10 第11讲_变号级数敛散性判别方法
级数收敛的判别方法
级数收敛的判别方法级数是数学中一个重要的概念，它是由一列数相加而成的无穷和。
在实际问题中，我们经常会遇到级数，而判断级数是否收敛是一个十分重要的问题。
本文将介绍几种常见的级数收敛的判别方法，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、正项级数收敛判别法。
对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果数列$a_n$单调递减且趋于零，即$a_{n+1} \leq a_n$且$\lim_{n \to\infty}a_n=0$，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛；反之，如果$a_n$不趋于零，或者不单调递减，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散。
二、比较判别法。
设$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$是两个级数，且在$n>N$时有$0 \leq a_n \leq b_n$，若$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛；若$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$也发散。
三、比值判别法。
对于级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，计算$\lim_{n \to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$，若该极限存在且小于1，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛；若大于1或者极限不存在，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散。
四、根值判别法。
对于级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，计算$\lim_{n \to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$，若该极限存在且小于1，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛；若大于1或者极限不存在，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散。
数项级数敛散性判别方法
数项级数敛散性判别方法数项级数是由一系列项相加而得的无穷级数，其中每个项都是一个数字。
判定一个数项级数的敛散性是非常重要的，因为这决定了级数是否收敛（最终总和有一个有限的值）或者发散（最终总和无穷大）。
在数学中，有许多方法用于确定数项级数的敛散性。
下面将介绍一些常用的方法。
1.利用比较判别法：如果一个数项级数的项的绝对值可以比较为另一个已知的收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小，那么可以通过比较判别法来判断原数项级数的敛散性。
a)如果一个级数的项的绝对值总是大于一个收敛级数的项的绝对值的大小，那么原级数也发散。
b)如果一个级数的项的绝对值总是小于一个发散级数的项的绝对值的大小，那么原级数也收敛。
c)如果一个级数的项的绝对值与一个收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小相同，那么原级数的敛散性不能确定。
2.利用比值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的比值，并观察这个比值的极限。
a) 如果比值极限小于1，即lim，A(n+1)/A(n)， < 1，那么级数A收敛。
b) 如果比值极限大于1，即lim，A(n+1)/A(n)， > 1，那么级数A发散。
c) 如果比值极限等于1，即lim，A(n+1)/A(n)， = 1，那么比值判别法无法确定级数A的敛散性。
3.利用根值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的根值，并观察这个根值的极限。
a) 如果根值极限小于1，即lim√(，A(n)，) < 1，那么级数A收敛。
b) 如果根值极限大于1，即lim√(，A(n)，) > 1，那么级数A发散。
c) 如果根值极限等于1，即lim√(，A(n)，) = 1，那么根值判别法无法确定级数A的敛散性。
4.绝对收敛性和条件收敛性：如果一个级数的各项的绝对值所组成的级数收敛，那么称原级数是绝对收敛的。
否则称为条件收敛的。
5.交错级数的收敛判别法：交错级数是由正项和负项交替出现的级数。
a)如果交错级数的交错项（即正项和负项的绝对值所组成的级数）满足单调递减且趋于零，那么交错级数收敛。
高等数学 数项级数的敛散性判别法 课件
定理4 定理 . 比值判别法
un+1 设 为正项级数, 且 lim = ρ, 则 n→∞ un (1) 当 ρ < 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 或 ρ = ∞ 时, 级数发散 .
证: (1) 当ρ < 1时,
un+1 知存在 N ∈Z , 当n > N 时, < ρ + ε <1 un
un = 2 vn − un
n=1
n=1
∑ un , ∑2vn 收敛
n=1
∞
∞
n=1
∑un 也收敛
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∞
例7. 证明下列级数绝对收敛 : 2 ∞ ∞ sin nα nn (1) ∑ ; (2) ∑(−1) . n4 en n=1 n=1
sin nα 1 证: (1) Q ≤ 4,而 4 n n
S2n = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) −L− (u2n−2 − u2n−1)
− u2n
是单调递增有界数列, 故 又
n→∞
lim S2n+1 = lim( S2n + u2n+1)
n→∞
故级数收敛于S, 且 S ≤ u1,
= ±(un+1 − un+2 +L)
∴ rn = un+1 − un+2 + L ≤ un+1
1) un ≥ un+1 ( n = 1, 2, L);
2)
∞
n→∞
lim un = 0,
n−1 则级数 ∑(−1) un收敛 , 且其和 S ≤ u1, 其余项满足 n=1
级数敛散性的判别法定稿 - 副本
摘要级数有很多重要的性质，其中敛散性是级数的一个非常重要的性质，敛散性的判别方法也一直是人们研究的热点。
通过判别级数的敛散性可以进一步了解级数的性质。
本文探讨了正项级数、交错级数以及任意项级数敛散性的判别方法，正项级数、交错级数、一般项级数通项的多变性,决定了判别正项级数、交错级数、任意项级数敛散性的方法会有很多种，常用的有达朗贝尔判别法、柯西判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法。
当然由于通项的特殊性也会有特殊的判别方法。
本文通过归纳一些判别正项级数与交错级数敛散性的方法,让人们在学习过程中对级数敛散性的判别能够很好的把握，并掌握这些判别法成立的条件。
关键词：正项级数、交错级数、敛散性、判别法AbstractThe series has a lot of important properties, which is the series convergence and divergence of a very important properties, criteria for convergence and divergence has been the focus of study. Through judging the convergence of series to further understand the series nature. This article of the series of positive terms, staggered series as well as any series convergence and divergence sexual discrimination method, a series of positive terms, staggered series, series of any general variability, determines the identification of series of positive terms, staggered series, any of the convergence of the series will have a variety of methods, mainly the Darren Bell discriminant method, Cauchy method, Leibniz method,Dirichlet discrimination method. Of course due to the particularity of the general will also have the special methods of discrimination. This paper summarized some criteria for positive term series and the convergence of alternate series method, let people in the learning process of convergence of series of discrimination can be a very good grasp of, and grasp the discrimination conditions.Key words:Series of positive terms, Alternating series, Convergence and d ivergence, Discrimination analysis method目录第1章绪论 (1)第2章正项级数敛散性的判别方法 (2)2.1 基本判别方法 (2)2.2 特殊判别方法 (3)第3章交错级数敛散性的判别方法 (9)3.1 基本判别方法 (9)3.2 特殊判别方法 (10)第4章任意项级数敛散性判别法 (16)第5章结论 (19)参考文献 (20)致谢 (22)第1章绪论级数理论的发展经历了一个相当漫长的时期，17世纪到18世纪，可以说是级数理论发展的黄金时期，先是1669年夏牛顿详细写下关于级数研究的论文《用无限多项方程的分析学》,然后是莱布尼兹用同样的方法得到了结果，再然后是格雷戈、泰勒，并且发展了泰勒定理，还有拉格朗日、斯特林等一系列的数学家级数理论的研究都做出了巨大的贡献。
变号级数及其判敛法
变号级数作为数学的一个分支，与其他数学分支有着密切的联系，未来研究将进一步探 索变号级数与其他数学分支的内在联系。
06
结论
变号级数在实际应用中的价值
解决工程问题
在工程领域中，许多问题可以通过变号级数进行建模和求解，如电路分析、信号处理等。通过研究变号级数，可以更 有效地解决这些实际问题。
理论意义
变号级数在数学分析中具有重要地位 ，是研究级数收敛性的一种重要类型 。
应用价值
变号级数在解决实际问题中也有广泛 的应用，如物理、工程、经济等领域 中的问题可以通过变号级数的应用得 到解决。
变号级数的重要性
理论意义
变号级数在数学分析中具有重要地位 ，是研究级数收敛性的一种重要类型 。
应用价值
要点二
详细描述
比较审敛法的基本思想是，如果一个级数比另一个已知收敛 或发散的级数更“小”，那么原级数也应该是收敛或发散的。 具体来说，如果存在一个正数M，使得对于所有n，有 ∣un∣⩽∣vn∣⩽M，并且级数∑vn是收敛的，那么级数∑un也 是收敛的。
极限审敛法
总结词
极限审敛法是通过判断级数的一般项趋 于零的速度来判断级数的收敛性。
信号处理
在信号处理中，变号级数可以用于表示和恢复信号，例如在图像 处理和语音识别等领域。
06
结论
工程计算
01
02
03
计算机图形学
在计算机图形学中，变号 级数可以用于生成复杂的 曲线和曲面，用于制作动 画和游戏等。
控制系统
在控制系统中，变号级数 可以用于描述系统的动态 行为和稳定性，例如在航 空航天和机器人等领域。
比较审敛法
要点一
总结词
数项级数的敛散性判别法-数项级数敛散性判别法
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性.
解:根据比较判别法的极限形式知
例4. 判别级数
解:根据比较判别法的极限形式知
～
定理4 . 比值判别法
设 为正项级数, 且
则
(1) 当(2) 当证: (1)
时, 级数收敛;或 时, 级数发散.
收敛, 由比较判别法可知
因此
所以级数发散.
2) 若
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在 对一切
发散.
证: 因为
而级数
发散
根据比较判别法可知, 所给级数发散.
例2. 证明级数
定理3. (比较判别法的极限形式) 设两正项级数满足 则有
当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散;当 l = 0当 l =∞证: 据极限定义,
由定理 2 可知
(3) 当l = ∞时,
即
由定理2可知, 若
发散,
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散;
由定理2 知
(2) 当l = 0时,若 收敛,
是两个正项级数,
(1) 当
特别取
(2) 当
且
(3) 当
时, 两个级数同时收敛或发散;收敛时, 也收敛;
且 发散时, 也发散.对正项级数 可得如下结论:
第二节
数项级数敛散性判别法一、正项级数敛散性判别法二、交错级数与任意项级数的敛散性
第五章
一、正项级数及其判别法
收敛
部分和序列
有界.
收敛,
∴部分和数列
有界, 故
又已知
故有界.
若 则称定理 1. 正项级数
为正项级数.
数学毕业论文级数敛散性的判别方法
淮北师范大学信息学院2012 届学士学位论文级数敛散性的判别方法系别:数学系专业:数学与应用数学学号: 20081884083姓名: 赵高指导教师: 陈冬君指导教师职称: 讲师2012年 5 月10 日级数敛散性的判别方法赵高(淮北师范大学信息学院，淮北，235000)摘要级数有很多重要的性质，其中敛散性是级数的一个非常重要的性质，敛散性的判别方法也一直是人们研究的热点.通过判别级数的敛散性进一步了解级数的性质.本文探论了正项级数、交错级数以及任意项级数敛散性的判别方法，正项级数、交错级数、任意项级数通项的多变性,决定了判别正项级数、交错级数、任意项级数敛散性的方法会有多种，主要有达朗贝尔判别法、柯西判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法.当然由于通项的特殊性也会有特殊的方法判别.本文通过归纳一些判别正项级数与交错级数敛散性的方法,让人们在学习过程中对级数敛散性的判别能够很好的把握，并掌握这些判别法成立的条件.关键词：正项级数、交错级数、敛散性、判别法.The Convergence of the Series of Discriminant MethodZhao GaoCollege of Information Technology Huaibei Normal University, Huaibei,235000AbstractThe series has a lot of important properties, which is the series convergence and divergence of a very important properties, criteria for convergence and divergence has been the focus of study. Through judging the convergence of series to further understand the series nature. This article of the series of positive terms, staggered series as well as any series convergence and divergence sexual discriminant method, a series of positive terms, staggered series, series of any general variability, determines the identification of series of positive terms, staggered series, any of the convergence of the series will have a variety of methods, mainly the d'Alembert discriminant method, Cauchy method, Leibniz method, di Like dilichlet discriminance. Of course due to the particularity of the general will also have the special methods of discriminant. This paper summarized some criteria for positive term series and the convergence of alternate series method, let people in the learning process of convergence of series of discriminant can be a very good grasp of, and grasp the discriminant conditions.Key words: Series of positive terms，Alternating series，Convergence and divergence，Discriminant analysis method目录引言 (1)一、级数及其敛散性的有关概念 (1)二、正项级数敛散性的判别方法 (2)1、比式判别法（达朗贝尔判别法） (2)2、根式判别法（柯西判别法） (3)3、拉贝判别法 (4)4、高斯判别法 (5)5、对数判别法 (5)6、隔项比值判别法 (5)7、运用微分中值定理判别级数敛散性 (6)8、利用数列判别级数的敛散性 (6)9、运用等价无穷小替换判别级数的敛散性 (7)三、交错级数敛散性的判别方法 (8)1、利用级数敛散性定义判定 (8)2、莱布尼茨判别法 (9)3、极限判别法 (10)4、添加括号法 (11)5、通项变形法 (12)6、微分形式判别法 (13)7、比值判别法或根值判别法 (14)四、任意项级数敛散性判别法 (15)总结 (16)参考文献 (16)致谢 (17)引言级数是数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及数值计算的一种工具.对于一个级数，我们首先要讨论其敛散性，然后才讨论其求和问题.本文就级数的敛散性的判别方法作了一些探讨.正项级数和交错级数是整个级数家族中比较重要和特殊的.对其敛散性的判别方法也有别于一般的级数，除适用于一般级数的敛散性判别法外，还有许多专门针对正项级数和交错级数敛散性的判别方法，常见的如达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法、微分形式判别法等.其实正项级数敛散性的判别方法远不止这些，下面就介绍几种级数敛散性的判别法.一、级数及其敛散性的有关概念定义1 给定数列{n u }：1u ,2u ,,nu则式子=1n n u ∞∑=12n u u u ++++称为无穷级数，简称为级数.定义2 如果级数=1n n u ∞∑满足n u ≥0（n =1，2，）则称=1n n u ∞∑为正项级数.如果级数是正负项交错出现的，即11234=1=+u n n n u u u u ∞---+∑（-1），或11234=1=+u +u n n n u u u ∞---∑（-1）(n u ≥0，n =1,2) 则称为交错级数.由定义，级数表示无穷多个数的和，但不能理解为无穷多个数逐次求和.事实上，这样也做不到.利用数列极限可以表示级数的和，同时给出级数敛散性的定义.定义3 级数=1n n u ∞∑前n 项之和记为S n =12n u u u +++，称为级数=1n n u ∞∑的第n 次部分和. 当n 分别取1,2, ,n ,时，得到级数=1n n u ∞∑的部分和数列{n S }：12,,,,n S S S 如果当n →∞时，n S 的极限存在，即lim =n n S S →∞时，则称级数=1n n u ∞∑是收敛的，且S 称为级数=1nn u∞∑的和，记为S ==1n n u ∞∑;如果当n →∞时，n S 的极限不存在, 即lim n n S →∞不存在，则称级数=1n n u ∞∑是发散的.由定义，只有收敛的级数才有和的问题，发散的级数没有和，或者说发散级数的和不存在.所以有必要研究级数的敛散性.由于正项级数是各项的符号均为正号的级数，它是数项级数中最简单也是最有代表意义的数项级数. 所以它收敛的最基本的判别方法也是从级数的判敛性质中引出，因此本文先讨论正项级数的敛散性. 有了着一方法来判断某些简单的正项级数的敛散性后，以它作为参照，可以判断另外一些稍微复杂的正项级数的敛散性.下面先来介绍正项级数敛散性的判别方法.二、正项级数敛散性的判别方法1、比式判别法（达朗贝尔判别法）定理[]11 设有正项级数=1n n u ∞∑，如果+1lim=n n nu l u →+∞，则（1） 当0≤l <1时，级数收敛； （2） 当1<l ≤+∞时，级数发散； （3） 当l =1时，此法失效. 例1 判断正项级数=12nn n∞∑的敛散性. 解：1121(1)limlim lim lim ()2(1)(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n en++→+∞→+∞→+∞→+∞+=<==+++<1所以满足定理1中的（1），故正项级数=12nn n∞∑收敛. 例2 判别正项级数=12!n n ∞∑的敛散性. 解：由2!1(1)!lim lim lim 02(1)!1!n n n n n n n n →+∞→+∞→+∞+===++可知满足定理1中的（1），所以正项级数=12!n n ∞∑收敛. 像正项级数 =1x !nn n ∞∑（x>0）、=1!10n n n ∞∑等都可采用此法判断.2、根式判别法（柯西判别法）定理[]12 设有正项级数=1n n u ∞∑，如果n l ，则（1）当0≤l <1时，级数收敛； （2）当1<l ≤+∞时，级数发散； （3）当l =1时，此法失效.例3 研究级数=12+12nnn ∞-∑（）的敛散性. 解：由于12n n →∞=<所以级数2+12nn-∑（）是收敛的. 注：级数=12n n n ∞∑、=1+1nn na n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ (0)a >、-1=1n n n αβ∞∑（α>0,β>0）等都可采用此法判 断.比式判别法与根式判别法都是建立在正项级数比较判别法基础上的，所用的比较级数是收敛速度相对比较快的等比级数.这两种方法虽然更方便，但是它们也只能用于判别那些比等比级数收敛速度更快的级数，而对于那一类比等比级数收敛速度更缓慢的级数，这两种判别法就无能为力了.这两种判别方法是我们用得比较多，因为它们用起来很方便.但是，对于比值判别法与根值判别法存在两点不足：1) 当=1l 时，判别法失效，既有收敛的，也有发散的级. 2) 判别法可能由于 l 根本不存在而失效.3、拉贝判别法定理[]43 （拉贝判别法） 设n u >0 （n =1,2,3）1。
变号级数
n 1
(a1 a2 ) 1 (a2 a3 ) 2 (an1 an ) n1 an n .
y
a1 a2
ai bi
i 1
5
表示以bi 为底,以ai 为高的所有 竖条矩形面积之和 .
(ai ai 1 ) i a5 5
i 1
i 1
n
根据柯西收敛准则，级 数收敛 anbn
雷
雷
定理13 阿贝尔判别法
若级数 anbn满足下列条件, 则级数 anbn收敛.
n 1 n 1
(1)数列{an }单调有界；
(2)级数 bn收敛.
n 1
定理12 狄利克雷判别法
收敛 下界 收敛
以上两个判别法的条件互有强弱： 狄利克雷判别法中 {an }单调减少，趋于0 的条件比阿贝尔判别法中{an }单调有界的条件强. 而Bn bk 有界的条件则弱于阿贝尔判别法中
变号级数
一般项级数 任意项级数
变号级数定义
若级数
u ，既有无限(
n 1 n
无穷
)多项是正数,又有
无限多项是负数,则称此级数是变号级数.
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
(un 0)
特殊的变号级数----交错级数
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数． 若级数的项依次是正数和负数(各项符号正负)相间, 即
51
a3
a5
a4
b1 b2 b3 b4
1 2
3
4
b5
5
x
级数 anbn与积分 （ f x）（ g x）dx作比较，
b n 1 a
形式有相似之处.
级数的敛散性
学士学位论文题目有关级数的敛散性学生指导教师年级 2008级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院2011年5月目录摘要 (1)关键词 (1)引言 (1)1 基本概念和相关理论 (1)1.1 有关级数的定义 (1)2 级数敛散性的判定方法 (3)2.1 级数的相关定理及证明 (3)3 级数敛散性的应用 (7)3.1 级数敛散性的相关结论 (7)3.2 级数敛散性判定的应用 (10)结束语 (14)参考文献 (14)外文摘要 (14)有关级数的敛散性（哈尔滨师范大学数学科学学院）摘 要: 级数是高等数学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分，判别正项级数的敛散性方法很多，本文主要讨论了正项级数判别法的一些特性，及判别正项级数敛散性的一般步骤关 键 词 数项级数 收敛 发散 判别法引言数项级数敛散性判定研究是一个重要而有趣的课题，关于数项级数的敛散性判定尽管有不少经典性判别法，然而对数项级数判断收敛的方法的研究至今还在继续与深入，并且获得了一些新的知识和发现.本文打算对数项级数各项重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳，在已有判断收敛的一般程序基础上，进行进一步探讨，使解题更简便、更直接，从而找到判断收敛更完美的一般程序及最优方法选择.1基本概念和相关理论1.1有关级数的定义定义1.1.1 给定一个数列{}n u ,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式12......n u u u ++++ （1）称为数项级数或无穷项级数（也简称为级数），其中n u 称为数项级数（1）的通项.数项级数(1)也常写作:∑∞=1k n u 或简称写作∑n u .数项级数(1)的前n 项之和,记为n nk k n u u u u S +++==∑=...211, （2）称为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称为部分和.定义1.1.2 若数项级数(1)的部分和数列{}n S 收敛于S(即S S n n =∞→lim ),则称数项级数(1)收敛,称S 为数项级数(1)的和，记作12......n u u u ++++ 或∑=n u S .若{}n S 是发散数列,则称数项级数(1)发散.定义1.1.3 若正项级数各项的符号都相同,则称它为同号级数.各项都是由正项组成的级数称为正项级数定义1.1.4若级数的各项符号正负相间，即11234...(1)...(0,1,2,)n n n u u u u u u n +-+-++-+>= ，则上述级数为交错级数2 级数敛散性的判定方法2.1 级数的相关定理及证明定理 2.1.1 由于级数(1)的收敛或发散（简称敛散性），是由它的部分和数列{}n S 来确定的，因而可把级数（1）作为数列{}n S 的另一种表现形式.反之任给一个数列{}n a ，如果把它看作某一数项级数的部分和数列，则这个数项级数就是 +-++-+-+=-∞=∑)()()(1231211n n n n a a a a a a a u （3）这是数列{}n a 与级数（3）具有相同的敛散性，且当{}n a 收敛时，其极限值就是级数（3）的和.定理2.1.2 (级数收敛的柯西准则) 级数（1）收敛的充要条件：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当N m >以及对任意正整数p ，都有12m m m p u u u ε++++++< (5) 即有级数（1）发散的充要条件：存在某正整数0ε，对任何正整数N ，总存在整数)(0N m >和0p ，有12m m m p u u u ε++++++<定理2.1.3 若级数（1）收敛，则0lim =∞→n n u （6）定理2.1.4 若级数nu∑和n v ∑都收敛，则对任意常数c ，d ，级数()n n cu dv +∑亦收敛，且()nn n n cudv c u d v +=+∑∑∑定理2.1.5 去掉、增加或改变级数的有限个项不改变级数的敛散性.定理2.1.6 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和.注意：从级数加括号的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛.例如(11)(11)(11)000-+-++-+=+++收敛，但级数1111-+-+却是发散的.定理2.1.7 正项级数nu∑收敛的充要条件是：部分和数列{}n S 有界，即存在某正整数N ，对一切正整数n 都有n S M <.定理2.1.8（比较原则） 设nu∑和nv∑是两个正项级数，如果存在某正整数N ，对一切n N >都有n n u v ≤则（i ）若级数n v ∑收敛，则级数n u ∑也收敛；（ii ）若级数n u ∑发散，则级数n v ∑也发散. 推论 设12......n u u u ++++ (7) 12......n v v v ++++ (8)是两个正项级数，若lim nn nu l v →∞= 则（i ） 当0l <<+∞时，级数（7）、（8）同时收敛或同时发散；（ii ） 当0l =且级数(8)收敛时，级数(7)也收敛； （iii ）当l =+∞且级数（8）发散时，级数（7）也发散.定理2.1.9（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设nu∑为正项级数，且存在某个正整数0N 及常数q （01q <<）.（i ） 若对一切0n N >，成立不等式nnu q v ≤ 则级数n u ∑收敛.（ii ）若对一切0n N >，成立不等式1nnu v ≥ 则级数n u ∑发散.推论 （比式判别法的极限形式）若n u ∑为正项级数，且1limn n nu q u +→∞= （9）则（i ） 当1q <时，级数n u ∑收敛；（ii ）当1q >或q =+∞时，级数n u ∑发散.注 若（9）中1q =，这是用比式判别法对级数的敛散性不能做出判断因而它可能是收敛的，也可能是发散的.例如级数21n ∑和1n∑，它们的比式极限都是11()n nu n u +→→∞ 但21n ∑是收敛的，而1n∑却是发散的. 若某极限（9）式的极限不存在，则可用上、下极限来判别. 推论 设n u ∑为正项级数. （i ）若1lim1n n n u q u +→∞=<，则级数收敛；（ii ）若1lim1n n nu q u +→∞=>，则级数发散.定理2.1.10 （柯西判别法，或称根式判别法） 设nu∑为正项级数，且存在某正数0N 及正常数l ， （i ）若对一切0n N >，成立不等式1l ≤<， （10） 则级数n u ∑收敛；（ii ）若对一切0n N >，成立不等式1≥ （11）则级数n u ∑发散.定理2.1.11（根式判别法的极限形式） 设n u ∑为正项级数，且n l = （12）则（i ）当1l <时，级数n u ∑收敛； （ii ）当1l >时，级数n u ∑发散.注 若（12）式中1l =，则根式判别法仍无法对级数的敛散性作出判别. 例如，对21n ∑和1n ∑，都有1()n →→∞但21n ∑是收敛的，而1n∑却是发散的.若（12.定理2.1.12 设nu∑为正项级数，且l =则当（i ） 1l <时级数收敛；（ii ）1l >时级数发散.定理2.1.13（莱布尼茨判别法）若交错级数11234...(1)...n n u u u u u +-+-++-+ （13）满足下述两个条件： （i ） 数列{}n u 单调递减; （ii ）lim 0n n u →∞=则级数（13）收敛.定理2.1.14 若级数（13）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数的余项估计式为1n n R u +≤绝对收敛级数及其性质 若级数12......n u u u ++++ （7） 各项绝对值所组成的级数12......n u u u ++++ （15） 收敛，则称级数（7）为绝对收敛.定理2.1.15 绝对收敛的级数一定收敛.定理2.1.16 设级数12......n u u u ++++ （7）绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排后所得到的级数12......n v v v ++++ （8）也绝对收敛亦有相同的和数.注 由条件收敛级数重排列后所得到的新级数，即使收敛，也不一定收敛于原来的和数.而且条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的数.例如级数11111(1)231n n +-+++-++ 是条件收敛的，设其和为A ，即1111111111(1)12345678n n A n ∞+=-=-+-+-+-+=∑ 乘以常数12后，有 1111111(1)224682n A n +-=-+-+=∑ 将上述两个级数相加，就得到1111131325742A +-++-+= 定理2.1.17 （柯西定理） 若级数12......n u u u ++++ (7) 12......n v v v ++++ (8) 都绝对收敛，则对所有乘积i j u v 按任意顺序排列所得的级数n w ∑也绝对收敛，且其和等于AB .引理 （分部求和公式，也称阿贝尔变换） 设,(123)i i v i n ε= ，，，，为两组实数，若令12(12)k k v v v k n σ=+++= ，，,则有如下分部求和公式成立：121232111()()()ni in n n n n i vεεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑ （16）推论（阿贝尔引理） 若（i ） 12n εεε ，，，是单调数组;（ii ）对任意正整数(1)k k n ≤≤有k A σ≤（这里1k k v v σ=++ ），则记max{}k kεε=时，有13nk ki vk εε=≤∑ （17）定理2.1.18（阿贝尔判别法） 若{}n a 为单调有界数列，且级数nb∑收敛，则级数1122n n n n a b a b a b a b =++++∑ （18） 收敛.定理2.1.19（狄利克雷判别法） 若数列{}n a 单调递减，且lim 0n n a →∞=，又级数n b ∑的部分和数列有界，则级数（18）收敛. 积分判别法定理 2.1.20(积分判别法) 设f 为[1,)+∞上非负减函数，那么正项级数()f n ∑与反常积分1()f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散.3 有关级数的敛散性的应用 3.1级数敛散性的相关结论3.1.1判断正项级数一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若为0则收敛，若不为0则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散. 3.1.2若级数的一般项可以进行适当放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法.3.1.3当通项具有一定特点时，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、跟式判别法。
级数敛散性的判别
正项级数敛散性的判别刘 兵 军无穷级数是数学分析的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。
级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。
本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。
一． 常数项级数的概念所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。
对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式+++++n u u u u 321叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞=1n n u ，即+++++=∑∞=n n nu u u u u 3211， (1)其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。
级数(1)的前n 项的和构成的数列n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n(2)称为级数(1)的部分和数列。
根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。
定义 如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞→n n s lim s ，则称级 数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。
级数收敛的必要条件 如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。
二． 正项级数敛散性的判别由正数和零构成的级数称为正项级数。
比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。
比较审敛法 如果正项级数∑∞=1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则∑∞=1n n u 收敛；如果正项级数∑∞=1n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞=1n n u 发散；比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞=1n n v 是解题的关键。
几何级数∑∞=-11n n aq和p-级数∑∞=11n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞=1n n v 。
例１ 证明级数∑∞=+1221n n 是收敛的。
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收敛还是条件收敛？
(1)
n1
(1)n
ln
1
1 n
(2)
n1
(1)n
2n 3n 1
cos n
(3)
n1 n n
【解】(2) 因为
→
→
→
2 n
因为等比级数 n1 3 收敛, 由比较判别法的极限形式知，级数
n1
(1)n
2n 3n 1
(B) 若级数
与
都条件收敛，则
件收敛
【解】对于选项（B），其结论是错误的， 反例为：
必条
故(B)为正确答案.
例11.4 下列结论不正确的是（ ）.
(C) 若级数
绝对收敛，
必条件收敛
条件收敛，则
【解】 对于选项(C), 结论是正确的. 首先，易知
收敛.
其次，如果
绝对收敛， 那么因为
，
则
绝对收敛， 与题设矛盾. 故(C) 对应的结论是正确的
收敛，
所以原级数绝对收敛.
例11.2 试判定下列级数的收敛性，如果它们是收敛的，问它们是绝对
收敛还是条件收敛？
(1)
n1
(1)n
ln
1
1 n
(2)
n1
(1)n
2n 3n 1
cos n
(3)
n1 n n
【解】(3) 注意到
1
，因为 级数
收敛，
n1 n n
所以原级数绝对收敛.
例11.3 设级数
(A)
→
(C) (D) 对于任意的
条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）.
(B)
收敛
收敛
都收敛
【解】对于选项(A)， 因为
收敛，则
→
从而
→
. 故(A)对应的结论正确.
(2) 因为
是收敛级数
的级数，所以它是收敛的. 故(B)对应的结论正确.
， 顺序加括号
收敛还是条件收敛？
(1)
n1
(1)n
ln
1
1 n
(2)
n1
(1)n
2n 3n 1
cos n
(3)
n1 n n
【解续】由比较判别法的极限形式知， 级数
n1
(1)n
ln
1
1 n
发散.
所以原级数条件收敛.
例11.2 试判定下列级数的收敛性，如果它们是收敛的，问它们是绝对
【解】 (1)因为
→
所以
→
不存在， 故原级数发散.
(2) 因为数列
单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知，交错级
(1)n
数
收敛.
n1 4n 1
例11.1 判定下列级数的收敛性
(1)n
(1) n1 n n
(1)n(2Βιβλιοθήκη n1 4n 1 (1)n
(3) n1 2n 1
与
都绝对收敛，则
与
都条件收敛，则
绝对收敛，
条件收敛，则
绝对收敛，
条件收敛，则
也 必条
例11.4 下列结论不正确的是（ ）.
(A) 若级数
与
绝对收敛
都绝对收敛，则
【解】对于选项（A），因为
又级数
与
都收敛，所以
由比较判别法知，
绝对收敛.
容易知道，
也绝对收敛.
也
， 也收敛.
例11.4 下列结论不正确的是（ ）.
例11.4 下列结论不正确的是（B）.
(D) 若级数
绝对收敛，
必绝对收敛
条件收敛，则
【解】对于选项(D), 因为 有界，即存在正数 ，使得
由比较判别法知，级数
收敛，则
→
， 于是数列
，于是，有
，
绝对收敛. 故(D)对应的结论正确.
例11.5 试证明级数
发散.
【解】这是一个变号级数，尝试证明部分和数列的极限存在. 考虑
例11.5 试证明级数
【解续】
因为调和级数 1 发散，所以易知
n1 n
→
于是极限
不存在，故原级数发散.
→
发散. .
再见
都收敛
【解】(D) 因为 即存在正数 ，使得
收敛，则
→
，从而数列
，于是，有
有界，
因为 判别法知， 级数
，所以等比级数
绝对收敛，进一步，由比较
绝对收敛. 因此(D)对应的命题正确.
例11.4 下列结论不正确的是（ ）.
(A) 若级数 绝对收敛
(B) 若级数 件收敛
(C) 若级数 必条件收敛
(D) 若级数 必绝对收敛
收敛，但
发散，则称级数
3、绝对收敛级数的性质 绝对收敛级数满足交换率， 即绝对收敛的级数可以任意改变
求和的顺序得到的新级数仍然收敛且其和不变.
例11.1 判定下列级数的收敛性
(1)n
(1) n1 n n
(1)n
(2) n1 4n 1
(1)n
(3) n1 2n 1
例11.3 设级数
(A)
→
(C) (D) 对于任意的
条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）.
(B)
收敛
收敛
都收敛
【解】(C) 对应的这个结论是错误的. 反例如下：
故 (C) 是正确答案.
例11.3 设级数
(A)
→
(C) (D) 对于任意的
条件收敛，则下列结论不正确的是（C）.
(B)
收敛
收敛
1 n
(2)
n1
(1)n
2n 3n 1
cos n
(3)
n1 n n
【解】(1) 因为数列
单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知，
交错级数
n1
(1)n
ln
1
1 n
收敛.
但
→
→
1
又调和级数 发散，
n1 n
例11.2 试判定下列级数的收敛性，如果它们是收敛的，问它们是绝对
高等数学典型例题与解法（一）
第11讲 变号级数敛散性判别方法
理学院 李建平教授
主要内容
内容提要 典型例题解析
1、如果
，称
为交错级数.
2、交错级数收敛的莱布尼茨判别法
对于交错级数
，如果 单调减少趋于 ，
那么
收敛，且其和不超过 .
3、级数的绝对收敛与条件收敛
若级数
收敛，则称级数
绝对收敛；
若级数 条件收敛.
【解】 (3)因为
数
n1
(1)n 2n 1
收敛.
单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知，交错级
【思考】请同学们判定(2)、(3)中的级数是条件收敛还是绝对收敛？
例11.2 试判定下列级数的收敛性，如果它们是收敛的，问它们是绝对
收敛还是条件收敛？
(1)
n1
(1)n
ln
1