高考数学(理)一轮复习达标训练：8.8曲线与方程(含答案)
【金牌精品】高考数学(理)一轮复习：8-8曲线与方程
课后课时作业[A 组·基础达标练]1．[2015·石家庄模拟]已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OQ →＝12⎝⎛⎭⎫OF 1→＋OP →(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆答案 D解析 因为点P 满足OQ →＝12(OF 1→＋OP →)，所以Q 是线段PF 1的中点，设P (a ，b )，由于F 1是椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，则F 1(－6，0)，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －62，b 2，由点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，则P 点的轨迹方程为(a －6)264＋b 240＝1，故点P 的轨迹方程为椭圆．2．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( )答案 C 解析原方程可化为⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0x ＋y ＋1≥0或x ＋y ＋1＝0.显然方程表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0的右上方部分，故选C.3．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4)答案 C解析 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．4．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为坐标原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线答案 A解析 设C (x ，y )，则OC→＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →， ∴⎩⎨⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．5．动点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线答案 D解析 如图所示，设三个切点分别为M 、N 、Q .∴|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PM |＋|F 2N |＝|F 1N |＋|F 2N |＝|F 1F 2|＋2|F 2N |＝2a ，∴|F 2N |＝a －c ， ∴N 点是椭圆的右顶点， ∴CN ⊥x 轴，∴圆心C 的轨迹为直线．6．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y28＝1(x >1)B ．x 2－y28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)答案 A解析 设另两个切点为E 、F ，如图所示， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |， 所以P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8.故方程为x 2－y 28＝1(x >1)．故选A.7．已知|AB |＝2，动点P 满足|P A |＝2|PB |，试建立恰当的平面直角坐标系，动点P 的轨迹方程为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2＝169解析 如图所示，以AB 的中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)．设P (x ，y )，因为|P A |＝2|PB |， 所以(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2.两边平方，得(x ＋1)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]． 整理，得x 2＋y 2－103x ＋1＝0， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2＝169.故动点P 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2＝169. 8．动圆与⊙C 1：x 2＋y 2＝1外切，与⊙C 2：x 2＋y 2－8x ＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹是________．答案 以C 1，C 2为焦点的双曲线的右支解析 ⊙C 2的圆心为C 2(4,0)，半径为2，设动圆的圆心为M ，半径为r ，因为动圆与⊙C 1外切，又与⊙C 2内切，所以r >2，|MC 1|＝r ＋1，①|MC 2|＝r －2.②由①－②得|MC 1|－|MC 2|＝3<|C 1C 2|＝4.根据双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹是以C 1，C 2为焦点的双曲线靠近C 2的一支．9．设x ，y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，向量a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8，则点M (x ，y )的轨迹方程为________．答案 x 212＋y 216＝1解析 由已知得a ＝(x ，y ＋2)，b ＝(x ，y －2)，而|a |＋|b |＝8，故有x 2＋(y ＋2)2＋x 2＋(y －2)2＝8①，由①式知动点M (x ，y )到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离之和为一常数，满足椭圆的定义，故M 点轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆，椭圆的长半轴长a ＝4，所以短半轴长b ＝23，故其轨迹方程为x 212＋y 216＝1.10．[2016·长春高三调研]已知平面上的动点P (x ，y )及两个定点A (－2,0)，B (2,0)，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2且k 1k 2＝－14.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线C 交于不同两点M ，N ，当OM ⊥ON 时，求O 点到直线l 的距离(O 为坐标原点)．解 (1)设P (x ，y )， 由已知得y x ＋2·y x －2＝－14，整理得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0， 得4k 2＋1－m 2>0.x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1·x 2＝4m 2－44k 2＋1，∵OM ⊥ON ， ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，即x 1·x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1·x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(1＋k 2)·4m 2－44k 2＋1＋km ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－8km 4k 2＋1＋m 2＝0， ∴m 2＝45(k 2＋1)满足4k 2＋1－m 2>0，∴O 点到l 的距离为d ＝|m |1＋k2，即d 2＝m 21＋k2＝45，∴d ＝255. [B 组·能力提升练]1．[2015·郑州一模]如图，△P AB 所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD ⊥α，BC ⊥α，AD ＝4，BC ＝8，AB ＝6，若tan ∠ADP ＋2tan ∠BCP ＝10，则点P 在平面α内的轨迹是( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分答案 B解析 由题意可知P A AD ＋2PBBC ＝10.则P A ＋PB ＝40>AB ＝6，又因P 、A 、B 三点不共线，故点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆的一部分．2．[2016·皖南八校联考]如图，正方体AC 1中，DF DD 1＝AE AA 1＝23，CGCC 1＝BH BB 1＝13，点P 为平面EFGH 内的一动点，且满足∠P AA 1＝∠C 1AA 1，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 C解析 因为点P 为平面EFGH 内一动点而且保证∠P AA 1＝∠C 1AA 1，故点P 的轨迹为以AA 1为轴，AC 1为母线，将AC 1进行旋转与平面EFGH 相交形成的曲线，又因为DF DD 1＝AE AA 1＝23，CG CC 1＝BH BB 1＝13，所以这个轨迹是椭圆．3．[2014·广东高考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解 (1)由题意知c ＝5，e ＝c a ＝53， ∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4，故椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1. (2)设两切线为l 1，l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时，l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴， 可知P (±3，±2)．②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3，设l 1的斜率为k ，且k ≠0，则l 2的斜率为－1k ，l 1的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与x 29＋y 24＝1联立，整理得(9k 2＋4)x 2＋18(y 0－kx 0)kx ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0， ∵直线l 1与椭圆相切，∴Δ＝0，即9(y 0－kx 0)2k 2－(9k 2＋4)·[(y 0－kx 0)2－4]＝0，∴(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0，∴k 是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的一个根， 同理，－1k 是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的另一个根， ∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝y 20－4x 20－9，整理得x 20＋y 20＝13，其中x 0≠±3， ∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13(x ≠±3)． 检验P (±3，±2)满足上式．综上，点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.4．[2014·湖北高考]在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．解 (1)解法一(直接法)：设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1， 化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎨⎧4x ，x ≥00，x <0.解法二(定义法)：根据题意，设点M (x ，y )， 当x <0时，y ＝0，当x ≥0时，动点M 到F (1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，所以动点M 的轨迹为以点F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x ，综上，轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎨⎧4x ，x ≥00，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎨⎧y －1＝k (x ＋2)y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.(*1)①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.②当k ≠0时，方程(*1)根的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．(*2) 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k .(*3)(ⅰ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0x 0<0，由(*2)(*3)解得k <－1或k >12. 即当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ⅱ)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0x 0<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 0≥0， 由(*2)(*3)解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－12≤k <0. 即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(ⅲ)若⎩⎨⎧Δ>0，x 0<0，，由②③解得－1<k <－12或0<k <12. 即当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合①②可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．5．[2015·广东高考]已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3. (3)联立⎩⎨⎧ x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎨⎧x ＝53，y ＝±253. 不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)，则kPP 1＝－257，kPP 2＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34.故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎪⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《曲线与方程》含答案
第八节曲线与方程知识点一曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．1．判断正误(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(√)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(×)(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．(×)2．方程(x2＋y2－4)x＋y＋1＝0的曲线形状是(C)解析：由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0x ＋y ＋1≥0，它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．知识点二 直接法求动点的轨迹方程的一般步骤1．建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标．2．写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}．3．用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0.4．化方程f (x ，y )＝0为最简形式．5．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．(必修2P135习题4.1B 组第1题改编)等腰三角形ABC ，若一腰的两个端点坐标分别是A (4,2)，B (－2,0)，A 是顶点，则另一个点C 的轨迹方程为( B )A ．x 2＋y 2－8x －4y ＝0B ．x 2＋y 2－8x －4y －20＝0(x ≠4，x ≠－2)C．x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠4，x≠－2)D．x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠4，x≠－2)解析：设另一个点的坐标为C(x，y)，则(x－4)2＋(y－2)2＝40，x≠4，x≠－2.整理得x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠4，x≠－2)．故选B.4．(2019·大连模拟)在△ABC中，BC＝4，A点为动点，满足sin C＋sin B ＝2sin A，若以BC为x轴，BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，则A点的轨迹方程为x216＋y212＝1(y≠0)．解析：由正弦定理得：|AB|＋|AC|＝2|BC|，即|AB|＋|AC|＝8>4.故A点的轨迹为椭圆，则椭圆方程为x216＋y212＝1，又因为A，B，C三点不能共线，所以A点的轨迹方程为x216＋y212＝1(y≠0)．1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．考向一 直接法求轨迹方程【例1】 (1)已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．(2)与y 轴相切并与圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为________．【解析】 (1)设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.又∵|CD |＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线，∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．(2)若动圆在y 轴右侧，设与y 轴相切，且与圆x 2＋y 2－6x ＝0外切的圆的圆心为P (x ，y )(x >0)，则半径长为|x |，因为圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心为(3,0)，所以(x －3)2＋y 2＝|x |＋3，则y 2＝12x (x >0)，若动圆在y 轴左侧，则y ＝0，即圆心的轨迹方程为y 2＝12x (x >0)或y ＝0(x <0)．【答案】 (1)(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) y 2＝12x (x >0)或y ＝0(x <0)(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点—列式—化简—检验，求动点的轨迹方程时要注意检验，即扣除多余的点，补上遗漏的点.(2)如果是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；如果是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形.已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点F (1,0)为定点，且满足PN →＋12NM →＝0，PM →·PF →＝0.(1)求动点N 的轨迹E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线与曲线E 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立，请说明理由．解：(1)设N (x ，y )，则由PN →＋12NM →＝0，得P 为MN 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，M (－x ，0)，∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2，∴PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x ，∴动点N 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4k y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.假设存在点C (m,0)满足条件，则CA →＝(x 1－m ，y 1)，CB →＝(x 2－m ，y 2)，∴CA →·CB →＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋y 224＋m 2－4＝－m 4[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋m 2－3＝m 2－m 4k 2＋2－3.∵Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋22＋12>0， ∴关于m 的方程m 2－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2－3＝0有解，∴假设成立，即在x 轴上存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立．考向二 定义法求轨迹方程【例2】 (1)(2019·北京模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是_________．(2)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，则圆心P 的轨迹方程为____________．【分析】 (1)根据题设条件，寻找动点C 与两定点A ，B 距离的差满足的等量关系|CA |－|CB |＝6，由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分，再求其方程．(2)可依据两圆的位置关系，得出圆心距与两圆半径的和、差的绝对值之间的关系，进而得出轨迹方程．【解析】 (1)如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．(2)因为圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．【答案】 (1)x 29－y 216＝1(x >3) (2)x 24＋y 23＝1(x ≠－2)1．若本例(2)中的条件“动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切”改为“动圆P 与圆M 、圆N 都外切”，则圆心P 的轨迹方程为y ＝0(x <－2)．解析：因为圆M 与圆N 相内切，设其切点为A ，又因为动圆P 与圆M 、圆N 都外切，所以动圆P 的圆心在MN 的连线上，且经过点A ，因此动点P 的轨迹是射线AM 的反向延长线(不含切点A )，其方程为：y ＝0(x <－2)．2．若本例(2)中的条件“动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切”改为“动圆P 与圆M 、圆N 都内切”，则圆心P 的轨迹方程为y ＝0(x ∈(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞))．解析：由两圆方程知圆M 与圆N 相内切，设切点为A ，若圆P 与圆M 、圆N 都内切，则切点必为A 点，且动圆P 的圆心在x 轴上．①若圆P 在圆M 和圆N 的内部与两圆内切，则点P 在线段AM (不含端点)上；②若圆P 在圆M 外部及圆N 内部与两圆内切，则点P 在线段MN (不含端点)上；③若圆P 在圆M 和圆N 的外部与两圆内切，则点P 在射线Nx (不含点N )上，所以动点P 的轨迹方程为y ＝0(x ∈(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞))．定义法求轨迹方程的适用条件及关键(1)适用条件动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义．(2)关键定义法求轨迹方程的关键是由题意找到动点所适合的常见曲线的几何特征．(2019·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( D )A.4x 221－4y 225＝1B.4x 221＋4y 225＝1C.4x 225－4y 221＝1D.4x 225＋4y 221＝1解析：因为M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆．所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1.考向三 相关点法(代入法)求轨迹方程【例3】 (2019·合肥第二次质检)如图，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．【解】 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1.(2)设C (y 212，y 1)，D (y 222，y 2)，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k (x －y 212)，代入y 2＝2x 得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0解得k＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎨⎧ x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,22]，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，即x 0y 2＋2y 0y －16＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0，代入⎩⎨⎧ x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22，可得M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－8x ，y 0＝8y x ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]， ∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．(1)动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P (x ，y )却随另一动点Q (x ′，y ′)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将x ′，y ′表示为x ，y 相关的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得点P 的轨迹方程，此法称为代入法，也称相关点法.(2)用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x ′＝f (x ，y )，y ′＝g (x ，y )，然后代入已知曲线.求对称曲线(轴对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题.如图，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于M .若PN →＝λNM →.(1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．解：(1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )，则M 的坐标为(x 1,0)，且x ＝x 1，∴PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)，NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )，由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )．∴y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y .∵P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x 214＋y 21＝1，∴x 24＋(1＋λ)2y 2＝1，故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1为所求的N 点的轨迹方程．(2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14， 解得λ＝－12或λ＝－32.故当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．。
山东省菏泽市高考数学(人教版A版)一轮配套题库：88曲
第八节 曲线与方程(理)时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( )解析 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．答案 C2．(2014·泸州诊断)方程x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜8)所表示的曲线是( )A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆解析 根据方程特点知25－k ＞9－k ＞0，因此此曲线为椭圆． 答案 B3．(2014·焦作模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2解析 设P (x ，y )，圆心为M (1,0)， 连接MA ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1， 又∵|P A |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝ 2. 即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.答案 D4．(2014·大连、沈阳联考)已知F 1、F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)D ．x 2＋4y23＝1(y ≠0)解析 设P (x 0，y 0)、G (x ，y )，由三角形重心坐标公式可得⎩⎨⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y ，代入x 204＋y 203＝1，得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．答案 C5．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3)D.x 216－y 29＝1(x>4)解析 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案 C6．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线． 答案 A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2014·苏锡常镇调研)已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点的距离之比为，则点M 的轨迹方程为____________________．解析 可得双曲线的左、右焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设点M (x ，y )，则有|MF 1||MF 2|＝23，代入整理得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0.答案 x 2＋y 2＋26x ＋25＝08．若动点P 在曲线y ＝2x 2＋1上移动，则点P 与点Q (0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．解析 设P (x 1，y 1)，PQ 中点为M (x ，y )，∵Q (0，－1)，∴⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y 1－12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ＋1.∵P (x 1，y 1)在曲线y ＝2x 2＋1上，∴y 1＝2x 21＋1. ∴2y ＋1＝2(2x )2＋1，化简得y ＝4x 2. ∴PQ 中点的轨迹方程为y ＝4x 2. 答案 y ＝4x 29．已知两定点A (－1,0)，B (2,0)，动点P 满足|P A ||PB |＝12，则P 点的轨迹方程是__________．解析 设P (x ，y )，则根据两点间距离公式，得 |P A |＝(x ＋1)2＋y 2，|PB |＝(x －2)2＋y 2， 又∵|P A ||PB |＝12，∴(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12.整理，得(x ＋2)2＋y 2＝4即为所求． 答案 (x ＋2)2＋y 2＝4三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．如图，动点M 与两定点A (－1,0)，B (1,0)构成△MAB ，且直线MA 、MB 的斜率之积为4，设动点M 的轨迹为C ，试求轨迹C 的方程．解 设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在； 当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在． 于是x ≠1且x ≠－1，此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为y x －1.由题意，有y x ＋1·yx －1＝4，化简可得4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程是4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)． 11．(2014·合肥模拟)在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，一曲线E 过C 点，动点P 在曲线E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋t 与曲线E 交于M ，N 两点，求四边形MANB 的面积的最大值．解 (1)以AB 为x 轴，以AB 中点为原点O 建立直角坐标系，∵|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22>|AB |，∴动点P 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，从而b ＝1. ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)将y ＝x ＋t 代入x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16t 2－4×3×(2t 2－2)>0， ①x 1＋x 2＝－4t 3， ②x 1x 2＝2t 2－23， ③由①得t 2<3，∴S 四边形MANB ＝12|AB ||y 1－y 2| ＝|y 1－y 2|＝|x 1－x 2| ＝236－2t 2≤263.所以四边形MANB 的面积最大值是263.12．(2013·陕西卷)已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1) 求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2) 已知点B (－1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q, 若x 轴是∠PBQ 的角平分线， 证明直线l 过定点.解 (1)设动圆圆心C 的坐标为(x ，y )，则(4－x )2＋(0－y )2＝42＋x 2，整理得y 2＝8x .∴所求动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx ＋b 得k 2x 2＋2kbx＋b 2＝8x ，k 2x 2－(8－2kb )x ＋b 2＝0(其中Δ>0)，设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，则k QB ＋k PB ＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋bx 2＋1＝(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b (x 1＋1)(x 2＋1)＝8(k ＋b )k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即k ＝－b . 故直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 直线过定点(1,0)．。
高考数学一轮总复习第八章解析几何8.8曲线与方程课时训练理(2021年整理)
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8。
8 曲线与方程[课时跟踪检测]［基础达标］1．已知M(－2,0），N(2,0),｜PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是( ) A．双曲线B．双曲线左支C．一条射线D．双曲线右支解析：根据双曲线的定义知动点P的轨迹类似双曲线,但不满足2c〉2a>0的条件，故动点P的轨迹是一条射线．答案:C2．方程x＝错误!所表示的曲线是（)A．双曲线的一部分B．椭圆的一部分C．圆的一部分D．直线的一部分解析：x＝错误!两边平方,可变为x2＋4y2＝1(x≥0），表示的曲线为椭圆的一部分．答案：B3．设点A为圆（x－1）2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线,且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( ）A．y2＝2xB．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2xD．（x－1）2＋y2＝2解析：如图,设P（x，y），圆心为M(1,0）．连接MA，PM,则MA⊥PA，且｜MA｜＝1，又因为|PA|＝1，所以|PM｜＝错误!＝错误!,即|PM｜2＝2，所以(x －1）2＋y2＝2.答案：D4．已知A （－1,0）,B （1,0）两点,过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若错误!2＝λ错误!·错误!,当λ〈0时，动点M 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：设M (x ，y ），则N （x ，0)，所以错误!2＝y 2，λ错误!·错误!＝λ(x＋1，0)·(1－x ，0)＝λ（1－x 2），所以y 2＝λ（1－x 2)，即x 2＋错误!＝1。
高考数学一轮复习 8.8 曲线与方程课时作业 理(含解析)新人教A版
高考数学一轮复习 8.8 曲线与方程课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．设动点P 在直线x －1＝0上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线解析：设Q (x ，y )，P (1，a )，a ∈R ，则有OP →·OQ →＝0，且|OP →|＝|OQ →|，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1＋a 2，x ＋ay ＝0，消去a ，得x 2＋y 2＝1＋x 2y 2＝x 2＋y 2y2.∵x 2＋y 2≠0，∴y ＝±1.即动点Q 的轨迹为两条平行直线y ＝±1. 答案：B2．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由条件知|PM |＝|PF |.∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案：A3．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( )解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，或x ＋y ＋1＝0.它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．答案：C4．(2013·东北三校高三第二次联合模拟考试)已知圆M 过定点(2,0)且圆心M 在抛物线y 2＝4x 上运动，若y 轴截圆M 所得弦为AB ，则弦长|AB |等于( )A ．4B ．3C ．2D ．与点M 位置有关的值解析：设M 坐标为(x 0，y 0)，圆的半径r 2＝(x 0－2)2＋y 20＝x 20－4x 0＋4＋4x 0＝x 20＋4，圆心到y 轴的距离为x 0(如图)，|AB |＝2r 2－x 20＝24＝4，选A.答案：A5．(2013·江西省高三联考)如图，单位圆O 上有一动直径AB ，其中点A 以速度π沿圆周逆时针运动，同时动直径AB 上有一动点P 以速度2从A 出发沿AB 往返运动．则点P 的轨迹是( )1 2秒时，如图(1) 当运动1秒时，如图(2)解析：当运动所以点P 的轨迹是答案：A 二、填空题 6．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程________．解析：设直线xa ＋y2－a ＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0,2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)7．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________．解析：AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2.∵AB →⊥BC →， ∴AB →·BC →＝0，得2·x －y 2·y2＝0.得y 2＝8x . 答案：y 2＝8x8．已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O ，A 为焦点，OB 长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题：若A为⊙O外一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是__________________．解析：如图，连接AP，由于P是线段AB垂直平分线上一点，故有|PA|＝|PB|，因此||PA|－|PO||＝||PB|－|PO||＝|OB|＝R＝定值，其中R为⊙O的半径 .又由于点A在圆外，故||PA|－|PO||＝|OB|＝R<|OA|，故动点P的轨迹是以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线．答案：以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线三、解答题9．已知椭圆C：x216＋y29＝1和点P(1,2)，直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．解：设弦中点为M(x，y)，交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．∴(y2－y1)(x－1)＝(x2－x1)(y－2)，①由x2116＋y219＝1，x2216＋y229＝1两式相减得x1－x2x1＋x216＋y1－y2y1＋y29＝0.又x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，∴2x x1－x216＝－2y y1－y29，②由①②可得：9x2＋16y2－9x－32y＝0，③当点M与点P重合时，点M坐标为(1,2)适合方程③，∴弦中点的轨迹方程为：9x 2＋16y 2－9x －32y ＝0.10．(2013·襄阳调研统一测试节选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为2 6.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点为F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直l 1于点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程．解：(1)由e ＝33，得a 2＝3c 2，又c 2＝a 2－b 2，解得a ＝62b ① 由题意可知12·2a ·2b ＝26，即ab ＝6，②由①②得：a ＝3，b ＝2， 所以椭圆C 1的方程是x 23＋y 22＝1.(2)∵点M 在线段PF 2的垂直平分线上，∴|MP |＝|MF 2|，故动点M 到定直线l 1：x ＝－1的距离等于它到定点F 2(1,0)的距离， 因此动点M 的轨迹C 2是以l 1为准线，F 2为焦点的抛物线， 所以点M 的轨迹C 2的方程为y 2＝4x .11．(2013·江西省高三联考)过动点M (x ，y )引直线l ：y ＝－1的垂线，垂足为A ，O 是原点，直线MO 与l 交于点B ，以AB 为直径的圆恒过点F (0,1)．(1)求动点M 的轨迹C 的方程．(2)一个具有标准方程的椭圆E 与(1)中的曲线C 在第一象限的交点为Q ，椭圆E 与曲线C 在点Q 处的切线互相垂直且椭圆E 在Q 处的切线被曲线C 所截得的弦的中点横坐标为－2，求椭圆E 的方程．解：(1)设M (x ，y )，则A (x ，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，－1，又F (0,1)．由FA →·FB →＝0. 得x 2＝4y (x ≠0)(2)设Q (x 0，y 0)，所求椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0，a ≠b )，则过点Q 的曲线C的切线方程为x 0x －2y －2y 0＝0，E 的切线方程为b 2x 0x ＋a 2y 0y ＝a 2b 2，由(x 0，－2)·(b 2x 0，a 2y 0)＝0，而x 20＝4y 0≠0，得a 2＝2b 2， 将b 2x 0x ＋a 2y 0y ＝a 2b 2代入x 2＝4y 得y 0x 2＋2x 0x －4b 2＝0，得x 1＋x 2＝－2x 0y 0＝－22，得x 0＝2y 0，结合x 20＝4y 0得x 0＝22，y 0＝2，代入椭圆方程得b 2＝8，故所求椭圆方程为x 216＋y 28＝1.12．(2013·云南昆明高三检测)如图，已知抛物线P ：y 2＝x ，直线AB 与抛物线P 交于A ，B 两点，OA ⊥OB ，OA →＋OB →＝OC →，OC 与AB 交于点M .(1)求点M 的轨迹方程；(2)求四边形AOBC 的面积的最小值． 解：(1)设M (x ，y )，A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)， ∵OA →＋OB →＝OC →， ∴M 是线段AB 的中点． ∴x ＝y 21＋y 222＝y 1＋y 22－2y 1y 22，①y ＝y 1＋y 22.②∵OA ⊥OB ，∴OA →·OB →＝0.∴y 21y 22＋y 1y 2＝0. 依题意知y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－1.③把②、③代入①得：x ＝4y 2＋22，即y 2＝12(x －1)．∴点M 的轨迹方程为y 2＝12(x －1)．(2)依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为 S ＝|OA →||OB →|＝y 212＋y 21·y 222＋y 22＝y 21＋1y 22＋1y 1y 22＝y 21y 22＋y 21＋y 22＋1 ＝2＋y 21＋y 22.∵y 21＋y 22≥2|y 1y 2|＝2，当且仅当|y 1|＝|y 2|时，等号成立， ∴S ≥2＋2＝2.∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. [热点预测]13．(2013·内江市第二次模拟)已知动圆P 过定点F (0，－2)，且与直线l 相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，一个焦点是F ，点A (1，2)在椭圆N 上．(1)求动圆圆心P 的轨迹M 的方程和椭圆N 的方程；(2)已知与轨迹M 在x ＝－4处的切线平行的直线与椭圆N 交于B 、C 两点，试探求使△ABC 面积等于32的直线l 是否存在？若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知：点P 到定点F (0，－2)和直线y ＝2的距离相等，故P 的轨迹M 是以F 为焦点，y ＝2为准线的抛物线．∴p2＝2，∴p ＝2 2∴轨迹M 的方程为：x 2＝－42y又由题意：可设椭圆方程为：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)∴2a ＝1－02＋2＋22＋1－02＋2－22＝4∴a ＝2，又c ＝2，∴b ＝2， ∴椭圆N 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)不存在满足条件的直线l . 理由如下：若存在这样的直线l ，∵轨迹M 为抛物线x 2＝－42y ，它在x ＝－4处的切线斜率为k ＝ 2. 故可设l 的方程为：y ＝2x ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m y 24＋x 22＝1消去y 整理得，4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0∴Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，∴m 2<8且m ≠0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44，由两点间的距离公式可求得|BC |＝ 3 4－12m 2又点A 到l 距离d ＝|m |3，∴12· 34－12m 2·|m |3＝32∴m 4－8m 2＋18＝0，显然此方程无解，即m 不存在， 故这样的直线l 不存在．。
高考数学一轮复习 8.8曲线与方程讲解与练习 理 新人教
第八节曲线与方程[备考方向要明了]考什么怎么考了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.轨迹方程的有关问题是高考的一个重要考向，通常以解答题形式出现，一般是第一问求轨迹方程，第二问考查直线与所求轨迹的位置关系，难度较大，如2012年辽宁T20，湖南T21等.[归纳·知识整合]1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是满足某种条件的动点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．[探究] 1.若曲线与方程的对应关系中只满足(2)会怎样？提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则以这个方程的解为坐标的点的集合形成的曲线可能是已知曲线的一部分，也可能是整条曲线．2．动点的轨迹方程和动点的轨迹有什么区别？提示：“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的，前者只需求出轨迹的方程，标出变量x ，y 的范围；后者除求出方程外，还应指出方程表示的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关数据．2．求曲线方程的基本步骤3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．[自测·牛刀小试]1．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左支 C ．一条射线D ．双曲线右支解析：选C 根据双曲线的定义知动点P 的轨迹类似双曲线，但不满足2c >2a >0的条件，故动点P 的轨迹是一条射线．2．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段解析：选D 当a ＝3时，点P 的轨迹是线段，当a ≠3时，点P 的轨迹是椭圆． 3．一条线段AB 的长为2，两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一分支C ．圆D ．椭圆解析：选C 法一：设A (a,0)，B (0，b )，AB 中点为M (x ，y )则a ＝2x ，b ＝2y ，由AB ＝2，得2x －02＋0－2y2＝2，即x 2＋y 2＝1.法二：当A ，B 分别在x ，y 轴上时，由△AOB 是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，中点到原点的距离为1.当点A 或B 与原点重合时，中点到原点的距离也是1，故中点轨迹为单位圆．4. 已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是______________________．解析：设P 点的坐标为(x ，y )，则x －12＋y ＋22＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y2＋2x －4y －5＝0.答案：8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝05．已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足PA u u u r ·PB u u u r ＝x 22，则点P 的轨迹是______________．解析：设点P (x ，y )，则PA u u u r ＝(1－x,1－y )，PB u u u r ＝(－1－x ，－1－y )，所以PA u u u r ·PBu u u r＝(1－x )(－1－x )＋(1－y )·(－1－y )＝x 2＋y 2－2.由已知x 2＋y 2－2＝x 22，即x 24＋y 22＝1，所以点P 的轨迹为椭圆． 答案：椭圆直接法求轨迹方程[例1] 已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状．[自主解答] (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ， 整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(－1,0)，(1,0))； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点、焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．保持例题条件不变，若λ＝－2，过定点F (0,1)的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积的最大值．解：由例1(2)知，当λ＝－2时，轨迹C 为椭圆，其方程为x 2＋y 22＝1(x ≠±1)．由题意知，l 的斜率存在．设l 的方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程中整理得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个实根， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. 设d 为点O 到直线AB 的距离，则S △OAB ＝12|AB |·d ＝12 1＋k 2|x 1－x 2|·1k 2＋1＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2＝124k 2k 2＋22＋4k 2＋2＝2·k 2＋1k 2＋22＝2·1k 2＋1＋1k 2＋1＋2≤22， 当且仅当k ＝0，上式取等号． 故当k ＝0时，△OAB 的面积取最大值为22. ———————————————————直接法求轨迹方程如果动点满足的几何条件是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x ，y 的等式，从而可直接得到轨迹方程，这种求轨迹的方法称为直接法．1．已知点A (－2,0)，B (3,0)，若动点P 满足PA u u u r ·PB u u u r＝2，则动点P 的轨迹方程为________．解析：设P 的坐标为(x ，y )则PA u u u r＝(－2－x ，－y ，) PB u u u r ＝(3－x ，－y )．由PA u u u r ·PB u u u r＝2，得(－2－x )(3－x )＋y 2＝2，即x 2＋y 2－x －8＝0.答案：x 2＋y 2－x －8＝0定义法求轨迹方程[例2] 已知定点A (0，－1)，点B 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16上运动，F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于P .(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若曲线Q ：x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1被轨迹E 包围着，求实数a 的最小值． [自主解答] (1)由题意得|PA |＝|PB |. 则|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝4>|AF |＝2， 所以动点P 的轨迹E 是以A 、F 为焦点的椭圆．设该椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3. 所以动点P 的轨迹E 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1即(x －a )2＋y 2＝1， 则曲线Q 是圆心为(a,0)，半径为1的圆．而轨迹E 为焦点在y 轴上的椭圆，其左、右顶点分别为(－3，0)，(3，0)． 若曲线Q 被轨迹E 包围着，则－3＋1≤a ≤3－1， 故a 的最小值为－3＋1.———————————————————定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．2．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是什么？解：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又∵|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，故点F的轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)．3．点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，求圆心M的轨迹方程．解：已知圆为(x－3)2＋y2＝64，其圆心C(3,0)，半径为8，由于动圆M过P点，所以|MP|等于动圆的半径r，即|MP|＝r.又圆M与已知圆C相内切，所以圆心距等于半径之差即|MC|＝8－r.从而有|MC|＝8－|MP|，即|MC|＋|MP|＝8.根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆，并且2a＝8，a＝4；2c＝6，c＝3；b2＝16－9＝7，因此M点的轨迹方程为x216＋y27＝1.代入法(相关点法)求轨迹方程[例3] (2012·辽宁高考)如图所示，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点．C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等．证明：t 21＋t 22为定值．[自主解答] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )，② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)．(2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2. 由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2. 从而y 21＋y 22＝b 2，因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．———————————————————代入法(相关点法)求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出，但形成轨迹的动点P (x ，y )却随另一动点Q (x ′，y ′)的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x ′，y ′表示成x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，整理化简即得动点P 的轨迹方程．4．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程； (2)过圆C 上一动点M (不在x 轴上)作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ uuu r ＝OM u u u ur ＋ON u u u r ，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解：(1)当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，两交点距离为23，满足题意．若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y －k ＋2＝0.设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2， 得d ＝1.所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0. 综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.(2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )，则N 点坐标是(0，y 0)．因为OQ uuu r ＝OM u u u ur ＋ON u u u r ，所以(x ，y )＝(x 0,2y 0)即x 0＝x ，y 0＝y2.又因为M 是圆C 上一点，所以x 20＋y 20＝4， 即x 2＋y 24＝4(y ≠0)．所以Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)，这说明轨迹是中心在原点，焦点在y 轴上，长轴为8、短轴为4且除去短轴端点的椭圆．1个主题——坐标法求轨迹方程通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一．3种方法——求轨迹方程的三种常用方法明确求轨迹方程的适用条件是求轨迹方程的关键．(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身是一些几何量(如距离与角等)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，就可运用直接法求轨迹方程．在运用直接法求轨迹方程时要注意：化简方程的过程中有时破坏了方程的同解性，此时要补上遗漏点或删除多余的点，这是不可忽视的．(2)定义法：求轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的类型，应用定义法，这样可以减少运算量，提高解题速度．(3)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动，且相关点P满足一曲线方程时，就可用代入法求轨迹方程．此时应注意：代入法求轨迹方程是将x′，y′表示成x，y的式子，同时要注意x′，y′的限制条件.数学思想——分类讨论思想在判断方程表示曲线类型中的应用分类讨论思想是中学数学解题的重要思想，解析几何中许多问题涉及到分类讨论，如轨迹方程中轨迹类型的确定、最值问题、参数范围问题等都可能遇到因变量范围不同而结果就不同的情形，因此要对变量进行讨论，才能确定最后的结果．分类讨论题的一般步骤：确定分类的标准及对象→进行合理地分类→逐类进行讨论→归纳各类结果．[典例] (2011·湖北高考)平面内与两定点A 1(－a,0)、A 2(a,0)(a >0)连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1、A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线．(1)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；(2)当m ＝－1时，对应的曲线为C 1；对给定的m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)，对应的曲线为C 2.设F 1，F 2是C 2的两个焦点，试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面积S ＝|m |a 2.若存在，求tan ∠F 1NF 2的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)设动点为M ，其坐标为(x ，y )， 当x ≠±a 时，由条件可得kMA 1·kMA 2＝y x ＋a·y x －a＝y 2x 2－a2＝m ，即mx 2－y 2＝ma 2(x ≠±a )．又A 1(－a,0)，A 2(a,0)的坐标满足mx 2－y 2＝ma 2， 故依题意，曲线C 的方程为mx 2－y 2＝ma 2.当m <－1时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，C 是焦点在y 轴上的椭圆；当m ＝－1时，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝a 2，C 是圆心在原点的圆；当－1 <m <0时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m >0时，曲线C 的方程为x 2a 2－y 2ma2＝1，C 是焦点在x 轴上的双曲线．(2)由(1)知，当m ＝－1时，C 1的方程为x 2＋y 2＝a 2；当m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)时，C 2的两个焦点分别为F 1(－a 1＋m ，0)，F 2(a 1＋m ，0)． 对于给定的m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)，C 1上存在点N (x 0，y 0)(y 0≠0)使得△F 1NF 2的面积S ＝|m |a 2的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝a 2，y 0≠0， ①12·2a 1＋m |y 0|＝|m |a 2. ②由①得0<|y 0|≤a ，由②得|y 0|＝|m |a1＋m.当0<|m |a1＋m≤a ，即1－52≤m <0或0<m ≤1＋52时，存在点N ，使S ＝|m |a 2； 当|m |a1＋m>a ，即－1<m <1－52或m ＞1＋52时，不存在满足条件的点N .当m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋52时，由NF u u u r 1＝(－a 1＋m －x 0，－y 0)，NF u u u r 2＝(a 1＋m －x 0，－y 0)，可得NF u u u r 1·NF u u u r 2＝x 20－(1＋m )a 2＋y 20＝－ma 2，设|NF u u u r 1|＝r 1，|NF u u u r2|＝r 2，∠F 1NF 2＝θ，则由NF u u u r 1·NF u u u r 2＝r 1r 2cos θ＝－ma 2，可得r 1r 2＝－ma 2cos θ，从而S ＝12r 1r 2sin θ＝－ma 2sin θ2cos θ＝－12ma 2tan θ，于是由S ＝|m |a 2，可得－12ma 2tan θ＝|m |a 2，即tan θ＝－2|m |m .综上可得， 当m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－52，0时，在C 1上，存在点N ，使得S ＝|m |a 2，且tan ∠F 1NF 2＝2；当m ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋52时，在C 1上，存在点N ，使得S ＝|m |a 2，且tan ∠F 1NF 2＝－2；当m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞时，在C 1上，不存在满足条件的点N .[题后悟道]1．对参数m 的分类讨论是本题的一个特色，同时本题的求解思维需要考生回归课本，真正理解和体会解析几何中运动变化的参数的存在价值．2．解析几何中对几何图形的探究，对轨迹方程的探究，其实就是对方程问题中涉及的参数进行分类讨论与整合归纳，要求对参数讨论遵循“不重不漏”的原则．[变式训练]设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．解：设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)， 可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |.①因为点A 在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m >0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0<m <1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)；当m >1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0,m 2－1)．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．已知点O (0,0)，A (1,2)，动点P 满足|OP uuu r ＋AP u u u r|＝2，则P 点的轨迹方程是( )A ．4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0 B ．4x 2＋4y 2－4x －8y －1＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：选A 设P 点的坐标为(x ，y )，则OP uuu r ＝(x ，y )，AP u u u r ＝(x －1，y －2)，OP uuu r ＋APu u u r＝(2x －1,2y －2)．所以(2x －1)2＋(2y －2)2＝4，整理得4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0.3．下列各点在方程x 2－xy ＋2y ＋1＝0表示的曲线上的是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(1，－1)D ．(1，－2)解析：选D 验证法，点(0,0)显然不满足方程x 2－xy ＋2y ＋1＝0，当x ＝1时，方程变为1－y ＋2y ＋1＝0，解得y ＝－2，则(1，－2)点在曲线上．4．(2013·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 解析：选D ∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆．∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.5．已知A ⎝⎛⎭⎪⎫x －2，y 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AC u u u r ⊥BC uuu r ，则动点C 的轨迹方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝8(x －2)D ．y 2＝－8(x －2)解析：选B AC u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 2，BC uuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，则AC u u u r ⊥BC uuu r 得2x ＋y 24＝0，即y 2＝－8x .6．(2013·洛阳模拟)设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP u u u r ＝2PA u u u r ，且OQ uuu r ·AB u u u r＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP u u u r ＝2PA u u u r，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0.点Q (－x ，y )，故由OQ uuu r ·AB u u u r ＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入上式得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2013·佛山模拟)在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a >0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．解析：由正弦定理：|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，即|AB |－|AC |＝12|BC |，且为双曲线右支．答案：16x 2a 2－16y23a 2＝1(x >0且y ≠0)8．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程__________．解析：设直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)9．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB 中点为M ，则点M 的轨迹方程是________．解析：F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，后两式相减并将前两式代入得(y 1－y 2)y ＝2(x 1－x 2)，当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2×y ＝2.又A 、B 、M 、F 四点共线，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1，代入得y 2＝2(x －1)，当x 1＝x 2时，M (1,0)也适合这个方程，即y 2＝2(x －1)是所求的轨迹方程．答案：y 2＝2(x －1)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．过双曲线x 2－y 2＝1上一点M 作直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．解：设动点P 的坐标为(x ，y )点M 的坐标为(x 0，y 0)， 则N (2x －x 0,2y －y 0)．由N 在直线x ＋y ＝2上，得2x －x 0＋2y －y 0＝2.① 由PM 垂直于直线x ＋y ＝2，得y －y 0x －x 0＝1， 即x －y －x 0＋y 0＝0.②由①②得x 0＝32x ＋12y －1，y 0＝12x ＋32y －1，代入双曲线方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋12y －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋32y －12＝1， 整理得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.即点P 的轨迹方程2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0. 11．已知动圆P 过点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14且与直线y ＝－14相切．(1)求圆心P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作一条直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 在A ，B 两点处的切线相交于N ，M 为线段AB 的中点，求证：MN ⊥x 轴．解：(1)由已知，点P 到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14的距离等于到直线y ＝－14的距离，根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 为抛物线，其方程为x 2＝y .(2)证明：设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)． ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x .∴AN ，BN 的斜率分别为2x 1,2x 2. 故AN 的方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，BN 的方程为y －x 22＝2x 2(x －x 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22.两式相减，得x N ＝x 1＋x 22，又x M ＝x 1＋x 22，所以M ，N 的横坐标相等，于是MN ⊥x 轴．12．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．(1)求曲线C 1的方程；(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．解：(1)法一：设M 的坐标为(x ，y )，由已知得|x ＋2|＝x －52＋y 2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0，所以x －52＋y 2＝x ＋5.化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .法二：由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离．因此，曲线C 1是以(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线．故其方程为y 2＝20x .(2)证明：当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1＝3.整理得72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0.①设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根，故k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 04.② 由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x 得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0.③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根， 所以y 1y 2＝20y 0＋4k 1k 1.④同理可得y 3y 4＝20y 0＋4k 2k 2.⑤于是由②，④，⑤三式得y 1y 2y 3y 4＝400y 0＋4k 1y 0＋4k 2k 1k 2＝400[y 20＋4k 1＋k 2y 0＋16k 1k 2]k 1k 2＝400y 20－y 20＋16k 1k 2k 1k 2＝6 400.所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400.1．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后展开纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 的轨迹为( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：选A ∵折痕所在的直线是AQ 的垂直平分线， ∴|PA |＝|PQ |.又∵|PA |＋|OP |＝r ， ∴|PQ |＋|OP |＝r >|OQ |.由椭圆的定义知点P 的轨迹是椭圆． 2．已知A ，B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，D 是AB 的中点．(1)求动点D 的轨迹C 的方程；(2)过点N (1,0)作与x 轴不垂直的直线l ，交曲线C 于P ，Q 两点，若在线段ON 上存在点M (m,0)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，试求m 的取值范围．解：(1)设D (x ，y )，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，33x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－33x 2. 因为D 是线段AB 的中点， 所以x ＝x 1＋x 22，y ＝33·x 1－x 22.因为|AB |＝23，所以(x 1－x 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 1＋33x 22＝12. 所以(23y )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33×2x 2＝12，即x 29＋y 2＝1. 故点D 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1. (2)设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入椭圆方程x 29＋y 2＝1， 得(1＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0，所以x 1＋x 2＝18k 21＋9k2. 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k 1＋9k 2. 所以PQ 中点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫9k21＋9k 2，－k1＋9k 2. 因为以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，所以k MH ·k ＝－1.所以－k1＋9k 29k 21＋9k2－m ·k ＝－1，即m ＝8k 21＋9k2. 因为k ≠0，所以0<m <89.又点M (m,0)在线段ON 上，所以0<m <1. 综上，0<m <89. 3．(2012·江西高考)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA u u u r ＋MB u u u r |＝OM u u u u r ·(OA u u u r ＋OB uuu r )＋2.(1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(－2<x 0<2)是曲线C 上的动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P 的坐标是(0，－1)，l 与PA ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比．解：(1)由MA u u u r ＝(－2－x,1－y )，MB u u u r ＝(2－x,1－y )，得|MA u u u r ＋MB u u u r |＝－2x 2＋2－2y 2，OM u u u u r ·(OA u u u r ＋OB uuu r )＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得－2x 2＋2－2y 2＝2y ＋2， 化简得曲线C 的方程是x 2＝4y .(2)直线PA ，PB 的方程分别是y ＝－x －1，y ＝x －1，曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y＝x 02x －x 204，且与y 轴的交点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－x 204，分别联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x －1，y ＝x 02x －x 204，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －1，y ＝x 02x －x 204，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 0－22，x E ＝x 0＋22，则x E －x D ＝2，|FP |＝1－x 204， 故S △PDE ＝12|FP |·|x E －x D |＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204·2＝4－x 204，而S △QAB ＝12·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝4－x 202，则S △QABS △PDE＝2.即△QAB 与△PDE 的面积之比为2.。
高考数学一轮复习第八章第八节曲线与方程课时作业理含解析北师大版
第八节 曲线与方程授课提示：对应学生用书第367页〖A 组 基础保分练〗1．方程（x －y ）2＋（xy －1）2＝0的曲线是（ ） A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对 〖解析〗由（x －y ）2＋（xy －1）2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.〖答 案〗C 2．已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 〖解 析〗设P （x ，y ），则（x ＋2）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0，又D 2＋E 2－4F ＝16＞0，所以动点P 的轨迹是圆． 〖答 案〗B3．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N ．若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 〖解 析〗以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M （x ，y ），A （－a ，0），B （a ，0），则N （x ，0）．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ（x ＋a ）（a －x ），即λx 2＋y 2＝λa 2， 当λ＝1时，轨迹是圆；当λ＞0且λ≠1时，轨迹是椭圆； 当λ＜0时，轨迹是双曲线； 当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线． 〖答 案〗C4．已知A （0，7），B （0，－7），C （12，2），以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是（ ）A ．y 2－x 248＝1（y ≤－1）B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1D ．x 2－y 248＝1〖解 析〗由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，所以|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2．故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．因为c ＝7，a ＝1，所以b 2＝48，所以点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1（y ≤－1）．〖答 案〗A5．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是（ ）A ．x 2＝2y －1B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －12D ．x 2＝2y －2〖解 析〗把抛物线方程y ＝14x 2化成标准形式x 2＝4y 可得焦点F （0，1），设P （x 0，y 0），PF 的中点M （x ，y ）．由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y 0＋12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y －1.又∵P （x 0，y 0）在抛物线y ＝14x 2上，∴2y －1＝14（2x ）2，即x 2＝2y －1．〖答 案〗A6．已知动圆Q 过定点A （2，0）且被y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹方程为_________．〖解 析〗设Q （x ，y ）．因为动圆Q 过定点A （2，0）且与y 轴截得的弦MN 的长为4，所以⎝⎛⎭⎫|MN |22＋|x |2＝|AQ |2，所以|x |2＋22＝（x －2）2＋y 2，整理得y 2＝4x ．所以动圆圆心Q 的轨迹方程是y 2＝4x ． 〖答 案〗y 2＝4x7．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A （1，2）与动点P （x ，y ），满足向量OP →在向量OA →上的投影为－5，则点P 的轨迹方程为_________．〖解 析〗由OP →·OA→|OA →|＝－5，知x ＋2y ＝－5，即x ＋2y ＋5＝0．〖答 案〗x ＋2y ＋5＝08．设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．〖解 析〗设M （x 0，0），P （0，y 0），N （x ，y ），因为PM →⊥PF →，PM →＝（x 0，－y 0）， PF →＝（1，－y 0）， 所以（x 0，－y 0）·（1，－y 0）＝0，所以x 0＋y 20＝0． 由MN →＝2MP →得（x －x 0，y ）＝2（－x 0，y 0），所以⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y ，所以－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x ．故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x ．〖B 组 能力提升练〗1．（2021·聊城模拟）已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M （－1，2），Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则点Q 的轨迹方程是（ ） A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＋5＝0 〖解 析〗设Q （x ，y ），则可得P （－2－x ，4－y ），代入2x －y ＋3＝0得，2x －y ＋5＝0． 〖答 案〗D2．在直角坐标平面内，已知两点A （－2，0），B （2，0），动点Q 到点A 的距离为6，线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．x 25＋y 29＝1B ．x 29＋y 25＝1C ．x 28＋y 24＝1D ．x 24＋y 28＝1〖解 析〗连接PB ，因为线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ，所以|PB |＝|PQ |，又|AQ |＝6，所以|P A |＋|PB |＝|AQ |＝6，又|P A |＋|PB |＞|AB |，从而点P 的轨迹是中心在原点，以A ，B 为焦点的椭圆，其中2a ＝6，2c ＝4，所以b 2＝9－4＝5，所以椭圆方程为x 29＋y 25＝1．〖答 案〗B3．（2021·银川模拟）设D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．x 2＋（y －2）2＝20 B ．x 2＋（y ＋2）2＝20 C ．x 2＋（y －2）2＝5 D ．x 2＋（y ＋2）2＝5〖解 析〗设点P 的坐标为（x ，y ）．因为D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，且A ，B 为椭圆的焦点，所以|DA |＋|DB |＝25．又|PD |＝|BD |，所以|P A |＝|PD |＋|DA |＝|DA |＋|DB |＝25，所以x 2＋（y ＋2）2＝25，所以x 2＋（y ＋2）2＝20，所以点P 的轨迹方程为x 2＋（y ＋2）2＝20． 〖答 案〗B4．在△ABC 中，已知A （2，0），B （－2，0），G ，M 为平面上的两点且满足GA →＋GB →＋GC →＝0，|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，GM →∥AB →，则顶点C 的轨迹为（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆（长轴端点除外） B ．焦点在y 轴上的椭圆（短轴端点除外） C ．焦点在x 轴上的双曲线（实轴端点除外） D ．焦点在x 轴上的抛物线（顶点除外）〖解 析〗设C （x ，y ）（y ≠0），则由GA →＋GB →＋GC →＝0，即G 为△ABC 的重心，得G ⎝⎛⎭⎫x 3，y 3．又|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，即M 为△ABC 的外心，所以点M 在y 轴上，又GM →∥AB →，则有M ⎝⎛⎭⎫0，y 3．所以x 2＋⎝⎛⎭⎫y －y 32＝4＋y 29，化简得x 24＋y 212＝1，y ≠0．所以顶点C 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆（除去短轴端点）．〖答 案〗B5．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A （－1，0），B （1，0）且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为_________．〖解 析〗设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1（图略），则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，所以|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆（去掉长轴两端点）．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y23＝1（y ≠0）． 〖答 案〗x 24＋y 23＝1（y ≠0）6．P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是_________．〖解 析〗由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q （x ，y ），P （x 0，y 0），由OP →＝－12OQ →，则（x 0，y 0）＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2，∴⎩⎨⎧x 0＝－x2，y 0＝－y2，又P 在椭圆上，则有⎝⎛⎭⎫－x 224＋⎝⎛⎭⎫－y 223＝1，即x 216＋y 212＝1． 〖答 案〗x 216＋y 212＝17．如图，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．〖解 析〗设动点P 的坐标为（x ，y ），点Q 的坐标为（x 1，y 1），则N 点的坐标为（2x －x 1，2y －y 1）．∵N 在直线x ＋y ＝2上， ∴2x －x 1＋2y －y 1＝2．① 又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2， ∴y －y 1x －x 1＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0，② ①、②联立解得⎩⎨⎧x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1，③又点Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，∴x 21－y 21＝1．④ ③代入④，得动点P 的轨迹方程是2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0．8．自抛物线y 2＝2x 上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连接顶点O 与P 的直线和连接焦点F 与Q 的直线交于R 点，求R 点的轨迹方程．〖解 析〗设P （x 1，y 1），R （x ，y ），则Q ⎝⎛⎭⎫－12，y 1，F ⎝⎛⎭⎫12，0． OP 的方程为y ＝y 1x 1x ．FQ 的方程为y ＝－y 1⎝⎛⎭⎫x －12． 联立得x 1＝2x 1－2x ，y 1＝2y1－2x 代入抛物线方程可得R 点的轨迹方程为y 2＝－2x 2＋x ．〖C 组 创新应用练〗1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．双曲线的一支 〖解 析〗过定点A 与AB 垂直的动直线l 组成一个平面，该平面与平面α交于一条直线，故动点C 的轨迹是一条直线． 〖答 案〗A2．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆〖解 析〗由条件知|PM |＝|PF |，所以|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R ＞|OF |，所以P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． 〖答 案〗A3．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A （－5，0），B （5，0）距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（ ） A ．x ＋y ＝5 B ．x 2＋y 2＝9C ．x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y〖解 析〗因为M 到平面内两点A （－5，0），B （5，0）距离之差的绝对值为8，所以M 的轨迹是以A （－5，0），B （5，0）为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1．A 项，直线x ＋y ＝5过点（5，0），满足题意，为“好曲线”；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为（0，0），半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为（5，0），满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．〖答 案〗B。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：8.8 曲线与方程 Word版含答案
第八节 曲线与方程轨迹与轨迹方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．知识点 曲线与方程 1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标． (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}． (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0. (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1(x ，y )＝0，F 2(x ，y )＝0的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．易误提醒 (1)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．[自测练习]1．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线解析：把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A.答案：A2．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为____________．解析：AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0，即2x ＋⎝⎛⎭⎫－y 2·y 2＝0，∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，∴|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)． 答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)考点一 直接法求轨迹方程|1．(2016·津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.答案：A2．(2016·南昌模拟)方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( )A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线解析：本题考查曲线与方程、数形结合思想．依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0，故选D.答案：D3．在直角坐标平面xOy 中，过定点(0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点．若动点P (x ，y )满足OP →＝OA →＋OB →，则点P 的轨迹方程为________．解析：设AB 的中点为M ，则OM →＝12OP →，M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.又因为OM ⊥AB ，AB →的方向向量为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－1，OM →＝⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，所以⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－1·⎝⎛⎭⎫x 2，y 2＝0，x 2＋y (y －2)＝0，即x 2＋(y －1)2＝1. 答案：x 2＋(y －1)2＝1直接法求轨迹方程的常见类型(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．考点二 定义法求轨迹方程|已知点F (1,0)，圆E ：(x ＋1)2＋y 2＝8，点P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A ，B ，当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求△AOB 面积S 的取值范围．[解] (1)连接QF (图略)．∵|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝22(22>|EF |＝2)，∴点Q 的轨迹是以E (－1,0)，F (1,0)为焦点，长轴长2a ＝22的椭圆，即动点Q 的轨迹Γ的方程为x 22＋y 2＝1. (2)依题结合图形(图略)知直线l 的斜率不可能为零，所以设直线l 的方程为x ＝my ＋n (m ∈R )．∵直线l 即x －my －n ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，∴|n |m 2＋1＝1，得n 2＝m 2＋1. 又∵点A ，B 的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 2＋2y 2－2＝0， 消去x 并整理，得(m 2＋2)y 2＋2mny ＋n 2－2＝0.由一元二次方程根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－2mnm 2＋2，y 1y 2＝n 2－2m 2＋2.其判别式Δ＝4m 2n 2－4(m 2＋2)(n 2－2)＝8(m 2－n 2＋2)＝8， 又由求根公式得y 1,2＝－2mn ±Δ2(m 2＋2).∵λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋n )(my 2＋n )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋mn (y 1＋y 2)＋n 2＝3n 2－2m 2－2m 2＋2＝m 2＋1m 2＋2.S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12OA →2·OB →2－(OA →·OB →)2＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝12|(my 1＋n )y 2－(my 2＋n )y 1|＝12|n (y 2－y 1)|＝12|n |·Δm 2＋2＝2·m 2＋1(m 2＋2)2＝2·m 2＋1m 2＋2·1m 2＋2∵m 2＋1m 2＋2＋1m 2＋2＝1，且λ＝m 2＋1m 2＋2∈⎣⎡⎦⎤23，34， ∴S △AOB ＝2·λ·(1－λ)∈⎣⎡⎦⎤64，23.定义法求轨迹方程的思路(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．(2)定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．1．已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线l ：y ＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过点F (0,2)，分别以A ，B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，求证：AQ ⊥BQ .解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，l ：y ＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线的距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，得x 2－8kx －16＝0. 所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A ，B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1·k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .考点三 代入法求轨迹方程|在圆O ：x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．设M 为线段PD 的中点．(1)当点P 在圆O 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)若圆O 在点P 处的切线与x 轴交于点N ，试判断直线MN 与轨迹E 的位置关系． [解] (1)设M (x ，y )，则P (x,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋(2y )2＝4，即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线PN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝2或x ＝－2.显然与轨迹E 相切． 当直线PN 的斜率存在时，设PN 的方程为y ＝kx ＋t (k ≠0)． ∵直线PN 与圆O 相切，∴|t |k 2＋1＝2，即t 2－4k 2－4＝0. 又∵直线MN 的斜率为k 2，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫－t k ，0，∴直线MN 的方程为y ＝k2⎝⎛⎭⎫x ＋t k ， 即y ＝12(kx ＋t )．由⎩⎨⎧y ＝12(kx ＋t )，x24＋y 2＝1，得(1＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.∵Δ＝(2kt )2－4(1＋k 2)(t 2－4)＝－4(t 2－4k 2－4)＝0，∴直线MN 与轨迹E 相切． 综上可知，直线MN 与轨迹E 相切．代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标P (x ，y )．(2)寻求与所求动点P (x ，y )与已知动点Q (x ′，y ′)的关系． (3)建立P ，Q 两坐标的关系表示出x ′，y ′. (4)将x ′，y ′代入已知曲线方程中化简求解．2．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0)解析：依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎨⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03.即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .代入x 204＋y 203＝1得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．答案：C27.分类讨论思想在由方程讨论曲线类型中的应用【典例】 已知两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积是定值m4(m ≠0)．求动点M 的轨迹方程，并指出随m 变化时方程所表示的曲线C 的形状．[思路点拨] 依题直接写出方程后，结合方程结构特征分类判断曲线类型，注意分类标准的确定．[解] 设动点M (x ，y )，依题意有y x －2·y x ＋2＝m4(m ≠0)，整理得x 24－y 2m＝1(x ≠±2)，即为动点M 的轨迹方程．当m >0时，轨迹是焦点在x 轴上的双曲线；当m ∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； 当m ＝－4时，轨迹是圆；当m ∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y 轴上的椭圆．且点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在曲线上．[方法点评] 由曲线方程讨论曲线类型时，常用到分类讨论思想，其分类的标准有两类： (1)二次项系数为0的值． (2)二次项系数相等的值．[跟踪练习] 在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )解析：a >b >0得1b 2>1a 2>0，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1，即x 21a 2＋y 21b 2＝1表示的是焦点在y 轴上的椭圆；方程ax ＋by 2＝0，即y 2＝－ab x 表示的是焦点在x 轴的负半轴上的抛物线上，结合各选项知，选D.答案：DA 组 考点能力演练1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0，则点M 在曲线y 2＝4x 上，是必要条件；但当y >0时，点M 在曲线y 2＝4x 上，点M 的坐标不满足方程2x ＋y ＝0，不是充分条件．2．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN . ∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆． 答案：A3．(2016·梅州质检)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F (－2,0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .答案：B4．(2016·沈阳质检)已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|P A |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：设P 点的坐标为(x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋2)2＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0，故选A.答案：A5．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：M 点的轨迹是双曲线x 216－y 29＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M 点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x 2＋y 2＝9与M 点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M 点的轨迹都有公共点，所以圆x 2＋y 2＝9不是“好曲线”．6．(2016·聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是_____________________________．解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．解析：本题考查曲线的方程．因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －18．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P 的轨迹C 的方程为________．解析：由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ， 整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．答案：x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)9．在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点F (1,0)的距离和它到定直线x ＝2的距离之比是22. (1)求动点P 的轨迹Γ的方程； (2)设曲线Γ上的三点A (x 1，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫1，22，C (x 2，y 2)与点F 的距离成等差数列，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .解：(1)设P (x ，y )．由已知，得(x －1)2＋y 2|x －2|＝22，两边同时平方，化简得x 22＋y 2＝1，故动点P 的轨迹Γ的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由已知得|AF |＝22(2－x 1)，|BF |＝22×(2－1)， |CF |＝22(2－x 2)，因为2|BF |＝|AF |＋|CF |，所以22(2－x 1)＋22(2－x 2)＝2×22×(2－1)， 所以x 1＋x 2＝2.①故线段AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，y 1＋y 22，其垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －1)．②因为A ，C 在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减， 把①代入化简，得－x 1－x 2y 1－y 2＝y 1＋y 2.③把③代入②，令y ＝0，得x ＝12，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.所以直线BT 的斜率k ＝22－01－12＝ 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到F (0,1)的距离比到直线y ＝－2的距离小1.(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点E (0，－4)的直线与轨迹W 交于两点A ，B ，点D 是点E 关于x 轴的对称点，点A 关于y 轴的对称点为A 1，证明：A 1，D ，B 三点共线．解：(1)由题意可得动点P (x ，y )到定点F (0,1)的距离和到定直线y ＝－1的距离相等，所以动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，以y ＝－1为准线的抛物线．所以动点P 的轨迹W 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx －4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，y 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx ＋16＝0. 则Δ＝16k 2－64>0，即|k |>2. x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16.直线A 1B ：y －y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)，所以y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2，即y ＝x 22－x 214(x 1＋x 2)(x －x 2)＋14x 22，整理得y ＝x 2－x 14x －x 22－x 1x 24＋14x 22，即y ＝x 2－x 14x ＋x 1x 24.直线A 1B 的方程为y ＝x 2－x 14x ＋4，显然直线A 1B 过点D (0,4)．所以A 1，D ，B 三点共线． B 组 高考题型专练1．(2014·高考广东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)依题意知c ＝5，c a ＝53，∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4，∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1. (2)若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率不存在或者斜率为零，则易知点P 的坐标为(3,2)或(3，－2)或(－3，2)或(－3，－2)．若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率存在且不为0，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线P A 的斜率为k ，∵P A ⊥PB ，则切线PB 的斜率为－1k. 切线P A 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －x 0)x 29＋y 24＝1得4x 2＋9[k (x －x 0)＋y 0]2＝36，即(4＋9k 2)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0，∵切线P A 与椭圆相切， ∴Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－4(4＋9k 2)[9(y 0－kx 0)2－36]＝0，化简得4＋9k 2－k 2x 20＋2kx 0y 0－y 20＝0.①同理，切线PB 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)，与椭圆方程x 29＋y 24＝1联立可得，4＋9k 2－x 20k 2－2x 0y 0k－y 20＝0，即4k 2＋9－x 20－2kx 0y 0－k 2y 20＝0.② 由①＋②得13(1＋k 2)－(1＋k 2)(x 20＋y 20)＝0，即(1＋k 2)(x 20＋y 20－13)＝0，∵1＋k 2≠0，∴x 20＋y 20－13＝0，即x 20＋y 20＝13.经检验可知点(3,2)，(3，－2)，(－3,2)，(－3，－2)均满足x 20＋y 20＝13，故点P (x 0，y 0)的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.2．(2015·高考广东卷)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)C 1：(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94. 故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3. (3)联立⎩⎨⎧x ＝53，⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎨⎧ x ＝53，y ＝±253. 不妨设其交点为P 1⎝⎛⎭⎫53，253，P 2⎝⎛⎭⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)， 则kPP 1＝－257，kPP 2＝257. 当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪32－k －4k ||k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。
【教育学习文章】高考数学(理科)一轮复习曲线与方程学案含答案
高考数学（理科）一轮复习曲线与方程学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案55 曲线与方程导学目标：了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系．自主梳理．曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线c上的点与一个二元方程f＝0的实数解建立了如下的关系：__________________都是这个方程的______．以这个方程的解为坐标的点都是________________，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．平面解析几何研究的两个主要问题根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；通过曲线的方程研究曲线的性质．3．求曲线方程的一般方法求曲线的方程，一般有下面几个步骤：建立适当的坐标系，用有序实数对表示________________________；写出适合条件p的点m的集合P＝____________；用坐标表示条件p，列出方程f＝0；化方程f＝0为________；说明以化简后的方程的解为坐标的点都在________．自我检测．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A与点P 连线中点的轨迹方程是A．y＝2x2B．y＝8x2c．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋12．一动圆与圆o：x2＋y2＝1外切，而与圆c：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是A．双曲线的一支B．椭圆c．抛物线D．圆3．已知直线l的方程是f＝0，点m不在l上，则方程f－f＝0表示的曲线是A．直线lB．与l垂直的一条直线c．与l平行的一条直线D．与l平行的两条直线4．若m、N为两个定点且|mN|＝6，动点P满足Pm→•PN→＝0，则P点的轨迹是A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线5．若曲线c1：x2＋y2－2x＝0与曲线c2：y＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是A．B．∪c．[－33，33]D．∪探究点一直接法求轨迹方程例1 动点P与两定点A，B连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．变式迁移1 已知两点m、N，点P为坐标平面内的动点，满足|mN→||mP→|＋mN→•NP→＝0，则动点P的轨迹方程为______________．探究点二定义法求轨迹方程例2 已知两个定圆o1和o2，它们的半径分别是1和2，且|o1o2|＝4.动圆m与圆o1内切，又与圆o2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心m的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式迁移2 在△ABc中，A为动点，B、c为定点，B－a2，0，ca2，0，且满足条件sinc－sinB＝12sinA，则动点A的轨迹方程是A.16x2a2－16y215a2＝1B.16y2a2－16x23a2＝1c.16x2a2－16y215a2＝1的左支D.16x2a2－16y23a2＝1的右支探究点三相关点法求轨迹方程例3 如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程．变式迁移3 已知长为1＋2的线段AB的两个端点A、B 分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且AP→＝22PB →.求点P的轨迹c的方程．分类讨论思想的应用例过定点A任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于点m，l2与y轴交于点N，如图所示，求线段mN的中点P的轨迹方程．多角度审题要求点P坐标，必须先求m、N两点，这样就要求直线l1、l2，又l1、l2过定点且垂直，只要l1的斜率存在，设一参数k1即可求出P点坐标，再消去k1即得点P轨迹方程．【答题模板】解当l1不平行于y轴时，设l1的斜率为k1，则k1≠0.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－1k1，l1的方程为y－b＝k1，①l2的方程为y－b＝－1k1，②在①中令y＝0，得m点的横坐标为x1＝a－bk1，[4分] 在②中令x＝0，得N点的纵坐标为y1＝b＋ak1，[6分] 设mN中点P的坐标为，则有x＝a2－b2k1，y＝b2＋a2k1，消去k1，得2ax＋2by－a2－b2＝0．③[8分]当l1平行于y轴时，mN中点为a2，b2，其坐标满足方程③.综合知所求mN中点P的轨迹方程为2ax＋2by－a2－b2＝0.[12分]【突破思维障碍】引进l1的斜率k1作参数，写出l1、l2的直线方程，求出m、N的坐标，求出点P的坐标，得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线l1的斜率是否存在．【易错点剖析】当Am⊥x轴时，Am的斜率不存在，此时mN中点为a2，b2，易错点是把斜率不存在的情况忽略，因而丢掉点a2，b2.．求轨迹方程的常用方法：直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明可以省略．定义法：运用解析几何中一些常用定义，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P却随另一动点Q的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．2．本节易错点：容易忽略直线斜率不存在的情况；利用定义求曲线方程时，应考虑是否符合曲线的定义．一、选择题．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果m是线段F1P的中点，则动点m的轨迹是B．椭圆c．双曲线的一支D．抛物线2．已知A、B是两个定点，且|AB|＝3，|cB|－|cA|＝2，则点c的轨迹为A．双曲线B．双曲线的一支c．椭圆D．线段3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，Ac→＝2cB→，则点c的轨迹是A．线段B．圆c．椭圆D．双曲线4．如图，圆o：x2＋y2＝16，A，B为两个定点．直线l 是圆o的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是A．双曲线B．椭圆c．抛物线5．已知F1、F2是椭圆x24＋y23＝1的两个焦点，平面内一个动点m满足|mF1|－|mF2|＝2，则动点m的轨迹是A．双曲线B．双曲线的一个分支c．两条射线D．一条射线二、填空题6．已知两定点A，B，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于______．7．已知△ABc的顶点B，c，AB边上的中线长|cD|＝3，则顶点A的轨迹方程为______________．8．平面上有三点A，B0，y2，c，若AB→⊥Bc→，则动点c的轨迹方程为__________．三、解答题9．已知抛物线y2＝4px，o为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足oA⊥oB，如果om⊥AB于点m，求点m的轨迹方程．10．已知椭圆c的中心为平面直角坐标系xoy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.求椭圆c的方程；若P为椭圆c上的动点，m为过P且垂直于x轴的直线上的一点，|oP||om|＝λ，求点m的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．11．在平面直角坐标系xoy中，有一个以F1和F2为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线c，动点P在c上，c在点P处的切线与x轴，y轴的交点分别为A，B，且om→＝oA→＋oB→.求：点m的轨迹方程；|om→|的最小值．学案55 曲线与方程自主梳理．曲线上的点的坐标解曲线上的点 3.曲线上任意一点m的坐标{m|p} 最简形式曲线上自我检测．c 2.A 3.c 4.A5．B [c1：2＋y2＝1，c2：y＝0或y＝mx＋m＝m．当m＝0时，c2：y＝0，此时c1与c2显然只有两个交点；当m≠0时，要满足题意，需圆2＋y2＝1与直线y＝m 有两交点，当圆与直线相切时，m＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意，则－33<m<0或0<m<33.综上知－33<m<0或0<m<33.]课堂活动区例1 解题导引①在判断含参数的方程所表示的曲线类型时，不能仅仅根据方程的外表草率地作出判断；②由于已知条件中，直线PA、PB的斜率存在，因此轨迹曲线应除去A、B两点；③一般地，方程x2A＋y2B＝1所表示的曲线有以下几种情况：°A>B>0，表示焦点在x轴上的椭圆；2°A＝B>0，表示圆；3°0<A<B，表示焦点在y轴上的椭圆；4°A>0>B，表示焦点在x轴上的双曲线；5°A<0<B，表示焦点在y轴上的双曲线；6°A，B<0，无轨迹．解设点P，则kAP＝yx－a，kBP＝yx＋a.由题意得yx－a•yx＋a＝k，即kx2－y2＝ka2.∴点P的轨迹方程为kx2－y2＝ka2．当k＝0时，式即y＝0，点P的轨迹是直线AB．当k≠0时，式即x2a2－y2ka2＝1，①若k>0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线．②若k<0，式可化为x2a2＋y2－ka2＝1.°当－1<k<0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；2°当k＝－1时，式即x2＋y2＝a2，点P的轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆；3°当k<－1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆．变式迁移1 y2＝－8x解析由题意：mN→＝，mP→＝，NP→＝，∵|mN→||mP→|＋mN→•NP→＝0，∴42＋02•x＋22＋y2＋•4＋y•0＝0，移项两边平方，化简得y2＝－8x.例2 解题导引由于动点m到两定点o1、o2的距离的差为常数，故应考虑是否符合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转化；求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程．解如图所示，以o1o2的中点o为原点，o1o2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|o1o2|＝4，得o1、o2．设动圆m的半径为r，则由动圆m与圆o1内切，有|mo1|＝r－1；由动圆m与圆o2外切，有|mo2|＝r＋2.∴|mo2|－|mo1|＝3<4.∴点m的轨迹是以o1、o2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74.∴点m的轨迹方程为4x29－4y27＝1．变式迁移2 D [∵sinc－sinB＝12sinA，由正弦定理得到|AB|－|Ac|＝12|Bc|＝12a．∴A点轨迹是以B，c为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为a4，焦距为|Bc|＝a.∴虚半轴长为a22－a42＝34a，由双曲线标准方程得为16x2a2－16y23a2＝1的右支．]例3 解题导引相关点法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法．其题目特征是：点A的运动与点B的运动相关，且点B的运动有规律，只需将A的坐标转移到B的坐标中，整理即可得点A的轨迹方程．解设动点P的坐标为，点Q的坐标为，则点N的坐标为．∵N在直线x＋y＝2上，∴2x－x1＋2y－y1＝2.①又∵PQ垂直于直线x＋y＝2，∴y－y1x－x1＝1，即x－y＋y1－x1＝0.②联立①②解得x1＝32x＋12y－1，y1＝12x＋32y－1.③又点Q在双曲线x2－y2＝1上，∴x21－y21＝1.④③代入④，得动点P的轨迹方程是2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.变式迁移3 解设A，B，P，AP→＝22PB→，又AP→＝，PB→＝，所以x－x0＝－22x，y＝22得x0＝1＋22x，y0＝y.因为|AB|＝1＋2，即x20＋y20＝2，所以1＋22x2＋[y]2＝2，化简得x22＋y2＝1.∴点P的轨迹方程为x22＋y2＝1.课后练习区．B [如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a．连接mo，由三角形的中位线可得|F1m|＋|mo|＝a，则m的轨迹为以F1、o为焦点的椭圆．] 2．B [A、B是两个定点，|cB|－|cA|＝2<|AB|，所以点c轨迹为双曲线的一支．]3．c [设c，A，B，则a2＋b2＝9，①又Ac→＝2cB→，所以＝2，即a＝3x，b＝32y，②代入①式整理可得x2＋y24＝1.]4．B [设抛物线的焦点为F，因为A、B在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A、B到F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离Am、BN，于是|AF|＋|BF|＝|Am|＋|BN|.过o作oR⊥l，由于l是圆o的一条切线，所以四边形AmNB是直角梯形，oR是中位线，故有|AF|＋|BF|＝|Am|＋|BN|＝2|oR|＝8>4＝|AB|.根据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆．]5．D [因为|F1F2|＝2，|mF1|－|mF2|＝2，所以轨迹为一条射线．]6．4π解析设P，由题知有：2＋y2＝4[2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得2＋y2＝4，可知圆的面积为4π.7．2＋y2＝36解析方法一直接法．设A，y≠0，则Dx2，y2，∴|cD|＝x2－52＋y24＝3.化简得2＋y2＝36，∵A、B、c三点构成三角形，∴A不能落在x轴上，即y≠0.方法二定义法．如图所示，设A，D为AB的中点，过A作AE∥cD交x轴于E，则E．∵|cD|＝3，∴|AE|＝6，∴A到E的距离为常数6.∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即2＋y2＝36.又A、B、c不共线，故A点纵坐标y≠0.故A点轨迹方程为2＋y2＝36．8．y2＝8x解析AB→＝2，－y2，Bc→＝x，y2.∵AB→⊥Bc→，∴AB→•Bc→＝0，得2•x－y2•y2＝0，得y2＝8x.9．解设m，直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b.由om⊥AB得k＝－xy.设A、B两点坐标分别为、，由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，得k2x2＋x＋b2＝0，所以x1x2＝b2k2.消去x，得ky2－4py＋4pb＝0，所以y1y2＝4pbk.由oA⊥oB，得y1y2＝－x1x2，所以4pbk＝－b2k2，b＝－4kp.故y＝kx＋b＝k．用k＝－xy代入，得x2＋y2－4px＝0．AB斜率不存在时，经验证也符合上式．故m的轨迹方程为x2＋y2－4px＝0．0．解设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3，又∵b2＝a2－c2，∴b＝7，所以椭圆c的方程为x216＋y27＝1.设m，其中x∈[－4,4]，由已知|oP|2|om|2＝λ2及点P在椭圆c上可得9x2＋11216x2＋y2＝λ2，整理得x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4]．①当λ＝34时，化简得9y2＝112，所以点m的轨迹方程为y＝±473．轨迹是两条平行于x轴的线段．②当λ≠34时，方程变形为x211216λ2－9＋y211216λ2＝1，其中x∈[－4,4]．当0<λ<34时，点m的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分．当34<λ<1时，点m的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分；当λ≥1时，点m的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆．1．解椭圆的方程可写为y2a2＋x2b2＝1，其中a>b>0，由a2－b2＝33a＝32得a2＝4b2＝1，所以曲线c的方程为x2＋y24＝1．y＝21－x2，y′＝－2x1－x2.设P，因为P在c上，有0<x0<1，y0＝21－x20，y′|x＝x0＝－4x0y0，得切线AB的方程为y＝－4x0y0＋y0.设A和B，由切线方程得x＝1x0，y＝4y0.由om→＝oA→＋oB→得点m的坐标为，由x0，y0满足c的方程，得点m的轨迹方程为1x2＋4y2＝1．|om→|2＝x2＋y2，y2＝41－1x2＝4＋4x2－1，所以|om→|2＝x2－1＋4x2－1＋5≥4＋5＝9，当且仅当x2－1＝4x2－1，即x＝3时，上式取等号．故|om→|的最小值为3.。
【把握高考】高三数学第一轮总复习 8-8曲线与方程 理 新人教A版(含解析)
8-8曲线与方程(理)基础巩固强化1.若点P 到直线y ＝－2的距离比它到点A (0,1)的距离大1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线[答案] D[解析] 由条件知，点P 到直线y ＝－1的距离与它到点A (0,1)的距离相等，∴P 点轨迹是以A 为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线．2．已知椭圆的焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上一个动点，延长F 1P 到点Q ，使|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线[答案] A[解析] |QF 1|＝|PF 1|＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆．3．过椭圆x 29＋y 24＝1内一点R (1,0)作动弦MN ，则弦MN 中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，则4x 21＋9y 21＝36,4x 22＋9y 22＝36， 相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 将x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝yx －1代入可知轨迹为椭圆． 4．高12m 和16m 的两根旗杆笔直地竖在水平地面上，且相距50m ，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] 本题是解析几何问题．假设长度为12m,16m 的两旗杆的底部分别为A ，B ，地面上的观察点为P ，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则A ，B 的坐标分别为A (－25,0)，B (25,0)，设P (x ，y )，且PA ＝b ，PB ＝a ，∵tan θ＝12b ＝16a ，∴b ＝34a ，∴x ＋2＋y 2＝34x －2＋y 2，化简得方程为圆的方程，所以轨迹为圆，故选A.5．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是( )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支[答案] A[解析] 过定点A 且与AB 垂直的直线l 都在过定点A 且与AB 垂直的平面β内，直线l 与α的交点C 也是平面α、β的公共点．点C 的轨迹是平面α、β的交线．6．(2012·长沙一中月考)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线[答案] D[解析] 原方程化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0，∴2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故选D.7．(2011·聊城月考)过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为________．[答案] x ＋y －1＝0[解析] 设l 1：y －1＝k (x －1)，则l 2：y －1＝－1k (x －1)，l 1与x 轴交点A (1－1k，0)，l 2与y 轴交点B (0,1＋1k )，设AB 中点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－1k ，y ＝12＋1k，消去k 得，x ＋y －1＝0.8．(2011·宿迁模拟)已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是________．[答案] (x ＋1)2－y 2＝65[解析] 设圆心P (x ，y )，动圆半径为r ，P 到l 1、l 2的距离分别为d 1、d 2，由题意知d 21＋169＝r 2＝d 22＋144，∴d 22－d 21＝25，即x －2y ＋213－x －3y ＋213＝25，整理得，(x ＋1)2－y 2＝65.9．(2011·北京理，14)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． [答案] ②③[解析] 由|PF 1|·|PF 2|＝a 2得，x ＋2＋y 2·x －2＋y 2＝a 2(a >1)，将原点O (0,0)代入等式不成立，故①错；将(－x ，－y )代入方程中，方程不变，故曲线C 关于原点对称，故②正确；设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．10．(2011·新课标全国理，20)在平面直角坐标系中xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．[解析] (1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)．又A (0，－1)，所以MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)．再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →＝0， 即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0. 所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点．因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.所以O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2， 所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2.当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.能力拓展提升11.在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O )和一个定点F (F 在圆外)．在圆上任取一点M ，将纸片折叠使点M 与点F 重合，得到折痕CD .设直线CD 与直线OM 交于点P ，则点P 的轨迹为( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线[答案] A[解析] 由OP 交⊙O 于M 可知|PO |－|PF |＝|PO |－|PM |＝|OM |<|OF |(F 在圆外)， ∴P 点的轨迹为双曲线，故选A.12．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM ＝13，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．直线[答案] B[解析] 由P 向AD 作垂线垂足为N ，由题意知|PN |2＋1－|PM |2＝1，∴|PN |＝|PM |，即动点P 到直线AD 的距离等于动点P 到点M 的距离，∴点P 的轨迹是抛物线．13．(2011·深圳模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 [答案] D[解析] ∵M 为AQ 垂直平分线上一点， ∴|AM |＝|MQ |.∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，(5>|AC |) ∴M 点轨迹是以A 、C 为焦点，长轴长为5的椭圆， ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程是4x 225＋4y221＝1.14．(2011·北京模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．[答案]x 29－y 216＝1(x >3)[解析] 如图，|CA |－|CB |＝|AE |－|BF |＝|AD |－|BD |＝6<|AB |＝10，∴点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线右支，∴a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．15．(2011·西安模拟)已知定点A (0，－1)，点B 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16上运动，F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于P .(1)求动点P 的轨迹E 的方程；若曲线Q ：x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1被轨迹E 包围着，求实数a 的最小值；(2)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点G 在圆F 内，且满足|MG |·|NG |＝|OG |2(O 为坐标原点)，求MG →·NG →的取值范围．[解析] (1)由题意得|PA |＝|PB |. ∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝4>|AF |＝2，∴动点P 的轨迹E 是以A 、F 为焦点的椭圆．设该椭圆的方程为y 2a ＋x 2b＝1(a >b >0)，则2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3， ∴动点P 的轨迹E 的方程为y 24＋x 23＝1，x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1即(x －a )2＋y 2＝1，∴曲线Q 是圆心为(a,0)，半径为1的圆．而轨迹E 为焦点在y 轴上的椭圆，其左、右顶点分别为(－3，0)，(3，0)． 若曲线Q 被轨迹E 包围着，则－3＋1≤a ≤3－1， ∴a 的最小值为－3＋1.(2)设G (x ，y )，由|MG |·|NG |＝|OG |2得：x ＋2＋y 2·x －2＋y 2＝x 2＋y 2.化简得x 2－y 2＝2，即x 2＝y 2＋2， ∴MG →·NG →＝(x ＋2，y )·(x －2，y ) ＝x 2＋y 2－4＝2(y 2－1)．∵点G 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16内，∴x 2＋(y －1)2<16， ∴0≤(y －1)2<16⇒－3<y <5⇒0≤y 2<25， ∴－2≤2(y 2－1)<48， ∴MG →·NG →的取值范围是[－2,48)．*16.已知直线l ：y ＝kx ＋b ，曲线M ：y ＝|x 2－2|.(1)若k ＝1且直线与曲线恰有三个公共点时，求实数b 的取值；(2)若b ＝1，直线与曲线M 的交点依次为A 、B 、C 、D 四点，求|AB |＋|CD |的取值范围． [解析] (1)分两种情况：1)当－2<x <2时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋by ＝－x 2＋2有唯一解，即x 2＋x ＋b －2＝0在(－2，2)内有一解， 由Δ＝1－4b ＋8＝0，得b ＝94，符合．2)直线过点(－2，0)，得0＝－2＋b ，得b ＝ 2.(2)由⎩⎨⎧y ＝x 2－x |≥2，y ＝kx ＋1，得x 2－kx －3＝0，则有：|AD |＝k 2＋k 2＋，且－22≤k ≤22. 由⎩⎨⎧y ＝－x 2＋x |<2，y ＝kx ＋1.得x 2＋kx －1＝0， 则有：|BC |＝k 2＋k 2＋，且k ∈R .所以|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC | ＝k 2＋k 2＋－k 2＋k 2＋＝8k 2＋1k 2＋12＋k 2＋4＝81＋11k 2＋1＋1＋3k 2＋1，且－22≤k ≤22. 令t ＝k 2，则0<t <12，则y ＝t ＋t ＋－t ＋t ＋，0<t <12是增函数，所以，y ∈[23－2，3)．1．方程(x 2－y 2－1)x －y －1＝0的曲线形状大致是________(图中实线部分)( )[答案] B [分析] AB ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ＝0B ≥0或B ＝0，千万不要错误的转化为A ＝0或B ＝0.[解析] 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2－1＝0x －y －1≥0或x －y －1＝0，前者是双曲线位于直线下方部分，后者为直线，故选B.2.一个圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一个定点，M 是圆上一个动点，把纸片折叠使得F 与M 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 的交点为P ，则P 点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 由条件知，点P 在线段MF 的垂直平分线上，故|PM |＝|PF |，∵|PM |＋|PO |＝|OM |，∴|PF |＋|PO |＝|OM |，∵点F 在⊙O 内，∴|OM |>|OF |，又|OM |为⊙O 的半径为定值，故点P 的轨迹是以F ，O 为焦点的椭圆．3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 [答案] A[解析] 设P 1、P 2为P 的轨迹上两点，则AP 1⊥BD 1，AP 2⊥BD 1.∵AP 1∩AP 2＝A ，∴直线AP1与AP2确定一个平面α，与面BCC1B1交于直线P1P2，且知BD1⊥平面α，∴P1P2⊥BD1，又∵BD1在平面BCC1B1内的射影为BC1，∴P1P2⊥BC1，而在面BCC1B1内只有B1C与BC1垂直，∴P点的轨迹为B1C.4．(2011·青岛模拟)圆O：x2＋y2＝16，A(－2,0)，B(2,0)为两个定点．直线l是圆O的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点的轨迹是( )A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆[答案] B[解析] 设抛物线的焦点为F，因为A、B在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A、B到F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、BN，过O作OP⊥l，由于l是圆O的一条切线，所以四边形AMNB是直角梯形，OP是中位线，故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|OP|＝8>4＝|AB|.根据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆．5．已知A、B分别是直线y＝33x和y＝－33x上的两个动点，线段AB的长为23，P是AB的中点，则动点P的轨迹C的方程为________．[答案]x 29＋y 2＝1[解析] 设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，①∵A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点， ∴y 1＝33x 1和y 2＝－33x 2. 代入①中得，⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝23y ，y 1－y 2＝233x ，②又|AB →|＝23，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12.∴12y 2＋43x 2＝12，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1.6．(2011·苏州模拟)已知1m ＋2n＝1(m >0，n >0)，当mn 取得最小值时，直线y ＝－2x ＋2与曲线x |x |m ＋y |y |n＝1的交点个数为________． [答案] 2 [解析] 1＝1m ＋2n ≥22mn，∴mn ≥8.当且仅当1m ＝2n 时，即m ＝2，n ＝4时等号成立．曲线为x |x |2＋y |y |4＝1.▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 当x >0，y >0时，表示椭圆y 24＋x 22＝1的一部分；当x <0，y >0时，表示双曲线y 24－x 22＝1的一部分；当x >0，y <0时，表示双曲线x 22－y 24＝1的一部分，当x <0，y <0时，曲线不存在．如图知，交点个数为2.。
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课时达标 第53讲[解密考纲]求曲线的轨迹方程，经常通过定义法或直接法，在解答题的第(1)问中出现． 一、选择题1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( B ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：设P (x ，y )，则x ＋2 2＋y 2＝2 x －1 2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0， 又D 2＋E 2－4F ＝16>0，所以动点P 的轨迹是圆．2．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( D )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析：设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得Q 点的轨迹方程为2x －y ＋5＝0.3．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( D )A ．4x 221－4y 225＝1B ．4x 221＋4y 225＝1C ．4x 225－4y 221＝1D ．4x 225＋4y 221＝1解析：∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5， 故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆， ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.4．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( A )A ．32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)B ．32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0)C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析：设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．5．已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( B )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，∴e ＝2或e ＝12，mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m ＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有4－m 2＝12，∴m ＝3；当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m ＝12，∴m ＝163；当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，可化为x 24－y 2－m ＝1，有4－m2＝2， ∴m ＝－12，∴满足条件的圆锥曲线有3个，故选B.6．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系上的点uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A —B —C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( D )解析：当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y2(0≤y ≤1)，∴y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1)． 当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)， ∴y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D. 二、填空题7．已知△ABC 的顶点 A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是x 29－y 216＝1(x >3)．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为 x 29－y 216＝1(x >3)． 8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足O C →＝O A →＋t (O B →－O A →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是2x －y －2＝0.解析：设 C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.9．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足O Q →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是x 24a 2＋y 24b2＝1.解析：作P 关于O 的对称点M ，连结F 1M ，F 2M ， 则四边形F 1PF 2M 为平行四边形， 所以PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →. 又OQ →＝PF 1→＋PF 2→，所以OP →＝－12OQ →，设Q (x ，y )，则OP →＝⎝⎛⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 又P 在椭圆上，则有⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.三、解答题10．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切．(1)求圆的标准方程；(2)设点A 为圆上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，若动点Q 满足OQ →＝mOA →＋(1－m )ON →(其中m 为非零常数)，试求动点Q 的轨迹方程C 2.解析：(1)设圆的半径为r ，圆心到直线l 1的距离为d ，则d ＝|－22|12＋12＝2＝r ，则圆C 1的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设动点Q (x ，y )，A (x 0，y 0)，∵AN ⊥x 轴交于点N ， ∴N (x 0,0)，由题意，得(x ，y )＝m (x 0，y 0)＋(1－m )·(x 0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝my 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝1my ，将A ⎝⎛⎭⎫x ，1m y 代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 24m 2＝1.即动点Q 的轨迹方程为x 24＋y 24m2＝1.11．在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点)，求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．解析：OM →＝(x,1)，ON →＝(x ，－2)，A 1P →＝(x ＋2，y )，A 2P →＝(x －2，y )． ∵λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →，∴(x 2－2)λ2＝x 2－2＋y 2， 整理得(1－λ2)x 2＋y 2＝2(1－λ2)．①当λ＝±1时，方程为y ＝0，轨迹为一条直线； ②当λ＝0时，方程为x 2＋y 2＝2，轨迹为圆；③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为x 22＋y 22 1－λ2 ＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)时，方程为x 22－y 22 λ2－1 ＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解析：(1)依题意得，c ＝5，e ＝c a ＝53，因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0 ＋y 0，x 29＋y 24＝1，得x 29＋[k x －x 0 ＋y 0]24＝1， 即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0， Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0，整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0.又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)．若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2，经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13.。