高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次方根与分数指数幂课件 新人教A版必修第一册.ppt
(1)x
2 3
；(2)x
3 5
；(3)x
1 2
y
4 7
.
解：(1)x
2 3
＝3
x2.
(2)x
3 5
＝
1
.
5 x3
(3)x
1 2
y
4 7
7 ＝
y4 x.
2．用分数指数幂表示下列各式：
(1)3
6 a·
－a(a＜0)；(2)
4
2
b
2 3
3
(b＜0)；(3)
3
1 (x≠0)． x5 x22
1
1
1
1
解：(1)原式＝a 3 ·(－a) 6 ＝－(－a) 3 ·(－a) 6
1．已知：n∈N ，n＞1，那么 2n －52n等于 ( )
A．5
B．－5
C．－5 或 5
D．不能确定
解析：2n －52n＝2n 52n＝5.
答案：A
2．已知 xy≠0，且 A．xy<0 C．x>0，y>0
4x2y2＝－2xy，则有 B．xy>0 D．x<0，y<0
解析： 4x2y2＝ 2xy2＝|2xy|. ∵ 4x2y2＝－2xy，∴|2xy|＝－2xy. 又∵xy≠0，∴xy<0.
答案：A
()
3．计算：1120－(1－0.5－2)÷287
2 3
＝________.
解析：原式＝1－(1－22)÷322＝1－(－3)×49＝73. 答案：73 4．若 x>3，则 x2－6x＋9－|2－x|＝__________.
解析： x2－6x＋9－|2－x|＝ x－32－|2－x|＝ |x－3|－|2－x|＝x－3－(x－2)＝－1.
A．－
3 3
B． 3
C．
3 3
D． － 3
解析：原式＝3
1
2＝
1＝ 3
3 3.
答案：C
()
3．计算：π0＋2－2×214
1 2
＝________.
解析：原式＝1＋212× 94＝1＋14×32＝181.
答案：181
题型一 根式的化简与求值 [学透用活]
根式化简的思想是利用乘法公式将被开方数变形为 幂的形式，用根式的性质将根式化简，解题时要注意公式 的适用范围，特别是在化简含有字母的根式时要注意字母 的取值范围．
[对点练清]
1．[根式的概念]在①4 －42n，②4 －42n＋1，③5 a4，④4 a5
(n∈N ，a∈R )各式中，一定有意义的是
()
A．①②
B．①③
C．①②③④
D．①③④
解析：(－4)2n＞0，故①有意义；(－4)2n＋1＜0，故②无意义；
③显然有意义；当 a＜0 时，a5＜0，此时4 a5无意义，故④ 不一定有意义． 答案：B
()
(2)a
3 2
＝a
2 3
.
()
2
(3)用分数指数幂表示 a－b3(a＞b)为(a－b) 3 . ( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．5 a－2 可化为
A．a
2 5
5
B．a 2
2
C．a 5
5
D．－a 2
解析：5
a－2＝a
2 5
.
答案：A
()
2
3．3 3 可化为
A. 2
3 C. 9
2
解析：3 3
[典例 1] 化简：(1) n x－πn(x＜π，n∈N *)；
(2) 4a2－4a＋1a≤12.
[解] (1)∵x＜π，∴x－π＜0，
当 n 为偶数时， n x－πn＝|x－π|＝π－x；
当 n 为奇数时， n x－πn＝x－π.
综上，
n
π－x，n为偶数，n∈N *， x－πn＝
x－π，n为奇数，n∈N *.
2．[根式的性质]化简 x＋32－3 x－33得
A．6
B．2x
C．6 或－2x
D．6 或 2x 或－2x
()
解析：原式＝|x＋3|－(x－3)，当 x≥－3 时，原式＝6； 当 x＜－3 时，原式＝－2x，故选 C. 答案：C
3．[带条件的根式的化简]若 n＜m＜0，则 m2＋2mn＋n2－
m2－2mn＋n2等于
记为 ±n a
a＜0
x 不存在
(2)根式 ①定义：式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做 根指数，a 叫做
被开方数 ．
②性质：(n＞1，且 n∈N *)
(n a)n＝
a
；n an＝
a ，n为奇数， |a| ，n为偶数.
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)任意实数的奇次方根只有 1 个． (2)正数的偶次方根有两个且互为相反数． (3) 3－π2＝3－π. 答案：(1)√ (2)√ (3)×
1
13
73
(4)原式＝(a 3 )2·a 2 ·b 2 ＝a 6 b 2 .
[方法技巧] 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟
记根式与分数指数幂的转化式子：a
m n
＝n
am和
a
m n
＝
1
m
an
1
＝
n
，其中字母 am
a
要使式子有意义．
[对点练清]
1．用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)：
(2)－2a
1 3
b
4 3
·－a
1 2
b
1 3
6÷－2a
5 3
b
11 8
.2
[解]
(1)(0.027)
2 3
＋12275
1 3
－2790.5＝
3
27
2＋
1 000
3 12275－ 295＝1900＋53－53＝0.09.
(2)原式＝－2a
1＋3 3
－
b
3－2 4
÷4a
10 3
b
11 4
[对点练清]
化简 3 ab2·a3b2(a，b 为正数)的结果是
1
3
1 4
b· 6 2
a b
A．ba
B．ab
()
C．ab
D．a2b
1
1
解析：原式＝ab21
3
·a3·b2
2
b 3 ·a 3 ·b2
2
＝a
1 6
3 2
2 3
1 +1-
·b 3
1 3
-
2＝ab.故选
C.
答案：C
[课堂一刻钟巩固训练] 一、基础经典题
()
A．2m
B．2n
C．－2m
D．－2n
解析：原式＝|m＋n|－|m－n|，
∵n＜m＜0，∴m＋n＜0，m－n＞0.
故原式＝－2m.
答案：C
题型二 根式与分数指数幂的互化 [学透用活]
根式的运算中，常把根式化为分数指数幂，利用指数幂 的运算法则进行计算，最后将结果化为根式．解题时一般认 为字母取正数，若允许字母取负数时，要注意将分数指数幂 的底数化为正数才能运用运算法则．
(一)教材梳理填空
分 正分数
m
数 指数幂 规定：a n ＝ n am (a＞0，m，n∈N *，n＞1)
指
负分数
规定：a－mn ＝
1
m
＝
1
(a＞0，m，n∈N *，n＞1)
数 指数幂
a n n am
幂 性质 0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂没有意义
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1) a4＝ 5 a10.
答案：－1
二、创新应用题 5．已知4 a4＋4 b4＝－a－b，求 4 a＋b4＋3 a＋b3的值．
解：因为4 a4＋4 b4＝－a－b. 所以4 a4＝－a，4 b4＝－b， 所以 a≤0，b≤0，所以 a＋b≤0， 所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.
＝3
32＝3
9.
答案：C
B. 3 D. 9Fra bibliotek()知识点三 有理数指数幂的运算性质 (一)教材梳理填空 (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q )． (2)(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q )． (3)(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q )．
(二)基本知能小试 1．判断正误
＝
－12a
10 3
10 3
b
11 4
11 4
＝－12.
[方法技巧]
指数幂的一般运算步骤
(1)有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号．
(4)底数是小数，先要化成分数．
(5)底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂 的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
第四章 指数函数与对数函数
4．1 指 数
知识点一 根式的概念及其性质
(一)教材梳理填空 (1)n 次方根
一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的n 次方根，
定义 其中 n＞1，且 n∈N *
n 是奇数 个数
n 是偶数
a＞0 a＜0
a＞0
x＞0 x＜0
x 仅有一个值，记
n
为
a
x 有两个值，且互为相反数，
() () ()
2．若 a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
4 A.
a2
5 B. a
5 C.
－a
4 D. a
解析：当 a＜0 时，a 的偶次方根无意义．
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数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件
（）
⋅ ； （） · .
解： (1) ⋅ = ⋅ = ；
(2) ⋅ =
⋅ =
= .
巩固练习
例4 计算下式各式(式中字母均是正数).
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
3
8 8
（1）(2a b )(6a b ) ( 3a b )；（2）(m n ) ；
课堂检测：
3
2
1．将 5 写成根式的形式，正确的是 ( D )
5 3
3 2
3
A. 5
B.
5 C．
D. 53
2
4
2．计算 （－5）4的结果是 ( A )
A．5
B．－5
C．±5
D．不确定
1
3．若 a< ，则化简 （4a－1）2的结果是 ( B )
4
A．4a－1
B．1－4a
C．－ 4a－1
D底数不变，指数相加
同底数幂相除，底数不变，指数相减
⟹幂的乘方，底数不变，指数相乘
⟹积的乘方，等于积的每一个因式分别乘
方，再把所得的幂相乘
5.分数指数幂的运算性质
注意：①法则的逆用： ①+ = > , , ∈
② =
③ =
=
= ；
=
法二：
−
法三：
−
−
4.1.1n次方根与分数指数幂课件高一上学期数学人教A版
思考 6►►► n an表示 an 的 n 次方根，n an＝a 一定成立吗？如果不一定成立，那 么n an等于什么？ 【解析】 不一定成立，当 n 为奇数时，n an＝a； 当 n 为偶数时，n an＝|a|＝a－，a，a≥a0<，0.
内容索引
例 1 求下列各式的值：
(1) 3 －83； 【解析】 3 －83＝－8. (2) －102；
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂
内容索引
学习目标 活动方案 检测反馈
内容索引
1. 了解n次方根的概念及其性质. 2. 了解根式的概念及其性质. 3. 理解分数指数幂的定义，把握分式与负整数指数幂、根式与正 分数指索引
此类问题的解答首先应去根号，这就要求将被开方部分化为完全平 方的形式，结合根式性质求解．
内容索引
例3中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？ 【解析】 原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|. 因为 x≤－3，所以 x－1≤－4，x＋3≤0， 所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
内容索引
活动五 分数指数幂
思考 7►►► 根据 n 次方根的定义和数的运算，我们知道
5 a10＝5
10
a25＝a2＝a 5
(a>0)，
4 a12＝4
12
a34＝a3＝a 4
(a>0)．
从以上式子中，你能总结出怎样的规律？
【解析】 这表明，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根 指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．
【解析】 由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数 指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂， 即：
4.1.1n次方根与分数指数幂课件2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
课后作业
课本P109页 习题4.1 1、4、5
谢谢！
例2、用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中a>0）
方法小结
1.把根式化成分数指数幂的形式 2.当有多重根式时，要由里向外用分数指数幂写出，再用性质
3.对于有分母的可以先把分母化成负分数指数幂
例3、计算
立方和、 差公式 方法小结 1.首先观察、分析，发现已知条件与所求表达式之间的联系
4.1 指数
4.1.1 次方根与分数指数幂
温故知新
整数指数幂
底数
指数 读作：”
“
或“
”
幂
温故知新
乘方运算
互逆运算
开方运算
新知定义 一、n次方根
2.性质：
当 是奇数时， 正数的 次方根是一个正数； 负数的 次方根是一个负数。
当 是偶数时， 正数的 次方根有两个，它们 互为相反数； 负数没有偶次方根。
2.根据指数幂的运算法则，通过配方的方式进行化简或计算
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式 为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方 数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的
整数指数幂
分数指数幂
正整数指数幂
负整数指数幂、零次幂
新知推广
实 数 指 数 幂 的 运 算 性 质
课堂小结
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
4．实数指数幂的运算性质
高中数学必修一(人教版)《4.1 指数》课件
根式的互化． 3.借助指数幂的运算性质对代数式化
4.掌握指数的运算性质，会利用整体代换 简或求值，培养数学运算素养.
的思想求值.
知识点一 根式的概念及其性质
(一)教材梳理填空
1．n次方根的概念： 一般地，如果 xn＝a，那么_x__叫做 a 的 n次方根 ，其中 n
定义 ＞1，且 n∈N *
a＞0 n 是奇数
[方法技巧] 根式化简应遵循的三个原则
(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数． (3)被开方数中不能含有分母；使用 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)化简时，被开 方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．
【对点练清】
4
4
5
4
1．在① －42n，② －42n＋1，③ a4，④ a5(n∈N ，a∈R )中，一定有意义
3．实数指数幂的运算性质： (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈R)．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8.
()
(2)(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3.
指数幂
数幂
规定：a
m n
＝
＝____(a＞0，m，n∈N *，n＞1)
性质
0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义
n
[微思考]
在分数指数幂与根式的互化公式
a
m n
＝
am中，为什么必须规
定 a>0?
n
m
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即 am＝a n ＝0，无研究
4.掌握指数的运算性质，会利用整体代换 简或求值，培养数学运算素养.
的思想求值.
知识点一 根式的概念及其性质
(一)教材梳理填空
1．n次方根的概念： 一般地，如果 xn＝a，那么_x__叫做 a 的 n次方根 ，其中 n
定义 ＞1，且 n∈N *
a＞0 n 是奇数
[方法技巧] 根式化简应遵循的三个原则
(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数． (3)被开方数中不能含有分母；使用 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)化简时，被开 方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．
【对点练清】
4
4
5
4
1．在① －42n，② －42n＋1，③ a4，④ a5(n∈N ，a∈R )中，一定有意义
3．实数指数幂的运算性质： (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈R)．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8.
()
(2)(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3.
指数幂
数幂
规定：a
m n
＝
＝____(a＞0，m，n∈N *，n＞1)
性质
0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义
n
[微思考]
在分数指数幂与根式的互化公式
a
m n
＝
am中，为什么必须规
定 a>0?
n
m
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即 am＝a n ＝0，无研究
人教A版(2019)4.1.1n次方根与分数指数幂课件(37张))
题型二 利用根式的性质化简或求值
例 2 化简：(1) 3＋2 2＋ 3－2 2；
(2) 5＋2 6－ 6－4 2＋ 7－4 3；
3
(3)
2＋
5＋3 2－
5.
• [分析] (1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式．
• (3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解．
[解析] (1)原式＝ 22＋2 2＋1＋ 22－2 2＋1
1
(2)原式＝ a2 a－2 ÷ a－3 a 3 ÷ a－2 a－2
＝3 a2÷
7
a3
3
÷
a－2
2
71
1
＝a3 ÷(a3 )2 ÷(a－2)3
2
7
2
＝a3 ÷a6 ÷a－3
27
2
12
1
＝a3 －6 ÷a－3 ＝a－2 ＋3 ＝a6 .
• [归纳提升] 1.幂的运算的常规方法
• (1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；
(2)已知
x7＝6，则
7
x＝___6___；
(3)若4 x－2有意义，则实数 x 的取值范围是____[2_，__＋__∞__)____.
[分析] 解答此类问题应明确 n 次方根中根指数对被开方数的要求 及 n 次方根的个数要求．
[解析] (1)∵(±4)2＝16，∴16 的平方根为±4.－27 的 5 次方根为 5 －27.
基础自测
3
1.
－8等于(
B
)
A．2
B．－2
C．±2
D．－8
[解析] 3 －8＝3 －23＝－2.
2．下列各式正确的是( A )
A．(3 a)3＝a
新版高一数学必修第一册第四章全部课件
－4，1<x<3.
课堂小结
1、n次方根和根式的概念。
当
n
为奇数时，
a
的
n
次方根是
2、
n
。
a
当n为偶数时，正数a的n次方根是 a
n
负数没有偶次方根。
3、 0的任何次方根都是0
当n是奇数时， a a
n
n
当n是偶数时， a | a |
n
n
a , a 0
a , a 0
{
4.分数指数概念
一般地，如果 x n＝a，那么
x
叫做 a 的 n 次方根 ，
其中 n＞1，且 n∈N*
n 是奇数
a＞0
a＜0
个数
x＞0 x 仅有一个值，记
x＜0 为
n
a
x 有两个值，且互为相反数，
n 是偶数
a＞0
a＜0
n
记为 ± a
x 不存在
[点睛] 根式的概念中要求 n＞1，且 n∈ N *.
2．根式
(1)定义：式子
(2)已知 x6＝2 016，则 x＝________.
4
(3)若 x＋3有意义，求实数 x 的取值范围为________.
6
(1)3；±2 (2)± 2 016 (3)[－3，＋∞]
解析：(1)27 的立方根是 3；16 的 4 次方根是±2.
6
(2)因为 x ＝2 016，所以 x＝± 2 016.
【答案】－x
[∵x<0，∴－x>0，∴ －x2＝－x.]
6．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
－4
3
答案 1 a 3
课堂小结
1、n次方根和根式的概念。
当
n
为奇数时，
a
的
n
次方根是
2、
n
。
a
当n为偶数时，正数a的n次方根是 a
n
负数没有偶次方根。
3、 0的任何次方根都是0
当n是奇数时， a a
n
n
当n是偶数时， a | a |
n
n
a , a 0
a , a 0
{
4.分数指数概念
一般地，如果 x n＝a，那么
x
叫做 a 的 n 次方根 ，
其中 n＞1，且 n∈N*
n 是奇数
a＞0
a＜0
个数
x＞0 x 仅有一个值，记
x＜0 为
n
a
x 有两个值，且互为相反数，
n 是偶数
a＞0
a＜0
n
记为 ± a
x 不存在
[点睛] 根式的概念中要求 n＞1，且 n∈ N *.
2．根式
(1)定义：式子
(2)已知 x6＝2 016，则 x＝________.
4
(3)若 x＋3有意义，求实数 x 的取值范围为________.
6
(1)3；±2 (2)± 2 016 (3)[－3，＋∞]
解析：(1)27 的立方根是 3；16 的 4 次方根是±2.
6
(2)因为 x ＝2 016，所以 x＝± 2 016.
【答案】－x
[∵x<0，∴－x>0，∴ －x2＝－x.]
6．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
－4
3
答案 1 a 3
高一上学期数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件
人教A版必修第一册
第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次方根与分数指数幂
2024/11/8
学习目标
学科素养
1. 理解并掌握根式、分数指数幂的概念； 2. 理解根式与分数指数幂的互化； 3. 掌握有理数指数幂的运算性质； 4. 培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方 法，发展数学核心素养.
定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数，a叫做
被开方数
（n>1,且nN*）
1（. 1）( 3 8)3 8 (2) ( 5 32)5 =-32 （3） （4 16）4 16
当n为任意正整数时，( n a )n=a.
（n>1,且nN*）
1（. 1）( 3 8)3 8 (2) ( 5 32)5 =-32 （3） （4 16）4 16
(2)
(3) 4 (3 )4
(4)
解：(1) 3 ( 8)3 8
(2) ( 10)2 | 10 | 10
( 10)2 (a b)2 (a b)
(3) 4 (3 )4 | 3 | 3
(4) (a b)2 | a b | a b
同类训练
举一反三
1. (a b)2 + 5 (a b)5的值是（ ） 再细想！
类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的 4次方根 ； 25=32，则2叫做32的 5次方根 .
2n = a,则2叫a做的__n_次__方__根___
xn =a 则x叫做a的_n__次__方__根___
.
类比分析 可是个好方法！
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根.
一个数的n次方根有几个?
3 3 27
2 3 8
22 4 3 2 9
第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次方根与分数指数幂
2024/11/8
学习目标
学科素养
1. 理解并掌握根式、分数指数幂的概念； 2. 理解根式与分数指数幂的互化； 3. 掌握有理数指数幂的运算性质； 4. 培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方 法，发展数学核心素养.
定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数，a叫做
被开方数
（n>1,且nN*）
1（. 1）( 3 8)3 8 (2) ( 5 32)5 =-32 （3） （4 16）4 16
当n为任意正整数时，( n a )n=a.
（n>1,且nN*）
1（. 1）( 3 8)3 8 (2) ( 5 32)5 =-32 （3） （4 16）4 16
(2)
(3) 4 (3 )4
(4)
解：(1) 3 ( 8)3 8
(2) ( 10)2 | 10 | 10
( 10)2 (a b)2 (a b)
(3) 4 (3 )4 | 3 | 3
(4) (a b)2 | a b | a b
同类训练
举一反三
1. (a b)2 + 5 (a b)5的值是（ ） 再细想！
类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的 4次方根 ； 25=32，则2叫做32的 5次方根 .
2n = a,则2叫a做的__n_次__方__根___
xn =a 则x叫做a的_n__次__方__根___
.
类比分析 可是个好方法！
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根.
一个数的n次方根有几个?
3 3 27
2 3 8
22 4 3 2 9
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
③负数没有偶次方根
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
高数数学必修一《4.1.1n次方根与分数指数幂》教学课件
m
n
(2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，a 有时有意义，有
1
3
1
2
3
时无意义，如 −1 ＝ m−1＝－1，但 −1 就不是实数了，为了保证
m
在 取任何有理数时，a n 都有意义，所以规定a＞0.
n
2
4
(3)注意幂指数不能随意约分．如 −4 ＝
1
2
4
−4 2 ＝ −4
2
1
4
＝2，而
−4 ＝ −4在实数范围内无意义．
2
3
π
＝________．
2
4
+9×
3 3 3
4
＝π－2＋1＋
2
9
9
× 4＝π.
课堂小结
1. 根式的性质化简求值．
2．根式与分数指数幂的互化．
3．有理数指数幂的运算性质进行化简求值．
4．根式的性质
(1)负数没有偶次方根；
0＝0
(2)0的任何次方根都是0，记作________；
n
(3)当n为奇数时， an ＝a； ， ≥ 0,
ቊ
n n
－，＜0 .
当n为偶数时， a ＝|a|＝__________
【即时练习】
1．二次根式 x 2 ＝－x成立的条件是(
A．x>0
B．x≠0
＝22＝2 ，你能发现当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根
指数整除时，可以将根式改用什么形式表示？
提示：分数指数幂的形式．
例2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0).
(1)a2 ；(2) ；
3
(3) 2 · 3 ；(4)( 3 )2· 3 .
n
(2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，a 有时有意义，有
1
3
1
2
3
时无意义，如 −1 ＝ m−1＝－1，但 −1 就不是实数了，为了保证
m
在 取任何有理数时，a n 都有意义，所以规定a＞0.
n
2
4
(3)注意幂指数不能随意约分．如 −4 ＝
1
2
4
−4 2 ＝ −4
2
1
4
＝2，而
−4 ＝ −4在实数范围内无意义．
2
3
π
＝________．
2
4
+9×
3 3 3
4
＝π－2＋1＋
2
9
9
× 4＝π.
课堂小结
1. 根式的性质化简求值．
2．根式与分数指数幂的互化．
3．有理数指数幂的运算性质进行化简求值．
4．根式的性质
(1)负数没有偶次方根；
0＝0
(2)0的任何次方根都是0，记作________；
n
(3)当n为奇数时， an ＝a； ， ≥ 0,
ቊ
n n
－，＜0 .
当n为偶数时， a ＝|a|＝__________
【即时练习】
1．二次根式 x 2 ＝－x成立的条件是(
A．x>0
B．x≠0
＝22＝2 ，你能发现当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根
指数整除时，可以将根式改用什么形式表示？
提示：分数指数幂的形式．
例2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0).
(1)a2 ；(2) ；
3
(3) 2 · 3 ；(4)( 3 )2· 3 .
4.1指数(第1课时n次方根与分数指数幂)课件(人教版)
（2）有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘.
新知运用
例4 （1）用分数指数幂的形式表示 .
（2）计算 .
方法指导 （1）把根式转化为分数指数幂，可以从外向里（也可以从里向外）化为分数指数幂.（2）利用指数幂的运算性质计算.
[解析] （1） .（2）原式 .
2.根式的性质
（1） （ 为奇数时， ； 为偶数时， ，且 ）.
（2）
新知运用
一、n次方根的概念
例1 （1）若81的平方根为 ， 的立方根为 ，则 __________.
（2）若 有意义，求 的取值范围.
7或
[解析] （1） 的平方根为 或 ， 的立方根为 ， 或 ， ， 或 .（2） 有意义， ， ，即 的取值范围是 .
方法总结 指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
3.0的正分数指数幂等于____， 的负分数指数幂___________.
新知运用
例3 （1）下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ).A. B. C. D. （2）将下列根式化成分数指数幂的形式.（其中 ， ）① ；② ；③ .
C
[解析] （1） ； ； ； .故选C.（2）①原式 .②原式 .③原式 .
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
课时1 次方根与分数指数幂
学习目标
1.理解 次方根、 次根式的概念.（数学抽象）
2.能正确运用根式的运算性质化简、求值.（数学运算）