高中数学选修1-1教学设计-立体几何中的向量方法第一课时
立体几何中的向量方法教案
立体几何中的向量方法教案向量方法是立体几何中的重要工具，通过引入向量的概念和定理，可以简化很多几何问题的求解过程，提高解题效率。
在立体几何中，向量方法可以用来解决线段、平面、立体体积等多个问题。
一、向量的基本概念1. 向量与点的关系：点A到点B的位移可以表示为向量AB，也可以表示为从原点O出发到点B的位移向量。
2. 向量的大小与方向：向量的大小表示为向量的模，一个向量可以有无数个方向，但是它们都具有相同的模。
3. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量之和的大小等于平行四边形的对角线的大小。
4. 向量的减法：向量的减法可以通过取其相反向量后进行加法运算来实现。
二、向量的表示法1. 坐标表示法：向量可以通过坐标表示法来表示，一个向量AB可以表示为(ABx, ABy, ABz)，其中ABx为x轴上的位移，ABy为y轴上的位移，ABz为z轴上的位移。
2. 特殊向量表示法：单位向量是模为1的向量，零向量的大小为0，方向可以是任意的。
与坐标轴平行的向量分别称为与x轴平行的单位向量i，与y轴平行的单位向量j，与z轴平行的单位向量k。
3. 共线向量与平行向量：如果两个非零向量的方向相同或相反，则它们是共线向量；如果两个非零向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
三、向量的运算1. 数乘：将一个向量与一个实数相乘，结果是一个与原向量方向相同（反向相反）的向量，且大小为原向量的大小乘以这个实数。
2. 内积：内积也叫点乘，两个向量的内积表示为A·B，结果是一个实数，大小等于两个向量的模的乘积乘以它们夹角的余弦值。
3. 外积：外积也叫叉乘，两个向量的外积表示为A×B，结果是一个向量，大小等于两个向量的模的乘积乘以它们夹角的正弦值，方向垂直于这两个向量所在平面，遵循右手法则。
四、运用向量方法求解几何问题1. 线段的中点：设直线L上有两个点A和B，求直线L上距离点A和点B的距离相等的点P。
高中数学_立体几何中的向量方法教学课件设计
l
ur uur
cos cos n1, n2
ur uur
cos cos n1, n2
作业：
1. 学案P172---174
2. 步步高P137---138 删掉：10,11
D1 A1
C1
B1
O
D A
C B
求直线和平面所成的角
练习:如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB= 2AA1,
点D是A1B1的中点,求直线AD和平面ABC1所成角
的正弦值.
z
sinθ
10 5
A1
C1
D
B1
A
Cy
B
x
二面角
度量：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面
内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所 成的角叫做二面角的平面角。
| AB | | n |
sinα = cos < AB, n >
uuAurB nr
| AB | | n |
B
uuur r sinα = |uuAurB nr|
| AB | | n |
线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量 所成角的补角的余角.
例1、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 求A1B与平面A1B1CD所成的角
a
a
A r
D1
bB
Ar
n
sin
r uuur
B
| cos n, AB |
O r
n
3.二面角：
B
A C l
D
cos cos
uuur uuur AB, CD
uuur uuur uAuuBr CuuDur
AB CD
高中数学选修2-1新教学案：3.2立体几何中的向量方法(1)
3.2 立体几何中的向量方法（第 1 课时）【教学目标】1．理解直线的方向向量和平面的法向量； 2．会用待定系数法求平面的法向量。
【重点】直线的方向向量和平面的法向量. 【难点】求平面的法向量.【创设情景】1.平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；2.如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？ 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 102 页～第 104 页） 思考：（1）如何确定一个点在空间的位置？（2）在空间中给一个定点和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间中的位置吗？（3）给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？ （4）给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？1.点P 的位置向量OP.如图(1).2. 一个定点和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间中的位置,如图(2). AP t AB =3.直线的方向向量我们把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量4.平面的法向量l α⊥,取直线l 的方向向量a ,则向量a 叫做平面α的法向量.【基础练习】 【典型例题】例1 在正方体1111D C B A ABCD -中，求证：1DB 是平面1ACD 的法向量.【审题要津】证明：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系xyz D -)1,1,1(1=DB ，)0,1,1(-=AC ，)1,0,1(1-=AD 01=⋅AC DB ，所以AC DB ⊥1同理11AD DB ⊥.所以⊥1DB 平面ACD从而1DB 是平面1ACD 的法向量. 【方法总结】例 2 在空间直角坐标系内，设平面α经过点),,(000z y x P ，平面α的法向量为),,(C B A e =，),,(z y x M 为平面α内任意一点，求z y x ,,满足的关系式。
立体几何中的向量方法教案
立体几何中的向量方法教案教案标题：立体几何中的向量方法教案教案目标：1. 了解立体几何中的向量概念和基本性质。
2. 掌握运用向量方法解决立体几何问题的技巧和方法。
3. 培养学生的空间思维和几何推理能力。
教学重点：1. 向量的定义和性质。
2. 向量在立体几何中的应用。
3. 向量运算在解决立体几何问题中的作用。
教学难点：1. 运用向量方法解决立体几何问题。
2. 空间几何推理能力的培养。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、计算机、几何软件等。
2. 学生准备：教材、笔记本、几何工具等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用投影仪展示一些立体几何图形，引起学生的兴趣。
2. 提问：你们对立体几何中的向量有什么了解？二、知识讲解（15分钟）1. 向量的定义和性质：a. 向量的表示方法。
b. 向量的加法和减法。
c. 向量的数量积和向量积。
2. 向量在立体几何中的应用：a. 向量的方向和模长在立体几何中的意义。
b. 利用向量表示线段、向量共线和垂直关系。
c. 利用向量表示平面和平行关系。
三、示例分析（20分钟）1. 结合具体的立体几何问题，演示如何运用向量方法解决问题。
2. 引导学生参与讨论，分析解题思路和方法。
四、练习与巩固（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 针对难点问题进行讲解和解答。
五、拓展应用（10分钟）1. 提供一些立体几何的拓展问题，要求学生运用向量方法解决。
2. 引导学生思考如何将向量方法应用到实际问题中。
六、总结与反思（5分钟）1. 总结本节课所学的立体几何中的向量方法。
2. 学生分享对本节课的收获和感想。
教学延伸：1. 引导学生自主学习更多立体几何中的向量应用。
2. 布置作业，要求学生运用向量方法解决相关问题。
教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与情况和问题解决能力。
2. 批改学生的练习题和作业，评价他们的掌握程度。
教学资源：1. 教材：立体几何教材。
2. 投影仪、计算机、几何软件等。
高中数学教案《立体几何中的向量方法
高中数学教案《立体几何中的向量方法》一、教学目标1. 让学生理解向量在立体几何中的作用和意义。
2. 培养学生运用向量方法解决立体几何问题的能力。
3. 加深对向量运算和立体几何概念的理解。
二、教学内容1. 向量在立体几何中的应用：向量在空间点、线、面的表示。
向量与空间点、线、面的位置关系。
2. 向量运算在立体几何中的应用：向量的加法、减法、数乘在立体几何中的意义。
向量点积、向量叉积在立体几何中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：向量在立体几何中的应用，向量运算在立体几何中的意义。
2. 难点：向量点积、向量叉积的计算和应用。
四、教学方法1. 采用案例教学法，通过具体实例引导学生理解向量在立体几何中的应用。
2. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高运用向量方法解决实际问题的能力。
五、教学准备1. 教学课件：包括向量在立体几何中的应用、向量运算等内容。
2. 教学案例：挑选具有代表性的立体几何问题，用于引导学生运用向量方法解决实际问题。
3. 练习题：针对本节课内容，设计相关练习题，巩固学生对向量方法在立体几何中的应用。
六、教学过程1. 引入新课：回顾上一节课的内容，引导学生思考向量在立体几何中的作用。
2. 讲解向量在立体几何中的应用：通过课件和案例，讲解向量在空间点、线、面的表示，以及向量与空间点、线、面的位置关系。
3. 讲解向量运算在立体几何中的应用：通过课件和案例，讲解向量的加法、减法、数乘在立体几何中的意义，以及向量点积、向量叉积在立体几何中的应用。
七、课堂练习1. 根据课件和案例，让学生独立完成一些简单的立体几何问题，巩固向量在立体几何中的应用。
2. 让学生分组讨论，合作解决一些较复杂的立体几何问题，培养运用向量方法解决实际问题的能力。
八、课堂小结1. 回顾本节课的主要内容，总结向量在立体几何中的应用和向量运算在立体几何中的意义。
2. 强调向量方法在解决立体几何问题中的重要性，鼓励学生在今后的学习中多运用向量方法。
优秀高中数学向量教案
优秀高中数学向量教案
课时安排：2个课时
课堂内容：
第一课时：
1.引入向量的概念，介绍向量的定义和表示方法。
让学生了解向量的性质和运算规则。
2.教授向量的加法和减法。
通过示范和练习，让学生掌握向量加减法的方法。
3.讨论向量的数量积和向量的夹角。
引导学生理解向量的数量积和夹角的概念，并通过实例演练加深理解。
第二课时：
1.复习向量的加减法，数量积和夹角概念。
2.讲解向量的应用，如解决平面几何问题，力的合成与分解等。
3.进行一些综合练习，让学生熟练运用向量知识解题。
作业布置：完成课堂练习，巩固所学内容。
课堂评价：通过课堂练习和课后作业，检查学生对向量的理解和掌握情况。
补充材料：提供相关的练习题和习题解析，帮助学生巩固向量知识。
教学目标：使学生掌握向量的概念、运算方法和相关的应用，提高学生的数学解题能力和思维能力。
人教A版高中数学选修立体几何中的向量方法教案新
教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学过程：一、复习引入1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？⑴利用定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞或cos ＜a ,b ＞＝a b a b⋅⋅，可求两个向量的数量积或夹角问题；⑵利用性质a ⊥b ⇔a ·b ＝０可以解决线段或直线的垂直问题；⑶利用性质a ·a ＝｜a ｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题．二、例题讲解1. 出示例1：已知空间四边形OABC 中，OA BC ⊥，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥．证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －·OC OA ．∵OA BC ⊥，OB AC ⊥， ∴·0OA BC =，·0OB AC =， ·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -=． ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA =． ∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0． ∴OC AB ⊥ 2. 出示例2：如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠=，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离．解：由AC α⊥，可知AC AB ⊥．由'30DBD ∠=可知，＜,CA BD ＞＝120，∴2||CD ＝2()CA AB BD ++＝2||CA ＋2||AB ＋2||BD ＋2(·CA AB ＋·CA BD ＋·AB BD )＝22222cos120b a b b +++＝22a b +．∴CD =3. 出示例3：如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角．解：∵MN ＝1(')2CC BC +，'CD ＝'CC CD +， ∴·'MN CD ＝1(')2CC BC +·(')CC CD +＝12(2|'|CC ＋'CC CD ＋·'BC CC ＋·BC CD )． ∵'CC CD ⊥，'CC BC ⊥，BC CD ⊥，∴'0CC CD =，·'0BC CC =，·0BC CD =， ∴·'MN CD ＝122|'|CC ＝12． …求得 cos ＜,'MN CD ＞12=，∴＜,'MN CD ＞＝60. 4. 小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明．三、巩固练习 作业：课本P 116 练习 1、2题.教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学过程：一、复习引入讨论：将立体几何问题转化为向量问题的途径？（1）通过一组基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题；（2）通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问题.二、例题讲解1. 出示例1： 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点，求证：1D F ⊥平面ADE ．证明：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设DA ＝i ，DC ＝j ，1DD ＝k ．以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系D －xyz ，则∵AD ＝(-1,0,0)，1D F ＝(0,12,-1)，∴AD ·1D F ＝(-1,0,0)·(0,12,-1)＝0，∴1D F ⊥AD ． 又 AE ＝(0,1,12)，∴AE ·1D F ＝(0,1,12)·(0,12,-1)＝0， ∴1D F ⊥ AE ． 又 AD AE A =， ∴1D F ⊥平面ADE ．说明：⑴“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧，通常可用于设定某些与题目要求无关的一些数据，以使问题的解决简单化．如在立体几何中求角的大小、判定直线与直线或直线与平面的位置关系时，可以约定一些基本的长度．⑵空间直角坐标些建立，可以选取任意一点和一个单位正交基底，但具体设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特征，把它们放在恰当的位置，才能方便计算和证明．2. 出示例2：课本P 116 例3分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？3. 出示例3：课本P 118 例4分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？4. 出示例4：证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．改写为：已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足．求证：OA //BD ． 证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，i ,j ,k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设BD ＝(,,)x y z ． ∵BD ⊥α， ∴BD ⊥i ，BD ⊥j ，∴BD ·i ＝(,,)x y z ·(1,0,0)＝x ＝0，BD ·j ＝(,,)x y z ·(0,1,0)＝y ＝0,∴BD ＝(0,0,z )．∴BD ＝z k ．即BD //k ．由已知O 、B 为两个不同的点，∴OA //BD ．5. 法向量定义：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α．如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量．6. 小结：向量法解题“三步曲”：（1）化为向量问题 →（2）进行向量运算 →（3）回到图形问题.三、巩固练习 作业：课本P 120、 习题A 组 1、2题.第三课时： §3.2立体几何中的向量方法（三）教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学过程：一、复习引入1. 法向量定义：如果直线l α⊥平面, 取直线l 的方向向量为a ，则向量a 叫作平面α的法向量（normal vectors ）. 利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离.2. 讨论：如何利用法向量求线面角？ → 面面角？直线AB 与平面α所成的角θ，可看成是向量AB 所在直线与平面α的法向量所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式cos ,a b a b a b =，我们可以得到如下向量法的公式： sin cos ,AB n AB n AB n θ==.3. 讨论：如何利用向量求空间距离？两异面直线的距离，转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长.点到平面的距离，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长.二、例题讲解：1. 出示例1：长方体1111ABCD A B C D -中，AD =1AA =2，AB =4，E 、F 分别是11A D 、AB 的中点，O 是11BC B C 与的交点. 求直线OF 与平面DEF 所成角的正弦.解：以点D 为空间直角坐标系的原点，DA 、DC 、1DD 为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则(2,2,0),(1,0,2),(2,2,0),(1,4,1),(0,4,0)D E F O C .设平面DEF 的法向量为 (,,)n x y z =， 则n DE n DF⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ， 而(1,0,2)DE =， (2,2,0)DF =. ∴ 00n DE n DF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即20220x z x y +=⎧⎨+=⎩, 解得::2:2:1x y z =-， ∴ (2,2,1)n =-. ∵ ||||cos n OF n OF α∙= ， 而(1,2,1)OF =--. ∴ cos α=2||||(11(2)n OF n OF ∙==∙-+- 所以，直线OF 与平面DEF 所成角的正弦为7618. 2. 变式： 用向量法求：二面角1A DE O --余弦；OF 与DE 的距离；O 点到平面DEF 的距离.三、巩固练习作业：课本P 121、 习题A 组 5、6题.。
立体几何中的向量方法的教学设计（五篇）
立体几何中的向量方法的教学设计（五篇）第一篇：立体几何中的向量方法的教学设计《立体几何中的向量方法》的教学设计一、教材分析本节课是坐标法与向量有效结合的典型范例，有利于培养学生利用向量解决立体几何问题的能力。
二、教学目标通过类比平面内的点、线的位置可以由向量来确定，引导学生理解空间内的点、线、面的位置也可以由向量来表示，并进一步探究用空间向量的运算来表示空间线、面的位置关系。
从应用其证明空间线面的平行与垂直问题中体会直线的方向向量与平面的法向量在解决立体几何中线面平行与垂直问题时的作用。
从而树立学好用好向量法解决立体几何问题的兴趣和信心。
三、教学重点、难点由于建系求点坐标是向量方法中最大的障碍，所以把坐标法与向量法结合作为重点，而适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线作为难点。
四、教学手段用几何画板直观展示图形给学生立体感，通过问题链让学生有效地进行数学思维。
五、教学流程1、新课导入：同学们，在前面的学习中，我们已经接触过一些用空间向量的运算方法，所以这节课我们将使用一些用空间向量知识证明点、线、面的位置关系。
为了运用向量来解决立体几何问题，首先要明确空间的点、线、面的位置是否可以用向量来确定？想一想平面内点、线的位置可以由向量来唯一确定吗？你能利用类比的方法，相应地得出空间点、线、面的位置也可以由向量来唯一确定的结论吗？2、经典例题讲解：<例一> 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证：CC1⊥BD.分析：题目是让我们求证CC1⊥BD，我们可以利用向量垂直的方法来试着证明CC1.BD =0 <例二> 棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点，求证：A1E⊥平面DBC1。
分析：该题主要是考察学生是否可以根据已知题目给出的信息将建立空间直角坐标系，本题以D为坐标原点，DC所在的直线为x轴，连接BD以BD为y轴，Z轴则平行与CC1建立了D-XYZ的空间直角坐标系。
高中数学选修2-1精品教案6：§3.2立体几何中的向量方法(一)教学设计
§3.2立体几何中的向量方法（一）教学目标 1.知识与技能能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，能用向量方法判断有关直线和平面平行关系的立体几何问题．2．过程与方法通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过程，体会向量运算的几何意义． 3．情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．教学重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系问题．教学难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．直线的方向向量与平面的法向量 问题导思1．如图3－2－1，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A 、B ，在直线m 上取两点C 、D ，向量AB →与CD →有怎样的关系？图3－2－1【答案】 AB →∥CD →.2．如图直线l ⊥平面α，直线l ∥m ，在直线m 上取向量n ，则向量n 与平面α有怎样的关系？【答案】 n ⊥α.直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.空间中平行关系的向量表示课堂探究 求平面的法向量例1 已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．图3－2－2(1)求平面ABCD 与平面SAB 的一个法向量． (2)求平面SCD 的一个法向量．解 以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D (12，0,0)，S (0,0,1)．(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量． ∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD →＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．(2)在平面SCD 中，DC →＝(12，1,0)，SC →＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DC →，n ⊥SC →. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0x ＋y －z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2yz ＝－y ，令y ＝－1得x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)． 变式训练正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：图3－2－3(1)平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)平面BDEF 的一个法向量．解 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)(1)连AC ，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0n ·DE →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0x ＋2z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x z ＝－12x . 令x ＝2得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2,1)即为平面BDEF 的一个法向量. 利用空间向量证明线线平行例2 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2F A 1.求证：EF ∥AC 1.解 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a,0,0)，C 1(0，b ，c )，E (23a ，23b ，c )，F (a ，b 3，23c )．∴FE →＝(－a 3，b 3，c 3)，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线， ∴直线EF ∥AC 1. 变式训练如图3－2－4所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．图3－2－4证明 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E (0,0，12)，C 1(0,1,1)，F (1,1，12)，∴AE →＝(－1,0，12)，FC 1→＝(－1，0，12)，EC 1→＝(0,1，12)，AF →＝(0,1，12)，∴AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →，∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形. 利用空间向量证明线面平行例3 如图3－2－5，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，求证：AB 1∥平面DBC 1.图3－2－5解 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系． 设正三棱柱的底面边长为a (a >0)，侧棱长为b (b >0)， 则A (0,0,0)，B (32a ，a 2，0)，B 1(32a ，a 2，b )，C 1(0，a ，b )，D (0，a2，0)， ∴AB 1→＝(32a ，a 2，b )，BD →＝(－32a,0,0)，DC 1→＝(0，a 2，b )．设平面DBC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·BD →＝－32ax ＝0，n ·DC 1→＝a 2y ＋＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝－a2b y . 不妨令y ＝2b ，则n ＝(0,2b ，－a )． 由于AB 1→·n ＝ab －ab ＝0，因此AB 1→⊥n . 又AB 1⊄平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1.变式训练在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F .证明 以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1(1，12，2)．设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵C 1E 1→＝(1，－12，0)，FC 1→＝(－1,0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ，x ＝z ，取n ＝(1,2,1)． ∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0， ∴CE →⊥n ，且CE →⊄平面C 1E 1F . ∴CE ∥平面C 1E 1F . 课堂检测1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)【解析】 AB →＝(2,4,6)＝2(1,2,3)． 【答案】 A2．下列各组向量中不平行的是( ) A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4) B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0) C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)【解析】∵b＝(－2，－4,4)＝－2(1,2，－2)＝－2a，∴a∥b，同理：c∥d，e∥f.【答案】 D3．设平面α内两向量a＝(1,2,1)，b＝(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是()A．(－1，－2,5) B．(－1,1，－1)C．(1,1,1) D．(1，－1，－1)【解析】平面α的法向量应当与a、b都垂直，可以检验知B选项适合．【答案】 B4．根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)；(3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)．【解】(1)∵a·b＝1×8＋(－3)×2＋(－1)×2＝0，∴l1⊥l2.(2)∵v＝(－3，－9,0)＝－3(1,3,0)＝－3μ，∴α∥β.(3)∵a、u不共线，∴l不与α平行，也不在α内．又∵a·u＝－7≠0，∴l与α不垂直．故l与α斜交.课堂小结1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．。
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§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学.
【教学目标】：
（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。
（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势.
【教学重点】：
平面的法向量.
【教学难点】：
用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系.
【教学过程设计】：
答案：（1）垂直；（2）平行；（3）相交，交角的余弦为
247
2
29。
四、训练与
提高
1．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果
(2,1,4)
AB=-，(4,2,0)
AD=，(1,2,1)
AP=--
（1）求证：AP是平面ABCD的法向量；
（2）求平行四边形ABCD的面积．
（1）证明：∵(1,2,1)(2,1,4)0
AP AB
⋅=--⋅--=，
(1,2,1)(4,2,0)0
AP AD
⋅=--⋅=，
∴AP AB
⊥，AP AD
⊥，又AB AD A
=，AP⊥平面ABCD，
∴AP是平面ABCD的法向量．
（2）222
||(2)(1)(4)21
AB=+-+-=，222
||42025
AD=++=，
∴(2,1,4)(4,2,0)6
AB AD
⋅=--⋅=，
∴
63105
cos(,)
105
2125
AB AD==
⨯
，
∴
932
sin1
10535
BAD
∠=-=，
∴||||sin86
ABCD
S AB AD BAD
=⋅∠=．
引导学生进行应
用.
对法向量作理解.
巩固以往知识，培
养运算技能.
五、小结1．点、直线、平面的位置的向量表示。
2．线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。
反思归纳
六、作业A，预习课本105～110的例题。
B，书面作业:
1，
2，
练习与测试：
（基础题）
1，与两点和所成向量同方向的单位向量是。
解：向量，它的模
则所求单位向量为。
2，从点沿向量的方向取长为6的线段，求点坐标。
解：设点坐标为，由题设有；
)4,4
,6(
),
5,2,2
(
)1(-
=
-
=v
u
)4,4
,2
(
),
2
,2,1(
)2(-
-
=
-
=v
u
)4
,1,3
(
),
5,3
,2(
)3(-
-
=
-
=v
u
的一个单位法向量。
求平面
已知点
ABC
C
B
A),5,0,0(
),0,4,0(
),0,0,3(
.
),0,1
,1
(
),1,0,1(
,
的大小。
所成的锐二面角的度数
求这两个平面
的法向量分别是
若两个平面
-
-
=
=v
u
β
α
由 可得。
则
，于是所求坐标为。
3，设直线l ，m 的方向向量分别为)1,0,3(),3,2,1(-==b a ，判断l ，m 的位置关系。
解：因为（1，2，3）（-3，0，1）=0，所以两直线垂直。
4，设平面βα,的法向量分别为)12,6,2(),6,3,1(-=--=v u ，判断平面βα,的位置关系。
解：易知所给二法向量平行，故平面βα,平行。
（中等题）
5，已知空间四点坐标分别为A （1，0，0）、B （1，1，0）、E （1，1/2，1）、F （0，1/2，0），求平面AEF 的单位法向量。
解：
设平面AEF 的法向量为
则有
为平面AEF
的单位法向量。
6，如图所示建立坐标系，有
分别求平面SAB 与平面SDC 的法向量，并求出它们夹角的余弦。
解：因为y 轴
平面SAB ，所以平面SAB 的法向量为
设平面SDC 的法向量为，
由。