高中数学《函数的单调性与导数》公开课优秀教学设计
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教学设计
普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1
(人教A版)
函数的单调性与导数
(第一课时)
《函数的单调性与导数》教学设计
课题:函数的单调性与导数
教材:人教A版《数学》选修1-1
课时:1课时
教材分析:
函数的单调性与导数是人教A版选修1-1第三章第三课第一节的内容. 《数学课程标准》中与本节课相关的要求是:结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
函数的单调性是函数的重要性质之一.在必修一中学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性,学习了导数以后,利用导数来研究函数的单调性,是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应
用.
在前几节课中,学生学习了平均变化率,瞬时变化率,导数的定义和几何意义等内容,在本节课中,学生将要在此基础上学习通过导数来研究函数的单调性,掌握研究函数单调性的更一般方法,进而为后面学习函数的极值,最值等作出知识铺垫,打下能力基础,进行方法指导,因此,本节课可以起到承上启下,完善建构,拓展提升的作用.
学生学情分析:
课堂学生为高二年级的学生,学生基础普遍比较好,但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过,因此对于单调性概念的理解不够准确,同时导数是高中学生新接触的概念,如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.
在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算,初步接触了导数在几何中的简单应用,但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性.
教学目标:
结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系:能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
重点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
难点:探索并了解函数的单调性与导数的关系.
借助几何直观,通过实例探索并了解函数的单调性与导数的关系;理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法,会用导数求函数的单调区间;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学发展的一般规律.
教学策略分析:
根据新课程标准的要求,本节课的知识目标定位在以下三个方面:一是能探索函数的单调性与导数的关系;二是掌握判断函数单调性的方法;三是能由导数信息绘制函数大致图象.
本节课的教学设计也是围绕这些目标,让学生自主探究,充分参与课堂,并从中体会学习的成功和快乐.
本节课时学习过导数的概念和运算后,首次运用导数解决函数相关问题的一节课,如何激发学生的兴趣,使其探索和运用新的工具即导数解决单调性问题是本节课的关键,利用手边胡工具,更好的分析这个过程,运用信息技术确认加深理解.
充分利用学生已有的基础,分析原函数的单调性与导数正负之间的关系,本着由形到数,由数到形,数形结合的思想.
(一)创设情境,引发冲突.
师:在北方,进入十月,就能感觉到阵阵寒意,今天我们就从一个气温的实际问题开始数学之旅.
师:我市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示,从2时到5时的
气温 与时间 可近似的用函数 拟合,问:这段气温
随时间
的变化趋势如何? 回答这个问题,我们需要了解这个函数的什么性质?
生:函数的单调性.
师:如何判断这个函数的单调性呢?
生:画图象,用定义.
师:有的同学说画图象,有的说用单调性的定义,我们动手来做一下吧 生:动手操作.
师:选择画图的同学们,可以画出图象么?
生:不可以.
师:哪位同学来说一下如何用单调性的定义来解决.
生:在区间2到5上,任意选取 且 ,我们需要判断 的符号,
师:可以判断么?
生:不可以.
师:好,请坐,也就是我们已有的方法都遇到了困难,如何解决这个单调性问题呢?
设计意图:
通过学生熟悉的生活情景,激发学生迫切知晓函数单调性的欲望,尝试运用所学知识解决非初等函数的单调性,引发学生的认知冲突,思考如何将未知化为已知,激发了学生主动学习新知识的热情.
(二)回归定义,寻求方法.
师:追本溯源,我们重新回到定义.请一位同学回答单调性的定义.
生:在函数)(x f 的定义域内的某区
内,满足对于任意的 且 ,都有
,是增函数. 师:很好,也就是我们要需要判断 的符号,我们把这个形式变形,判断
的符号,结果为: 生:大于0.
师:即函数值的改变量与自变量改变量的比值:
生:大于0
师:函数)(x f 在区间 内是减函数,满足对于任意的
且 ,都有 ,也就是 生:小于0.
即函数值的改变量与自变量改变量的比值:
1212)()(x x x f x f --1212)
()(x x x f x f --21t t <),(b a ),(,21b a x x ∈21x x <)()(21x f x f >)()(21x f x f <)()(21x f x f -21x x <),(b a ),(,21b a x x ∈2
1t t ,)()(21t C t C -t t C C 1ln 4)(--=t t t C
生:小于0.
师:我们发现,函数的单调性与这样一个比值的符号相关,在本章的学习中,我们知道这叫做----
生:函数的平均变化率.
师:我们运用无限趋近于的方式,可以由平均变化率得到瞬时变化率,反过来,瞬时变化率可以刻画函数在该点附近的变化情况,我们知道瞬时变化率,即----
生:导数.
师:非常棒!我们这节课就试着用导数来研究函数的单调性.
板书:3.3.1函数的单调性与导数.
设计意图:
注意到知识的联系,尝试在学生原有认知的基础上建立新知,通过回顾函数单调性的定义,将其形式改变,联想平均变化率,运用无限趋近于的方式,得到瞬时变化率,即导数,引发学生思考导数与单调性的关系,这个过程由浅入深,层层深入,合乎学生的逻辑思维.
(三)观察发现,探索规律.
师:要研究函数的单调性与导数的关系,我们来观察,函数单调递增时,平均变化率大于0,函数单调递减时,平均变化率小于0,那么,导数的符号是否与函数的单调性有关呢?
师:我们从最熟悉的函数开始研究,我们都学过哪些基本初等函数呢?生:幂函数,指数函数,对数函数,三角函数.
师:对于这些函数,我们都是通过函数的形,也就画出图像的方式来研究,同样的,导数的形,也就是导数的几何意义是什么呢?
生:函数的图像在该点处切线的斜率.
师:根据导数的几何意义,我们一起来看研究的方法.
师:给出函数的图像,指出其单调区间,用牙签靠近图像,使其作为该点处的切线,移动牙签,观察斜率即导数的正负情况.
师:拿出坐标纸,作出你研究的函数图像,利用牙签,得出结论,并填写下面的表格.
师:可以进行讨论,到前面展示你的结果.
师:我们一起来看同学们的展示,可以得到什么结论呢?
生:导数为负数时函数单调递减,导数为正数时单调递增.
师:熟悉的初等函数,得到这样的结论,数学来源于生活,我们再来看生活中的例子:
h t
给出高台跳水运动员的高随时间变化的函数,来研究运动员运动状态的变化情况.
生:可以画出这个二次函数的图像,得到高度的变化情况,从)
,0(a时刻,高度上升,)
a时刻高度下降.
(b
,