【4月江门市一模理数】2020年广东省江门市高三第一次(4.27)模拟考试理科数学试卷及答案解析
2024届广东江门高三上学期第一次月考数学试题及参考答案
2024届高三数学第一次月考试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1．已知集合{}21A xx =≤∣，{}2230B x x x =∈−−<N∣，则A B = （ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a=>D ．c b a >>4．设a 、b 、c ∈R 且a b >，则下列选项中正确的是（ ）5．“31m −<<”是“不等式()()21110m x m x −+−−<对任意的x ∈R 恒成立”的（ ）条件6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n S n =，则5a =（ ） A ．16B ．18C ．20D ．25A ．－2B ．－1C ．1D ．28．已知函数()f x 的定义城为R ，()f x 为偶函数，()()40f x f x +−=，且当[)2,2x ∈−时，()24f x x =−，则()2029f =（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9．已知向量()()()2,112,,,,1a b c m n ==−=−−，其中,m n 均为正数，且()a b c −∥，下列说法正确的是（ ）A ．a 与b的夹角为钝角10．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列()*n N∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若p ，q 为实数，则{}+n n pa qb 是等比数列B ．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则5S ，105S S −，1510S S −成等差数列C ．若数列{}n b 的公比1q >，则数列{}n b 是递增数列D ．若数列{}n a 的公差0d <，则数列{}n a 是递减数列11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（ ）.A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于y 轴对称C ．函数()f x 的值域为()1,1−D ．函数()f x 是减函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省江门市高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
广东省江门市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁R N=（）A．{﹣1，0，1，3}B．{0，1，3}C．{﹣1，0，1}D．{0，1}2．设i是虚数单位，若（2a+i）（1﹣2i）是纯虚数，则实数a=（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣43．已知一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，则|a﹣b|=（）A．2 B．4 C．8 D．124．ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体，AC1、BD1相交于O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点M，OM≤1的概率p=（）A．B．C．D．5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（）A．2 B．4+2C．4+4D．6+46．等差数列中{a n}，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件7．F是抛物线y2=4x的焦点，P、Q是抛物线上两点，|PF|=2，|QF|=5，则|PQ|=（）A．3B．4C．3或D．3或48．若的（x2+a）（x﹣）10展开式中x6的系数为﹣30，则常数a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．39．四面体ABCD中∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，AB=2，AC=3，AD=4，则四面体ABCD的体积V=（）A．2B．2C．4 D．410．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线11．函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）（ω＞0）在区间[，]的值域是[﹣，]，则常数ω所有可能的值的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．412．已知函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（，0）对称，过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，则实数t的取值范围是（）A．（﹣3，﹣2）B．[﹣3，﹣2] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[﹣2，+∞）三、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．偶函数f（x）在（0，+∞）单调递减，f（1）=0，不等式f（x）＞0的解集为．14．正项数列{a n}满足a1=，a1+a2+…+a n=2a n a n，则通项a n=．+115．某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，则改部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ（单位：年）服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2．那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为．16．若向量、满足|+|=2，|﹣|=3，则||•||的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别是，a、b、c，△ABC的面积S=•．（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若b +c=5，a=，求△ABC 的面积的大小．18．（12分）为了摸清整个江门大道的交通状况，工作人员随机选取20处路段，在给定的测试时间内记录到机动车的通行数量情况如下（单位：辆）： 147 161 170 180 163 172 178 167 191 182 181 173 174 165 158 154 159 189 168 169 （Ⅰ）完成如下频数分布表，并作频率分布直方图；（Ⅱ）现用分层抽样的方法从通行数量区间为[165，175）、[175，185）及[185，195）的路段中取出7处加以优化，再从这7处中随机选2处安装智能交通信号灯，设所取出的7处中，通行数量区间为[165，175）路段安装智能交通信号灯的数量为随机变量X （单位：盏），试求随机变量X 的分布列与数学期望E （X ）．19．（12分）如图，多面体EF ﹣ABCD 中，ABCD 是正方形，AC 、BD 相交于O ，EF ∥AC ，点E 在AC 上的射影恰好是线段AO 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）若直线AE 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．20．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax，a是常数．（Ⅰ）若a=1，且曲线y=f（x）的切线l经过坐标原点（0，0），求该切线的方程；（Ⅱ）讨论f（x）的零点的个数．21．（12分）椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，D为椭圆短轴上的一个顶点，DF1的延长线与椭圆相交于G．△DGF2的周长为8，|DF1|=3|GF1|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过椭圆E的左顶点A作椭圆E的两条互相垂直的弦AB、AC，试问直线BC是否恒过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
广东省江门市高三数学第一次模拟考试试题 理 新人教A版
数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知函数x x f -=1)(定义域为M ，x x g ln )(=定义域为N ，则=N M A ．{}1|≤x x B ．{}10|≤<x x C ．{}10|<<x x D ．{}10|≤≤x x ⒉在复平面内，O 是原点，向量对应的复数是i -2（其中， i 是虚数单位），如果点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量对应的复数是A ．i --2B ．i +-2C ．i +2D ．i 21-⒊采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 ⒋ 右图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为 A ．72 B ．36 C ．24 D ．12 ⒌在ABC ∆中，若π125=∠A ，π41=∠B ， 26=AB ，则=ACA ．3B ．32C ．33D ．34 ⒍若0>x 、0>y ，则1>+y x 是122>+y x 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 ⒎已知x 、y 满足422=+y x ，则543+-=y x z 的取值范围是A ．] 15, 5 [- B ．] 10 , 10 [- C ．] 2 , 2 [- D ．] 3 , 0 [ ⒏设)(x f 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当] 1 , 0 [∈x 时，22)(x x x f -=，则)(x fA 1C 在区间] 2013 , 0 [内零点的个数为A ．2013B ．2014C ．3020D ．3024二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）⒐已知数列{}n a 的首项11=a ，若*∈∀N n ，21-=⋅+n n a a ，则=n a ．⒑执行程序框图，如果输入4=a ，那么输出=n ． ⒒如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内 （含正方体表面）任取一点M ， 则11≥⋅AM AA 的概率=p ．⒓在平面直角坐标系Oxy 中，若双曲线14222=+-m y m x 的焦距为8，则=m ． ⒔在平面直角坐标系Oxy 中，直线a y =（0>a ）与抛物线2x y =所围成的封闭图形的面积为328，则=a ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）⒕（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系) , (θρ（πθ20<≤）中，曲线2sin =θρ与2cos -=θρ的交点的极坐标为 ．⒖（几何证明选讲选做题）如图，圆O 内的两条弦AB 、CD 相交于P ，4==PB PA ，PC PD 4=．若O 到AB 的 距离为4，则O 到CD 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）已知函数)652sin()(π+=x A x f （0>A ，R x ∈）的最小值为2-． ⑴求)0(f ；⑵若函数)(x f 的图象向左平移ϕ（0>ϕ）个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称，DABCEF G••求ϕ的最小值．⒘（本小题满分14分）春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动。
广东省江门市2019-2020学年高三精编模拟数学理试题Word版含答案
-π2-3π23π2π2yxO广东省江门市2019-2020学年高三精编模拟数学理试题本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合(){}10A x x x =+≤，集合{}0B x x =>，则=A B U （A ）{}1x x ≥- （B ）{}1x x >- （C ）{}0x x ≥（D ） {}0x x >（2）已知复数(1)(2)i i z i-++=-，则z 在复平面内对应的点在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）若实数,a b 满足0,0a b >>，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）函数()f x 的部分图象如图示，则()f x 的解析式可以是（A ）3()()()22f x x x x ππ=-- （B ）()cos f x x x =（C ）()sin f x x x =+ （D ）cos ()xf x x=（5）右图是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（A ）S =S +n x （B ）S =S +n x n （C ）S =S + n （D ）S =S +10n x （6）若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值等于（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4 （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（A 5（B 6 （C ）22（D ）3主视图俯视图左视图211（8）已知10d a x x =⎰，120d b x x =⎰，c x =⎰，则a ,b ,c 的大小关系是（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）c a b << （9）已知函数)122sin()(π+=x x f ，()f x '是()f x 的导函数，则函数2()()y f x f x '=+的一个单调递减区间是（A ）]127,12[ππ （B ）5[,]1212ππ-（C ）]32,3[ππ- （D ）5[,]66ππ-（10）已知直线l ：0x y a -+=，点()1,0A -，()1,0B . 若直线l 上存在点P 满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为 （A）[ （B ）[1,1]- （C）[ （D [2,2]-（11）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，则甲和乙都排在丙的同一侧的概率为 （A ）110 （B ）13 （C ）12 （D ）23（12）已知0a <，函数22,(0)2().(0)xx xx f x ax x e ⎧+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若对[1,3],x ∀∈恒有1[()]3f f x ≤≤，则实数a 的取值范围为（A ）23[,2]4e e -- （B ）3[,2]3e e -- （C ）233[,]49e e -- （D ）332[,]39e e --第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）若非零向量,a b 满足()0⋅+=a a b ，2||||=a b ，则向量,a b 夹角的大小为 . （14）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3221a S =+，4321a S =+，3m n -=，则nma a = . （15）过双曲线2221(0)4x y b b-=>的左焦点的直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且||6AB =，这样的直线可以作2条，则b 的取值范围是 .（16）已知点集{(,)||1||2|3}T x y x y =++-≤，数集{2|(,)}M x y x y T =+∈， 则集合M 中最大元素与最小元素之和为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知AB =90CAD ∠=︒，（Ⅰ）若5cos 6BAD ∠=，sin C =，求BC 的长；（Ⅱ）若2BD =，3CD =，求AD 的长.（17）备选1:已知△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a b ≠,22(cos cos )2()cos c a B b A a b C -=-.（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若=c 3CA CB ⋅=u u u r u u u r，求△ABC 的周长.备选2：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且350,5S S ==-，数列{}n b 满足，1=b 1，13(2)n n n b a nb +-=.（n N *∈）（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}3n a n b -的前n 项和n T .备选3：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14m S -=-，0m S =，214m S +=()2,m m *≥∈N 且，（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若数列{}n b 满足2log 2nn a b =()n *∈N ，求数列(){}6n n a b +⋅的前n 项和n T ．（18）（本小题满分12分）据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠8-10万吨邮轮的深水港.通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区.这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约0.4亿美元.有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和.下表记录了2015（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从上表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；ABCD 第17题图MABCDEFG（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X 为瓜达尔港未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X 的数学期望（不需要计算过程）. （18）备选：交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系.发生交通事故的次数越多，费率也就越高。
广东省江门市2023届高考模拟考试(一模)数学试题及答案
江门市2023年高考模拟考试数 学本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2． 做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3． 答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
4． 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
5． 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A -=1,0,1{}，21,1∉-∈-=A m A m m B }{，则集合B 中所有元素之和为A ．0B ．1C ．－1D ．22．已知i 为虚数单位，复数z 满足11+=+i i z ()，则z =A ．+2222i B ．-2222i C ．+-2222i D ．--2222i 3．命题“∀∈-≠x Q x ,502”的否定为 A ．∃∉-=x Q x ,502B ．∀∈-=x Q x ,502C ．∀∉-=x Q x ,502D.∃∈-=x Q x ,5024．已知多项式 x a x a a x x a +++++++=-)1()1()1()1(1010221010，则a 7=A ．－960B ．960C ．－480D ．4805．设非零向量m ，n 满足=m 2，=n 3，+=m n 32，则m 在n 方向上的投影向量为 A ．-n 185B ．n 185C ．-m85D ．m 85内部资料·注意保存试卷类型：A6．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为 A ．25 B ．45 C ．815 D ．897．已知等差数列a n }{∈+n N )(的前n 项和为S n ，公差d <0,a a <-1091，则使得S n >0的最大整数n 为A ．9B ．10C ．17D ．188．我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列，那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列∈+f x n N n )(}{)(的通项公式为++=+++n x n f x n nx x n 12122)()()(，∈x 0,1)(,记E n 为f x n )(的值域，==+∞E E n n 1为所有E n 的并集，则E 为二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江门市2020年高考模拟考试(2020年江门一模) 理科数学
江门市2020年高考模拟考试数学(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分、在每小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得、1.已知i就是虚数单位,复数z满足,则z得共轭复数在复平面内表示得点在A.第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2.若函数就是幂函数,且满足,则得值为A.B、C、3 D、3.已知直线与,若,则实数m得值为A.1或B、或C、2或D、或4.“割圆术”就是刘徽最突出得数学成就之一,她在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆得周长、面积以及圆周率得基础、刘徽把圆内接正多边形得面积一直算到了正3072边形,并由此而求得了圆周率为3、141 5与3、141 6这两个近似数值,这个结果就是当时世界上圆周率计算得最精确数据、如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内得频率为0、826 9,那么通过通过该实验计算出来得圆周率近似值为(参考数据:)A.3、141 9 B、3、141 7 C、3、141 5 D、3、141 35.已知命题;命题,则下列判断正确得就是A.就是假命题B、q就是假命题C、就是假命题D、就是真命题6.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之与为31、5尺,前九个节气日影长之与为85、5尺,则小满日影长为A.1、5尺B、2、5尺C、3、5尺D、4、5尺7.下列四个命题:①在回归模型中,预报变量y得值不能由解释变量x唯一确定;②若变量x , y满足关系,且变量y与z正相关,则x与z也正相关;③在残差图中,残差点分布得带状区域得宽度越狭窄,其模型拟合得精度越高;④以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设,将其变换后得到线性方程,则、其中真命题得个数为A.1个B、2个C、3个D、4个8.已知二项式得展开式中第2项与第3项得二项式系数之比就是2 : 5,则x3得系数为A.14 B、C、240 D、9.一袋中有红、黄、蓝三种颜色得小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回,当三种颜色得球全部取出时停止取球,则恰好取5次球时停止取球得概率为A.B、C、D、10.已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁、在某天得某个时段,她们每人各做一项工作,一人在查资料,一人在写教案,一人在批改作业,另一人在打印材料、若下面4个说法都就是正确得:①甲不在查资料,也不在写教案;②乙不在打印材料,也不在查资料;③丙不在批改作业,也不在打印材料;④丁不在写教案,也不在查资料.此外还可确定:如果甲不在打印材料,那么丙不在查资料.根据以上信息可以判断A．甲在打印材料 B.乙在批改作业C、丙在写教案 D.丁在打印材料若且,则双曲线得离心率为A.B、C、D 、12. 四棱锥P ﹣A BCD ,A D ⊥面P A B ,BC ⊥面P A B ,底面A BCD 为梯形,A D = 4,BC = 8,A B = 6,∠A PD = ∠BPC ,满足上述条件得四棱锥顶点P 得轨迹就是A. 线段B 、 圆得一部分C 、 椭圆得一部分D 、 抛物线得一部分二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分、 13. 若x , y 满足约束条件,则得最大值为___________、 14. 计算__________、15. 若圆关于直线对称,由点向圆C 作切线,切点为A ,则线段P A 得长度得最小值为__________、 16. 已知函数得图象与直线恰有四个公共点, ,,,其中,则__________、三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 第17 ~ 21题为必考题,每个试题考生都必须作答、 第22、23题为选考题,考生根据要求作答、 (一)必考题:共60分、 17. (本小题满分12分)在中,边a , b , c 所对得边分别就是A , B , C ,已知,得面积为,,b = 3、 (1) 求得值; (2) 求边a , c 得值、 18. (本小题满分12分)如图,在四棱锥P ﹣A BCD 中,平面P A D ⊥平面A BCD ,P A ⊥PD ,P A = PD ,A B ⊥A D ,A B = 1,A D = 2,、PA BCDPDCBA(1) 求证:PD ⊥平面P A B ;(2) 求直线PB 与平面PCD 所成角得正弦值、 19. (本小题满分12分)已知动点P 到直线得距离比到定点F (1 , 0)得距离多1、 (1) 求动点P 得轨迹E 得方程;(2) 若A 为(1)中曲线E 上一点,过点A 作直线得垂线,垂足为C ,过坐标原点O 得直线OC 交曲线E 于另外一点B ,证明直线A B 过定点,并求出定点坐标、 20. (本小题满分12分)已知函数、(1) 若在上单调递增,求实数a 得取值范围; (2) 当时,求证:对于任意得,均有、 21. (本小题满分12分)2019年7月1日到3日,世界新能源汽车大会在海南博鳌召开,大会着眼于全球汽车产业得转型升级与生态环境得持续改善、某汽车公司顺应时代潮流,最新研发了一款新能源汽车,并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上就是指新能源汽车所装载得燃料或电池所能够提供给车行驶得最远里程)得测试、 现对测试数据进行分析,得到如图得频率分布直方图、(1) 估计这100辆汽车得单次最大续航里程得平均值(同一组中得数据用该组区间得中点值代表);(2) 根据大量得汽车测试数据,可以认为这款汽车得单次最大续航量程X 近似地服从正态分布,经计算得第(1)问中样本标准差s 得近似值为50、 用样本平均数作为得近似值,用样本标准差s 作为σ得估计值,现任取一辆汽车,求它得单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间得概率;(3) 某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,频率组距0、009 0、004 0、0020、001180 230 280 330 380 430 单次最大续航里程/千米客户可根据抛掷硬币得结果,操控微型遥控车在方格图上行进,若遥控车最终停在“胜利大本营”,则可获得购车优惠券、已知硬币出现正、反面得概率都就是,方格图上标有第0格、第1格、第2格……第50格、遥控车开始在第0格,客户每掷一次硬币,遥控车向前移动一次,若掷出正面,遥控车向前移动一格(从k到k + 1),若掷出反面,遥控车向前移动两格(从k到k + 2),直到遥控车移到第49格(胜利大本营)或第50格(失败大本营)时,游戏结束、设遥控车移到第n格得概率为,试证明就是等比数列,并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车、参考数据:若随机变量服从,则,,、（二）选考题:共10分、请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做得第一题计分、22.[选修4−4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴得正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C得极坐标方程为,过点得直线l得参数方程为(t为参数),直线l与曲线C相交于A , B两点、(1)写出曲线C得直角坐标方程与直线l得普通方程;(2)若,求a得值、23.[选修4−5:不等式选讲](本小题满分10分)已知函数、(1)当a = 2时,求不等式得解集;(2)若,且,证明:、江门市2020年高考模拟考试数学(理科)参考答案一、选择题12. 【解析】∵A D ⊥平面P A B ,BC ⊥平面P A B ,∴A D//BC 且A D ⊥P A ,CB ⊥PB , ∴∠A PD = ∠CPB∴∴ ∴PB = 2P A在平面P A B 内,以A B 得中点为原点,A B 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则,,设,则,即、 P 得轨迹为为圆得一部分,故选B 、 二、填空题16. 【解析】∵直线与函数得图像恰有四个公共点,如图 当时,函数,,依题意切点坐标为,率m ,即m = −cos x 4, ∴,∴,则、 三、解答题 17. (12分)(1) 由得,即、 ……3分 ∵,∴、PAB CDD ∵,∴、 ……6分 (2) 由余弦定理,得①……8分又∵,∴②、 ……10分由①②解得,或,∵,∴、 ……12分(如果没有排除一解,则扣1分)18. (12分)(1) 证明:∵平面P A D ⊥平面A BCD ,平面PAD ∩ 平面A BCD = A D ,A B ⊥A D ,平面A BCD ,∴A B ⊥平面P A D ……2分∴A B ⊥PD 、 又P A ⊥PD ,P A ∩ A B = A ,且平面P A B , ∴PD ⊥平面PAB ……4分(2) 取A D 得中点O ,连接PO ,CO .……6分∵P A ＝PD ,所以PO ⊥A D ,PO 平面P A D ,平面P A D ⊥平面A BCD ,∴PO ⊥平面A BCD ,∵CO 平面A BCD ,∴PO ⊥CO 、 ∵A C = CD ,∴CO ⊥A D如图,建立空间直角坐标系O −xyz ,由题意得,)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,2(,)0,1,1(,)0,1,0(P D C B -A ,)0,1,2(,)1,0,2(,)1,1,0(,)1,1,1(--=-=--=-=CD PC PD PB 、 ……8分设平面PCD 得一个法向量为,则,即、 ……10分 令z = 2,则x = 1,y = −2,所以、 设直线PB 与平面PCD 所成得角为,、即直线PB 与平面PCD 所成得角得正弦值为、 ……12分 19. (12分)(1)方法一:设点,则、……1分当时,,即,整理得、……3分当时,,即,整理得,由知,矛盾,舍去、……4分∴所求轨迹方程为、……5分方法二:设点,因为动点P到直线得距离比到定点得距离多,所以动点P在直线得右侧、 (1)分故动点P得到直线得距离等于到定点得距离, ……2分又因为点不在直线上, ……3分所以动点P得轨迹就是以直线为准线,点为焦点得抛物线、……4分所以动点P得轨迹方程为、……5分(2)方法一:设,则、由O、C、B三点共线知,即、所以①、……8分由得,所以②……10分由①②得,即,此表达式对任意t恒成立、∴m = 2、即直线A B过定点,定点坐标为……12分设,则,所以直线,联立,整理得,所以,则直线A B 得方程为、根据题意,若直线A B 过定点,则定点必在x 轴上,故令y = 0,解得x = 2,即定点坐标为、 综上,直线A B 过定点、 20. (12分)(1) 、 因为函数在上单调递增,所以在恒大于零、 即在上恒成立、令,则,又,时在上恒成立,即在上单调递增,所以、 故a 得取值范围就是、 (2) 、 令,、① 当时,,在上单调递增,有 ,因为,有,单调递增、 有成立、 ② 当时,,在上单调递减,有 、若,此时,单调递增,显然成立、若,此时记,则在上递增,在上递减、 此时有、 、 构造,则,令,解得,故在上单调递减,在上单调递增,所以 ,所以,此时满足、综上所述,当时,对于任意得,均有、21. (12分)(1) 30050)001.0405004.0355009.0305004.0255002.0205(=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x …2分 (2) 依题意有,、……4分(3) 遥控车在第0格为必然事件,P 0 = 1、若第一次掷硬币出现正面,遥控车移到第一格,其概率为,即、 ……5分 遥控车移到第n 格就是下列两种且只有这两种互斥情况: ① 遥控车先移到第格,又掷出反面,其概率为; ② 遥控车先移到第格,又掷出正面,其概率为、 ∴,即、∴当时,数列就是首项为,公比为得等比数列、…8分∴nn n P P P P P P P ⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=--21,,21,21,21113232121Λ、 以上各式相加,得49,,2,1,0,211322*********32ΛΛ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+n P n n n∴获胜得概率 ……10分 失败得概率∴02113121131211324849505049>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=-P P(或:成功概率,失败概率,∵,且,有)∴获胜得概率大,此方案能吸引顾客购买该款新能源汽车、 ……12分 22. (10分)(1) 曲线C 得极坐标方程表示得曲线经过极点,所以可化为 ……1分 ∵,∴曲线C 得直角坐标方程为 ……3分直线l 得参数方程为(t 为参数),消去参数t 得、 ……5分(2) 将直线l 得参数方程代入曲线C 得直角坐标方程中,得、 ……6分设A , B 两点对应得参数分别为,则……7分∵,∴,所以,即 ……8分解得或(不合题意,舍去)∴a 得值为2 ……10分23. (10分)(1) 当a = 2时,,原不等式等价于或或 ……2分解得或或 ……4分所以不等式得解集为 ……5分(2) ……6分……7分m m a m a m a m a m 121111)(+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+≥……9分 ……10分。
2020江门市高三数学一模考理
数学（理科）注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2． 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．4．1A ．2A ．73A ．54．若f A ．f C ．f D ．f 5A ．π6．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布) , 100(2σN ，已知40.0)10080(=≤<ξP ，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取A ．5份B ．10份C ．15份D ．20份 7．执行如图2所示的程序框图，输出S 的值是2A ．0B ．33C ．3D ．3- 8．若83)1(xax +的展开式中常数项为1，则实数=aA ．72-B ．7C ．72±D ．7±9．如果某射手每次射击击中目标的概率为7.0，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是A10Q 是圆x A ．11A ．C ．12A ．22题～2413是 ．14．ABC ∆三边的长分别为3=AC ，4=BC ，5=AB ，若31=，21=，则=⋅ ．15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：5323+=，119733++=，1917151343+++=，……，根据上述规律，310的分解式中，最大的数是 ．316．已知平面区域{}1|| , 10|) , (≤≤≤=y x y x D ，D y x ∈∀) , (，|41|)41(22+≥+-x y x 的概率17．（本小题满分12分）已知{}n a 是正项等差数列，*N n ∈∀，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n a a 的前n 项和42+=n nS n．18．2数，求X19．如形，=AB 夹角的20．． （O 为坐标原点）．21．（本小题满分12分）已知函数ax axx x f +-+=)1ln()(，a 是常数，且1≥a ． （Ⅰ）讨论)(x f 零点的个数； （Ⅱ）证明：133)11ln(122+<+<+n n n ，*N n ∈．4请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
【数学】广东省江门市高三第一次模拟考试试题(理)(解析版)
广东省江门市高三第一次模拟考试数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是虚数单位，若是纯虚数，则实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若是纯虚数，化简虚数得到，纯虚数即解得m=-1.故答案为：B.2.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题干得到，则.故答案为：C.3.某地气象局把当地某月（共30天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图，假设该月温度的中位数为，众数为，平均数为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由图知众数＝5由中位数的定义知，得分的中位数为m e，是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15个数是5，第16个数是6，∴＝5.5，（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10） 5.97，∴＜m e＜，故答案为：D．4.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，则C、A、B三点共线．设C（x，y），则C在AB所在的直线上，∵A（2，1）、B（4，5），∴AB所在直线方程为，整理得：．故P的轨迹方程为：．故选：A.5.根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）．据此预测，本年度内，需求量超过万件的月份是（）A. 5月、6月B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月【答案】C【解析】日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）,则第个月的需求量为，故答案为：C.6.一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若，且这个四棱锥的体积，则这个四棱锥的侧面积（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据三视图得到原图：底面边长为，高为h，体积为侧面积为4个三角形，，根据题目得到故侧面积为32.故答案为：B.7.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根据函数解析式得到函数的周期为，对称轴和对称中心为，估算，结合函数的图像可得到故答案为：A.8.若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】设在函数处的切点设为（x,y）,根据导数的几何意义得到，故切点为（1，0），可求出切线方程为y=x-1,直线和也相切，故,化简得到,只需要满足故答案为：D.9.在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】有题意知本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，我们只考虑二项式系数即可．二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，∴任取一项，该项的系数为奇数的概率p＝故选：B．10.直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到故答案为：D.11.是球内接正四面体，若球的半径为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正四面体的各个棱长都相等，以及外接球这一条件得到，而由正四棱锥的结论得到外界球半径和棱长的关系，进而得到结果.【详解】根据正四面体的性质，以及外接球的半径都是1，OA=OB=OC=OD，故得到三角形OAB和三角形OBC，OAC，OAD是全等的三角形，则设四棱锥的边长为a,则外接球的半径为高的四分之三，高是棱的边长的本题中半径为1，棱长为，三角形OAB的顶角的余弦值为.故答案为：B.【点睛】本题考查四面体的外接球问题，考查了空间想象能力，正四面体即各个侧棱都相等，各侧面都是等边三角形，它有很多性质，例如：外接球的半径是高的四分之三，内切球的半径是高的四分之一，对棱互相垂直.12.若直线与曲线在第一象限无交点，则正整数的最大值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由导数研究函数的单调性可得：f（x）在为减函数，在为增函数，则f（x）min ，由导数求曲线切线方程得：g（x）＝2+ln x﹣x,g′（x），易得g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设g（x）＝0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，则4＜x2＜5，则m＝2+ln x2＝x2∈（3，4），由图可知，k＜m，即正整数k的最大值是3，得解．【详解】因为f（x）＝x+x ln x，所以f′（x）＝2+ln x，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，则f（x）在为减函数，在为增函数，则f（x）min，设直线y＝m（x﹣1）与曲线y＝x+x ln x在第一象限切于点P（x0，y0），则切线方程为：y＝（2+ln x0）x﹣x0，又此直线过点（1，0），解得：2+ln x0﹣x o＝0，设g（x）＝2+ln x﹣xg′（x），易得g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设g（x）＝0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，由g（3）＝ln3﹣1>0, g（4）＝ln4﹣2<0则3＜x2＜4，则m＝2+ln x2＝x2∈（3，4），由图可知，k＜m，即正整数k的最大值是3，故选：C．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是_________．【答案】在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面【解析】逆否命题是既否条件又否结论，在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.故答案为：在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.14.甲、乙、丙、丁、戊名学生进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，人的名次排列可能有_________种不同的情况．（用数字作答）【答案】【解析】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A33种排法．故共有3•3•A33=54种不同的情况．故答案为：54．15.已知、、是锐角△内角、、的对边，是△的面积，若，，，则_________．【答案】【解析】根据三角形面积公式得到，因为三角形为锐角三角形，故得到角C为，再由余弦定理得到故答案为：7.16.在直角坐标系中，记表示的平面区域为，在中任取一点，的概率_________．【答案】【解析】根据不等式组得到可行域为图中染色部分，满足的是黑色部分，在中任取一点，的概率黑色部分的面积除以总的染色面积，记直线的交点为,,,故答案为：.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）,解得，，，,依题意，，.（2）是周期的数列,，，，,，，，,从而，，……，所以是周期为4的数列,（）.18.如左图，平面五边形中，，，将△沿折起，得到如右图的四棱锥．（1）证明：；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：取的中点，连接、。
2020年4月广东省江门市普通高中2020届高三下学期第一次高考模拟数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前广东省江门市普通高中2020届高三毕业班下学期第一次高考模拟考试数学(文)试题(解析版)2020年4月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，P＝A∩B，则P的子集共有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个【答案】A【解析】【分析】进行交集的运算即可求出P＝{2}，然后即可得出P的子集的个数.【详解】∵A＝{1,2},B＝{2,3}，∴P＝A∩B＝{2}，∴P的子集共有21＝2个.故选：A【点睛】本题考查了列举法的定义,交集的定义及运算,子集个数的计算公式,考查了计算能力,属于基础题.2.i是虚数单位,复平面内表示i（1+2i）的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】直接由已知求得对应复数,得到其在复平面内对应点的坐标得答案.【详解】因为i（1+2i）=-2+i其在复平面内对应的点为（-2,1）故在第二象限；故选：B【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.3.学校有3个文艺类兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,他们参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率为（）A. 12B.13C.14D.16【答案】B【解析】【分析】基本事件总数n＝3×3＝9.这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组包含的基本事件个数m＝3,由此能求出这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率.【详解】学校有3个文艺类兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组, 他们参加各个小组的可能性相同,基本事件总数n＝3×3＝9.这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组包含的基本事件个数m＝3,则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率p3193mn===.故选：B【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.4.数列{a n}中,a1＝2,a2＝3,∀n∈N+,a n+2＝a n+1﹣a n,则a2020＝（）A. 1B. 5C. ﹣2D. ﹣3 【答案】C【解析】【分析】根据递推关系求出其是以6为周期交替出现的数列,进而表示结论,并求得答案. 【详解】因为数列{a n}中,a1＝2,a2＝3,∀n∈N+,a n+2＝a n+1-a n,。
2020年广东省江门市高考(理科)数学(4月份)模拟试卷 含解析
2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题（共12小題）.1．已知i是虚数单位，复数z满足z（3+4i）＝1+i，则z的共轭复数在复平面内表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若函数f（x）是幂函数，且满足＝3，则f（）的值为（）A．﹣3B．﹣C．3D．3．已知直线l1：（m﹣4）x+4y+1＝0和l2：（m+4）x+（m+1）y﹣1＝0，若l1⊥l2，则实数m的值为（）A．1或﹣3B．或﹣C．2或﹣6D．﹣或4．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据＝2.0946）（）A．3.1419B．3.1417C．3.1415D．3.14135．已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0；命题q：∃x∈R，sin x+cos x＝．则下列判断正确的是（）A．￢p是假命题B．q是假命题C．p∨q是假命题D．（￢p）∧q是真命题6．《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（）A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺7．下列四个命题：①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；②若变量x，y满足关系y＝﹣0.1x+1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④以模型y＝ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.3x+4，则c＝e4，k＝0.3．其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，则x3的系数为（）A．14B．﹣14C．240D．﹣2409．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A．B．C．D．10．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．若下面4个说法都是正确的：①甲不在查资料，也不在写教案；②乙不在打印材料，也不在查资料；③丙不在批改作业，也不在打印材料；④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断（）A．甲在打印材料B．乙在批改作业C．丙在写教案D．丁在打印材料11．设F1，F2为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P，Q分别为双曲线左、右支上的点，若＝2，且•═0，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．四棱锥P﹣ABCD，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD＝4，BC＝8，AB＝6，∠APD＝∠BPC，满足上述条件的四棱锥顶点P的轨迹是（）A．线段B．圆的一部分C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分二、填空题13．若x，y满足约束条件．则的最大值为．14．（sin x+）dx＝．15．若圆C：x2+y2+2x+2y﹣7＝0关于直线ax+by+4＝0对称，由点P（a，b）向圆C作切线，切点为A，则线段PA的长度的最小值为．16．已知函数y＝|sin x|的图象与直线y＝m（x+2）（m＞0）恰有四个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则＝．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a＞c，△ABC的面积为2，sin（A﹣B）+sin C＝sin A，b＝3．（1）求sin B的值；（2）求边a，c的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．（1）求证：PD⊥平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．19．已知动点P到直线l：x＝﹣2的距离比到定点F（1，0）的距离多1．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若A为（1）中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O 的直线OC交曲线E于另外一点B，证明直线AB过定点，并求出定点坐标．20．已知函数f（x）＝e x•sin x﹣ax．（1）若f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a≤1时，求证：对于任意的，均有f（x）≥0．21．2019年7月1日到3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图的频率分布直方图．（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程X近似地服从正态分布N（μ，σ2），经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50．用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率；（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格……第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到k+1），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到k+2），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为P n，试证明{P n﹣P n﹣1}（1≤n≤49，n∈N*）是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|＝|AB|2，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若m∈R，且m≠0，证明：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，复数z满足z（3+4i）＝1+i，则z的共轭复数在复平面内表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：复数z满足z（3+4i）＝1+i，∴z（3+4i）（3﹣4i）＝（1+i）（3﹣4i），∴5z＝7﹣i，∴z＝﹣i．∴＝+i．则复平面内表示z的共轭复数的点在第一象限．故选：A．2．若函数f（x）是幂函数，且满足＝3，则f（）的值为（）A．﹣3B．﹣C．3D．【分析】设f（x）＝xα（α为常数），由满足＝3，可得α＝log23.．代入即可得出．解：设f（x）＝xα（α为常数），∵满足＝3，∴＝3，∴α＝log23．∴．则f（）＝＝．故选：D．3．已知直线l1：（m﹣4）x+4y+1＝0和l2：（m+4）x+（m+1）y﹣1＝0，若l1⊥l2，则实数m的值为（）A．1或﹣3B．或﹣C．2或﹣6D．﹣或【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．解：∵直线l1：（m﹣4）x+4y+1＝0和l2：（m+4）x+（m+1）y﹣1＝0，l1⊥l2，∴﹣×（﹣）＝﹣1，解得m＝2或m＝﹣6，∴实数m的值为2或﹣6．故选：C．4．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据＝2.0946）（）A．3.1419B．3.1417C．3.1415D．3.1413【分析】由几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式得：＝0.8269，所以＝0.8269，又＝2.0946，所以π≈3.1419，得解．解：由几何概型中的面积型可得：＝0.8269，所以＝0.8269，又＝2.0946，所以π≈3.1419，故选：A．5．已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0；命题q：∃x∈R，sin x+cos x＝．则下列判断正确的是（）A．￢p是假命题B．q是假命题C．p∨q是假命题D．（￢p）∧q是真命题【分析】利用配方法求得x2+x﹣1的范围，说明命题p为假命题，利用三角函数的化积求得sin x+cos x的最大值等于1，说明命题q为真命题，然后利用符合命题的真值表加以判断即可得到答案．解：由x2+x﹣1＝，所以命题p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0为假命题；由sin x+cos x＝，当时sin x+cos x＝．所以命题q：∃x∈R，sin x+cos x＝是真命题．由以上可知：￢p是真命题；q是真命题；pⅤq是真命题；（￢p）∧q是真命题．故选：D．6．《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（）A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．解：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{a n}，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，∴，解得a1＝13.5，d＝﹣1，∴小满日影长为a11＝13.5+10×（﹣1）＝3.5（尺）．故选：C．7．下列四个命题：①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；②若变量x，y满足关系y＝﹣0.1x+1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④以模型y＝ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.3x+4，则c＝e4，k＝0.3．其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】直接利用回归直线的方程的应用，相关的变量关系的应用，残差图的应用求出结果．解：下列四个命题：①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；根据回归模型中的变量关系，正确．②若变量x，y满足关系y＝﹣0.1x+1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；应该是负相关．故错误．③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；即越接近于回归直线的距离越小，故正确．④以模型y＝ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.3x+4，则c＝e4，k＝0.3．故正确．故选：C．8．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，则x3的系数为（）A．14B．﹣14C．240D．﹣240【分析】先由题意利用二项式系数的性质求得n的值，可得通项公式，在通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，可得x3的系数．解：由二项式的展开式中的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•2n﹣r•，它第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，∴＝，求得n＝6，故通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•26﹣r•．令6﹣＝3，求得r＝2，故x3的系数为•24＝240，故选：C．9．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A．B．C．D．【分析】恰好取5次球时停止取球，分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到结果．解：分两种情况3，1，1及2，2，1这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是3，1，1时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是C31C43C21∴这种结果发生的概率是＝同理求得第二种结果的概率是根据互斥事件的概率公式得到P＝故选：B．10．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．若下面4个说法都是正确的：①甲不在查资料，也不在写教案；②乙不在打印材料，也不在查资料；③丙不在批改作业，也不在打印材料；④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断（）A．甲在打印材料B．乙在批改作业C．丙在写教案D．丁在打印材料【分析】若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾，从而得解．解：把已知条件列表如下：查资料写教案改作业打印资料甲×××乙××丙×丁××若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾．查资料写教案改作业打印资料甲××√×乙××丙×√××丁××所以甲一定在打印资料，此时丁在改作业，乙在写教案，丙在查资料．故选：A．11．设F1，F2为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P，Q分别为双曲线左、右支上的点，若＝2，且•═0，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设P（x，y），Q（x1，y1），F1（﹣c，0），F2（c，0），由＝2，得x1＝3c+2x，y1＝2y…①由•═0，得x2﹣c2+y2＝0，②又﹣＝1，③由②③可得P（﹣，），代入①得Q（3c﹣，），将点Q坐标代入③得3c2+a2＝4a，即可求解．解：设P（x，y），Q（x1，y1），∵F1（﹣c，0），F2（c，0），∴＝（c﹣x1，﹣y1），＝（﹣c﹣x，﹣y）∵＝2，∴（c﹣x1，﹣y1）＝2（﹣c﹣x，﹣y），∴c﹣x1＝2（﹣c﹣x），﹣y1＝﹣2y，∴x1＝3c+2x，y1＝2y…①∴＝（x+c，y），＝（x﹣c，y），∵•═0，∴x2﹣c2+y2＝0，②又∵﹣＝1，③由②③可得P（﹣，），代入①得Q（3c﹣，）将点Q坐标代入③得3c2+a2＝4a，⇒9c4﹣26a2c2+17a4＝0⇒9e4﹣26e2+17＝0⇒e2＝1（舍去），e2＝⇒e＝．故选：B．12．四棱锥P﹣ABCD，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD＝4，BC＝8，AB＝6，∠APD＝∠BPC，满足上述条件的四棱锥顶点P的轨迹是（）A．线段B．圆的一部分C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分【分析】以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，写出点A，B的坐标，根据条件得出Rt△APD∽Rt△CPB，进而得出．，设出点P的坐标，利用两点间的距离公式，代入上式化简，根据轨迹方程，即可得到结论．解：在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．设点P（x，y），则由题意可得A（﹣3，0），B（3，0）．∵AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，∠APD＝∠CPB，∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴．即BP2＝4AP2，故有（x﹣3）2+y2＝4[（x+3）2+y2]，整理得：（x+5）2+y2＝16，表示一个圆．由于点P不能在直线AB上（否则，不能构成四棱锥），故点P的轨迹是圆的一部分，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k＝，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），k OA＝＝3，即的最大值为3．故答案为：3．14．（sin x+）dx＝2π．【分析】运用微积分基本定理可解决此问题．解：根据题意，（sin x+）dx＝sin xdx+d x＝0+×π×22＝2π，故答案为2π．15．若圆C：x2+y2+2x+2y﹣7＝0关于直线ax+by+4＝0对称，由点P（a，b）向圆C作切线，切点为A，则线段PA的长度的最小值为3．【分析】由已知得圆心C（﹣1，﹣1）在直线ax+by+4＝0上，从而b＝﹣a+4，点（a，b）向圆所作的切线长为：＝，由此能求出点（a，b）向圆所作的切线长的最小值．解：∵圆C：x2+y2+2x+2y﹣7＝0可化简为：（x+1）2+（y+1）2＝9∴圆C的圆心为（﹣1，1），半径r＝3∵圆C：x2+y2+2x+2y﹣7＝0关于直线ax+by+4＝0对称，∴圆心C（﹣1，﹣1）在直线ax+by+4＝0上，∴﹣a﹣b+4＝0，即b＝﹣a+4，点（a，b）向圆所作的切线长为：＝，∴当a＝2时，点（a，b）向圆所作的切线长取得最小值3．故答案为3．16．已知函数y＝|sin x|的图象与直线y＝m（x+2）（m＞0）恰有四个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则＝1．【分析】本题先要根据题意画出图象，找到只有四个公共点的情况，明确D点即为直线与函数y＝|sin x|的图象相切点，然后代入运算，即可得到结果．解：由题意画出图象如下：根据题意，很明显，在D点处，直线与函数y＝|sin x|的图象相切，D点即为切点．则有，在点D处，y＝﹣sin x，y′＝﹣cos x．而﹣cos x4＝m，且y4＝m（x4+2）＝﹣sin x4，∴x4+2＝＝＝tan x4．∴＝＝1．故答案为：1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a＞c，△ABC的面积为2，sin（A﹣B）+sin C＝sin A，b＝3．（1）求sin B的值；（2）求边a，c的值．【分析】（1）由已知结合和差角公式进行化简可求cos B，进而可求sin B；（2）由已知结合余弦定理及三角形面积公式即可求解．解：（1）由，C＝π﹣（A+B），得，即，∵0＜A＜π∴sin A≠0，∴．∵0＜B＜π∴．（2）由余弦定理得：，得①，又∵，∴ac＝6②，由①②解得，或，∵a＞c，∴a＝3，c＝2．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．（1）求证：PD⊥平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【分析】（1）推导出AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD，再由PA⊥PD，能证明PD⊥平面PAB（2）取AD的中点O，连接PO，CO，推导出PO⊥AD，从而平面PAD⊥平面ABCD，进而PO⊥平面ABCD．PO⊥CO．由AC＝CD，得CO⊥AD，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【解答】证明：（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB ⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解：（2）取AD的中点O，连接PO，CO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为PA＝PD，所以PO⊥AD，PO⊊平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因为CO⊊平面ABCD，所以PO⊥CO．因为AC＝CD，所以CO⊥AD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz．由题意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1）．设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），则，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令z＝2，则x＝1，y＝﹣2．所以n＝（1，﹣2，2）．又＝（1，1，﹣1），所以cos＜n，＞＝＝﹣．所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．已知动点P到直线l：x＝﹣2的距离比到定点F（1，0）的距离多1．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若A为（1）中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O 的直线OC交曲线E于另外一点B，证明直线AB过定点，并求出定点坐标．【分析】（1）根据条件列出|x+2|﹣＝1，整理即可得轨迹E；（2）表示出直线AB的方程，令y＝0，可得定点坐标．解：（1）设点P（x，y），根据题意得：|x+2|﹣＝1，整理得：y2＝4x，即轨迹E为y2＝4x；（2）设A（x0，y0），其中，即，则C（﹣2，y0），所以直线OC：y＝﹣x，联立，整理得B（，﹣），所以k AB＝＝＝＝则直线AB的方程为y﹣y0＝（x﹣x0），根据题意，若直线AB过定点，则定点必在x轴上，故令y＝0，解得x＝2，即定点坐标为（2，0），综上，直线AB过定点（2，0）．20．已知函数f（x）＝e x•sin x﹣ax．（1）若f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a≤1时，求证：对于任意的，均有f（x）≥0．【分析】（1）求出导函数，判断导函数的符号，判断函数的单调性，令，则g（x）min≥a，利用导数求解函数的最小值即可．（2）求出．令，则g'（x）＝2e x cos x．通过①当时，②当时，求解函数的最小值，构造，通过导函数判断函数的单调性，推出f（x）≥0．得到结果．解：（1）因为f（x）＝e x•sin x﹣ax，所以．因为函数f（x）在上单调递增，∴f'（x）在上恒有f'（x）≥0．即恒成立．令，则g（x）min≥a，又因为g'（x）＝2e x cos x，所以g（x）在上单调递增，所以g（x）min＝g（0）＝1，∴a≤1．故a的取值范围是（﹣∞，1]．（2）证明：因为f（x）＝e x•sin x﹣ax，所以．令，则g'（x）＝2e x cos x．①当时，g'（x）≥0，g（x）递增，有g（x）≥g（x）min＝g（0）＝1，因为a≤1，此时，f'（x）＝g（x）﹣a≥0，f（x）递增，有f（x）≥f（x）min＝f（0）＝0成立．②当时，g'（x）≤0，g（x）递减，有，若a≤0，此时f'（x）＝g（x）﹣a≥0，f（x）递增，显然成立．若a∈（0，1]，此时记f'（x0）＝0，则f（x）在上递增，在上递减．此时有，，构造，则，令t'（x）＝0，求得．故t（x）在上递减，在上递增，所以，所以，此时满足f（x）≥0．综上所述，当a≤1时，对于任意的，均有f（x）≥0．21．2019年7月1日到3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图的频率分布直方图．（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程X近似地服从正态分布N（μ，σ2），经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50．用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率；（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格……第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到k+1），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到k+2），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为P n，试证明{P n﹣P n﹣1}（1≤n≤49，n∈N*）是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出．（2）由X～N（300，502）．利用正态分布的对称性可得P（250＜X≤400）．（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，P0＝1．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即P1＝．遥控车移到第n（2≤n≤49）格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第n﹣2格，又掷出反面，其概率为P n﹣2．②遥控车先到第n﹣1格，又掷出正面，其概率为P n﹣1．可得：P n＝P n﹣2+P n﹣1．变形为P n﹣P n﹣1＝﹣（P n﹣1﹣P n﹣2）．即可证明1≤n≤49时，数列{P n﹣P n﹣1}是等比数列，首项为P1﹣P0，公比为﹣的等比数列．利用P n＝（P n﹣P n﹣1）+（P n﹣1﹣P n﹣2）+……+（P1﹣P0）+P0，及其求和公式即可得出．可得获胜的概率P49，失败的概率P50．进而得出结论．解：（1）＝0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405＝300（千米）．（2）由X～N（300，502）．∴P（250＜X≤400）＝0.9545﹣＝0.8186．（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，P0＝1．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即P1＝．遥控车移到第n（2≤n≤49）格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第n﹣2格，又掷出反面，其概率为P n﹣2．②遥控车先到第n﹣1格，又掷出正面，其概率为P n﹣1．∴P n＝P n﹣2+P n﹣1．∴P n﹣P n﹣1＝﹣（P n﹣1﹣P n﹣2）．∴1≤n≤49时，数列{P n﹣P n﹣1}是等比数列，首项为P1﹣P0＝﹣，公比为﹣的等比数列．∴P1﹣1＝﹣，P2﹣P1＝，P3﹣P2＝，……，P n﹣P n﹣1＝．∴P n＝（P n﹣P n﹣1）+（P n﹣1﹣P n﹣2）+……+（P1﹣P0）+P0＝++……﹣+1＝＝．（n＝0，1，……，49）．∴获胜的概率P49＝，失败的概率P50＝P48＝＝．∴P49﹣P50＝﹣＝＞0．∴获胜的概率大．∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|＝|AB|2，求a的值．【分析】（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系，求出t1、t2的关系式，结合参数的几何意义，求出a的值．解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程ρsin2θ＝a cosθ（a＞0），可化为ρ2sin2θ＝aρcosθ（a＞0），即y2＝ax（a＞0）；直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，化为普通方程是y＝x﹣2；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝ax（a＞0）中，得；设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，则；∵|PA|•|PB|＝|AB|2，∴t1•t2＝，∴＝+4t1•t2＝5t1•t2，即；解得：a＝2或a＝﹣8（不合题意，应舍去）；∴a的值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若m∈R，且m≠0，证明：．【分析】（I）当a＝2时，去掉绝对值，再求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）f（m）+f（﹣）＝|m+a|+|m+|+|﹣+a|+|﹣+|≥2|m+|＝2（|m|+）≥4，可得结论．【解答】（I）解：当a＝2时，f（x）＝|x+2|+|x+|，不等式f（x）＞3等价于或或，∴x＜﹣或x＞，∴不等式f（x）＞3的解集为{x|x＜﹣或x＞}；（Ⅱ）证明：f（m）+f（﹣）＝|m+a|+|m+|+|﹣+a|+|﹣+|≥2|m+|＝2（|m|+）≥4，当且仅当m＝±1，a＝1时等号成立，∴f（m）+．。