尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第5章 收入效应和替代效应)
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）
第5章 收入效应和替代效应
复习笔记
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1．需求函数及其性质 （1）需求函数
一般地，普通需求函数又称马歇尔需求函数，它反映了在给定的（各种商品的）价格与收入下，能使消费者实现效用最大化的各种商品的需求量，因而是价格与收入的（向量）函数。
（2）需求函数的性质 一般而言，需求函数关于价格P 和收入I 是零次齐次的，即对任何商品i x ，在0t >时有：
其原因在于，当价格和收入同时发生相同比例的变化时，消费者的预算约束没有发生实质性的变化，因而理性的消费者也不会改变其最优消费选择，（在理论上）消费者的需求不受“纯”通货膨胀的影响。
2．收入变化对消费者最优选择的影响 （1）收入变化与正常品、劣等品
收入变化会引起消费者预算线的平行移动，从而引起消费者最优消费选择发生相应的变化。根据收入变化时消费变化的方向，可以将商品分为正常品和劣等品。所谓正常品是指随着收入的增加其需求也增加的商品，即0i
x I
?>?；所谓劣等品是指随着收入的增加其需求减少的商品，即
0i
x I
?
x I
e I x ?=?∈?，对
于奢侈品，有1i I i
x I
e I x ?=
?>?。 （2）恩格尔定律
恩格尔定律是一个统计规律，是指在一个家庭或一个国家中，食物支出在收入中所占的比例随着收入的增加而减少。用弹性的概念来表述该定律为：对于一个家庭或一个国家来说，富裕程度越高，则食物支出的收入弹性就越小；反之，则越大。
3．价格变化对消费者最优选择的影响 （1）吉芬商品
吉芬商品是指这样一种商品，如果该商品的价格上升，消费者对它的需求量上升；当它
的价格下降时，其需求量也下降。用需求函数的偏导数表达就是：
0x
P
?>?。 （2）价格变化所引起的替代效应与收入效应 ①替代效应与收入效应的含义
替代效应是指由商品的价格变动所引起的商品相对价格的变动，进而由商品的相对价格变动所引起的商品需求量的变动。
收入效应是指由商品的价格变动所引起的实际收入水平变动，进而由实际收入的变动所引起的商品需求量的变动。一种商品价格下降可能产生消费者实际收入提高的效应，因为消费者因价格下降而导致的购买力的提高使得他有可能改变商品的购买量。
②正常品的替代效应和收入效应（注：此为希克斯替代效应与收入效应）
如图5-1中的横轴1OX 和纵轴2OX 分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是正常品。商品1的价格1P 下降前的消费者的效用最大化的均衡点为a ，1P 下降后消费者的均衡点为b 。价格下降所引起的商品1的需求量的增加量为11X 'X '''，这便是价格下降所引起的总效应。这个总效应可以被分解为替代效应和收入效应两个部分。
图5-1 正常品的替代效应和收入效应
替代效应：作一条平行于预算线AB'且与无差异曲线1U 相切的补偿预算线FG 。FG 与1U 相切，表示假设的货币收入的减少（预算线的位置由AB'向左平移到FG 表示）刚好能使消费者回到原有的效用水平。FG 与AB'平行，则以这两条预算线的相同的斜率，表示商品1价格和商品2价格的一个相同的比值12/P P ，而且，这个商品的相对价格12/P P 是商品1的价格1P 变化以后的相对价格。补偿预算线FG 与1U 相切于均衡点c ，与原来的均衡点a 相比，需求量的增加量为11X 'X ''，这个增加量就是在剔除了实际收入水平变化影响以后的替代效应。进一步地，就预算线AB 和补偿预算线FG 而言，它们分别与无差异曲线1U 相切于a 、c 两点，但斜率却是不相等的。预算线AB 的斜率绝对值大于补偿预算线FG ，AB 所表示的商品的相对价格12/P P 大于FG ，当AB 移至FG 时，随着商品的相对价格12/P P 的变小，
消费者为了维持原有的效用水平，会沿着既定的无差异曲线1U 由a 点下滑到c 点，增加对商品1的购买而减少对商品2的购买，即用商品1去替代商品2。于是，由a 点到c 点的商品1的需求量的增加量11X 'X ''，便是1P 下降的替代效应。
收入效应：把补偿预算线FG 再推回到AB'的位置上去，于是，消费者的效用最大化的均衡点就会由无差异曲线1U 上的c 点到无差异曲线2U 上的b 点，相应的需求量的变化量11X ''X '''就是收入效应。
③劣等品的替代效应和收入效应
如图5-2中的横轴1OX 和纵轴2OX 分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是劣
等品。商品1的价格1P 下降前后的消费者的效用最大化的均衡点分别为a 、b 点，因此，价格下降所引起的商品1的需求量的增加量为11X 'X ''，这是总效应。作与预算线AB'平行且与无差异曲线1U 相切的补偿预算线FG ，将总效应分解成替代效应和收入效应。1P 下降引起的商品相对价格的变化，使消费者由均衡点a 运动到均衡点c ，相应的需求增加量为11X 'X '''，这就是替代效应，它是一个正值。而1P 下降引起的消费者的实际收入水平的变动，使消费者由均衡点c 运动到均衡点b ，需求量由1X '''减少到1X ''，这就是收入效应，它是一个负值。
图5-2 劣等品的替代效应和收入效应
对劣等品来说，替代效应与价格呈反方向的变动，收入效应与价格呈同方向的变动，而且，在大多数的场合，收入效应的作用小于替代效应的作用，总效应与价格呈反方向的变动，相应的需求曲线是向右下方倾斜的。但是，在少数场合下，某些劣等品的收入效应的作用会大于替代效应，这种特殊的劣等品就是吉芬商品。
④吉芬商品的替代效应和收入效应
如图5-3中的横轴1OX 和纵轴2OX 分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是吉芬商品。商品1的价格1P 下降前后的消费者的效用最大化的均衡点分别为a 点和b 点，相应的商品1的需求量的减少量为11X 'X ''，这就是总效应。通过补偿预算线FG 可得11X ''X '''为替代效应；11X 'X '''是收入效应，它是一个负值。而且，负的收入效应11X 'X '''的绝对值大于正的替代效应11X ''X '''的绝对值，所以，最后形成的总效应11X 'X ''为负值。在图5-3中，a 点必定落在b 、c 两点之间。对吉芬商品来说，替代效应与价格成反方向变动，收入效应与价格成同方向变动，但收入效应的作用大于替代效应的作用，总效应与价格是同方向变动，相应的需求曲线就呈现向右上方倾斜的特殊形状。
图5-3 吉芬商品的替代效应和收入效应
（3）马歇尔需求曲线与希克斯补偿需求曲线
①马歇尔需求曲线是用几何图形表示的、在其他条件不变情况下商品需求量与其价格之间的数量关系。这里的“其他条件不变”是指消费者的收入、偏好及其他商品的价格不变。在这样的假定下，可利用无差异曲线、预算线及效用最大化条件推导出在各种不同价格水平下消费者对某种商品的需求量，在“价格—需求”坐标系中将这些点连接起来即可得到该商品的需求曲线。马歇尔需求曲线的图形推导如图5-4所示。
图5-4 马歇尔需求曲线的推导
②补偿需求曲线
希克斯补偿需求曲线是在保持消费者效用不变的条件下，消费者对商品的需求量和商品价格之间的关系的轨迹。希克斯补偿需求曲线的图形推导如图5-5所示。
图5-5 希克斯需求曲线的推导
③两者之间的关系
马歇尔需求和希克斯需求满足关系()(),,,,,,C x y x y x y x P P U x P P E P P U ??=??
。马歇尔需求曲线和希克斯需求曲线如图5-6所示。一般地，对于正常品而言，马歇尔需求函数比希克斯需求
函数平坦，这是因为马歇尔需求既包括替代效应，又包括收入效应；而希克斯需求仅仅包括替代效应。
图5-6 正常商品的马歇尔需求函数和希克斯需求函数
（4）价格变化效应的数学方法——斯拉茨基方程 由马歇尔需求与希克斯补偿需求之间的关系式：
()(),,,,,,C x y x y x y x P P U x P P E P P U ??=??
对商品x 的价格求导可得：
从而可得斯拉茨基方程为：
其中：
x
x
P ??为商品x 价格变化的总效应；
斯勒茨基方程可写为：
（5）价格与收入弹性
4．显示偏好原理
显示性偏好理论是由保罗·萨缪尔森提出来的，其基本精神是：消费者在一定价格条件下的购买行为暴露了或显示了他内在的偏好倾向。因此可以根据消费者的购买行为来推测消费者的偏好。这是一种不基于“偏好关系（效用函数）→消费者选择”的逻辑思路，而是一个相反的过程，即“消费者选择→偏好关系”。
（1）显示偏好原理
设消费者在价格为()12,p p 时购买的商品束为()12,x x ，如果另一个商品组合()12,y y 满足如下条件：
11221122p x p x p y p y +≥+
在这种情况下，若消费者总是在他能够购买的商品束中选择他最偏好的商品束，则一定有：()()1212,,x x y y ，这就是显示偏好原理。
（2）直接显示偏好
假设()12,x x 是消费者在收入为m 时按价格()12,p p 购买的商品束，并且消费者总是花尽所有的收入，因此有等式形式的预算约束1122p x p x m +=。又设()12,y y 是在收入既定条件下有能力购买的商品束，这就意味着它满足如下不等式预算约束：11221122p x p x p y p y +≥+。如果这一不等式成立，且()12,y y 确实是不同于()12,x x 的商品束，就称()12,x x 直接显示偏好于
()12,y y ，记作：()()1212,,D
x x y y 。如图5-7所示。
图5-7 直接显示偏好
（3）间接显示性偏好
如果()12,x x 直接显示偏好于()12,y y ，()12,y y 直接显示偏好于()12,z z ，则称()12,x x 间接显示偏好于()12,z z ，记作：()()1212,,I
x x z z ，如图5-8所示。
图5-8 间接显示偏好
（4）显示偏好弱公理（WARP ）与显示偏好强公理（SARP ） ①WARP 的含义
如果()12,x x 是()12,y y 的直接显示偏好，且()12,x x 和()12,y y 不同，那么()12,y y 就不可能是()12,x x 的直接显示偏好。
换言之，假定一个商品束()12,x x 是按价格()12,p p 购买的，另一个商品束()12,y y 是按价格()12,q q 购买的，那么，只要：
11221122p x p x p y p y +≥+
就不可能再有：
11221122q x q x q y q y +≤+
②显示偏好强公理（SARP ）
如果()12,x x 被直接或间接显示偏好于()12,y y ，且()12,y y 与()12,x x 不同，则()12,y y 不可能被直接或间接显示偏好于()12,x x 。
5．消费者剩余
（1）消费者剩余的含义
消费者剩余是指对于一件商品，消费者所愿意做出的最大支付与他的实际支付之间的差额。假设消费者的需求曲线是()p q ，则消费者剩余CS 可以表示为：
其中()0d Q
p q q ?表示需求曲线下方的面积，即消费者愿意的最大支付，pq 由矩形代表，是消费者的实际支付，由此可用需求曲线以下，价格轴以上的面积表示消费者剩余。 （2）消费者剩余的变化 消费者剩余的变化为：
()()21CS CS Q CS Q ?=-
图5-9可以细分引起消费者剩余变化的原因。如图5-9所示，消费者剩余的变化由两个小区域，即由R 表示的矩形区域和由T 表示的不精确的三角形区域构成。其中矩形损失是由于涨价导致消费量减少，从而使消费者要对他继续消费的每单位商品支付更多的货币造成的；三角形损失则是由于消费数量减少而造成的。所以，消费者的总损失是这两个效应之和。
图5-9 消费者剩余的变化
（3）补偿变化与等价变化
补偿变化（CV ）和等价变化（EV ）的共同特点都是用货币的变化量衡量消费者剩余的变化。补偿变化是指价格变化后，要使消费者的境况同价格变化前一样好，他必须得到的
货币补偿数量。等价变化是指在价格变化前，使他的境况变的和价格变化后一样好而必须减少的他现在持有的货币数量。
利用支出函数和希克斯需求函数，等价变化和补偿变化也可以表示为：
()()()()0,,,,,,,,d p'
c p EV I e p v p'I e p'v p'I e p v p'I x t v p'I t =-=-=????????????????? ()()()()0,,,,,,,,
d p'c p CV
e p'v p I I e p'v p I e p v p I x t v p I t =-=-=????????????????
? 从图5-10中看，EV A D =+，CV A B C D =+++，CS A B D =++，所以消费者剩余的
变化介于等价变化和补偿变化之间。
图5-10 EV 、CV 和消费者剩余
5.2 课后习题详解
1．口渴的Ed 仅喝纯泉水，但是他可以购买0.75升或2升瓶装的矿泉水。由于水本身是同质的，所以他将以上两种瓶装矿泉水视为完全替代品。
（1）假定Ed 的效用仅取决于其消费的水量，而瓶子对他而言无任何效用，请将其效用函数表示为规格为0.75升（x ）和2升（y ）的瓶的数量的函数。
（2）求出需求函数(),,x y x p p I 。
（3）画出I 和y p 不变时，x 的需求曲线。 （4）I 和y p 的变化如何影响x 的需求曲线？
（5）在此情况下，x 的补偿需求曲线形状是什么样的？ 解：（1）Ed 的效用函数可以表示为：0.752U x y =+。
（2）由Ed 的效用函数可知，他的偏好为完全替代型偏好，所以为了实现效用最大化，
他将购买相对便宜的那种商品，由于无差异曲线斜率为3
8
，预算约束线斜率为x y p p ，即：
当38x y p p <时，即3
8x y p p <时，/x x I p =，0y =； 当
38x y p p >时，即3
8x y p p >时，0x =，y
I y p =； （3）x 的需求曲线如图5-11所示。
图5-11 x 的需求曲线
（4）收入I 的提高将使x 的需求曲线向右上方移动。商品y 的价格降低将不会影响x 的需求，直到83x y p p =
时为止。当83
x y p
p =时，商品x 的需求减至0。 （5）x 的收入补偿需求曲线表示成当前消费的一个单点(),x x p 。假定0x >，则x p 的任何变化都会改变从该点处所得的效用。
2．戴维每周有3美元可供自由支配。他只喜欢花生酱和果冻三明治，因此他将所有货币都花费在花生酱（每盎司0.05美元）与果冻（每盎司0.10美元）上。面包则由一位热心的邻居免费提供。戴维偏好自己的吃法，严格按1盎司果冻2盎司花生酱的比例配置三明治，从不改变配方。
（1）戴维一周中用3美元购买花生酱与果冻各多少？
（2）如果果冻价格上升至每盎司0.15美元，他购买花生酱与果冻各多少？
（3）在（2）中，果冻价格上涨后，戴维的可支配收入应该增加多少才能补偿价格上涨？
（4）图示（1）到（3）的结论。
（5）在何种意义下，这个问题仅包括花生酱或果冻三明治一种商品？图示这种单一商品的需求曲线。
（6）根据对果冻需求的替代效应与收入效应来讨论这一问题的结论。 解：（1）由题可知，戴维的偏好是互补型的偏好。假设花生酱的消费量为x ，果冻三明治的消费量为y ，则戴维的效用函数可以表示为：{}min 2U x y =，。
因此，效用最大化要求：2x y =；此外，预算约束为：0.050.13x y +=。 因而可以解得：30x =，15y =。 （2）如果果冻的价格增至每盎司0.15美元，则戴维的预算约束变为：0.050.153x y +=；结合效用最大化条件2x y =，可知：24x =，12y =。
（3）为了在价格上涨后继续消费30x =，15y =，戴维需要多购买6盎司的花生酱和3盎司的果冻三明治，这要求收入增加：60.0530.150.75?+?=（美元）。
（4）（1）到（3）的结论如图5-12所示。
图5-12 互补型偏好下价格变化的影响
（5）因为戴维仅按固定的比例使用花生酱和果冻，而且面包是免费的，所以，可以将此问题视为他以价格2s x y p p p =+来购买三明治。
在（1）问中，0.20s p =，花生酱—果冻三明治的数量为：15s q =； 在（2）问中，0.25s p =，花生酱—果冻三明治的数量为：12s q =。 一般而言，花生酱—果冻三明治这种单一商品的需求曲线为：3
s s
q p =
，是一条双曲线。 （6）对于固定比例的效用函数而言，不存在替代效应，价格的变化仅导致收入效应。
3．如果任意一条从原点出发的直线通过所有的无差异曲线斜率相等的点，即MRS 取决于/y x 的点，那么效用函数是位似的。
（1）证明：在这种情况下，/x I ??是常数。
（2）证明：如果个人偏好可以用位似的无差异曲线图来表示，则价格与数量必定按相反方向变化，即不会产生吉芬悖论。
证明：（1）随着收入的增加，/x y p p 的比值保持不变，效用最大化条件要求/x y
MRS p p =也保持不变。而MRS 取决于/y x ，从而/y x 也必须保持不变。又因为收入仅用于购买x 和y ，所以x 和y 都与收入成比例，即有/x I ??是常数。
（2）由（1）可知，
0x I ?>?，0y
I
?>?，这说明x ，y 两种商品都是正常物品，而吉芬品为劣等品，所以吉芬悖论不成立。
4．假设效用由下式给出：
()0.30.7,U x y x y =?
（1）用非补偿需求函数计算间接效用函数与支出函数。
（2）用（1）中计算出的支出函数与Shephard 引理计算x 的补偿需求函数。
（3）用（2）中得出的结论与x 商品的非补偿需求函数证明本题符合斯勒茨基方程式。 解：（1）由柯布-道格拉斯效用函数的性质可得：
0.3/x x I p =，0.7/y y I p =
从而可得间接效用函数为：
0.30.70.30.70.30.7
0.30.7//x y x y U I p p BI p p =?=
其中，0.30.70.30.7B =?。
根据对偶性质，支出函数为：10.30.7
x y E B U p p -=??。
（2）利用Shephard 引理可知，补偿需求函数为：10.70.7/0.3c x x y x E p B Up p --=??=?。
（3）因为：,1x
x p e =-，,1x I e =，,0.7c
x
x p e =-，0.3x s =，所以可得：
,,,0.70.311c x x
x p x x I x p e e s e =-=--?=-
故本题符合斯勒茨基方程式。
5．假设x 与y 商品的效用函数为：
(),U x y xy y =+
（1）计算x 与y 的非补偿（马歇尔）需求函数，并描述I 或其他商品的价格变化怎样使x 与y 的需求曲线发生变化。
（2）计算x 与y 的支出函数。
（3）用（2）中计算出的支出函数计算x 与y 商品的补偿需求函数。描述当收入或其他商品价格发生变化时，x 与y 的补偿需求函数将如何发生变化。
解：（1）效用最大化问题为：
()max ,..x y U x y xy y s t p x p y I
=++=
设拉格朗日函数为：
()x y L xy y I p x p y λ=++--
一阶条件为：
0100x y x y L
y p x L
x p y L
I p x p y λλλ
?=-=??=+-=??=--=? 从而可以解得马歇尔需求函数为：
2x
x
I p x p -=
2x
y
I p y p +=
因此，y p 的变化不影响x ，而x p 的变化影响y 。收入I 的增加将使x 与y 的需求都增加，从而需求曲线向右上方移动。
（2）将x 与y 的需求函数代入效用函数，可得间接效用函数为：()2
4x x y
I p U p p +=
；
从而可以解得支出函数为：x E p =。 （3）补偿需求函数为：
/1c x x y p U x E p p p U
=??=
/c x y x y y E p p p U
=??=
x 的补偿需求依赖于y p ，
而非补偿需求不依赖于y p 。收入的变化对补偿需求没有影响。
6．需求理论中的许多经验研究工作主要集中于收入份额。对于任何商品x ，其收入份额定义为：x x p x
s I
=。在本问题中，我们将证明大多数需求弹性可以从相应的份额弹性中求得。
（1）证明：某商品的预算份额关于收入的弹性,x x s
I
x s I e I s ?
?
?=
? ????
等于,1x I e -。请用一些数值例子来解释这一结论。
（2）证明：某商品的预算份额关于其自身价格的弹性,x x
x x
s
p x x
s p e p s ?=
??等于,1x px e +。请用一些数值例子来解释这一结论。
（3）利用你在（2）中所得的结论证明：商品x 关于自身价格的支出弹性
(),1
x x x x p p x p x e p x
???=
??等于,1x x p e +。 （4）证明：某商品的预算份额关于其他商品价格的弹性,x
y
y x s p y x p s e p s ??
?=? ? ????
等于,y
x p e 。
（5）在第4章的扩展部分，我们已经证明了对于CES 效用函数而言，商品x 的支出份
额为11x k k
y x s p p -=+，其中11
k δ
σδ==--。 利用此方程来证明方程：(),1c x
x x p e s σ=--。
提示：此问题可以通过假定x y p p =，从而0.5x s =来简化。
证明：（1）由商品收入份额函数x x p x
s I
=
，可得： 2,,2
//1/x x x x s I
x I x x p x I Ip x I p x I I e e I p x I p x I ???-=?=?=-?
故如果, 1.5x I e =，则,0.5x
s I e =。 （2）由商品收入份额函数x x p x
s I
=
，可得： (),,//1/x x
x x x x x s p x p x x p x I p p x p x I e e p p x I I x
???+=?=?=+?
如果,0.75x
x p e =-，则,0.25x
x
s p e =。
（3）因为在（2）中收入在求导时可以被消去，所以有：,,1x
x x
p x p x p e e =+。
（4）由商品收入份额函数x x p x
s I
=
，可得： (),,///x y y y x y y y
x s p x p y
x x y p p x p p I p p x I x e e p p x I
I p x p x
????=
?=
?=?=?? （5）由（2）可得：
()
()1
,2111x x k k k k y x
y x
k k s p x y
x
k
k k
k y x
y
x kp p kp p e p p p
p
p p
p
------=
?+=++
为了简化，令k k
y x d p p -=，从而有：,,11111x x x x p s p kd kd d
e e d d
--=-=
-=
++。 再利用斯拉茨基方程，以及,1x I e =，可得：
()(),,111
1111c x x
x p x x x p d k kd d e e s s d d d
σ---=+=
+==--+++
7．假定某人将汉堡包和奶酪视为完全互补品：他（或她）总是用一片汉堡包和一片奶酪做成一个汉堡包—奶酪三明治。同时假定此人仅购买汉堡包和奶酪这两种商品，且面包是免费的。证明：
（1）如果汉堡包的价格等于奶酪的价格，则汉堡包需求的自身价格弹性是-0.5；汉堡包关于奶酪价格的交叉价格弹性也是-0.5。
（2）解释为什么（1）中的结果仅反映收入效应，而不是替代效应。此问题中的补偿价格弹性是多少？
（3）利用（2）中的结果说明：如果一片汉堡包的价格是一片奶酪价格的两倍，则（1）问的答案将如何改变？
（4）解释此问题可以通过假定此人仅消费一种商品——汉堡包—奶酪三明治来求解。 解：（1）汉堡包的消费量用h 表示，奶酪的消费量用c 表示，因为汉堡包和奶酪是按照固定比例消费的，所以效用函数为：{}min ,h c ，因而汉堡包的需求为：
()/h c h I p p =+
其中，I 为收入，h p ，c p 分别为汉堡包和奶酪的价格。 汉堡包需求的自身价格弹性为：
()()()
,2h h h c h h h p h h c h c p p p p p h I
e p h I p p p p +-?-=
?=?=?++ 汉堡包关于奶酪价格的交叉价格弹性为：
()
,c c
h p h c p e p p -=
+
所以，当h c p p =时，,,0.5h
c
h p h p e e ==-。
（2）在固定比例效用函数下，不存在替代效应。补偿价格弹性为0，由斯勒茨基方程可知：,00.5x
x p x e s =-=-。
（3）当2h c p p =时，由（1）可知：23c h,p e =-，1
3
c h,p e =-。
（4）如果此人仅消费汉堡包—奶酪三明治，则它们的需求的价格弹性为-1。该复合商
品的价格弹性反映了整个三明治价格变化时汉堡包和奶酪的价格之间将成比例变化。例如，在（1）问中，汉堡包价格上涨10%，将导致三明治的价格上涨5%，从而导致需求数量下降5%。
8．证明：
（1）在柯布-道格拉斯效用函数情形下（1σ=），商品x 和y 之间的价格弹性之间的关系为：,,2x
y
x p y p e e +=-。
（2）如果1σ>，则,,2x
x
x p y p e e +<-；如果1σ<，则,,2x
y
x p y p e e +>-。对此结论提供一
个直观的解释。
（3）你如何将此结论推广到更多商品的情形？讨论这样的推广是否极其有意义。 答：（1）在柯布-道格拉斯效用函数情形下，价格弹性分别为：
(),1x x p x x e s s σ=--- ,y y p x y e s s σ=--
从而有：,,12x
y
x p y p e e σ+=--=-。
（2）本题所欲证的结论可以由（1）问中的结论直接得到。直观上，当σ大时，价格弹性将大；当σ小时，价格弹性将小。
（3）对于多变量CES 函数而言，该结论的推广是可行的，但是该函数对行为施加的约束却有可能不成立。
9．假定存在n 种商品，商品i 的收入份额为i s 。同时，我们定义如下弹性：
i i,I i
x I
e I x ?=
?g j
i i,j j i
p x e =
p x ??g 利用这些标记来证明： （1）齐次性：10n
i,j i,I j e e =+=∑；
（2）恩格尔加总性：,1
1n
i i I i s e ==∑；
（3）古诺加总性：,1
n
i i j j i s e s ==-∑。
证明：（1）由于任何商品的需求关于价格都是零次齐次的，所以欧拉定理意味着：
10n
i i j
j j x x
p I p I
=??+=∑?? 两边乘以1/i x 可得：10n
j i i j i j i p x x I x p x I =??+=∑
??，又因为,j i i j i j
p x e x p ?=?，,i
i I i x I e x I ?=?，所以：
,,1
0n
i j i I j e e =+=∑
（2）由预算约束1
n
i i i p x I ==∑对收入I 求导可得：
1
/1n
i i i p x I =??=∑
两端乘以/i i x I x I 可得：,1
1n
i i I i s e ==∑。
（3）由预算约束1
n
i i i p x I ==∑对i p 求导可得：
1
/0n
i i j j i p x p x =??+=∑
两端乘以
j i
i
p x I x ?可得：,1n i i j j i s e s ==-∑。
10．某人在三年中的消费行为如表5-1所示：
表
5-1
该行为是否与显示偏好强公理相一致？
答：该行为违背了显示偏好强公理。其理由如下： 第二年的消费束显示偏好于第一年的消费束，因为在第二年的价格下，第一年和第二年
的消费束的总支出是相同的。
第二年的消费束也显示偏好于第三年的消费束，因为在第二年的价格下，第二年和第三年消费束的总支出是相同的。
但是在第三年的价格下，第二年的消费束的支出小于第三年的消费束的支出，而第二年的消费束却没有被选择，因而这违背了显示偏好强公理。
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量子力学教程课后习题答案
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
线性代数第五章 课后习题及解答
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
线性代数第五章 课后习题及解答教学提纲
线性代数第五章课后习题及解答
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332? ?? ? ??-- 解：,0731 3 3 2 2=--=--= -λλλλλA I 2 37 3,237321-=+= λλ ,00 13 36 37 123712 137 1??? ? ??→→??? ? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,00 13 36 37 12371237 12??? ? ??→→??? ? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 11 121 13--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ??? ? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ??? ? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
量子力学习题集及答案
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
大学物理课后习题解答(第五章) 北京邮电大学出版社
习题五 5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同? 解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为)(t f y =；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x ，又是时间t 的函数，即),(t x f y =． (2)在谐振动方程)(t f y =中只有一个独立的变量时间t ，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程),(t x f y =中有两个独立变量，即坐标位置x 和时间t ，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律． 当谐波方程 ) (cos u x t A y -=ω中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一． (3)振动曲线)(t f y =描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y ，横轴为t ；波动曲线),(t x f y =描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律， 其纵轴为y ，横轴为x ．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x 变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图． 5-2 波动方程y =A cos ［ω( u x t - )+0?］中的u x 表示什么?如果改写为y =A cos (0?ωω+-u x t )，u x ω又是什么意思?如果t 和x 均增加，但相应的［ω( u x t - )+0?］的值不变，由此能从波动方程说明什么? 解: 波动方程中的u x /表示了介质中坐标位置为x 的质元的振动落后于原点的时间；u x ω则表示x 处质元比原点落后的振动位相；设t 时刻的波动方程为 ) cos(0φωω+-=u x t A y t 则t t ?+时刻的波动方程为 ] ) ()(cos[0φωω+?+-?+=?+u x x t t A y t t 其表示在时刻t ，位置x 处的振动状态，经过t ?后传播到t u x ?+处．所以在 ) (u x t ωω-中，当t ，x 均增加时， ) (u x t ωω-的值不会变化，而这正好说明了经过时间t ?，波形即向前传播了t u x ?=?的距离，说明) cos(0φωω+-=u x t A y 描述的是一列行进中的波，故谓之行 波方程． 5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点? 解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元dV 内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形
单片机原理及应用课后习题答案第5章作业
第五章中断系统作业 1. 外部中断1所对应的中断入口地址为（）H。 2. 对中断进行查询时，查询的中断标志位共有、_ _、、 _ 和_ 、_ _ 六个中断标志位。 3．在MCS-51中，需要外加电路实现中断撤除的是:（） (A) 定时中断 (B) 脉冲方式的外部中断 (C) 外部串行中断 (D) 电平方式的外部中断 4．下列说法正确的是：（） (A) 同一级别的中断请求按时间的先后顺序顺序响应。（） (B) 同一时间同一级别的多中断请求，将形成阻塞，系统无法响应。（） (C) 低优先级中断请求不能中断高优先级中断请求，但是高优先级中断请求 能中断低优先级中断请求。（） (D) 同级中断不能嵌套。（） 5．在一般情况下8051单片机允许同级中断嵌套。（） 6．各中断源对应的中断服务程序的入口地址是否能任意设定? （） 7．89C51单片机五个中断源中优先级是高的是外部中断0，优先级是低的是串行口中断。（） 8．各中断源发出的中断申请信号，都会标记在MCS－51系统中的（）中。 （A）TMOD （B）TCON/SCON （C）IE （D）IP 9. 要使MCS-51能够响应定时器T１中断、串行接口中断，它的中断允许寄存器 IE的内容应是（） （A）98H （B）84H （C）42 （D）22H 10．编写出外部中断1为负跳沿触发的中断初始化程序。 11.什么是中断？其主要功能是什么？ 12. 什么是中断源？MCS-51有哪些中断源？各有什么特点？ 13. 什么是中断嵌套？ 14．中断服务子程序与普通子程序有哪些相同和不同之处？ 15. 中断请求撤除的有哪三种方式？ 16. 特殊功能寄存器TCON有哪三大作用？ 17. 把教材的P82页的图改为中断实现，用负跳变方式，中断0（INT0）显示“L2”，中断1（INT1）显示“H3”。（可参考第四章的电子教案中的例子） 18.第5章课后作业第9题。 第五章中断系统作业答案 1. 外部中断1所对应的中断入口地址为（0013）H。 2. 对中断进行查询时，查询的中断标志位共有 IE0 、_TF0_、IE1 、 TF1_ 和_TI 、_RI_六个中断标志位。【实际上只能查询TF0、TF1、TI、RI】 3．在MCS-51中，需要外加电路实现中断撤除的是:（D） (A) 定时中断 (B) 脉冲方式的外部中断 (C) 外部串行中断 (D) 电平方式的外部中断 4．下列说法正确的是：（A C D ） (A) 同一级别的中断请求按时间的先后顺序顺序响应。（YES）
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2
代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱
中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是
第五章 课后练习题与答案
第五章练习题 一、单项选择题 1．建设有中国特色社会主义首要的基本理论问题是（D） A．正确处理改革、发展和稳定的关系 B．坚持以经济建设为中心 C．解放思想、实事求是 D．什么是社会主义，怎样建设社会主义 2．搞清楚什么是社会主义，怎样建设社会主义的关键是：（ D ）A．恢复党的思想路线B．正确理解邓小平理论 C．坚持四项基本原则D．正确认识社会主义本质3．邓小平多次指出，在改革中，我们必须坚持的两条根本原则是（ D ）A．不断发展生产、增加社会财富 B．扩大改革开放，增强综合国力 C．实行按劳分配，改善人民生活 D．坚持公有制为主体，实现共同富裕 4．发展生产力是社会主义的（B ） A．根本目的B．根本任务 C．发展动力D．根本特征 5．邓小平首次提出“社会主义本质”一词是在（ D ） A．1980年B．1982年 C．1978年D．1992年 6．社会主义本质的理论指出了社会主义的根本目标是（ D ）A．解放和发展生产力B．消灭剥削 C．消除两极分化D．实现共同富裕 7．提出“三个主体．三个补充”思想的领导人是（C ） A．刘少奇 B．毛泽东C．陈云 D．周恩来 8．1980年5月，邓小平说：社会主义是一个很好的名词，但是如果搞不好，不能正确理解，不能采取正确的政策，那就体现不出（ A ）A．社会主义的本质 B．社会主义的特征 C．社会主义的目标 D．社会主义的原则 9．邓小平指出：“贫穷不是社会主义，社会主义要消灭贫穷。”这个论断
（ C ） A．概括了社会主义建设的目标 B．指出了社会主义的根本任务 C．明确了社会主义的发展方向 D．体现了社会主义本质的要求 10、党执政举国的第一要务是：（ A ） A、发展 B、创新 C、改革 D实践 二多项选择题 11．社会主义的本质是（ABD ） A．解放生产力，发展生产力B．消灭剥削，消除两极分化 C．不断进行改革D．最终达到共同富裕 E．实现按劳分配 12．社会主义本质的概括体现了社会主义（ABDE ） A．发展过程与最终目标的统一B．物质条件与社会条件的统一 C．民族特色与基本特征的统一D．生产力和生产关系的统一 E．根本任务与根本目标的统一 13．确立社会主义根本任务的依据是（ABCDE ） A．生产力是社会发展的最根本的决定性因素 B．社会主义本质的内在要求 C．解决社会主义初级阶段主要矛盾的要求 D．适应和平与发展这一时代主题的要求 E．总结历史的经验教训得出的正确结论 14．关于社会主义本质的论断中包含的价值目标是（．CDE ） A．解放生产力B．发展生产力 C．消灭剥削D．消除两极分化 E．实现共同富裕 15．邓小平提出的“发展是硬道理”是（ ABCD ） A．符合马克思主义基本原理 B．巩固和发展社会主义制度的必然要求 C．对社会主义实践经验教训的深刻总结 D、适应时代主题变化的需要 16．发展之所以成为中国共产党执政兴国的第一要务，是因为（ABCD）A．由党的执政地位所决定的 B．由党所承担的历史使命和责任决定的
量子力学思考题及解答
量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=
电磁场与电磁波课后习题解答(第五章)
习题及参考答案 5.1 一个点电荷 Q 与无穷大导体平面相距为d ，如果把它移动到无穷远处，需要作多少功？ 解：用镜像法计算。导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为-Q ，位于和原电荷对称的位置。当电荷Q 离导体板的距离为x 时，电荷Q 受到的静电力为 2 )2(042x Q F επ-= 静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力 2 ) 2(0 42 x Q f επ= 在移动过程中，外力f 所作的功为 d Q d dx d x Q dx f 0 16220162 επεπ=?∞?∞= 当用外力将电荷Q 移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为d q 8/2επ。 也可以用静电能计算。在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能： d Q d Q Q d Q Q q q W 0 82)2(04)(21)2(04212 2211121επεπεπ??-=-+-=+= 移动点电荷Q 到无穷远处以后，系统的静电能为零。因此，在这
个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为d q 8/2 επ。 5．2 一个点电荷放在直角导体部（如图5-1），求出所有镜像电荷的 位置和大小。 解：需要加三个镜像电荷代替 导体面上的感应电荷。在（-a ，d ） 处，镜像电荷为-q ，在（错误！无效。 镜像电荷为q ，在（a ，-d ）处，镜 像电荷为-q 。5．3 证明：一个点电荷q 和一个带有电 荷Q 、半径为R 的导体球之间的作用力为 ]2) 22(2[0 4R D DRq D D q R Q q F --+= ε π 其中D 是q 到球心的距离（D ＞R ）。 证明：使用镜像法分析。由于导体球不接地，本身又带电Q ，必须在导体球加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。在距离球心b=R 2/D 处，镜像电荷为q ＇= -Rq/D ；在球心处，镜像电荷为 D Rq Q q Q q /2 +='-=。点电荷 q 受导体球的作用力就等于球两个镜像 电荷对q 的作用力，即 ]2 )2(2[04]2)(22[04D R D D q R D D q R Q q b D q D q q F --++ =-'+=επεπ ]2)22(2[0 4R D DRq D D q R Q q --+=επ 5．4 两个点电荷+Q 和-Q 位于一个半径为a 的接地导体球的直径的延
第5章课后习题答案及讲解
5-1 设二进制符号序列为110010001110，试以矩形脉冲为例，分别画出相应的单极性码波形、双极性码波形、单极性归零码波形、双极性归零码波形、二进制差分码波形及八电平码波形。 解： 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 单极性码： 双极性码： 单极性归零码： 双极性归零码： 二进制差分码： 八电平码： 5-7 已知信息代码为100000000011，求相应的AMI码、HDB3码、PST 码及双相码。 解：信息代码：100000000011 AMI码：+1000000000-1+1 HDB3码：+1000+V-B00+V0-1+1 PST码：+0-+-+-+-++- 双相码：100101010101010101011010
5-8 已知信息代码为1010000011000011，试确定相应的AMI码及HDB3码，并分别画出它们的波形图。 解： 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 AMI码：+1 0 -1 0 0 0 0 0 +1 –1 0 0 0 0 +1 -1 HDB3码：+1 0 -1 0 0 0 –V 0 +1 –1 +B 0 0 +V –1 +1 5-9 某基带传输系统接收滤波器输出信号的基本脉冲为如图P5-5所示的三角形脉冲： （1）求该基带传输系统的传输函数H（ω）； （2）假设信道的传输函数C（ω）=1，发送滤波器和接收滤波器具有相同的传输函数，即G T（ω）=G R（ω），试求这时G T（ω）或G R（ω）的表示式。 P5-5 解：(1)H(ω)=∫∞ -∞ h(t)e-jωt dt
=∫ 0Ts/2 (2/T s)te-jωt dt +∫Ts Ts/2 2(1-t/T s)e-jωt dt =2∫Ts Ts/2 e-jωt dt+2/T s∫ Ts/2 t e-jωt dt-2/T s∫Ts Ts/2 t e-jωt dt =- 2 e-jωt/(jω)︱Ts Ts/2+2/T s [-t/(jω)+1/ω2] e-jωt︱ Ts/2 -2/T s [-t/(jω)+1/ω2] e-jωt︱Ts Ts/2 =2 e-jωTs/2(2- e-jωTs/2- e-jωTs/2)/(ω2T s) =4 e-jωTs/2[1-cos(ωT s/2)]/(ω2T s) =8 e-jωTs/2sin2(ωT s/4)/(ω2T s) =2/T s·Sa2(ωT s/4) e-jωTs/2(2)∵H(ω)=G T(ω)C(ω)G R(ω) C(ω)=1, G T(ω)=G R(ω) ∴G T(ω)=G R(ω)=√2/T s·Sa(ωT s/4) e-jωTs/4 5-11 设基带传输系统的发送滤波器、信道及接收滤波器组成总特性为H（ω），若要求以2/T s波特的速率进行数据传输，试检验图P5-7各种H（ω）满足消除抽样点上的码间干扰的条件否？ s s s s (a) (b)
(完整word版)《统计分析与SPSS的应用(第五版)》课后练习答案(第5章)
《统计分析与SPSS的应用（第五版）》（薛薇） 课后练习答案 第5章SPSS的参数检验 1、某公司经理宣称他的雇员英语水平很高，如果按照英语六级考试的话，一般平均得分为75分。现从雇员中随机选出11人参加考试，得分如下： 80, 81, 72, 60, 78, 65, 56, 79, 77,87, 76 请问该经理的宣称是否可信。 原假设：样本均值等于总体均值即u=u0=75 步骤：生成spss数据→分析→比较均值→单样本t检验→相关设置→输出结果（Analyze->compare means->one-samples T test；） 采用单样本T检验（原假设H0:u=u0=75,总体均值与检验值之间不存在显著差异）； 分析：指定检验值:在test后的框中输入检验值（填75），最后ok! 分析：N=11人的平均值（mean）为73.7，标准差（std.deviation）为9.55,均值标准误差(std error mean)为2.87.t统计量观测值为-4.22，t统计量观测值的双尾概率p-值（sig.(2-tailed)）为0.668，六七列是总体均值与原假设值差的95%的置信区间,为(-7.68,5.14),由此采用双尾检验比较a和p。T统计量观测值的双尾概率p-值（sig.(2-tailed)）为0.668＞a=0.05所以不能拒绝原假设；且总体均值的95%的置信区间为(67.31,80.14),所以均值在67.31~80.14内,75包括在置信区间内,所以经理的话是可信的。 2、在某年级随机抽取35名大学生，调查他们每周的上网时间情况，得到的数据如下（单位：小时）：
周世勋量子力学习题及解答
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?， 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案 1．用切比雪夫不等式估计下列各题的概率． (1)废品率为03.0，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率； (2)200个新生儿中，男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为5.0)． 解：(1)设X 为1000个产品中废品的个数，则X ～)1000,03.0(B ，有 30)(=X E ，1.29)(=X D ， 由切比雪夫不等式，得 ) 3040303020()4020(-<-<-=< 2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵 ??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A 第五章课后习题答案 1.以CH4为例，讨论定域分子轨道和离域分子轨道间的区别和联系。 答：杂化轨道理论将CH4分子中的C原子进行了sp杂化，每个杂化轨道和1个H原子的1s杂化形成一个定域分子轨道，在此成键轨道中的一对电子形成定域键C-H，四个C-H键轨道能量等同。离域分子轨道处理CH4分子所得的能级图说明4个轨道能量高低不同。定域分子和离域分子两种模型是等价的，只是反应的物理图像有所区别。 4.共轭分子的分子图上标出哪些物理量?有何应用? 答:物理量有:电荷密度, 键级,自由价; 应用:（1）从各原子的电荷密度可大致判断反应中各个原子的活性大小，即能大体估计最容易与带电基起反应的位置；（2）从各个原子的电荷密度估计分子中各键的极性和偶极距；（3）从键级可以反映出各个键的相对强弱，键长的相对大小和Π键成分的多少；（4）从自由价可反映分子中各碳原子剩余成键能力的相对大小，大致判断自由基反应中各原子活性的大小，即反应发生在哪些原子的位置上。 6.核磁共振和电子自旋磁共振发生的条件是什么？它们含有那些结构信息？ 答：（1）核磁共振发生的条件：①原子核必须具有核磁性质，即必须是磁性核②需要有外加磁场，磁性核在外加磁场作用下发生核自旋能级的分裂，产生不同能量的核自旋能级，才能吸收能量发生跃迁③只有那些能量与核自旋能级能量相同的电磁辐射才能被共振吸收。电子自旋磁共振需要满足类似上述三个条件才能发生，但电子本身存在固有的自旋运动。（2）核磁共振条件随核外化学环境变化而移动的现象为化学位移，其包含了有关结构的信息。因化学位移的大小是由核外电子云密度决定的。就1H-NMR来说，分子中影响1H核外电子密度的所有因素都将影响化学位移。①最重要的因素是相邻的、具有较大电负性的原子或基团的诱导效应。②反磁各向异性效应。③核的自旋-自旋耦合效应。由高分辨率的共振仪测得的NMR共振峰通常具有精细结构，为多重峰。在1H-NMR谱中，共振峰的面积与此类质子数目成正比。对于电子自旋磁共振，化合物的g因子即包含了有关未成对电子的信息，也包含了有关化学键的信息，可用于鉴别、分析未知样品的分子结构。主要用以用以研究自由基的结构和存在、过渡金属离子及稀土离子的电子结构和配位环境、催化剂活性中心位置等。 7、为什么光电子能谱峰可用原子轨道和分子轨道标记？从X射线和紫外光电子能谱可分别得到哪些结构信息？ 答：因为光电子能谱峰与电子原所在的轨道间存在一一对应关系，所以可用原子轨道和分子轨道标记。紫外光电子能谱的光源可使样品分子中的价电子电离而不能使内层电子电离，故USP可测定外层MO的电离能，用于研究分子的成键情况。从USP谱带的形状和能量信息可以判断分子内有关MO的性质和能级次序。X射线光电子能谱主要用于研究内层电子的性质，可用于样品的定性、定量分析，可定性分析样品表面的元素组成，也可用于了解原子的价态和化学环境。 8、试解释为什么平面型分子的分子轨道能量通常有如下次序：σ<π<π*<σ* 答；因为σ轨道重叠度最大，是轴对称的，该轨道无节面，能量最低，σ*轨道有节面，能量最高，π－MO能级高低与轨道节点数成正比，节点数少的是成键π轨道，能量低，节点多的是反键π轨道，能量高，故平面型分子的分子轨道能量通常次序为：σ<π<π*<σ*。 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=??? ? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 第五章课后习题与答案： 1．战后国际贸易的发展趋势及结构变化情况如何？ 战后，随着社会化大生产的发展和生产国际化的加深，各国之间特别是不同经济制度和不同经济发展阶段的国家之间相互依赖与相互竞争的程度也日益加深。为了保持和提高在国际市场上的竞争力，世界许多国家积极努力寻求与其他国家合作，通过优惠贸易安排、自由贸易区、关税同盟、共同市场等不同方式，组建区域经济贸易集团，实现区域内商品、资本、劳动力和服务等的自由流动。同时，跨国公司也有了比较迅猛的发展。这一切都推动了国际贸易的迅速发展，使国际贸易的规模、结构、范围、内容和方式等都发生了巨大的变化。 战后，国际商品贸易发展的最大特点就是增长迅速，其具体表现就是国际商品贸易的增长速度不仅比战前要快，而且比生产增长速度快。战后国际贸易的发展大致可分为两个阶段。第一阶段为1948~1973年。国际贸易发展迅速。第二阶段是20世纪70年代初至现在。国际贸易的发展处于动荡不稳状态。 (1)国际贸易商品结构的变化：战后，随着世界产业结构的重大变化，国际贸易商品结构相应地发生重大变化，其趋势是初级产品比重下降，工业制成品比重上升。 (2)国际贸易地区分布的变化：战后，国际贸易地区分布的特点是： ①国际贸易格局已从过去的发达资本主义国家的一统天下，变为不同类型国家相互 合作和相互竞争。但发达国家继续在国际贸易中占据支配地位。 ②各种类型国家的对外贸易都有了不同程度的增长。但增长最快的是发达国家相互 间的贸易，发达国家与发展中国家间的贸易相对缩减。 ③在发达国家中，日本和欧洲的贸易地位上升较快。 ④在发展中国家中，新兴工业化国家和地区的对外贸易增长率处于领先地位。 ⑤经济贸易集团内部各成员间的贸易发展十分迅速，成为战后国际贸易发展的一个 重要特征。 (3)国际贸易内容的变化：战后，特别是近一、二十年来，国际贸易的内容具有突出的新特点： ①国际贸易的内容在比例、结构上发生了重大变化。 ②多边贸易的内容和范围大大扩展。 ③商品贸易、服务贸易、技术贸易及与贸易有关的投资四位一体迅速发展，互相促 进。 ④军火贸易不断增长。 2．一国制定对外贸易政策时应该考虑哪些因素？ 一般来说，一个国家或地区在制定对外贸易政策时，主要考虑下列因素： （1）本国的经济发展水平和商品竞争能力。一般来说，经济发展水平较高、商品竞争能力较强的国家，往往选择实行自由贸易政策；反之，经济发展水平较低、商品竞争能力较弱的国家，则常常选择实行保护贸易政策。因此，发达国家多倡导贸易自由化，发展中国家则推崇贸易保护主义。 （2）本国的经济结构和产业结构。传统产业（如农业、手工业）占主导地位、量子力学试题及答案
第五章课后习题答案
周世勋量子力学习题及解答
第五章课后习题与答案