八年级数学下册正方形的性质练习题及解析
新课标华东师大版八年级数学下册19.3正方形同步练习（含解析）
新课标华东师大版八年级数学下册新课标华东师大版八年级数学下册19.3 19.3 正方形同步练习正方形同步练习正方形同步练习（含解析）（含解析）知识点知识点 1 正方形的性质正方形的性质1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A ．四条边相等．四条边相等B ．对角线互相垂直平分．对角线互相垂直平分C ．对角线平分一组对角．对角线平分一组对角D ．对角线相等．对角线相等2．如图1，在正方形ABCD 的外侧作等边三角形ADE ，则∠AEB 的度数为( ) A ．10° B ．12.5° C ．15°D ．20° 图1图23．如图2，已知正方形ABCD ，点E 在边DC 上，DE ＝3，EC ＝1，则AE 的长为________．4．教材习题第2题变式如图3，四边形ABCD 是正方形，E ，F 分别是边AB ，AD 上的一点，且BF ⊥CE ，垂足为G .求证：BE ＝AF .图3知识点知识点 2 正方形的判定正方形的判定5.图4如图4所示，已知四边形ABCD 是菱形，则只需补充条件：________(用字母表示)就可以判定四边形ABCD 是正方形．(填一个即可)6．如图5，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，分别过点C ，D 作CE ∥BD ，DE ∥AC ，CE 与DE 交于点E .求证：四边形OCED 是正方形．是正方形．图57．2017·东台市期中已知：如图6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ，∠ABC 的平分线相交于点D ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F .求证：四边形CEDF 是正方形．是正方形．图68．如图7，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F .(1)求证：△BED ≌△CFD ；(2)若∠A ＝90°，求证：四边形DF DFAE AE 是正方形．是正方形．图7【提升能力】【提升能力】图89．如图8，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH .若BE ∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 10．2018·宜昌如图9，正方形ABCD 的边长为1，E ，F 分别是对角线AC 上的点，已知EG ⊥AB ，EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ，则图中阴影部分的面积等于( )A ．1 B.12 C.13 D.14图9图1011．如图10所示，在边长为2的正方形ABCD 中，Q 为BC 边的中点，P 为对角线AC 上一点，连结PB ，PQ ，则△PBQ 周长的最小值为________．12．如图11，P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E ，F 分别为垂足，连结AP ，若CF ＝3，CE ＝4，求AP 的长．的长．图1113．如图12，在△ABC 中，D 为BC 边上的一动点(点D 不与B ，C 两点重合)，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F .(1)试探索AD 满足什么条件时，四边形AEDF 为菱形，并说明理由；为菱形，并说明理由；(2)在(1)的条件下，△ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 为正方形？为什么？为正方形？为什么？图1214．正方形ABCD 中，∠MAN ＝45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC (或它们的延长线)于点M ，N ，AH ⊥MN 于点H .(1)如图13①，①，当∠当∠MAN 绕点A 旋转到BM ＝DN 时，时，请你直接写出请你直接写出AH 与AB 的数量关系：________．(2)如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，(1)中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请进行证明．成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请进行证明．图1319．3 正方形正方形1．D 2.C3．5 [解析] ∵四边形ABCD 是正方形，是正方形，∴AD ＝DC ，∠D ＝90°90°.. ∵DE ＝3，EC ＝1，∴AD ＝CD ＝4. 在Rt △ADE 中，中，∵∠D ＝90°，AD ＝4，DE ＝3， ∴AE ＝AD 2＋DE 2＝42＋32＝5. 4．证明： ∵四边形ABCD 是正方形，是正方形， ∴AB ＝BC ，∠A ＝∠CBE ＝90°，∴∠ABF ＋∠CBG ＝90°90°.. ∵BF ⊥CE ，∴∠BCE ＋∠CBG ＝90°， ∴∠BCE ＝∠ABF .在△BCE 和△ABF 中，中， îïíïì∠BCE ＝∠ABF ，BC ＝AB ，∠CBE ＝∠A ，∴△BCE ≌△ABF ， ∴BE ＝AF .5．答案不唯一，如∠ABC ＝90°或AC ＝BD 等 6．证明：∵CE ∥BD ，DE ∥AC ， ∴四边形OCED 是平行四边形．是平行四边形． ∵四边形ABCD 是正方形，是正方形，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，AC ⊥BD ， ∴四边形OCED 是正方形．是正方形．7．证明：过点D 作DN ⊥AB 于点N .∵DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴∠DFC ＝∠DEC ＝90°90°.. 又∵∠C ＝90°，∴四边形CEDF 是矩形．是矩形．∵∠BAC ，∠ABC 的平分线相交于点D ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DN ⊥AB ， ∴DF ＝DN ，DE ＝DN ， ∴DF ＝DE ， ∴四边形CEDF 是正方形．是正方形． 8．证明：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C .∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°90°.. ∵D 为BC 边的中点，边的中点，∴BD ＝CD ， ∴△BED ≌△CFD .(2)∵∠BED ＝∠CFD ＝90°，∴∠AED ＝∠AFD ＝90°90°.. 又∵∠A ＝90°，∴四边形DF DFAE AE 是矩形．是矩形．由(1)知△BED ≌△CFD ， ∴DE ＝DF ，∴四边形DF DFAE AE 是正方形．是正方形．9．B [解析] 设CH ＝x ，则EH ＝DH ＝9－x . ∵BE ∶EC ＝2∶1，∴EC ＝13BC ＝3.在Rt △ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2， 即(9－x )2＝32＋x 2， 解得x ＝4，即CH ＝4. 故选B.10．B [解析] ∵四边形ABCD 是正方形，∴直线AC 是正方形ABCD 的对称轴．的对称轴． ∵EG ⊥AB ，EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ，∴根据对称性可知：四边形EFHG 的面积与四边形EFJI 的面积相等，∴S 阴影＝12S 正方形ABCD ＝12.故选B.11.5＋112．解：连结PC ，EF .∵四边形ABCD 是正方形，是正方形， ∴AD ＝CD ，∠ADP ＝∠CDP .又∵PD ＝PD ，∴△APD ≌△CPD ， ∴AP ＝CP .∵四边形ABCD 是正方形，是正方形，∴∠DCB ＝90°90°.. 又∵PE ⊥DC ，PF ⊥BC ， ∴四边形PFCE 是矩形，是矩形， ∴CP ＝EF .∵∠DCB ＝90°，∴在Rt △CEF 中，EF 2＝CF 2＋CE 2＝32＋42＝25， ∴EF ＝5(负值已舍去)， ∴AP ＝CP ＝EF ＝5.13．解：(1)当AD 平分∠BAC 时，四边形AEDF 为菱形．为菱形． 理由：∵AE ∥DF ，DE ∥AF ，∴四边形AEDF 为平行四边形，∠F AD ＝∠ADE . ∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠F AD ，∴∠EAD ＝∠ADE ， ∴AE ＝DE ，∴▱AEDF 为菱形．为菱形． (2)当∠BAC ＝90°时，菱形AEDF 为正方形．理由：为正方形．理由： ∵有一个角是直角的菱形是正方形，∵有一个角是直角的菱形是正方形， ∴菱形AEDF 为正方形．为正方形． 14．解：(1)AH ＝AB(2)AH ＝AB 的数量关系还成立．理由如下：的数量关系还成立．理由如下： 如图，延长CB 至点E ，使BE ＝DN ，连结AE .∵四边形ABCD 是正方形，是正方形，∴AB ＝AD ，∠D ＝∠ABE ＝90°90°.. 在△AEB 和△AND 中，中， îïíïìAB ＝AD ，∠ABE ＝∠D ，BE ＝DN ，∴△AEB ≌△AND ，∴AE ＝AN ，∠EAB ＝∠NAD ，∴∠EAM ＝∠NAM ＝45°45°.. 在△AEM 和△ANM 中，中， îïíïìAE ＝AN ，∠EAM ＝∠NAM ，AM ＝AM ，∴△AEM ≌△ANM ，∴S △AEM ＝S △ANM ，EM ＝MN .∵AB ，AH 分别是△AEM 和△ANM 对应边上的高，对应边上的高， ∴AB ＝AH .。
人教版八年级数学 下册 第十八章 18.2.3 正方形 课时练(含答案)
第十八章平行四边形18.2.3 正方形一、选择题1、正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等2、四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（）.A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形3、下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形4、如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( )A.3：4B.5：8C.9：16D.1：25、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF∠AB，垂足为F，则EF的长为（）A.1B.C. D.二、填空题6、如图，ABCD是正方形，E是CF上一点，若DBEF是菱形，则∠EBC=________．第6题图第7题图7、如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM＋PN的最小值是___________．8、如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．9、正方形边长为a，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为.10、如图，在Rt△ABC中，△C=90°，DE垂直平分AC，DF△BC，当△ABC满足条件AC=BC时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）三、解答题11、如图，E是正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，求∠AEB的度数。
12、如右图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DF．（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）13、已知：如图，△ABC中，△ABC=90°，BD是△ABC的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．14、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D 为AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你的理由．15、如右图，要把边长为1的正方形ABCD 的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的59，请说明理由.16、如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（8，8），将正方形ABCO绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连CH 、CG ．（1）求证：∠CBG∠∠CDG ；（2）求∠HCG 的度数；判断线段HG 、OH 、BG 的数量关系，并说明理由； （3）连结BD 、DA 、AE 、EB 得到四边形AEBD ，在旋转过程中，四边形AEBD 能否为矩形？如果能，请求出点H 的坐标；如果不能，请说明理由．参考答案：一、1、C 2、D 3、B 4、B 5、C 二、6、7、10、 8、1ab 49、2a10、考点： 正方形的判定． 专题： 计算题；开放型．分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF 是正方形推出．解答：解：设AC=BC ，即△ABC 为等腰直角三角形，△△C=90°，DE 垂直平分AC ，DF △BC ， △△C=△CED=△EDF=△DFC=90°， DF=AC=CE ，DE=BC=CF ，11A1A 图3-21△DF=CE=DE=CF，△四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC．点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件．三、11、∵△ADE中，AE＝AD，∠ADE＝75°，∴∠AED＝75°（等边对等角）∴∠EAD＝180°－75°×2＝30°又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝120°∴∠AEB＝°°°12、（1）提示：证△DEB≌△DFC，（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）13、考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：由DE△AB，DF△BC，△ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是△ABC 的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形．解答：解：△DE△AB，DF△BC，△△DEB=△DFB=90°，又△△ABC=90°，△四边形BEDF为矩形，△BD是△ABC的平分线，且DE△AB，DF△BC，△DE=DF，△矩形BEDF为正方形．点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．14、（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴▱四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．15、提示：AA1 = BB1 = CC1 = DD1 =13（或=23）.16、（1）∠正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，∠CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．在Rt∠CDG和Rt∠CBG中，，∠∠CDG∠∠CBG（HL）1 (180 2120-)30=（2）解：∠∠CDG∠∠CBG，∠∠DCG=∠BCG，DG=BG．在Rt∠CHO和Rt∠CHD中，∠ ，∠∠CHO∠∠CHD（HL），∠∠OCH=∠DCH，OH=DH，∠∠HCG=∠HCD+∠GCD= ∠OCD+ ∠DCB= ∠OCB=45°，∠HG=HD+DG=HO+BG（3）解：四边形AEBD可为矩形．如图，连接BD、DA、AE、EB，四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB 中点的时候．∠DG=BG，∠DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形，∠当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形．∠四边形DAEB为矩形，∠AG=EG=BG=DG．∠AB=6，∠AG=BG=3．设H点的坐标为（x，0），则HO=x∠OH=DH，BG=DG，∠HD=x，DG=3．在Rt∠HGA中，∠HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，∠（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．∠H点的坐标为（2，0）．。
八年级数学下册正方形性质与判定填空题练习(含答案)
正方形性质与判定填空题练习1、如图，正方形ABCD边长为1，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CE于点F，则EF的长为．2、如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则HD的长为．3、如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．4、如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为．5、如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C= 度．6、如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是度．7、如图，已知正方形ABCD，以AB为边向外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则∠AFD的度数．8、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．9、如图，已知正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连接CN，则∠MNC= ．10、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BP=BC，则∠ACP的度数是_________.11、如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F、DE ⊥a于点E，若DE=4，BF=3，则EF的长为____________.12、如图，E是正方形ABCD的BC边的延长线上一点，若CE=CA，AE交CD于F，则∠FAC= ．13、如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为__________.14、如图所示，正方形ABCD的周长为8cm，顺次连结正方形ABCD各边的中点，得到正方形EFGH，则EFGH的周长等于_____cm，面积等于______cm2．15、如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC 的周长为12，则EC的长为．16、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若OF的长为 3.5，则△CEF的周长为．17、如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，点F为垂足，那么FC= ．18、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=BF=1，则OC= ．19、将边长为2的正方形OABC如图放置，O为原点.若，则点B的坐标为.20、如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是．21、如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．22、如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．23、如图，边长为6的正方形ABCD和边长为8的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的对称中心，则△O1BO2的面积为．24、如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．25、如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．26、如图，正方形ABCD中，CD=5，BE=CF，且DG2+GE2=28，则AE的长．27、如图，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE=4，EC=2，则AE的长为．28、如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ=AE，则AP等于___________cm.29、如图，正方形ABCD中，对角线BD长为15cm．P是线段AB上任意一点，则点P到AC，BD的距离之和等于cm．31、如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A 角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，则EG=______cm．32、如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．33、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为．34、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去.则第2015个正方形的边长 .35、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH.现给出以下四个命题（1）∠APB=∠BPH;（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长不发生变化;（3）∠PBH=450 ; （4）BP=BH.其中正确的命题是．36、如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．37、已知，如图，∠MON=45°，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长C n= ．38、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°，对角线BD交AE于点M，交AF于点N．若AB=4，BM=2，则MN的长为．39、如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，则∠APB= ．参考答案1、答案为：2．2、答案为：﹣1．3、答案为：8．4、答案为：45°．5、答案为：67.5．6、答案为：22.5．7、答案为：60°．8、答案为：45°．9、答案为：67.5°．10、答案为：22.5 ；11、答案为：712、答案为：22.5°13、答案为：2；14、答案为：；215、答案为：5．16、答案为：1817、答案为：；18、答案是： 2.4．19、答案为：20、答案为：15°或165°．21、答案为：6522、答案为：5．23、答案是：12．24、答案为：5；25、答案为： 626、答案为：．27、答案为．28、答案为：1或2；29、答案为：7.5．31、答案为：4﹣6．32、答案为： 4.5．33、答案为：7；【解答】解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠AOM+∠BOF=90°，又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BOF=∠OAM，在△AOM和△BOF中，，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM=OF，OM=FB，又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形，∴AM=CF，AC=MF=5，∴OF=CF，∴△OCF为等腰直角三角形，∵OC=6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，解得：CF=OF=6，∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，则BC=CF+BF=6+1=7．故答案为：7．解法二：如图2所示，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．∵OC=6，∴CM=ON=6．∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．故答案为：7．34、答案为：2．35、答案为：（1）（2）（3）．36、答案为：①②④解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，S正方形ABCD=2+，④说法正确，故答案为：①②④．37、答案为：2n+1．38、；解：如图，延长BC到G，使BG=DF连接AG，在AG截取AH=AN，连接MH、BH．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠4=∠5=45°，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，在RT△ABG和RT△ADF中，，∴Rt△ABG≌Rt△ADF（SAS），∴∠1=∠2，∠7=∠G，AF=AG，∴∠GAE=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°=∠EAF，在△AMN和△AMH中，，∴△AMN≌△AMH（SAS），∴MN=MH，∵AF=AG，AN=AH，∴FN=AF﹣AN=AG﹣AH=GH，在△DFN和△BFH中，，∴△DFN≌△BGH（SAS），∴∠6=∠4=45°，DN=BH，∴∠MBH=∠ABH+∠5=∠ANG﹣∠6+∠5=90°﹣45°+45°=90°∴BM2+DN2=BM2+BH2=MH2=MN2，∵BD=AB=8，∴22+（8﹣2﹣MN）2=MN2，∴MN=．39、135°．解：将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BEC，∴△BEC≌△BPA，∠APB=∠BEC，∴△BEP为等腰直角三角形，∴∠BEP=45°，∵PB=2，∴PE=2，∵PC=3，CE=PA=1，∴PC2=PE2+CE2，∴∠PEC=90°，∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．。
2020届人教版八年级数学下册 18.2.3 正方形(2)同步练习(含解析)
18.2.3正方形（2）同步练习姓名：__________班级：__________学号：__________本节应掌握和应用的知识点1.正方形的判定方法:(１)有一组邻边相等的矩形是正方形;(２)有一个角是直角的菱形是正方形;(３)对角线互相垂直的矩形是正方形;(４)对角线相等的菱形是正方形．2.判定一个四边形是正方形,一般有两种思路:一种是先证四边形是菱形,再证明它有一个角是直角或对角线相等;另一种是先证明四边形是矩形,再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直．基础知识和能力拓展训练一．选择题1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形2．下列命题，其中正确命题的个数为（）（1）等边三角形是中心对称图形；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形．A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BDAB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④5．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF 分别交于点M、N两点，则四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形 C．矩形 D．无法确定6．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④8．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB=（）时，则四边形AECF是正方形．A．30° B．45° C．60° D．90°9．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．810．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（）A．30 B．34 C．36 D．40二．填空题11．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使其成为正方形（只填一个即可）12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．13．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是．①BC=AC；②CF⊥BF；③BD=DF；④AC=BF．15．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，为使四边形ABCD为正方形，还需要满足下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；③AB=CD；④AC⊥BD中的哪两个（填代号）．16．已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC=45°，BD=1，CB=4，则AC长为．17．如图所示，多边形ABCFDE中，AB=8，BC=12，ED+DF=13，AE=CF，则多边形ABCFDE的面积是．三．解答题18．已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．19．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC 于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由（提示：可作DG⊥AB于点G）20．如图所示，已知正方形ABCD的边长是7，AE=BF=CG=DH=2（1）四边形EFGH的形状是；（2）求出四边形EFGH的面积；（3）求出四边形EFGH的周长（结果精确到十分位，参考数值：≈1.703，）21．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F 在DE的延长线上，且AF=CE．（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？答案与试题解析一．选择题1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．解：A、正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形；B、正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，有一个角为90°的平行四边形是矩形；D、不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形；故选D．2．下列命题，其中正确命题的个数为（）（1）等边三角形是中心对称图形；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据中心对称的概念以及平行四边形、正方形、菱形的判定定理进行判断即可．解：（1）因为正奇边形不是中心对称图形，故等边三角形不是中心对称图形，此选项错误；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，因为等腰梯形也符合此条件，此选项错误；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确；（4）两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项错误．故选：A．3．已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BDAB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A、不能，只能判定为矩形；B、不能，只能判定为平行四边形；C、能；D、不能，只能判定为菱形．故选：C．4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．故选：B．5．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF 分别交于点M、N两点，则四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形 C．矩形 D．无法确定【分析】利用矩形的性质与判定方法得出四边形EMFN是矩形，进而利用等腰直角三角形的性质得出AM=ME，BM=MF=AM，则ME=MF，进而求出即可．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∠EAB=∠ABF=∠BCD=∠CDA=90°，又∵E，F分别为AD，BC中点，AD=2AB，∴AE∥BF，ED∥CF，AE=BF=DE=CF=AB=DC，∴∠ABE=∠AEB=∠DEC=∠DCE=∠DFC=45°，∴∠BEN=90°，又∵DE BF，AE FC，∴四边形EMFN是矩形，∴AM⊥BE，BM⊥AF，∴AM=ME，BM=MF=AM，∴ME=MF，∴四边形EMFN是正方形．故选：A．6．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可．解：A、正确．∵∠ACB=∠EFD=30°，∴AC∥DF，∵AC=DF，∴四边形AFDC是平行四边形．故正确．B、错误．当E是BC中点时，无法证明∠ACD=90°，故错误．C、正确．B、E重合时，易证FA=FD，∵四边形AFDC是平行四边形，∴四边形AFDC是菱形，D、正确．当四边相等时，∠AFD=60°，∠FAC=120°，∴四边形AFDC不可能是正方形．故选B．7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论．解：与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为③，故选C．8．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB=（）时，则四边形AECF是正方形．A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】由题意可得四边形AECF为一矩形，要使四边形AECF是正方形，只需添加一条件，使其邻边相等即可．解：过点E，F作EH⊥BD，FG⊥BD，∵CE，CF为∠ACB，∠ACD的角平分线，∴∠ECF=90°．∵MN∥BC，∴∠FEC=∠ECH，∵∠ECH=∠ECO，∴∠FEC=∠ECO，∴OE=OC．同理OC=OF，∴OE=OF，∵点O运动到AC的中点，∴OA=OC，∴四边形AECF为一矩形，若∠ACB=90°，则CE=CF，∴四边形AECF为正方形．故选：D．9．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．8【分析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠FCD+∠BCD=180°，∴∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，∴DE=4．故选C．10．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（）A．30 B．34 C．36 D．40【分析】由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为8，AE=BF=CG=DH=5，可得AH=3，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴AH=BE=CF=DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，∴EH=FE=GF=GH==，∴四边形EFGH的面积是：×=34，故选B．二．填空题11．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB=BC（答案不唯一），使其成为正方形（只填一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，证出四边形ABCD是菱形，由正方形的判定方法即可得出结论．解：添加条件：AB=BC，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB=BC（答案不唯一）．12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是①③④．【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，又OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；故答案为：①③④．13．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 1：2 时，四边形MENF是正方形．【分析】首先得出四边形MENF是平行四边形，再求出∠BMC=90°和ME=MF，根据正方形的判定推出即可．解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，∴AB=AM=DM=DC，∵∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，∴∠BMC=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，∴∠MBC=∠MCB=45°，∴BM=CM，∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四边形MENF是平行四边形，∵ME=MF，∠BMC=90°，∴四边形MENF是正方形，即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，故答案为：1：2．14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是①②③．①BC=AC；②CF⊥BF；③BD=DF；④AC=BF．【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC 进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．解：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，∵BF=BE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形；当①BC=AC时，∵∠ACB=90°，则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形BECF是正方形．故选项①正确；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项②正确；当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项③正确；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项④错误．故答案为：①②③．15．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，为使四边形ABCD为正方形，还需要满足下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；③AB=CD；④AC⊥BD中的哪两个①②或①④（填代号）．【分析】因为AD∥BC，AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，添加①则可根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明四边形是矩形，故可根据一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件．解：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，若AB=AD，则四边形ABCD为正方形；若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形．故填：①②或①④．16．已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC=45°，BD=1，CB=4，则AC长为2．【分析】作辅助线，构建正方形AHGF，则AF=GH=GF，设GC=x，则FG=AF=HG=x+2，DG=x﹣1，在Rt△DGC中，利用勾股定理列方程可求得x的值，最后利用勾股定理计算AC的长即可．解：过A作AE⊥DC于E，将△AEC沿AC翻折得△AFC，将△ADE沿AD翻折得△ADH，延长FC、HD交于G，则∠EAC=∠CAF，∠EAD=∠HAD，∠H=∠F=90°，∴∠EAC+∠EAD=∠CAF+∠HAD，∵∠DAC=45°，即∠EAC+∠EAD=45°，∴∠HAF=90°，∴四边形AHGF是矩形，∵AH=AE，AE=AF，∴AH=AF，∴四边形AHGF是正方形，∴AF=GH=GF，∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=EC=2，由折叠得：FC=EC=2，HD=DE=3，设GC=x，则FG=AF=HG=x+2，∴DG=x﹣1，在Rt△DGC中，DC2=DG2+GC2，52=（x﹣1）2+x2，解得：x1=4，x2=﹣3（舍），∴AF=x+2=4+2=6，Rt△ACF中，AC==2．故答案为：2．17．如图所示，多边形ABCFDE中，AB=8，BC=12，ED+DF=13，AE=CF，则多边形ABCFDE的面积是57.75 ．【分析】运用拼图的方法，构造一个正方形，用大正方形的面积﹣小正方形的面积，即可得出所求多边形的面积．解：运用拼图的方法，构造一个正方形，如图所示：大正方形的边长为12+8=20，小正方形的边长ED+DF=13，∴多边形ABCFDE的面积=（大正方形的面积﹣小正方形面积）=（202﹣132）=57.75．故答案为：57.75．三．解答题18．已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．【分析】先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形BECF是平行四边形，又因为∠BEC=90°得出四边形BECF是矩形，BE=CE邻边相等的矩形是正方形．证明：∵BF∥CE，CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形，又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB∴∠EBA=∠ECB=45°∴∠BEC=90°，BE=CE∴四边形BECF是正方形．19．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC 于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由（提示：可作DG⊥AB于点G）【分析】过D作DG垂直AB于点G，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形CEDF为矩形，由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DG=DF，同理得到DE=DG，等量代换得到DE=DF，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证．证明：如图，过D作DG⊥AB，交AB于点G，∵∠C=∠DEC=∠DFC=90°，∴四边形CEDF为矩形，∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF=DG；∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC，∴DE=DG，∴DE=DF，∴四边形CEDF为正方形．20．如图所示，已知正方形ABCD的边长是7，AE=BF=CG=DH=2（1）四边形EFGH的形状是正方形；（2）求出四边形EFGH的面积；（3）求出四边形EFGH的周长（结果精确到十分位，参考数值：≈1.703，）【分析】（1）根据正方形性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=7，求出AH=DG=CF=BE=5，证△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，推出EH=EF=FG=HG，∠AHE=∠DGH，证出∠EHG=90°，即可得出答案．（2）在Rt△AEH中，由勾股定理求出EH=，根据正方形面积公式求出即可．（3）四边形EFGH的周长是×4，求出即可．解：（1）四边形EFGH是正方形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=7，∵AE=BF=CG=DH=2，∴AH=DG=CF=BE=5，∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），∴EH=EF=FG=HG，∠AHE=∠DGH，∵∠A=∠D=90°，∴∠DGH+∠DHG=90°，∴∠AHE+∠DHG=90°，∴∠EHG=180°﹣90°=90°，∴四边形EFGH是正方形，故答案为：正方形．（2）在Rt△AEH中，AE=2，AH=5，由勾股定理得：EH==，∵四边形EFGH是正方形，∴EF=FG=GH=EH=，∴四边形EFGH的面积是（）2=29．（3）四边形EFGH的周长是×4=4≈4×5.39≈21.6．21．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，又因为CF=AE，BE=EC=BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF是菱形；（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC=45°时，∠EBF=90°，有菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得，∠A=45度．解：（1）四边形BECF是菱形．∵EF垂直平分BC，∴BF=FC，BE=EC，∴∠3=∠1，∵∠ACB=90°，∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠4，∴EC=AE，∴BE=AE，∵CF=AE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形．（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠1=45°，∴∠EBF=2∠A=90°，∴菱形BECF是正方形．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F 在DE的延长线上，且AF=CE．（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？【分析】（1）已知AF=EC，只需证明AF∥EC即可．DE垂直平分BC，易知DE是△ABC的中位线，则FE∥AC，BE=EA=CE=AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F=∠5=∠1=∠2，即∠FAE=∠AEC，由此可证得AF∥EC；（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE，又∵CE=AB，∴使得AB=2AC即可，根据AB、AC即可求得∠B的值；（3）通过已知在△ABC中，∠ACB=90°，推出∠ACE＜90°，不能为直角，进行说明．解：（1）四边形ACEF是平行四边形；∵DE垂直平分BC，∴D为BC的中点，ED⊥BC，又∵AC⊥BC，∴ED∥AC，∴E为AB中点，∴ED是△ABC的中位线．∴BE=AE，FD∥AC．∴BD=CD，∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，∴CE=AE=AF．∴∠F=∠5=∠1=∠2．∴∠FAE=∠AEC．∴AF∥EC．又∵AF=EC，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；理由：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，由（1）知CE=AB，∴AC=CE又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形；（3）四边形ACEF不可能是正方形，∵∠ACB=90°，∴∠ACE＜∠ACB，即∠ACE＜90°，不能为直角，所以四边形ACEF不可能是正方形．。
人教版八年级数学下册正方形知识点及同步练习、含答案
学科：数学 教学内容：正方形【学习目标】1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系． 3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有： （1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 3．正方形的判定（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形； （4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．【基础知识精讲】1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行⎭⎬⎫)()2()()1(正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2．正方形的性质可归纳如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．【例题精讲】［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ．求证：矩形ABCD 是正方形．图4—50剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．∵DF＝CF，∴GF＝CF．∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，∴Rt△GFE≌Rt△CFE．∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．∴矩形ABCD是正方形．说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．图4—51对上述命题的证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．∴∠3＋∠2＝90°，∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．∴∠1＝∠2，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图4—52剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，∴∠OFA＋∠FAE＝90°又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，∴∠OEB＝∠OFA，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．图4—53剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．【同步达纲练习】1．选择题（1）下列命题中，假命题的个数是（）①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角都相等的四边形是正方形④对角线相等的菱形是正方形A．1 B．2 C．3 D．4（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直平分B．对角线相等C．邻边相等D．每条对角线平分一组对角（3）正方形的对角线与边长之比为（）A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．2∶1（4）以等边△ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°，③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且AP＝BQ＝CR＝DS ＝1，AB＝5，那么四边形PQRS的面积等于（）A．17 B．16 C．15 D．9（6）如图4－54，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于（）图4—54A．7 B．5 C．4 D．3（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A．213+B．213-C．3 D．2（8）如图4－55，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于（）图4—55A．45°B．55°C．65°D．75°2．填空题（1）已知正方形的面积是16 cm2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．（2）已知正方形的对角线长为22，则此正方形的周长为_____，面积为_____． （3）在正方形ABCD 中，两条对角线相交于O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，若正方形ABCD 的周长是16 cm ，则DE ＝_____cm ．（4）在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，那么∠AFC 等于_____度．3．如图4－56，已知正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF ．图4—56（1）求证：△BCE ≌△DCF ；（2）若∠BEC ＝60°，求∠EFD 的度数．4．已知：如图4－57，在正方形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，EB ＝21BC ，如果F 是AB 的中点，请你在正方形ABCD 上找一点，与F 点连结成线段，并证明它和AE 相等．图4—575．以△ABC 的AB 、AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA 交EF 于M 点．（1）求证：EM ＝FM ；（2）若使AM ＝21EF ，则△ABC 必须满足什么条件呢？图4—586．如图4－58，已知正方形ABCD 中，M 、F 分别在边AB 、AD 上，且MB ＝FD ，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，MN 与∠CBE 的平分线相交于N ．求证：DM ＝MN ．7．如图4－59，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE和BCFG．图4—59求证：AF＝DB；若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由．【思路拓展题】你会设计吗今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图4－60的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）图4—60参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B2．（1）4 42（2）8 4 （3）4 （4）112.53．（1）略（2）15°4．连结CF，可证△ABE≌△CBF或连结DF，让△ABE≌△DAF。
正方形及其性质八年级人教版数学下册习题课件
线CG于点G，连接GF，求证： 解：设CD＝BC＝x，则CM＝x－3，CN＝x－2，
的面积． 把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
(2)若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
解：设CD＝BC＝x，则CM＝x－3，CN＝x－2， ∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN. ∵BE＝DN，∴MN＝EM＝BM＋BE＝BM＋DN＝5. ∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2＋CN2. 即52＝(x－3)2＋(x－2)2，解得x＝6或－1(舍去)， ∴正方形ABCD的边长为6.
证明：∵把△ ADN 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ ABE，∴△ADN≌△ABE， ∴∠DAN＝∠BAE，DN＝BE，AN＝AE.
由题易知 E 在 CB 的延长线上． ∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°. ∴∠MAE＝∠MAN. 又∵MA＝MA，AN＝AE， ∴△AEM≌△ANM.
3．【中考·天津】如图，四边形OBCD是正方形，O，D两 点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则 点C的坐标是( D ) A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6)
4．【中考·北京】把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角 三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②、图③所示的 正方形，则图①中菱形的面积为___1_2____．
∵正方形 ABCD 的边长为 4， ∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°. ∵点 E 在 AB 上且 BE＝1，∴AE＝3. ∴DE＝ AD2＋AE2＝ 42＋32＝5. ∴DE＋BE＝5＋1＝6，即△ BFE 周长的最小值为 6. 【答案】B
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》解答题专题提升训练(附答案)
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》解答题专题提升训练（附答案）1．如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，点P为线段CE 上一动点，且PM⊥BE于点M，PN⊥BC于点N，求PM+PN的值．2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别在边AB，BC上，△DEF是等边三角形，连接BD 交EF于点G．（1）求证：BE＝BF；（2）若DE＝2，求BD的长．3．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC，垂足为点E，GF⊥BC，垂足为点F，连接AG．写出线段AG，GE，GF之间的数量关系，并说明理由．4．已知，如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，EG⊥ED交BC于点G，EF ⊥BC，垂足为F．（1）求证：BF＝GF；（2）如图，若DE＝DH，AB＝8．①求证：CG＝FG；②求EH的值．5．已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PE⊥BC，垂足分别为E、F．（1）求证：AP＝CP；（2）若∠DAP＝30°，PD＝，求CP的长．6．如图所示，正方形ABCD中，AC，BD交于点O．BD＝10，点E，F是BD上的两点，BE＝DF＝2．求四边形AECF的周长．7．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．连接BE并延长BE到点F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠CDE＝15°，判断CE，DE，EF之间的数量关系，并说明理由．8．如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN 的平分线于点C、D．（1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．（2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明．9．已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线OC：y OC＝3x与直线AC：y AC＝﹣x+8相交于点C（2，6）．（1）点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴向左运动，两点同时出发．分别过点M，N作x轴的垂线，分别交直线OC，AC于点P，Q，请你在图1中画出图形，猜想四边形PMNQ的形状（点M，N重合时除外），并证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，当点M运动秒时，四边形PMNQ是正方形（直接写出结论）．11．如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F是对角线AC的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若AC＝2AB，则四边形GEHF是形；（3）当AC、AB满足时，四边形GEHF是正方形．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于F，连接DC、AE．（1）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；（2）若AB＝8，AC＝6，求四边形ADCE的面积；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请给予证明．13．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM 的中点．（1）求证：BM＝CM．（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．14．如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度．15．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB 的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．（1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE是菱形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由．16．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：①CE与CG有怎样的位置关系？请说明理由．②CE+CG的值为．17．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC 于G．（1）求证：四边形OGCF是正方形．（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长．18．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：（1）△AHE≌△BEF；（2）四边形EFGH是正方形．19．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．20．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是斜边AB上的一动点，作DE⊥AC于点E，DF∥AC交BC于点F．（1）求证：四边形CEDF是矩形；（2）若四边形CEDF成为正方形，试求正方形的边长．22．如图，在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，F是BC中点，请填空：（1）四边形BDEF是四边形；（2）若四边形BDEF是菱形，则△ABC满足的条件是．（3）若四边形BDEF是矩形，则△ABC满足的条件是．（4）若四边形BDEF是正方形，则△ABC满足的条件是．并就（2）、（3）、（4）中选取一个进行证明．23．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．（1）求证：四边形EFDC是正方形；（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．参考答案1．解：连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB＝90°，∵正方形的性质可知∠EBF＝45°，∴△BEF为等腰直角三角形，∵正方形的边长为1，∴BE＝BC＝1，在直角三角形BEF中，sin∠EBF＝，∴BF＝EF＝BE sin45°＝1×＝，∵PM⊥BD，PN⊥BC，∴S△BPE+S△BPC＝S△BEC，∴BE×PM+BC×PN＝BC×EF，∵BE＝BC，∴PM+PN＝EF＝．2．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴AE＝CF．又∵AB＝BC，∴AB﹣AE＝BC﹣CF，∴BE＝BF；（2）解：由（1）可知BE＝BF，∴△BEF为等腰直角三角形，∵四边形ABCD为正方形，∴BD平分∠ABC，∴点G为EF的中点，BD⊥EF，∵△DEF为等边三角形，DE＝2，∴EF＝DE＝2，BG＝EG＝1，在Rt△EDG中，由勾股定理得，DG＝＝＝，∴BD＝BG+DG＝1+．3．解：AG2＝GE2+GF2，理由如下：如图，连接CG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，∠BCD＝90°，在△ABG和△CBG中，，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∵GE⊥DC，垂足为点E，GF⊥BC，垂足为点F，∴∠GEC＝∠GFC＝90°，∴∠GEC＝∠GFC＝∠BCD＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∴GF＝CE，在Rt△CEG中，GC2＝GE2+EC2，∴AG2＝GE2+GF2．4．（1）证明：如图所示，连接EB，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ACB＝∠DCE，BC＝CD．又∵EC＝EC，∴△EBC≌△EDC（SAS），∴EB＝ED．延长FE交AD于N，∵∠NAE＝45°，EF⊥BC，∴∠NEA＝45°，即AN＝NE，∵AB＝AD，AD∥BC，即AB＝NF，∴ND＝EF，∵EG⊥ED，∴∠FEG+∠EGF＝∠FEG+∠NED，∴∠EGF＝∠NED，∵∠EFG＝∠END，∴△EFG≌△DNE（AAS），∴ED＝EG，∴EB＝EG．∵EF⊥BC，∴BF＝GF；（2）①证明：如图所示，作GM⊥AC，垂足为M．∵DE＝DH，∠DEG＝90°，∴∠EDH＝45°，∴∠DEH＝67.5°，∴∠GEH＝22.5°．又∵∠FEC＝45°，∴∠FEG＝22.5°，∴∠FEG＝∠GEM．∵GF⊥EF，GM⊥EC，∴GF＝GM．∵∠MCG＝45°，∴GC＝GM＝FG；②解：∵AD∥BC，由①可知，CG：FG：BF＝：1：1，∴．即，∴＝，∵BC＝8，∴AC＝8，∴CH＝8﹣8，∴AE＝8﹣8，∴EH＝8﹣2×（8﹣8）＝16﹣8．5．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，又∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP（SAS），（2）解：∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADP＝∠CDP＝45°，∵PE⊥DC，∴∠PED＝∠PEC＝90°，∴∠DPE＝45°，∴PE＝DE，∵且PE2+DE2＝PD2，∴PE＝1，∵△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP＝30°，∴CP＝2PE＝2．6．解：∵四边形ABCD是正方形，∴OD＝OB，OA＝OC，BD⊥AC，∵BE＝DF，∴DE＝BF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF为菱形，∵BD＝10，BE＝DF＝2，∴OE＝5﹣2＝3，OC＝5，∴CE＝，∴菱形AECF的周长为4．7．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），（2）在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∴∠CBE＝∠CDE，∵BC＝CF，∴∠CBE＝∠F，∴∠CBE＝∠CDE＝∠F，∵∠CDE＝15°，∴∠CBE＝15°，∴∠CEG＝60°，∵CE＝GE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，CE＝GC，∴∠GCF＝60°﹣15°＝45°，∴∠ECD＝∠GCF，在△DEC和△FGC中，，∴△DEC≌△FGC（SAS），∴DE＝GF，∴EF＝EG+GF＝CE+ED．8．解：（1）四边形ACBD是矩形，证明：∵CD平行MN，∴∠OCB＝∠CBM，∵BC平分∠ABM，∴∠OBC＝∠CBM，∴∠OCB＝∠OBC，∴OC＝OB，同理可证：OB＝OD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB，∴AB＝CD，∴四边形ACBD是矩形；（2）△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形，证明：由（1）得四边形ACBD是矩形，∵CB＝BD，∴四边形ACBD是正方形．9．（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）解：当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形，理由：由（1）知，△AEF≌△DEB，∴AF＝DB，∵D是BC的中点，∴DB＝DC，∴AF＝DC，∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴四边形ADCF是正方形．10．解：（1）如图，四边形PMNQ为矩形，证明：∵点A在直线AC：y AC＝﹣x+8上，当y＝0 时，x＝8，∴A（8，0），设点M的运动时间为m秒，则OM＝m，AN＝3m，∴M（m，0），N（8﹣3m，0），∵PM⊥x轴，QN⊥x轴，∴∠PMA＝∠QNA＝90°，∴PM∥QN，∵点P在直线OC：y OC＝3x，点Q在直线AC：y AC＝﹣x+8上，∴P（m，3m），Q（8﹣3m，3m），∴PM＝QN，∴四边形PMNQ为平行四边形，∵∠PMA＝90°，∴四边形PMNQ为矩形；（2）∵四边形PMNQ是正方形，∴MN＝QN，即8﹣4m＝|3m|，解得：x＝或8，∴当点M运动秒或8秒时，四边形PMNQ是正方形，故答案为：或8．13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵M为AD中点，∴AM＝DM，在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SAS），∴BM＝CM；（2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由如下：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴NE∥CM，NE＝CM，∵MF＝CM，∴NE＝FM，∵NE∥FM，∴四边形MENF是平行四边形，由（1）知△ABM≌△DCM，∴BM＝CM，∵E、F分别是BM、CM的中点，∴ME＝MF，∴平行四边形MENF是菱形；∵M为AD中点，∴AD＝2AM，∵AB：AD＝1：2，∴AD＝2AB，∴AM＝AB，∵∠A＝90°，∴∠ABM＝∠AMB＝45°，同理∠DMC＝45°，∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．14．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在△EQF和△EPD中，，∴△EQF≌△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∵CE＝，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，∴四边形DECG是正方形，∴CG＝CE＝．15．解：（1）OE＝OF．理由如下：∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE＝∠BCE，又∵MN∥BC，∴∠NEC＝∠ECB，∴∠NEC＝∠ACE，∴OE＝OC，∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠OCF＝∠FCD，又∵MN∥BC，∴∠OFC＝∠FCD，∴∠OFC＝∠OCF，∴OF＝OC，∴OE＝OF；（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．已知MN∥BC，当∠ACB＝90°，则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形；（3）不可能．理由如下：如图，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝∠ACB+∠ACD＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．故答案为不可能．16．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）①CE⊥CG，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠CDA＝∠DCG，∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∠ADC＝90°，∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝∠ACD+∠CAD＝90°，∴CE⊥CG；②由①知，△ADE≌△CDG，∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×＝2，故答案为：2．17．（1）证明：过O作OH⊥AB于H点，∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，∴∠OGC＝∠OFC＝90°．∵∠C＝90°，∴四边形OGCF是矩形．∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，OF⊥AC，OG⊥BC，∴OG＝OH＝OF，又四边形OGCF是矩形，∴四边形OGCF是正方形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∵AC＝4，∴AB＝2AC＝2×4＝8，∵AC2+BC2＝AB2，∴BC＝＝4，在Rt△AOH和Rt△AOF中，，∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL），∴AH＝AF，设正方形OGCF的边长为x，则AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x，∴4﹣x+4﹣x＝8，∴x＝2﹣2，即正方形OGCF的边长为2﹣2．18．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，又∵AE＝BF＝DH＝CG，∴AH＝BE＝CF＝DG，∴△AHE≌△BEF（SAS）；（2）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝DG＝CF＝BE，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD，∴四边形EFGH是菱形，∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，∴∠EHA+∠GHD＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形．19．（1）证明：∵矩形ABCD，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴四边形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，∴四边形ABEF是正方形；（2）∵AE平分∠BAD，∴∠DAG＝∠BAE，在△AGD和△ABE中，，∴△AGD≌△ABE（AAS），∴AB＝AG；（3）∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝AF＝1，∵△AGD≌△ABE，∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，∵AD＝AE，∴AD﹣AF＝AE﹣AG，即DF＝EG，在△DFO和△EGO中，，∴△DFO≌△EGO（AAS），∴FO＝GO，FD＝EG∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，∴DF＝FO＝OG＝EG，∴DO＝OF＝OG，∴DG＝DO+OG＝OG+OG＝1，∴OG＝＝﹣1，∴OD＝（﹣1）＝2﹣．20．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°．又∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．21．解：（1）∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠C＝90°，∴∠DEA＝∠C．∴DE∥BC．∵DF∥AC，∴四边形CEDF是平行四边形，∵∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．（2）若四边形CEDF成为正方形，设这个正方形的边长为x，则CE＝DE＝DF＝FC＝x，BF＝4﹣x，∵DF∥AC，∴x＝．∴正方形的边长为．22．解：（1）∵在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，F是BC中点，∴DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，故答案为：平行；（2）当AB＝BC时，∴BD＝BF，∴平行四边形BDEF是菱形，故答案为：AB＝BC；（3）当∠B＝90°时，∴平行四边形BDEF是矩形，故答案为；∠B＝90°；（4）当∠B＝90°，AB＝BC，∴平行四边形BDEF是正方形，故答案为：∠B＝90°，AB＝BC 23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，∵EF∥DC，∴四边形FEDC为平行四边形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴四边形FEDC是菱形，又∵∠C＝90°，∴平行四边形FEDC是正方形；（2）∵四边形FEDC是正方形，∴∠CDE＝45°，∵，∴CE＝CD＝2，∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，∴BD＝．。
八年级数学下册19.3正方形练习(含答案)
19.3 正方形1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是( C )(A)对角线相等(B)对角线互相垂直(C)对角线互相平分(D)对角线平分一组对角2.下列命题错误的是( C )(A)对角线互相平分的四边形是平行四边形(B)对角线相等的平行四边形是矩形(C)一条对角线平分一组对角的四边形是菱形(D)对角线互相垂直的矩形是正方形3.已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( D )(A)∠D=90° (B)AB=CD(C)AD=BC (D)BC=CD4.如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为( B )(A)2 (B)(C) (D)15.能使平行四边形ABCD为正方形的条件是AC=BD且AC⊥BD(答案不唯一) (填上一个条件即可).6.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是AC=BD或(AB⊥BC)(答案不唯一) .7.如图,正方形ABCD的边长为2,点E在AB边上.四边形EFGB也为正方形,则△AFC的面积为2 .8.(2018武汉)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE,则∠BEC的度数是30°或150°.9.已知:如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A,C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB,DN分别交l2于Q,P点.求证:四边形PQMN是正方形.证明:因为PN⊥l1,QM⊥l1,所以PN∥QM,∠PNM=90°.因为PQ∥NM,所以四边形PQMN是矩形.因为四边形ABCD是正方形,所以∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC.所以∠1+∠2=90°.又∠3+∠2=90°,所以∠1=∠3.所以△ABM≌△DAN.所以AM=DN.同理AN=DP.所以AM+AN=DN+DP,即MN=PN.所以四边形PQMN是正方形.10.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)如果BE=BC,且∠CBE∶∠BCE=2∶3,求证:四边形ABCD是正方形.证明:(1)在△ADE与△CDE中,所以△ADE≌△CDE(S.S.S.),所以∠ADE=∠CDE,因为AD∥BC,所以∠ADE=∠CBD,所以∠CDE=∠CBD,所以BC=CD,因为AD=CD,所以BC=AD,所以四边形ABCD为平行四边形,因为AD=CD,所以四边形ABCD是菱形.(2)因为BE=BC,所以∠BCE=∠BEC,因为∠CBE∶∠BCE=2∶3,所以∠CBE=180°×=45°,因为四边形ABCD是菱形,所以∠ABE=45°,所以∠ABC=90°,所以四边形ABCD是正方形.11.(开放探究题)已知,如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM 的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.(1)求证:四边形ADCE为矩形;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并说明理由.(1)证明:因为AD,AN分别是∠BAC的内角、外角平分线,所以∠BAD=∠CAD,∠CAE=∠MAE.因为∠BAD+∠CAD+∠CAE+∠MAE=180°.所以2∠CAD+2∠CAE=180°.所以∠CAD+∠CAE=90°,即∠DAE=90°,因为AD⊥BC,CE⊥AN,所以∠ADC=∠AEC=∠DAE=90°,所以四边形ADCE是矩形.(2)解:当△ABC是以∠BAC为直角的等腰直角三角形时,四边形ADCE是正方形.理由如下:因为△ABC是以∠BAC为直角的等腰直角三角形,AD⊥BC,所以∠CAD=∠BAD=45°.∠ACD=45°.所以∠CAD=∠ACD=45°.所以AD=CD.因为四边形ADCE是矩形,所以四边形ADCE是正方形.12.(拓展探究题)如图,四边形ABCD,DEFG都是正方形,连结AE,CG.(1)求证:AE=CG;(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,并证明你的猜想.(1)证明:因为AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠GDE=90°,又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE,所以△ADE≌△CDG.所以AE=CG.(2)解:猜想:AE⊥CG.证明:如图,设AE与CG交点为M,AD与CG交点为N.由(1)得△ADE≌△CDG,所以∠DAE=∠DCG.又因为∠ANM=∠CND,所以∠CND+∠DCN=90°,即∠ANM+∠DAE=90°,所以∠AMN=∠ADC=90°.所以AE⊥CG.。
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第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
第1课时 正方形的性质
学习目标：1.理解正方形的概念；
2. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和
区别；
3. 会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
重点：探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别. 难点：会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
一、知识回顾
1.你还记得长方形有哪些性质吗？
2.菱形的性质又有哪些？
一、要点探究
探究点1：正方形的性质
想一想 1.矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
要点归纳：正方形定义：有一组邻边_____并且有一个角是_____的__________叫正方形. 想一想 正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.那你能说出正方形的性质吗？
1.正方形的四个角都是_________,四条边_________.
2.正方形的对角线________且互相______________. 证一证 已知：如图,四边形ABCD 是正方形. 求证：正方形ABCD 四边相等,四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD 是正方形.
∴∠A=____°, AB_____AC. 又∵正方形是平行四边形.
课堂探究
自主学习
教学备注
学生在课前完成自主学习部分
配套PPT 讲授
1.情景引入 （见幻灯片3）
2.探究点1新知讲授
（见幻灯片4-19）
邻边_____
一个角是_____
∴∠A___∠B___∠C___∠D =____°,
AB___BC___CD___AD.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.
求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO___BO___CO___DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC___BD.
想一想请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
要点归纳：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
典例精析
例1如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.
求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.
D
A
B C
E
变式题1 四边形ABCD是正方形,以正方形ABCD的一边作等边△ADE,求∠BEC的大小．教学备注
2.探究点1新知讲授
（见幻灯片4-19）
易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：
等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
变式题2 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
方法总结：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用
垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
针对训练
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
教学备注
2.探究点1新
知讲授
（见幻灯片
4-19）
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
3.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,AO＝2,求正方形的周长与
面积．
二、课堂小结
内容
正方形的性质
定义：有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做
正方形.
性质：
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）
A.2cm2
B.4cm2
C.6cm2
D.8cm2
3.在正方形ABC中,∠ADB=________,∠DAC=_________, ∠BOC=__________.
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________.
当堂检测
教学备注
配套PPT讲授
3.课堂小结（见
幻灯片25）
4.当堂检测（见
幻灯片20-24）
第3题图第4题图
5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
6.如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有
怎样的关系？请说明理由.
教学备注
4.当堂检测（见
幻灯片20-24）。