直线与抛物线的关系 课件

即 3x－y－11＝0.
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝
1
1＋k2
y1＋y22－4y1y2
＝
1 1＋9
ຫໍສະໝຸດ Baidu
22－4×－22＝2
230 3.
直线与抛物线位置关系的判断 直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何 值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公 共点．
∵y1＋y2＝2，∴k＝yx11－ －yx22＝y1＋6 y2＝3， ∴直线的方程为 y－1＝3(x－4)． 即 3x－y－11＝0.
由yy2＝＝36xx－11 ，得 y2－2y－22＝0， ∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22， ∴|P1P2|＝ 1＋91 22－4×－22＝2 3230.
法二：由题意易知直线方程的斜率存在，
解析：设抛物线的方程为 y2＝2px，则
y2＝2px
y＝2x＋1
，消去 y 得：4x2－(2p－4)x＋1＝0，
x1＋x2＝p－2 2，x1x2＝14，
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 5 x1＋x22－4x1x2
＝5
p－2 22－4×41＝ 15，则
p2－4p－12＝0，p＝－2 或 6，
∴y2＝－4x，或 y2＝12x.
设所求方程为 y－1＝k(x－4)．由yy2＝＝k6xx－4k＋1 ky2－6y－24k＋6＝0. 设弦的两端点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
，得
∴y1＋y2＝6k，y1·y2＝6－k24k.
∵P1P2 的中点为(4,1)，∴6k＝2，∴k＝3，
∴所求直线方程为 y－1＝3(x－4)，
2．涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题，主要有这样几
个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB|＝
|x2－x1|
1＋k2
或 Δ1＋k2 ；弦所在直线的方程(如中点弦、相交弦等)、
弦的中点|A的| 轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的
方法(设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出
坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决).
综上所述，当k＝1或k＝0时，l与C有一个公共点；当k＜1， 且k≠0时，l与C有两个公共点；当k＞1时，l与C没有公共点．
2．求过点P(0,2)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点 的直线方程.
答案：x＝0或y＝2或y＝
1 4
x＋2
弦长问题
已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直
线y＝2x＋1截得的弦长为 15 ，求抛物线的方程．
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
中点弦及弦长问题 若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A、B两点， 则线段AB的中点坐标是____________．
解析：y2＝4x y＝x－2
，x2－8x＋4＝0，
x1＋x2＝8，
y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
中点坐标为x1＋2 x2，y1＋2 y2＝(4,2)．
分析：直线和抛物线公共点个数的判断问题，可通过
联立直线的方程和抛物线的方程，借助于方程的判别式作
答．
解析：将l和C的方程联立得
y＝kx＋1， y2＝4x，
消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，方程(*)只有一个解x＝
1 4
，∴y＝1.
轴． ∴直线l与C只有一个公共点 14，1 ，此时直线l平行于x
p42－p＝ 3，
3．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若
线段AB的中点的横坐标是2，则|AB|＝______.
解析：y2＝8x
，k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，
y＝kx－2
x1＋x2＝4kk＋2 8＝4，得 k＝－1，或 2，
当 k＝－1 时，x2－4x＋4＝0 有两个相等的实数根，不合题意．
当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程：
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16－16k，
(1)当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时称 直线l与C相交；
(2)当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时称直线l与 C相切；
(3)当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时称直线l与C 相离．
A．(－1，－2)
B．(1,2)
C．(0,0)
D．(2,4)
4．直线y＝2x与抛物线y＝x2－4交于A、B两点，AB 两点距离为( A )
A．10
B．8
C．6
D．4
5．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛 物线焦点的距离为( D )
A．2
B．3
C. 4
D. 5
1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( C ) A．直线与抛物线有一个公共点
答案：(4,2)
1．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰
好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
解析：法一：设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两 端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，
∴y＝6x1，y＝6x2.
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
2．过点M(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点， 则这样的直线的条数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．0
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1 的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标 为2，则该抛物线的准线方程为( B )
当 k＝2 时，|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 5 x1＋x22－4x1x2
＝ 5 16－4＝2 15.
答案：2 15
1．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题， 可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的 个数问题，往往通过消元最终归结为讨论一元二次方程根的 情况．需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线 的渐近线时，直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点．
直线与抛物线的关系
1．直线y＝x与抛物线y＝x2－2的交点个数为( C )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．直线y＝x与抛物线y＝x2－2的交点坐标为( C )
A．(－1，－1)
B．(2,2)
C．(－1，－1)或(2,2)
D．(4,4)
3．直线y＝2x与抛物线y＝x2－4的交于A、B两点，AB 中点坐标为( B )