比较几种判定正项级数收敛性的方法

比较几种判定正项级数收敛性的方法【摘要】通过对：1：比较判别法；2：根植判别法3：达朗伯耳判别法的应用范围的比较，加以对其分析，找出若干类型题加以分类，确定哪类适合这两种判定法，归纳其特点，以便以后做题能够快速入手，遇到题目以后具体运用哪种方法更便捷提供了途径.【关键词】比较判别法 根植判别法 达朗贝尔 例题一：比较判别法. 1:定义若从某一项起11n n n nn na b a kb a b ++≤≤（或者）（k >0）,则由1n n b ∞=∑的收敛性可推出1n n a ∞=∑收敛，若从某一项起n n a kb ≥11()n n n na b a b ++≥或者（k >0）,则由1n n b ∞=∑发散可推出1n n a ∞=∑发散.2：比较判别法的极限形势 设limn n na b →∞=λ（+λ∞为有限数或）则：（i ）：0λ<<+∞时，n n a b 则和收敛性相同.（ii ）：11=0b n n n n a λ∞∞==∑∑时，由收敛可推出收敛.（iii ）：11b n n n n a λ∞∞===+∞∑∑时,由发散课推出发散.3:例题(1):证明：若级数1n n a ∞=∑收敛，则把该级数的项通过组合而不改变其先后顺序所得的级数1n n A ∞=∑其中11n npn i i p A a -+==∑（11p =，12p p <<…）也收敛且具有相同的和，反之不真，举出例子.证 设级数1n n A ∞=∑的部分和序列为1,2l l ，…，n l ，…，则1111n p n ni i i l Aa -+∞====∑∑级数由于1n n a ∞=∑收敛，故其余部分和序列{}n S 趋于定值S ，因此，11lim lim n n pn n l S S -+→∞→∞==即级数1n n A ∞=∑是收敛的，且与级数n na ∞∑有相同的和.反之不真。

例如，级数1111-+-+…1(1)n -+-+… 是发散的，但是按下述方法组成的级数(11)(11)-+-+…(11)+-+… 却是收敛的. (2):判断级数：2211135+++…21(21)n -….解 由于22110(21)n n<≤-，且级数211n n∞=∑收敛，故级数211(21)n n ∞=-∑也收敛.4：小结由上可知，比较判别法一般是由通过一个级数作为标杆，根据这个级数的收敛或者发散，判断两一个级数的敛散性，一般这种方法通过极限形势更容易判断，而且这两个级数一般都可以进行相互联系性的化简，要特别注意的是被判断级数放在分子的位置，标杆级数放在分母的位置.二：根植判别法 1：定义111,n n n n q a a ∞∞==≤<∑∑则收敛；若从某一项起11n n a ∞=≥∑，则发散.2：根植判别法极限形势设n lim(+)q q →∞=∞为有限或者：（i ）则11n n q a ∞=<∑时，收敛.（ii ）11.n n q a ∞=>∑时，发散（iii ）11n n q a ∞==∑时，的收敛性不定.3：例题（1）研究下列级数的收敛性：1n ∞=-∑…2解 由于21limlim 1n n n n na a +→∞→∞==1<故级数1n ∞=∑…2收敛.（2）2211(2)n n n∞=+∑解 由于limlimn n →∞→∞=1lim122+n n→∞==<故级数2211(2)n n n∞=+∑收敛（3）判断111()n nn nn n+∞=+∑的敛散性解 由于1111(1)0,1(1)()n nn nnnn n n nn n+-⋅≥=+>++对于级数11+nnn n n-∞=⋅∑（1）其通项趋于10e≠，故它是发散的.因此，原级数也是发散的.（3）1113(1)2n n n +∞+=+-∑解由于1limlim2n n →∞→∞==. 但是111,3(1)42[3(1)]1n n nnn a a n ++⎧+-⎪==⎨+-⎪⎩当为偶数时，当为奇数时4：小结这种、方法一般通过通项求出极限，根据极限的范围判断级数是否收敛，这种方法一般是看级数是否开n 次方，是否容易求出极限，极限是否为有限数.一般的级数都可以用此种方法判断.三：达朗伯耳判别法 1：定义 若从某一项起11111,1n n n n n n nna a q a a a a ∞∞++++≤<≥∑∑则收敛，若从某一项起，则发散2：达朗伯耳判别法的极限形势 设1lim(+)n n na q q a +→∞=∞为有限或则11n n q a ∞=<∑时，收敛；11n n q a ∞=>∑时，发散;11n n q a ∞==∑时，的收敛性不定 3:例题(1)分析21n ∞=∑.的敛散性解 由于21limlim 1n n n n na a +→∞→∞==-1<故级数1n ∞=∑…2收敛.（2.的敛散性解 注意到2s2sin,44co ππ=2sin8π==2sin16π===利用数学归纳法能，可以证得通项公式为12sin.2n n a π+=由于2112sin 12limlim122sin2n n n n nn a a ππ++→∞→∞+==<级数收敛.（2）证明：若111lim(0),(),nn n n n n a q a a o q q q a +→∞=>=>则其中.证 由于1lim.limn n n na q q a +→∞→∞==故.令1001()0,2q q n n n ε=->≥则由上式知存在，使得时，有q ε<，从而有1q q ελ<+= 0()n n ≥.其中1111.(1),()nnnnn nq q o a q o q a λλλ+=<===利用证得.（3）证明：若1lim1(0),n n n n a q a a +→∞=<>则级数1n n a ∞=∑收敛.相反结论不真，研究例子2233111111232323++++++….证 取01q ε<<-，由于1lim1(0),n n n na q a a +→∞=<>故存在00,n n n ≥使得时.有11n na q l a ε+<+=<.从而，0000().n n n n a a ln n -<≤≥由于级数0n n n n l∞-=∑收敛，故0n n n a ∞=∑收敛.从而，级数1n n a ∞=∑收敛.反之不真，例如，级数2233111111232323+++++…显然是收敛的.但是，112(),21312(),223m n m nn m a a n m ++⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩当当. 通过上述证明 故有 1l i mn n na a +→∞=+∞. 即本题证毕.4：小结具体一个级数，用后一项比上前一项通常可以进行化简，化简之后求其极限，若是得出一个具体数或者近似具体数通常可以直接判断是否收敛了，这种方法非常便捷，但不适用于带有非常难开的根号形式的级数. 四：例题方法：求出通项n a 减小的阶，从而研究级数1n n a ∞=∑的收敛性.1：判断1sin.n pa nnπ=的敛散性解 由于0n a ≥且11sin lim 1pn p nn nππ→∞+= 或 11()n p a o n+=*，故 仅当110,p p +>>即时级数收敛.2：证明：设正项级数1n n a ∞=∑的项单调减小，则级数1n n a ∞=∑与级数212n n n a ∞=∑同时收敛或同时发散.证 设122nS a a =++ (2)a ，则因12a a >> (22)1nna a +>>>…0>，故得12320()nS a a a <<+++…+1221(++)nn a a +-…122a a <++…22n na + （2） 且有12342()nS a a a a =++++ (1)21(n a -+++…+2)n a 124122a a a >+++ (1)22n n a -+=221221222a a a +++（…22nna +）0>. （3）由（2）得知：若212nnn a ∞=∑发散，则1n n a ∞=∑也发散.由此本题获证.五：总结由以上通过对各个判别法的分类讨论及例题的解题过程，浅谈了对于不同级数使用不同判别法的方法，针对有根号的判别法可以使用根植判别法；对于与典型级数有一定相似方面，可以使用其为敛散性的判别标杆的使用比较判别法（要注意具体探讨比较判别法时注意事项）；对于达朗伯耳判别法，一般都是级数的后一项和前一项的比值可以进行相当程度的化简，化简后的极限是有限数，根据极限判断其级数的敛散性.还有很多级数用以上三种判别法不能够简便的判断，因为我只讨论了一部分判定法，还有很多判别法对很多类型级数十分适用.【参考文献】1 费定辉，周学圣. 数学分析习题集精选精解【M】. 山东科学级数出版社. 2007年12月第一版. 238页—248页.2 宋国柱. 分析中的基本定理和典型方法【M】. 科学出版社. 2006年1月第二次印刷. 71页—80页.3 刘玉莲. 数学分析（下）【M】. 高等教育出版社 2007年.。