新课标人教A版选修4-4第一讲极坐标系课时作业
高中数学 第1讲 坐标系 1 平面直角坐标系课后练习 新人教A版选修4-4(2021年整理)
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人教A版选修4—4一、选择题（每小题5分，共20分）1．点P(2，3）关于y轴的对称点是( )A．（2,3) B．(－2,3）C．（2，－3) D．(－2，－3）解析：点（x，y)关于y轴的对称点坐标为（－x，y）．所以点（2,3)关于y轴的对称点坐标是(－2，3)．答案: B2．在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换｛x′＝5·x，y′＝3·y后,曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝1，则曲线C的方程为（)A．50x2＋72y2＝1 B．9x2＋100y2＝1C．10x2＋24y2＝1 D．错误!x2＋错误!y2＝1解析: 将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．将错误!直接代入2x′2＋8y′2＝1,得2·（5x)2＋8(3y)2＝1，则50x2＋72y2＝1即为所求曲线C的方程．答案: A3．将曲线C按伸缩变换公式错误!变换得曲线方程为x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为( )A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．4x2＋9y2＝36 D．4x2＋9y2＝1解析：将x′＝2x，y′＝3y代入方程x′2＋y′2＝1得（2x）2＋（3y)2＝1，即4x2＋9y2＝1.故选D．答案：D4．将曲线F（x，y）＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的错误!,得到的曲线方程为（)A．F错误!＝0 B．F错误!＝0C．F错误!＝0 D．F错误!＝0解析: 由横坐标伸长到原来的2倍知x′＝错误!，纵坐标缩短到原来的错误!知y′＝3y。
高中数学第一章坐标系1.2.1极坐标系的概念课时提升作业含解析新人教A版选修4_4
极坐标系的概念课时提升作业一、选择题(每小题6分,共18分)1.在极坐标系中,下面点与M相同的点为( )A. B.C. D.【解析】选D.由于相同的点必须满足极径相等,极角的终边相同,且与的终边相同,所以选D.2.极坐标系中,极坐标对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为极坐标对应的点的极径大于0,极角的终边在平面直角坐标系中第三象限,所以点在第三象限.【补偿训练】在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系.若点P的直角坐标与其极坐标在数值上相同,则点P在( ) A.x轴上 B.y轴上C.射线Ox上D.射线Oy上【解析】选C.Ox轴上点的直角坐标为(x′,0)(x′≥0)与其极坐标在数值上相同.3.(2016·合肥高二检测)在极坐标系中,已知点A(4,1),B,则线段AB的长度是( )A.1B.C.7D.5【解析】选D.设极点为O.因为点A(4,1),B.所以OA⊥OB,所以AB==5.二、填空题(每小题6分,共12分)4.在极坐标系中,若两点A,B的极坐标分别为,,则△AOB(其中O为极点)的面积为_____________.【解析】由题意,∠AOB=,AO=3,OB=4,所以△AOB(其中O为极点)的面积为×3×4×sin=3.答案:35.已知在极坐标系中,极点为O,0≤θ<2π,M,在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________.【解析】在射线OM上符合条件的点为,在射线OM反向延长线上符合条件的点为.答案:或【误区警示】解析中易出现漏掉的错误,应对点M的位置全面考虑.三、解答题(每小题10分,共30分)。
高中数学第一讲极坐标系与平面直角坐标系的互化同步测试新人教A版选修4-4
极坐标系与平面直角坐标系的互化典题探究例1 将点M 的极坐标2(5,)3π化成直角坐标.例2将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.例3在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离。
例4已知,,A B C 三点的极坐标分别是52(2,),(6,),(4,6123πππ）,求ABC ∆的面积.演练方阵A 档（巩固专练）1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．点M 的极坐标是(2，3π)，则M 的直角坐标为（ ） A ．(1，3) B ．(−3，1) C ．(3，1) D ．(−1，3) 3．极坐标方程 cos ＝sin2( ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆 B ．两条射线或一个圆 C ．两条直线D ．一条射线或一个圆4．极坐标方程θρcos ＋12＝ 化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1) B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )5.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为 . 6 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .7.将下列各点的极坐标化成直角坐标:3(3,),(4,).42A B ππ--8.将下列各点的直角坐标化成极坐标:(4,43),(1,1).C D ---9.在极坐标系中,求下列两点之间的距离： (1)5(7,),(2,)44A B ππ； (2)11(6,),(4,)412A B ππ-.10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，将下列直角坐标方程（极坐标方程）转化为极坐标方程（直角坐标方程）.（1）cos sin 0x y αα-=；（2）24cos52θρ=.B 档（提升精练）1．点P 在曲线 cos ＋2 sin ＝3上，其中0≤≤4π，＞0，则点P 的轨迹是( )．A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ． 圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段2．设点P 在曲线 sin＝2上，点Q 在曲线＝－2cos上，则|PQ |的最小值为 ( )．A ．2B ．1C ．3D ．0 3．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ． 圆4．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ＝3截得的弦长为( )．A ．22B ．2C ．52D ．325 直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________6.极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是 。
选修4-4 第1讲 坐标系 配套课时作业
配套课时作业1．(2019·深圳模拟)圆心C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，且圆C 经过极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)求过圆心C 和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．解 (1)圆心C 的直角坐标为(2，2)，则设圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝r 2，依题意可知r 2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ·(sin θ＋cos θ)＝0，即ρ＝22(sin θ＋cos θ)．(2)在圆C 的直角坐标方程x 2＋y 2－22(x ＋y )＝0中，令y ＝0，得x 2－22x ＝0，解得x ＝0或22，于是得到圆C 与x 轴的交点坐标(0,0)，(22，0)，由于直线过圆心C (2，2)和点(22，0)，则该直线的直角坐标方程为y －0＝2－02－22(x －22)，即x ＋y －22＝0.化为极坐标方程得ρcos θ＋ρsin θ－22＝0.2．(2019·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝33x ，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP |·|OQ |的值． 解 (1)曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4， 即x 2＋y 2－23x －4y ＋3＝0，则曲线C 1的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0. ∵直线C 2的方程为y ＝33x ，∴直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． (2)设P (ρ1，θ1)，Q (ρ2，θ2)，将θ＝π6(ρ∈R )代入ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0得，ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP |·|OQ |＝ρ1ρ2＝3.3．(2019·福州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ<π)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程，并求C 1与C 2交点的极坐标；(2)射线θ＝β⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤β≤π3与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (A ，B 异于原点)，求|OA ||OB |的取值范围．解 (1)由题意可得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，ρcos 2θ＝sin θ，得4sin θcos 2θ＝sin θ，此时0≤θ<π，①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；②当sin θ≠0时，cos 2θ＝14，当cos θ＝12时，θ＝π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3， 当cos θ＝－12时，θ＝2π3，ρ＝23， 得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3，∴C 1与C 2交点的极坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3.(2)将θ＝β代入C 1的极坐标方程中，得ρ1＝4sin β， 代入C 2的极坐标方程中，得ρ2＝sin βcos 2β，∴|OA ||OB |＝4sin βsin βcos 2β＝4cos 2β，∵π6≤β≤π3，∴1≤4cos 2β≤3， ∴|OA ||OB |的取值范围为[1,3]．4．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ＝1.(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．解 (1)由ρ2cos2θ＝1，得ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1，化成直角坐标方程为x 2－y 2＝1.(2)解法一：把直线l 的参数方程化为标准参数方程，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12m ，y ＝32m (m 为参数)，①把①代入x 2－y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12m 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32m 2＝1，整理得m 2－4m －6＝0.设其两根为m 1，m 2，则m 1＋m 2＝4，m 1m 2＝－6. 从而弦长为|m 1－m 2|＝(m 1＋m 2)2－4m 1m 2＝42－4×(－6)＝40＝210.解法二：把直线l 的参数方程化为普通方程，得y ＝3(x －2)，代入x 2－y 2＝1，得2x 2－12x ＋13＝0.设直线l 与曲线C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝132， 所以|AB |＝1＋3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝262－26＝210.5．(2019·长春模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值． 解 (1)ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直，即k l ·k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .(2)因为M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参数)，则x ＋y ＝2sin φ＋2cos φ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2.6．(2019·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2cos θ，射线l ：θ＝α(ρ≥0)，设射线l 与曲线C 1交于点P .(1)求曲线C 1的普通方程；(2)设直线l ′：⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t (t 为参数且t ≠0)与曲线C 2交于点R ，若α＝π3，求△OPR 的面积．解 (1)曲线C 1的普通方程为x 29＋y 23＝1.(2)∵直线l ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝3t (t 为参数且t ≠0)，∴直线l ′的普通方程为y ＝－3x (x ≠0)， 极坐标方程为θ＝－π3(ρ∈R 且ρ≠0)．将直线l ′：θ＝－π3(ρ∈R 且ρ≠0)代入曲线C 2：ρ＝2cos θ中，得ρ＝1，即|OR |＝1.将射线l ：θ＝π3代入曲线C 1：ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ3＝1中，得ρ＝3105，即|OP |＝3105.设△OPR 的面积为S ，则S ＝12|OP ||OR |sin ∠POR ＝12×3105×1×sin 2π3＝33020. 7．(2019·广西模拟)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理，得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.8．(2019·合肥模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O ) .(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<π2时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围． 解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，∴x 22＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ. ∵x 2＋y 2－2y ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)由(1)得|OA |2＝ρ2＝21＋sin 2α，|OB |2＝ρ2＝4sin 2α， ∴|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2α ＝21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－4，∵0<α<π2，∴1<1＋sin 2α<2， ∴6<21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)<9，∴|OA |2＋|OB |2的取值范围为(2,5)．。
最新整理高中数学人教A版选修4-4课后训练：极坐标系 Word版含解析.doc
二 极坐标系练习1若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )．A ．关于极轴所在的直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．重合2下列的点在极轴上方的是( )．A ．(3,0)B ．(3，76π) C ．(4，74π) D ．(4，174π) 3已知点M 的极坐标为(－5，3π)，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )．A ．(5，3π-)B ．(5，43π)C ．(5，23π-)D ．(－5，53π-) 4点P 的直角坐标为(2,2-)，那么它的极坐标可表示为( )．A ．(2，4π) B ．(2，34π) C ．(2，54π) D ．(2，74π) 5已知两点的极坐标A (3，2π)，B (3，6π)，则|AB |＝________，直线AB 的倾斜角为________．6若A (3，3π)，B (4，6π-)，则|AB |＝__________，S △AOB ＝________.(其中O 是极点) 7极坐标系中，点A 的极坐标是(3，6π)，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ＞0，θ∈[0,2π))8已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)．9某大学校园的部分平面示意图如图用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0))．10在极坐标系中，若A (3，3π)，B (4，76π)，求△ABO (O 为极点)的面积． 参考答案1. 答案：B2. 答案：D 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3,0)在极轴上，点(3，76π)，(4，74π)在极轴下方，点(4，174π)在极轴上方，故选D.3．答案：A 化为直角坐标可知，点M 在第三象限，而选项A 中的点在直角坐标系中的第四象限．4. 答案：D ∵ρ＝22(2)(2)-+＝2，tan θ＝22-＝－1，点P 在第四象限， ∴θ＝74π.∴点P 的极坐标为(2，74π)． 5. 答案：356π根据极坐标的定义可得|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝60°，即△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，∠ACx ＝56π(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 6. 答案：5 67. 答案：(1)(3，116π) (2)(3，76π) (3)(3，56π) 8. 答案：解：由题意知，|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝2，∠xOA ＝4π，∠xOB ＝34π，∠xOC ＝54π，∠xOD ＝74π. ∴正方形的顶点的极坐标分别为A (2，4π)，B (2，34π)，C (2，54π)，D (2，74π)．9. 答案：解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝6π，∠OAC ＝2π，得|AC |＝300 m ，|OA |＝3003m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m. 同理，得|OE |＝2|OG |＝3002m ，所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，C (600，6π)，D (300，2π)，E (3002，34π)，F (300，π)，G (1502，34π)． 10. 答案：解：在△ABO 中，|OA |＝3，|OB |＝4，∠AOB ＝75636πππ-=，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12×3×4×sin 56π＝3.。
2018-2019学年高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲 二 极坐标系 Word版含答案
_坐_标_系[对应学生用书P4] 1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 长度，用θ表示射线Ox 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ，θ)就叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(3)极坐标与直角坐标的区别与联系2．极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)..[对应学生用书P4][例1] 已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标． (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点．[思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．[解] (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z )．所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z )．(2)由P 、Q 关于直线θ＝π2对称， 得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z )， 所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z )．设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．1．在极坐标系中，画出点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4.解：如图所示．2．在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π])．解：作出图形，可知A (3，π6)关于直线θ＝π2的对称点是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.点的极坐标与直角坐标的互化[例2] (1)把点A 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)． [思路点拨] 依据极坐标与直角坐标互化的公式解题． [解] (1)x ＝2cos 7π6＝－3， y ＝2sin 7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3. 又因为点P 在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝5π3. 因此点P 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．3．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4 解析：点P (－2，2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为3π4. 答案：B4．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． (1)已知点A 的极坐标(4，5π3)，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)解：(1)∵x ＝ρcos θ＝4·cos 5π3＝2. y ＝ρsin θ＝4sin 5π3＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝－22＝－1.且点B 位于第四象限内， ∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为(22，7π4)． 又∵x ＝0，y ＜0，∴ρ＝15，θ＝32π. ∴点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，3π2.[对应学生用书P5] 一、选择题1．在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( )A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H解析：由极坐标的定义知，M 、N 表示同一个点． 答案：A2．将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( )A ．(5,53)B ．(53，5)C ．(5,5)D ．(－5，－5)解析：x ＝ρcos θ＝10×cos π3＝5，y ＝ρsin θ＝10sin π3＝5 3. 答案：A3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)重合的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．答案：A4．已知A ，B 两点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，则线段AB 中点的直角坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 解析：AB 中点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3，根据互化公式x ＝ρcos θ＝cos 4π3＝－12，y ＝ρsin θ＝sin 4π3＝－32，因此，所求直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.答案：B 二、填空题5．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6关于极点的对称点为________．解析：如图，易知对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π66．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4两点，则|AB |＝________.解析：|AB |＝12＋22－2×1×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝ 5.答案： 57．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， ∠AOB ＝π3－π6＝π6， 所以∠OAB ＝π－π62＝5π12， 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4. 答案：π4 三、解答题8．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标．解：设M (r,0)， 因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．9．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π2，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，C ()－2，－23，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫322，－322， B (－1，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，D (0，－4)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3.10．已知定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．解：(1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sin π62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3. ∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3， ∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3. ∴P 点的新坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2. ∴P 点的新坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2.。
高中数学选修4-4(人教A版)第一讲坐标系1.3知识点总结含同步练习及答案
第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程
一、知识清单
极坐标与极坐标方程
二、知识讲解
1.极坐标与极坐标方程 描述： 极坐标系 在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向（通常取 逆时针方向），合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox称为极轴．平面任一点M 的位置可以由 线段OM 的长度ρ 和从Ox到OM 的角度θ 来刻画．这两个数组成的有序对(ρ, θ)称为点M 的极坐 标．ρ 称为极径，θ 称为极角． 在极坐标系(ρ, θ)中，一般限定ρ ≥ 0．当ρ = 0时，就与极点重合，此时θ 不确定．给定点的极坐 标(ρ, θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有 无穷多种表示形式．事实上，(ρ, θ)和(ρ, θ + 2kπ)代表同一个点，其中k 为整数．可见，平面上的 点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处，如果限定ρ ≥ 0， 0 ≤ θ ≤ 2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标系构成一一对应关系． ρ < 0，此时极坐标(ρ, θ)对应的点M 的位置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ 角的射线的反向 延长线上，它到极点O 的距离为|ρ|，即规定当ρ < 0时，点M (ρ, θ)就是点M (−ρ, θ + π)． 极坐标与直角坐标系的关系 设M 为平面上的一点，它的直角坐标系为(x, y)，极坐标为(ρ, θ)．则有{ x = ρ cos θ 或
⎧ ρ2 = x 2 + y 2 ⎨ ⎩ tan θ = y (x ≠ 0) ，ρ < 0也成立． x
y = ρ sin θ
曲线的极坐标方程 在给定的平面上极坐标系下，有一个二元方程F (ρ, θ) = 0．如果曲线C 是由极坐标(ρ, θ)满足方程 的所有点组成的，则称此二元方程F (ρ, θ) = 0为曲线C 的极坐标方程． 圆心(a, 0)在极轴上且过极点的圆，其极坐标方程是ρ = 2a cos θ ；圆心在点(a, 圆，其极坐标方程是ρ = 2a sin θ，0 ≤ θ ≤ π．
高中数学 第一章 坐标系 1.1 平面直角坐标系课时提升作业(含解析)新人教A版选修4-4(202
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平面直角坐标系课时提升作业一、选择题(每小题6分，共18分）1.(2016·泰安高二检测）函数y=xsinx的图象关于( ）A.原点对称 B。
y轴对称C.y=x对称D。
y=-x对称【解析】选B.函数y=xsinx的定义域为R，且为偶函数,所以函数的图象关于y轴对称.2.如图曲线的方程为( ）A.｜x｜+y=1B.x+｜y｜=1C.|x｜—|y|=1D.|x｜+｜y|=1【解析】选D.因为曲线关于坐标轴对称，也关于原点对称，且过点（±1，0）,（0,±1）,故选D。
【补偿训练】如图所示的曲线方程是（)A.｜x｜—y=0B。
x—|y｜=0C。
x-1=｜y|D.|x｜—1=y【解析】选B.由图象知：一个x对应两个y值且y可以为0。
3。
(2016·成都高二检测）在同一坐标系中,将曲线y=3sin2x变为曲线y′=sinx′的伸缩变换是( ）A. B.C.D。
【解析】选B.设P(x,y）为曲线y=3sin2x上任一点，经过伸缩变换得到P′（x′，y′）,将代入y=3sin2x，得y′=3sin x′，所以y′=3μsin x′,由于y′=sinx′，所以所以所以二、填空题（每小题6分，共12分)4.将复数z=1+i(i为虚数单位）对应的向量绕起点逆时针旋转30°所得复数为________。
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选修4-4 极坐标系课时作业
一、选择题
1．在极坐标系中，点M (－2，π6
)的位置，可按如下规则确定( ) A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6
，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6
OP 上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使∠xOP ＝
7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2 D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6
，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 解析：当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点．
答案：B
2．在极坐标平面内，点M (π3，200π)，N (－π3，201π)，G (－π3，－200π)，H (2π＋π3
，200π)中互相重合的两个点是( )
A ．M 和N
B ．M 和G
C ．M 和H
D ．N 和H
解析：由极坐标定义可知，M 、N 表示同一个点．
答案：A
3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A ．关于极轴所在直线对称
B ．关于极点对称
C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称
D ．两点重合
解析：因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．
答案：A
4．已知极坐标平面内的点P (2，－
5π3
)，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )
A ．(2，π3)，(1，3)
B ．(2，－π3)，(1，－3)
C ．(2，2π3)，(－1，3)
D ．(2，－2π3
)，(－1，－3) 解析：点P (2，－5π3)关于极点的对称点为(2，－5π3
＋π)， 即(2，－2π3)，且x ＝2cos (－2π3)＝－2cos π3
＝－1， y ＝2sin (－2π3
＝－2sin π3＝－ 3. 答案：D
二、填空题
5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．
解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )，依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2.
∴y ＝θ＝0，ρ>0，∴M (ρ，0)．
答案：(ρ，0)
6．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M (3，π3
)，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．
解析：如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π
3
，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3
，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.
答案：(7，π3)或(1，4π3
) 7．直线l 过点A (3，π3)，B (3，π6
)，则直线l 与极轴夹角等于________． 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是
个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．
因为|AO |＝|BO |＝3，
∠AOB ＝π3－π6＝π6
， 所以∠OAB ＝π－
π62＝5π12. 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4
. 答案：π4
8．已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2
<θ<π，则点M 的直角坐标为________． 解析：∵tan θ＝－43，π2
<θ<π， ∴cos θ＝－35sin θ＝45
∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4.
∴点M 的直角坐标为(－3,4)．
答案：(－3,4)
三、解答题
9．设点A (1，π3
)，直线L 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴，直线L ，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)
解：如图所示：关于极轴的对称点为
B (1，－π3
) 关于直线L 的对称点为C (1，2π3
)． 关于极点O 的对称点为D (1，－2π3
)． 10．已知点P 的直角坐标按伸缩变换îíì
x ′＝2x y ′＝3y
变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ≤2π时，求点P 的极坐标．
解：设点P 的直角坐标为(x ，y )， 由题意得îíì 6＝2x －3＝3y ，解得î
íì x ＝3，y ＝－ 3. ∴点P 的直角坐标为(3，－3)．
ρ＝32＋(－3)2＝23，tan θ＝－33
， ∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝
11π6. ∴点P 的极坐标为(23，11π6
)． 11．(创新预测题)在极轴上求与点A (42，π4
)的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r,0)，
因为A (42，π4
)，
所以(42)2＋r2－82r·cos π
4 5.
即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7. 所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．。