高中数学北师大版必修二课件 本章归纳总结1
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北师大版高中数学选择性必修2第一章1.1数列的概念课件PPT
北师大版高中数学教材 选择性必修第二册
第一章 数列
§1：数列的概念
知识与技能：
（1）通过实例，理解数列的概念； （2）理解数列的项和项数,通项的含义,了解数列的分类， 理解数列与函数的关系。
过程与方法：
（1）让学生从日常生活中的实际问题出发，引导学生通 过视察，推导，归纳抽象出数列的概念； （2）通过实例说明项,项数,通项的含义。
（2）数列中的数是可以重复出现，而数集中的元素 具有互异性，不能有相同的元素出现。
情情境境导导入入 新课讲授 讲练巩固 课堂小结 课后作业
2、数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数
列的项.各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首
项)，第 2项，…，第 n 项，….
项 a1 a2
a3 a4 a5 a6
（－1）n或（－1）n＋1常常用来表示正负相间的变化规律． （4）对于周期出现的数列，考虑利用周期函数的知识解答．
情境导入 新课讲授 讲练巩固 课堂小结 课后作业
情境导入 新课讲授 讲练巩固 课堂小结 课后作业
➽目标检测
1、下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（ D ）
A．1，2，3，…，20 B．－1，－2，－3，…，－n，… C．1，2，3，2，5，6，…
《庄子·天下篇》
情境导入 新课讲授 讲练巩固 课堂小结 课后作业
情境二：大自然是懂数学的.
树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列...... 都遵循了某种数学规律.
斐波那契数
情境导入 新课讲授 讲练巩固 课堂小结 课后作业
情境导入 新课讲授 讲练巩固 课堂小结 课后作业
大自然是懂数学的.
树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列...... 都遵循了某种数学规律. 斐波那契数 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，......
第一章 数列
§1：数列的概念
知识与技能：
（1）通过实例，理解数列的概念； （2）理解数列的项和项数,通项的含义,了解数列的分类， 理解数列与函数的关系。
过程与方法：
（1）让学生从日常生活中的实际问题出发，引导学生通 过视察，推导，归纳抽象出数列的概念； （2）通过实例说明项,项数,通项的含义。
（2）数列中的数是可以重复出现，而数集中的元素 具有互异性，不能有相同的元素出现。
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2、数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数
列的项.各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首
项)，第 2项，…，第 n 项，….
项 a1 a2
a3 a4 a5 a6
（－1）n或（－1）n＋1常常用来表示正负相间的变化规律． （4）对于周期出现的数列，考虑利用周期函数的知识解答．
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➽目标检测
1、下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（ D ）
A．1，2，3，…，20 B．－1，－2，－3，…，－n，… C．1，2，3，2，5，6，…
《庄子·天下篇》
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情境二：大自然是懂数学的.
树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列...... 都遵循了某种数学规律.
斐波那契数
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大自然是懂数学的.
树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列...... 都遵循了某种数学规律. 斐波那契数 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，......
高中数学北师大版(2019)选择性必修1-第二章章末知识梳理课件
章末知识梳理要点专项突破知识体系构建知识体系构建圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线线圆锥曲线圆锥曲线要点专项突破要点一直接法求动点的轨迹方程的方法求动点的轨迹方程，实质是建立动点的坐标(x，y)间的关系f(x，y)＝0，解题的关键是认真分析形成轨迹的动点与已知条件的内在联系，选择恰当的方法构建动点的轨迹方程．探求动点轨迹问题的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、交轨法．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，动点Q 满足RQ ⊥PF ，PQ ⊥l .求动点Q 的轨迹方程E.要点二定义法当动点所满足的条件恰符合某曲线的定义时，如到定点的距离等于定长，或到两定点距离之和等于定值(且大于两定点之距)，或到两定点距离之差的绝对值等于定值(且小于两定点之距)等，常利用定义法确定动点的轨迹，结合已知条件求出基本量即得动点的轨迹方程．(1)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．(2)已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4，动圆M与圆O1内切，且与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．(2)如图，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|O1O2|＝4，得点O1(－2，0)，O2(2，0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.所以|MO2|－|MO1|＝3<|O1O2|＝4.要点三相关点法要点四交轨法当动点是两动曲线的交点时，常采用交轨法求动点轨迹方程，即引入变量表示两条动曲线的方程，将两曲线方程联立为方程组并消去变量，所得x，y的方程即为动点的轨迹方程．A ，B 是抛物线y 2＝4ax (a >0)上的两动点，且OA ⊥OB ，OP ⊥AB ，垂足为点P ，求动点P的轨迹．。
北师大版高中数学选择性必修第二册 第一章 §5 数学归纳法
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
②假设当
12
时,1×3
=
1×2
成立.
2×3
2
22
12
n=k(k∈N+)时等式成立,即有1×3 + 3×5+…+1
(+1)2
2
22
12
+ (2+1)(2+3)
=9×(32k+2-8k-9)+64k+64,
故f(k+1)也能被64整除.
综合(1)(2),知当n∈N+时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.
反思感悟用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n=k+1时,代数式可
被除数整除,一般利用构造法,构造出含有除数及n=k时的代数式,根据归纳
假设即可证明.
− 2,则 ak+1 等于(
2-1
1
A.ak+2+1
1
1
B.ak+2+2 − 2+4
1
C.ak+
2+2
1
1
D.ak+
−
2+1
2+2
答案 D
解析
1
1
1
1
1
∵ak=1-2 + 3 − 4+…+
− 2,
2-1
1
1
∴ak+1=ak+2+1 − 2+2.
)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
②假设当
12
时,1×3
=
1×2
成立.
2×3
2
22
12
n=k(k∈N+)时等式成立,即有1×3 + 3×5+…+1
(+1)2
2
22
12
+ (2+1)(2+3)
=9×(32k+2-8k-9)+64k+64,
故f(k+1)也能被64整除.
综合(1)(2),知当n∈N+时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.
反思感悟用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n=k+1时,代数式可
被除数整除,一般利用构造法,构造出含有除数及n=k时的代数式,根据归纳
假设即可证明.
− 2,则 ak+1 等于(
2-1
1
A.ak+2+1
1
1
B.ak+2+2 − 2+4
1
C.ak+
2+2
1
1
D.ak+
−
2+1
2+2
答案 D
解析
1
1
1
1
1
∵ak=1-2 + 3 − 4+…+
− 2,
2-1
1
1
∴ak+1=ak+2+1 − 2+2.
)
北师大版高中数学必修2课件第一章空间图形的公理(二)
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
3．空间中有两个角 α，β，且角 α，β 的两边分别平行．若 α＝60°，则 β ＝________.
提示：60°或 120° 因为 α 与 β 两边对应平行，但方向不确定，所以 α 与 β 相等或互补．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
解析
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
3．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 BC，CC1 的中 点，则异面直线 EF 与 B1D1 所成的角为________．
答案 60°
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
答案
解析 连接 BC1，BD，DC1，因为 EF∥BC1，B1D1∥BD，所以∠C1BD 即为异面直线 EF 与 B1D1 所成的角或其补角．因为△C1BD 为正三角形，所 以∠C1BD＝60°，即异面直线 EF 与 B1D1 所成的角为 60°.
求证：(1)D1E∥BF； (2)∠B1BF＝∠D1EA1.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
证明 (1)取 BB1 的中点 M，连接 EM，C1M. 在矩形 ABB1A1 中，易得 EM 綊 A1B1，
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
答案
∵A1B1 綊 C1D1，∴EM 綊 C1D1，
答案
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
类题通法 求两条异面直线所成的角的一般步骤
第1章 §2 直观图-2020秋北师大版高中数学必修二课件(共55张PPT)
小 结
·
探
提
新 你发现直观图的面积与原图形面积有何关系？
素
知
养
合
课
作
时
探
分
究
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
32
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
探
提示：由题意，易知在△ABC 中，AC⊥AB，且 AC＝6，AB＝3， 提
·
新
素
知
∴S△ABC＝12×6×3＝9.
养
合
课
作 探 究
又
S△A′B′C′＝12×3×(3sin
45°)＝9 4 2，∴S△A′B′C′＝
结
探
OB＝2O′B′＝2 2，OC＝O′C′＝AB＝
·
提
新
素
知 A′B′＝1，
养
·
·
合
且 AB∥OC，∠BOC＝90°.
BC ＝ B′C′ ＝ 1 ＋
2，在
y
轴上截取线段
BA ＝
课 堂
预
小
习 2B′A′＝2.
·
结
探
提
新 知
过 A 作 AD∥BC，截取 AD＝A′D′＝1.
素 养
·
·
合
连接 CD，则四边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的平面图 课
作
时
探 形．
分
究
层
释 疑
四边形 ABCD 为直角梯形，上底 AD＝1，下底 BC＝1＋
自
课
主
堂
预
小
习
结
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第一章§6.2
(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
栏目 导引
第一章
立体几何初步
【证明】 (1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB ＝60°， ∴△ABD为正三角形． ∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD.
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 线面垂直的性质定理的应用 例1 如图,已知直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b, 平面α∩β＝c.求证：AB∥c.
栏目 导引
第一章
立体几何初步
【证明】 如图，过点 B 作直线 a′∥ a， a′与 b 确定的 平面设为 γ. 因为 a′∥ a， AB⊥ a，所以 AB⊥ a′， 又 AB⊥ b，a′∩b＝ B， 所以 AB⊥ γ. 因为 b⊥ β， c β， 所以 b⊥ c.① 因为 a⊥ α， c α，所以 a⊥ c， 又 a′∥a，所以 a′⊥ c.② 由①②可得 c⊥ γ，又 AB⊥ γ，所以 AB∥ c.
栏目 导引
第一章
立体几何初步
做一做
判断下列说法是否正确．
(1)若两个平面垂直，经过一个平面内一点垂直于另一平
面的垂线必在该平面内．( √ ) (2)垂直于同一平面的两直线平行．( √ ) (3)两平行直线中，若其中一条垂直于平面，则另一条直 线也垂直于该平面．( √ )
栏目 导引
第一章
立体几何初步
(3)直线必须垂直于两平面的交线．
栏目 导引
第一章
立体几何初步
跟踪训练 2．如图，S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面 SAB⊥平面SBC. 求证：AB⊥BC.
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第一章§1.1
圆锥；若绕其斜边所在的直线旋转得到的是两个同底面圆锥
构成的一个几何体，如图(1)．B项错误，没有说明这两个平行 截面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确，其他
情况则结论是错误的，如图 (2) ． D 项错误，通过圆台侧面上
一点，只有一条母线，如图(4)．C项正确，如图(3)．
栏目 导引
第一章
由圆柱、圆锥、圆台定义可知,三者分别为矩形、
三角形、直角梯形旋转而得，所以其上、下底面都是圆面， 故正确； B 圆台的母线是直角梯形不垂直于旋转轴的边，不
是上、下底面圆周上任意两点的连线，故错误； C 球的截面
一定是圆，用平行于圆柱底面的面截圆柱得到的截面是圆， 其他平面截得的截面不是圆，故错误； D 以直角三角形的一 条直角边所在的直线为轴旋转，其余各边旋转而成的旋转面 形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥，以斜边为轴旋转形成
第一章
立体几何初步
第一章 立体几何初步
栏目 导引
第一章
立体几何初步
§1 简单几何体
1．1 简单旋转体栏目 导引Fra bibliotek第一章
立体几何初步
学习导航
学习目标
理解
实例 ― ― → 旋转体
了解
― ― → 圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征 重点难点 重点：圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．
难点：多面体和旋转体概念的理解及几何体形状的判断．
栏目 导引
第一章
立体几何初步
想一想 2.“ 直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体必是圆
锥”，这种说法正确吗？
提示：不正确，当以斜边所在直线为轴旋转时，其余各边 旋转形成的曲面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，是
由两个同底圆锥组成的几何体．
2020年新课标高中数学北师大版必修2课件1.5.2
求证：AP∥GH．
数
学
必 修
[思路分析] 欲证线线平行，往往先证线面平行，再由线面平行的性质定理
·
② 可证得线线平行．
北
师
大
版
返回导航
第一章 立体几何初步
[解析] 连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴O 是 AC 的中点．又 M 是 PC 的中点，∴AP∥OM．
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．
A．①②③④
B．①②③
C．②④
D．①②④
数
[解析] 由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②
学 必
正确．因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个
返回导航
·
第一章 立体几何初步
(2)符号表示 a__∥____α a______ β⇒a∥b． α∩β＝b
(3)图形表示
数 学 必
(4)简记为：线面平行⇒线线平行．
修
②
·
北 师 大 版
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第一章 立体几何初步
2．平面与平面平行的性质定理
(1)定理内容 如果两个__平__行____平面同时与第三个平面相交，那么它们的__交__线____平行．
大
版
返回导航
第一章 立体几何初步
(2)若 AB、CD 不共面，如图，过 A 作 AE∥CD 交 α 于 E，取 AE 中点 P，连
接 MP、PN、BE、ED．
∵AE∥CD，∴AE、CD 确定平面 AEDC．
北师大版高中数学必修2课件1.3简单组合体的三视图课件(北师大版)
平行投影
把在一束平行光线照射下形成的投影，叫平行投影
投影线平行
投影法分类 投影法
中心投影法 平行投影法 正投影 斜投影
一、三视图相关概念
视图
正投影
从上面看
主视图
正面
主视图 高 长
左视图 宽 宽
从左面看
俯视图
从正面看
你能总结出三视图的概念吗
三视图概念：
将空间图形分别从正面，左面和上面向三个两两 垂直的平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布
作业
1.预习下一节“三视图的还原” 2.课本P22 习题1.2 A组 1、2
4.检查。
我相信你一定能画 出这个复杂几何体 的三视图！
巩固提高
10 6 12 8
组合体的三视图
归纳总结
1.三视图 主视图——从正面看到的图 左视图——从左面看到的图
俯视图——从上面看到的图
2.画物体的三视图时,要符合如下原则: 位置： 主视图 左视图 俯视图 大小：长对正,高平齐,宽相等。
北京师范大学出版社 | 必修二
第一章 · 立体几何初步
简单组合体的三视图
横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。 不识庐山真面目， 只缘身在此山中。 ——苏轼
新课导入
中心投影
把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影
投影线交于一点，随着 物体距离光源（屏幕） 的远近，形成的投影大 小不同，相似图形。
局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的
三视图。
三视图的形成及其投影规则(1)
三视图的形成及其投影规则(2)
二、三视图的作图规则 主—俯：长对正 主—左：高平齐 左—俯：宽相等
主 视 图 左视图
俯视图
北师大版高中数学-必修第二册-第一章三角函数-§4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义课件
重要的不是知识的数量，而是知识的质量， 有些人知道很多很多，但却不知道最有用的东 西.
——列夫•托尔斯泰
函数值、余弦函数值. 解 先考虑角α的终边不在坐标轴上的情况.
设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的
坐标为(cosα,sinα),且OP=1.
点Q(x,y)在角α的终边上,则OQ= x2 y2 . 分别过点P,Q作x轴的垂线PM，QN垂足为M,N.
易知△POM∽△QON.所以
PM
QN
，即
sin α
§4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函 数的定义
任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念 之一. 起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的 喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相 当长的时期里隶属于天文学.直到1464年，德国数学家雷 格蒙塔努斯著《论各种三角形》，才独立于天文学之外 对三角知识作了较系统的阐说.
sin MP v v, cos OM u u.
OP 1
OP 1
由此可知，对于锐角α来说，点P的纵坐标v 是该角的正弦函数值，记作v=sinα;点P的横 坐标u是该角的余弦函数值，记作u=cosα.
探究点2 任意角的正弦函数和余弦函数
给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为 P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述锐角 三角函数的定义，把点P的纵坐标v定义为 角α的正弦值，记作v=sinα;把点P的横坐标 u定义为角α的余弦值,记作u=cosα.
∴y＝－8.
4．已知
sin
x＝2m＋3，且
x∈
－π，π 66
，求
m
的取值范围．
解
∵x∈
－π，π 66
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成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
9．判定两个平面平行的方法 (1)依定义采用反证法； (2)利用判定定理： a∥β，b∥β，a α，b α，a∩b＝A⇒α∥β； (3)垂直于同一条直线的两个平面平行： a⊥α，a⊥β⇒α∥β； (4)平行于同一平面的两个平面平行： α∥γ，β∥γ⇒α∥β.
2．旋转体的结构特征 旋转体是一个封闭平面图形沿一个轴旋转生成的，一定要 弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转生成 的，从而可掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自 的性质． 3．表面积与体积的计算 有关柱、锥、台、球的表面积和体积的计算，应以公式法 为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的 几何元素．
11．判定两个平面垂直的方法 (1)利用定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂 直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直， 就称这两个平面互相垂直． (2)判定定理：a α，a⊥β⇒α⊥β.
第一章 本章归纳总结
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12．垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂 线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂 线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟 练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问 题的关键．
第一章 本章归纳总结
1．多面体的结构特征 对于多面体的结构要从其反映的几何体的本质去把握，棱 柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系，棱柱可以 看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为 一点的棱台，因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个 公式．
第一章 本章归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
第一章 本章归纳总结
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[例 2] 如下图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝3 3，BC＝ 3.沿对角线 BD 将△BCD 折起，使点 C 移到点 C′，且 C′O ⊥平面 ABD 于点 O，点 O 恰在 AB 上．
(1)求证：BC′⊥平面 AC′D； (2)求点 A 到平面 BC′D 的距离．
第一章 本章归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
(2)如图所示，过 A 作 AE⊥C′D，垂足为 E. 因为 BC′⊥平面 AC′D， 所以平面 BC′D⊥平面 AC′D. 所以 AE⊥平面 BC′D. 故 AE 的长就是 A 点到平面 BC′D 的距离． 由(1)知 AD⊥平面 ABC′， 所以 DA⊥AC′.
第一章 本章归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
(2)设内切球的半径为 r，作 SE⊥平面 ABCD，垂足为点 E， 作 SF⊥BC 于点 F，连接 EF，
则有 SF＝ SB2－BF2 ＝ 2a2－a22＝ 27a， S△SBC＝21BC·SF＝ 47a2. S 棱锥全＝4S△SBC＋S 底＝( 7＋1)a2. 又 SE＝ SF2－EF2＝ 27a2－a22＝ 26a，
第一章 本章归纳总结
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涉及“切”“接”问题的有关计算 “切、接”问题主要涉及球，一般来说需将问题转化为平 面问题，作一适当的截面，如圆锥的轴截面，球的大圆，多面 体的对角面等，这个截面必须反映出体与体之间的位置关系和 数量关系． [例 3] 已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a， (1)求它的外接球的体积； (2)求它的内切球的表面积．
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专题探究
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空间几何体的三视图及面积、体积问题
1.考查空间几何体的三视图与几何体之间的相互转化，进 而考查空间想象能力．解决此类问题的主要依据是三视图的概 念及画法规则．
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10．平行关系的转化
由上面的框图易知三者之间可以进行任意转化，因此要判 定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题 时应把握这一点，灵活确定转化的思路和方向．
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4.三视图与直观图的画法 三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几 何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空 间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间 几何体的形状，两者之间可以相互转化． 5．直线和平面平行的判定方法 (1)定义：a∩α＝∅⇒a∥α； (2)判定定理：a∥b，a α，b α⇒a∥α； (3)线面平行的性质：b∥a，b∥α，a α⇒a∥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a α⇒a∥β.
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7．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义：a 与 α 内任何直线垂直⇒a⊥α； (2)判定定理 1： lm⊥、mn，αl⊥，nm∩n＝A⇒l⊥α； (3)判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； (5)面面垂直的性质；α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l⇒a⊥β.
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[规律总结] 1.翻折与展开是一个问题的两个方面，不论是 翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素 的相对变化及元素间的大小与位置关系哪些不变，哪些变化， 这是至关重要的．
2．本题通过作 AE，再证 AE⊥面 BC′D，按照点到平面 的距离的定义去找垂线段的方法得到距离．通常有“积不离 高”的说法，于是该例的距离也可用等体积法求得：设 A 到平 面 BC′D 的距离为 h，则有 VB－AC′D＝VA－BC′D，即13BC′·S△A′CD ＝13h·S△BC′D.
1 知识结构
2 知识梳理
3 专题探究 4 即时巩固
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知识结构
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平面图形的翻折问题
将平面图形沿直线翻折成立体图形，实际上是以该直线为 轴的一个旋转．要用动态的眼光看问题．
求解翻折问题的基本方法是：先比较翻折前后的图形，弄 清在翻折过程中点、线、面之间的位置关系、数量关系中，哪 些是变的，哪些不变，特别要抓住不变量，一般地，在同一个 半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及两个半平面内 的几何元素之间的关系是变化了的，然后将不变的条件集中到 立体图形中，将问题归结为一个条件与结论均明朗化的立体几 何问题．
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[规范解答] (1)因为 C′O⊥平面 ABD，O 在 AB 上，AD 平面 ABD，所以 C′O⊥DA.
因为 AB⊥DA 及 AB∩C′O＝O， 所以 DA⊥平面 ABC′，BC′ 平面 ABC′. 所以 DA⊥BC′. 又因为 BC⊥CD， 所以 BC′⊥C′D. 因为 DA∩C′D＝D， 所以 BC′⊥平面 AC′D.
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章 立体几何初步
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第一章 本章归纳总结
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8．证明线线垂直的方法 (1)定义：两条直线所成的角为 90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a⊥α，b α⇒a⊥b； (4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
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[解析] (1)设外接球的半径为 R，球心为 O，则 OA＝OC ＝OS，∴点 O 为△SAC 的外心，即△SAC 外接圆的半径就是外 接球的半径．
∵AB＝BC＝a，∴AC＝ 2a. ∵SA＝SC＝AC＝ 2a，∴△SAC 为正三角形． 不难求出外接球的半径为 R＝ 36a， ∴V 球＝34πR3＝8276πa3.
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知识梳理
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在 Rt△AC′B 中，AC′＝ AB2－BC′2＝3 2.