（3）可能；30 ，30 或52.5 ，75 ．【分析】（1）证明△ADB ≌△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=∠2或∠1=∠CQP ，即∠2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=∠1或∠2=∠CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则∠2=∠B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，∵BDA BAC ，∴180DBA BAD BAD CAE ，∴DBA CAE ，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE BD ，AD CE ，∴DE AE AD BD CE ；（2）在△ABP 中，2230APC B ，∴1150 ，同理可得：230 ；由2 或1CQP ，即230 ，解得30 ，则△ABP ∽△PCQ ；∴当 在许可范围内变化时，30 时，总有△ABP ∽△PCQ ；由1 或2CQP ，同理可得：75 ．∴当 在许可范围内变化时，75 总有△ABP ∽△QCP ；（3）可能．①当30 ，30 时，则230B ，则△ABP ∽△PCQ ∽△BCA ；②当75 ，52.5 时，同理可得：115075 ，23052.5 ，∴△ABP ∽△CQP ∽△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN ＝，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为（请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．，3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B 时，求证：AD BC AP BP ．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，AB ，45B ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ，若CE CD 的长．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB ，6BC ．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM 的最小值；②当AG GM 取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE或3DE 【分析】（1）证明出DCE AEF 即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM ．此时，AG GM 取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ．设AF x ，则4BF x ， 142MN x ．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM ，则有 21342x x ，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB，根据5AM ，可得3543GH MH ，进而求出125GH ，95MH ．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC=．设DE y ，则6AE y ，即有164y y ，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ，∴90CED DCE ．∵EF CE ，∴90CED AEF ，∴DCE AEF ，∴AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC 是直角二角形．∴132BM CM GM．∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM ，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM ．此时，AG GM 取最小值．在Rt ABM中，5AM ．∴AG GM 的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ．设AF x ，则4BF x ，∴ 11422MN BF x ．∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM ，由①知AG GM 的最小值为5、即5AM，又∵3GM ，∴2AG ．∴ 21342x x ，解得1x ，即1AF ．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB，由①知AG GM 的最小值为5，即5AM ，又∵3GM ，∴3543GH MH ．∴125GH ，95MH ．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB ，即1293556FB ，解得3FB ．∴1AF AB FB ．由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y ，则6AE y ，∴164y y，解得3y或3．∵036，036 ，∴3DE或3DE 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ，Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ 相等的角是_____(2)问题探究直角ABC 中，90B ，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE ，CD kCH ，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ，(2)EK LH ，证明见解析；(3)ET HT ，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ，根据余角性质得到PMR NRQ ，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR ，NRQ PMR ；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC ，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL ，可得到EK LH ；（3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM ，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN ，得到EM HN ，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT ．（1）解：∵MRN △是等腰直角三角形，∴=MR RN ，90MRN ，∵MP PQ ，NQ PQ ，∴90MPR NQR ，∴90PMR MRP MRP NRQ ，∴PMR NRQ ，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR∴MPR NRQ ≌△△，∴QN PR ，NRQ PMR ，故答案为：PR ，PMR ；（2）解：∵四边形ACEF 是正方形，∴AC CE ，90ACE ，∵EK BK ∴90B EKC ，∴90BAC ACB ACB ECK ，∴BAC ECK ，∵四边形ACEF 是矩形，∴∴BAC ECM ，∴ACB △同理：BCD NHC ∽△△，∴在NHT △和EMT △中， 3.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．由（1）可得：△NFO ∽△OEM ，∴NF OF NO OE ME MO∵点M （2，1），∴OE 1，∵tanα＝ON OM ＝32，∴3NF OF ，∴NF ＝3，OF ＝33 ，3课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD l ，过点B 作BE l ，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE ．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为 4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x 与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45 后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．由已知得OM＝ON，且∠OMN＝∴由（1）得△OFM≌△MGN，∴MF＝NG，OF＝MG，设M（∴MF＝m，OF＝n，∴MG＝n，，∵点N的坐标为（4，2）∴42m nn m解得13mn∴点M的坐标为（1，3）；（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣4x+4，由x＝0得∴P（0，4），∴OP＝4，由y＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°，∴∠PSQ＝45°．∴PQ＝SQ．∴由（1）得SH2．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x 5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．当D在AB的下方时，过D作DE⊥轴于E，交BC于F,同（1）可证得△ADE≌△DPF，∴=AE=6-（2x-5）=11-2x，DE=x,3．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线MN 经过点C ，且AD MN 于D ，BE MN 于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE ，证明过程见解析；(3)DE BE AD ，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC ≌△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC ≌△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，∵90ACB ，∴90ACD BCE ，∵AD MN ，∴90ACD CAD ，∴BCE ∠∠CA D ，又∵AC BC ，90ADC CEB ，∴() ≌ADC CEB AAS ，∴AD CE ，DC BE ，∵直线MN 经过点C ，∴DE CE DC AD BE ；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE ，理由如下：∵AD MN 于D ，BE MN 于E ∴90ADC BEC ACB ，∴90CAD ACD ，90ACD BCE ，∴CAD BCE ，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB，∴ ADC CEB AAS △≌△∴CE AD ，CD BE ，∴DE CE CD AD BE ；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD ，理由如下：∵AD MN 于D ，BE MN 于E ∴90ADC BEC ACB ，∴90CAD ACD ，90ACD BCE ，∴CAD BCE ，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB，∴ ADC CEB AAS △≌△∴CE AD ，CD BE ，∴DE CD CE BE AD .【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ，AC BC ，AD CE ，BE CE ，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD ， 1.7cm DE ．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN 的边AM 、AN 上，AB AC ，点E ，F 在MAN 内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ．求证：ABE CAF ≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC 中，AB AC ，AB BC ．点D 在边BC 上，2CD BD ，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ．若ABC 的面积为15，则ACF 与BDE 的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB ≌△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得∠BEA ＝∠AFC ，∠4＝∠ABE ，根据AAS 可证明△ABE ≌△CAF ；（3）先证明△ABE ≌△CAF ，得到ACF 与BDE 的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD 故可求解．【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，E ADC EBC DCA BC AC∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm；（2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE．∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）．（3）∵BED CFD BAC∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又AB AC∴△ABE≌△CAF，∴ABE CAFS S∴ACF与BDE的面积之和等于ABE与BDE的面积之和，即为△ABD的面积，∵2CD BD，△ABD与△ACD的高相同则13ABD ABCS S△△=5故ACF与BDE的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的直角顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别是D、E．求证：BD＋CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD、CE与DE之间满足BD＋CE＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD、CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC= ，证法见详解，（3）180º- ，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在 ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 ABC中，沿 ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝∴线段BC 与AI 之间的数量关系为【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质综合，解题的关键是根据题意找到相似三角形，列出比例式求解．7．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1，ABC 是等腰直角三角形，AC BC ，直线l 过点C ，AM l ，BN l ，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC ，90ACB ，N ，B ，E 三点共线，CN NE ，45E ，1CN ，2BN ．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE 中，45CDE ，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC ，90ACB ，若1tan 2DCA ，直接写出AE AD 的值为．8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD 于点B ，CD BD 于点D ，P 是BD 上一点，AP PC ，AP PC ，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c ________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC ，AB BC ，2AB ，4CD ，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ，且DM交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF 与BGM 的关系为：________，若AB 3AF ，则FG ________．9．（2022•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为时，△CDE与△ACE相似．【分析】因为DE ∥AB 得到∠DEC ＝∠ACE ，所以△CDE 与△ACE 相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴∠DEC ＝∠ACE ，△ODE ∽△OBA ，∴△ODE 也是等边三角形，则OD ＝OE ＝DE ，设E （a ，0），则OE ＝OD ＝DE ＝a ，BD ＝AE ＝4﹣a ．∵△CDE 与△ACE 相似，分两种情况讨论：①当△CDE ∽△EAC 时，则∠DCE ＝∠CEA ，∴CD ∥AE ，∴四边形AEDC 是平行四边形，∴AC ＝a ，，∵BD ＝2AC ，∴4﹣a ＝2a ，∴a ＝．∴E ；②当△CDE ∽△AEC 时，∠DCE ＝∠EAC ＝60°＝∠B ，∴∠BCD +∠ECA ＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，∴∠BCD +∠ECA ＝∠BDC +∠BCD ，∴∠ECA ＝∠BDC ，∴△BDC ∽△ACE ，∴，∴BC ＝2AE ＝2（4﹣a ）＝8﹣2a ，∴8﹣2a +2＝4，∴a ＝．∴．综上所述，点E 的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF ，BDE 与CFD 相似吗？请说明理由.（2）模型应用：ABC 为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF 沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD .①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值；②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE 与CFD 的周长之比.【答案】（1）~ BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF ；②BDE 与CFD 的周长之比为13.【分析】（1）根据三角形的内角和得到BED CDF ，即可证明；（2）①设AE x ，AF y ，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ，DF AF y ，60EDF A ，根据三角形的内角和定理得BED CDF ，即可证明~ BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ，再根据比例关系求出AE AF的值；②同理可证~ BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD，得28810x x y y ，再得到13x y ，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1）~ BDE CFD ，理由：B C EDF ，在BDE 中，180B BDE BED ，180180BDE BED B ，180BDE EDF CDF ∵，180180BDE CDF EDF ，BED CDF ，B C ∵，~BDE CFD ；（2）①设AE x ，AF y ，ABC ∵是等边三角形，60A B C ，8AB BC AC ，由折叠知，DE AE x ，DF AF y ，60EDF A ，在BDE 中，180B BDE BED ，180120BDE BED B ，180120BDE BED B ∵，180BDE EDF CDF ∵，180120BDE CDF EDF ，BED CDF ，60B C ∵，~BDE CFD ，BD BE DE CF CD FD，8BE AB AE x ∵，8CF AC AF y ，6CD BC BD 2886x x y y ， 2868y x y x y x ，105147x y ，57AE AF ；②设AE x ，AF y ，ABC ∵是等边三角形，60A ABC ACB ，8AB BC AC ，由折叠知，DE AE x ，DF AF y ，60EDF A ，在BDE 中，180ABC BDE BED ，180120BDE BED ABC ，180BDE EDF CDF ∵，180120BDE CDF EDF ，BED CDF ，60ABC ACB ∵，120DBE DCF ，~BDE CFD ，BD BE DE CF CD FD8BE AB AE x ∵，8CF AF AC y ，10CD BC BD ，28810x x y y ，2(8)10(8)y x y x y x ，13x y .~BDE CFD ∵.BDE 与CFD 的周长之比为13DE x DF y .【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△．（1）探究问题：如果AC BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x与直线CD 交于点 2,1M ，且两直线夹角为 ，且3tan 2，请你求出直线CD 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，3AB ，5BC ，点E 为BC 边上—个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90 ，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若DPC △为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．由（1）得NFO OEM △∽△∵M 坐标 2,1∴2OE ，ME ∵3tan 2 ∴32ON OM 解得：12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE 于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；DE＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE BF；正确的结论有个．【模型变式】（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB 延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明．【拓展延伸】（7）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．（8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB 于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是．。
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⑤垂直平分线性质定理及逆定理；三角 形的三边的垂直平分线交于一点(外心)。
⑥三角形中位线定理。 ⑦等腰三角形、等边三角形、直角三角 形的性质和判定定理。 ⑧平行四边形、矩形、菱形、正方形、 等腰梯形的性质和判定定理。
4．图形与证明
(1)了解证明的含义 ①理解证明的必要性。 ②通过具体的例子，了解定义、命题、定理
的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。 ③结合具体例子，了解逆命题的概念，会识
别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不 一定成立。
④通过具体的例子理解反例的作用，知道利 用反例可以证明一个命题是错误的。
②全等三角形的对应边相等,对应角相等. 5.三角形全等的判定； ①(SAS)、②(ASA)、③(AAS)、④(SSS)、 ⑤(HL).
7.等腰三角形： ①等腰三角形、顶角、腰、底、底角及其 表示；
②等腰三角形的性质(等边对等角，三线合 一) ；
8.等腰三角形的判定(等角对等); 9.等边三角形性质: ①三边相等； ②三个角相等且等于600. 10.等边三角形的判定； ①三边相等；②三角相等；③有一个角是 600的等腰三角形.
9.公理:公认的真命题称为公理 . 10.定理:经过证明的真命题称 为定理. 11.推论:由一个公理或定理直 接推出的定理,叫做这个公理或 定理的推论 12.证明:除了公理外,其它真命 题的正确性都通过推理的方法证
二、本套教材选用如下命题作为公理
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相 等,那么这两条直线平行;
3.会过一点画(作)已知直线的垂线； 4.线段的垂直平分线及其性质 ；
4.平行线，三线八角与平行线的关系；
①公理:同位角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. ②判定定理1:内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
③判定定理2:同旁内角互补,两直线平行.
∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b. ④公理:两直线平行,同位角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. ⑤性质定理1:两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
6.角的分类(锐角、直角、钝角、平角、周 角)、度量(度、分、秒)及计算.
四、关系角及其性质 : 1.对顶角、余角、补角(邻补角)、同位角 ，内错角、同旁内角、;
2.对顶角相等、同角(或等角)的余角(或补 角)相等.
五、相交线、平行线 : 1.垂线、垂线段最短(点到直线的距离); 2.过一点(直线上或直线外)有且只有一条 直线和已知直线垂直；
中考复习
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阳泉市义井中学 高铁牛
课程标准及学习目标
1．图形的认识:有的放矢(课标要求)
(1)点、线、面 通过丰富的实例，进一步认识点
、线、面(如交通图上用点表示城市， 屏幕上的画面是由点组成的)。 (2)角
①通过丰富的实例，进一步认识 角。
②会比较角的大小，能估计一个
角的大小，会计算角度的和与差，认识 度、分、秒，会进行简单换算。
⑤通过实例，体会反证法的含义。 ⑥掌握用综合法证明的格式，体会证明的过 程要步步有据。
(2)掌握以下基本事实，作为证明的依 据
①一条直线截两条平行直线所得的 同位角相等。
②两条直线被第三条直线所截，若 同位角相等，那么这两条直线平行。
③若两个三角形的两边及其夹角( 或两角及其夹边，或三边)分别相等， 则这两个三角形全等。
④全等三角形的对应边、对应角分 别相等。
(3)利用(2)中的基本事实证明下列命题[1] ①平行线的性质定理(内错角相等、同
旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁 内角互补，则两直线平行)。
②三角形的内角和定理及推论(三角形 的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的 外角大于任何一个和它不相邻的内角)。
⑥体验勾股定理的探索过程，会 运用勾股定理解决简单问题；会用 勾股定理的逆定线上的点到线段两端点 的距离相等，到线段两端点的距离相等 的点在线段的垂直平分线上。 [2]等腰三角形的两底角相等，底边上的 高、中线及顶角平分线三线合一。 [3]有两个角相等的三角形是等腰三角形 。 [4]直角三角形的两锐角互余，斜边上的 中线等于斜边一半。
11.直角三角形性质： ①直角三角形的两锐角互余； ②直角三角形斜边上中线等于斜边的一半 ；
③ 直角三角形中，300角所对的直角边等 于斜边的一半；
④直角三角形中，如果一条直角边等于斜 边的一半，那么它所对的角等于300；
⑤勾股定理：直角三角形中，两直角边的 平方和等于斜边的平方(a2+b2=c2)；
(3)相交线与平行线 ①了解补角、余角、对顶角，知
道等角的余角相等、等角的补角相等 、对顶角相等。
②了解垂线、垂线段等概念，了
解垂线段最短的性质，体会点到直线 距离的意义。
③知道过一点有且仅有一条直线
垂直于已知直线，会用三角尺或量角 器过一点画一条直线的垂线。
④了解线段垂直平分线及其性质 [1]。
12.直角三角形的判定； ①两锐角互余的三角形是直角三角形； ②如果三角形一边上的中线等于这边的一 半，那么这个三角形是直角三角形；
③勾股定理的逆定理：三角形中，如果两 角边的平方和等于每三边的平方，那么这个
七、证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知), 结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知 ”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因” 导“果”,执“果”索“因”.); (5)依据思路,运用数学符号和数学语 言条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.
2.作图题的一般步骤: 已知,求作,分析,作法,证明,讨论.
能力测试——独立作业 ▪ 1.《数学专页》第32期.
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4.三边之间的关系: ①两边之和大于第三边； ②两边之差小于第三边; ③两边之差<第三边<两边之和. 5.三角之间的关系 : ①三角形三内角的和等于1800; ②三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和；
③直角三角形两锐角互余.
6.全等三角形及其性质： ①对应边相等,对应角相等的两个三角形全 等；
②探索并掌握三角形中位线的 性质。
③了解全等三角形的概念，探 索并掌握两个三角形全等的条件。
④了解等腰三角形的有关概念，
探索并掌握等腰三角形的性质[2]和一 个三角形是等腰三角形的条件[3]；了 解等边三角形的概念并探索其性质 。 ⑤了解直角三角形的概念，探 索并掌握直角三角形的性质[4]和一个 三角形是直角三角形的条件[5]。
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相 等;
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全 等;
5.三边对应相等的两个三角形全等; 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
三、点，线，角 : 1.点、直线、面(不定义概念)及其表示; 2.射线、线段、线段的中点及其表示、; 3.两点确定一条直线； 4.两点之间线段最短(两点之间的距离)； 5.角、角的顶点、边、角平分线的表示及 其性质;
断出的事项.
5.一般地,命题可以写成“如果……, 那么……”的形式,其中“如果”引出的 部分是条件,“那么”引出的部分是结论 . 6.正确的命题称为真命题,不正确的的 命题称为假命题. 7.要说明一个命题是假命题,通常可以 举出一个例子,使之具备命题的条件,而 不具备命题的结论,这种例子称为反例.
⑤知道两直线平行同位角相等， 进一步探索平行线的性质。
⑥知道过直线外一点有且仅有一
条直线平行于已知直线，会用三角尺 和直尺过已知直线外一点画这条直线 的平行线。
⑦体会两条平行线之间距离的意 义，会度量两条平行线之间的距离。
(4)三角形 ①了解三角形有关概念(内角
、外角、中线、高、角平分线)， 会画出任意三角形的角平分线、中 线和高，了解三角形的稳定性。
(4)通过对欧几里得《原本》的介绍，，感 受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的 价值。
一、“原名” 知多少 1.原名:某些数学名词称为原名. 2.定义:对名称和术语的含义加以描述 ,作出明确的规定,也就是给出它们的定 义. 3.命题:判断一件事情的句子,叫做命 题.
4.每个命题都由条件和结论两部分组 成.条件是已知事项,结论是由已事项推
八、几何的“三种语言 ”：
1.文字语言、图形语言、符号语言，三种 语言相互作用、相互渗透、相互转化.
2.眼、口、手、脑与三种语言的整体感知
：
①眼睛看的是图形语言. ②口中叙述的是文字语言. ③手下写的是符号语言. ④大脑统帅协调三种语言. 3.解答(证明)三条原则： ①条理清晰；
九、基本作图:
1.基本作图 ①作一条线段等于已知线段; ②作一个角等于已知角; ③作线段的垂直平分线; ④作已知角的平分线; ⑤已知三边,两边夹角,两角夹边,斜边 直角边作三角形.
⑥性质定理2: 两直线平行,同旁内角互补.
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
5.平行线之间的距离； 6.过直线外一点，有且只有一条直线 与已知直线平行; 7.会过直线外一点，画已知直线的平 行线. 六、三角形 : 1.三角形、顶点、边、角(内角、外角 )及其表示; 2.三角形的主要线段(角平分线，中线 ，高线、中位线)及其性质； 3.三角形的稳定性 ；