【高三】高三数学精品复习26数学归纳法

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2014届高三数学精品复习之数学归纳法、极限

1．数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n的命题对于从正自然数n0开始的所有正自然数n都成立”的问题。

2．能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出f(k)与f(k+1)之间的关系，这往往是运用数学归纳法的最关键的一步。

[举例1]已知，则=

A．+，B．++，

C．- D．+-

解析：是从n+1开始的n个连续自然数的倒数和，故是从n+2开始的n+1个连续自然数的倒数和，即

=

==++-

=+- 故选D。

[举例2]用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+1－2k+1变形为

[解析]假设n=k时命题成立.即:5k－2k 被3整除.当n=k+1时，5k+1－2 k+1 =5×5k－2×2 k

=5(5k－2k) ＋5×2k－2×2k=5(5k－2k) ＋3×2k

[巩固1] 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。

A. 2

B. 2－. 2 D. 2＋1

[巩固2]用数学归纳法证明命题：

(n＋1) ×(n＋2) ×…×(n＋n)=2n×1×3×…×(2n－1)

3．数学归纳法公理：如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件(1) p(n0)成立,即当n=n0时,命题成立，(2) 假设p(k)成立,则p(k+1)也成立；根据(1)(2)知命题p(n)对n≥n0的所有自然数n都成立。用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程，（1）是递推的根底，（2）是递推的条件；二者缺一不可。

4．数学归纳法通常用于证明关于自然数n的等式、不等式、整除性等。用“归纳假设”即命题p(k)成立证明命题p(k+1)成立（已知p(k)成立，求证p(k+1)成立）是数学归纳法证明中最关键的一步；而明晰命题p(k)与命题p(k+1)之间的关系又是实现这一步的前提。

[举例1] 已知为正整数，用数学归纳法证明：当时，；

解析：视为关于的不等式，为参数，以下用数学归纳法证明：

（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，

因为，所以左边右边，原不等式成立；

（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，

，，于是在不等式两边同乘以得

，

所以．即当时，不等式也成立．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．

[举例2]设正整数数列满足：，且对于任何，有

；（1）求，；（2）求数列的通项．

（07高考江西理22）

解析：（1）据条件得①

当时，由，即有，

解得．因为为正整数，故． 当时，由，解得，所以． （2）由，，，猜想：． 下面用数学归纳法证明．

1当，时，由（1）知均成立； 2假设成立，则，则时 由①得 因为时，，所以． ，所以．又，所以．

故，即时，成立．由1，2知，对任意，． [巩固1]已知数列，，…，，…；S 为其前n 项和，求S 、S 、S 、S ，推测S ，并用数学归纳法证明。 [巩固2] 已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证： （07高考重庆理21）

5．若存在，则=，若==0，则一般“约分”（约去含的因式）后再求极限。若=A 、=B ，则[±]= A±B, []=AB, = (B≠0).

[举例] .（07高考陕西理13） 解析：==， ∴=

[巩固1] 下列四个命题中，不正确的是（ ）

A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则0

lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→

B ．函数2

2

()4

x f x x +=

-的不连续点是2x =和2x =- C ．若函数()f x ，()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞

-=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞

∞

=→→

D ．1

11

lim

12

x x x -=-→ （07高考湖南理7） [巩固2] 2

2

41

lim(

)42x x x

→--=-+________ 6．若|q |<1,则∞

→n lim n q =0；q =1，则∞

→n lim n q =1；若q >1或q ≤-1, 则∞

→n lim n

q 不存在。∞

→n lim c

=c (c 为常数)；“

∞c ”型的式子极限为0；“0c ”型、“c ∞”型的极限不存在；“00”型和“∞

∞

”

型，一般分子、分母“同除以”一个式子（包括“约分”）后再求极限；含有根式的和（差）的式子一般有理化后再求极限。若∞

→n lim n a =A 、∞

→n lim n b =B ，则 ∞

→n lim (n a ±n b )= A ±B,

∞

→n lim (n a n b )=AB, ∞

→n lim

n n b a =B

A

(B ≠0). [举例1]若1,()

n a n n a n ==+-则常数 .

解析：分母有理化

[举例2]已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111

lim 111p

q n n n ∞

⎛⎫+- ⎪⎝⎭

=⎛⎫+- ⎪⎝⎭

→（ ） A ．0

B ．1

C ．

p q

D ．

1

1

p q -- （07高考湖北理5） 解析：111lim 111p

q n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→1111111111lim 2222

-+++⋅+-+++⋅+∞→q

q

q q p p

p p n n C n C n q n C n C n p =q q

q q

p

p

p p n n C n C n

q n C n C n p 111111lim 2

2

22

+++⋅+++⋅

∞→ =1

232

1232

111111

lim --∞→++++++++q q

q q q

p p

p p p

n n C n C n

C q n C n C n C p =p q ，选C 。 [巩固1]把2

1(1)(1)(1)n x x x +++++

++展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则

21

lim

1n n n

a a ∞-+→等于（ ）

A ．

1

4

B ．

12

C ．1

D ．2

[巩固2]. n →∞lim 1

2n(n 2+1－n 2－1) 等于( ) A. 1 B. 12 C.1

4

D.0

[迁移]设正数a b ，满足2

2lim()4x x ax b →+-=，则11

1

lim 2n n n n

n a ab a b +--→∞+=+（ ） Ａ．0

Ｂ．

1

4

Ｃ．

12

Ｄ．1 （07高考重庆理8）

7．无穷数列{n a }的前n 项和为S n ，n n S ∞

→lim 称为数列{n a }的无穷多项和或所有项和。求n

n S ∞

→lim 时，切不可分别求各项的极限后再求和；必须先求S n ，再求极限。若{n a }为等比数列，公比为q 且|q|<1，则n n S ∞

→lim =

q

a -11

。 [举例1]若数列}{n a 满足: 3

1

1=

a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+, 则 =++++∞

→)(lim 21n n a a a （07高考湖南理2）