直线与抛物线的关系 课件
A．(－1，－2)
B．(1,2)
C．(0,0)
D．(2,4)
4．直线y＝2x与抛物线y＝x2－4交于A、B两点，AB 两点距离为( A )
A．10
B．8
C．6
D．4
5．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛 物线焦点的距离为( D )
A．2
B．3
C. 4
D. 5
1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( C ) A．直线与抛物线有一个公共点
综上所述，当k＝1或k＝0时，l与C有一个公共点；当k＜1， 且k≠0时，l与C有两个公共点；当k＞1时，l与C没有公共点．
2．求过点P(0,2)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点 的直线方程.
答案：x＝0或y＝2或y＝
1 4
x＋2
弦长问题
已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直
线y＝2x＋1截得的弦长为 15 ，求抛物线的方程．
当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程：
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16－16k，
(1)当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时称 直线l与C相交；
(2)当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时称直线l与 C相切；
(3)当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时称直线l与C 相离．
当 k＝2 时，|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 5 x1＋x22－4x1x2
＝ 5 16－4＝2 15.
答案：2 15
1．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题， 可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的 个数问题，往往通过消元最终归结为讨论一元二次方程根的 情况．需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线 的渐近线时，直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点．
答案：(4,2)
1．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰
好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
解析：法一：设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两 端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，
∴y＝6x1，y＝6x2.
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
分析：直线和抛物线公共点个数的判断问题，可通过
联立直线的方程和抛物线的方程，借助于方程的判别式作
答．
解析：将l和C的方程联立得
y＝kx＋1， y2＝4x，
消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，方程(*)只有一个解x＝
1 4
，∴y＝1.
轴． ∴直线l与C只有一个公共点 14，1 ，此时直线l平行于x
p42－p＝ 3，
3．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若
线段AB的中点的横坐标是2，则|AB|＝______.
解析：y2＝8x
，k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，
y＝kx－2
x1＋x2＝4kk＋2 8＝4，得 k＝－1，或 2，
当 k＝－1 时，x2－4x＋4＝0 有两个相等的实数根，不合题意．
即 3x－y－11＝0.
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|Py22－4y1y2
＝
1 1＋9
22－4×－22＝2
230 3.
直线与抛物线位置关系的判断 直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何 值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公 共点．
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
中点弦及弦长问题 若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A、B两点， 则线段AB的中点坐标是____________．
解析：y2＝4x y＝x－2
，x2－8x＋4＝0，
x1＋x2＝8，
y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
中点坐标为x1＋2 x2，y1＋2 y2＝(4,2)．
直线与抛物线的关系
1．直线y＝x与抛物线y＝x2－2的交点个数为( C )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．直线y＝x与抛物线y＝x2－2的交点坐标为( C )
A．(－1，－1)
B．(2,2)
C．(－1，－1)或(2,2)
D．(4,4)
3．直线y＝2x与抛物线y＝x2－4的交于A、B两点，AB 中点坐标为( B )
2．涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题，主要有这样几
个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB|＝
|x2－x1|
1＋k2
或 Δ1＋k2 ；弦所在直线的方程(如中点弦、相交弦等)、
弦的中点|A的| 轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的
方法(设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出
坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决).
∵y1＋y2＝2，∴k＝yx11－ －yx22＝y1＋6 y2＝3， ∴直线的方程为 y－1＝3(x－4)． 即 3x－y－11＝0.
由yy2＝＝36xx－11 ，得 y2－2y－22＝0， ∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22， ∴|P1P2|＝ 1＋91 22－4×－22＝2 3230.
法二：由题意易知直线方程的斜率存在，
设所求方程为 y－1＝k(x－4)．由yy2＝＝k6xx－4k＋1 ky2－6y－24k＋6＝0. 设弦的两端点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
，得
∴y1＋y2＝6k，y1·y2＝6－k24k.
∵P1P2 的中点为(4,1)，∴6k＝2，∴k＝3，
∴所求直线方程为 y－1＝3(x－4)，
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
2．过点M(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点， 则这样的直线的条数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．0
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1 的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标 为2，则该抛物线的准线方程为( B )
解析：设抛物线的方程为 y2＝2px，则
y2＝2px
y＝2x＋1
，消去 y 得：4x2－(2p－4)x＋1＝0，
x1＋x2＝p－2 2，x1x2＝14，
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 5 x1＋x22－4x1x2
＝5
p－2 22－4×41＝ 15，则
p2－4p－12＝0，p＝－2 或 6，
∴y2＝－4x，或 y2＝12x.
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3.3.3直线与抛物线的位置关系课件(人教版)
第 三 章 圆锥曲线的方程
3.3.3直线与抛物线的位置关系
学习目标
掌握抛物线的几何性质. 会判断直线与抛物线的位置关系.
准备好了吗？一起去探索吧！
抛物线的几何性质.
重点
难点
弦长公式的求解. 判断直线与抛物线的位置关系.
提问
探究一 抛物线的方程与性质
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F， 且与抛物线相交于 A,B 两点，求线段 AB 的长？
在前面椭圆，双曲线的学习中，我们也遇到过类似的直线与椭圆、 双曲线相交的问题，回忆一下是如何解决的？ 对于这道题你有什么解题思路？
解答方法一
将直线与抛物线联立为方程组，求出两个交点 A,B， 然后利用两点间的距离公式求 AB 的长.
解法一：可求得直线的方程为 y x 1，
yx1
联立直线的方程与抛物线的方程 y2 4 x ，整理得 x2 6x 1 0 ，
∵ M (2，y0 ) 在直线上，∴ y0 2 ，
AB
1 k 2 x2 x1
5
42
4
4 22
2
15 .
探究二 直线和抛物线的位置关系
（1） 设直线 l : y kx b ，抛物线 y2 2 p（x p 0），
ykxb
直线与抛物线交点的个数等价于方程组 y2 2 px 解的组数， 也等价于方程 ky2 2 py 2bp 0解的个数
a.当 k 0 时，若 0 ，则直线和抛物线相交，有两个公共点； 若 =0 ，则直线和抛物线相切，有一个公共点； 若 0 ，则直线和抛物线相离，无公共点.
b. 当 k=0 时，直线y=b与抛物线 y2 2 p（x p 0）相交， 有一个公共点.特别的，当直线l的斜率不存在时， 设 l : x m ，则当 m 0 时，l与抛物线相交，有两个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相切，有一个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相离，无公共点.
3.3.3直线与抛物线的位置关系
学习目标
掌握抛物线的几何性质. 会判断直线与抛物线的位置关系.
准备好了吗？一起去探索吧！
抛物线的几何性质.
重点
难点
弦长公式的求解. 判断直线与抛物线的位置关系.
提问
探究一 抛物线的方程与性质
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F， 且与抛物线相交于 A,B 两点，求线段 AB 的长？
在前面椭圆，双曲线的学习中，我们也遇到过类似的直线与椭圆、 双曲线相交的问题，回忆一下是如何解决的？ 对于这道题你有什么解题思路？
解答方法一
将直线与抛物线联立为方程组，求出两个交点 A,B， 然后利用两点间的距离公式求 AB 的长.
解法一：可求得直线的方程为 y x 1，
yx1
联立直线的方程与抛物线的方程 y2 4 x ，整理得 x2 6x 1 0 ，
∵ M (2，y0 ) 在直线上，∴ y0 2 ，
AB
1 k 2 x2 x1
5
42
4
4 22
2
15 .
探究二 直线和抛物线的位置关系
（1） 设直线 l : y kx b ，抛物线 y2 2 p（x p 0），
ykxb
直线与抛物线交点的个数等价于方程组 y2 2 px 解的组数， 也等价于方程 ky2 2 py 2bp 0解的个数
a.当 k 0 时，若 0 ，则直线和抛物线相交，有两个公共点； 若 =0 ，则直线和抛物线相切，有一个公共点； 若 0 ，则直线和抛物线相离，无公共点.
b. 当 k=0 时，直线y=b与抛物线 y2 2 p（x p 0）相交， 有一个公共点.特别的，当直线l的斜率不存在时， 设 l : x m ，则当 m 0 时，l与抛物线相交，有两个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相切，有一个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相离，无公共点.
人教版高中数学课件：直线与抛物线的位置关系
练习：判断下列命题是否正确
1.如果直线与抛物线只有一个公共点，
则它们相切. 错 2.如果直线与抛物线相切，则它们只有一个 公共点 . 正确
所以：直线与抛物线只有一个公共点是 它们相切的必要非充分条件.即
相切 有一个公共点
例1.过点P(0,2)且与抛物线y2=8x只有一个公共 点的直线有 3 条，
p 12 p 0
2
p 0或p 12(舍去)
设A(x1,y1), B (x2,y2),则 x1+x2=-(3+2p) x1x2=9/4
2
1 1 (3 2 p) 9 4 2 解得：p 1或p 4(舍去)
所以，所求抛物线的方程为y2=-2x.
解：设所求直线的方程为y-2=kx （k ≠0 ） 即y=kx +2. 将直线y=kx +2代入抛物线方程，得
即
(kx 2) 8x 2 2 k x (4k 8) x 4 0
2
(4k 8) 16k
2
2
64k 64 0 k 1
解：将直线y=x +b代入抛物线方程y2=8x ，得
练习：
已知顶点在原点，焦点在x轴负半轴的抛物
线截直线y=x+3/2所得的弦长 AB 4 2，求
此抛物线的方程.
解：设抛物线方程为y2=-2px (p>0)
将直线y=x +3/2代入抛物线方程y2=-2px ，得
则
3 2 ( x ) 2 px 2 9 2 即 x (3 2 p) x 0 4 2 (3 2 p ) 9
( x b) 8x
2
即
x (2b 8) x b 0
直线与抛物线的位置关系 课件
y＝a＋1x－1， y2＝ax
有唯一一组实数解．
消去 y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，
整理得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0.
①
(1)当 a＋1＝0，即 a＝－1 时，方程①是关于 x 的一元一 次方程，解得 x＝－1，这时，原方程组有唯一解yx＝＝－－11 .
(2)当 a＋1≠0，即 a≠－1 时， 方程①是关于 x 的一元二次方程． 令 Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0， 解得 a＝0 或 a＝－45.
当 a＝0 时，原方程组有唯一解yx＝＝01 ； 当 a＝－45时，原方程组有唯一解yx＝＝－－25 . 综上，实数 a 的取值集合是－1，－45，0 .
判断直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的 方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨 论二次项系数是否为0.若该方程为二次方程，利用判别式 判断方程解的个数．
● 抛物线上一点与焦点F连线得到的线段叫做焦半径，过 焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．求抛物线的 焦半径和焦点弦长一般不用弦长公式，而是借助于抛物线 定义的功能，即把点点距转化为点线距解决．设抛物线上 任意一点P(x0，y0)，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则可根据抛物线的定义得出抛物线四种标准形式下的焦半 径及焦点弦长，公式如下：
焦点弦问题
●
已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求
弦所在的直线方程．
● 思路点拨： 弦所在直线经过焦点(1,0)，因为弦长为 36，所以可判断直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的 斜率即可．
解析： ∵过焦点的弦长为 36， ∴弦所在直线的斜率存在且不为零． 故可设弦所在直线斜率为 k. 且与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点． ∵抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)， ∴直线的方程为 y＝k(x－1)． 由yy2＝＝k4xx－1， 整理得， k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)．
直线和抛物线的关系PPT教学课件
k2x2 2(k 1)x 1 0
当 k=0时，x= 1 ,y=1. 2
故直线 y=1 与抛物线只有一个交点 .
当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则
Δ 4(k 1)2 4k2 0,k 1 .
此时直线方程为
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
x
2
1.
2
1
综上所述，所求直线方程是 x=0 或 y=1 或 y x 1.
2
点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数
形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会
造成漏解。
例3 在抛物线 y x2 上求一点，使它到直线
2x-y-4=0的距离最小.
解：设P(x,y)为抛物线 y x2 上任意一点，
则P到直线2x-y-4=0的距离
d | 2x y 4 | | 2x x2 4 | | (x 1)2 3 |
例2 求过定点P（0，1）且与抛物线 y2 2x
只有一个公共点的直线的方程.
解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是 x=0.
{ 由{
x y
0 2 2x
得
x 0 y0
故直线 x=0与抛物线只有一个交点.
(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是
y=kx+1,
ykx 1 由方程组 { y2 2x 消去 y 得
检查预习：
4、氯气的实验室制法： (1)反应原理： (2)制气类型： (3)发生装置： (4)收集方法： (5)除杂装置： (6)尾气吸收：
知知识网网络络：
CH4
光照
C2H4
C6H6 Fe
CHCl3 ClCH2CH2Cl
Cl
HCl
直线与抛物线的位置关系PPT课件
[二级结论] 1. P 为抛物线 y2＝2px 上任意一点，∠PFx＝θ，则 PF＝1－cpos θ. 2．抛物线 y2＝2px 中，斜率为 k 的弦的中点轨迹为 y＝pk.
[双基夯实]
1.[教材习题改编]过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有
一个公共点，这样的直线有( C )
A．1 条
[跟踪训练] 如图，已知抛物线 C1：y＝14x2，圆 C2：x2＋(y－1)2＝1，过点 P(t,0)(t＞0)作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切，A，B 为切点．
(1)求点 A，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．
解：(1)由题意，知直线 PA 的斜率存在，故可设直线 PA 的方程
焦点弦的性质，相交弦中点的性质，需要熟练掌握 (1)过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2， y2)两点，如果 x1＋x2＝6，则|PQ|＝( B ) A．9 B．8 C．7 D．9 解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝ －1.根据抛物线定义，可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝ x1＋x2＋2＝8.故选 B.
故y20＝－x20t＋1， x0t－y0＝0，
解得xy00＝ ＝112＋＋2tt2tt22， ，
2x2－5x＋2＝0， ∴AB 的中点到准线的距离为 x1＋2 x2＋1＝94.
题型重点研讨
考点 1 直线与抛物线的位置关系 (师生共研)
[典题 1] 已知 A(8,0)，B，C 两点分别在 y 轴上和 x 轴上运动， 并且满足A→B·B→P＝0，B→C＝C→P，
(1)求动点 P 的轨迹方程； (2)是否存在过点 A 的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 M，N 两点， 且满足Q→M·Q→N＝97，其中 Q(－1,0)，若存在，求出直线 l 的方程； 若不存在，请说明理由．
直线与抛物线的位置关系课件人教A版选修
1
实例1
给定一条直线和一条抛物线，它们相交于两个点。
2
实例2
给定一条直线和一条抛物线，它们相切于一个点。
3
实例3
给定一条直线和一条抛物线，它们不相交。
直线和抛物线的应用领域
• 物理学中，直线和抛物线用于描述物体的运动轨迹。 • 工程学中，直线和抛物线用于建筑和桥梁的设计。 • 经济学中，直线和抛物线用于市场需求和供给的分析。
直线与抛物线的位置关系 课件人教A版选修
本课件将介绍直线和抛物线的定义、特点及方程形式，以及它们在坐标系中 的表示。还将探讨直线和抛物线的交点和位置关系，并通过实例学习它们的 应用领域。
直线和抛物线的定义
1 直线
直线是由无限多点构成的，任意两点都可用 一次线段相连来代表。
2 抛物线
抛物线是由与一个点距离相等的点构成的， 该点被称为焦点。
图像
直线的图像是由无数相连的点组成的一条直线，而 抛物线的图像则呈现出一种弧形。
直线和抛物线的交点和位置关系
相交
当直线和抛物线有一个或多个 交点时，它们相交。
相切
当直线与抛物线有且仅有一个 交点时，它们相切于此交点。
不相交
当直线和抛物线没有交点时， 它们不相交。
通过实例学习直线和抛物线的位置关系
直线和抛物线的特点及方程形式
直线的特点
直线具有恒定的斜率和常数项，线性方程的一 般形式是y = mx + c。
抛物线的特点
抛物线具有二次项、一次项和常数项，二次函 数的一般形式是y = ax^2 + bx + c。
直线和抛物线在坐标系中的表示
坐标系
直线和抛物线可以在平面直角坐标系中表示，x轴和 y轴分别表示水平方向和垂直方向。
直线与抛物线的位置关系 课件
用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程______的问
题．
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
直线与抛物线的位置关系 已知抛物线 C：y2＝－2x，过点 P(1,1)的直线 l 斜率为 k，当 k 取何值时，l 与 C 有且只有一个公共点，有两个 公共点，无公共点？ [分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛 物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论之．
综上知，k<1－2
3或
1＋ k> 2
3时，l 与 C 无公共点；
k＝1±2 3或 k＝0 时，l 与 C 只有一个公共点；
1－ 2
3 <k<0
或
1＋ 0<k< 2
3时，l 与 C 有两个公共点．
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
弦长问题 顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线，截直线 2x － y ＋ 1 ＝ 0 所 得 弦 长 为 15 ， 则 抛 物 线 方 程 为 ________ __________________． [答案] y2＝12x或y2＝－4x
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[解析] 直线 l：y－1＝k(x－1)，将 x＝－y22代入整理得， ky2＋2y＋2k－2＝0．
(1)k＝0 时，把 y＝1 代入 y2＝－2x 得，x＝－12，直线 l 与
抛物线 C 只有一个公共点(－12，1)． (2)k≠0 时，Δ＝4－4k(2k－2)＝－8k2＋8k＋4．
解得 a＝12，或 a＝－4，∴所求抛物线方程为 y2＝12x，或
直线与抛物线的位置关系 课件
题型三 弦长问题
例 3 已知顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线被直线
y＝2x＋1 截得的弦长为 15，求抛物线的方程．
解析：设抛物线的方程为 y2＝2px，则
y2＝2px， y＝2x＋1，
消去 y 得：4x2－(2p－4)x＋1＝0，
∴x1＋x2＝p－2 2，x1x2＝14.
∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
直线与抛物线的位置关系
设直线l: y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直 线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋ c＝0.
(1)若 a≠0，当Δ__>__0时，直线与抛物线相交，有
两个交点；
当Δ_＝___ 0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ_<___0时，直线与抛物线相离，无公共点．
∵P1P2 的中点为(4,1)，∴6k＝2，∴k＝3，
∴所求直线方程为 y－1＝3(x－4)，
即 3x－y－11＝0.
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝
1
1＋k2
（y1＋y2）2－4y1y2＝
3 .
点评：处理中点问题的基本方法是点差法和联立方程的方
∵P1，P2 在抛物线上， ∴y21＝6x1，y22＝6x2. 两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)． ∵y1＋y2＝2，∴k＝yx11－－yx22＝y1＋6 y2＝3，
∴直线的方程为 y－1＝3(x－4)． 即 3x－y－11＝0.
由yy2＝＝36xx－，11， 得 y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝ 1＋19 22－
（－22） ＝2 3230.
2.4直线与抛物线的位置关系课件 共19页
得到一元一次方程 得到一元二次方程
直线与抛物 线相交(一 个交点)
计算判别式
1、判别式大于 0，相交(2 交点） 2、判别式等于 0，相切 3、判别式小于 0，相离
三、判断位置关系方法总结(方法二) 判断直线是否与抛物线的对称轴平行
平行
不平行
直线与抛物 线相交(一个 交点)
计算判别式 判别式大于 0，相交 判别式等于 0，相切 判别式小于 0，相离
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
3.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点
(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_ _ __， 0 _____1，
x2 y2
4.过原点与双曲线 1 交于两点的直线斜率的
取值范围是
，4233
23，
直线与抛物线的位置关系
y
O
x
一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离；2、相切；3、相交（一个交 点，两个交点）
y
O
x
与双曲线的情况一样
二、判断பைடு நூலகம்法探讨
1、直线与抛物线相离，无交点。
例：判断直线 y = x +2与
y
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得
到一元二次方
当 k=0时，x= 1 ,y=1. 2
故直线 y=1 与抛物线只有一个交点 .
当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则
Δ4(1 k2)42k0 ,k1.
此时直线方程为
y
1
2
x 1.
2
1
综上所述，所求直线方程是 x=0 或 y=1 或 y x 1.
2
点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数
抛物线方程及性质的应用 课件
证明：(1)依题意可设直线AB的方程为y＝kx＋2，代入 x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8. 直线AO的方程为y＝xy11x，BD的方程为x＝x2，
x＝x2， 则有交点D的坐标满足y＝yx1x12， 注意到x1x2＝－8及x21＝4y1，则有y＝y1xx112x2＝－4y81y1＝－2.
所以|x1－x2|＝ （x1＋x2）2－4x1x2＝ 1－2b， 所以|AB|＝ 1＋22|x1－x2|＝ 5· 1－2b＝3 5， 所以1－2b＝9，解得b＝－4＜12， 所以b的值为－4.
归纳升华 1．直线与抛物线相交题和求解直线与椭圆、双曲 线相交题方法上类似，常用韦达定理和设而不求的解题 方法． 2．涉及弦长时，常用韦达定理来表示弦长或借助 弦长公式求其他量．
所以直线l与C只有一个公共点 14，1 ，此时直线l平 行于x轴．
当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程， (1)当Δ＞0，即k＜1且k≠0时，l与C有两个公共点， 此时直线l与C相交； (2)当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直 线l与C相切； (3)当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线 l与C相离．
设直线l：x＝m，抛物线y2＝2px(p＞0)． 当m＜0时，直线与抛物线相离，无交点； 当m＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当m＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点．
2．研究直线与抛物线的位置关系，要注意直线的 斜率是否存在，直线过焦点时，要注意焦点弦公式的利 用．
类型2 直线被抛物线所截的弦长问题 [典例2] 设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两 点，已知弦AB的长为3 5，求b的值． 解：由yy＝ 2＝24xx＋，b，消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0. 由Δ＞0，得b＜12. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1－b，x1x2＝b42，