第5讲 几类典型动态规划
动态规划.pdf
第三章：动态规划3.1 动态规划的基本概念一、动态决策问题：决策过程具有阶段性和时序性(与时间有关)的决策问题。
即决策过程可划分为明显的阶段。
二、什么叫动态规划(D.P.–Dynamic Program)：多阶段决策问题最优化的一种方法。
广泛应用于工业技术、生产管理、企业管理、经济、军事等领域。
三、动态规划(D.P.)的起源：1951年,(美)数学家R.Bellman等提出最优化原理，从而建立动态规划，名著《动态规划》于1957年出版。
四、动态决策问题分类：1、按数据给出的形式分为：•离散型动态决策问题。
•连续型动态决策问题。
2、按决策过程演变的性质分为：•确定型动态决策问题。
•随机型动态决策问题。
五1、阶段(stage)n ：作出决策的若干轮次。
n = 1、2、3、4、5。
2、状态(state)S n ：每一阶段的出发位置。
构成状态集，记为S nS 1={A}，S 2={B 1,B 2,B 3}，S 3={C 1,C 2,C 3}，S 4={D 1,D 2,D 3}，S 5={E 1,E 2}。
阶段的起点。
3、决策(decision)X n ：从一个阶段某状态演变到下一个阶段某状态的选择。
构成决策集，记为D n (S n )。
阶段的终点。
D 1(S 1)={X 1(A)}={B 1,B 2,B 3}= S 2，D 2(S 2)={X 2(B 1),X 2(B 2),X 2(B 3)}={C 1,C 2,C 3}=S 3，D 3(S 3)={X 3(C 1),X 3(C 2),X 3(C 3)}={D 1,D 2,D 3}=S 4，D 4(S 4)={X 4(D 1),X 4(D 2),X 4(D 3)}={E 1,E 2}=S 5D 5(S 5)={X 5(E 1),X 5(E 2)}={F;F}={F}。
4、策略(policy)：全过程中各个阶段的决策Xn 组成的有序总体{Xn }。
如 A àB2àC1àD1àE2àF5、子策略(sub-policy)：剩下的n个阶段构成n子过程，相应的决策系列叫n子策略。
动态规划的应用举例大全
在0/1背包问题的基础上，通过动态规 划的方式解决多个约束条件下的物品 选择问题。
排程问题
作业车间调度问题
通过动态规划的方式，求解给定一组作业和机器，如何分配作业到机器上，使得 完成时间最早且总等待时间最小。
流水线调度问题
通过动态规划的方式，解决流水线上的工件调度问题，以最小化完成时间和总延 误时间。
应用场景
在基因组测序、进化生物学和生物分类学等领域中，DNA序列比对是关键步骤。通过比对，可以发现物种之间的相 似性和差异，有助于理解生物多样性和进化过程。
优势与限制
动态规划算法在DNA序列比对中具有高效性和准确性，能够处理大规模数据集。然而，对于非常长的序 列，算法可能需要较长时间来运行。
蛋白质结构预测
应用场景
深度学习中的优化算法广泛应用于语音识别、图像处理、 自然语言处理等领域，动态规划可以帮助提高训练效率和 模型的准确性。
自适应控制和系统优化
问题描述
动态规划方法
自适应控制和系统优化是针对动 态系统的优化和控制问题。在这 些问题中，动态规划可以用于求 解最优控制策略和系统参数调整。
通过定义状态转移方程和代价函 数，将自适应控制和系统优化问 题转化为动态规划问题。状态表 示系统的当前状态和参数，代价 函数描述了在不同状态下采取不 同行动的代价。
考虑风险因素和概率
动态规划可以考虑到风险因素和概率，以制定最优的风险评估和管 理策略。
考虑风险承受能力和资本充足率
动态规划可以考虑到风险承受能力和资本充足率，以制定最优的风 险评估和管理策略。
04 动态规划在生物信息学中 的应用
DNA序列比对
算法描述
DNA序列比对是生物信息学中常见的问题，通过动态规划算法可以高效地解决。算法将DNA序列视为字符串，并寻 找两个或多个序列之间的最佳匹配。
动态规划的基本原理和基本应用
动态规划的基本原理和基本应用动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将一个问题分解为较小的子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。
动态规划的基本原理是通过记忆化或自底向上的迭代方式来求解问题，以减少不必要的重复计算。
它在计算机科学和数学中具有广泛的应用，尤其是在优化、组合数学和操作研究等领域。
1.确定最优子结构：将原问题分解为较小的子问题，并且子问题的最优解能够推导出原问题的最优解。
2.定义状态：确定存储子问题解的状态变量和状态方程。
3.确定边界条件：确定初始子问题的解，也称为边界状态。
4.递推计算：利用状态方程将子问题的解计算出来，并存储在状态变量中。
5.求解最优解：通过遍历状态变量找到最优解。
1.背包问题：背包问题是动态规划的经典应用之一、它有多种变体，其中最基本的是0/1背包问题，即在限定容量的背包中选择物品，使得所选物品的总价值最大。
可以使用动态规划的思想来解决背包问题，确定状态为背包容量和可选物品，递推计算每个状态下的最优解。
2. 最长递增子序列：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是一种常见的子序列问题。
给定一个序列，找到其中最长的递增子序列。
可以使用动态规划来解决这个问题，状态可以定义为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度，并递推计算每个状态的解。
3.矩阵链乘法：矩阵链乘法是一种优化矩阵连乘计算的方法。
给定一系列矩阵，求解它们相乘的最小计算次数。
可以使用动态规划解决矩阵链乘法问题，状态可以定义为矩阵链的起始和结束位置，递推计算每个状态下最小计算次数。
4.最短路径问题：最短路径问题是在有向图或无向图中找到两个节点之间最短路径的问题。
可以使用动态规划解决最短路径问题，状态可以定义为起始节点到一些节点的最短距离，递推计算每个状态的最优解。
动态规划算法的详细原理及使用案例
动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。
本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。
二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。
其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。
具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。
这种分解可以通过递归的方式进行。
2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。
状态具有明确的定义和可计算的表达式。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。
这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。
4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。
三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。
假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。
目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。
这个问题可以通过动态规划算法来求解。
具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。
（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。
（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。
2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。
动态规划(生产和存储问题)
动态规划（生产和存储问题）一、动态规划法的发展及其研究内容动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.BELLMAN等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。
二、动态规划法基本概念一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：1．阶段阶段（stage）是对整个过程的自然划分。
通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。
阶段变量一般用k=1.2….n.表示。
1.状态状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。
它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。
通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。
描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。
变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。
用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。
n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。
动态规划算法教学PPT
03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。
动态规划-例题众多-详细讲解
步骤2：状态转移方程：
步骤3：以自底向上的方法来计算最优解
12
程序的实现
BuyTicks(T, R)
1 n ← length[T]
2 f[0] ← 0
3 f[1] ← T[1]
4 for i ← 2 to n do
5
f[i] ← f[i-2]+R[i-1]
6
if f[i] > f[i-1]+T[i] then
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
2
递归 vs 动态规划
递归版本:
F(n)
1 if n=0 or n=1 then
2
return 1
3 else
4
return F(n-1) + F(n-2)
太慢!
动态规划:
F(n)
1 A[0] = A[1] ← 1
这里是某支股票的价格清单： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87 最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是： 日期 2 5 6 10 价格 69 68 64 62 输入 第1行: N (1 <= N <= 5000)，股票发行天数 第2行: N个数，是每天的股票价格。 输出 输出文件仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(<=231) 当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方 案被认为是相同的。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要 几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
动态规划算法的常见实例
动态规划算法的常见实例动态规划算法是一种将复杂问题分解为简单子问题来解决的算法，它可被应用于多个领域中，如经济学、生物学、计算机科学等。
在本文中，我们将详细讨论动态规划算法的常见实例。
一、最长公共子序列问题最长公共子序列（LCS）问题是一个经典的计算机科学问题，它要求在两个字符串中找到最长的相同连续子序列。
例如，对于字符串“ABCD”和“ACDF”，最长公共子序列为“ACD”。
使用动态规划方法来解决LCS问题。
首先定义一个m行n列的二维矩阵，其中m和n分别表示两个字符串的长度。
然后，使用以下递推关系：1. 如果一个字符串的长度为0，LCS为0。
2. 如果两个字符不相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合的最大值。
3. 如果两个字符相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合所组成的子序列中的最大值加1。
最后，矩阵右下角的值就是LCS的长度。
二、背包问题背包问题（Knapsack problem）是一个经典的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学和其他领域。
在一个决策者必须决定是否将某些物品放入背包中的场景中，背包问题就发挥了作用。
具体来说，我们要解决的问题是：对于一个固定容量的背包，有一些物品，它们的重量和价值都不同，如何在不超过背包容量的前提下，使所装载物品的总价值最大化。
一种解决方案是使用动态规划方法。
定义一个二维数组，其行表示物品，列表示背包大小。
然后，使用以下递推关系：1. 如果所考虑的物品重量大于背包容量，则不选此物品。
2. 否则，在选取该物品和不选该物品两种情况中选择最优解作为最终结果。
最后，矩阵中右下角的值就是最大的总价值。
三、矩阵链乘法矩阵链乘法是一种计算矩阵乘积的优化算法。
它使用动态规划算法来确定矩阵乘积的最小值。
对于一个长度为n的矩阵链，我们可以定义一个n×n 的矩阵M，其中第i行第j列的元素Mi，j表示第i个矩阵与第j个矩阵相乘的最小次数。
动态规划应用案例
动态规划应用案例动态规划是一种解决复杂问题的优化算法。
它通过将问题拆分成多个子问题，并记录每个子问题的解，以避免重复计算，从而提高算法的效率。
在实际应用中，动态规划被广泛用于解决各种问题，包括最优化问题、路径搜索问题、序列问题等。
本文将介绍几个动态规划的应用案例，以展示其在实际问题中的强大能力。
案例一：背包问题背包问题是动态规划中经典的一个例子。
假设有一个背包，容量为V，现有n个物品，每个物品的重量为wi，价值为vi。
要求在不超过背包容量的前提下，选取一些物品放入背包，使得背包中的物品总价值最大。
这个问题可以用动态规划来解决。
首先定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品，使得它们的总重量不超过j时的最大总价值。
然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)最后，根据状态转移方程，可以循环计算出dp[n][V]的值，即背包中物品总价值的最大值，从而解决了背包问题。
案例二：最长递增子序列最长递增子序列是指在一个序列中，选取一些数字，使得这些数字按照顺序排列，且长度最长。
动态规划也可以应用于解决最长递增子序列问题。
假设有一个序列nums，长度为n。
定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示以nums[i]为结尾的最长递增子序列的长度。
然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中j < i且nums[j] < nums[i]最后，循环计算出dp数组中的最大值，即为最长递增子序列的长度。
案例三：最大子数组和最大子数组和问题是指在一个数组中，选取一段连续的子数组，使得子数组的和最大。
动态规划也可以用于解决最大子数组和问题。
假设有一个数组nums，长度为n。
定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示以nums[i]为结尾的连续子数组的最大和。
然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])最后，循环计算出dp数组中的最大值，即为最大子数组的和。
运筹学第五章动态规划
和 dk 2 (sk ))；
(4) 允许决策集： D k ( s k ) ( x k , y k ) 0 ≤ y k ≤ s k ; 0 ≤ x k ≤ 1 0 0 0 ( s k y k )
状态转移方程： s k 1 s k x k y k ,s 1 5 0 0k4,3,2,1
其中s 5 表示第四阶段末的状态； (5) 阶段指标： v k ( s k ,x k ,y k ) q k y k p k x k ，k4,3,2,1；
5.1 动态规划的基本概念和模型
5.1.1 动态规划的基本概念
下面结合实例来介绍动态规划的基本概念：
【例5.1】 如图5.1所示，在处有一水库，现需从点铺设一条 管道到点，弧上的数字表示与其相连的两个地点之间所需修建 的渠道长度，请找出一条由到的修建线路，使得所需修建的渠 道长度最短。
2
A4
3
B
7
(1) 按月份分段： k4,3,2,1；
(2) 状态变量： s k 表示第 k 个月月初的库存量；
(3) 决策变量： dk1(sk表) 示第 k 个月已有库存 s的k 情况下，要定
购的商品量， dk2表(sk示) 第 个月k 已有库存 的商品量(为方便，后面将分别依次用 ，
的 来x sk 情 代k y况 替k 下，要d销k1(售sk )
(6) 动态规划基本方程：
fk(s k) (x k,y m k) a D x k(s k)v k(s k,x k,y k) fk 1 (s k 1 )
f5 (s 5 ) 0 k 4 ,3 ,2 ,1
求解（要求板书） 辅图1
辅图2
辅图3
5.2.3 动态规划的顺序解法
【 例 5.3】 图 5.3 所 示 为 一 水 利 网 络 ， A 为 水 库 ， 分B 1 ,别B 2 为,B 3 不;C 同1 ,C 的2 ,供C 3 水;D 目1 ,D 的2地，试找出给各供水目的地供水的 最短路线。
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最长不下降序列-分析
由于当前记录的最长不下降序列是 7 9 16 38 ，而实际上应该有了更长的子 序列 7 9 16 24 27。 13 7 9 16 38 24 27 38 44 49 21 52 63 15
5
我们定义F(i) 为原始序列长度为I 的最长不下降序列，则F(I)只有一个子问 题F(I-1)，即原始序列长度为I-1的最长不下降序列。而且我们无法得出问题 与子问题之间的“最优子结构”性质。 重新思考关于问题的定义。我们定义问题F(i)为以bi结束的最长不下降序列。 则得到如下的分析结果： 下标I 序列 F(I) 前趋结点下标 1 13 1 1 2 13 7 1 2 3 13 7 9 2 2 4 13 7 9 16 3 3 5 13 7 9 16 38 4 4 6 13 7 9 16 38 24 4 4 7 13 7 9 16 38 24 27 5 6 8 13 7 9 16 38 24 27 38 6 7
4
从前往后分析。从序列长度为1开始，逐步放大序列长度，2，3，4……看看 要求的结果的变化规律。我们可能会很直接地想到，把问题定义成当前最长 不下降序列。 序列长度 序列 当前最长不下降序列长度 1 13 1 2 13 7 1 3 13 7 9 2 4 13 7 9 16 3 5 13 7 9 16 38 4 6 13 7 9 16 38 24 4 （24<38, 长度不增加） 7 13 7 9 16 38 24 27 ? (凭什么计算出当前值？)
{
int out=0; for(int i=0;i<n;i++) out=max(out,dp[i]); cout<<out<<" "; cout<<count[n]<<endl; }
9
最小代价子母树-问题
问题描述：设有n堆沙子排成一排，其编号为1，2，3，…，n （n<=100）。每堆沙子有一定的数量，如下表： 13 7 8 16 21 4 18 现要将n堆沙子归并为一堆。归并的过程为每次只能将相邻的两堆 沙子堆成一堆，这样经过n-1次归并之后最后成为一堆。如上 面7堆沙子，可以有多种方法归并成一堆。其中的2种方法入下 图：
13
7 8 16 20 (b) 总代价=43+0+44=87 13 16
7
8
16
(d) 总代价=0+46+44=90
(c) 总代价=20+24+44=88
最小代价子母树-分析
递归地定义最优解的值
引入记号G(i,j)表示第i堆沙到第j堆沙的数量和。
G(1,1)=13 G(1,2)=20 G(1,3)=28 G(2,3)=?
动态规划法所针对的问题有一个显著的特征，即它所对应 的子问题树中的子问题呈现大量的重复。动态规划法的关 键就在于，对于重复出现的子问题，只在第一次遇到时加 以求解，并把答案保存起来，让以后再遇到时直接引用， 不必重新求解。
3
求最长不下降序列
问题描述： 设有一个正整数的序列：b1, b2, …bn, 对于下标 i1<i2<…ih, 若有bi1<bi2<…<bih，则称存在一个长度为h 的不下降序列。 问题：当给定b1, b2, …bn后，求出最长的不下降序列h及这 个序列中的各个数。
13 7 8 16 21 4 18
20
24
25
44 69 10 87
最小代价子母树-问题
13 7 8 16 21 4 18 15 28 37 22 59
归并的代价是这样定义的，将两堆沙子归并为一堆时，两堆沙子数量的和 称为归并2堆沙子的代价。如上图中，将 7和8归并为一堆的代价为20。归并 87 的总代价指的是将沙子全部归并为一堆沙子的代价的和。如上面的2种归并 方法中， 第1种的总代价为 20+24+25+44+69+87 = 267 第2种的总代价为 15+37+22+28+59+87 = 248 由此可见，不同归并过程得到的总的归并代价是不一样的。 问题：当n堆沙子的数量给出后，找出一种合理的归并方法，使总的归并代 价为最小。
22
{归并3~4}
最小代价子母树-分析
递归地定义最优解的值
F(i,j)= MIN{F(i,i)+F(i+1,j), F(i,i+1)+F(i+2,j), …, F(i,j-2)+F(j-1,j),
F(i,j-1)+F(j,j)}+G(i,j) 递归式的边界条件是:
F(i,j) = 0
IF i=j
（3）n=4 时共有5种堆堆归并。这是上图(a)、(b)的情形。可以看到(b)
第2类：先归并1~2堆，3~4堆，再归并为一堆。这是上图(c)的情形。
最小代价子母树 分析 要占优是因为(b)中1~3堆是最小代价归并方案。
要占优是因为(d)中2~4堆是最小代价归并方案。
44
44
28 20 13 7 8 16
20
24
(a) 总代价=20+28+44=92 44 31 15 13 7 8 16
(b) 总代价=15+28+44=87 44
(c) 总代价=20+24+44=88
31 24 13 7 8 16
14 (d) 总代价=15+31+44=90
(e) 总代价=24+31+44=99
7
13 7 9 16 38 24 27 38 44 49 21 52 63 15
void lds(int n){ for(int i=1;i<=n;i++) { dp[i]=1; t=-1; for(int j=i-1;j>=0;j--) { if(data[i] < data[j]) { if(dp[j]+1==dp[i]&&data[j]!=t) count[i]+=count[j]; t=data[j]; } else if(dp[j]+1>dp[i]) { dp[i]=dp[j]+1; count[i]=count[j]; t=data[j]; } } 8}
44
44 44 20 15 13 7 8 16 21 (b) 总代价=43+0+44=87 13 24 15 31
G(2,4)=?
28
7
8
16
13
7
8
16
(c) 总代价=20+24+44=88
(d) 总代价=0+46+44=90
最小代价子母树-分析
递归地定义最优解的值 因此，F(1,4) = MIN{F(1,1)+F(2,4), F(1,2)+F(3,4), F(1,3)+F(4,4)}+G(1,4) {归并1~4} F(2,4)=MIN{F(2,2)+F(3,4), F(2,3)+F(4,4)}+G(2,4) {归并2~4} F(3,4)=MIN{F(3,3)+F(4,4)}+G(3,4) F(1,3)=? F(1,2)=? 我们看到归并1~4沙堆的子问题不只包括1~2, 1~3等，还包括2~3, 3~4, 2~4等。因此我们定义问题时不能只定义为F(n), 意思是合并 1~n堆沙。而必须定义为F(i,j).
i j 0 F(i, j) min{F(i,k) F(k 1, j)} G(i, j) (i k j -1) i j
F(I) 1 1 2 3 4 4 5 6 前趋结点下标 1 2 2 3 4 4 6 7
下标I 序列 1 13 2 13 7 3 13 7 9 4 13 7 9 16 5 13 7 9 16 38 6 13 7 9 16 38 24 7 13 7 9 16 38 24 27 8 13 7 9 16 38 24 27 38
总代价=20+28=48
当n=3时，有2种堆法。由于最后归并的代价为全部沙子数量的 和，对任何归并方案都是相同，因此总的代价将取决于第一次归 并。由于左边堆法第一次归并代价为15，优于右边堆法20，因此 总代价左边为优。
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最小代价子母树-分析
（3）n=4 请你先画一画有几种堆法。
44 28 15 13 7 8 16 13 7 8 16
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（2）问题的最优解必然是这三种分解方案之一的结果为最优。从上图可以看到，
最小代价子母树 分析 归并1~3的最优解。也就是说，在问题（归并1~4堆）的一个最优解中，包含
是①方案的结果为最优。而①方案实际有两种堆法，可以看到最终入选的是
着子问题（归并1~3堆）的一个最优解。
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（3）请一定要注意的是，参与“竞选”的②③两种方案的子问题 也必须是由子问题的最优解构成，否则根本没有机会获胜。例如， 在归并2~4堆的子问题中，只有(d)有机会获胜，调小第4堆的数 值可以实现这一点，大家可以试一试。但是不管怎样调小数值， (e)都不可能获胜。因为(e)不是归并2~4堆的最优解，(d)才是！ 同样，在②方案中，归并1~2，归并3~4两个子问题也都是最优 解。 （4）如果我们继续分析增加更多堆数进行归并的问题，就会发现n 个沙堆归并时，会分解为n-1种类型： Case1: “归并”第1堆，归并2~n堆；再最后归并 Case2: 归并1~2堆，归并3~n堆；再最后归并 Case3: 归并1~3堆，归并4~n堆；再最后归并 …… Case n-2: 归并1~n-2堆，归并n-1~n堆；再最后归并 Case n-1: 归并1~n-1堆，“归并”第n堆；再最后归并