全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)无答案_9614
第十届全国大学生数学竞赛预赛非数学类参考答案官方版
1 cos x cos x(1 cos 2 x 3 cos 3x ) 1 cos x cos 2 x 3 cos 3x ) lim 2 x 0 x 0 x2 x2 x
1 cos 2 x 1 1 cos 2 x 3 cos 3 x 1 cos 2 x (1 3 cos 3x ) lim lim 2 x 0 x2 2 x 0 x2 x2 1 (cos 2 x 1) 1 1 3 (cos 3x 1) 1 1 lim 2 x 0 x2 x2
中 | AB | 表示线段 AB 的长度.
证明：作辅助函数 (t ) f ( x1 t ( x2 x1 ), y1 t ( y2 y1 )) ，----------2 分 显然 (t ) 在[0,1]上可导.根据拉格朗日中值定理，存在 c (0,1) ，使得
f (u , v) f (u , v) ------8 分 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) u v f (u , v) f (u , v) | (1) (0) || f ( x2 , y2 ) f ( x1 , y1 ) || ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) | u v
rdrd
0
2
1 9 r
r 2 dz d
0
2
2 2
0
2 2 r 3 ( 9 r 2 1)dr (124 35 ) 5 5 256 ------12 分 3
2
( x
(V )
2
y 2 )dV ( x 2 y 2 )dV ( x 2 y 2 )dV ( x 2 y 2 )dV
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类
全国高校生竞赛历年试题名师精讲〔非数学类〕〔2021——2021〕第五届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一、 解答以下各题〔每题6分共24分，要求写出重要步骤〕(lim 1sin nn →∞+.解 因为()sin sin 2n π==……〔2分〕；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦exp ⎛= ⎝0sin xdx x+∞⎰不是肯定收敛的 解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………〔2分〕因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………〔2分〕 而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法nn a∞=∑发散。
……………………………………〔2分〕()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………〔1分〕 故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………〔2分〕将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………〔2分〕又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为微小值。
第九届全国大学生数学竞赛决赛试卷(非数学)
1省市 学校 准考证号姓名 考场号座位号0 ⎣ ⎦三 (本题满分 11 分)设函数f(x ) 在闭区间[0,1] 上连续且⎰1f (x )d x ≠ 0 ，证明：在区间[0,1] 上存在三个不同的点x 1，x 2，x 3 ，使得 四 (本题满分 12 分)求极限： lim n +1 (n +1)! - n n !⎤ .n →∞π1⎡ 1 x 1⎤8 ⎰0 f (x )d x = ⎢1 + x 2 ⎰0 f (t ) d t + f (x 1) arctan x 1 ⎥ x 3 ⎣ 1⎦ = ⎡ 1 x 2 f (t ) d t + f (x ) arctan x ⎤ (1 - x ).⎢1 + x 2 ⎰0 2 2⎥3⎣2⎦密封线密封线密封线得分 评阅人得分 评阅人H (x ) = ∑ x -五 (本题满分 12 分)六 (本题满分 12 分)设 x = (x , x , , x )T∈ R n，定义设函数 f (x , y ) 在区域D = {(x , y ) x 2 + y 2 ≤ a 2} 上具12nnn -1 2ii i 1，n ≥ 2 .有一阶连续偏导数，且满足 f (x , y )x 2 + y 2 =a 2= a 2，以及i =1ni =1⎡⎛ ∂f ⎫2 ⎛ ∂f ⎫2 ⎤4(1) 证明：对任一非零 x ∈ R ， H (x ) > 0 ； max ⎢ ⎪ + ⎪ ⎥ = a 2 ，其中a > 0 . 证明： ⎰⎰ f (x , y )d x d y ≤ π a 4 . (2) 求 H (x ) 满足条件 x n = 1的最小值.( x , y )∈D ⎢⎣⎝ ∂x ⎭⎝ ∂y ⎭ ⎥⎦ D3省市 学校 准考证号姓名 考场号座位号密封线密封线密封线七 (本题满分 12 分)ln 1设0 < a n < 1 , n = 1, 2, ，且lim n →∞∞a nln n∞= q (有限或+ ∞ ).(1) 证明：当q > 1 时级数∑ a n收敛，当q < 1 时级数∑ a n发散；n =1n =1∞(2) 讨论q = 1 时级数∑ a n的收敛性并阐述理由.n =1省市 学校 准考证号姓名 考场号座位号密封线密封线密封线。
第13届全国大学生数学竞赛非数学类初赛试卷参考答案(2021年)
第十三届全国大学生数学竞赛初赛 《非数学类》试题及参考解答一、填空题（每小题6分，共30分） 1、极限lim x.【答案】：0【参考解答】：原式lim10xx xe2、设(,)z z x y 是由方程2sin(23)23x y z x y z 所确定的二元隐函 数，则z zx y.【参考解答】：将方程两边分别关于x 和y 求偏导，得2cos(23)13132cos(23)2323z z x y z x x z z x y z y y按1cos(23)2x y z和12两种情形，都可解得: 12,.33z z x y 因此1.z zx y3、设函数()f x 连续，且(0)0f ，则02()()d lim()d xxx x t f t tx f x t t.【参考解答】：令x t u ，则0()d ()d xxf x t t f u u. 于是由洛必达法则和积分中值定理，得00002()d 2()d 2()d 2()2()limlim()d ()d ()2()d 2()limlim1()()()d ()xxxxxx x x xx x x f t t tf t tf t t xf x xf x x f u u f u u xf x f t txf xf xf x f u u xf x 原式其中 介于0,x 之间.4、过三条直线120,0,:,:2,20,x x L L y z x y z与3:0x L y z的圆柱面方程为 .【答案】： 222224x y z yz 【参考解答】：三条直线的对称式方程分别为1221102:,:01101111:11x y z x y z L L y z L 所以三条直线平行. 在1L 上取点1(0,1,1)P ，过该点作与三直线都垂直的平面0y z ，分别交23,L L于点23(0,1,1),0,0)P P . 易知经过这三点的圆的圆心为(0,0,0)O . 这样，所求圆柱面的中心轴线方程为011x y z. 设圆柱面上任意点的坐标为(,,)Q x y z ，因为点Q，所以有化简即得所求圆柱面的方程为222224x y z yz . 5、记 22(,)D x y x y∣，则22sin cos d d D x y x y.【答案】：【参考解答】：根据重积分的对称性, 得222222222222200sin cos d d sin cos d d 11sin cos sin cos d d sin d d 221sin d cos 22D D D D x y x y y x x yx y y x x y x y x yd r r r原式二、(14分) 设12021x ， 212120210(1)nn n x x x n . 证明数列 n x 收敛, 并求极限limn n x. 【参考解答】：记1011,1n n a y x ，函数()(0)2x af x x x，则12y a 且 1(1).n n y f y n 易知，当x()x f x所以 n y 是单调减少且有下界的数列，因而收敛. 由此可知 n x 收敛.令lim n n y A，则0A 且()A f A，解得A因此lim 1n n x.三、(14分) 设()f x 在[0,) 上是有界连续函数，证明：方程1413()y y y f x 的每一个解在[0,) 上都是有界函数.【参考解答】：易得对应的齐次方程14130y y y 的通解为1312x xy C e C e 又 由1413()y y y f x 得13()y y y y f x .令1y y y ，则1113()y y f x，解得1313130()d x x t y e f t e t C. 同理，由1413()y y y f x ，得1313()y y y y f x .令213y y y ，则22()y y f x ，解得240()d x xt y ef t e t C. 取340C C ，得131300()d ,13()d .x x t x x t y y e f t e t y y e f t e t 由此解得原方程的一个特解为 *13130011()d ()d 1212x x x t x t y e f t e t e f t e t因此，原方程的通解为131313120011()d ()d .1212x x xxx tx t y C e C e e f t e t e f t e t 因为()f x 在[0,) 上有界，所以，存在0M ，使得|()|,0f x M x注意到当[0,)x 时，1301,01x x e e ，所以131313120131312001312121211||()d ()d 1212|||d d 1212111212137||||||12121378xxx x x t x t x x x t x tx x y C e C e e f t e t e f t e tM M C C e e t e e t M MC C e e M MM C C C C∣∣对于方程的每一个确定的解，常数12,C C 是固定的，所以，原方程的每一个解都是有界的.四、(14分) 对于4次齐次函数444222222123456(,,)333f x y z a x a y a z a x y a y z a x z 计算曲面积分(,,)d f x y z S，其中222:1x y z .【参考解答】：因为(,,)f x y z 为4次齐次函数，所以对t R ，恒有4(,,)(,,)f tx ty tz t f x y z对上式两边关于t 求导，得3123(,,)(,,)(,,)4(,,)xf tx ty tz yf tx ty tz zf tx ty tz t f x y z 取1t ，得(,,)(,,)(,,)4(,,).x y z xf x y z yf x y z zf x y z f x y z 设曲面 上点(,,)x y z 处的外法线方向的方向余弦为(cos ,cos ,cos ) ，则cos ,cos ,cos x y z因此由高斯公式和轮换对称性，记222:1x y z ，得2214621(,,)d (,,)(,,)(,,)d 411cos cos cos dS d d d d d d 441(,,)(,,)(,,)d 43222x y z x y z x y z xx yy zz f x y z S xf x y z yf x y z zf x y z S f f f f y z f z x f x y f x y z f x y z f x y z Vx a a a y a a24535666212222201161=2d d d d sin d 45i i i i ii a z a a a Va x y z V a a五、(14分) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有连续的二阶导数，证明:21221lim ()d ()2()()().24n b a n k b a k n f x x f a b a n n b a f b f a 【参考解答】：记()(21)(),,1,2,,2k k k b a k b a x a a k n n n. 将()f x 在1,k k x x 上展开成泰勒公式，得2()2k k k k k f f x f f x x其中1,,k k k x x x 介于0和x 之间. 于是11111212121()d ()2()d d 21d 2kk kk k k nbn ak nx k x k nx k k k k x k nx k k x k b a k B f x x f a b a n n f x f xf f x x x f x x设()f x 在1,k k x x 上的最大值和最小值分别为,k k M m ，因为1323()d 12k k x k x b a x x n 因为()f x 在[,]a b 上连续，所以()f x 在[,]a b 上可积. 根据定积分10()d f x x 的定义及牛顿-莱布尼兹公式，得11lim lim ()d ()()n nk k n n k k bab a b am M n n f x x f b f a再根据夹逼准则, 得22()lim ()().24n n b a n B f b f a六、(14分) 设 n a 与 n b 均为正实数列，满足：111a b 且12,2,3,n n n b a b n .又设 n b 为有界数列，证明级数1211nn a a a收敛，并求该级数的和. 【参考解答】：首先，注意到111a b ，且121nn n n b a b b所以当2n 时，有1223222111.n n n a a a b b b b由于 n b 有界，故存在0M ，使得当1n 时，恒有0n b M . 因此111122312220111210,n n n n b a a a b b b n M根据夹逼准则，12lim0nn nb a a a .考虑级数1211nn a a a的部分和n S ，当2n 时，有 112112121121121221112131222nnk k k n kk k k n k k n k k nk a b b S a a a a a a a b b b a a a a a a a a a所以3lim 2n n S ，这就证明了级数1211nn a a a收敛，且其和为32.。
大学生数学竞赛(非数)试题及答案
大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.一、填空（每小题5分，共20分）.计算)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→= .(2)设()f x 在2x =连续，且2()3lim2x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x xt t f 2)11(lim )(+=∞→，则=')(t f .(4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)te t 2)12(+ . (4)C x x +-2ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy xy D⎰⎰-2，其中1010≤≤≤≤y x D ，：.解：dxdy x y D⎰⎰-2=dxdy y x x y D )(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2210-⎰⎰+dy x y dx x)(12102⎰⎰- -------------4分姓名：身份证号所在院校：年级专业线封密注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.=3011-------------5分.三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶 导数，求22dxyd .解：)],(cos[)(222x f x f x dxdy'=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222x f x f x x f x f x x f x f dxy d '-''+'=-----7分=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.四、（15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，求a 的值. 解：)23(232123ln 0ln 0xa x ax x e d e dx e e ---=-⋅⎰⎰---------3分 令t e x =-23，所以dt t dx e e aax x ⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分 =a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分 由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分所以23=a -------------15分.五、（10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x e e y dxx xdx x 11----------4分=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e ex x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分 所以原方程的通解是)(1C e xy x +=.----------8分再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xe y x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且123()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。
第十一届全国大学生数学竞赛(非数学类)试题
第十一届全国大学生数学竞赛(非数学类)试题参考解答及评分标准一、填空题（每小题6分）1. sin 014x x →=.解：sin sin 00x x x x x →→→=- sin 1/31/30022(e 1)1sin 1limlim 444422x x x x x x →→-=+-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2. 设隐函数()y y x =由方程22()y x y x -=所确定，则232ln ||dx y y C y x x=-+⎰. 解：令y tx =，则21(1)x t t =-，1(1)y t t =-，3223(1)tdx dt t t -+=-， 这样，223332ln ||2ln ||dx t y ydt t t C C y t x x-+==-+=-+⎰⎰. 3. 定积分220(1sin )1cos x e x dx e xππ+=+⎰.解：222000(1sin )sin 1cos 1cos 1cos x xx e x e xdx dx de xx x πππ+=++++⎰⎰⎰ 2222200sin cos (1cos )+sin 1cos 1cos (1cos )xxxe xe x x x dx e dx x x x πππ+=+-+++⎰⎰2222000sin 1cos 1cos 1cos xxx e xe edx dx e x x x ππππ=+-=+++⎰⎰. 4. 已知22(,)323ydx xdy du x y x xy y -=-+，则1(,)()C 3x u x y y =-+. 解：22(,)323ydx xdy du x y x xy y -=-+21()233()3xd x yx x y y y ==--+（）.所以，1(,)()C 3x u x y y =-+.5. 设,,,0a b c μ>，曲面xyz μ=与曲面2222221x y z a b c ++=相切，则μ=.解：根据题意有：22x yz a λ=,22y xz b λ=，22zxy c λ=，以及 222x a μλ=，222y b μλ=，222z c μλ=，从而得：32228a b cλμ=，32μλ=，联立解得：μ=二、（14分）计算三重积分22d d d Ω+⎰⎰⎰xyzx y z x y，其中Ω是由曲面2222()2++=x y z xy 围成的区域在第一卦限部分.解：采用“球面坐标”计算，并利用对称性，得ππ3224222sin cos sin cos 2d d sin d sin I ρϕθθϕθϕρϕρρϕ=⎰⎰ -------5分ππ342002sin cos d sin cos d d θθθϕϕϕρρ=⎰⎰ππ3354202sin cos d sin cos d θθθϕϕϕ=⎰⎰ -------10分ππ354201sin 2d sin d(sin )4θθϕϕ=⎰⎰π3201121sin d 4848372t t ==⋅=⎰. -------14分 三、（14分）设()f x 在[0,)+∞上可微，(0)0f =，且存在常数0A >，使得|()||()|f x A f x '≤在[0,)+∞上成立，试证明：在(0,)+∞上有()0f x ≡.证明：设01[0,]2x A ∈，使得01|()|max |()|[0,]2f x f x x A ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭， -------5分 000011|()||(0)+()||()||()|22f x f f x A f x f x A ξ'=≤=，只有0|()|0f x =. 故当 1[0,]2x A∈时，()0f x ≡. -------12分 递推可得，对所有的1[,]22k kx A A-∈，1,2,k =，均有()0f x ≡. -------14分四、（14分）计算积分2sin (cos sin )0sin I d e d ππθφφφθθ-=⎰⎰解：设球面 Σ:x 2+y 2+z 2=1, 由球面参数方程sin cos x θφ=，sin sin y θφ=，cos z θ=知sin dS d d θθφ=，所以，所求积分可化为第一型曲面积分I =∬e x−ydS Σ-------4分 设平面P t :√2=t,−1≤t ≤1，其中t 为平面P t 被球面截下部分中心到原点距离.用平面P t 分割球面Σ，球面在平面P t ,P t+dt 之间的部分形如圆台外表面状，记为Σt,dt .被积函数在其上为 e x−y =e √2t . -------8分由于Σt,dt 半径为r t =√1−t 2，半径的增长率为 d√1−t 2=√1−t 2 就是 Σt,dt 上下底半径之差. 记圆台外表面斜高为ℎt ，则由微元法知 dt 2+(d √1−t 2)2=ℎt 2, 得到ℎt =√1−t 2 ，所以 Σt,dt 的面积为 dS =2πr t ℎt =2πdt, -------12分I =∫e √2t 1−12πdt =√2√2t |−11=√2π(e √2−e −√2). -------14分 五、（14分）设()f x 是仅有正实根的多项式函数，满足 0()()n n n f x c x f x +∞='=-∑. 试证：0n c >，(0n ≥），极限lim n ()f x 的最小根. 证明：由f (x )为仅有正实根的多项式，不妨设()f x 的全部根为 0<a 1<a 2<⋯<a k ，这样，f (x )=A (x −a 1)r 1⋯(x −a k )r k ，其中 r i 为对应根a i 的重数 (i =1,⋯,k,r k ≥1). -------2分f ′(x )=Ar 1(x −a 1)r 1−1⋯(x −a k )r k +⋯+Ar k (x −a 1)r 1⋯(x −a k )r k −1，所以，f ′(x )=f (x )(r 1x−a 1+⋯+rkx−a k)，从而， −f ′(x)f(x)=r 1a 1∙11−xa 1+⋯+r k a k∙11−x a k.-------6分若|x |<a 1, 则 −f ′(x)f(x)=r 1a 1∙∑(xa1)n∞n=0+⋯+r k a k∙∑(xak)n∞n=0=∑(r 1a 1n+1+⋯+r k a kn+1)∞n=0x n .而 −f ′(x)f(x)=∑c n x n∞n=0，由幂级数的唯一性知c n =r 1a 1n+1+⋯+r kak n+1>0， ------9分c ncn+1=r 1a 1n+1+⋯+r k a kn+1r 1a 1n+2+⋯+r k a kn+2=a 1∙r 1+⋯+(a1a k)n+1r kr 1+⋯+(a 1a k)n+2r k.limn→∞c nc =a 1∙r 1+0+⋯+0r +0+⋯+0=a 1>0， limn→∞c n+1c =1a ， -----12分limn→∞1n ∙(ln c2c1+⋯+ln c n+1c n)=ln 1a 1,√c n n=elnc nn=elnc 1n +1n (ln c 2c 1+⋯+ln cn+1c n)→eln1a 1=1a 1.从而，lim√c nn=a 1,即f (x )的最小正根. -----14分六、（14分）设函数()f x 在[0, )+∞上具有连续导数，满足22223[3()]()2[1()]-'+=+x f x f x f x e ，且(0)1≤f .证明：存在常数0>M ，使得[0,)∈+∞x 时，恒有()≤f x M .证明：由于()0'>f x ，所以()f x 是[0, )+∞上的严格增函数，故+lim ()→∞=x f x L (有限或为+∞). 下面证明 ≠+∞L . -----2分记()=y f x ，将所给等式分离变量并积分得 222232d d (1)3-+=+⎰⎰x y y e x y ，即 2222arctan d 13-+=++⎰x t y y e t C y ， ------6分 其中2(0)2arctan (0)1(0)=++f C f f . ------8分若=+∞L ，则对上式取极限→+∞x ，并利用2d 2+∞-=⎰t e t ，得π3=-C .-----10分 另一方面，令2()2arctan 1=++ug u u u ，则2223()>0(1)+'=+u g u u ，所以函数()g u 在(, )-∞+∞上严格单调增加. 因此，当(0)1≤f 时，1π((0))(1)2+=≤=C g f g ， 但2π1π22+>>C ，矛盾， 这就证明了+lim ()→∞=x f x L 为有限数.最后，取max{(0),}=M f L ，则|()|≤f x M ，[0,)∀∈+∞x . -----14分。
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x D d d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令vx u y x ==+,，那么vu y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v u uv u u u u u〔*〕令u t -=1，那么21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得。
因此。
3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面22=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
第十二届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)参考答案及评分标准
F= (b) 0 . 对 F (x) 在[a,b] 上利
a
∫ 用洛尔定理，存在 x0 ∈ (a,b) ，使得 F′(x0 ) = 0 ，即 f (x0 ) =
x0 f (t)dt .
a
---------------- 3 分
3
2021 年 05 月决赛试题
x
∫ 再令 G= (x)
f (x) − f (t)dt ，则 G= (a) a
−
2 x32
= 0 . 由此解得 u
113
在定义域内的唯一驻点 P0 (24 , 22 , 24 ) ，且 u 在该点取得最小值 u(P0 ) = 4 4 2 ，这是
113
函数唯一的极值. 因此 u 的唯一极值点为 (24 , 22 , 24 ) .
【注】 也可用通常的充分性条件(海赛矩阵正定)判断驻点 P0 为极小值点.
1，2， ,s)
.
因为 p(D) = D 2021 ，所以
1
= p( A) p= (QDQT ) Q= p(D)QT Q= D 2021QT B .
--------------- 3 分
(3) 设另存在 n 阶实对称矩阵 C 使得 C2021=A ，则=B p= ( A) p(C2021) ，所以
1 2
(xn
+
yn
)
，
---------------- 4 分
这只需证明：对任意 n
≥
0
，都有
x+ 2
y
n
≤
An (x, x) n +1
≤
1 2
(xn
+
yn ) ，其中 0
<
x,
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2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5 分，共 20 分）(x y) ln(1y )1．计算x dxdy ____________ ，其中区域 D 由直线 xy 1与两D1 xy坐标轴所围成三角形区域.2．设 f ( x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x22f ( x)dx 2 , 则 f ( x) ____________.3．曲面 zx 2y 2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是 __________.24．设函数 yy(x) 由方程 xe f ( y) e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且f 1 ，则d 2 ydx 2________________.二、（ 5 分）求极限 lim (e xe 2 xe nx e) x ，其中 n 是给定的正整数 .x 0n1f ( xt)dt ，且lim f (x)A ，A为常数，求 g ( x)三、（ 15 分）设函数f (x)连续，g( x)0x 0x并讨论 g ( x) 在x0处的连续性.四、（ 15 分）已知平面区域 D {( x, y) | 0 x, 0 y} ， L 为 D 的正向边界，试证：（ 1）xe sin y dy ye sin x dx xe sin y dy ye sin x dx ；L L（ 2）xe sin y dy ye sin y dx5 2 .L2五、（ 10 分）已知y1xe x e2x， y2xe x e x， y3xe x e2x e x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（ 10 分）设抛物线 y ax 2bx 2 ln c 过原点 . 当 0 x 1 时 , y0 , 又已知该抛物线与 x 轴及直线 x 1所围图形的面积为1. 试确定 a, b, c , 使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋3转体的体积最小 .七、（ 15 分）已知 u n ( x) 满足 u n (x) u n ( x)xn 1e x(n 1,2, ) , 且 u n (1)e, 求函数项n级数u n ( x) 之和 .n 1八、（ 10 分）求 x1 时 , 与x n 2 等价的无穷大量 .n 02010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（ 25 分，每小题 5 分）n（1）设 x n(1 a)(1 a 2 ) (1 a 2 ), 其中 | a | 1, 求 lim x n .n（2）求 lim e x11xxx 2。
（3）设 s0 ，求 Ie sx x n dx( n1,2, ) 。
（4）设函数 f (t ) 有二阶连续导数， rx 2 y 2 , g( x, y) f1，求2g2g 。
rx 2y 2（5）求直线 l 1x y 0x 2 y 1z 3的距离。
:与直线l 2 :z4 21二、（ 15f (x)分）设函数f ( x) 在0, lim f ( x)x( , 0, lim x) 上具有二阶导数，并且f ( x) 0, 且存在一点x 0 ，使得f ( x 0 )0 。
三、（ 15 分）设函数 yf (x) 由参数方程x 2t t 2 (t) 具有二阶y(t 1) 所确定，其中(t )导数，曲线 y(t) 与 yt 2u 23在 t1出相切，求函数 (t) 。
e du2e1n四、（ 15 分）设 a n 0, S na k , 证明：k1（1）当1时，级数a n 收敛；n 1 S n（2）当1且 s n(n) 时，级数a n发散。
n 1S n五、（ 15 分）设 l 是过原点、方向为( , , )，（其中2 2 21) 的直线，均匀椭球x 2 y 2 z 2 1 ，其中（ 0 cb a, 密度为 1）绕 l 旋转。
a2b2c2（ 1）求其转动惯量；（ 2）求其转动惯量关于方向 ( , , ) 的最大值和最小值。
六、(15 分 ) 设函数 ( x) 具有连续的导数， 在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 C 上，曲线积分2xydx( x)dy的值为常数。
cx 4y 2（1）设 L 为正向闭曲线 ( x 2)2y 2 1, 证明2xydx ( x)dy 0;cx 4 y 2（2）求函数( x) ；（3）设 C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求2xydx( x)dy 。
cx 4y 22011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷一． 计算下列各题（本题共3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）（1） . 求limsin xx 0x11 cos x；11...1（2） . 求 limn 2；nn 1 nn（3）已知x ln 1 e 2td 2 yy t arctane t，求dx 2。
二．（本题 10 分）求方程2x y 4 dx x y 1 dy0 的通解 。
三．（本题 15 分 ） 设 函 数 f(x) 在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且f 0 , f ' 0 , f " 0均 不 为 0 ， 证 明 ： 存 在 唯 一 一 组 实 数 k 1, k 2 , k 3 ， 使 得limk 1f hk 2 f 2h h 2 k 3 f 3hf 00 。
h 0x2y2z21 ， 其 中 a b c0 ，四．（本题 17分 ） 设1: 2b 2c 2a2 : z2x2y2， 为1与2 的交线，求椭球面1 在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
五．（本题 16 分）已知 S 是空间曲线x23y 21z绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（ z 0 ）取上侧，是 S 在Px, y, z 点处的切平面，x, y, z 是原点到切平面的距离， ,, 表示 S 的正法向的方向余弦。
计算：（1）zdS ；（ 2） z x 3 y z dSx, y, zSS六．（本题12 分）设f(x)是在,内的可微函数，且f、xmfx，其中 0m 1，任取实数a 0， 定 义a nln fa n 1, n1,2,...,证 明 ：a n a n 1 绝对收敛。
n 1七（．本题 15 分）是否存在区间0,2 上的连续可微函数f(x) ，满足f 0 f 2 1，21？请说明理由。
f 、 x 1, f x dx第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（本大题共 5 小题，每小题 6 分共 30 分）解答下列个体（要求写出要求写出重要步骤）1(1)求极限 lim ( n! ) n2n(2)2 x y 3z20的两个互相垂直的平面1和2，使其中求通过直线 l :5 y4z305x一个平面过点 ( 4 ,3,1)。
(3)已知函数 z u( x , y)e ax by ，且2u0 。
确定常数 a 和b，使函数 z z( x , y)x y满足方程 2 z z zx y xz y(4)设函数 u u( x ) 连续可微， u(2) 1 ，且 ( x 2y)udx ( x u3 )udy 在右半平面与路径无关，求 u( x , y) 。
x 1 (5) 求极限lim3xx xsin tdt t cost二、（本题10 分）计算e2 x sin x dx三、求方程 x 2 sin12 x501 的近似解，精确到0.001.x四、（本题 12 分）设函数 y f ( x ) 二阶可导，且 f ( x ) 0 ， f (0) 0 ， f (0) 0 ，3求 limx f (u ) ，其中 u 是曲线 y f ( x) 上点 P( x , f ( x )) 处的切线在 x 轴 f ( x ) sin 3 x 0u上的截距。
五、（本题 12 分）求最小实数 C ，使得满足1 f ( x ) 都f ( x ) dx 1 的连续函数 有1 f ( x )dx C六、（本题 12 分）设 f ( x ) 为连续函数， t 0 。
区域是由抛物面 z x 2y 2和球面 x 2y 2z 2 t 2 (z 0) 所围起来的部分。
定义三重积分 F (t )f ( x 2 y 2z 2 )dv求 F ( t) 的导数 F (t )七、（本题 14 分）设a n 与b n 为正项级数，证明：n 1n 1（1）若 lima n 10 ，则级数a n 收敛；a n 1bnb nn1n 1（2）若 lima n10 ，且级数b n 发散，则级数a n 发散。
na n 1bnbn 1n 1n 1第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、解答下列各题（每小题 6 分共 24 分，要求写出重要步骤）1.求极限 lim 1sin 1 4n2n.n2.证明广义积分sin xdx 不是绝对收敛的0x3.设函数y y x 由x33x2 y 2 y3 2 确定，求y x的极值。
4.过曲线y3x x0上的点 A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为3，求点 A 的坐标。
4x sin x arctan e x二、（满分 12）计算定积分Icos2dx1x三、（满分 12 分）设 f x 在 x0 处存在二阶导数 f f x0 ，且lim0 。
x 0x证明：级数f1收敛。
n 1nb四、（满分 12 分）设 f x, f x证明 sin fx dx0 a x b ，2am五、（满分 14 分）设 是一个光滑封闭曲面，方向朝外。
给定第二型的曲面积分 Ix 3 x dydz 2y 3 y dzdx 3z 3 z dxdy 。
试确定曲面，使积分 I 的值最小，并求该最小值。
六、（满分 14 分）设 I a rydxxdya ，其中 a 为常数，曲线 C 为椭圆Cx 2 y 2x 2 xy y 2r 2 ，取正向。
求极限 lim I a rr1 1七（满分 14 分）判断级数1n的敛散性，若收敛，求其和。
2n 1n 1 n 2五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离 .6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形 .7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)无答案_9614Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1.向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2.坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3.向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4.向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5.应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程( 向量式与坐标式之间的互化) 及其关系 .2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1. 平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2. 从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3. 根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4.根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1. 柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2. 椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.11 / 11。