工程力学 重心与形心

线上将有一确定的点C,当原力系各力的大小和作用点
保持不变，而将各力绕各自作用点转过同一角度，则
合力也绕C点转过同一角度。 C点称为平行力系的中
心。对重力来说，则为重心。 z
重心的位置对于物体的
相对位置是确定的,与物体在
空间的位置无关。
x
C1
C Ci
P
o
Δz1P1
zC
ΔPi zi
y1 yyiC x1 xC
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第五章 重心和形心
§5-1 重心和形心的坐标公式
§5-2 确定重心和形心位置的 具体方法
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地球表面或表面附近的物体都会受到地心引力。
任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些
微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重
力（即地球的吸引力）ΔPi ，其作用点的坐标xi、yi、
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例题 5-1
y b(y)
解：建立如图所示坐标系，
则
xC= 0
现求 yC 。
dy
C y
O
x
b( y) 2 R2 y2
2R
d A b( y) d y 2 R2 y2 d y
则
Sx
ydA
A
A
2y 0
R2
y2
d
y
2(R2 3
3
y2 )2
|
R 0
2 3
R3
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例题 5-1
代入公式有
yC
A y d A Sx 4 R A A 3π
y b(y)
dy
C y
O
x
2R
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2. 组合法
当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每
个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第
一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方
法称为组合法。下面通过例子来说明。
x dV
xC V V ,
y dV
yC V V ,
z dV
zC V V
x
z
C1
C Ci
ΔP1源自文库
P ΔPi
o
z1 zC zi
y1 yyiC x1 xC
xi
y
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若为平面图形，则
x dA
y dA
xC
A
A
, yC
A
A
例题 5-1 求图示半圆形的形心位置。
C
O 2R
P
o
Δz1P1
zC
ΔPi zi
y1 yyiC x1 xC
xi
y
于是有 P g V , Δ Pi g ΔVi
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xC
ΔVi xi V
yC
ΔVi yi V
zC
ΔVi zi V
z
C1
C Ci
P
o
Δz1P1
ΔPi zC zi
x
y1 yyiC x1 xC
xi
y
zi与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个 汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上
物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，而
此力系的合力称为物体的重力
z
C1
C Ci
ΔP1
P ΔPi
o
z1 zC zi
x
y1 yyiC x1 xC
xi
y
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平行力系合力的特点：如果有合力，则合力作用
ΔP1
P ΔPi
o
z1 zC zi
y1 yyiC x1 xC
xi
y
于是有 xC
Δ Pi xi P
同理有
yC
Δ Pi yi P
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为确定 zC ，将各力绕y轴转90º，得
zC
Δ Pi zi P
2. 均质物体的重心坐标公式
x
即物体容重g 系常量，则
z
C1
C Ci
x1 = 10 mm
y1 = 110 mm
y 20
A2 = 150×20=3000 mm2 200 1
x2 = 75 mm y2 = 10 mm
2 O 150
20 x
(b)
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例题 5-2 由组合法，得到
xC = yC =
A1 x1 + A2 x2 A1 + A2
A1 y1 + A2 y2 A1 + A2
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例题 5-2
x1= 75 mm, y1= 100 mm
A2= -180×130 = -23400 mm2
x2= 85 mm, y2= 110 mm
故
xC =
30000×75 - 23400×85 30000 - 23400
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上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物 体，其重心与形心的位置是重合的。
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3. 均质等厚薄板的重心和平面图形的形心
对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称
平面为xy平面，则其重心的一个坐标zC 等于零。 设板厚为d ，则
有
V =A·d， ΔVi = ΔAi·d
则
xC
例题 5-2 角钢截面的尺寸如图所示，试求其形
心位置。 y 20
y 20
200
O 150
20 x
(a)
200 1
2 O 150
20 x
(b)
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例题 5-2
解：取Oxy坐标系如图(b)所示，将角钢分割成两
个矩形，则其面积和形心为：
A1=（200-20）×20=3600 mm2
xi
y
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重心位置的确定在实际中有许多的应用。例如， 电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、 制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心 的位置。
z
C1
C Ci
ΔP1
P ΔPi
o
z1 zC zi
x
y1 yyiC x1 xC
xi
y
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§5-1 重心和形心的坐标公式
= 39.5 mm = 64.5 mm
y 20
200 1 C (xC ,yC)
2 O 150
20 x
(b)
另一种解法：负面积法
y
20
将截面看成是从200mm×150mm的
矩形中挖去图中的小矩形（虚线部 200
分）而得到，从而
1
20
A1 = 200×150= 30000 mm2
O 150
x
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Δ Ai xi A
yC
Δ Ai yi A
上式也即为求平面图形形心的公式。
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§5-2 确定重心和形心位置的 具体方法
具体方法：
(1) 积分法； (2) 组合法； (3) 悬挂法； (4) 称重法。
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1. 积分法
对于任何形状的物体或平面图形，均可用下 述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的 具体位置。对于均质物体，则有
1. 重心坐标的一般公式
z
C
C1
Ci
P
ΔP1
ΔPi
o
z1
zC zi
y1 yC
x1
xC
xi
y
x
yi
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右图认为是一个空间力系，则
P=∑ΔPi
合力的作用线通过物体的重 z
心，由合力矩定理
M y (P) M y (Δ Pi ) 即 P xC Δ Pi xi
x
C1
C Ci