三角函数性和e指数形式的傅里叶变换
傅里叶变换概念及公式推导
傅里叶变换概念及公式推导傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数从时域（时间域）转换为频域。
傅里叶变换的基本概念是，任何一个周期性函数都可以表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
通过傅里叶变换，我们可以将原始信号分解成许多不同频率的正弦和余弦波。
F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(−iωt) dt其中，F(ω)表示频域中的函数，与f(t)相对应。
为了推导傅里叶变换的公式，我们首先将复数e^(−iωt)展开为正弦和余弦函数的形式：e^(−iωt) = cos(ωt) − i sin(ωt)然后将这个展开式代入变换公式中，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) (cos(ωt) − i sin(ωt)) dt为了求解这个积分，我们可以利用欧拉公式，将复数表示为以指数函数的形式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt将第一个积分的积分变量由t替换为−t，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(−t) sin(ωt) dt由于f(t)是一个偶函数（即f(−t)=f(t)）F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t)sin(ωt) dt记F(ω)的实部为Re[F(ω)]，虚部为Im[F(ω)]，我们可以将公式进一步简化为：Re[F(ω)] = ∫[−∞,+∞] f(t) cos(ωt) dtIm[F(ω)] = − ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt这就是傅里叶变换的实部和虚部的计算公式，也称为余弦分量和正弦分量的公式。
通过计算这两个积分，我们可以得到函数在不同频率上的分量。
这些频率分量相当于原始函数在频域中的表现，有助于我们理解原始函数的频率特征。
要注意的是，以上推导过程是针对连续时间信号的傅里叶变换。
傅里叶变换推导详解
傅里叶变换推导详解三角函数标准形式为公式2.1所示f\left( t \right) = Asin\left( \omega t + \varphi\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.1)\ \在物理意义上这个函数又称之为正弦信号(正弦波),其中的t为时间变量,A为波幅, ω为角速度, φ为相位，我们可以通过公式2.2求得这个正弦波的频率。
f = \frac{\omega}{2\pi}\ (2.2)根据等式2.2，角速度和正弦波的频率是正相关的。
同时，因为三角函数是周期函数，其在-π到π的积分必定为0，由此性质可写出式2.3，2.4\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\left( \text{nx} \right){dx =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.3)}}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\left( \text{nx} \right){dx =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.4)}}设某三角函数为f\left( x \right) = \sin\left( \text{nx} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.5)在式2.5两边同时乘以 \sin\left( \text{mx} \right) 同时,对两边在-π到π内进行积分,得出\int_{- \pi}^{\pi}{f\left( x \right)sin(mx)dx} =\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\left( \text{nx}\right)sin(mx)dx}\ \ \ \ \ (2.6)由三角函数的积化和差公式,上式可变形为\int_{- \pi}^{\pi}{f( x )\sin( \text{mx} )\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \cos\lbrack ( m - n )x \rbrack - \cos\lbrack ( m + n )x \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} - \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ \ \ (2.7)依据上述推导方法我们可以继续推导出下列公式:\int_{-\pi}^{\pi}{\cos( \text{mx} )\cos( \text{nx} )}dx =\frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \cos\lbrack ( m - n )x \rbrack + \cos\lbrack ( m + nx ) \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} + \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ (2.8)\int_{-\pi}^{\pi}{\sin( \text{mx} )\cos( \text{nx} )}dx =\frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \sin\lbrack ( m - n )x \rbrack + \sin\lbrack ( m + n )x \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} + \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\sin\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ \ \ (2.9)因为三角函数在-π到π内的积分为0,因此当 m \neq n 时,式2.7、2.8、2.9的结果必定为0，因此可以得出以下结论，频率不同的三角函数相乘在一个周期内(-π到π)的积分必定为0。
三角函数性和e指数形式的傅里叶变换
三角函数性和e指数形式的傅里叶变换
傅立叶变换是一个可以将时域信号转换成频域信号的数学工具，它主要是用来分析指
定信号的频率谱成分。
傅立叶变换也可应用在处理三角函数性和指数形式的信号，以解决
很多科学、工程等领域中的实际问题。
对于三角函数性信号来说，经过傅立叶变换之后，它可以呈现出一种特殊的频率分布
格局。
即在所有受检信号的主要频率谱成分都集中在它的基线频率周围，而其余的非基线
频率成分则相对较小。
这表明傅立叶变换在处理三角函数性信号的能力还是相当的不错的，能够获得清晰的信号频谱分析结果。
此外，傅立叶变换还可以用来分析指数形式的信号。
指数形式的信号可以分为两类，
即有几何指数形式和指数形式。
对于指数形式信号，经过傅立叶变换之后，它可以产生一
种比较简单的频谱分析结果，即该信号主要的频率谱成分分散分布，而且它的能量均匀分
布在整个频谱空间。
这表明傅立叶变换在处理指数形式的信号的能力也是相当的不错的，
也能获得清晰的信号频谱分析结果。
总之，傅立叶变换是一种极为有效的分析处理三角函数性和指数形式信号的数学工具，可以获得准确的频谱分析结果，是各种工程应用中实用性非常强的数学工具。
角函数性和e指数形式的傅里叶变换
三角级数、傅里叶级数对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数系将其展开：1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……显然，这组基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期区间求积分获得函数f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数系为坐标的投影值a0,an,bn……一个一般的函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项a0和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。
傅里叶级数的复数形式根据欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。
所以，任何一个周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1，e^jx，……，e^jnx 上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。
但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意义也将有所变化。
由于复数的引入，每一个复指数e^jnx相对于三角函数系都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。
其道理非常简单，一个实参a表示数轴上的一点，而一个复数a+bj 表示二维坐标上的一点，所以cosx，sinx分别表示一条二维曲线，而e^jx=cosx+jsinx是一条空间三维曲线。
傅里叶变换周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号可以借助傅里叶变换进行.对实信号做傅立叶变换时，如果按指数e^jωt为核来求，我们将得到双边频谱。
以角频率为Ω的余弦信号为例，它有具有位于±Ω两处的，幅度各为，相角为零的频率特性。
实际上，COSΩt就是e^jΩt与e^j-Ωt两条螺旋线的叠加，他们虚部刚好对消，只剩下实部。
Ω1与Ω2两个角速度的螺旋线坐标值的叠加并不等于角速度Ω1+Ω2，因为从角速度到螺旋线的映射不是线性关系。
这一现象正体现了频率的正交特性,也是频率分析理论存在的基础.经过傅立叶变换得到的负频率表示一条反向旋转的螺旋线,而复频率表示一条整体改变90度相位的螺旋线，它们分别与正频率,实频相对应,都表示一个特定的螺旋线，并没有玄妙的含义。
033第三章 傅里叶变换
T 0
f
2(t)d t
a02
1 2 n1
an2
bn2
a02
1 2
cn2
n1
Fn
n
2
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量 有效值的平方和；
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率 随频率分布的情况，称为功率谱系数。
第三章 傅里叶变换
3.1 引言
X
频域分析
第 2
页
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信 号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之 间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤 波、调制和频分复用等重要概念。
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。
第第 2222
页页
偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
X
第第
1．偶函数
2233
页页
信号波形相对于纵轴是对称的
f (t) f (t)
f (t) E
bn 0
4
an T
T
2 0
f (t)cosn1t d t
0
F
n
F (n1 )
1 2
an
jbn
1 2
an
T
O
n 0
T
t
傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。
n
Fn1
三角函数与傅里叶变换
三角函数与傅里叶变换数学领域中的三角函数和傅里叶变换是两个重要的概念。
它们虽然看似不相关，但在实际应用中却经常同时涉及到。
下面就着重来介绍这两个概念。
三角函数是数学中的一种函数形式，它由正弦函数和余弦函数组成。
正弦函数和余弦函数的图像分别是在平面直角坐标系中以原点为中心不断运动并重复震荡的曲线。
我们可以用一个数来表示三角函数的参数，这个数称为角度，通常使用弧度制表示。
比如，当我们用角度为0时，对应的是正弦函数的值为0，余弦函数的值为1。
这和在直角坐标系中的位置相关，具体而言，就是在坐标系中，角度0是对应于初始位置的，即在右侧的x轴上，向右伸展出长度为1的线段。
傅里叶变换，则是一种数学工具，它可以将时间域中的信号转化为频域中的表达方式。
所谓时域，指的是信号随时间变化的过程，而频域则是指信号包含了哪些频率成分。
如果我们有一段信号，可以通过傅里叶变换来分解出这个信号所包含的不同频率成分。
通常，我们使用复数来表示这些不同频率成分，并且使用一个连续函数来表示整个信号的频域成分。
傅里叶变换在信号处理、图像处理等领域都有广泛的应用。
三角函数和傅里叶变换二者之间有什么联系呢？实际上，我们可以使用三角函数来表示某些信号的频率成分，这就是傅里叶分析中的基本思路。
在傅里叶分析中，我们将原始信号分解成不同的正弦函数和余弦函数，每个正弦函数和余弦函数都对应着信号中不同的频率成分。
因此，我们可以通过观察正弦函数和余弦函数的振幅和相位，来判断信号中包含了哪些频率成分以及这些成分的强度大小。
傅里叶分析是一种非常强大的工具，可以用来处理各种不同类型的信号。
例如，在音频处理中，我们可以将一段音频信号分解成不同的频率成分，以便更好地进行音频处理。
在图像处理中，傅里叶变换也可以用来对图像进行频域滤波，以去除噪声或者增强图像中的一些特定细节。
结语三角函数和傅里叶变换是数学领域中的两个重要概念，它们尽管看似不相关，但实际上在实际应用中也经常同时涉及到。
第4(5)章 傅里叶级数和变换
t0
2 2
f (t ) cos( n1t )dt
2 T1
2
E cos( n1t )dt
4 T1
0
E cos( n1t )dt
2
4E 1 sin n1t T1 n1
变
0
不 变
2E n an sin n T1
n sin 2E n T1 n n T1 T1 2 E n Sa ( ) T1 T1
§4.1 引言 信号与系统的时域分析→变换域分析（频域分析）
第四章 连续系统的频域分析P116
任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示
1822年，法国数学家傅里叶提出；
Poisson、Gauss等将其应用到电学中；
20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立 叶分析的应用开辟了广阔的前景 周期信号——傅里叶级数 非周期信号——傅里叶变换
T 2 T 2 T 2 T 2
(3) 半波重迭信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
-T/2
T/2
t
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦 的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
(4) 半波镜像信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
T/2 0 T
t
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇 次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
④ t =±π，±2π，…±nπ；Sa(t)=0
正弦分量的幅度： bn
2 T1
t 0 T1
2 2
t0
f (t ) sin( n1t )dt
2 T1
常用函数的傅里叶变换
常用函数的傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，常用于信号处理、通信、图像处理等领域。
在实际应用中，有很多常用的函数需要进行傅里叶变换，本文将介绍一些常用函数的傅里叶变换公式。
1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，它们的傅里叶变换公式如下：$$begin{aligned}mathcal{F}(sin(omega_0t)) &= frac{j}{2}[delta(omega-omega_0)-delta(omega+omega_0)]mathcal{F}(cos(omega_0t)) &= frac{1}{2}[delta(omega-omega_0)+delta(omega+omega_0)]end{aligned}$$其中，$omega_0$表示正弦函数和余弦函数的基频，$delta(omega)$表示狄拉克脉冲函数，$j$表示虚数单位。
2. 矩形函数矩形函数是一个限制在有限区间的常数函数，它的傅里叶变换公式如下：$$mathcal{F}(mathrm{rect}(t/T)) = Tmathrm{sinc}(omega T) $$其中，$mathrm{sinc}(x)=frac{sin(pi x)}{pi x}$为正弦积分函数。
3. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的傅里叶变换公式如下：$$begin{aligned}mathcal{F}(sin^2(omega_0t)) &= frac{j}{4}[delta(omega-2omega_0)-delta(omega)-delta(omega+2omega_0)]mathcal{F}(cos^2(omega_0t)) &= frac{1}{4}[delta(omega-2omega_0)+2delta(omega)+delta(omega+2omega_0)]mathcal{F}(tan(omega_0t)) &= -jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega-omega_0)-jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega+omega_0)end{aligned}$$其中，$mathrm{sgn}(x)$为符号函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角级数、傅里叶级数
对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数系将其展开：
1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……
显然，这组基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期区间求积分获得函数f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数系为坐标的投影值a0,an,bn……
一个一般的函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项a0和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。
傅里叶级数的复数形式
根据欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。
所以，任何一个周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1，
e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。
但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意义也将有所变化。
由于复数的引入，每一个复指数e^jnx相对于三角函数系都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。
其道理非常简单，一个实参a表示数轴上的一点，而一个复数a+bj表示二维坐标上的一点，所以cosx，sinx分别表示
一条二维曲线，而e^jx=cosx+jsinx是一条空间三维曲线。
傅里叶变换
周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号可以借助傅里叶变换进行. 对实信号做傅立叶变换时，如果按指数e^jωt为核来求，我们将得到双边频谱。
以角频率为Ω的余弦信号为例，它有具有位于±Ω两处的，幅度各为0.5，相角为零的频率特性。
实际上，COSΩt就是e^jΩt与e^j-Ωt两条螺旋线的叠加，他们虚部刚好对消，只剩下实部。
Ω1与Ω2两个角速度的螺旋线坐标值的叠加并不等于角速度
Ω1+Ω2，因为从角速度到螺旋线的映射不是线性关系。
这一现象正体现了频率的正交特性,也是频率分析理论存在的基础.
经过傅立叶变换得到的负频率表示一条反向旋转的螺旋线,而复频率表示一条整体改变90度相位的螺旋线，它们分别与正频率,实频相对应,都表示一个特定的螺旋线，并没有玄妙的含义。
连续频谱
周期信号用傅里叶级数展开所获得频率线状谱的物理意义十分明确,即整个信号由所有谱线存在处频率分量叠加而成.比如信号COSΩt 对应Ω与-Ω处两根谱线.
困难的问题是对连续谱的理解.以下为标准的傅里叶变换对:
由于存在关系式:e^j-wt=cos-wt+j*sin-wt,再联想一个信号在三角
函数系上的展开,可以认为上述傅里叶变换的意义是得到信号x(t)实部的cos-wt系数以及x(t)虚部的sin-wt系数.又由于cos的偶函数性质,sin的奇函数性质以及j*j=-1这一定义,对于某一个特定的w',出现在变换式左边的将是x(t)实部的cosw't系数以及x(t)虚部的sinw't系数,两者的加和显然可以用e^jwt的系数表示.
假如直接以几何意义来思考,为什么傅里叶变换式两端正负号不一致,也很有趣.回到三角函数展开,在周期[-pi,pi]上,只有coswx与coswx的乘积不为零,这也是正交性.而在三维空间中,一条螺旋线与它自身的乘积再做积分却是零,非要与它每一点的共轭值相乘才不为零.造成这种形式不统一的根源,可以认为一维是一种特例,而二维是较普遍的表达,也可以认为实数的共轭是它本身,而复数共轭虚部相反.
连续频谱意义
现在来看连续谱线的含义,它与概率密度函数一样,只有相对的意义,也就是说,在频谱上高度相同的两点,只表示这两点含对应频率给信
号的贡献相同,而无法得出任一频率分量本身的能量.这与概率密度
函数是相同的,任何一点的概率取值都是零,但概率密度函数曲线相
同高度处代表可能性相同.出现这一问题的根源可能是微积分,或者
说是"极限"带来的困绕,因为物理世界中,时间,能量,都有最小量值,不可再分.那么,我们可以仅仅把微积分看作只是一种数学处理,对微小离散累加的近似.因此连续谱线可以理解成相当多,相当细密离散
谱线束的近似,但每一根离散谱线的高度值并非其对信号的贡献,仅
仅表示一个相对的意义.依然可以借助概率密度函数的意义来理解,
离散分布律对应的概率线,线有多高,随机变量取值就有多大可能性,在连续概率密度函数中,假如化为微小离散的分布律线,将不再是原
来的高度,而应该用该值微笑领域内与原连续曲线所围面积来替代其高度,这一理解与从频谱回到信号的傅里叶变反换是吻合的.
为了便于理解,我们重新叙述整个问题:1,对于周期信号,由于其由多个三角函数线性叠加而成,而三角函数本身又具有正交性,那么通过
如下的运算:
即任何基函数与原信号相乘后做区间积分,就可以得到任意特定基函数在区间平方后曲线所围面积与该基在原信号中加权系数之积.显然,要把基函数平方曲线所围面积的值去除,才能得到系数净值.因此,在上述式子前,要除以一个pi,也就是去掉了所围面积.
2,那么,对于非周期信号,首先我们可以视其为一个周期极长的信号,而且这个信号只在周期中的一部分有非零值,当然,这个信号只有部
分非零并不影响所有的操作和理解.在周期信号的展开中,所有可能
包含的基函数为其周期的分数也即这些基函数频率是原信号频率的
倍数.比如一个2Hz的周期信号,他包含的基函数只可能是偶数Hz的三角函数.因此,我们假设一个信号的周期特别长,也即频率特别低,
会导致什么呢?当周期长到趋近于极限,频率也同时低到趋近于极限,结合时间量子的概念,可以认为这个极端是原子频率,即一个最小的
频率.那么,对这个非周期信号展开时,所有频率都有可能对其有贡献,因为原信号的频率低到了一个原子频率.于是,对一个非周期,或者说是一个周期无限长信号展开时,我们必须考虑所有可能的频率分量,
实际上,这些微间隙量子化的频率值并不连续,但是由于它们非常细蜜,可以用人类思维理念中虚拟出来的"连续"这一概念来近似.可以
想到的是,由于频率分量足够多,每一分量的权值系数将非常小,实际上,对比周期信号的展开式,我们发现,在傅里叶积分式前,并没有去
除基函数平方在周期内所围的面积值,因此,用连续近似繁多离散的
频谱起伏曲线只有相对的意义.。