一元一次不等式知识点梳理
一元一次不等式知识点小结
一元一次不等式知识点小结在求解一元一次不等式时，可以利用以下几个知识点：1.加减法原则：一元一次不等式可以通过加减法原则进行变形。
当不等式的两边同时加或减一个相同的数时，不等号方向仍保持不变。
2.乘除法原则：一元一次不等式可以通过乘除法原则进行变形。
当不等式的两边同时乘以或除以一个正数时，不等号方向不变；当不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变。
3.移项：当一元一次不等式中含有多个项时，可以通过移项将含有变量的项移到一边，将不含变量的项移到另一边。
4.正负号：当一元一次不等式中乘以或除以一个负数时，需要注意不等号方向的改变。
如果乘以或除以一个负数后，不等式的两边都是正数，那么不等号方向不变；如果乘以或除以一个负数后，不等式的两边同时变成负数，那么不等号方向改变。
5.绝对值：当一元一次不等式中含有绝对值时，需要考虑绝对值的正负情况进行讨论。
当绝对值大于0时，可以去掉绝对值符号；当绝对值小于0时，绝对值为正数。
6.比较大小：在求解一元一次不等式时，有时需要进行大小比较。
可以通过移项、加减法原则等方法进行比较。
7.判断解集：在求解一元一次不等式后，需要判断解集的范围。
可以通过画数轴、取样本点等方法进行判断。
需要注意的事项：1.乘法原则的使用时要谨慎，需要进行正负号的判断。
2.当不等号两边存在分数时，要特别注意分母的正负情况，可以通过乘以分母的方式去分母。
3.结果的表达要准确，是大于、小于还是大于等于、小于等于都要根据实际情况进行判断。
4.在求解一元一次不等式时，可以图像法、数值法等辅助工具进行验证。
通过掌握以上知识点，我们可以较为轻松地求解一元一次不等式，并得出正确的解集。
同时，在实际生活中，我们也可以应用这些知识点解决一些实际问题，例如在购买商品时，判断价格是否合适等。
初中数学知识归纳一元一次不等式组
初中数学知识归纳一元一次不等式组初中数学知识归纳 - 一元一次不等式组一元一次不等式组是初中数学中的一个重要概念，它涉及到不等式的解与图像的表示。
本文将对一元一次不等式组进行归纳，以帮助读者加深对该知识点的理解。
一、一元一次不等式组的基本概念及表示方法一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式组成的方程组。
一元一次不等式组一般以下列形式表示：⎧⎨⎩a₁x + b₁y + c₁z ... = d₁a₂x + b₂y + c₂z ... = d₂a₃x + b₃y + c₃z ... = d₃...aₙx + bₙy + cₙz ... = dₙ其中，a₁、b₁、c₁等为常数系数，x、y、z等为变量，d₁、d₂、d₃等为等式右边的常数。
每一个不等式都可以表示为平面上的一条直线，而一元一次不等式组则可以表示为多条直线构成的图形。
二、一元一次不等式组的解集对于一元一次不等式组，可以有以下几种情况：情况一：无解当一元一次不等式组中的不等式互相矛盾时，即不等式组的解空间为空时，我们可以判断该不等式组无解。
情况二：唯一解当一元一次不等式组中的不等式互相兼容且形成一个可行区域时，我们可以通过求解相应的方程组，找到该不等式组的唯一解。
情况三：无数解当一元一次不等式组中的不等式互相兼容且形成一条线时，我们可以判断该不等式组有无数个解。
根据以上情况，我们可以通过解方程组、画图等方法来求解一元一次不等式组，并得到相应的解集。
三、一元一次不等式组的解集表示方法一元一次不等式组的解集可以用多种表示方法，主要有数学符号表示、图像表示和区间表示：1. 数学符号表示当一元一次不等式组存在唯一解时，我们可以用具体的数值来表示解集，例如{x=2, y=3}。
若不等式组有无数解，我们可以用参数的形式表示解集，例如{x=t, y=t+1}。
2. 图像表示我们可以将一元一次不等式组中的不等式转化为直线的形式，然后根据不等式的符号关系来确定线段的可行区域。
(完整版)一元一次不等式知识点总结(最新整理)
符号语言表示为：如果
，那么
。
基本性质 2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果
，并且
，那么
（或
基本性质 3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
）。
符号语言表示为：如果
，并且
，那么
5x 2
1
1≥
2
x 3
1，并把解集在数轴上表示出来． 5 4 3 2 1
0
1
若不成立，则就不是不等式的解。
3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为
或
的形式，
其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为 1。这五个步骤根据具体题
目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为 1 时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，
A
B
C
知识点 6：一元一次不等式的定义
9．下列属于一元一次不等式的是（ ）A．10>8 知识点 7：一元一次不等式的整数解
D
B． 2x 1 3y 2 C． 2(1 y) 1 y 1 D． x2 3 5 2
10．在不等式 3x 2 4 中， x 可取的最大整数值是（ ）A．0 B．1 C．2 11．不等式 2 x －1≥3 x －5 的正整数解的个数为( )A．5 个 B．2 个 C．3
知识点四：一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本
性质，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为 1.
不等式的应用知识点总结
不等式的应用知识点总结在数学中，不等式是表示数之间大小关系的一种常用形式。
不等式的应用范围广泛，涉及到各个领域中的问题求解。
本文将对不等式的应用知识点进行总结和归纳，以帮助读者更好地理解和运用不等式。
一、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数且次数为一的不等式。
解一元一次不等式的基本方法是通过移项和分式，将不等式转化成形如x≥a 或x≤a的解集。
1. 不等式的解集表示形式一元一次不等式的解集可以用集合符号{}或用区间表示。
对于x≥a 而言，解集可以表示为{x∈R,x≥a}或[a,∞)；对于x≤a而言，解集可以表示为{x∈R,x≤a}或(-∞,a]。
2. 不等式的运算性质一元一次不等式的运算性质与方程的运算性质相似，即两边同时加上一个相同的数、两边同时减去一个相同的数、两边同时乘以一个正数或两边同时除以一个正数，不等式的不等关系不变。
3. 不等式的解集合并与交集当两个或多个不等式同时成立时，可以将它们的解集进行合并和交叉来求取新的解集。
合并时，可以通过求并集的方法，将多个不等式的解集合并在一起；交集时，可以通过求交集的方法，得到多个不等式的公共解集。
二、一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知数且次数为二次的不等式。
解一元二次不等式的基本方法是通过变形和分解，将不等式转化为一元一次不等式，并对一元一次不等式进行求解。
1. 不等式的求解方法对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0，可以将其转化为一元一次不等式的解集表示形式。
具体而言，分以下几种情况讨论：- 当a>0时，将不等式转化为一元一次不等式，即(x+p)(x+q)>0或(x+p)(x+q)<0，其中p和q是一元二次不等式的两个实数解。
根据一元一次不等式的解集合并和交集性质，求解出新的解集。
- 当a<0时，将不等式转化为一元一次不等式，即(x+p)(x+q)<0或(x+p)(x+q)>0，其中p和q是一元二次不等式的两个实数解。
不等式的解集知识点总结
不等式的解集知识点总结不等式是数学中常见的一种关系表达式，用来表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。
与等式不同的是，不等式可以包含大于、小于、大于等于、小于等于等多种关系符号。
在解不等式时，我们需要确定不等式的解集，即使不等式成立的取值范围。
下面是一些常见的不等式的解集知识点总结：一、一元一次不等式形如 ax + b > 0、ax + b < 0、ax + b ≥ 0、ax + b ≤ 0 的一元一次不等式，其中 a 和 b 为已知数且a ≠ 0。
我们可以通过以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：ax + b = 0。
2. 根据 a 的正负情况讨论解集：- 当 a > 0 时，解集为 x > -b/a 或 x < -b/a；- 当 a < 0 时，解集为 x < -b/a 或 x > -b/a；- 当a ≥ 0 时，解集为x ≥ -b/a 或x ≤ -b/a；- 当a ≤ 0 时，解集为x ≤ -b/a 或x ≥ -b/a。
二、二次函数不等式形如 ax² + bx + c > 0、ax² + bx + c < 0、ax² + bx + c ≥ 0、ax² + bx + c ≤ 0 的二次函数不等式，其中 a、b 和 c 为已知数且a ≠ 0。
我们可以通过以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：ax² + bx + c = 0。
2. 求出函数的零点或者判别式的值，得到二次函数的凹凸性及与 x 轴的交点情况：- 若判别式 D > 0，函数有两个不同的实根，解集为 x < x₁或 x > x₂；- 若判别式 D = 0，函数有一个重根，解集为 x = x₁；- 若判别式 D < 0，函数无实根，解集为空集；- 当 a > 0 时，函数开口向上，解集为全体实数集；- 当 a < 0 时，函数开口向下，解集为空集。
一元一次不等式7大考点
一元一次不等式考点例析现实世界中有各种各样错综复杂的数量关系,其中既有相等关系,也有不等关系;一元一次不等式(组)是刻画不等关系的很好的数学模型.为了帮助同学们熟练掌握不等式,搞好期末复习，现就一元一次不等式(组)中常见题型与考点举例说明如下，希望大家能有所斩获.考点一 、一元一次不等式以及它的解的定义：一般地，用符号“＜”、“≤”、“＞”、“≥”、“≠”连接的式子叫做不等式。
注意：⑴要弄清不等式和等式的区别：等式有等号，而不等式没有。
⑵常用的不等号有：＜、≤、＞、≥、≠。
例1．下列各式：(1)5(2)0.0010(3)9(4)320(5)1(6)5x y x y a x +>=->≠≤.其中,不等式有( )A 3个B 4个C 5个D 6个点评:概念是初中数学的最基本知识，要熟练掌握.考点二、 不等式的基本性质：为了更好的理解新旧知识之间的异同，便以表格形式将二者进行比较。
比如：不等式b >ax 的解集是ax <，一定会有0<a 。
例2.（1）下列四个结论中正确的有（ ）①若a b >，则11a b +>+； ②若a b >，则a b b a -<-； ③若a b >，则22a b -<-； ④若a b >，则22a b >．Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 点评：不等式的性质是解不等式(组)的根据,本身也有很大应用.在不等式的两边都乘以或除以同一个数数时,一定要首先仔细判定这个数的正负.考点三、 解一元一次不等式：⑴不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式。
其标准形式：ax+b ＜0或ax+b ≤0，ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)． ⑵解一元一次不等式的一般步骤： 例3．解一元一次不等式： 2346231xx x +>+--点评：以上是解不等式的一般步骤和每个步骤需要注意的问题,但步骤要因题而异,具体解题时应灵活选择.考点四 、解一元一次不等式组：一元一次不等式组：⑴关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组。
一元一次不等式的总结归纳
一元一次不等式的总结归纳一元一次不等式是数学中的重要概念，它在方程不等式解集的求解中起着重要的作用。
在本文中，我将对一元一次不等式的基本概念、性质和解法进行总结归纳。
一、基本概念一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的不等式。
一元一次不等式的一般形式为ax + b < 0（或>，≤，≥），其中a和b为实数，且a≠0。
二、性质1. 无论如何调换不等号的方向，不等式仍然成立。
例如，若a < b，则b > a。
2. 两边同时加（减）一个相同的数，不等式仍然成立。
例如，若a > b，则a + c > b + c。
3. 两边同时乘（除）一个正数，不等式方向不变；两边同时乘（除）一个负数，不等式方向反向。
例如，若a > b，则ac > bc；若a > b且c < 0，则ac < bc。
4. 若一个一元一次不等式的解集是(-∞，x)（或(x，+∞)，[x，+∞)），那么这个不等式的解集可以表示为x < k（或k < x，k ≤ x）的形式。
5. 若一个一元一次不等式的解集是[x1，x2]，那么这个不等式的解集可以表示为x1 ≤ x ≤ x2的形式。
三、解法对于一元一次不等式，我们可以依据性质2和性质3来进行解法，即通过对不等式进行相加、相减、相乘、相除的操作，将未知数的系数化为1，最终求解出未知数的范围。
以一个具体的例子来说明解法：将不等式3x - 5 > 2x + 4进行求解。
首先，我们可以将未知数的系数化为1，通过减去2x以及加上5，将不等式转化为x > 9。
因此，这个不等式的解集为(x，+∞)，即x的取值范围大于9。
四、示例问题1. 求解不等式2x - 7 ≤ 5x + 3。
解：将未知数的系数化为1，通过减去2x以及加上7，将不等式转化为-5x ≤ 10。
接着，将不等式两边同时除以-5，并注意不等号的反向，得到x ≥ -2。
初二不等式基本知识点总结
初二不等式基本知识点总结一、一元一次不等式1. 不等式的定义不等式是使用大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)、小于等于号(≤)等符号来表示两个数量的大小关系。
例如：a < b、c > d。
2. 不等式的解法对于一元一次不等式ax + b > c，其中a、b、c为已知数，x为未知数，解不等式的步骤如下：(1) 将不等式化为等价不等式，即去掉绝对值号，并根据a的正负情况变号；(2) 通过化简和移项找出不等式的解集。
3. 不等式组的解法对于一元一次不等式组{ax + b > c, dx + e < f}，其中a、b、c、d、e、f为已知数，x为未知数，解不等式组的步骤如下：(1) 分别解出每个不等式的解集；(2) 将每个不等式解集进行交并运算，得到不等式组的解集。
4. 不等式的图像表示使用数轴可以方便地表示一元一次不等式的解集。
对于不等式ax + b > c，首先画出表示常数c的点，然后根据a的正负情况，确定画出的区域是大于还是小于c的区域。
二、一元二次不等式1. 不等式的定义一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0的不等式，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
2. 不等式的解法对于一元二次不等式ax² + bx + c > 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数，解不等式的步骤如下：(1) 求出二次函数的零点，即ax² + bx + c = 0的解；(2) 根据二次函数的图像，确定不等式的解集。
3. 不等式的图像表示一元二次不等式和二次函数的图像表示是相互联系的。
通过画出二次函数的图像，并确定大于0的区域，可以得到不等式的解集。
三、一元一次不等式组1. 不等式组的定义一元一次不等式组是多个一元一次不等式的组合，其中每个不等式都是以相同的未知数为变量。
2. 不等式组的解法对于一元一次不等式组{ax + b > c, dx + e < f}，其中a、b、c、d、e、f为已知数，x为未知数，解不等式组的步骤如下：(1) 分别解出每个不等式的解集；(2) 将每个不等式解集进行交并运算，得到不等式组的解集。
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《一元一次不等式》
一、知识点：
1、不等式和一元一次不等式的含义。
①如：－3﹥－5，b ＋1≤3，2x ﹤y ，－1﹤x ≤3，x ≠1等，含有 的式子可称作不等式；②如：y －3﹥－5，b ＋1≤2b －3，2x ＋1﹤4等，是不等式并只含有 未知数，同时未知数的次数是 ，则可称为一元一次不等式。
2、不等式的解、解集、解不等式的概念。
举例：判断下列哪些是不等式x ＋4﹥7的解？哪些不是不等式的解？ －4，－3.5，1，2.3，3，0，17，4
2
1
，7，11。
分析：由3＋3 = 6 可知：（1）当x ﹥3时，不等式x ＋4﹥7成立；（2）当x ﹤3或x=3时，不等式x ＋3﹥6不成立。
也就是说，任何一个大于3的数都是不等式x ＋4﹥7的解（如题目中的x=7就是不等式x ＋4﹥7其中的1个解）。
这样的解有无数个，因此x ﹥3表示了能使不等式成立的未知数“x ”的取值范围，我们把它叫做不等式x ＋4﹥7的解的集合，简称解集。
而求不等式的解或解集的过程叫做 。
3、不等式的三个性质：（思考：与等式基本性质对比有何异同？）
不等式性质1 ： 不等式性质2： 不等式性质3 ： 4、不等式解集的数轴表示。
举例：（注意数轴看作由无数个点组成，每一个点都与一个数对应，注意空心点和实心点的用法。
）
5、解一元一次不等式的一般步骤：（与解一元一次方程类似）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） （注意不等号开口的方向）。
6、由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情形： 不等式组（其中：a ﹤
在数轴上表示
不等式组的解集
口诀
b ）
⎩⎨⎧〉〉b x a
x
x ﹥b
同大取大
⎩⎨⎧〈〈b x a
x
x ﹤a
同小取小
⎩
⎨⎧〈〉b x a
x
a ﹤x ﹤b
大小小大中间找
解题的关键：不等式组中的两个不等式的解集有无公共部分，且公共部分是什么。
7、列一元一次不等式（组）解应用题的步骤 （步骤与列一元一次方程解应用题类似，关键是设元和找出题目中各数量存在的不等关系。
） 二、基础训练：
1．用恰当的不等号表示下列关系： ①x 的3倍与8的和比y 的2倍小： ②老师的年龄a 不小于你的年龄b 小： 2．已知a>b 用”>”或”<”连接下列各式；
（1）a-3 ---- b-3,(2)2a ----- 2b,(3)- a 3 ----- －b
3
(4)4a-3 ---- 4b-3 (5)a-b --- 0
3．x 的53
与12的差不小于6，用不等式表示为__________________．
4．当y
_____时，代数式423y
-的值至少为1.
5．不等式6－12x<0的解集是_________．
6．当x________时，代数式52
3--x 的值是非正数．
7．不等式组1
102
10x x ⎧+>⎪⎨⎪->⎩，．
的解为 ．
8．若方程m x x -=+33 的解是正数，则m 的取值范围是_________
9．若点P （1－m ，m ）在第二象限，则（m-1）x>1-m 的解集为_______________．
10．从小明家到学校的路程是2400米，如果小明早上7点离家，要在7点30分到40分之间到达学校，设步行速度为x 米/分，则可列不等式组为__________________，小明步行的速度范围是
_________． 三、典型例题：
【例1】下列不等式，那些总成立？那些总不成立？那些有时成立而有时不成立？
（1）－9．4﹤2，（2）3﹥0，（3）b ＋5﹤0，（4）︱x ︱﹥0，（5）12
+b ﹤0，（6）5＋x ﹥5－x 。
分析：主要考虑未知数的取值，特别是正数、负数和零。
【例2】若a ﹤b ﹤0，则下列式子：①a ＋1﹤b ＋2，②b a ﹥1，③a ＋b
﹤a b ，④a 1﹤b 1
中，正
确的有（ ）。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 分析由a ﹤b ﹤0得，a 、b 同为负数并且︱a ︱﹥︱b ︱。
如取a =－2，b =－1代入式子中。
【例3】不等式2x －7≤5的正整数解有（ ）。
A 、7个 B 、6个 C 、5个 D 、4个
分析：先求出不等式的解：x ≤6，再从中找出符合条件的正整数。
【例4】如果
3)
1(2x --
的值是非正数，则x 的取值范围是（ ）。
A 、x ≤1
B 、x ≥1
C 、x ≤－1
D 、x ≥－1
分析：非正数也就是：0和负数，即
3)
1(2x --
≤0。
【例5】不等式组⎩⎨
⎧≤--〉0112x x 的解集是（ ）。
A x ﹥－21 B x ﹤－21 C x ≤1 D －21﹤x ≤
1
分析：先求出每一个不等式的解集，再看两个解集的公共部分是什么。
⎩⎨
⎧≤--≥0112x x 解不等式①得：x ﹥－21
，解不等式②得：x ≤1；解集在数轴表示如下
① ②
∴原不等式组的解集为：－21
﹤x ≤1（大小小大中间找）。
【例6】不等式组⎩⎨
⎧〈≥2x k
x 无解，则k 的取值范围是（ ）。
A 、k =2
B 、k ﹥2
C 、k ≤2
D 、k ≥2分析：根据大大小小是无解，可得k 是较大的数，2是较小的数（但k 可以等于2）即：k ≥2。
【例7】不等式组⎩
⎨
⎧≤--〉011
2x x 的整数解是：__________________。
分析：先求出不等式组的解集－21
﹤x ≤1，再从中选出整数：0和1。
四、巩固运用：
1、下列式子：①－3﹤0，②4x ＋3y ﹥0，③x=3，④
12+-y x ，⑤x ≠5，⑥x －3﹤y ＋2，其中是不等式的有（ ）。
A 、5个 B 、4个 C 、3个 D 、2个 2、有理数a 、b 在数轴上位置如图所示，用不等式表示： ①a ＋b ____0，②a b ____0，③︱a ︱____︱b ︱。
3、若a ﹥b ，则下列式子一定成立的是（ ）。
A 、a ＋3﹥b ＋5
B 、a －9﹥b －9
C 、－10a ﹥－10b
D 、a 2c ﹥b 2
c
4、下列结论：①若a ﹤b ，则a 2c ﹤b 2
c ；②若a c ﹥b c ，则a ﹥b ；③若a ﹥b 且若c =
d ， 则a c ﹥b d ；④若a 2c ﹤b 2
c ，则a ﹤b 。
正确的有（ ）。
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个 5、若0﹤a ﹤1，则下列四个不等式中正确的是（ ）。
A 、a ﹤1﹤a 1，
B 、a ﹤a 1﹤1，
C 、a 1﹤a ﹤1，
D 、1﹤a 1
﹤a 。
6、如果不等式（a ＋1）x ﹥（a ＋1）的解为x ﹤1，则必须满足a ________。
7、求下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来。
（1）2x －5﹥5x －11 （2）3x －2（1－2x ）≥1
（3）4x －7﹥3x －1 （4）2（x －6）﹤3－x
7、解不等式组
○1⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥--21x 51x 24
)2x (3x ○2⎪⎩⎪⎨⎧+≥+<+41
3
4)2(3x x x x ○3⎩⎨⎧-<--<-52310932x x x x 8、关于x 的方程x m x --=-425的解x 满足2<x<10，求m 的取值范围
9、当关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨
⎧-=--=+m y x m y x 4325
22的解
x 为正数，y 为负数，则求此时m 的取
值范围？
10、不等式()1
23x m m ->-的解集为2x
>，求m 的值。
11、某商品的进价为500元，标价为750元，商家要求利润不低于5%的售价打折，至少可以打几折？
12、学校计划组织部分三好学生去某地参观旅游，参观旅游的人数估计为10--25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元，经过协商，两家旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠。
学校应怎样选择，使其支出的旅游总费用较少？。