2009数学建模C题 卫星跟踪解析
卫星“追赶”及遮挡问题
卫星“追赶”及遮挡问题•卫星“追赶”——相距最近和最远问题两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速直线运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb，某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图匱所示匮当它们转过的角度之差匁θ匽π，即满足ωa匁t−ωb匁t匽π时，两卫星第一次相距最远，如图匲所示匮当它们转过的角度之差匁θ匽匲π，即满足ωa匁t−ωb匁t匽匲π时，两卫星再次相距最近匮经过一定的时间，两星又会相距最近和最远匮匱.两星相距最远的条件ωa匁t−ωb匁t匽匨匲n匫匱匩π匨n匽匰,匱,匲,匳...匩匲.两星相距最近的条件ωa匁t−ωb匁t匽匲nπ匨n匽匰,匱,匲,匳...匩期分别为T A和T B，绕行方向与地同一直线上）时开始计时，则要经过•卫星遮挡问题如图匴所示，飞船绕地球做圆周运动，地球半径为R，宇航员在A点测出的张角为α，则飞船扫描地球的弧长为¯MN，若太阳光为平行光，则在A点状态下，宇航员可以观察到日全食匮根据几何关系有即卩卮α匲匽Rr进而可以求出飞船的运行轨道、速度、周期等匮若地球自转周期为T0，卫星绕地球运转周期为T，则一天内飞船经历“日全食”的次数为n匽T0 T若在A点发射信号，则处于地球上¯MN范围内可以接收到信号匮解决卫星遮挡问题，关键在于找对切线位置，进而根据几何关系进行求解匮卫星遮挡问题宇宙飞船以周期为T绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。
已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0。
太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为α，则则（）动的线速度为匲πR T即卩卮α匲历“日全食”的次数为T T0全食”过程的时间为αT0例题1（$$$）利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径为地球半径的匶.匶倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（）匮十.匱卨卂.匴卨千.匸卨卄.匱匶卨O答案卂O解析设地球的半径为R，则地球同步卫星的轨道半径为r匽匶.匶R.已知地球的自转周期T匽匲匴卨，地球同步卫星的转动周期与地球的自转周期一致，若地球的自转周期变小，则同步卫星的转动周期变小.由GMm R2匽m匴π2RT2可知，做圆周运动的半径越小，则运动周期越小.由于需要三颗卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，所以由几何关系可知三颗同步卫星的连线构成等边三角形并且三边与地球相切，如图由几何关系可知地球同步卫星的轨道半径为r 匽匲R由开普勒第三定律r3T3匽k得T 匽Tr 3r3匽匲匴匨匲R匩3匨匶.匶R匩3≈匴卨故选：卂.O答案十O解析人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有F匽GMmr2匽mω2r解得ω匽…GMr3卫星再次经过某建筑物的上空，卫星多转动一圈，有匨ω−ω0匩t匽匲π地球表面的重力加速度为：g匽GM R2联立解得t匽匲π…gR2r3−ω0故选：十.为匲θ，求同步卫星的轨道半径r赤道上A，B之间的区域，∠AOB和θ表示）习题匲（$$$）我国自主研发的首颗高分辨率对地观测卫星“高分一号”，于匲匰匱匳年匴月匱匲日由长征二号丁运载火箭发射升空，匲匰匱匳年匱匲月正式投入使用，该卫星对地面拍摄的分辨率可达匲米，可对全球进行扫描拍摄，达到了世界的先进水平。
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛A-B-C-D题评阅要点
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛A 题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
因为本题涉及到一些重要概念, 所以请各赛区评阅专家在阅卷前务必用比较多的时间来研读本评阅要点. 千万不要简单地以数值结果来评分.评阅时请注意具体情况具体对待, 特别要注意在处理误差分析时有没有闪光点。
这是一个物理模拟问题，模拟的原则是试验台上制动器的制动过程与所设计的路试时车上制动器的制动过程理论上应该一致，所以制动过程中试验台主轴的瞬时转速与车轮的瞬时转速理论上随时一致，制动扭矩也理论上随时一致，另外理论上制动时间也相同。
1. 设前轮的半径为R ，制动时承受的载荷为G ，等效的转动惯量为J ，线速度为v ，角速度为ω，重力加速度为g 。
应该利用能量法得到 222121ωJ v g G =，v = Rω. 从而 J = GR 2/g 。
利用数据计算得到J = 52 kg ·m 2。
（计算结果如不正确适当扣分，但不影响后面的分数。
）2. 记飞轮的外半径为R 1，内半径为R 0，厚度为h ，密度为ρ，则飞轮的惯量为)(24041R R hJ -=πρ，利用数据计算得到三个飞轮的惯量分别为30 kg ·m 2、60 kg ·m 2、120 kg ·m 2，它们和基础惯量一起组成的机械惯量可以有8种情况：10, 40, 70, 100, 130, 160, 190, 220 kg ·m 2。
对于问题1中得到的等效的转动惯量，用电动机补偿能量对应的惯量(简称电机惯量)有两种方案：12 kg ·m 2 或 –18 kg ·m 2。
（写出一个即可，绝对值较小的模拟效果较好。
）3. 导出数学模型的一种方法为: 记需要模拟的单轮的等效的转动惯量为J ， 主轴转速为()t ω，机械惯量1J , 则J 关于主轴的制动扭矩()M t 为，dtd Jt M ω=)( (1) J 1关于主轴的扭矩为 1d J dtω (2) 从而电流产生的扭矩()e M t 应为 1()()e d M t J J dtω=- (3) 由于电机的驱动电流0()()e I t k M t =，所以 01()()d I t k J J dt ω=- (4) 控制时可由k ω的测量值差分后得到1k I +.或者由(3)除以(1)，得到 1()()e M t J J M t J-=，则有 10()()J J I t k M t J-= (5) 控制时由k M 的测量值得到1k I +. (4)和(5)就是驱动电流依赖于两个可观测量的数学模型。
数学建模-三级火箭发射卫星
大学生数学建模承诺书我们仔细阅读了数学建模的规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
所属班级（请填写完整的全名）：09级数学与应用数学班队员(打印并签名) ：1. 王茜2. 丁*燕3. 毕瑞4. 李*洋5. 王*彬小组负责人(打印并签名)：李*洋日期： 2012 年 5 月 1 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：题目：三级火箭发射人造卫星分析摘要：火箭是一个非常复杂的系统，本文主要从卫星的速度因素着手，忽略一些次要因素将问题简化，再利用所学物理学知识建立数学模型，得出火箭飞行速度与其初始质量和飞行过程中的质量关系，进而分析得出结论。
关键词：卫星发射 牛顿定律 三级火箭 动能守恒 万有引力定律一、问题重述建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1）设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为r g R v /=，R 为地球半径，r 为卫星与地心距离，g 为地球地面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速度v 应为多少？（2）设火箭飞行中速度为)(t v ,质量为)(t m ,初速度为零，初始质量为 0m ,火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽略重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明)(ln)(0t m m u t v =。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施？ （3）火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料舱等）s m ，其中s m 在s f m m +中的比例计作λ，一般λ不小于10%。
2009年全国研究生数学建模竞赛C题
2009年全国研究生数学建模竞赛C题多传感器数据融合与航迹预测未来的战争,将是陆、海、空相结合的立体战争, 成功地收集各种情报非常重要，甚至对战争的胜负起着决定性的作用。
在实战中各种情报的收集依赖于多种传感器设备，由于，1.电磁环境将异常复杂，敌方会主动或随机发送错误、无用的信号使我方传感器受到各种欺骗和干扰；2.需要检测目标的数量越来越多,运动速度也越来越快；3.多数目标会利用散射或吸收的方法大大减少对电磁波的反射等隐身技术和低空、超低空突防技术，让目标的反射电磁波和地面所反射电磁波混在一起，无法区分；总之使传感器难以捕捉和跟踪检测目标。
因此，采用单传感器捕捉和跟踪的技术效果很差，而多传感器数据融合在解决探测、跟踪和识别方面不仅具有能够数倍地扩大捕捉和跟踪空间和时间覆盖范围的优势，还可以降低信息模糊度、提高可信度和改进探测性能等等。
故采用并不断发展多传感器数据融合技术将是军事电子领域一种趋势。
多传感器数据融合可以分为数据预处理、航迹相关、航迹融合等步骤。
如果某个时刻某雷达站接受到空间某点反射回来的电磁波，它将记录下有关的数据，并进行计算，得到包括目标的经度、纬度、海拔高度，经向速度、纬向速度、观察时刻在内的一组数据（见附件数据）。
然后雷达网中各个雷达站将各自的观测数据传送并存放到融合中心进行雷达数据相关和数据融合。
为了正确区分来自不同雷达站的数据，在每组雷达数据之前再加上雷达站编号和传感器编号等。
航迹即上述某雷达站接受到某一检测目标陆续反射回来的电磁波后记录、计算检测目标所处的一系列空中位置而形成的离散点列，航迹相关即依据一定的准则确定各个雷达站的多组数据中哪些组数据是来自同一个检测目标。
由于每组数据的观测时刻和各个雷达站的观测时间间隔都不同，所以在进行航迹两两相关之前首先要进行时间配准，即让不同雷达表示同一目标位置的时刻集合扩大为一致。
然后将多条表示同一目标运动轨迹的航迹尽可能地抽取出来，为数据融合做好准备。
23华为杯数学建模c题第三问
数学建模C题第三问回答如下：在回答第三问的时候，我们需要考虑如何选择数据源和数据采集的方式，并针对具体问题进行分析和求解。
下面将分别介绍如何获取和整理数据，并针对数据的特点进行分析和建模。
首先，我们需要确定数据源。
根据问题描述，我们需要从全球范围内的卫星图像中获取相关数据，并使用相关的地理信息系统软件进行处理和分析。
考虑到数据的准确性和时效性，我们可以选择国际知名的大数据公司提供的卫星图像数据集。
这些数据集通常包含全球范围内的卫星图像数据，可以为我们提供大量的观测数据。
接下来，我们需要进行数据采集和整理。
在采集数据时，我们需要根据问题描述中的要求，选择合适的卫星图像数据集，并确定需要采集的数据类型和时间范围。
在整理数据时，我们需要对数据进行清洗、筛选和预处理，以确保数据的准确性和可靠性。
在分析数据时，我们可以从以下几个方面入手：1. 空间分布特征分析：通过分析不同地区、不同时间段的卫星图像数据，我们可以了解不同地区之间的空间分布特征和变化趋势。
2. 影响因素分析：我们需要考虑影响城市热岛效应的各种因素，如气候、地形、建筑结构、人口密度等。
通过分析这些因素对城市热岛效应的影响程度和方向，我们可以更好地理解城市热岛效应的本质。
3. 预测城市热岛效应的变化趋势：根据已有的卫星图像数据和相关影响因素的分析结果，我们可以预测城市热岛效应的变化趋势，并为城市规划和管理提供参考依据。
在建模方面，我们可以采用GIS空间分析和统计模型相结合的方法进行分析。
具体来说，我们可以利用GIS软件对卫星图像数据进行空间分析和可视化展示，并结合统计模型对数据进行进一步分析和预测。
例如，我们可以利用GIS软件中的热力图功能对不同地区的温度差异进行可视化展示，并结合相关统计模型对温度差异的变化趋势进行分析和预测。
基于以上分析，我们可以提出以下建模思路：1. 利用GIS软件进行空间分析和可视化展示：根据已有的卫星图像数据和相关影响因素的分析结果，利用GIS软件进行空间分析和可视化展示，以便更好地理解城市热岛效应的空间分布特征和影响因素。
2009全国数学建模竞赛命题与解题思路解析
一种比较典型的仿真优化方法是：对每一位等待 一种比较典型的仿真优化方法是： 入院病人，以该病人当日入院的公平性（以到达 入院病人，以该病人当日入院的公平性（ 先后计）与病床使用效率（分类考虑） 先后计）与病床使用效率（分类考虑）两方面综 合排序（例如求两个指标的加权和），然后按排 合排序（例如求两个指标的加权和），然后按排 ）， 序结果安排当日入院病人，由此得到公平合理的 序结果安排当日入院病人， 住院方案。按此方案进行仿真， 住院方案。按此方案进行仿真，再统计各项评价 指标值，并与FCFS方案作比较，此问即告完成。 FCFS方案作比较 指标值，并与FCFS方案作比较，此问即告完成。
解题思路 3
这一类以排队论及仿真优化方法为主要解决 方法的题目， CUMCM年竞赛题目中，还 不多见。而这一类随机服务系统优化的问题， 不多见。而这一类随机服务系统优化的问题， 在现实实际中却是大量存在的，因此， 在现实实际中却是大量存在的，因此，在以 反映现实生活中的数学建模问题为己任的大 学生数学建模竞赛中，出现这一类题目， 学生数学建模竞赛中，出现这一类题目，也 是很自然的事情，MCM中如04年 中如04 是很自然的事情，MCM中如04年B题“游乐场 快速通道问题” 05年 快速通道问题”，05年B题“高速公路收费站 问题” 就是两个这类问题的实例。 问题”，就是两个这类问题的实例。
解题思路
12
第二问
本问主要考核能否给出一个相对合理的病 床安排模型，主要目标为： 床安排模型，主要目标为：提高病床有效利用 率以及提高公平度。 率以及提高公平度。 就提高病床有效利用率而言，病人术后住 就提高病床有效利用率而言， 院时间是一个不可优化的量， 院时间是一个不可优化的量，所以只能在术前 等待时间上作文章。 等待时间上作文章。经对题目所给数据的分析 可知： 可知：对白内障病人的入院时间加以限制成为 提高效率的必然选择。 提高效率的必然选择。
2009年数学建模竞赛C题全国一等奖论文
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：卫星和飞船的跟踪测试摘要卫星和飞船对国民经济和国民建设有重要的意义，对卫星的发射和运行测控是航天系统的重要部分，理想状况下是对其进行全程跟踪测控。
本文通过建立空间直角坐标系，得到了卫星或飞船飞行的参数方程，并利用Matlab软件模拟出卫星飞行的轨迹图，借助图形，对卫星和飞船的跟踪测控问题进行建模，得到了在不同情况下对卫星或飞船进行全程跟踪测控所需建立测控站数目的一般方法。
问题1:在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，采用CAD制图法和解析三角形两种方法，分别计算出在所有测控站都与卫星或飞船运行轨道共面的情况下至少应建立12个测控站才能对其进行全程跟踪测控。
问题2:通过建立空间直角坐标系，给出卫星或飞船的运行轨道的参数方程。
同时，验证了其运行轨道在地球上的投影轨迹为一关于赤道平面对称的环形带状区域。
最后，给出对卫星或飞船可能飞行区域进行全部覆盖所需建立测控站的模型。
问题3:对于陆地上的观测点，通过对“神舟七号飞船”相关信息查询，进行几何角度的和长度计算，得出观测点能观测到的区域约为s,再计算出飞船可能飞行的面积，通过进一步的优化与计算得出陆地上的观测点能观测的区域为18.67%.关键词：轨道星下点测控点相对运动优化一、问题重述卫星和飞船对国民经济和国民建设有重要的意义，对卫星的发射和运行测控是航天系统的重要部分，理想状况下是对其进行全程跟踪测控。
测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，实际上每个测控站的范围只考虑与地面成3度以上的空域。
往往要有很多个测控站联合测控任务。
问题1:在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？问题2:如果一个卫星或飞船的运行与地球赤道有固定的夹角，且在离地面为H的球面S上进行。
全国大学生数学建模竞赛赛题综合评析
社会热点
叶其孝、周义仓
开放性强、社会关注性强，突出数据来源的可靠性、结论解释的合理性
数据收集与处理、问题的分析与假设，初等数学方法、一般统计方法、多目标规划、回归分析、综合评价方法、灰色预测
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A题：制动器试验台的控制方法分析
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煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制（D题）
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制动器试验台的控制方法分析
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眼科病床的合理安排
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卫星和飞船的跟踪测控（C题）
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会议筹备（D题）
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2010年
储油罐的变位识别与罐容表标定
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2010年上海世博会影响力的定量评估
杨力平
输油管的布置（C题）
1
6
8
付鹂
重庆大学
1
6
9
姜启源
清华大学
4
3
10
陈叔平
浙江大学、贵州大学
2
5
11
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2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题卫星和飞船的跟踪测控卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。
测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。
在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，如神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布如下图所示：图片来源/jrzg/2008-09/24/content_1104882.htm请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H 的球面S上运行。
考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。
卫星的跟踪测控问题简析摘要：本文主要利用计算几何与图论的有关知识，分析和解决了卫星的跟踪测控问题，并应用仿真模拟手段对地球自转、非自转、不同轨道、不同纬度的卫星跟踪测控进行了较为详细的讨论。
针对问题一、问题二给出了求解过程和结果，并提出了优化改进模型，针对第三问通过神舟七号卫星参数和测控站点分布数据分析了测控站点对该卫星所能测控的范围。
（1）问题一考虑到所有测控站点与卫星的运行轨道共面，测控点个数只与卫星轨道的高度相关，将问题一转化为考虑卫星不同轨道高度、地球无自转情况下，测控站点最少测控模型求解问题。
从而得到：低轨道卫星（小于500km）至少需要10个测控站，中轨道卫星（500~2000km）至少需要5个测控站，高轨道卫星（2000~20000km）至少需要3个测控站，太阳同步卫星（700~1000km）至少需要7个测控站，地球同步卫星轨道高度（35786km）远大于7651.5km，至少需要3个测控站。
最后对模型1进行了优化，增加了卫星发射过程中卫星测控站点个数确定。
（2）问题二在地球自转情况下，本文首先对问题进行细化，基于不同纬度、不同轨道高度的情况分别考虑，然后利用蜂窝理论将问题转化为求解测控点有效测控面积覆盖问题，得到各种情况下所需测控站点个数。
轨道倾角为0-30°时，低轨道23个，中轨道7个，高轨道3个；轨道倾角为30°-60°时，低轨道39个，中轨道12个，高轨道5个；轨道倾角为60°-90°时，低轨道45个，中轨道14个，高轨道6个。
最后针对模型2计算所得的测控站个数可能会出现测控盲区情形，利用有效等六边形无缝拼接方法，提出了进一步优化方案，得出了相对于模型2更为合理的站点个数。
（3）问题三本文通过获取神州七号卫星运行资料和测控点的分布信息，首先根问题二中得到的模型给出了全程测控神舟七号卫星的测控站点个数：28个，说明了神舟七号卫星16个站点并不能够完全测控；并由测控站点位置信息，利用蜂窝理论中等六边形有效面积，给出了测控站点有效测控范围平面图。
关键词：卫星全程跟踪测控蜂窝理论有效测控范围计算几何仿真模拟一、问题重述本题研究的是对卫星和飞船进行全程跟踪测控问题。
其中每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域，题目要求完成以下三个问题：1、在只考虑测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，确定能进行全程跟踪卫星的测控站点最少数目。
2、考虑地球自转，同时卫星或飞船运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，确定能进行全程跟踪卫星的测控站点最少数目。
3、收集我国一个卫星或飞船的运行资料和测控站点的分布信息，利用问题1和问题2确定的模型分析这些站点对该卫星所能测控的范围。
二、问题11.问题假设1)假设每个测控站都正常工作；2)假设卫星或飞船的运行轨道为圆形；3)假设卫星或飞船不出故障；4)假设不考虑外太空各种空气阻力等因素；5)假设不考虑发射过程的监测；6)假设地球半径为6378km；7)假设卫星的发射是通过光电经纬仪光轴与平台棱镜精确对准；8）假设卫星发射时是东南方向。
23.根据问题1中所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的信息，则问题一转化为考虑不同卫星飞行轨道高度、地球无自转下，测控点最少分布问题。
根据三角形内切圆的性质以及测控设备可以监控与地面夹角3度以上的区域(如图1所示)，由此通过计算可知：当卫星或飞船运行高度高于7651.5千米的情况下，最少利用三个测控站便可完全监控卫星或飞船的飞行情况。
当卫星或飞船运行低于7651.5千米时，三个测控站便出现了监测盲点（不能完全监测卫星或飞船的运行情况），需要增加观测站个数（如图1所示）。
本问题通过对不同轨道高度的卫星进行划分，逐个分析其运行测控点个数。
图14.模型建立与求解因为对于不同轨道高度卫星来说，地球同步卫星高度较高（35786km ），且位于赤道正上空，在赤道上设立3个测控站便可全程跟踪监测。
其余不同轨道卫星卫星类比于地球同步卫星，测控站分布在卫星运行轨道面与地球赤道面相交的交线上。
根据问题1的分析，当测控点与卫星运行轨道共面的情况下，测控点个数只与卫星轨道的高度相关，因此本文利用卫星的最低轨道来进行最少卫星个数进行确定(如图2所示)。
首先确定在不同测控站个数n D 情况下，卫星或飞船的最低高度模型1(如式2.1、2.2所示)。
93sin )18087sin(hr D r n+=- 2.1则可得：r D r h n--=)18087sin(93sin2.2分析式2.2可以发现高度与测控点个数负相关，计算可得不同卫星轨道下测控站点个数（见表1）。
图 2表1不同测控站点个数下卫星轨道的最低高度对表1分析可知，当卫星或飞船运行的高度越低，需要的观测点越多。
根据不同轨道卫星的高度，可知需要的最少测控站个数。
按照不同高度，卫星可以划分为以下几种类型，如表2所示。
表2 不同类型卫星高度表由上述模型以及数据可知：低轨道卫星至少需要10个测控站，中轨道卫星至少需要5个测控站，高轨道卫星至少需要3个测控站，太阳同步卫星至少需要7个测控站，地球同步卫星轨道高度远大于7651.5km，至少需要3个测控站；5.模型的优化对于问题1的上述模型，并没有考虑卫星发射过程，这在一定程度会影响测控点的个数，本小节对模型1进行一定的优化。
由图3卫星发射过程示意图可得，在卫星进入轨道之前，有一个斜向加速和惯性加速过程，在此过程中，卫星存在一个相对于发射点的距离偏差。
若该距离大于位于发射点的测控点的最大测控距离，则需要进行测控站点的调整。
图3 卫星发射过程示意图根据图2中的测控站点与测控卫星的几何信息，可得到测控站点距卫星最远距离x 与卫星高度、地球半径的关系式（如下式2.3）：93cos 2)(222xr h r r x =+-+ 2.3解得测控站点距卫星最远距离x 为：222293cos 93cos h rh r r x +++=通过几何运算，可得到一个测控站所监测卫星或飞船的最大运行弧长l ：hr h rh r r hr h rh r r ：x h r xhr x ++++=++++=+=+=]293cos 93cos [93sin arcsin]293cos 93cos [93sin sin 93sin sin 93sin sin 222222θθθθ的值代入θθπππθπ1802360)(2)(2)(22360)(2=⋅++==+=⋅+=h r h r l d D h r d h r l nθπ2360)(2⋅+=h r l 经上计算得卫星或飞船经过一个测控站所花的时间T:vD h r v l T n ⋅+==)(2π 通过卫星或飞船经过一个测控站所花的时间T 与卫星或飞船从发射到进入轨道的时间t的比较当T >>t 时，卫星不会进入盲区；当T 接近或小于t 时，卫星会进入盲区，需要增加测控站本文这里采用神舟七号卫星数据，对提出的优化模型进行验证。
km r 6378=，km h 343=神七的入轨飞行速度7820.185米/秒，神七上升段飞行时间583.828秒， 可知：6.113436378])3433436378293cos 637893cos 6378[93sin arcsin180222≈++⨯⨯+⨯+⨯=n DvD h r v l T n ⋅+==)(2π=466820185.76.11)3436378(2≈⨯+π秒 如果按照上面的分析则神七在发射需到进入轨道需要再增加测控站才能进行全程测控。
而实际上运载火箭发射航天飞行器的飞行轨道方案是一次主动段就直接入轨（消耗能量较多）。
例如：神州七号飞船先被送入近地点200公里到远地点347公里的椭圆轨道，飞船在椭圆轨道飞行第1至5圈，由于大气阻力的影响，每圈轨道降低近1公里，飞船远地点高度从347公里降为343公里，第5圈，飞船远地点点火变轨，抬升近地点，轨道由椭圆轨道变成高度343公里圆轨道。
三、问题21.问题假设1) 假设每个测控站都正常工作；2) 假设卫星或飞船的运行轨道为圆形； 3) 假设卫星或飞船不出故障； 4) 假设卫星在空中的时间足够长；5) 假设卫星在运行过程之中没有太阳风暴所引起的电磁干扰的影响；6) 假设卫星卫星在发射时气象条件（温度、湿度、平均风速和高空风速）合适； 2.符号设定3.问题分析根据对问题二的分析，由于地球的自转，当卫星在空中时间足够长的情况下，卫星在地球上的投影将会形成一个区域（见图4），而测控的目标是空中的卫星，从而考虑将投影区域向空中移动（移动距离为卫星高度h ）形成一个“卫星”区域，为了达到测控的目的，测控的范围将要完全覆盖这一“卫星”区域。
0=θ时叫赤道轨道，卫星轨道在赤道赤道平面内，地球同步轨道卫星的轨道属于此类。
900<<θ叫顺行轨道，多数卫星采用这种轨道，因为它可以利用地球自转速度，从而节省发射需要的能量，而且可以覆盖任务规定的区域，轨道倾角大则覆盖轨道区域大。
90=θ叫极轨道，在极轨道上的卫星可以观测整个地球，因此地球资源卫星、全球侦察卫星采用这种轨道。
轨道倾角的范围在90~0内，其中地球同步卫星的倾角为0，极地卫星为90。
根据倾角的范围将区域分别为（见表3）：表3每个测控站的测控范围为一个圆形区域，故我们采用圆形的蜂窝状分布（见示意图2，三个圆的圆心连线为正三角形，将每个圆形测控范围的有效范围为以R 为边长的正六边形），以达到测控站最少的目的。