高考数学一轮复习课件第六章数列的概念与简单表示法
数列中的__每__一_个__数______ 数列{an}的第 n 项 an
数列{an}的第 n 项与___序_号__n____之间的关系式 数列{an}中，Sn＝__a_1＋__a2_＋_…__＋_a_n_______
2.数列的表示方法
列表法
图象法
通项公式
公式法
递推公式
列表格表示 n 与 an 的对应关系 把点__(n_，__an_)___画在平面直角坐标系中 把数列的通项使用___公__式____表示的方法 使用初始值 a1 和 an 与 an＋1 的关系式或 a1，a2 和 an－1，an， an＋1 的关系式等表示数列的方法
由递推关系求数列的通项公式
分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)； (2)a1＝1，an＝n－n 1an－1(n≥2，n∈N*)； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．
【解】 (1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－ 1)2， 所以数列的通项公式为 an＝(n－1)2. (2)当 n≥2，n∈N*时， an＝a1×aa21×aa32×…×aan－n 1 ＝1×21×32×…×nn－ －23×nn－ －12×n－n 1＝n， 当 n＝1 时，也符合上式， 所以该数列的通项公式为 an＝n.
3.an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝____SS__1n__－__S_，n－_1_n_＝__1_，_，n≥2.
4．数列的分类 分类原则 按项数 分类
按项与项间 的大小关 系分类 按其他 标准分类
类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列
常数列
摆动数列
满足条件
第六章 数列与数学归纳法
第1讲 数列的概念与简单表示法
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
知识点 数列的概念和
简单表示法
等差数列
最新考纲
了解数列的概念和表示方法(列表、图象、公式).
理解等差数列的概念． 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用． 了解等差数列与一次函数的关系． 会用数列的等差关系解决实际问题.
值范围是________． 【解析】 {an}是递增数列，所以对任意的 n∈N*，都有 an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)
＞n2＋λn，整理，得 2n＋1＋λ＞0，即 λ＞－(2n＋1)．(*)
因为 n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需 λ＞－3. 【答案】 (－3，＋∞)
由数列递推式求通项公式的常用方法
1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n（n1＋1），则 an＝________． 解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n－1 1－n1＋n－1 2－n－1 1＋…＋ 12－13＋1－12＋2＝3－n1. 答案：3－n1
【答案】 －n1
(1)已知 Sn 求 an 的三个步骤 ①先利用 a1＝S1 求出 a1. ②用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式． ③注意检验 n＝1 时的表达式是否可以与 n≥2 的表达式合并． (2)Sn 与 an 关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． ①利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn－1 的关系式，再求解． ②利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含 an，an－1 的关系式，再求解．
答案：2 2
数列的性质(高频考点) 数列的性质主要有单调性、周期性及最值问题，是高考的热点，多以选择题或填空 题形式考查，多存在一定难度．主要命题角度有： (1)数列的单调性； (2)数列的周期性； (3)数列的最值．
角度一 数列的单调性 已知{an}是递增数列，且对于任意的 n∈N*，an＝n2＋λn 恒成立，则实数 λ 的取
解析：因为 Sn＝2n＋3，那么当 n＝1 时，a1＝S1＝21＋3＝5；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于 a1＝5 不满足(*)式，所以 an＝52， n－1n，＝n1≥，2. 答案：52， n－1n，＝n1≥，2
由 an 与 Sn 的关系求通项公式 an(高频考点) an 与 Sn 关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现 在解答题的已知条件中，属容易题．主要命题角度有： (1)利用 an 与 Sn 的关系求通项公式 an； (2)利用 an 与 Sn 的关系求 Sn.
1，n＝1， 所以 an＝12×32n－2，n≥2，
所以 Sn＝2an＋1＝2×12×32n－1＝32n－1. 法二：因为 S1＝a1，an＋1＝Sn＋1－Sn，则 Sn＝2(Sn＋1－Sn)， 所以 Sn＋1＝32Sn， 所以数列{Sn}是首项为 1，公比为32的等比数列， 所以 Sn＝32n－1. 答案：32n－1
1．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n＋1，则 an＝________． 解析：当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋1＝4；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2· 3n－1. 当 n＝1 时，2×31－1＝2≠a1， 所以 an＝42， ·n3n＝－11，，n≥2.
答案：5n－4
[易错纠偏] (1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集或其子集{1，2，…，n}； (2)求数列前 n 项和 Sn 的最值时忽视项为零的情况； (3)根据 Sn 求 an 时忽视对 n＝1 的验证． 1．在数列－1，0，19，18，…，n－n22中，0.08 是它的第________项． 解析：依题意得n－n2 2＝225，解得 n＝10 或 n＝52(舍)． 答案：10
角度三 数列的最值 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－12n2＋kn，k∈N*，且 Sn 的最大值为 8.试确定常数
k，并求数列{an}的通项公式． 【解】 因为 Sn＝－12n2＋kn＝－12(n－k)2＋12k2，其中 k 是常数，且 k∈N*， 所以当 n＝k 时，Sn 取最大值12k2， 故12k2＝8，k2＝16， 因此 k＝4，从而 Sn＝－12n2＋4n.
[教材衍化] 1．(必修 5P33A 组 T4 改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋（－an－11）n(n≥2)，则 a5＝________． 解析：a2＝1＋（－a11）2＝2，a3＝1＋（－a21）3＝12，a4＝1＋（－a31）4＝3，a5＝1＋（－a41）5 ＝23. 答案：23
2．(必修 5P33A 组 T5 改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个 通项公式 an＝________．
当 n＝1 时，a1＝S1＝－12＋4＝72； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝－12n2＋4n－[－12(n－1)2＋4(n－1)]＝92－n. 当 n＝1 时，92－1＝72＝a1， 所以 an＝92－n.
2．在数列{an}中，an＝－n2＋6n＋7，当其前 n 项和 Sn 取最大值时，n＝________． 解析：由题可知 n∈N*，令 an＝－n2＋6n＋7≥0，得 1≤n≤7(n∈N*)，所以该数列的第 7 项为零，且从第 8 项开始 an<0，则 S6＝S7 且最大． 答案：6 或 7
3．已知 Sn＝2n＋3，则 an＝________．
角度一 利用 an 与 Sn 的关系求通项公式 an (2020·杭州二中高三模考)已知数列{an}满足 a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n2－
2n＋1，求 an.
【解】 设 a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn， 当 n＝1 时，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2， 当 n≥2 时， nan＝Tn－Tn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1] ＝6n－5，
2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，则 an＝________．
解析：由于aan＋n 1＝2n，
故aa12＝21，aa23＝22，…，aan－n 1＝2n－1，
将这 n－1 个等式叠乘，
得aan1＝21＋2＋…＋(n－1)＝2n（n2－1），故
n（n－1）
an＝2 2 .
n（n－1）
答案：42， ·n3n＝－11，，n≥2
2．已知数列{a则 Sn＝________．
解析：法一：因为 Sn＝2an＋1，所以当 n≥2 时，Sn－1＝2an， 所以 an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)， 即aan＋n 1＝32(n≥2)， 又 a2＝12，所以 an＝12×32n－2(n≥2)． 当 n＝1 时，a1＝1≠12×32－1＝13，
因此 an＝6nn－5， 显然当 n＝1 时，不满足上式．
2，n＝1， 故数列的通项公式为 an＝6nn－5，n≥2.
角度二 利用 an 与 Sn 的关系求 Sn 设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则 Sn＝________．
【解析】 由已知得 an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，两边同时除以 Sn＋1Sn，得Sn1＋1－S1n＝－1， 故数列S1n是以－1 为首项，－1 为公差的等差数列，则S1n＝－1－(n－1)＝－n，所以 Sn ＝－n1.
项数___有_限_____
项数___无_限_____
__an_＋_1>_a_n___ __a_n_＋_1<_a_n ___ _a_n＋_1_＝__an____
其中 n∈N*
从第二项起，有些项大于它的前一
项，有些项小于它的前一项的数列
[疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列． ( × ) (2)所有数列的第 n 项都能使用通项公式表示．( × ) (3)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}是一回事．( × ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( √ ) (5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( × ) (6)若数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对∀n∈N*，都有 an＝Sn－Sn－1.( × )
数列{an}的第 n 项与___序_号__n____之间的关系式 数列{an}中，Sn＝__a_1＋__a2_＋_…__＋_a_n_______
2.数列的表示方法
列表法
图象法
通项公式
公式法
递推公式
列表格表示 n 与 an 的对应关系 把点__(n_，__an_)___画在平面直角坐标系中 把数列的通项使用___公__式____表示的方法 使用初始值 a1 和 an 与 an＋1 的关系式或 a1，a2 和 an－1，an， an＋1 的关系式等表示数列的方法
由递推关系求数列的通项公式
分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)； (2)a1＝1，an＝n－n 1an－1(n≥2，n∈N*)； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．
【解】 (1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－ 1)2， 所以数列的通项公式为 an＝(n－1)2. (2)当 n≥2，n∈N*时， an＝a1×aa21×aa32×…×aan－n 1 ＝1×21×32×…×nn－ －23×nn－ －12×n－n 1＝n， 当 n＝1 时，也符合上式， 所以该数列的通项公式为 an＝n.
3.an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝____SS__1n__－__S_，n－_1_n_＝__1_，_，n≥2.
4．数列的分类 分类原则 按项数 分类
按项与项间 的大小关 系分类 按其他 标准分类
类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列
常数列
摆动数列
满足条件
第六章 数列与数学归纳法
第1讲 数列的概念与简单表示法
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
知识点 数列的概念和
简单表示法
等差数列
最新考纲
了解数列的概念和表示方法(列表、图象、公式).
理解等差数列的概念． 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用． 了解等差数列与一次函数的关系． 会用数列的等差关系解决实际问题.
值范围是________． 【解析】 {an}是递增数列，所以对任意的 n∈N*，都有 an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)
＞n2＋λn，整理，得 2n＋1＋λ＞0，即 λ＞－(2n＋1)．(*)
因为 n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需 λ＞－3. 【答案】 (－3，＋∞)
由数列递推式求通项公式的常用方法
1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n（n1＋1），则 an＝________． 解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n－1 1－n1＋n－1 2－n－1 1＋…＋ 12－13＋1－12＋2＝3－n1. 答案：3－n1
【答案】 －n1
(1)已知 Sn 求 an 的三个步骤 ①先利用 a1＝S1 求出 a1. ②用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式． ③注意检验 n＝1 时的表达式是否可以与 n≥2 的表达式合并． (2)Sn 与 an 关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． ①利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn－1 的关系式，再求解． ②利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含 an，an－1 的关系式，再求解．
答案：2 2
数列的性质(高频考点) 数列的性质主要有单调性、周期性及最值问题，是高考的热点，多以选择题或填空 题形式考查，多存在一定难度．主要命题角度有： (1)数列的单调性； (2)数列的周期性； (3)数列的最值．
角度一 数列的单调性 已知{an}是递增数列，且对于任意的 n∈N*，an＝n2＋λn 恒成立，则实数 λ 的取
解析：因为 Sn＝2n＋3，那么当 n＝1 时，a1＝S1＝21＋3＝5；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于 a1＝5 不满足(*)式，所以 an＝52， n－1n，＝n1≥，2. 答案：52， n－1n，＝n1≥，2
由 an 与 Sn 的关系求通项公式 an(高频考点) an 与 Sn 关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现 在解答题的已知条件中，属容易题．主要命题角度有： (1)利用 an 与 Sn 的关系求通项公式 an； (2)利用 an 与 Sn 的关系求 Sn.
1，n＝1， 所以 an＝12×32n－2，n≥2，
所以 Sn＝2an＋1＝2×12×32n－1＝32n－1. 法二：因为 S1＝a1，an＋1＝Sn＋1－Sn，则 Sn＝2(Sn＋1－Sn)， 所以 Sn＋1＝32Sn， 所以数列{Sn}是首项为 1，公比为32的等比数列， 所以 Sn＝32n－1. 答案：32n－1
1．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n＋1，则 an＝________． 解析：当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋1＝4；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2· 3n－1. 当 n＝1 时，2×31－1＝2≠a1， 所以 an＝42， ·n3n＝－11，，n≥2.
答案：5n－4
[易错纠偏] (1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集或其子集{1，2，…，n}； (2)求数列前 n 项和 Sn 的最值时忽视项为零的情况； (3)根据 Sn 求 an 时忽视对 n＝1 的验证． 1．在数列－1，0，19，18，…，n－n22中，0.08 是它的第________项． 解析：依题意得n－n2 2＝225，解得 n＝10 或 n＝52(舍)． 答案：10
角度三 数列的最值 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－12n2＋kn，k∈N*，且 Sn 的最大值为 8.试确定常数
k，并求数列{an}的通项公式． 【解】 因为 Sn＝－12n2＋kn＝－12(n－k)2＋12k2，其中 k 是常数，且 k∈N*， 所以当 n＝k 时，Sn 取最大值12k2， 故12k2＝8，k2＝16， 因此 k＝4，从而 Sn＝－12n2＋4n.
[教材衍化] 1．(必修 5P33A 组 T4 改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋（－an－11）n(n≥2)，则 a5＝________． 解析：a2＝1＋（－a11）2＝2，a3＝1＋（－a21）3＝12，a4＝1＋（－a31）4＝3，a5＝1＋（－a41）5 ＝23. 答案：23
2．(必修 5P33A 组 T5 改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个 通项公式 an＝________．
当 n＝1 时，a1＝S1＝－12＋4＝72； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝－12n2＋4n－[－12(n－1)2＋4(n－1)]＝92－n. 当 n＝1 时，92－1＝72＝a1， 所以 an＝92－n.
2．在数列{an}中，an＝－n2＋6n＋7，当其前 n 项和 Sn 取最大值时，n＝________． 解析：由题可知 n∈N*，令 an＝－n2＋6n＋7≥0，得 1≤n≤7(n∈N*)，所以该数列的第 7 项为零，且从第 8 项开始 an<0，则 S6＝S7 且最大． 答案：6 或 7
3．已知 Sn＝2n＋3，则 an＝________．
角度一 利用 an 与 Sn 的关系求通项公式 an (2020·杭州二中高三模考)已知数列{an}满足 a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n2－
2n＋1，求 an.
【解】 设 a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn， 当 n＝1 时，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2， 当 n≥2 时， nan＝Tn－Tn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1] ＝6n－5，
2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，则 an＝________．
解析：由于aan＋n 1＝2n，
故aa12＝21，aa23＝22，…，aan－n 1＝2n－1，
将这 n－1 个等式叠乘，
得aan1＝21＋2＋…＋(n－1)＝2n（n2－1），故
n（n－1）
an＝2 2 .
n（n－1）
答案：42， ·n3n＝－11，，n≥2
2．已知数列{a则 Sn＝________．
解析：法一：因为 Sn＝2an＋1，所以当 n≥2 时，Sn－1＝2an， 所以 an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)， 即aan＋n 1＝32(n≥2)， 又 a2＝12，所以 an＝12×32n－2(n≥2)． 当 n＝1 时，a1＝1≠12×32－1＝13，
因此 an＝6nn－5， 显然当 n＝1 时，不满足上式．
2，n＝1， 故数列的通项公式为 an＝6nn－5，n≥2.
角度二 利用 an 与 Sn 的关系求 Sn 设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则 Sn＝________．
【解析】 由已知得 an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，两边同时除以 Sn＋1Sn，得Sn1＋1－S1n＝－1， 故数列S1n是以－1 为首项，－1 为公差的等差数列，则S1n＝－1－(n－1)＝－n，所以 Sn ＝－n1.
项数___有_限_____
项数___无_限_____
__an_＋_1>_a_n___ __a_n_＋_1<_a_n ___ _a_n＋_1_＝__an____
其中 n∈N*
从第二项起，有些项大于它的前一
项，有些项小于它的前一项的数列
[疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列． ( × ) (2)所有数列的第 n 项都能使用通项公式表示．( × ) (3)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}是一回事．( × ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( √ ) (5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( × ) (6)若数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对∀n∈N*，都有 an＝Sn－Sn－1.( × )
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高考数学总复习 6-1数列的概念课件 新人教B版
点评：根据数列的前几项写通项时，所求的通项公式不是 唯一的．其中常用方法是观察法．观察 an 与 n 之间的联系， 用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规 律．联想与转换是有效的思维方法，它是由已知认识未知、将 未知转化为已知的重要思维方法．
(文)写出下列数列的一个通项公式： (1)1，85，175，294，…，an＝________. (2)－1，32，－13，34，－15，12，…，an＝________.
3 ． 已 知 {an} 的 前 n 项 和 Sn 求 an 时 ， 用 an ＝
S1
n＝1，
Sn－Sn－1 n≥2.
求解应注意分类讨论．an＝Sn－Sn－1 是在
n≥2 条件下求出的，应检验 a1 是否适合．如果适合，则合写
在一块，如果不适合，则分段表示．
思想方法技巧
一、求数列的通项公式常见的有以下三种类型 1．已知数列的前几项，写出一个通项公式． 依据数列前几项的特点归纳出通项公式：方法是依据数 列的排列规律，求出项与项数的关系．一般步骤是：①定符 号，②定分子、分母，③观察前后项的数值特征找规律，④ 综合写出项与项数的关系．
●命题趋势 主要命题热点： 1．an 与 Sn 的关系 2．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列 的性质、求和公式． 3．简单的递推数列及归纳、猜想、证明问题．
4．数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何综合问题． 5．数列应用题． 6．探究性问题．
●备考指南 1．数列是一种特殊的函数，要善于利用函数的思想来解决 数列问题． 2．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类 问题需要抓住基本量 a1、d(或 q)，常通过“设而不求，整体代入” 来简化运算．
(5)将数列统一为32，55，170，197，…，分子 3,5,7,9，…， 是等差数列，通项公式为 bn＝2n＋1，对于分母 2,5,10,17，… 联想到数列 1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn ＝n2＋1，
2020高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念及其表示法课件 理
高考理数
第六章 数列
§6.1 数列的概念及其表示法
知识清单
考点 数列的概念及其表示
1.数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列,其中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类
3.数列的表示法 (1)列举法:a1,a2,a3,…,an,…; (2)图象法:数列可用一群孤立的点表示; (3)解析法(公式法):通项公式或递推公式. 4.数列与函数的关系 从函数观点看,数列可以看成以N*(或它的有限子集)为定义域的函数an= f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反 之,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数 列f(1),f(2),f(3),…,f(n),…
∴数列{an}的通项公式为an=
1, 2
n 1, 3n2 ,
n
2.
答案
1, n 1
an=2 3n2 , n 2
易错警示 利用an=Sn-Sn-1求通项时,应注意n≥2这一前提条件.
方法 2 由递推公式求数列的通项公式
由递推公式求数列通项的常用方法
(1)形如an+1=an+f(n),常用累加法,即利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) (n≥2,n∈N*)求解.
(3)前n项和公式
Sn=a1+a2+…+an称为数列{an}的前n项和,由Sn可求出通项公式an.已知Sn,
则an=
S1, n 1, ④ Sn Sn1 , n 2.
方法技巧
方法 1 利用Sn与an的关系求通项公式
1.数列的通项an与前n项和Sn的关系是:
第六章 数列
§6.1 数列的概念及其表示法
知识清单
考点 数列的概念及其表示
1.数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列,其中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类
3.数列的表示法 (1)列举法:a1,a2,a3,…,an,…; (2)图象法:数列可用一群孤立的点表示; (3)解析法(公式法):通项公式或递推公式. 4.数列与函数的关系 从函数观点看,数列可以看成以N*(或它的有限子集)为定义域的函数an= f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反 之,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数 列f(1),f(2),f(3),…,f(n),…
∴数列{an}的通项公式为an=
1, 2
n 1, 3n2 ,
n
2.
答案
1, n 1
an=2 3n2 , n 2
易错警示 利用an=Sn-Sn-1求通项时,应注意n≥2这一前提条件.
方法 2 由递推公式求数列的通项公式
由递推公式求数列通项的常用方法
(1)形如an+1=an+f(n),常用累加法,即利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) (n≥2,n∈N*)求解.
(3)前n项和公式
Sn=a1+a2+…+an称为数列{an}的前n项和,由Sn可求出通项公式an.已知Sn,
则an=
S1, n 1, ④ Sn Sn1 , n 2.
方法技巧
方法 1 利用Sn与an的关系求通项公式
1.数列的通项an与前n项和Sn的关系是:
数列的概念及简单表示法(高三一轮复习)
所以数列
S 2
n
是首项为S
2 1
＝a
2 1
＝1，公差为1的等差数列，所以S
2 n
＝n，所以Sn＝
n
(n∈N*)．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 20 —
命题点2 由数列的递推公式求通项公式
考向1 累加法
例2
设数列
a
n
满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列
1 3
an＋1，所以a2＝3S1＝3×
16 3
＝16.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1
＝13an＋1－13an，即an＋1＝4an.
所以从第二项起，数列an为首项为16，公比为4的等比数列，所以an＝ 4n(n≥2)．
经检验，an＝4n对n＝1不成立，
所以an＝136，n＝1， 4n，n≥2.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
，所以a2＝
4 2－a1
＝
4 2－4
＝－2，a3＝
4 2－a2
＝
4 2＋2
＝1，a4＝
4 2－a3
＝
4 2－1
＝4，…，所以数列
a
n
是以3为周期的周期数列，又2
022＝
673×3＋3，所以a2 022＝a673×3＋3＝1.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 12 —
4．(易错题)若数列
— 7—
4.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 8 列表法 、图象法和 9 解析法 ．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 8—
常用结论► (1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有 关，还与这些“数”的排列顺序有关． (2)项与项数的概念：数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项 对应的位置序号． (3)若数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}的通项公式为an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第6章数列 课时规范练37 数列的概念与简单表示法
,下列说法正确的是( C )
A.{an}有最大项,但没有最小项
B.{an}没有最大项,但有最小项
C.{an}既有最大项,又有最小项
D.{an}既没有最大项,也没有最小项
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
解析 数列
10 n
an=(n+1)(- ) (n∈N*),当
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
本 课 结 束
1-(-3)
1-3
1-(- )
2
- +1
1+1
1
4 +1
3 =2=a ,…,所以{a }是以 4 为周期的周期数列,且
,a
=
=
5
1
n
1
3
1-4
13
a5a6a7a8=a1a2a3a4=1,a9a10=a1a2=2×(-3)=-6,所以
T1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10=-6.故选D.
11
n 为奇数时,an<0,当 n 为偶数时,an>0,当
10 2(k+1)
10 2k -42+179 10 2k
)时,a2(k+1)-a2k=[2(k+1)+1]·
(- )
-(2k+1)(- ) =
·( ) ,
11
11
121
11
*
n=2k(k∈N
所以当 k≤4 时,a2(k+1)-a2k>0,a2k 单调递增;当 k≥5 时,a2(k+1)-a2k<0,a2k 单调递减,
高三第一轮复习数列的概念和简单表示法课件-PPT精品文档
S1 , ( n 1 ) 5 . 已知 S ,则 a . 数列 { a } 中 ,若 a n n n n S S , ( n 2 ) n n-1 an-1 , an-1, a a n n 最大 ,则 a 最小 ,则 a 若 a n a . a n n+1 n n+1.
(2 ) a n1 an a n 1
a n1 ( n 1 ) a n , n 1 an a n 1 n 1, an2
n,
a3 3, a2 a2 2, a1 a1 1 . 累乘可得 , a n n ( n 1 ) ( n 2 ) 3 2 1 n ！. 故 a n n ！.
S 2 1 3 2 n 1 n n n 1 1 9 . n 99 .
题型分类 深度剖析
题型一 由数列的前几项写数列的通项公式 【例1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一 个通项公式： （1）-1，7，-13，19，…
（2）0.8，0.88，0.888，…
基础自测 1.下列对数列的理解有四种： ①数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集 {1，2，3，…，n}）上的函数； ②数列的项数是有限的； ③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立 的点； ④数列的通项公式是惟一的. 其中说法正确的序号是 （ C ） A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④ 解析 由数列与函数的关系知①③对，由数 列的分类知②不对，数列的通项公式不是惟一 的，④不对.
11 51329 61 （3） , , , , , , 24 81632 64 3 7 9 , , , （4） ,1 2 10 17 （5）0，1，0，1，…
高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示法
典例突破
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴
2 3
∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴
2 3
∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足
【赢在课堂】高考数学一轮复习 6.1数列的概念及简单的表示法配套课件 理 新人教A版
数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是: ������1 ,n = 1, a n= 此公式经常使用,应引起重视.当 n=1 时,S1 若适合 ������������ -������������ -1 ,n ≥ 2. an=Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an 中;当 n=1 时,S1 若不适合 an=Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.
3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-n2+24n(n∈N*). (1)求{an}的通项公式; (2)当 n 为何值时,Sn 达到最大?最大值是多少? 【解】(1)n=1 时,a1=S1=23.n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1)=-2n+25. 经验证,a1=23 符合 an=-2n+25, 故 an=-2n+25(n∈N*). (2)方法一:∵ Sn=-n2+24n, ∴ n=12 时,Sn 最大且 Sn=144. 方法二:∵ an=-2n+25,若要 Sn 达到最大,则需 an=-2n+25>0,即 n< ,∴ a12>0,a13<0. 故 S12 最大,最大值为 144.
2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,…),求 an. 【解】∵ an+1= Sn,∴ an= Sn-1(n≥2). 于是 an+1-an= (Sn-Sn-1)= an(n≥2),即 an+1= an(n≥2). 又 a1=1,a2= S1= a1= ,∴ 数列{an}是从第二项起,公比为 的等比数列, 1,������ = 1, an=
【解】(1)因为 a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2, 当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1) =(-1)n+1·[n+(n-1)] =(-1)n+1·(2n-1), 又 a1 也适合于此式, 所以 an=(-1)n+1·(2n-1). (2)因为当 n=1 时,a1=S1=6; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1] =2×3n-1+2, 由于 a1 不适合此式, 6,������ = 1, 所以 an= 2 × 3������ -1 + 2,n ≥ 2.
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法课件
A．1156 答案 C
B．185
C．34
D．38
解析 由已知得 a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝12，∴12a4＝12
＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝23，∴aa35＝12×32＝34.故选 C.
4．(2021·四川广元诊断考试)已知数列{an}，若数列{3n－1an}的前 n 项和
(2)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，…；
解 (2)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的乘积的倒 数，且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式为
an＝(－1)n·n（n1＋1）.
(3)23，145，365，683，1909，…；
解 (3)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为 1×3， 3×5，5×7，7×9，9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积， 故所求数列的一个通项公式为 an＝（2n－1）2n（2n＋1）.
2（n－1） C．an＝ 2n－1
D．an＝2n2＋n 1
答案 C
解析 将 0 写成01，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数 列，可表示为 2(n－1)，n∈N*；分母为奇数列，可表示为 2n－1，n∈N*， 故选 C.
3．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则aa35的 值是( )
第1讲 数列的概念与简单表示法
1
PART ON一定顺序 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这 个数列的 □02 项 ．
2．数列的分类
3．数列的表示法 数列有三种常见表示法，它们分别是 □07 列表法 、 □08 图象法 和 □09 解析法 ．
高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念与简单表示课件理
类型
满足条件
按项数 有穷数列 项数 有限
分类
无穷数列 项数 无限
分类原则 按项与项 间的大小 关系分类
按其他 标准分类
类型 递增数列 递减数列 常数列 有界数列
摆动数列
满足条件
an＋1 > an an＋1 < an 其中 n∈N* an＋1＝an 存在正数 M，使|an|≤M 从第二项起，有些项大于 它的前一项，有些项小于
3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题 难度较难把握．一般有两种常见思路：
(1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加、累乘法或构造法求数列的通项公式．
[易错防范] 1．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时， 一定要注意自变量的取值，如数列 an＝f(n)和函数 y＝f(x)的单调 性是不同的． 2．在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求出 a1，而是直接把数列的通项公式写成 an＝Sn－Sn－1 的形式，但它 只适用于 n≥2 的情形．
(4)形如 an＋1＝BaAna＋n C(A，B，C 为常数)的数列，可通过两 边同时取倒数的方法构造新数列求解．
(5)形如 an＋1＋an＝f(nf(n＋1)，两式相减即得 an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按 奇偶分类讨论即可．
an 与 Sn 关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题 或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度较小， 属容易题，且主要有以下几个命题角度：
[探究 2] 若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”， 如何求解？
解：设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t＝2(an －t)，即 an＋1＝2an－t，解得 t＝－3.
高考数学一轮复习 第六章 数列 第一节 数列的概念及简单表示法课件 文
2.数列的分类
分类原则
类型
按项数分类
有穷数列
无穷数列
按项与项间的大 小关系分类
递增数列 递减数列
常数列
按其他标准分类
有界数列
摆动数列
满足条件
项数③ 有限
项数④ 无限 an+1⑤ > an
其中n∈N*
an+1⑥ < an
an+1=an 存在正数M,使对于任意的n∈N*,都有|an|≤M 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的 前一项
项公式为an=2n-1.
(2)如果数列的前4项分别减去1,则变为1,4,9,16,所以原数列的一个通项
公式为an=n2+1.
(3)分子为1×2,2×2,3×2,…,分母为1×3,3×5,5×7,…,故原数列的一个通
24,……,∴原数3列5 的7一9个通项公式为an=(-1)n·
2n
.
(4)将数列变为 2
5
,
10
,
17
,
,…,对于分子3,5,7,9,…,是相应项数的2倍加1,
可得分子的一个通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列
1,4,9,16,…,即数列{n22n},可1 得分母的一个通项公式为cn=n2+1,∴原数列的 一个通项公式为an= n2 . 1
第一节 数列的概念及简单表示法
总纲目录 教材研读
1.数列的定义 2.数列的分类
3.数列的表示法 4.数列的通项公式
考点突破
考点一 由数列的前几项归纳数列的通项公式 考点二 an与Sn关系的应用 考点三 由递推关系求数列的通项公式 考点四 数列的性质