八年级数学下册第1章直角三角形1.3直角三角形全等的判定习题新版湘教
(6)
,AC=DF(AAS).
【解析】要利用题中的“直角三角形有一个角是直角”的条件, 找准对应元素及三角形全等的判定方法. 答案:(1)AC=DF (2)CB=FE (3)HL (4)AB=DE (5)AAS (6)∠B=∠E
3.(2013·绥化中考)如图,A,B,C三点在同
一条直线上,∠A=∠C=90°,AB=CD,请添加
3.如图,长方形ABCD中,E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长 线于点F,连接BD,DF,则图中全等的直角三角形共有 ( )
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
【解析】选B.图中全等的直角三角形有:△AED≌△FEC,
△BDC≌△FDC≌△DBA,共4对.
【变式训练】如图,AC,BD是长方形ABCD的
【高手支招】在解决开放性探究问题时,首先从题中找到已知条 件、隐含条件和可证出的条件,然后再利用三角形全等的判定条 件来寻找缺少的条件.
4.(2013·陕西中考)如图,∠AOB=90°,OA=OB,直线l经过点O, 分别过A,B两点作AC⊥l交l于点C,BD⊥l交l于点D. 求证:AC=OD.
【证明】∵∠AOB=90°, ∴∠AOC+∠BOD=90°, ∵AC⊥l,BD⊥l, ∴∠ACO=∠BDO=90°, ∴∠A+∠AOC=90°, ∴∠A=∠BOD, 在△AOC和△OBD中, ∠A=∠BOD,∠ACO=∠BDO=90°,OA=OB, ∴△AOC≌△OBD(AAS),∴AC=OD.
A.∠DAE=∠CBE B.CE=DE C.△DAE与△CBE不一定全等 D.∠1=∠2
【解析】选C.∵AD=BC,∠C=∠D=90°,∠DEA=∠CEB, ∴△DAE≌△CBE(C选项不正确), ∴∠DAE=∠CBE(A选项正确), CE=DE(B选项正确), ∵AD=BC,∠C=∠D=90°,AB=BA, ∴△ABC≌△BAD. ∴∠1=∠2(D选项正确).
5.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC 上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF. (2)若∠CAE=30°,∠BAC=45°,求∠ACF的度数.
【解析】(1)∵∠ABC=90°， ∴△ABE和△CBF均为直角三角形，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE CF， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). AB CB，
5.如图,△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于D, 点E在AD上,且BE=AC,求证:DE=CD. 【证明】∵∠ABC=45°,AD⊥BC, ∴AD=BD,∠BDE=∠ADC=90°. 又∵BE=AC, ∴△BDE≌△ADC(HL). ∴DE=CD.
6.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D为斜边BC上一点,且BD=BA, 过点D作BC的垂线,交AC于点E.求证:AE=ED.
;若添加条件AC=EC,
则可以用
判定全等.
【解析】∵AB⊥BD,AB∥ED,∴ED⊥BD, ∴∠B=∠D=90°; ①又∵AB=ED, ∴在△ABC和△EDC中,当BC=DC时,△ABC≌△EDC(SAS); ②在Rt△ABC和Rt△EDC中,AB=ED,AC=EC,由“HL”定理可 得Rt△ABC≌Rt△EDC(HL). 答案:BC=DC HL
【自主解答】(1)∵AB=AC，D是BC的中点， ∴∠BDE=∠CDE=90°，
在△BDE和△CDE中，BD CD， BDE CDE，
∴△BDE≌△CDE(SAS)，DE DE，
∴BE=CE.
(2)∵∠BAC=45°，BF⊥AF， ∴△ABF为等腰直角三角形，∴AF=BF， ∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC， ∴∠EAF+∠C=90°， ∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBF，
Байду номын сангаас
【自主解答】BE=CF.理由如下： ∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD. ∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°. 又∠B=90°，∴∠B=∠AFD.
在△ABD和△AFD中，
BAD FAD， ∴△ABD≌△AFD(AAS),A∴DBBD A=DAF.FDD. ，
在Rt△EBD和Rt△CFD中，DBDE
A.145°
B.130°
C.110°
D.70°
【解析】选C.∵∠ABC=∠ADC=90°, ∴在Rt△ABC与Rt△ADC中, CB=CD,AC=AC, ∴△ABC≌△ADC,又∠BAC=35°, ∴∠ACD=∠ACB=55°, ∴∠BCD=110°.
2.如图,AD=BC,∠C=∠D=90°,下列结论中不成立的是 ( )
【思路点拨】(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BDE= ∠CDE,然后利用“边角边”证明△BDE和△CDE全等即可. (2)先判定△ABF为等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的 两直角边相等可得AF=BF,再根据同角的余角相等求出∠EAF= ∠CBF,然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可.
一个适当的条件
,使得
△EAB≌△BCD.
【解析】∵∠A=∠C=90°,AB=CD, ∴若利用“SAS”,可添加AE=CB, 若利用“HL”,可添加EB=BD, 若利用“ASA”或“AAS”,可添加∠EBD=90°, 若添加∠E=∠DBC,可利用“AAS”证明.综上所述,可添加的条 件为AE=CB(或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等). 答案:AE=CB(或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等,答案不 唯一)
× (3)有两条边对应相等的三角形全等. ( )
× (4)一条直角边和一个锐角对应相等的三角形全等. ( )
√
知识点 1 应用“HL”证明直角三角形全等 【例1】如图,在△ABC中,∠B=90°,AD为 ∠BAC的平分线,DF⊥AC于F,DE=DC,那么 BE=CF吗?请说明理由. 【思路点拨】先下结论BE=CF,再说明理由:先证∠BAD=∠CAD, ∠B=∠AFD,得出△ABD≌△AFD,BD=FD,再证Rt△EBD≌Rt△CFD, 证得BE=CF.
DC， FD.
∴Rt△EBD≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF.
【总结提升】应用“HL”应注意的三个问题 1.“HL”是判定两个直角三角形全等的方法,对于一般的三角 形不成立,在使用时一定要注意其应用的范围. 2.在书写格式上,三角形的前面必须注明“Rt”. 3.在题设中,没有指明但又是直角三角形的,必须依照定义说明 或推证是直角三角形,否则不能直接应用“HL”.
(2)∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BAE=∠BCF， 又∵∠CAE=30°,∠BAC=45°， ∴∠BAE=15°,∴∠BCF=15°， 又∠ABC=90°，AB=CB，∴∠ACB=45°, ∴∠ACF=45°+15°=60°.
【想一想错在哪？】两个三角形的两边及其中一边上的高对应 相等，这两个三角形是否全等？若全等，请给出证明；若不全 等，请说明理由.
提示：此题没考虑一个三角形是锐角三角形，而另一个三角形 为钝角三角形的情况.
【总结】
斜边、直角边定理:_____和一条_______对应相等的两个
斜边
直角边
直角三角形全等(可以简写成“_____________”或“___”).
斜边、直角边
HL
(打“√”或“×”)
(1)“HL”定理适合所有三角形全等的判定. ( × ) (2)判定两个直角三角形全等只能用“HL”定理. ( )
∴四边形AFCE的面积与正方形ABCD的面积相等， ∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD＝AB2＝16.
2.把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.
(1)
,∠A=∠D(ASA).
(2)AC=DF,
(SAS).
(3)AB=DE,BC=EF( ).
(4)AC=DF,
(HL).
(5)∠A=∠D,BC=EF( ).
知识点 2 选定合适方法判定直角三角形全等 【例2】(2013·荆门中考)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的 中点,点E在AD上. (1)求证:BE=CE. (2)如图2,若BE 的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其 他条件不变. 求证:△AEF≌△BCF.
【证明】连接BE，∵DE为BC的垂线，∴∠BDE=90°. ∴∠BDE=∠A. 在Rt△BDE和Rt△BAE中，
BE BE, ∴RBDt△BBDAE，≌Rt△BAE(HL)，∴AE=ED.
题组二:选定合适方法判定直角三角形全等
1.如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,过点A
作FA⊥AE交CB的延长线于点F.若AB=4,则四
对角线,过点D作DE∥AC交BC的延长线于E,
则图中与△ABC全等的三角形共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选D.与△ABC全等的三角形为△ADC,△BAD,△DCB,
△DCE共4个.
4.如图,已知AB⊥BD,AB∥ED,AB=ED,要说明△ABC≌△EDC,若以
“SAS”为依据,还要添加的条件为
1.3 直角三角形全等的判定
1.掌握“HL”定理,会用“HL”定理判定两个直角三角形全 等.(重点) 2.会选用合适的方法判定两个直角三角形全等.(难点)
斜边、直角边定理 如图,在△ABC与△DEF中,∠A=∠D=90°,AB=DE,BC=EF.
【思考】 (1)AC与DF相等吗?为什么? 提示:AC=DF.理由如下: ∵∠A=∠D=90°, 根据勾股定理得AB2+AC2=BC2,DE2+DF2=EF2, 又∵AB=DE,BC=EF,∴AC=DF. (2)△ABC与△DEF全等吗?为什么? 提示:全等.∵AB=DE,BC=EF,AC=DF. ∴△ABC≌△DEF(SSS).
1.3 直角三角形全等的判定课件-2023-2024学年湘教版数学八年级下册
4
.
第10题图
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，一条线段PQ＝AB＝10，点P
在边AC上运动，点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上运动.若以A，P，Q为顶点
的三角形与△ABC全等，则AP的长为
6或8
.
第11题图
.
第4题图
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
5.如图，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且AF＝BE，AC＝BD.有下列结论：①
Rt△AEC≌Rt△BFD；②∠C＋∠B＝90°；③∠A＝∠D；④AC∥BD.其中正确的结
论为
①②④
.（填序号）
第5题图
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
3.如图，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D.若CB＝CD，且∠BAC＝30°，则∠BAD的度
数为
60° .
第3题力提升练 素养拓展练
4.如图，已知CD，BE是△ABC的高，且BD＝CE，若CD＝4，则BE的长为
4
9.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，且OB＝
OC.有下列结论：①∠1＝∠2；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；④图中有
四组三角形全等.其中正确的有（ D ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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湘教版八年级数学下册第一章《直角三角形》优课件
知识点回顾
直角三角形：有一个角是直角的三角形
一、直角三角形的性质：
1.直角三角形的两个锐角互余；
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3.直角三角形中,30O角所对直角边是斜边的一半；
4.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； (勾股定理)
熟记以下几组勾股数: 3、4、5； 5、12、13； 7、24、25；8、15、17
A
3
B
1
C
4
E
2
D
例4：如图：AD是△ABC中BC边上的高，E 为AC上一点，BE交AD于F，BF=AC， FD=CD，问BE，AC互相垂直么？请说明 理由
A
FE
B
DC
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
3、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2ｃｍ， 则AB=_____ｃｍ。
4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，
AB=a，则DB等于（ ）
a
a
a
（A） （B） （C） （D）以上结果都不对
2
3
4
想一想
5、下图中的三角形是直角三角形,其余是 正方形,求下列图中字母所表示的正方形的 面积.
二、直角三角形的判定：
1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形
2. 有两个角是互余的三角形是直角三角形 3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，
则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）
三、直角三角形全等的判定：
1.3直角三角形全等的判定
B′
C′
推进新课
对于Rt△ABC中，∠B=∠B´=90°，还要满足什 么条件，△ABC≌△A´B´C´？
A A´
B
┓
C B´ ┓
C´
1.添加AB=A´B´，BC=B´C´，利用“SAS”可证明 △ABC≌△A´B´C´ 2.添加AB=A´B´，∠A=∠A´，利用“ASA”可证明 △ABC≌△A´B´C´ 3.添加∠A=∠A´，AC=A´C´ ，利用“AAS”可证明 △ABC≌△A´B´C´。
A
B
AB=BA AC=BD ∴Rt△ABC≌ Rt △BAD （HL）
∴BC=AD （全等三角形对应边相等）
（2）如图，C是路段AB的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行 走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB， EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为 什么？ D 实际问题 数学问题 求证：ＤＡ＝ＥＢ。
D ）
A.一个锐角对应相等
C.一条边对应相等
B.两个锐角对应相等
D.斜边和一条直角边对应相等
2.如图，AD⊥BE,垂足C是BE的中点，AB=DE,若要证
△ABC≌ △DEC,可以根据（
A.边边边公理 B.斜边、直角边公理 C.角边角公理 D.边角边公理
B
）
E
A C B
D
3.如图，∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌△BAD， 还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相 应的括号内填写出判定它们全等的理由。
CD 与CE 相等吗？
①ＡＣ＝ＢＣ
A C E B
②ＣＤ＝ＣＥ
证明： ∵DA⊥AB，EB⊥AB， ∴∠A和∠B都是直角。
又∵是AB的中点， ∴AC=BC
八下第1章直角三角形1-1直角三角形的性质和判定Ⅰ第2课时含30°角的直角三角形的性质习题新版湘教版
腰长为12 m，则底边上的高是( B
A.4 m
B.6 m
C.10 m
D.12 m
)
(第6题)
7.(母题：教材P8习题T6)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点
E是边AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分边AB，垂足
为点D.若EC＝3 cm，则AE的长为 6 cm
∴∠B＝30°，∴∠BAC＝ (180°－∠B)＝75°.
②如图(b)，AC＝BC，AD⊥BC交BC的延长线于点D，
AD在三角形的外部，∴∠CAB＝∠B.由题意知AD＝ BC＝
AC，∴∠ACD＝30°＝∠B＋∠CAB.
∵∠B＝∠CAB，∴∠BAC＝ ∠ACD＝15°.
③如图(c)，AC＝AB，AD⊥BC，BC边为等腰三角形底
交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的
是( D
)
A.∠CAD＝30°
B.AD＝BD
C.BD＝2CD
D.CD＝ED
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC
绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在
AB上.
(1)若AC＝4，求DE的长度；
【解】在△ABC中，∠ACB＝90°，
形状
12. [新考法 分类判断法]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°，BC＝12 cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运
动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动.如果动点P以2
cm/s，动点Q以1 cm/s的速度同时出发，设运动时间为t
s，解答下面的问题：
湘教版数学八年级下册 直角三角形全等的判定
“斜边、 直角边”
前 提 在直角三角形中 条件
A' ∴Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'.
知识要点 “斜边、直角边”定理
文字语言：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
B
几何“语S言SA：”可以判定两个直
在 Rt△角A三BC角和形全Rt△等A，′B但′C是′ 中“，边 A
C
AB=边A”′B′指，的是斜边和一直角
则 △ADB 与 △ADC 全等 (填“全等”或
“不全等”)，根据 HL (用简写法).
┑
4. 如图，在 △ABC 中，已知 BD ⊥ AC，CE ⊥AB，
BD = CE. 求证：△EBC ≌ △DCB.
A
证明：∵ BD ⊥ AC，CE ⊥ AB，
∴∠BEC = ∠BDC = 90°.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
为什么？
B
C B′
C′
2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相
等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3. 两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直 角三角形全等吗？为什么？
动脑想一想
B
A E
我们知道，证明三角形全等不存 在 SSA 定理.
C
D
F
动脑想一想
C
B C'
B'
如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠C = ∠C' = 90°， 且 AB = A'B'，AC = A'C'，现在能
CE = BD，
E
D
∴ Rt△EBBCC=≌CRBt，△DCB (HL).
八年级数学下册第1章直角三角形1.3直角三角形全等的判定习题课件新版湘教版
【证明】连接BE，∵DE为BC的垂线，∴∠BDE=90°.
∴∠BDE=∠A.
在Rt△BDE和Rt△BAE中，
BE BE,
B
D
BA，
∴Rt△BDE≌Rt△BAE(HL)，∴AE=ED.
题组二:选定合适方法判定直角三角形全等
1.如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,过点A
作FA⊥AE交CB的延长线于点F.若AB=4,则四
5.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC 上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF. (2)若∠CAE=30°,∠BAC=45°,求∠ACF的度数.
【解析】(1)∵∠ABC=90°，
∴△ABE和△CBF均为直角三角形，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
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对角线,过点D作DE∥AC交BC的延长线于E,
则图中与△ABC全等的三角形共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选D.与△ABC全等的三角形为△ADC,△BAD,△DCB,
△DCE共4个.
4.如图,已知AB⊥BD,AB∥ED,AB=ED,要说明△ABC≌△EDC,若以
“SAS”为依据,还要添加的条件为
知识点 2 选定合适方法判定直角三角形全等 【例2】(2013·荆门中考)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的 中点,点E在AD上. (1)求证:BE=CE. (2)如图2,若BE 的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其 他条件不变. 求证:△AEF≌△BCF.
∴∠EAF+∠C=90°，
湘教版八年级下册数学直角三角形全等的判定21同步测试题
1.3 直角三角形全等的判定要点感知斜边、直角边定理：斜边和__________条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简称“斜边、直角边”或“HL”.预习练习如图,AB=CD,AE⊥BC于点E,DF⊥BC于点F,若BE=CF,则△ABE≌△__________,其依据是________.知识点1 直角三角形全等的判定1.如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，则△ABC≌△DCB的依据是( )A.HLB.ASAC.AASD.SAS第1题图第3题图第4题图2.在下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )A.两条直角边对应相等B.两个锐角对应相等C.一个锐角和它所对的直角边对应相等D.一条斜边和一条直角边对应相等3.如图所示,AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,则图中全等的三角形有( )A.1对B.2对C.3对D.4对4.已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE=DF，AB=DC，则△ABE≌△__________.5.如图,已知BD⊥AE于点B,C是BD上一点,且BC=BE,要使Rt△ABC ≌Rt△DBE,应补充的条件是∠A=∠D或__________或__________或__________.第5题图第6题图第7题图6.已知：如图，BE、CD为△ABC的高，且BE=CD，BE、CD交于点P，若BD=2，则CE=__________.7.已知：如图，AB=CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=__________.8.已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为B、E且AC=DF，连接AC、DF.求证：∠A=∠D.9.已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE=BF.求证：AB∥CD.知识点2 作直角三角形10.已知一条斜边和一条直角边，求作直角三角形，作图的依据是__________.11.已知Rt△ABC，∠ACB=90°，请利用直角三角形全等的判定HL，求作三角形Rt△DEF，使Rt△DEF≌Rt△ABC.12.用三角尺可按下面方法画角平分线：如图，在已知∠AOB两边上分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.作图过程用到了△OPM≌△OPN，那么△OPM≌△OPN的依据是__________.第12题图第13题图第14题图13.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加一个条件__________.14.如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E,则有( )A.DE=DBB.DE=AEC.AE=BED.AE=BD15.如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2.求证：△ADE≌△BEC.16.如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，若有BF=AC，FD=CD，试探究BE与AC的位置关系.17.用尺规作一个直角三角形，使其中一条边长为a，这条边所对的角为30°.18.已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB ＝OC.(1)如图1,若点O在边BC上,求证：∠ABO＝∠ACO；(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证：∠ABO=∠ACO.参考答案要点感知一预习练习DCF HL1.A2.B3.C4.DCF5.AB=DB AC=DE ∠ACB=∠DEB6.27.30°8.证明：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC.即BC=EF.∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠B=∠E=90°.在Rt△ABC与Rt△DEF中，∵AC=DF，BC=EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠A=∠D.9.证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,DE=BF，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴∠ACD=∠CAB.∴AB∥CD.10.HL11.作法：(1)作∠MFN=90°.(2)在FM上截取FD，使FD=CA.(3)以D为圆心，以AB为半径画弧，交FN于点E，连接DE.则△DEF为所求作的直角三角形.12.HL 13.AB=AC 14.B15.证明：∵∠1=∠2，∴DE=CE.∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°.∴△ADE和△EBC是直角三角形.而AD=BE，DE=CE，∴△ADE≌△BEC(HL).16.BE与AC垂直.理由：∵AD是△ABC的高，∴∠BDF=∠ADC=90°.∴在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=AC，FD=CD.∴Rt△BDF≌△Rt△ADC(HL).∴∠DBF=∠DAC.∵∠ADC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°.∴∠DBF+∠ACD=90°.∴∠BEC=90°.∴BE⊥AC.17.已知：线段a，求作：Rt△ABC，使BC=a，∠ACB=90°，∠A=30°.作法：(1)作∠MCN=90°.(2)在CN上截取CB，使CB=a.(3)以B为圆心，以2a为半径画弧，交CM于点A，连接AB.则△ABC为所求作的直角三角形.18.证明：(1)过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E、F分别是垂足，再利用“HL”证明Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠ABO=∠ACO.(2)过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E、F分别是垂足,再利用“HL”证明Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠ABO=∠ACO.八年级下册数学期末测试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）以下列各组数为边长能构成直角三角形的是（）A．1，1，B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，113．（3分）在下列所给出坐标的点中，在第三象限的是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）4．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，点D 为AB的中点，则CD=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm5．（3分）已知▱ABCD的周长是26cm，其中△ABC的周长是18cm，则AC的长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．5cm6．（3分）菱形的两条对角线长为6cm 和8cm，那么这个菱形的周长为（）A．40 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm7．（3分）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线平分一组对角B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．四条边相等8．（3分）汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t （小时）的函数关系用图象表示为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）已知点P（3，2）在一次函数y=x+b的图象上，则b= ．10．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．11．（3分）已知y与x成正比例，且当x=1时，y=2，则当x=4时，y= ．12．（3分）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是．（写一种即可）13．（3分）将点P （﹣3，4）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到点Q，则点Q的坐标是．14．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是．15．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O 的直线分别交AD、BC于点E、F，已知AD=4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，对角线AC长为cm．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（用n表示）．三、解答题（本大题共8个小题，共计72分）17．（6分）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为．18．（8分）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E CF⊥AD于F，且BC=DC．求证：BE=DF．19．（8分）已知一次函数y=（2m+1）x+m﹣3．（1）若这个函数的图象经过原点，求m的值；（2）若这个函数的图象经过一、三、四象限，求m的取值范围．20．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．21．（10分）为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师对该校八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：组别次数x 频数（人数）第1组80≤x＜100 6第2组100≤x＜120 8第3组120≤x＜140 a第4组140≤x＜160 18第5组160≤x＜180 6请结合图表完成下列问题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，则该校八年级共1000人中，一分钟跳绳不合格的人数大约有多少？22．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是32cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．23．（10分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：（1）线段CD表示轿车在途中停留了h；（2）货车的平均速度是km/h；（3）求线段DE对应的函数解析式．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=1cm，AD=3cm，点Q 从A点出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D运动，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，两点同时出发，运动了t秒．（1）当0＜t＜3，判断四边形BQDP的形状，并说明理由；（2）求四边形BQDP的面积S与运动时间t的函数关系式；（3）求当t为何值时，四边形BQDP为菱形．2016-2017学年湖南省张家界市永定区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）1．（3分）（2017春•永定区期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）（2017春•永定区期末）以下列各组数为边长能构成直角三角形的是（）A．1，1，B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，11【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵12+12=2=（）2，∴能构成直角三角形，故本选项正确；B、∵22+32=25≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵42+52=41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵62+82=100≠112，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．3．（3分）（2017春•永定区期末）在下列所给出坐标的点中，在第三象限的是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【解答】解：A、（2，3）第一象限，B、（﹣2，﹣3）第三象限，C、（﹣2，3）第二象限，D、（2，﹣3）第四象限，故选：B．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．（3分）（2017春•永定区期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，点D为AB的中点，则CD=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2BC=8cm，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵点D为AB的中点，∴CD=4cm，故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半、斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．5．（3分）（2017春•永定区期末）已知▱ABCD的周长是26cm，其中△ABC的周长是18cm，则AC的长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．5cm【分析】根据题意得出平行四边形的邻边长的和为13cm，进而利用△ABC的周长是18cm求出AC即可．【解答】解：如图所示：∵▱ABCD的周长是26cm，∴AB+BC=13cm，∵△ABC的周长是18cm，∴AC=18﹣13=5（cm）．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，得出AB+BC=13cm是解题关键．6．（3分）（2017春•永定区期末）菱形的两条对角线长为6cm 和8cm，那么这个菱形的周长为（）A．40 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm【分析】首先根据题意画出图形，由菱形ABCD中，AC=6，BD=8，即可得AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，然后利用勾股定理求得这个菱形的边长．【解答】解：∵菱形ABCD中，AC=6，BD=8，∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，∴AB==5．即这个菱形的周长为：20．故选B．【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的对角线互相平分且垂直．7．（3分）（2017春•博兴县期末）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线平分一组对角B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．四条边相等【分析】根据正方形和菱形的性质容易得出结论．【解答】解：正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：C．【点评】本题考查了正方形和菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解题的关键；注意区别．8．（3分）（2004•四川）汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为（）A．B．C．D．【分析】先根据题意列出s、t之间的函数关系式，再根据函数图象的性质和实际生活意义进行选择即可．【解答】解：根据题意可知s=400﹣100t（0≤t≤4），∴与坐标轴的交点坐标为（0，400），（4，0）．要注意x、y的取值范围（0≤t≤4，0≤y≤400）．故选C．【点评】主要考查了一次函数的图象性质，首先确定此函数为一次函数，然后根据实际意义，函数图象为一条线段，再确定选项即可．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）（2017春•永定区期末）已知点P（3，2）在一次函数y=x+b 的图象上，则b= ﹣1 ．【分析】直接把点P（3，2）代入一次函数y=x+b即可．【解答】解：∵P（3，2）在一次函数y=x+b的图象上，∴3+b=2，解得b=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．10．（3分）（2016•乌鲁木齐）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2=6，∴这个多边形是六边形．故答案为：6．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．11．（3分）（2017春•永定区期末）已知y与x成正比例，且当x=1时，y=2，则当x=4时，y= 8 ．【分析】首先根据y与x成正比例列出函数关系式，然后代入x、y的值即可求解．【解答】解：∵y与x成正比例，∴y=kx（k≠0）．∵当x=1时，y=2，∴k=2，∴y与x之间的函数解析式是y=2x，∴当x=4时，y=8．故答案为：8．【点评】本题考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将一对未知数的值代入解析式，利用方程解决问题．12．（3分）（2017春•永定区期末）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是AC=BD ．（写一种即可）【分析】根据“HL”添加AC=BD或BC=AD均可．【解答】解：可添加AC=BD，∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），故答案为：AC=BD．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．13．（3分）（2017春•永定区期末）将点P （﹣3，4）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到点Q，则点Q的坐标是（﹣1，1）．【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．【解答】解：根据题意，知点Q的坐标是（﹣3+2，4﹣3），即（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．14．（3分）（2017春•永定区期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是16 ．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4BC=4×4=16．故答案为16．【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．15．（3分）（2017春•永定区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点E、F，已知AD=4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，对角线AC长为 5 cm．【分析】根据矩形的性质，采用勾股定理求解即可．【解答】解：∵图中阴影部分的面积总和为6cm2，AD=4cm，则AD ×CD=×4×CD=6，CD=3，在直角三角形ACD中AD=4，CD=3，由勾股定理得AC=5，∴对角线AC长为5cm．故答案为5．【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理，是基础知识比较简单．16．（3分）（2013•聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（2n，1）（用n 表示）．【分析】根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可．【解答】解：由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），所以，点A4n+1（2n，1）．故答案为：（2n，1）．【点评】本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的对应的坐标是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共计72分）17．（6分）（2014•湘潭）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为（﹣2，3）．【分析】（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答；（2）根据网格结构找出点A、O、B向左平移后的对应点A1、O1、B1的位置，然后顺次连接即可；（3）根据平面直角坐标系写出坐标即可．【解答】解：（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；（2）△A1O1B1如图所示；（3）A1的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（1）（﹣3，2）；（3）（﹣2，3）．【点评】本题考查了利用平移变换作图，关于y轴对称点的坐标，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．18．（8分）（2017春•永定区期末）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E CF⊥AD于F，且BC=DC．求证：BE=DF．【分析】根据角平分线的性质就可以得出CE=CF，再由HL证明△CEB ≌△CFD就可以得出结论．【解答】证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E CF⊥AD于F，∴∠F=∠CEB=90°，CE=CF．在Rt△CEB和Rt△CFD中，∴△CEB≌△CFD（HL），∴BE=DF．【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明△CEB≌△CFD是关键．19．（8分）（2017春•永定区期末）已知一次函数y=（2m+1）x+m ﹣3．（1）若这个函数的图象经过原点，求m的值；（2）若这个函数的图象经过一、三、四象限，求m的取值范围．【分析】（1）由一次函数图象经过原点，可得出m﹣3=0，解之即可得出结论；（2）由一次函数图象经过一、三、四象限，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵一次函数y=（2m+1）x+m﹣3的图象经过原点，∴m﹣3=0，解得：m=3．（2）∵一次函数y=（2m+1）x+m﹣3的图象经过一、三、四象限，∴，解得：﹣＜m＜3．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，找出m﹣3=0；（2）根据一次函数图象与系数的关系，找出关于m的一元一次不等式组．20．（8分）（2017春•永定区期末）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：连接AC．∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC==，在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD，=×1×2+××2，=1+．故四边形ABCD的面积为1+．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．21．（10分）（2017春•永定区期末）为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师对该校八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：组别次数x 频数（人数）第1组80≤x＜100 6第2组100≤x＜120 8第3组120≤x＜140 a第4组140≤x＜160 18第5组160≤x＜180 6请结合图表完成下列问题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，则该校八年级共1000人中，一分钟跳绳不合格的人数大约有多少？【分析】（1）本题需先根据表中所给的数据以及频数与频率之间的关系即可求出答案；（2）本题需根据频数分布表中的数据即可将直方图补充完整；（3）从表格中可以知道在一分钟内跳绳次数少于120次的有两个小组，共6+8=14人，然后除以总人数即可求出该校九年级（1）班学生进行一分钟跳绳不合格的概率，然后即可得出人数；【解答】解：（1）a=50﹣（6+8+18+6）=12；（2）频数分布直方图如图所示：（3）抽样调查中不合格的频率为：=0.28，估计该年级学生不合格的人数大约有1000×0.28=280（个）答：估计该年级学生不合格的人数大约有280个人．【点评】此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（10分）（2017春•永定区期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC 与∠BAD的度数比为1：2，周长是32cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．【分析】（1）首先证明△ABC是等边三角形，解直角三角形OAB即可解决问题；（2）菱形的面积等于对角线乘积的一半；【解答】解：（1）菱形ABCD的周长为32cm，∴菱形的边长为32÷4=8cm∵∠ABC：∠BAD=1：2，∠ABC+∠BAD=180°（菱形的邻角互补），∴∠ABC=60°，∠BCD=120°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=8cm，∵菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，∴AO=CO，BO=DO且AC⊥BD，∴BO=4cm，∴BD=8cm；（2）菱形的面积=AC•BD=×8×8=32（cm2）．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是证明△ABC是等边三角形，属于中考常考题型．23．（10分）（2017春•永定区期末）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：（1）线段CD表示轿车在途中停留了0.5 h；（2）货车的平均速度是60 km/h；（3）求线段DE对应的函数解析式．【分析】（1）根据点C、D的横坐标，即可求出轿车在途中停留的时间；（2）根据速度=路程÷时间，即可求出货车的平均速度；（3）观察函数图象，找出点的坐标，利用待定系数法即可求出线段DE对应的函数解析式．【解答】解：（1）2.5﹣2=0.5（h）．故答案为：0.5．（2）300÷5=60（km/h）．故答案为：60．（3）设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b（2.5≤x≤4.5），将点D（2.5，80）、点E（4.5，300）代入y=kx+b，，解得：．∴线段DE对应的函数解析式为y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）．【点评】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用点D的横坐标﹣点C的横坐标，求出停留时间；（2）根据数量关系，列式计算；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出线段DE的函数解析式．24．（12分）（2017春•永定区期末）如图，在矩形ABCD中，AB=1cm，AD=3cm，点Q从A点出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D运动，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，两点同时出发，运动了t秒．（1）当0＜t＜3，判断四边形BQDP的形状，并说明理由；（2）求四边形BQDP的面积S与运动时间t的函数关系式；（3）求当t为何值时，四边形BQDP为菱形．【分析】（1）先判断出AD∥BC，AD=BC=3，再由运动知，AQ=PC=t，即可得出结论；（2）利用平行四边形的面积公式即可得出结论；（3）利用勾股定理表示出BQ，再由BQ=BP建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC=3，由运动知，AQ=t，PC=t，∴AQ=PC，∴AD﹣AQ=BC﹣PC，∴DQ=BP，∵AD∥BC，∴四边形BQDP为平行四边形，（2）由（1）知，四边形BQDP是平行四边形，∵PC=t，∴BP=BC﹣PC=3﹣t，∴S=BP×AB=（3﹣t）×1=﹣t+3（3）如图，在Rt△ABQ中，AQ=t，AB=1，根据勾股定理得，BQ==，由运动知，CP=t，∴BP=3﹣t，∵平行四边形BQDP是菱形，∴BQ=BP，∴=3﹣t，∴t=，当时，四边形BQDP为菱形．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解（1）的关键是得出AQ=PC，解（2）的关键是利用平行四边形的面积公式求解，解（3）的关键是表示出BQ，用BQ=BP建立方程求解，是一道中等难度的题目．厚薄读书法：复习课本要厚薄结合著名数学家华罗庚先生说:“书要能从薄读到厚,还要能从厚读到薄。
八年级数学下册《直角三角形》练习题与答案(湘教版)
八年级数学下册《直角三角形》练习题与答案(湘教版)一、选择题1.小明同学把一个含有450角的直角三角板在如图所示的两条平行线m,n上，测得，则的度数是( )A.450B.550C.650D.7502.如图，图中直角三角形共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.下列三角形中，可以构成直角三角形的有( )A.三边长分别为2，2，3B.三边长分别为3，3，5C.三边长分别为4，5，6D.三边长分别为1.5，2，2.54.在Rt△ABC中，∠C＝90°.如果BC＝3，AC＝5，那么AB＝( )A.34B.4C.4或34D.以上都不对5.如图， OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且OD=OE，则△AOD与△AOE全等的理由是( )A.SASB.ASAC.SSSD.HL6.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,则AB等于 ( )A.2B.3C.4D.68.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A.(1，1)B.(3，1)C.(3，3)D.(1，3)9.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为(6a，2b－1)，则a和b的数量关系为( )A.6a－2b＝1B.6a＋2b＝1C.6a－b＝1D.6a＋b＝110.如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是( )A.∠C＝∠ABCB.BA＝BGC.AE＝CED.AF＝FD11.如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝( )A. 6B. 3C. 2D. 1.512.如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD 相交于点P，连接AP.有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBD +S△PCE＝S△PBC.其中正确的个数是( )A.2B.3C.4D.5二、填空题13.如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．14.等腰三角形一底角是30°，底边上的高为9 cm，则其腰长为________，顶角为________.15.已知等腰直角三角形的面积为2，则它的周长为.(结果保留根号)16.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．17.如图，在△ABC中，已知AD是角平分线，DE⊥AC于E，AC＝4，S＝6，则点D到AB的距△ADC离是________.18.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为.三、作图题19.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，BC=3．①在BC、BA上分别截取BD、BE，使BD=BE；②分别以D、E为圆心、以大于0.5DE的长为半径作圆弧，在∠ABC内两弧交于点O；③作射线BO交AC于点F．若点P是AB上的动点，则FP的最小值为．四、解答题20.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连接AD.(1)若∠BAD＝45°，求证：△ACD为等腰三角形；(2)若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数.21.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上一点，且AE=BC，∠1=∠2.求证：△ADE≌△BEC.22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数.(2)若AC＝2，求AD的长.23.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知它的周长为626且c＝26.(1)比较大小：6____26.(2)求△ABC的面积．24.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝11，求BC的长．25.如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC.已知AB＝5，DE＝9，BD＝8，设CD＝x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长．(2)请问：点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？(3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值．参考答案1.D.2.C3.D.4.A.5.D.6.B.7.C8.D9.B10.B11.D.12.C13.答案为：25.14.答案为：18 cm 120°15.答案为：4＋2 2.16.答案为：8．17.答案为：3.18.答案为：6.19.答案为1．20.证明：(1)∵AB＝AC，∠B＝30°∴∠B＝∠C＝30°∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°∵∠BAD＝45°∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣45°＝75°，∠ADC＝∠B＋∠BAD＝75°∴∠ADC＝∠CAD∴AC＝CD，即△ACD为等腰三角形；(2)解：有两种情况：①当∠ADC＝90°时∵∠B＝30°∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；②当∠CAD＝90°时，∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣90°＝30°；即∠BAD的度数是60°或30°.21.证明：∵∠1=∠2∴DE=EC.又∵∠A=∠B=90°，AE=BC∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).22.解：(1)∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°；(2)∵AD⊥BC∴△ADC是直角三角形∵∠C＝45°∴∠DAC＝45°∴AD＝DC∵AC＝2∴AD＝ 2.23.解：(1)>；(2)∵∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c它的周长为6＋26且c＝26∴a＋b＝6，a2＋b2＝c2＝26∴(a＋b)2＝36∴a2＋b2＋2ab＝36∴2ab＝10∴12ab＝52，即△ABC的面积为52.24.解：延长AD至点E，使AD＝ED，连结CE.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.在△ABD 和△ECD 中∵⎩⎨⎧AD ＝ED ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ECD(SAS)∴EC ＝AB ＝ 2 ∴∠CED ＝∠BAD ＝90°.在Rt △AEC 中，∵AE 2＝AC 2﹣EC 2∴AE ＝（11）2－（2）2＝3∴AD ＝12AE ＝32. 在Rt △ABD 中，∵BD 2＝AB 2＋AD 2∴BD ＝172 ∴BC ＝2BD ＝17.25.解：(1)AC ＋CE ＝（8－x ）2＋25＋x 2＋81.(2)当A ，C ，E 三点共线时，AC ＋CE 的值最小．(3)如图，作BD ＝12，过点B 作AB ⊥BD ，过点D 作ED ⊥BD(点A 与点E 在BD 的异侧)，使AB ＝2，ED ＝3，连结AE 交BD 于点C设BC ＝x ，则AE 的长即为x 2＋4＋（12－x ）2＋9的最小值．过点E 作EF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F.在Rt △AEF 中，易得AF ＝2＋3＝5，EF ＝12∴AE ＝13x 2＋4＋（12－x ）2＋9的最小值为13.。
《1.3直角三角形全等的判定》作业设计方案-初中数学湘教版12八年级下册
《直角三角形全等的判定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本课时的作业练习，使学生能够熟练掌握直角三角形全等的概念，并能准确应用判定条件判断直角三角形是否全等，培养学生解决实际问题的能力，并巩固其数学逻辑思维。
二、作业内容本课时的作业内容主要围绕直角三角形全等的判定展开，具体包括：1. 基础概念练习：要求学生回顾并掌握直角三角形的定义及全等三角形的概念，并完成相关概念的填空题和选择题。
2. 判定条件应用：通过题目练习，要求学生理解并掌握直角三角形全等的SSS、SAS、ASA和HL等判定方法，并能灵活运用这些方法判断题目中给出的两个直角三角形是否全等。
3. 实际问题解决：设计一些与日常生活相关的直角三角形全等问题，如建筑工地上的测量问题、几何图案的拼接等，要求学生运用所学知识解决实际问题。
三、作业要求1. 独立完成：学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 仔细审题：在解题过程中，学生需认真审题，理解题目要求，明确解题思路。
3. 规范答题：学生需按照规范的格式和步骤进行答题，字迹工整，思路清晰。
4. 及时订正：学生需在完成作业后及时订正错误，并反思解题过程，总结经验教训。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生的答题情况，从知识掌握、解题思路、答题规范等方面进行评价。
2. 评价方式：采用教师批改、同学互评、自我评价等多种方式进行评价。
3. 反馈方式：教师需及时给出作业评价反馈，指出学生的优点和不足，并提出改进意见。
同时，教师还需针对学生的错题进行讲解，帮助学生巩固知识。
五、作业反馈1. 教师反馈：教师需在批改完作业后，针对学生的答题情况进行总结，并给出针对性的教学建议。
2. 学生自我反馈：学生需在订正错误后，反思自己的解题过程，总结经验教训，以便在今后的学习中避免类似错误。
3. 家长反馈：家长需关注孩子的作业完成情况，与孩子一起分析错题原因，帮助孩子提高数学学习能力。
通过以上作业设计，旨在通过多维度、多层次的练习，帮助学生全面掌握直角三角形全等的判定知识，并培养其解决实际问题的能力。
湘教版数学八年级下册第1章《直角三角形》
初中数学试卷2016—2017学年湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》1.1—1.2同步练习与解析一．选择题（共8小题）1．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（）A．35° B．55° C．60° D．70°2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40° B．30° C．20° D．10°3．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（）A．图中有三个直角三角形 B．∠1=∠2C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2=∠A4．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A．6 B．62C．63D．125．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，BD=6cm，则AC的长为（）A．3 B．6 C．63D．126．如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）A．10 B．6 C．8 D．57．一直角三角形的两直角边长为12和16，则斜边上中线长为（）A．20 B．10 C．18 D．258．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°二．填空题（共8小题）9．如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1= 度．10．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E 处，则∠A等于度．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′= ．12．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为米．13．若一直角三角形的两个锐角的差是20°，则其较大锐角的度数是．14．直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为．15．若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm和6cm，则斜边长为，面积为．16．如图，已知∠AOB=60°，点P在OA上，OP=8，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM= ．三．解答题（共5小题）17．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数．18．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．19．如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E．（1）若BC=3，AC=4，求CD的长；（2）求证：∠1=∠2．21．在△ABC中，CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点．（1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由．（2）若∠A=x°，求∠EFD的度数（用含x的代数式表达）．四．回顾与思考（1小题）22．在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．2016—2017学年湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》1.1—1.2同步练习解析一．选择题（共8小题）1．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（）A．35° B．55° C．60° D．70°【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CBD，再根据角平分线的定义解答．【解答】解：∵CD⊥BD，∠C=55°，∴∠CBD=90°﹣55°=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．故选D．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键．2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40° B．30° C．20° D．10°【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B 的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D=∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，∴∠B=180°﹣90°﹣55°=35°，由折叠可得：∠CA′D=∠A=55°，又∵∠CA′D为△A′BD的外角，∴∠CA′D=∠B+∠A′DB，则∠A′DB=55°﹣35°=20°．故选：C．【点评】此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．3．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（）A．图中有三个直角三角形 B．∠1=∠2C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2=∠A【分析】在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等，就可以证明各个选项．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；B、应为∠1=∠B、∠2=∠A；故本选项错误；C、∵∠1=∠B、∠2=∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；D、∵∠2=∠A；故本选项正确．故选B．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高，把这个三角形分成的两个三角形与原三角形相似．4．（2016•百色）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A．6 B．62C．63D．12【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=12AB=12×12=6，故答选A．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确的利用合适的边角关系．5．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，BD=6cm，则AC的长为（）A．3 B．6 C．63D．12【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD，进而可得答案．【解答】解：∵∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，∴AC=2BD，∵BD=6cm，∴AC=12cm，故选：D．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．6．如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）A．10 B．6 C．8 D．5【分析】由等腰三角形的性质证得BD=DC，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论．【解答】解：∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴BD=DC，∵E为AC的中点，∴DE=12AB=12×10=5，故选D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线是解决问题的关键．7．一直角三角形的两直角边长为12和16，则斜边上中线长为（）A．20 B．10 C．18 D．25【分析】根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出答案．【解答】解：∵两直角边分别为12和16，∴斜边2212+16=20，∴斜边上的中线的长为10，故选B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．8．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．【解答】解：连接AC，设每个小正方形的边长都是a，根据勾股定理可以得到：AC=BC=5a，AB=10a，∵（5a）2+（5a）2=（10a）2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，故选B．【点评】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．二．填空题（共8小题）9．（2016•安顺）如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1= 45 度．【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵m∥n，∴∠1=45°；故答案为：45．【点评】此题考查了等腰直角三角形和平行线的性质，用到的知识点是：两直线平行，同位角相和等腰直角三角形的性质；关键是求出∠ABC的度数．10．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E 处，则∠A等于30 度．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到EC=AE，从而得到∠A=∠ACE，再由折叠的性质及三角形的外角性质得到∠B=2∠A，从而不难求得∠A的度数．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，∴AE=CE，∴∠A=∠ACE，∵△CED是由△CBD折叠而成，∴∠B=∠CED，∵∠CEB=∠A+∠ACE=2∠A，∴∠B=2∠A，∵∠A+∠B=90°，∴∠A=30°．故答案为：30．【点评】此题主要考查：（1）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；（2）三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′= 10°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，根据直角三角形的性质分别求出∠BCD、∠DCA的度数，根据翻折变换的性质求出∠B′CD的度数，计算即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°，∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案为：10°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、翻折变换的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．12．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为12 米．【分析】如图，由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而离地面米处折断倒下，即BC=4米，所以得到AB=8米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．【解答】解：如图，∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，∴AB=2CB，而BC=4米，∴AB=8米，∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米．故答案为：12．【点评】此题主要利用了直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半解决问题，然后解题时要正确理解题意，把握题目的数量关系．13．若一直角三角形的两个锐角的差是20°，则其较大锐角的度数是55°．【分析】设较大的锐角度数是x°，根据直角三角形两锐角互余表示出较小的锐角，然后列出方程求解即可．【解答】解：设较大的锐角度数是x°，则较小的锐角为（90﹣x）°，由题意得，x﹣（90﹣x）=20，解得x=55，即较大锐角的度数是55°．故答案为：55°．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出方程是解题的关键．14．直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为40°．【分析】设直角三角形中一个锐角为x，另一个锐角为2x﹣60°，根据两个锐角之和为90度即可求出答案．【解答】解：设直角三角形中一个锐角为x，另一个锐角为2x﹣60°，根据两个锐角之和为90°可得，x+2x﹣60°=90°，解的x=50°，较小角为90°﹣50°=40°，故答案为40°．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形中两个锐角之和为90°，此题基础题．15．若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm和6cm，则斜边长为12cm ，面积为30cm2．【分析】根据直角三角形的斜边上中线性质求出AB，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：∵CD是Rt△ACB斜边AB上的中线，∴AB=2CD=2×6cm=12cm，∴Rt△ACB的面积S=12AB×CE=1212cm×5cm=30cm2，故答案为：12cm，30cm2．【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是根据性质求出AB 的长，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．16．如图，已知∠AOB=60°，点P在OA上，OP=8，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM= 3 ．【分析】过P作PC垂直于MN，由等腰三角形三线合一性质得到MC=CN，求出MC的长，在直角三角形OPC中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，由OC﹣MC求出OM的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN，∵PM=PN，∴C为MN中点，即MC=NC=12MN=1，在Rt△OPC中，∠AOB=60°，∴∠OPC=30°，∴OC=12OP=4，则OM=OC﹣MC=4﹣1=3，故答案为：3【点评】此题考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．三．解答题（共5小题）17．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数．【分析】在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，求得∠EBF的度数，在Rt△BCF中∠FBC=40°求得∠FBC的度数．【解答】解：在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，∴∠EBF=20°，∠ECA=20°，又∵∠BCE=30°，∴∠ACB=50°，∴在Rt△BCF中∠FBC=40°．【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．18．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°﹣∠CAF，∠AED=90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．19．如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？【分析】根据三角形外角的性质得到∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°，根据等腰三角形的性质得到AD=CD=20，由直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，∴∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°，∴∠ACB=∠CAD，∴AD=CD=20，又∵∠ABD=90°，∴AB=12AD=10， ∴树的高度为10米．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的中线，DE ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ．（1）若BC=3，AC=4，求CD 的长；（2）求证：∠1=∠2．【分析】（1）由勾股定理求出AB ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可；（2）由直角三角形的锐角关系和等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】（1）解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∴22AC BC ，∵CD 是AB 边上的中线，∴CD=12AB=2.5； （2）证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵DE ⊥AB ，∴∠A+∠1=90°，∴∠B=∠1，∵CD 是AB 边上的中线，∴BD=CD ，∴∠B=∠2，∴∠1=∠2．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质；熟记性质是解题的关键．21．在△ABC中，CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点．（1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由．（2）若∠A=x°，求∠EFD的度数（用含x的代数式表达）．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到EF=12BC，DF=12BC，等量代换即可；（2）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算；【解答】解：（1）△DEF是等腰三角形．∵CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点，∴EF=12BC，DF=12BC，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵FE=FB，FD=FC，∴∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD，∴∠FEB+∠FDC=∠FBE+∠FCD=180°﹣∠A=180°﹣x°，∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=180°﹣x°，∴∠FED+∠FDE=360°﹣（180°﹣x°）﹣（180°﹣x°）=2x°，∴∠EFD=180°﹣2x°；【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．四．回顾与思考（1小题）22．（2016•北京）在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论；（2）如图2根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，由点Q关于直线AC的对称点为M，得到AQ=AM，∠OAC=∠MAC，等量代换得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，∴∠APB=∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAP=∠CAQ=20°，∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°；（2）如图2，∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，∴∠APB=∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAP=∠CAQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，∴∠MAC=∠BAP，∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，∴∠PAM=60°，∵AP=AQ，∴AP=AM，∴△APM是等边三角形，∴AP=PM．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．。