高考数学二轮复习专题十数列课件

例2 已知四个数成等比数列，其积为 1，第二项与第 三项之和为－23，求这四个数．
错解 设这四个数为 aq－3、aq－1、aq、aq3，显然 q2 为 公比．
a4＝1，
①
由题意得a(q1＋q)＝－32.
②
由①得 a＝±1，代入②得1q＋q＝±32.
∵|1q＋q|≥2，∴此题无解．
找准失分点 这四个数的设法错误．
(2)解 由(1)得a1n＝3＋3(n－1)＝3n， ∴Sn(x)＝3x＋6x2＋9x3＋…＋3nxn. 当 x＝1 时，Sn(1)＝3＋6＋9＋…＋3n＝3(n＋2 1)n； 当 x≠1 时，Sn(x)＝3x＋6x2＋9x3＋…＋3nxn， 故 xSn(x)＝3x2＋6x3＋…＋3(n－1)xn＋3nxn＋1， 则(1－x)Sn(x)＝3x＋3x2＋…＋3xn－3nxn＋1， 故 Sn(x)＝3x－3(n＋(11－)xxn＋)21＋3nxn＋2.
(2)由(1)知{S1n}是等差数列，且公差 d＝－21， S11＝a11＝31， ∴S1n＝13＋(n－1)×(－12)＝5－63n， ∴Sn＝5－63n，
∴an＝Sn－Sn－1＝(3n－51)8(3n－8).
找准失分点 在(1)问中，an＝Sn－Sn－1 应写上条件 n≥2. 漏掉 n≥2 即为不规范． 在第(2)问中，错误在于没有讨论 n＝1 的情况．
a4＝1，
①
则有a(q－1q)＝－32，
②
a＝±1，
③
得aq2＋32q－a＝0.
④
把 a＝1 代入④，得 q2＋32q－1＝0，解得 q＝21或 q＝－2；
把 a＝－1 代入④，得 q2－32q－1＝0，解得 q＝－12或 q＝2.
综上，可求得四个数为：8、－2、12、－18或－81、21、－2、8.
a1b2＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝2n－3， 两式相减得 anbn＝2，∴bn＝2n＋1.
因此 bn＝22，n＋1，
n＝1， n≥2.
当 n＝1 时，Sn＝S1＝b1＝2； 当 n≥2 时，Sn＝b1＋b2＋……＋bn＝2＋8(11－－22n－1)
＝2n＋2－6.
综上，Sn＝2n＋2－6.
失分点 16 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误
数列
失分点 15 忽视 n 的范围致误 例 1 已知数列{an}的首项为 a1＝3，通项 an 与前 n 项
和 Sn 之间满足 2an＝Sn·Sn－1(n≥2)． (1)求证：{S1n}是等差数列，并求其公差； (2)求数列{an}的通项公式．
错解 (1)∵an＝Sn－Sn－1， ∴2(Sn－Sn－1)＝Sn·Sn－1， ∴S1n－Sn1－1＝－21， ∴数列{S1n}是等差数列，并且 d＝－12.
综上所述，当 x＝1 时，Sn(1)＝32n(n＋1)(n∈N*)； 当 x≠1 时，Sn(x)＝3x－3(n＋(11－)xxn＋)21＋3nxn＋2(n∈N*)．
失分点 17 忽视等比数列中的隐含条件致误 例 3 各项均为实数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，
1(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
解 (1)由已知得 a2－a3＝2(a3－a4)， 从而得 2q2－3q＋1＝0， 解得 q＝12或 q＝1(舍去)， 所以 an＝(12)n.
(2)当 n＝1 时，a1b1＝1，∴b1＝2；
当 n≥2 时，a1b1＋a2b2＋……＋an－1bn－1＋anbn＝2n－1，
(n＝1) (n≥2) .
正解 (1)当 n≥2 时，2(Sn－Sn－1)＝Sn·Sn－1，两端同除以 Sn·Sn－1，得S1n－Sn1－1＝－21，根据等差数列的定义，知{S1n} 是等差数列，且公差为－21. (2)由第(1)问的结果可得S1n＝31＋(n－1)(－12)， 即 Sn＝5－63n. 当 n＝1 时，a1＝3； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－51)8(3n－8).
失分原因与防范措施 因为本题的设法使数列公比为 q2.这就限制了公比只能大于 0，从而导致错误.在解决 本类问题时，一定要考虑到公比为 1 和不为 1 的情况， 公比为正和为负的情况，即根据题意，对公比进行讨论.
正解 方法一 (1)当所求等比数列的各项同号时，由上述解 法知，此时无解．
(2)当所求等比数列的各项异号时，设这个数列的前四项依次 为 aq－3、－aq－1、aq、－aq3，
方法二 设这四个数为 a、aq、aq2、aq3，则由题意知：
a4q6＝1，
①
aq(1＋q)＝－32，
②
a2q3＝±1，
③
得a2q2(1＋q)2＝94.
④
把 a2q2＝1q代入④，得 q2－14q＋1＝0，此方程无解；
把 a2q2＝－1q代入④，得 q2＋147q＋1＝0，
解此方程得 q＝－14或 q＝－4. 当 q＝－14时，a＝8；当 q＝－4 时，a＝－18.
所以这四个数为：8、－2、12、－18或－18、12、－2、8.
变式训练 2 已知 f(x)＝3x＋x 1，数列{an}满足 a1＝13， an＋1＝f(an)(n∈N*)． (1)求证：数列{a1n}是等差数列； (2)记 Sn(x)＝ax1＋ax22＋…＋axnn(x>0)，求 Sn(x)．
(1)证明 由已知得 an＋1＝3aan＋n 1， ∴an1＋1＝3aan＋n 1＝3＋a1n， ∴an1＋1－a1n＝3. ∴{a1n}是首项为 3，公差为 3 的等差数列．
失分原因与防范措施 an＝Sn－Sn－1 只有在 n≥2 时才能
成立．解题时往往忽视 n≥2 的条件致误．解关于由 Sn
求 an 的题目时，按两步讨论，可避免出错．①当 n＝1
时，a1＝S1；②当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1.检验 a1 是否适
合由②求的解析式，若符合，则统一，若不符合，则用
分段函数表达：an＝SS1n－Sn－1
Hale Waihona Puke 3(n＝1)，所以 an＝
18
(3n－5)(3n－8)
(n≥2).
变式训练 1 已知等比数列{an}中，a2、a3、a4 分别是某 等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且 a1＝12，公 比 q≠1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列{bn}满足：a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2n－