微积分在数学建模中的应用
数学建模重要知识点总结
数学建模重要知识点总结一、微积分微积分是数学建模中最重要的数学工具之一，它包括微分和积分两大部分。
微分是求函数的导数，用于描述函数的变化率和曲线的切线。
而积分则是求函数的不定积分或定积分，用于描述函数的面积、体积等性质。
在数学建模中，微积分可以用于建立问题的数学模型，求解微分方程和积分方程，对函数进行优化等。
例如，在物理建模中，我们经常会用到微积分来描述物体的运动、速度和加速度等。
在经济学建模中，微积分可以用来描述供求关系、利润最大化等问题。
二、线性代数线性代数是研究向量空间、线性映射和矩阵等数学对象的学科。
在数学建模中，线性代数可以用于描述多维空间中的几何关系、解线性方程组、求解最小二乘问题等。
例如，在计算机图形学中，线性代数可以用来描述和变换三维物体的位置和姿态。
在统计学建模中，线性代数可以用来对数据进行降维、拟合线性模型等。
三、概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象的规律性和统计规律的学科。
在数学建模中，概率论与数理统计可以用于描述随机现象的概率分布、推断总体参数、假设检验等。
例如，在风险管理建模中，我们经常会用到概率论与数理统计来描述风险的分布和进行风险评估。
在机器学习建模中，概率论与数理统计可以用来对数据进行建模和推断。
四、数学优化数学优化是研究如何在给定约束条件下，找到使目标函数取得极值的方法和理论。
在数学建模中，数学优化可以用来对问题进行建模和求解。
例如，在生产调度问题中，我们可以用数学优化来寻找最优的生产计划；在投资组合优化中，我们可以用数学优化来构建最优的资产配置。
五、微分方程微分方程是研究未知函数及其导数之间关系的方程。
在数学建模中，微分方程可以用来描述系统的动力学行为、生物种群的增长规律、热传导过程等。
我们可以通过对微分方程进行数值求解、解析求解或者定性分析，来获得系统的行为特征。
六、离散数学离散数学是研究离散结构及其性质的数学学科，包括集合论、图论、逻辑和代数等内容。
数学建模思想融入微积分
目录
数学建模概述 微积分基础知识 数学建模在微积分中的应用 案例分析 数学建模思想在微积分教学中的实践与思考
01
数学建模概述
数学建模的定义
数学建模：运用数学语言、符号、公式和理论对现实问题进行抽象和简化，以解决实际问题的方法和过程。
数学建模是一种跨学科的综合性技术，涉及数学、计算机科学、工程学等多个领域。
详细描述
无穷小和极限在建模中有着广泛的应用。例如，在物理学中，瞬时速度可以看作是平均速度的极限，而瞬时加速度则可以看作是平均加速度的无穷小变化量。在经济学中，无穷小和极限的概念也常用于描述经济变量的变化趋势和规律。
总结词
无穷小与极限在建模中的应用案例
05
数学建模思想在微积分教学中的实践与思考
强调概念背景
对实际问题进行深入分析，明确问题的背景、条件和目标。
问题分析
根据问题分析的结果，选择适当的数学方法和工具，建立数学模型。
建立模型
运用数学方法和计算机技术，求解建立的数学模型。
求解模型
对求解结果进行评估，并根据实际情况对模型进行优化和改进。
模型评估与优化
数学建模的基本步骤
02
微积分基础知识
03
导数与微分的应用
定积分与不定积分
定积分是积分的一种特殊形式，用于计算具体几何量或物理量；不定积分则用于求函数的原函数或反导数。
积分的应用
积分在解决实际问题中有着广泛的应用，如计算旋转体的体积、曲线的长度等。
积分
级数概念
级数是无穷多个数的和，可以用来表示连续变化的过程或现象。
无穷小的概念
无穷小是数学中的一个重要概念，用于描述函数在某点附近的变化趋势。
数学建模常用知识点总结
数学建模常用知识点总结1.1 矩阵及其运算矩阵是一个矩形的数组，由行和列组成。
可以进行加法、减法和数乘运算。
1.2 矩阵的转置对矩阵进行转置就是把矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
1.3 矩阵乘法矩阵A和矩阵B相乘得到矩阵C，要求A的列数等于B的行数，C的行数是A的行数，列数是B的列数。
1.4 矩阵的逆只有方阵才有逆矩阵，对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB=BA=I，那么B就是A的逆矩阵。
1.5 行列式行列式是一个标量，是一个方阵所表示的几何体积的无向量。
1.6 特征值和特征向量对于矩阵A，如果存在标量λ和非零向量x，使得Ax=λx，那么λ就是A的特征值，x就是对应的特征向量。
1.7 线性相关和线性无关对于一组向量，如果存在一组不全为零的系数，使得它们的线性组合等于零向量，那么这组向量就是线性相关的。
1.8 空间与子空间空间是向量的集合，子空间是一个向量空间的子集，并且本身也是一个向量空间。
1.9 线性变换对于向量空间V和W，如果满足T(v+u)=T(v)+T(u)和T(kv)=kT(v)，那么T就是一个线性变换。
1.10 最小二乘法对于一个线性方程组，如果方程个数大于未知数个数，可以使用最小二乘法来求得最优解。
1.11 奇异值分解矩阵分解的方法之一，将一个任意的矩阵分解为三个矩阵的乘积。
1.12 特征分解对于一个对称矩阵，可以将其分解为特征向量和特征值的乘积。
1.13 线性代数在建模中的应用在数学建模中，线性代数是非常重要的基础知识，它可以用来表示和分析问题中的数据，解决矩阵方程组、优化问题、回归分析等。
二、微积分2.1 极限和连续性极限是指一个函数在某一点上的局部性质，连续性则是函数在某一点上的全局性质。
2.2 导数和微分对于一个函数y=f(x)，它的导数可以表示为f’(x)，其微分可以表示为dy=f’(x)dx。
2.3 泰勒级数泰勒级数是一种用多项式逼近函数的方法，在建模中可以用来进行函数的近似计算。
结合数学建模的微积分课堂教学改革与实践分析
结合数学建模的微积分课堂教学改革与实践分析微积分作为高等数学的重要分支，是大学数学系、物理系、工程系等众多学科的必修课程之一。
微积分的概念及应用广泛，不仅在基础理论研究方面具有重要的地位，而且在实际应用中也具有不可替代的作用。
然而，传统上的微积分教学模式已经无法满足现代大学生的需求，因此，从数学建模的角度出发，对微积分课堂教学进行改革与实践已经成为当前微积分教育领域的热点之一。
一、数学建模在微积分教学中的意义数学建模是指将现实世界中的问题转化为数学模型并进行求解的过程。
在微积分教学中引入数学建模的概念，不仅可以让学生了解和认识微积分的基本概念及其应用，还可以帮助学生提高解决实际问题的能力和创新思维能力。
因此，数学建模在微积分教学中的意义主要有以下几点：1.提高学生的学习效果：传统的微积分教学方式主要注重对知识点的讲解和推导，缺乏对实际问题的应用和实践操作，难以激发学生的学习兴趣和动力。
而数学建模则有助于将微积分中的抽象概念与具体问题相结合，让学生在实践中体会微积分的应用和意义，从而提高学生的学习效果。
二、数学建模在微积分教学中的具体应用1.案例分析法：通过对一些实际问题的案例进行分析，让学生了解微积分知识与实际问题的联系。
例如，通过对生态系统中物种数量变化的研究，让学生了解微积分中的导数与物种数量变化的关系。
2.实验教学法：通过实验帮助学生理解和掌握微积分中的概念和应用。
例如，在物理实验中，让学生通过对位移、速度和加速度的测量，掌握微积分中的速度、加速度与导数和积分的概念。
3.综合分析法：通过将微积分与其他学科相结合，分析实际问题，培养学生的综合分析能力。
例如，通过对工程实际问题的分析，让学生掌握微积分中的求极值、最大值和最小值等概念。
三、结合数学建模的微积分教学改革与实践1.以应用为导向，加强实际应用环节通过引入实际应用问题、案例分析等方法，将微积分概念与实际问题相结合，让学生了解微积分在现实中的应用价值，增加学生的学习兴趣和动力。
微积分方法建模飞机的降落曲线数学建模案例分析
第二章 微积分方法建模现实对象涉及的变量多是连续的，所以建立连续模型是很自然的，而连续模型一般可以用微积分为工具求解，得到的解析解便于进行理论分析，于是有些离散对象，如人口的演变过程，也可以构造连续模型.当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型.建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其它对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析或预测了.§1 飞机的降落曲线根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线（如图）.在整个降落过程中，飞机的水平速度保持为常数u ，出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过10/g （这里g 是重力加速度）.已知飞机飞行高度h （飞临机场上空时），要在跑道上O 点着陆，应找出开始下降点0x 所能允许的最小值.一、由题设有 .将上述的四个条件代入y 的 表达式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++='=+++==='==023)()(0)0(0)0(020*******c bx ax x y hd cx bx ax x y c y d y 得 ,0,0,3,22030===-=d c x h b x ha飞机的降落曲线为 )32(23020x x x x hy --= 二、 找出最佳着陆点飞机的垂直速度是y 关于时间t 的导数，故dt dx x x x x h dt dy )66(2020--= 其中dtdx 是飞机的水平速度，,u dt dx = 因此 )(60220x x x x hu dt dy --= 垂直加速度为)12(6)12(6020202022--=--=x x x hu dt dx x x x hu dt y d 记 ,)(22dt y d x a =则126)(0202-=x x x hu x a ，[]0,0x x ∈ 因此，垂直加速度的最大绝对值为 2026)(max x hu x a = []0,0x x ∈设计要求 106202g x hu ≤，所以gh u x 600⋅≥ （允许的最小值） 例如：小时/540km u =，m h 1000=，则0x 应满足：)(117378.9100060360010005400m x =⨯⨯≥ 即飞机所需的降落距离不得小于11737米.。
数学建模(微积分)三
2 L R ( x1 x2 ) 15 14 x1 32 x2 8x1 x2 2 x12 10 x2 ( x1 x2 ) 2 15 13x1 31x2 8 x1 x2 2 x12 10 x2
L 4 x1 8 x2 13 x1 L 8 x1 20 x2 31 x2
2 2 x12 10 x2 ( x1 x2 1.5)
dL dx 4 x1 8 x2 13 0 1 dL 8 x1 20x2 31 0 dx2 dL x x 1.5 0 1 2 d
L Lmax
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(2)若提供的广告费用为1.5万元，则问题化为在条件
x1 x2 1.5 下求利润函数 L 的极大值.
2 L 15 13x1 31x2 8x1x2 2x12 10x2 构造拉格朗日函数
L( x1 , x2 , ) 15 13x1 31x2 8x1 x2
x1 0 x2 1.5
L Lmax
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数学建模讲座
可口可乐罐头为什么是这种样子?
竞赛题目 论文一 论文二
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
药物在体内的分布与排除
• 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) • 血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计 • 药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学 • 建立房室模型——药物动力学的基本步骤 • 房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀 分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 • 本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和 周边室(四肢、肌肉等)
问题分析
数学建模(微积分)二
，不难求得 （4）
2c1 r c2
T
2c1 rc 2
再根据（1）有，
Q
（5）
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数学建模讲座
Q
2c1 r c2
（5）
这就是经济理论中著名的经济订货批量公式（EOQ公式） 货物本身的价格可不考虑，这是因为若记每吨货 的价格为k，则一周期的总费用 C 中应添加kQ，由于
Q rT
（1）
订货后贮存量由Q均匀地下降，记任意时刻t的贮 存量为q，则q(t)的变化规律可以用图1表示
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数学建模讲座 q
Q A r T 图1 t
0
考察一个订货周期的总费用：订货费为c1;贮存费是
c2 q(t )dt 其中积分恰等于图中三角形的面积为A，显然
0 T
1 A QT 2
实例十一、森林救火数学模型
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数学建模讲座
贮存模型 背景 不允许缺货的贮存数学模型 知识 工厂要定期地订购各种原料，在仓库里供生产
之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以 备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。 无论是原料、商品还是水的贮存，都有贮存多少的 问题。原料、商品贮存得太多，贮存费用高；贮存 得太少，则无法满足需求。水库雨季蓄水过量，更 可能危及安全。当影响贮存量的因素包含随机性时， 如顾客对商品的需求，天气对蓄水的影响，需要建 立贮存模型。
Q rT 所以公式（3）中增加一常数项kr，对求解结果
式（4）、（5）没有影响。 （5）式表明，订货费c1越高，需求量越大，订货批量 Q应越大；贮存费c2越高，订货批量Q应越小，这些关系 当然是符合常识的，不过公式在定量上表明的平方关系 却是凭常识方法得到的
数学建模中的分数阶微积分理论研究
数学建模中的分数阶微积分理论研究随着科技的快速发展，人们对于各类实际问题的解决需求愈发迫切。
然而，一些现实问题并不容易使用传统的微积分方法进行建模和求解。
相比传统微积分，分数阶微积分理论能够更加准确地描述这些问题，其求解方法更加广泛和灵活。
因此，在数学建模中，应用分数阶微积分理论进行问题解决已经成为一种热门的研究方向。
传统微积分只考虑整数次导数的概念，而在分数阶微积分理论中，我们将这一概念扩展到了分数次导数。
不同于整数次导数，分数次导数的连续性和正则性条件要求更高。
分数阶微积分理论将实际问题更好地进行了描述，因为分数次导数既可以表示瞬时变化率，也可以表示涉及时间或空间的记忆效应。
分数阶微积分可以精确建模像非可扩散（即Fickian）和可扩散（即非Fickian）扩散的物理现象，以及像市场波动和药物代谢这样的生物或经济现象。
数学建模中的一个常见问题就是如何确定分数阶微积分中的分数阶导数。
这一问题最常用的解决方法包括基于矩估计的方法、基于小波变换的方法，以及基于权重求和的方法等。
根据问题的不同，我们可以选择合适的方法进行求解。
另外，由于分数阶微积分的性质复杂，解决方案不唯一，因此对不同方法的对比研究也是必要的。
值得一提的是，虽然分数阶微积分理论的应用范围非常广泛，但是其应用在实际问题中的难度和复杂度也较高。
例如，在金融领域，分数阶微积分理论可以被用于模拟股票价格的变化，但是实际问题往往涉及到更多的影响因素。
因此，需要不断地深入研究分数阶微积分理论，并结合实际问题进行验证和应用。
总的来说，分数阶微积分理论在数学建模中的应用已经成为一个热门领域。
通过应用分数阶微积分，我们可以更好地解决一些传统微积分无法解决的问题，并精确建模实际问题。
在未来，相信随着对分数阶微积分理论的更深入研究和应用，我们可以更好地解决和预测实际问题。
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微积分在数学建模中的应用
纲要:数学建模活动能培育学生的数学思想能力、创新能力及剖析和解决问题的能力,而微积分被宽泛
应用于数学建模之中。
重点词:微积分;数学建模
数学建模
数学模型与数学建模数学模型是关于现实世界的一个特定对象,为了一个特定
目的,依据独有的内在规律,做出一些必需的简化假定,并运用适合的数学工具,得出的一个数学构造。
[它是使用数学符号、数学式子及数目关系对现实原型简化的本
质描绘。
数学建模活动是议论成立数学模型的全过程,是经过成立数学模型解决实质问题的全过程,是一种数学思想方式。
它为学生创建了“提出问题、研究思虑和实质应用”的空间。
其特色为:(1)创建性。
因为数学建模活动所议论的是现实世界中的实质问题,而现实世界的复杂性常常使所提出的问题不可以直接套用数学定理
来解决,这就需要许多的创新工作。
(2)应用性。
即给出的是一种现实的情形,一种实质的需求,让学生面对现实的实质问题,选择适合的数学方法解决问题。
(3)开放性。
提出的问题中条件可能
不足,也可能冗余,问题有较强的研究性,需要从迷离混沌的状态中,运用思想能力,找出一条主要线索。
微分方程建模的一般步骤
微分方程建模是用数学中微分方程解决实质问题的桥梁，拥有极大的广泛
性、有效性和特别丰富的数学内涵，并在物理学、力学、工程学、生物学、医学、
经济学、军事学等各个领域中有着宽泛应用．应用微分方程理论针对各样实质问题
成立的数学模型，一般而言都是动向模型，其结果极其简洁，但整个推导过程却有
点繁琐，可是仍是能给人们以合理的解说．所以，选准切入点，将微分方程和数学
建模的内容有机的联合才能充足表现微分方程建模的思想企图．
当我们描绘实质对象的某些特征随时间（或空间）而演变的过程、剖析它的变化规律、展望它的未来状态、研究它的控制手段时，往常要成立动向模型．而针对不一样的实质对象的动向模型，进行微分方程建模的一般性步骤是：
1）用较精练的语言表达待解决的问题
2）要依据建模的目的和对问题的详细剖析做出简化假定
3）依据对象内在的或可类比的其余对象的规律成立目标函数的关系式并提出此微分方程有解的有关条件，即列出微分方程组
4）求出这个微分方程的解
5）用所得的结果来解说实质问题（或现象），或对问题的发展变化趋向进
行展望
下边以详细的实例来研究微分方程在数学建模中的应用．
建模宽泛应用
运用微积分知识,人们成立了很多半学模型,并解决了很多重要问题。
比如,17世纪伟大的科学家牛顿在研究力学的过程中发了然微积分,又在开普勒三定律的基础上运用
微积分,成功地推导出了有名的力学定律———万有引力定律,这一创建性的成就能够看
作是历史上有名的数学模型之一;最先的人口展望和控制模型———马尔萨斯(Malthus)
人口模型和阻滞增加模型(Logis-tic模型)是应用微积分知识成立起来的;还有描绘生
产量、劳动力、投资之间变化规律的道格拉斯(Douglas)生产函数等等也要用到微积分
知识。
又如,有一段时间,美国原子能委员会办理浓缩放射性废物的方式是装入密封性很
好的圆桶中,而后扔到深海里。
这类做法能否造成放射性污染,惹起了生态学家和社会学
家的关注,经过有关微积分数学模型的成立,成功解决了放射性废物办理问题中的争辩。
建模解决的实质生活问题
微积分还能够解决很多大学生能够理解的、现实生活中的实质问题,这就为我们大学展开数学建模活动确立了优秀的基础。
请看以下几例:
事例1:磁盘的最大储存量磁盘由操作系统将其格式化成磁道和扇区。
磁道上
的定长弧段可作为基本储存单元,依据其磁化与否可分别记录数据0或1, 这个基
本单元往常被称为比特(bit) 。
为了保障磁盘的分辨率, 磁道宽度一定大于ρt,每
比特所占用的磁道长度不得小于ρb。
为了数据检索的便利,磁盘格式化时要求所
有磁道要有同样的比特数。
现有一张半径为R的磁盘,它的储存区是半径介于r与
R之间的环形地区,试确立r,使磁盘拥有最大储存量。
依据实质问题,我们所要找
的是储存量B(r)与半径r之间的关系,而储存量=磁道数×每磁道的比特数,即
B(r)=R-rρt×2πrρb=2πρtρbr(R-r) 。
以下问题是求B(r)的极值,运用微积
分,能够轻松得出结果,当r=R2时B(r)取极大值,此时最大储存量为
Bmax=2πρtρbR24。
事例2某厂房容积为
立方米。
经测定，空气中含有2%的CO2．开动通风设施，以
的速度输入含有0.05%的
的新鲜空气，同时又排出同样数目的室内空气．问30分钟后室内所含
的百分比．
解设在时辰
车间内
的百分比为
，当时间经过
以后，室内
的改变量为
于是有
或
初始条件为
将方程分别变量并积分，初值解知足求出x，有
将t=30分=1800秒代入，得
即开动通风设施30分钟后，室内
的含量靠近0.05% ，基本上已经是新鲜空气了．
经过以上例子，我们对微积分在数学建模中的应用做了简单的研究．在这此中，我们不难看出，成立一种数学模型，就是数学理论更好的指导实质生活的过
程，表现了数学学科和社会学科的交汇．这给人们供给一种新的思想和解决问题的方式，把人们从理论知识型向能力型转变．正因为数学建模的这类重要意义，才使它在未来的应用中会愈来愈宽泛．。