高中数学《直线与平面垂直的判定》导学案

2．3.1直线与平面垂直的判定课前自主预习知识点一直线与平面垂直的定义及画法1．定义：如果直线l与平面α内的□1任意一条直线都垂直，我们就说这条直线l与平面α互相垂直，记作□2l⊥α，直线l叫做平面α的□3垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足．2．画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．如下图甲所示．知识点二直线与平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的□1两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.图形语言：如图乙所示．知识点三直线与平面所成角的定义1．定义：□1一条直线和一个平面相交，但□2不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，□3斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引□4垂线，与平面的交点为垂足，□5过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和□6它在此平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，其范围是□7(0°，90°)．2．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于□890°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于□90°.因此，直线与平面所成的角的范围是□10[0°，90°]．1．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．线线垂直的判定方法(1)异面直线所成的角是90°；(2)线面垂直，则线线垂直．3．求线面角的常用方法(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．1．(教材改编，P67，T3)判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线与一个平面内两条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()(2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线一定不与这个平面垂直．()(3)若直线与平面所成的角为0°，则直线与平面平行．()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)过平面外一点作该平面的垂线有________条．(2)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，不能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．①平行四边形的两条对角线；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．(3)(教材改编，P67，T2)AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A的长为________．(4)如图所示，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角为________．答案(1)1(2)②④(3) a2－b2(4)45°3．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是()A．平行B．垂直C．在平面α内D．无法确定答案D课堂互动探究探究1直线与平面垂直的定义例1下列命题中正确的个数是()①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．3解析当l与α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，故①不对；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故②不对；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．故选B.答案B拓展提升直线与平面垂直的定义的理解直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质．是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l ⊥α，a⊂α⇒l⊥a”．这是证明线线垂直的一种方法．【跟踪训练1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m答案B解析对于A，由l⊥m及m⊂α，可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故A错误；B正确；对于C，l与m可能平行或异面，故C错误；对于D，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故D错误．探究2直线与平面垂直的证明例2如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点．求证：(1)BC⊥平面SAB；(2)EF⊥SD.证明(1)∵四棱锥S－ABCD的底面是矩形，∴AB⊥BC.∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC.又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.(2)由(1)知BC⊥平面SAB.同理，CD⊥平面SAD.∵E，F分别是SD，SC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD.又∵SD⊂平面SAD，∴EF⊥SD.拓展提升应用线面垂直判定定理注意事项(1)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．(2)判定定理在应用时，切实要抓住“相交”二字，它把线面垂直转化为线线垂直．即“l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒l⊥α.”【跟踪训练2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1.证明如图，连接AE，CE，D1O，D1E，D1B1.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，易证AE＝CE.因为AO ＝OC ，所以OE ⊥AC .在正方体中易求出：D 1O ＝DD 21＋DO 2＝ a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝62a ， OE ＝BE 2＋OB 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝32a ， D 1E ＝D 1B 21＋B 1E 2＝ (2a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝32a . 因为D 1O 2＋OE 2＝D 1E 2，所以D 1O ⊥OE .因为D 1O ∩AC ＝O ，D 1O ⊂平面ACD 1，AC ⊂平面ACD 1，所以OE ⊥平面ACD 1.探究3 直线与平面所成的角例3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．解 由图所示，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM ，因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 即为直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3.于是在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝23，即直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.[条件探究] 在本例中，若求直线BE 与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值，又如何求解？解 ∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴BE 与平面ABCD 所成角与所求角相等．连接BD ，则∠EBD 即为直线BE 与平面ABCD 所成的角．设正方体的棱长为2，则在Rt △BDE 中，sin ∠EBD ＝DE BE ＝13，即直线BE 与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为13.拓展提升求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．【跟踪训练3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．解(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝22.(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.1.线线垂直和线面垂直的相互转化2．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．课堂达标自测1．若a，b是两条异面直线，则下列说法错误的是()A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行B．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直C．存在唯一一个平面α与直线a，b等距D．可能存在平面α与直线a，b都垂直答案D解析a，b是两条异面直线，把直线b平移，与直线a相交，确定一个平面，因此经过直线a只能作出一个平面平行于直线b，故A 正确；只有a，b垂直时才能作出一个平面α与直线b垂直，否则过直线a不可能作出一个平面α与直线b垂直，故B正确；C显然正确；若存在平面α与直线a，b都垂直，则可得出a∥b，与a，b异面矛盾，故D错误．故选D.2．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m⊥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确说法的序号是()A．①③B．②④C．①④D．②③答案C解析①④可由直线与平面垂直的定义和判定推证．根据②中条件可知，m与n平行或异面，所以②错．③中由m⊥n，m∥α，可知n∥α或n⊂α，或n与α相交，故③错，所以①④正确，选C.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是() A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB答案B解析由题意知A1B1⊥平面ADD1A1，∵AD1⊂平面ADD1A1，∴A1B1⊥AD1，又A1D⊥AD1，A1B1∩A1D＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1，故选B.4．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直异面D．相交但不垂直答案C解析连接AC交BD于O，∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵MC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥MC.MC∩AC＝C，∴BD⊥平面AMC.又∵AM⊂平面AMC∴BD⊥AM，∴MA与BD异面垂直．5．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，P A⊥CD，P A＝1，PD＝ 2.(1)求证：P A⊥平面ABCD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．解(1)证明：因为四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，P A＝1，PD＝2，所以PD2＝P A2＋AD2，所以P A⊥AD，又P A⊥CD，AD∩CD＝D，所以P A⊥平面ABCD.(2)因为四棱锥P－ABCD的底面积为1，P A⊥平面ABCD，所以四棱锥P－ABCD的高为P A＝1，所以四棱锥P－ABCD的体积为13.课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直答案A解析∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又∵m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定答案D解析直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内或直线l与平面α相交都有可能．3．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定答案C解析∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC ＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是()A. 5 B．2 5 C．3 5 D．45答案D解析如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥CB.∴CB⊥平面P AD，∴AD⊥BC.又AC＝AB，∴D为BC中点．在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△P AD中，P A＝8，AD＝4，∴PD＝82＋42＝4 5.5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段答案A解析如图所示，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．二、填空题6．正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心)的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为________．答案45°解析由题意可知OB＝22，PB＝1.∠PBO为PB与平面ABCD所成的角，故cos∠PBO＝OBPB ＝22.所以∠PBO＝45°.7．如图所示，P A垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又∵AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF，故①②③正确．8. 如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有______个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．答案4解析对于①，∵AC⊥BD，且SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，①对；对于②，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，∴AB∥平面SCD，②对；对于③，∵SD⊥平面ABCD，∴AD是SA在平面ABCD内的射影，∴∠SAD是SA与平面ABCD所成的角，③对；对于④，∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，④对，故正确的有4个．三、解答题9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.B级：能力提升练10. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．(1)求证：EF⊥平面P AB；(2)设AB＝2BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值．解(1)证明：连接BE，EP.由题意知∠PDE＝∠BCE＝90°，因为ED＝CE，PD＝AD＝BC，所以Rt△PDE≌Rt△BCE，所以PE＝BE.因为F为PB的中点，所以EF⊥PB.因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，因为DA⊥AB，PD∩AD ＝D，所以AB⊥平面P AD，所以P A⊥AB.在Rt△P AB中，因为PF＝BF，所以PF＝AF.又因为PE＝BE＝EA，所以△EFP≌△EF A，所以EF⊥F A.因为PB∩AF＝F，所以EF⊥平面P AB.(2)不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝2，P A＝2，AC＝ 3.所以△P AB为等腰直角三角形，且PB＝2.因为F是PB的中点，所以BF＝1，AF⊥PB.因为AF∩EF＝F，所以PB⊥平面AEF.设BE交AC于点G，过点G作GH∥PB交EF于点H，则GH⊥平面AEF.故∠GAH为AC与平面AEF所成的角．由△EGC∽△BGA可知，EG＝12GB，AG＝2CG，所以EG＝13EB，AG＝23AC＝233.由△EGH∽△EBF，可知GH＝13BF＝13.所以sin∠GAH＝GHAG ＝36，所以AC与平面AEF所成角的正弦值为36.。