平面几何问题的证明证题的一般思路证题的一般思路
平面几何问题的解题思路与方法
平面几何问题的解题思路与方法一、引言在学习平面几何时，解题是我们重要的目标之一。
然而，对于一些复杂的几何问题，我们可能会感到困惑。
因此，本文将介绍解决平面几何问题的一些思路和方法，帮助我们更好地应对这些挑战。
二、问题分析与理解首先，解题前我们需要仔细分析和理解题目。
通过研究题目给出的条件和要求，我们可以更好地把握问题的全貌，为解题提供方向。
三、构建几何模型在解决平面几何问题时，构建几何模型是十分关键的一步。
我们可以通过绘制图形、标明已知条件、设立未知量等方法，将问题转化为几何关系。
这有助于我们更好地理解问题，并且为之后的解题提供了可靠的基础。
四、应用几何定理与公式几何定理与公式是解决几何问题的重要工具。
我们可以根据题目所给的条件，运用各种几何定理和公式进行推导和计算，以解决问题。
例如，在解决三角形问题时，我们可以运用正弦定理、余弦定理、面积公式等。
五、使用辅助线和等边等角变换在解决一些相对复杂的几何问题时，使用辅助线和等边等角变换是一种非常常用的方法。
通过合理地引入辅助线或者进行等边等角的变换，可以改变问题的形式，使得问题变得更容易解决。
六、运用反证法和演绎思维在一些特殊情况下，运用反证法和演绎思维可以帮助我们更加深入地探索问题的本质。
通过假设某个条件不成立或对问题进行逆向推理，我们可以发现问题中的潜在规律和性质，从而解决问题。
七、做好思维导图和总结为了更好地整理和梳理解题思路，我们可以使用思维导图，将问题的关键信息和解题思路清晰有序地展现出来。
另外，在解题完毕后，我们应该及时总结经验，反思解题中的不足和不完善之处，以便更好地提升自己的解题能力。
八、实践与总结在学习平面几何时，只有大量实践才能真正掌握解题技巧。
我们可以通过课后练习、习题集、模拟考试等方式，加强对平面几何问题解题方法的掌握。
同时，我们还要不断总结经验，进一步提升解题能力。
九、结语通过以上介绍，我们可以看到解决平面几何问题并不是一件难事。
证明题的方法
作业：1．从上述案例中选择一个进行分析与评价。
《等腰三角形》的性质这一案例，本身这是最传统的一种几何知识的教学，如何做到传统的知识教学与新课程改革相联系，这是我们要考虑的一个问题。
这节课通过学生观察图形得出等腰三角形的概念，然后通过学生绘制等腰三角形，得到最实际的一手资料后，让学生通过讨论和动手操作，得出一系列的性质，并且通过证明加以规范。
从上述老师的过程来说，应该是满足新课程的要求的。
通过学生的观察，动手操作，小组讨论，加以证明等步骤，即将传统的知识分析讲解的十分透彻，又发展培养了学生的动手能力等。
．举例说明学生在几何学习过程中的主要困难。
学生在学习几何的过程当中主要有以下困难：（1）、几何概念不清，概念混淆。
在三角形全等的证明中有一个方法是（两条边和夹角对应相等的两个三角形全等），在这个定理中，我们要强调的是夹角对应相等，而不是两角对应相等。
初学者经常要犯这样的错误。
（2）、几何概念多，不宜记忆。
与代数相比较而言，初中几何概念应该是比较多的，而且比较难记，这就是许多学生害怕数学的一个直接的原因。
（3）、几何学习的逻辑性强。
几何学习者都应该知道，几何学习肯定离不开几何证明。
在进行几何证明时，首先要看题，了解题目的意思，然后选择适当的方法，然后书写证明过程，在这整个环节当中，都体现出了学生的理解力，逻辑思维能力。
3，如何培养推理证明能力？每一道数学证明题都是由已知的条件和求证的结论两部分组成的。
我们的任务就是根据题目中的已知条件，运用有关的数学概念、公理、定理，进行逻辑推理，逐步地推出求证的结论来。
由此可以看出，做数学证明题的基本功，一般为下列四个方面的问题：1、看清题目意思分清什么是已知条件，什么是求证结论。
2、熟悉证明依据能熟练运用与题意有关的概念、公理和定理。
3、掌握推理格式能正确地运用合乎逻辑的推理、证明。
1、积累解题思路通过“学”、“练”结合，拓展解题思路。
[一]、如何看清题意看清题意应达到三会：“会审题”、“会变化”、“会称呼”。
人教版高中数学必修二第9章9.4向量的应用精品课程课后练习及详解大全
反思 感悟
用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式 |a|2＝a2求解. (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)， 则|a|＝ x2＋y2.
跟踪训练2 在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的 中线AD的长是
∴A→B＝－32C→D，∴A→B与C→D共线. 又|A→B|≠|C→D|，∴该四边形为梯形.
12345
4.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大
小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为
A.30°
B.60°
C.90°
√D.120°
解析 作O→A＝F1，O→B＝F2，O→C＝－G(图略)， 则O→C＝O→A＋O→B，
答案 物理中的向量：①物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位 移都具有大小和方向，因而它们都是向量. ②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向 量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分 解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法. ③动量mv是数乘向量. ④力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移s的数量积.
解析 对于 A，A→B－A→C＝C→B，故 A 中结论错误； 对于 B，设 θ 为向量A→B与B→C的夹角， 因为A→B·B→C＝A→B·B→C·cos θ，而 cos θ<1， 故A→B·B→C<A→B·B→C，故 B 中结论正确； 对于 C，A→B＋A→C·A→B－A→C＝A→B2－A→C2＝0， 故A→B＝A→C，所以△ABC 为等腰三角形，故 C 中结论正确；
A.v1－v2
√B.v1＋v2
平面几何解题的思路
平面几何解题的思路
解决平面几何问题可以遵循以下思路：
1. 了解题意：认真阅读问题，理解题目中所给出的条件和要求，明确题目所要求求解的内容。
2. 绘制图形：根据题目中的条件，绘制出相应的几何图形，包括给定的线段、角度、形状等。
绘制图形可以帮助我们更清晰地理解问题，并找到解题的思路。
3. 运用几何定理和性质：根据已知条件和几何图形中的性质，运用相关的几何定理和性质，推导出更多的信息。
例如，利用三角形的内角和定理、直角三角形的勾股定理等。
4. 建立方程或等式：根据题目的要求，建立相应的方程或等式，将未知数和已知条件联系起来。
方程可以是关于长度、角度、面积等的等式。
这样可以将问题转化为代数方程求解。
5. 进行计算和推导：根据建立的方程或等式，进行计算和推导，通过数学运算得出未知数的值或所要求的结果。
6. 检查和回答问题：在计算完成后，仔细检查计算过程和答案，确保结果的准确性和合理性。
回答问题时，可以给出具体的测量结果、角度大小、图形的性质等。
7. 总结和归纳：解题完成后，及时总结所用的方法和思路，归纳出解决类似问题的思考方式和步骤，以便下次遇到类似问题时能够灵活应用。
以上是解决平面几何问题的一般思路和步骤，具体解题时应结合题目的特点和条件进行灵活运用。
多进行练习和实践，不断提高分析问题和解决问题的能力。
平面几何问题的复数解法
平面几何问题的复数解法复数是高中数学的重要内容之一,在中学数学中,有许多数学问题,如果我们能够根据题目的具体特征,将其转化为复数问题,那么这类数学问题往往可以得到复巧解妙证.用复数方法解解平面几何的基本思路是,首先运用复数表示复平面上的点,然后利用复数的模和幅角的有关性质,复数运算的几何意义以及复数相等的条件,化几何问题为复数问题来处理.1.用于证三角形为正三角形典型1.求证:若三角形重心与其外心重合,则该三角形必为正三角形.证明思路分析 以三角形的相重合的外心(重心),为原点O 建立起复平面上的直角坐标系.设321,,Z Z Z 表示三角形的三个顶点,其对应的复数是.,,321z z z 因O 为外心,故,||||||321r z z z ===又O 为重心，故,03321=++z z z 即,0321=++z z z 于是由,321z z z -=+得22123||||z z z +=)()(2121z z z z ++= ,||||21212221z z z z z z +++=即,22121r z z z z -=+22123|||| z z z -=∴)()(2121z z z z --=),(||||21212221z z z z z z +-+=.3|z -z | 21r =∴ 同理可得：.3|z -z | |z -z | 1323r ==∴故321,,z z z 在复平面上是正三角形.2.用于证明几何中的角度相等典型2.已知正方形OBCD 中（如图），E 是CD 的中点，F 是CE 的中点，求证：FOB DOC ∠=∠21. 证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设,1||=OD 则,1=OD ,,431,211i OB i OF i OE =+=+= DOE ∠=α是OD 与OE 的夹角，有),43arg(i)21arg(12 ),211arg(2i i +=+=+=αα又 )],43(2516arg[431arg i i i FOB +=+=∠=β ,2βα=∴即FOB DOC ∠=∠21. 3.用于证明几何中的不等式典型3.在凸四边形ABCD 中，求证：BD AC BC AD CD AB ⋅≥⋅+⋅.证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设C,D,A 对应的复数分别是.,,321z z z 则|,||||,||||,||||,|||213312z z CD z AB z z CA z DB -==-==|,|||32z z AD -=||||||||||||||||132213z z z z z z BC AD CD AB ⋅-+-⋅=⋅+⋅||||31213231z z z z z z z z -+-=.|||||)(|312BD AC z z z ⋅=-=4.用于求解几何中的轨迹问题典型4.如图，A 是定圆C 外的一点，P 是定圆C 上的一动点，以AP 为一边作正三角形APQ ，求点Q 的轨迹.证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设 ,||a AC =圆的半径为r,),,(,1R y x yi x z AQ z AP ∈+===则).60sin 60(cos ,||11︒±︒==-i z z r a z 于是，,|)60sin 60(cos |r a i z =-︒±︒即,|)2321)((|r a i yi x =-±+整理得： (*))23()2(222 r y a x =±+- 因此，点Q 的轨迹是圆：当点Q 在AP 上方时，(*)式取“－”号； 当点Q 在AP 下方时，(*)式取“＋”号.典型5.设A 是定圆C 外的一点，P 是定圆C 上的一动点，以AP 为一边作正方形APMN ，求点M 的轨迹.此题的证明思路分析完全类似于“典型4”，有兴趣的读者可试一试。
初中数学-平面几何的定值问题
平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1.探求定值； 2.给出证明.【例题与求解】【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点.求证：PA PC PB为定值. 解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.P AB CD【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A .到CD 的距离保持不变 B .位置不变C .等分DB⌒ D .随C 点的移动而移动 解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.AP【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.解题思路：不管ST 滑到什么位置，∠SOT 的度数是定值.从探寻∠SPM 与∠SOT 的关系入手.B【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值.解题思路：延长OG 交CD 于N ，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON 转化成线段CH 的倍分关系，再以Rt △OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.BOACE HGD 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发 生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.解题思路：对于（3）从动点F 达到的特殊位置时入手探求定值.（图1） （图2）【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.解题思路：当点P 与C 点重合时，P A 2+PB 2+PC 2=2BC 2为定值，就一般情形证明.A【能力训练】A 级1.如图，点A ，B 是双曲线xy 3=上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则=+21S S _______.AABCDEF（第1题图） （第3题图） （第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ）A .30°B .40°C .50°D .60° 5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP .连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（ ）A ．在平分AB 的某直线上移动 B .在垂直AB 的某直线上移动C .在弧AMB 上移动D .保持固定不移动AB'B（第5题图） （第6题图）6.如图，A ，B 是函数xky图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ） A .3 B .6 C .9 D .127.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.⑥⑤④③②①)P (B )PB（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转.旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.9.如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB .在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（第9题图） （第10题图）（第11题图）10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R .求证： （1）2222DK CK BK AK +++是定值；（2）2222DA CD BC AB +++是定值.PD CB A A11.如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.。
几何证明(4个概念2个性质3个判定2个定理2个应用2种思想方法1个轨迹)八年级数学上册沪教版
2 个性质3个判定
考点05 线段的垂直平分线
7.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
(D )
8.已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
(2)区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其
他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据；而命题不一定是真
命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据．
考点04 互逆定理
6. [2022·江苏无锡宜兴市二模]下列命题的逆命题成立的是
①同旁内角互补，两直线平行
①④ .
②等边三角形是锐角三角形
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析
中后一种添加辅
助线的方法，写
出它的证明过程
吗？
考点06 角 平 分 线
AB=CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.
15.如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，
AB=DC，BE=CF.试判断AB与CD的位置关系，并证明.
A
解：AB//CD，理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°
B
F
∵在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC，
第7章--平面几何问题与证明PPT课件
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例如：要证明 2 不是有理数，只要证明 2 是有理数 不真就可以了。
充足理由律是指在论证过程中，任何结论的得出，必 须有充分的理由，即不能凭借“直观”、“想当然”等 主观上的“臆想” 得出结公论式。是：AB. 它的涵义是：在一个论证中，要断定论题 B 真，必须满 足：第一，论据 A 真；第二，从论据 A 能推出论题 B 。 二、证明中的三种典型错误 1. 偷换论题 把命题的条件或结论中的某些涵义加以 扩大、缩小或改变，违反“同一律”。
本科公理 前此定理 否定题设 否定题断
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已知：在△ABC中，BE、CF是∠B、 ∠C的平分线，且 BE=CF，求证： ∠B= ∠C。 改证它的逆否命题 已知：在△ABC中，BE、CF是∠B、 ∠C的平分线， 且∠B ∠C,求证： BE CF 。
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例2 设圆内接四边 ABCD 的两组对边分别交于E、F,
已知RE平分∠E，RF平分∠F， 求证：RE⊥RF。
B
E
A
2
2
G
R D
H
C
1
1
F
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由于逆求法利于思考，顺推法宜于表达，所以习惯 上对于一个命题，多半先用逆求法寻求解法，然后用顺 推法有条理的写出来。
3. 分析与综合法 有些命题，在证题过程中，单一地使用综合法或分
所以 B i A i( i 1 ， 2 ， ， n ) .
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7.1.2 推理与证明 从已知的旧知识出发，通过实践、推想、验证，可
获得前所未有的新知识，这种推陈出新的思维过程， 叫做推理。
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试误式思路又常分为直接式和间接式。
直接式:由命题的题设出发，根据定义、公理、定理 进行一系列正面的逻辑推理，最后得出命题的证明。 又有“综合法”和“分析法”之分.
间接式: 有些命题，往往不易甚至不能直接证明。 这时，不妨证明它的等效命题，间接地达到目的。这 种证题思路称为间接式。反证法、同一法就是两种典 型的间接式思路证题方法。
反证法又分归谬法和穷举法; 同一法。
2019/7/27
顿误式思路
就是证题时，一下子不能马上行找到他的证明思 路，但当通过有选择地带着形象识别的眼光反复地分 析他，通过动员和组织、分离和整合题目中已知的信 息，辨认和联想题目中的各种因素时，则可以在经过 一系列的“脑风暴”之后，在某一其他因素或者其他 问题的激发下，或运用直觉想象，突然在脑子中形成 一个念头或闪现出对证题的提示，从而顿时获得简捷 而优美的证题思路。
用向量法证明第一节中的例1是很简捷的. 见P90
2019/7/27
2,复数法与复数法证题 请讲解P94例4
2019/7/27
第四节 几类问题的证明方法 1,关于线段,角的相等 (常见方法10种,P96) 2,关于平行与垂直 (常见方法7+7种,P97-98)
3,关于点共线与线共点 (常见方法7+60种,P99)
4,关于点共圆与圆共点 (常见方法7+3种,P100)
2019/7/27
第五节 几何轨迹与尺规作图 1,几何轨迹
具有某种性质的点的集合称为具有这种性质的点 的轨迹。
轨迹与几何图形都是点集。但是，图形是知其形 （形状）而不知其性（构造规律和性质），轨迹是知 其性而不知其形。
研究轨迹问题，就是要探求适合一定条件的点的 集合形成什么样的图形，使得形和性得到完美统一Si/(S1+S2+S3) ( i=1,2,3)，
则称(μ1: μ2: μ3)为M=(S1,S2,S3)的齐次面积坐标。
通常（μ1: μ2: μ3)）称为M的重心坐标。 当S1+S2+S3=S=1时，面积坐标也就是规范重心坐标。
2019/7/27
由于知道了M(S1,S2,S3)的两个坐标分量(S1,S2)，就 可以确定M,
从而可以用（S1,S2）来表示点M， 或用（S1/S,S2/S）称为在坐标系（A3, A3A1, A3A2） 之下M的仿射坐标，而A3称为这个仿射坐标的原点。
如果︱A3A1︱=︱A3A2︱=1，且∠A1A3A2=90o， 则这个仿射坐标系（A3, A3A1, A3A2）叫做笛卡儿
对平面上任意一点M，就有了三个三角形的带号面积：
S1=S△MA2A3, S2=S△MA3A1, S3=S△MA1A2.
2019/7/27
把三元数组（S1,S2,S3）称为（以△A1A2A3为坐标 三角形时）点M的“面积坐标”，记为M=(S1,S2,S3)
S1,S2,S3称为点M的三个” 坐标分量”，且满足 S1+S2+S3=S△A1A2A3。
2,尺规作图
传统的几何作图中，尺规作图是指用没有刻度的 直尺和圆规两件工具，利用有限次步骤作出符合预先 约定条件的图形，有时也叫欧几里得作图。
中学几何研究第五章
2019/7/27
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第五章 平面几何问题的证明
第一节 证题的一般思路
证题的一般思路: 试误式思路与顿误式思路
试误式思路: 认真审题，分清条件和结论，挖掘 所涉及的一些概念的内涵，利用丰富的联想和化归的 思想，把要解决的问题归结为已熟悉的其他证法的类 型。如果用困难，就尝试对问题的条件或结论作某些 变更，转化为某一种类型。如果转化过程中碰到障碍， 缺乏某些因素，就尝试引入辅助量或作出辅助线、图 来进行沟通，纠正尝试中的错误，最后获得原问题的 证明。
求解步骤为：写出已知和求证，证明完备性与纯 粹性，作出结论。
第二类轨迹题， 结论中只给出了轨迹图形的形 状，但位置和大小或者缺少，或者叙述不全,需要进一 步探求。完全确定轨迹的位置、大小应是首先要进行 的工作。
整个求解过程包括：写已知和求证，探求、证明 完备性与纯粹性，讨论等步骤。
2019/7/27
见P75例1.
2019/7/27
第二节 面积法与面积坐标
1,面积与面积法证题
张景中院士指出,抓住面积，不但能把平面几何课 程变得更容易学，而且使得几何问题求解变得更有趣 味。
在求解平面几何问题的时候， 根据有关几何量与 涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或者面 积比表示有关几何量或其比，从而把要论证的几何量 之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形 面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之 为面积法。
2019/7/27
轨迹问题的三种类型： 1,命题结论中明确说明了轨迹图形的形状、位置 和大小。
2,命题结论中只说出了轨迹图形的形状，但位置 和大小或者缺少，或者叙述不全。
3.命题结论中只说求适合某条件的轨迹，对轨迹 图形的形状、位置和大小没有直接提供任何信息
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第一类轨迹题，是结论中明确指明了轨迹图形的 形状、位置和大小的问题，只要给予证明即可。
第三类轨迹题，是以问题形势呈现。题中没有叙 述轨迹的形状、位置和大小。这些都需要探求、有时 探求还是比较艰难的。虽然如此，但一经确定轨迹的 之后，往往证明方法就附带解决了。
求解步骤与第二类轨迹题相同。
轨迹的探求，一般由解析法和综合法。在综合法中、 常常采用描迹法、几何变换法、条件代换法等法。
题，
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常用公式见P84-85页. 证明P85例1和例2.
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2.消点思想与消点法证题 (见第十章)
3.面积坐标
如果引入带正负号的面积（规定图形的边界走向是 逆时针方向则面积为正，走向是顺时针方向则面积为 负）就可以引入面积坐标了。
在平面上任意取一个定向三角形△A1A2A3，称为“坐 标三角形”。A1，A2, A3称为基点。
坐标系，也就是指常用的直角坐标系。
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第三节 向量法与复数法 1,向量法与向量法证题 把向量作为工具来研究与求解有关数学问题的方 法称之为向量方法。
向量法的特点是形数结合、运算有法可循，因此 向量法既有综合法的灵巧，又有坐标法的方便，能把 综合法与坐标法有机地结合在一起。
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