河南省南阳市高二下学期数学期末考试试卷(文科)
D . ＞1与lgx＜0
9. （2分） 若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是（ ）
A . p且q
B . p或q
C . 非p
D . 以上都不对
10. （2分） (2018·枣庄模拟) 已知定义在 上的函数 满足条件：①对任意的 ，都有 ；②对任意的 且 ，都 有；③函数 的图象关于 轴对称，则下列结论正确的是 （ ）
21. （10分） (2018·潍坊模拟) 已知 .
（1） 若 ，求 的取值范围；
（2） 已知 ，若 使 成立，求 的取值范围.
四、 选做题 (共2题；共15分)
22. （5分） (2017·合肥模拟) 已知曲线C1的参数方程为 （θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2cosθ+4sinθ．
（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程．
（Ⅱ）曲线C1 ， C2是否相交，若不相交，请说明理由；若交于一点，则求出此点的极坐标；若交于两点，则求出过两点的直线的极坐标方程．
23. （10分） (2019高三上·沈阳月考) 已知函数 .
（1） 若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（2） 在（1）的条件下，若存在 使得 成立，求实数 的取值范围.
20-2、
21-1、
21-2、
四、 选做题 (共2题；共15分)
22-1、
23-1、
23-2、
参考答案
一、 选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、 填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、 解答题 (共5题；共40分)
17-1、
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.40Βιβλιοθήκη 50.60.60.4
（1） 求小李这5天的平均投篮命中率；
（2） 用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率． ．
20. （10分） (2018高三上·鹤岗月考) 已知函数 的图像在 处的切线与直线 平行.
（1） 求函数 的极值；
（2） 若 ，求实数m的取值范围.
河南省南阳市高二下学期数学期末考试试卷（文科）
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018高三上·成都月考) 设集合 ， ，则 （ ）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2019高三上·潍坊期中) 已知命题 ，那么 是（ ）
（1）设复数 ，求|z1|；
（2）设复数 ，且复数z2所对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
18. （5分） 设全集是实数集R，集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x≥a}．
（1）当a=1时，求∁R（A∪B）；
（2）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．
19. （10分） (2015高三上·荣昌期中) 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：
15. （1分） (2016高二下·衡阳期中) 已知函数 ，则f（2）=________．
16. （1分） (2016高一下·河源期中) 若函数f（x）=|x+1|+|ax﹣1|是偶函数，则a=________．
三、 解答题 (共5题；共40分)
17. （5分） (2017高二下·张家口期末) 已知复数z＝1＋mi（i是虚数单位，m∈R），且 为纯虚数（ 是z的共轭复数）．
A . 函数 的值域为
B . 函数 的最大值为8
C . 函数 在 上单调递减
D . 函数 满足
7. （2分） 曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2016高二上·大连期中) 下列四组不等式中，同解的一组是（ ）
A . 与（x﹣2）（x﹣1）≥0
B . ＞1与x＞1
A .
B .
C .
D .
3. （2分） 函数f(x)= + 的定义域是（ ）
A .
B .
C .
D . ｛x｜-3≤x<6且x≠5｝
4. （2分） (2018·全国Ⅱ卷理) 为计算 ,设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
A . i=i+1
B . i=i+2
C . i=i+3
D . i=i+4
5. （2分） (2017高二下·眉山期末) 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为 和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为 ．假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（ ）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2019高一下·西城期末) 如图，在空间四边形 中，两条对角线 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边 分别相交于点 ，记四边形 的面积为y，设 ，则（ ）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2016高一下·滁州期中) 若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（ ）
A . [0，2]
B . [﹣2，0]
C . [﹣2，+∞）
D . （﹣∞，﹣2]
12. （2分） (2017·天心模拟) 若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（ ）
A .
B .
C .
D .
二、 填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高二上·苏州月考) “ ”是“直线 和直线 互相平行”的________条件（用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或 “既不充分又不必要”填空）．
14. （1分） (2018高二上·潮州期末) 命题若 ,则 都为零的逆否命题是________．
河南省南阳市高二下学期数学期末考试试卷(文科)
河南省南阳市高二下学期数学期末考试试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知i为虚数单位，则（）A . 1+iB . -1+iC . 1-iD . -1-i2. （2分） (2017高二上·唐山期末) “a=﹣1”是“直线ax+3y+2=0与直线x+（a﹣2）y+1=0平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2019高二上·上高月考) 若命题“ ，”是假命题，则实数x的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）(2016·四川文) 已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A . ﹣4B . ﹣2C . 4D . 25. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 已知等比数列满足，且，则当时，（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二下·宁波期中) 函数的导函数的图象如图所示，则（）A . 在上单调递增B . 在单调递增C . 在上单调递减D . 在上单调递增7. （2分） (2019高二下·潮州期末) 当时，函数，则下列大小关系正确的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高三上·潍坊期中) 函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（）A . （0，）B . （，）C . （，）D . （，1）9. （2分） (2016高一上·安阳期中) 若函数f（x）满足f（x﹣1）=x2+1，则f（﹣1）=（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）(2018高二下·辽宁期末) 已知是周期为4的偶函数，当时，则（）A . 0B . 1C . 2D . 311. （2分）如图,直角坐标平面内的正六边形ABCDEF，中心在原点，边长为a，AB平行于x轴，直线（k为常数）与正六边形交于M、N两点，记的面积为S，则关于函数的奇偶性的判断正确的是（）A . 一定是奇函数B . —定是偶函数C . 既不是奇函数，也不是偶函数D . 奇偶性与k有关12. （2分）已知定义在R上的减函数y=f（x），若实数a，b使不等式f（a2﹣2a）≥f（b2﹣2b）恒成立，则当1≤b≤2时，的取值范围是（）A . [0，3]B . （0，3]C . [1，2]D . （1，2]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·辽宁期末) 已知函数 , 若对任意的 , 不等式恒成立, 则的取值范围是________.14. （1分）设函数图像上任意一点处的切线为，函数的图象上总存在一条切线，使得，则实数的取值范围为________15. （1分）设f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上递减，f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为________16. （1分）(2017·黄石模拟) 对于下列命题：①在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；②已知a，b，c是△ABC的三边长，若a=2，b=5，，则△ABC有两组解；③设，，，则a＞b＞c；④将函数图象向左平移个单位，得到函数图象．其中正确命题的序号是________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （15分）(2017·延边模拟) 已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1 ， x2 ，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m的最大值．18. （5分）已知函数f（x）=（m，n∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（x））处的切线方程为x+ey﹣3=0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当n=﹣1，m∈R时，若对于任意都有f（x）≥x恒成立，求实数m的最小值；（Ⅲ）当m=n=1时，设函数g（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x（t∈R），是否存在实数a，b∈[0，1]，使得2g （a）＜g（b）？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．19. （10分） (2016高二上·徐州期中) 命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），命题q：实数x 满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20. （15分） (2019高一上·双鸭山期中) 定义在上的函数对任意的，满足条件：，且当时， .（1）求的值；（2）证明：函数是上的单调增函数；（3）解关于的不等式 .21. （10分） (2018高一下·淮北期末) 某名学生在连续五次考试中数学成绩与物理成绩如下：数学（）7075808590物理（）6065707580（1）用茎叶图表示数学成绩与物理成绩；（2）数学成绩为，物理成绩为，求变量与之间的回归直线方程.（注：，）22. （15分）(2019·黄冈模拟) 已知函数，（1）求函数图象上一点处的切线方程．（2）若方程在内有两个不等实根，求实数a的取值范围为自然对数的底数．（3）求证，且参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、17-3、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
2020-2021学年河南省南阳市高二下学期期末考试数学(文)试卷及解析
2020-2021学年河南省南阳市高二下学期期末考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.1．已知，i为虚数单位，则ω2﹣ω+1的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．i解：∵，∴＝，则ω2﹣ω+1＝．故选：B．2．把两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中，顺序较为恰当的是（）①平行②垂直③相交④斜交．A．①②③④B．①④②③C．①③②④D．②①③④解：根据两条直线的位置关系，分析四个答案中的要素之间关系，①③均为逻辑关系，②④是从属关系．故选：C．3．在二维空间中，圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr2；在三维空间中，球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积）．应用类比推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度V＝12πr3，则其四维测度W＝（）A．4πr4B．3πr4C．2πr4D．πr4解：二维空间中圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr2；观察发现S′＝l，三维空间中球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积），观察发现V′＝S，四维空间中“特级球“的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W，则W′＝V＝12πr3，∴W＝3πr4，故选：B．4．已知某产品的销售额y（单位：万元）与广告费用x（单位：万元）之间的关系如表：x（单位：万0 1 2 3 4元）y（单位：万10 15 m30 35元）若根据表中的数据用最小二乘法求得y与x 的回归直线方程为＝6.5x+9，则下列说法中错误的是（）A．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元B．该回归直线过点（2，22）C．产品的销售额与广告费用成正相关D．m的值是20解：因为y与x 的回归直线方程为＝6.5x+9，当x＝10时，＝6.5×10+9＝74，则74为估计值，不是确定值，故选项A错误；由题意，，因为回归方程必过样本中心，则，所以该回归直线过点（2，22），故选项B正确；因为6.5＞0，则产品的销售额与广告费用成正相关，故选项C正确；因为＝22，则m＝20，故选项D正确．故选：A．5．极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）＝0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）＝0⇒ρ＝1或θ＝π，ρ＝1是半径为1的圆，θ＝π是一条射线．故选：C．6．执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝（）A．B．C．D．解：由程序框图知：第一次循环M＝1+＝，a＝2，b＝，n＝2；第二次循环M＝2+＝，a＝，b＝，n＝3；第三次循环M＝+＝，a＝，b＝，n＝4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M＝．故选：D．7．若复数z满足z（1﹣i）＝2i，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为i B．z的共轭复数为＝﹣1+iC．|z|＝2 D．z对应的点在第二象限解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝＝﹣1+i，∴z的虚部为1，故A错误；z的共轭复数为﹣1﹣i，故B错误；|z|＝，故C错误；z对应的点的坐标为（﹣1，1），在第二象限，故D正确．故选：D．8．在极坐标系中，两条曲线，的交点为A，B，则|AB|＝（）A．4 B．C．2 D．1解：∵曲线，，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y＝1，即＝0，曲线C2的直角坐标方程为x2+y2＝2，圆心C2（0，0）到直线x+y﹣＝0的距离d＝＝1，∴|AB|＝2＝2＝2．故选：C．9．若两个正实数x，y满足+＝1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围（）A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）解：∵不等式有解，∴（x+）min＜m2﹣3m，∵x＞0，y＞0，且，∴x+＝（x+）（）＝+2＝4，当且仅当，即x＝2，y＝8时取“＝”，∴（x+）min＝4，故m2﹣3m＞4，即（m+1）（m﹣4）＞0，解得m＜﹣1或m＞4，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．故选：B．10．点P所在轨迹的极坐标方程为ρ＝2cosθ，点Q所在轨迹的参数方程为在（t 为参数）上，则|PQ|的最小值是（）A．2 B．C．1 D．解：点P所在轨迹的极坐标方程为ρ＝2cosθ，化为直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1，圆心坐标（1，0），半径为：1；点Q所在轨迹的参数方程为在（t为参数）上，则|PQ|的最小值是点Q与圆的圆心的距离的最小值减去1，|PQ|＝﹣1＝﹣1≥2﹣1＝1，故选：C．11．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3…，24这24个整数中等可能随机产生．则按程序框图正确编程运行时输出y的值为3的概率为（）A．B．C．D．解：模拟程序的运行，可得：x的值为：6，12，18，24时，y＝3，所以：P3＝＝．故选：B．12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），记f1（x）＝f′（x），f2（x）＝f1′（x），…，f（x）＝f n′（x）（n∈N*）．若f（x）＝x sin x，则f2019（x）+f2021（x）＝（）n+1A．﹣2cos x B．﹣2sin x C．2cos x D．2sin x解：f（x）＝x sin x，则f1（x）＝f′（x）＝sin x+x cos x，f（x）＝f1′（x）＝cos x+cos x﹣x sin x＝2cos x﹣x sin x，2f（x）＝f2′（x）＝﹣2sin x﹣sin x﹣x cos x＝﹣3sin x﹣x cos x3f（x）＝f3′（x）＝﹣3cos x﹣cos x+x sin x＝﹣4cos x+x sin x4f（x）＝f4′（x）＝4sin x+sin x+x cos x＝5sin x+x cos x5f（x）＝f5′（x）＝5cos+cos x﹣x sin x＝6cos x﹣x sin x，6f（x）＝f6′（x）＝﹣6sin x﹣sin x﹣x cos x＝﹣7sin x﹣x cos x7…，则f1（x）+f3（x）＝sin x+x cos x﹣3sin x﹣x cos x＝﹣2sin x，f（x）+f5（x）＝﹣3sin x﹣x cos x+5sin x+x cos x＝2sin x，3f（x）+f7（x）＝5sin x+x cos x﹣7sin x﹣x cos x＝﹣2sin x，5即f4n+1（x）+f4n+3（x）＝﹣2sin x，f（x）+f4n+5（x）＝2sin x4n+3则f2019（x）+f2021（x）＝2sin x，故选：D．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．复数，复数是z的共轭复数，则z•＝．解：∵，∴|z|＝||＝，∴z•＝．故答案为：．14．已知直线的参数方程为（t为参数），则该直线被圆x2+y2＝9截得的弦长为．解：将直线参数方程（t为参数），代入圆的方程中，可得5t2+8t﹣4＝0，设方程的两根分别为t1，t2，根据韦达定理，可得，，∴该直线被圆x2+y2＝9截得的弦长为＝＝．故答案为：．15．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的n个值x1，x2，…x n，总满足），称函数f（x）为D上的凸函数；现已知f（x）＝sin x在（0，π）上是凸函数，则△ABC中，sin A+sin B+sin C最大值是．解：∵f（x）＝sin x在区间（0，π）上是凸函数，且A、B、C∈（0，π），∴≤f（）＝f（），即sin A+sin B+sin C≤3sin ＝，所以sin A+sin B+sin C的最大值为．故答案为：．16．瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V、棱数E及面数F满足等式V﹣E+F＝2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，共有32个面，是由m块白色正六边形面料和32﹣m块黑色正五边形面料构成的．则m的值为20 ．解：由题意可知，该几何体的顶点数为V＝＝，棱数为E＝＝，又F＝32，由欧拉多面体公式得：﹣+32＝2，解得m＝20，故答案为：20．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（1）在①，②z为纯虚数，③z为非零实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（m2﹣3m﹣4）i，（i为虚数单位为z的共轭复数，若 ______．求实数m的值；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）（2）若ω＝1﹣i是关于x的实系数一元二次方程：x2+ax+b＝0的一个根，求a，b的值及方程的另一个根．解：（1）选条件①：∵，∴2（m2﹣2m﹣3）＝﹣8，解得m＝1．选条件②：∵z为纯虚数，∴，解得m＝3．选条件③：∵z为非零实数，∴，解得m＝4．（2）因为ω＝1﹣i为实系数一元二次方程：x2+ax+b＝0的一个根，∴（1﹣i）2+a（1﹣i）+b＝0，解得：a＝﹣2，b＝2，∴原方程为x2﹣2x+2＝0，配方得：（x﹣1）2＝i2，解得x1＝1+i，x2＝1﹣i．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）求证：A，B，C中至少有一个角大于或等于60°；（2）若角A，B，C成等差数列，证明．【解答】证明：（1）假设结论不成立，即0°＜A＜60°，0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，则A+B+C＜180°，这与A+B+C＝180°相矛盾，所以假设不成立，故A，B，C中至少有一个角大于或等于60°．（2）要证，只需证，即证，即证c（b+c）+a（a+b）＝（a+b）（b+c），即c2+a2＝ac+b2，又因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，由余弦定理得，b2＝c2+a2﹣2ac cos60°＝c2+a2﹣ac，所以c2+a2＝ac+b2，故成立．19．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M为C1上的动点，P点满足，设点P的轨迹为曲线C．2（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求线段AB的长度．解：（1）设点P（x，y），M（2cosα，2+2sinα），则由得：x＝4cosα，y＝4+4sinα，消参得：x2+（y﹣4）2＝16．转化为极坐标方程得：ρ＝8sinθ，所以C2的极坐标方程ρ＝8sinθ，同理可得C1的极坐标方程ρ＝4sinθ．（2）在极坐标系，可得，，所以．20．（1）已知a，b，x均为正数，且a＞b，求证：；（2）根据生活常识“淡糖水再加糖会更甜”，请给出类似第（1）小题的命题，并予以证明；（3）证明：△ABC 中，．（可直接应用第（1）（2）小题的结论）解：（1）证明：a，b，x均为正数，∵a＞b，∴a+x＞b+x＞0，∴，，∴，即得证．（2）已知a，b，x均为正数，a＜b，则，证明：a＜b，根据（1）知，取倒数，得到，即得证．（3）证明：在△ABC 中，根据正弦定理可知：，同理可得：，．21．遵守交通规则，人人有责．“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定，也是全国文明城市测评中的重要内容．《道路交通安全法》第47条明确规定：“机动车行经人行横道时，应当减速行驶，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过道路，应当避让．否则扣3分罚200元”．如表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份 1 2 3 4125 105 100 90违章驾驶员人数（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x 之间的回归直线方程+a，并预测该路囗2021年5月不“礼让行人”驾驶员的大约人数（四舍五入）；（2）交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到如表：不礼让行人礼让行人驾龄不超过2年10 20驾龄2年以上8 12能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？参考公式：＝＝．P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 K2＝，其中n＝a+b+c+d．解：（1）由表中数据知，＝,＝,所以＝,所以＝,故所求回归直线方程为,令x＝5，则人,所以预测该路口5月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为78人．（2）由表中数据得,根据统计知，没有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）当k＝1时，求C1和C2的直角坐标方程；（2）当k＝2时，C1与C2交于A，B两点，设P的直角坐标为（0，1），求的值．解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为，当k＝1时，曲线C2的极坐标方程为，转换为3ρsin（）＝4，根据，转换为直角坐标方程为3x+3y﹣4．（2）当k＝2时，，转换为，根据转换为直角坐标方程为4x2+y2＝4．把曲线C1的参数方程为（t为参数），代入4x2+y2＝4，得到，所以，，所以＝．。
2016-2017学年河南省南阳市高二(下)期末数学试卷及答案(文科)
2016-2017学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z满足（z+i）（1﹣i）＝2+i，则z＝（）A．B．C．D．2．（5分）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A．＝﹣10x+200B．＝10x+200C．＝﹣10x﹣200D．＝10x﹣200 3．（5分）如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）A．B．C．D．4．（5分）用反证法证明“方程ax2+bx+c＝0（a≠0）至多有两个解”的假设中，正确的是（）A．至多有一个解B．有且只有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解5．（5分）若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，那么复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（5分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（）A．B．C．D．7．（5分）直线（t为参数）与圆（θ为参数）的位置关系是（）A．相离B．相切C．过圆心D．相交不过圆心8．（5分）下列有关线性回归分析的四个命题：①线性回归直线必过样本数据的中心点（，）；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③当相关性系数r＞0时，两个变量正相关；④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1．其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（5分）极坐标方程ρ＝所表示的图形是（）A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．圆10．（5分）已知自然数按如下规律排数对：（0，1），（1，0），（0，2），（1，1），（2，0），（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），…，则第60个数对是（）A．（3，7）B．（4，6）C．（5，5）D．（6，4）11．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为9，24，则输出的a＝（）A．0B．3C．6D．1512．（5分）如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为a n，则+++…+＝（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．14．（5分）执行如图所示的算法框图，如果输出的函数值在区间[，2）内，则输入的实数x的取值范围是．15．（5分）直线（t为参数）上与点A（﹣1，0）的距离最小的点的坐标是．16．（5分）观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有个小正方形．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知m∈R，复数z＝+（m2+2m﹣3）i，其中i为虚数单位，则当m为何值时．（1）z是纯虚数；（2）z对应的点位于复平面第二象限？（3）z对应的点在直线x+y+3＝0上？18．（12分）已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，2π），在以O极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，点Q在曲线C：ρ＝上．（1）求点P的轨迹方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求点P与点Q之间距离的最小值和最大值．19．（12分）某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如表：（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．．参考数据：（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6＝14．20．（12分）某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示：若数学成绩90分以上为优秀，物理成绩85分（含85分）以上为优秀．（Ⅰ）根据上表完成下面的2×2列联表：（Ⅱ）根据题（1）中表格的数据计算，有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？（Ⅲ）若按下面的方法从这20人中抽取1人来了解有关情况：将一个标有数字1，2，3，4，5，6的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号，试求：抽到12号的概率的概率．参考数据公式：①独立性检验临界值表②独立性检验随机变量K2值的计算公式：K2＝．21．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．22．（12分）已知曲线∁n：y＝nx2，点P n（x n，y n）（x n＞0，y n＞0）是曲线∁n上的点（n＝1，2，…），（1）试写出曲线∁n在P n点处的切线l n的方程，并求出l n与y轴的交点Q n的坐标；（2）若原点O（0，0）到l n的距离与线段P n Q n的长度之比取得最大值，试求点的坐标P n（x n，y n）2016-2017学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵（z+i）（1﹣i）＝2+i，∴（z+i）（1﹣i）（1+i）＝（2+i）（1+i），化为2（z+i）＝1+3i，∴z＝＝，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．【考点】BP：回归分析．【解答】解：由x与y负相关，可排除B、D两项，而C项中的＝﹣10x﹣200＜0不符合题意．故选：A．【点评】两个相关变量之间的关系为正相关关系，则他们的回归直线方程中回归系数为正；两个相关变量之间的关系为负相关关系，则他们的回归直线方程中回归系数为负．3．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：观察已知的三个图象，每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，根据些规律观察四个答案，发现A符合要求．故选：A．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．4．【考点】R9：反证法与放缩法证明不等式．【解答】解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，命题：“方程ax2+bx+c＝0（a≠0）至多有两个解”的否定是：“至少有三个解”，故选：C．【点评】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．5．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：由图知，z＝2+i，∴，则对应的点的坐标为（），位于复平面内的第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．6．【考点】F4：进行简单的合情推理．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则9117 用算筹可表示为，故选：C．【点评】本题考查了新定义的学习，属于基础题．7．【考点】J9：直线与圆的位置关系；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：将直线（t为参数）消掉参数t转化为普通方程为：3x﹣4y﹣36＝0，圆（θ为参数）的普通方程为：＝1，即x2+y2＝4；∵圆心O（0，0）到直线3x﹣4y﹣36＝0的距离d＝＞2，故该直线与圆x2+y2＝4相离．故选：A．【点评】本题考查参数方程化成普通方程与直线与圆的位置关系的判断，利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系是判断的关键，属于基础题．8．【考点】BP：回归分析．【解答】解：①线性回归直线必过样本数据的中心点（，），故①正确；②回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故②错误；③当相关性系数r＞0时，则两个变量正相关，故③正确；④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1或﹣1，故④错误．故真命题的个数为2个，故选：B．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了相关关系，回归分析，残差，相关指数等知识点，难度不大，属于基础题．9．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【解答】解：极坐标方程ρ＝化为ρ﹣ρsinθ＝1，∴﹣y＝1，化为，其图形是抛物线．故选：A．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：通过观察发现：各数对和为1的有两个，和为2的有3个，和为3的有4个，…以此类推得到和为9时有数对＝54个，和为10 的时候有11个，共有，所以第60个数对为（5，5）．故选：C．【点评】本题考查了合情推理的归纳推理；关键是通过已知发现规律，并正确归纳总结，得到一般结论．11．【考点】EF：程序框图．【解答】解：由a＝9，b＝24，不满足a＞b，则b变为24﹣9＝15，由b＞a，则b变为15﹣9＝6，由a＞b，则，a＝9﹣6＝3，由a＜b，则，b＝6﹣3＝3，由a＝b＝3，则输出的a＝3．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．12．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：根据分析，可得a2＝3＝3×（2﹣1），a3＝6＝3×（3﹣1），a4＝9＝3×（4﹣1），a5＝12＝3×（5﹣1）…，a n＝3（n﹣1），数列{a n}是首项为3，公差为3的等差数列，通项为a n＝3（n﹣1）（n≥2）；所以＝＝（﹣），则+++…+＝9××（1﹣+﹣+…+﹣）＝1﹣＝．故选：C．【点评】本题主要考查了图形的变化规律，数列的求和方法：裂项相消求和，解答此题的关键是根据已知的图形中点数的变化推得a n＝3（n﹣1）（n≥2）．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【考点】F4：进行简单的合情推理．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．14．【考点】EF：程序框图．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）＝的函数值．又∵输出的函数值在区间[，2），即[2﹣1，21）内，∴x∈[﹣1，1）；故答案为：[﹣1，1）．【点评】本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键．15．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：直线（t为参数）消去参数t，得直线的普通方程为x+y﹣1＝0，设直线上与点A（﹣1，0）的距离最小的点的坐标是（a，b），则，解得a＝0，b＝1．∴直线上与点A（﹣1，0）的距离最小的点的坐标是（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．16．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：由题意可得，f（1）＝2+1f（2）＝3+2+1f（3）＝4+3+2+1f（4）＝5+4+3+2+1f（5）＝6+5+4+3+2+1…f（n）＝（n+1）+n+（n﹣1）+…+1＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是要根据前几个图形的规律归纳出f（n）的代数式，考查了归纳推理的能力．三、解答题（共6小题，满分70分）17．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：（1）由，解得m＝0，或m＝﹣2．故当m＝0，或m＝﹣2时，z为纯虚数；（2）由，解得m＜﹣3．故当m＜﹣3时，z对应的点位于复平面的第二象限；（3）由+（m2+2m﹣3）+3＝0，解得m＝0或m＝﹣2．故当m＝0或m＝﹣2时，z对应的点在直线x+y+3＝0上．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，可设复数的基本概念，是中档题．18．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【解答】解：（1）由，α∈[0，2π），得点P的轨迹方程（x﹣1）2+y2＝1，又由ρ＝，得ρ＝，∴ρsinθ+ρcosθ＝9，∴曲线C的直角坐标方程为x+y﹣9＝0；（2）圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心（1，0），到直线x+y﹣9＝0的距离为：d＝＝4，又圆的半径为1，所以|PQ|min＝4﹣1，|PQ|max不存在．【点评】本题考查了普通方程以及极坐标方程和参数方程的转化，考查点到直线的距离，是一道中档题．19．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：（1）由所给数据计算得＝＝4，＝＝4.4，（t i﹣）2＝9+4+1+0+1+4+9＝28，（t i﹣）（y i﹣）＝（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6＝14．，…4分＝＝0.5，＝4.3﹣0.5×4＝2.3，所求回归方程为y＝0.5t+2.3…8分（2）由（1）知，b＝0.5＞0，故2009年至2015年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2017年的年份代号t＝9代入（1）的回归方程，得y＝6.8，故预测该地区2017年该地区居民家庭人均纯收入约为6.8千元．…12分．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查利用线性回归方程进行预测，属于基础题．20．【考点】BL：独立性检验；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）表格为（Ⅱ）提出假设H0：学生的数学成绩与物理成绩之间没有关系．根据上述列联表可以求得K2＝≈8.802＞7.879．，当H0成立时，K2＞7.879的概率约为0.005，而这里8.802＞7.879，所以我们有99.5%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系．（Ⅲ）抽到12号有4种（2，6），（4，6），（3，4），（4，3）基本事件有36种（1，1）（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）（1，6）（2，1）（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）（2，6）（3，1）（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）（3，6）（4，1）（4，2），（4，3），（4，4），（4，5）（4，6）（5，1）（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）（5，6）（6，1）（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）（6，6）所以，抽到12号的概率P＝．【点评】本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．21．【考点】J3：轨迹方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin．所以|AB|＝|ρ2﹣ρ1|＝．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．22．【考点】62：导数及其几何意义；8B：数列的应用．【解答】解：（1）∵y′＝2nx，∴k＝2nx n，切线l m的方程：y﹣y n＝2nx n（x﹣x n），令x＝0得y＝﹣2nx n2+y n＝﹣nx n2，即Q n（0，﹣nx n2）．（2）切线方程可写成：2nx n x﹣y﹣2nx n2+y n＝0．，＝．当且仅当，即时，取等号，此时y n＝nx n2，点P的坐标为．【点评】本题以数列知识为载体，综合考查了导数知识和点到直线的距离公式，体现了出题者的智慧．。
2019-2020学年河南省南阳市高二下学期期末数学试卷(文科) (解析版)
2019-2020学年南阳市高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设有一个回归方程为＝2﹣2.3x，变量x增加一个单位时，则y平均（）A．增加2.3个单位B．增加2个单位C．减少2.3个单位D．减少2个单位2．若（m2﹣5m+4）+（m2﹣2m）i＞0，则实数m的值为（）A．1B．0或2C．2D．03．设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为（）A．B．C．D．4．在极坐标系中，A（2，），B（3，），则|AB|＝（）A．1B．C．D．5．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有（）A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反6．进入互联网时代，发电子邮件是必不可少的．一般而言，发电子邮件要分以下几个步骤：a..打开电子信箱；b．输入发送地址；c．输主主题；d．输入信件内容；e．点击“写邮件”；f．点击“发送邮件”，则正确的流程是（）A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→bC．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e7．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的一个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如表所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）816357492 A．75B．65C．55D．458．已知复数，则下列命题中错误的是（）A．B．＝1﹣iC．z的虚部为iD．z在复平面上对应点在第一象限9．下列参数方程（t为参数）中，与方程y2＝x表示同一曲线的是（）A．B．C．D．10．a，b，c为互不相等的正数，a2+c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a11．若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（2a﹣x）＝2b，则其图象关于点（a，b）成中心对称．已知：函数f（x）＝，则函数f（x）图象的中心对称点是（）A．（0，1）B．（，1）C．（1，0）D．（1，）12．已知：函数f（x）＝x cos x，其导函数f'（x）＝cos x﹣x sin x．若函数g（x）的导函数g'（x）＝x sin x，且g（）＝0，则g（π）的值为（）A．﹣1B．1C．π﹣1D．π+1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．i是虚数单位，若z+||＝8+4i，则z＝．14．如表是学校小卖部某6天卖出热珍珠奶茶的杯数与当天气温的对比表．气温（℃）x2618131041杯数y202634385264由最小二乘法求得回归方程为＝﹣1.72x+a，现在的问题是：如果某天的气温是﹣5℃，这天小卖部大概要准备热珍珠奶茶的杯数是（保留整数）．15．直线（t为参数）的倾斜角为．16．兵乓球单打决赛在甲、乙、丙、丁四位选手中进行，赛前，有些人预测比赛的结果，A 说：甲第四；B说：乙不是第二，也不是第四；C说：丙的名次在乙的前面；D说：丁将得第一．比赛结果表明，四个人中只有一个人预测错了．那么，四位选手中第一名的是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知：复数ω＝﹣+．（1）求ω+的值；（2）求5ω3+3ω2+2ω﹣2的值．18．为了了解文科生中男生和女生对选修教材4﹣4（《坐标系与参数方程》）和选修教材4﹣5（《不等式选讲》）这两本教材的选择倾向性，某教师对所教的120名文科生进行调研．发现选择教材4﹣4的女生人数与选择教材4﹣5的女生人数相等，但是选择教材4﹣5的男生人数只有选择教材4﹣4的女生人数的，根据调研情况制成如图所示的2×2联表：选择教材4﹣4选择教材4﹣5合计男生女生合计70120（1）完成2×2联表，并判断在犯错误的概率不超过0.010的前提下，能否认为教材的选择与性别有关；（2）按照分层抽样的方法，从男生和女生中共抽取6人进行问卷．若从这抽取的6人中依次挑选2人，在已知第一个被选取是女生的条件下，第二个被选取的还是女生的概率是多少？附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001≥k0）k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．在直角坐标系xOy中，直线1的方程为x﹣y+4＝0，曲线C的参数方程为（α为参数，且α∈[0，2π））．（1）求曲线C的普通方程；（2）求曲线C上的一点P到直线l的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标．20．（1）已知a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），求证：+≥，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数f（x）＝+（x∈（0，））的最小值，指出取最小值时x的值．21．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：（1）两个人都译出密码的概率；（2）恰有1个人译出密码的概率；（3）若要达到译出密码的概率为99%，至少需要像乙这样的人多少个？（附：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2＝0，点P的极坐标是（，）．（1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△PMN的面积．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设有一个回归方程为＝2﹣2.3x，变量x增加一个单位时，则y平均（）A．增加2.3个单位B．增加2个单位C．减少2.3个单位D．减少2个单位【分析】直接由查线性回归方程中斜率的意义得答案．解：一个回归方程为＝2﹣2.3x，由线性回归方程系数的意义可知，变量x增加一个单位时，则y平均减少2.3个单位．故选：C．2．若（m2﹣5m+4）+（m2﹣2m）i＞0，则实数m的值为（）A．1B．0或2C．2D．0【分析】由（m2﹣5m+4）+（m2﹣2m）i＞0，可得m2﹣5m+4＞0，m2﹣2m＝0，解得m．解：∵（m2﹣5m+4）+（m2﹣2m）i＞0，∴m2﹣5m+4＞0，m2﹣2m＝0，解得m＝0．故选：D．3．设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得P（A）P（B）＝，且＝，由此求得事件A发生的概率P（A）的值．解：设事件A发生的概率为P（A），事件B发生的概率为P（B），则由题意可得P（A）P（B）＝，且＝，解得P（A）＝，故选：D．4．在极坐标系中，A（2，），B（3，），则|AB|＝（）A．1B．C．D．【分析】把点的极坐标化为直角坐标，再利用两点间的距离公式，求得结果．解：∵A（2，），B（3，），故A的直角坐标为（2cos，2sin）、B的直角坐标为（3cos，3sin），即A的直角坐标为（﹣，1）、B的直角坐标为（0，3），则|AB|＝＝，故选：B．5．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有（）A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反【分析】根据相关系数知相关系数的性质：|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小．r为正，表示正相关，回归直线方程上升．解：∵相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，∴b与r的符号相同．故选：A．6．进入互联网时代，发电子邮件是必不可少的．一般而言，发电子邮件要分以下几个步骤：a..打开电子信箱；b．输入发送地址；c．输主主题；d．输入信件内容；e．点击“写邮件”；f．点击“发送邮件”，则正确的流程是（）A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→bC．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e【分析】发电子邮件的操作步骤：第一步a..打开电子信箱；第二步：e．点击“写邮件”；等．依次操作，不能颠倒．解：发电子邮件的操作步骤：第一步a..打开电子信箱；第二步：e．点击“写邮件”；等．依次操作，不能颠倒．则正确顺序为：a→e→b→c→d→f故选：C．7．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的一个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如表所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）816357492 A．75B．65C．55D．45【分析】先理解“n阶幻方”的定义，再结合等差数列求和公式求解即可．解：由1，2，3，4…24，25的和为＝325，又由“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”的定义可得：“5阶幻方”的幻和为＝65，故选：B．8．已知复数，则下列命题中错误的是（）A．B．＝1﹣iC．z的虚部为iD．z在复平面上对应点在第一象限【分析】利用复数的运算法则及其有关知识．解：复数＝＝1+i，∴|z|＝，＝1﹣i，z的虚部为1，z在复平面上对应点（1，1）在第一象限．则下列命题中错误的是C．故选：C．9．下列参数方程（t为参数）中，与方程y2＝x表示同一曲线的是（）A．B．C．D．【分析】把参数方程化为普通方程，即可判断两个方程是否表示同一曲线．解：对于A，参数方程化为普通方程是y＝x2，x∈R，与方程y2＝x不表示同一曲线；对于B，参数方程化为普通方程是y2＝x，y∈R，与方程y2＝x，y∈R表示同一曲线；对于C，参数方程化为普通方程是y2＝x，y∈[﹣1，1]，与方程y2＝x，y∈R不表示同一曲线；对于D，参数方程化为普通方程是y2＝|x|，y∈R，与方程y2＝x不表示同一曲线．故选：B．10．a，b，c为互不相等的正数，a2+c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【分析】由题意a，b，c为互不相等的正数，a2+c2＝2bc，然后对其进行因式分解，得出a﹣c与b﹣c同号，然后再利用特殊值法进行求解．解：若a＞b，则a2+c2＞b2+c2≥2bc，不符合条件，排除A，C；又由a2﹣c2＝2c（b﹣c），故a﹣c与b﹣c同号，排除D；且当b＞a＞c时，a2+c2＝2bc有可能成立，例如取（a，b，c）＝（3，5，1），故选：B．11．若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（2a﹣x）＝2b，则其图象关于点（a，b）成中心对称．已知：函数f（x）＝，则函数f（x）图象的中心对称点是（）A．（0，1）B．（，1）C．（1，0）D．（1，）【分析】由已知可得f（x）+f（2﹣x）＝1，结合已知即可求解．解：∵f（x）＝，∴f（x）+f（2﹣x）＝＝＝1，则函数f（x）图象的中心（1，）．故选：D．12．已知：函数f（x）＝x cos x，其导函数f'（x）＝cos x﹣x sin x．若函数g（x）的导函数g'（x）＝x sin x，且g（）＝0，则g（π）的值为（）A．﹣1B．1C．π﹣1D．π+1【分析】求出函数g（x）的解析式，计算g（π）的值即可．解：由题意设g（x）＝sin x﹣x cos x+c，则g′（x）＝cos x﹣cos x+x sin x＝x sin x，符合题意，故g（）＝1+c＝0，解得：c＝﹣1，故g（x）＝sin x﹣x cos x﹣1，g（π）＝sinπ﹣πcosπ﹣1＝π﹣1，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．i是虚数单位，若z+||＝8+4i，则z＝3+4i．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），＝a﹣bi．由z+||＝8+4i，可得a+bi+＝8+4i，根据复数相等即可得出．解：设z＝a+bi（a，b∈R），＝a﹣bi．∵z+||＝8+4i，∴a+bi+＝8+4i，∴a+＝8，b＝4，解得a＝3，b＝4．则z＝3+4i．故答案为：3+4i．14．如表是学校小卖部某6天卖出热珍珠奶茶的杯数与当天气温的对比表．气温（℃）x2618131041杯数y202634385264由最小二乘法求得回归方程为＝﹣1.72x+a，现在的问题是：如果某天的气温是﹣5℃，这天小卖部大概要准备热珍珠奶茶的杯数是68或69（保留整数）．【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得a值，可得线性回归方程，取x＝﹣5求得y值即可．解：，．∴样本点的中心的坐标为（12，39），代入＝﹣1.72x+a，得39＝﹣1.72×12+a，即a＝59.64．∴．取x＝﹣5，得＝68.24．故如果某天的气温是﹣5℃，这天小卖部大概要准备热珍珠奶茶的杯数是68或69杯．故答案为：68或69．15．直线（t为参数）的倾斜角为20°．【分析】将直线先化为普通方程，然后再计算直线的倾斜角．解：∵直线（t为参数），∴x﹣1＝t sin70°，y﹣2＝t cos70°，∴y﹣2＝cot70°（x﹣1），∴直线的斜率k＝cot70°＝tan20°，∴直线的倾斜角20°．故答案为：20°．16．兵乓球单打决赛在甲、乙、丙、丁四位选手中进行，赛前，有些人预测比赛的结果，A 说：甲第四；B说：乙不是第二，也不是第四；C说：丙的名次在乙的前面；D说：丁将得第一．比赛结果表明，四个人中只有一个人预测错了．那么，四位选手中第一名的是丙．【分析】利用假设法，逐一进行排除即可解：因为四个人中只有一个人预测错了，若A错，则甲不是第四，丁第一，乙不是第二也不是第四，只能是第三，丙在乙前，只能是第二，则此时甲必须为第四，矛盾；若B错，则乙既是第二又是第四矛盾；若C错，则丙在乙后面，丁第一，甲第四，乙只能第三，则此时丙得为第四，矛盾；若D错，则甲第四，乙第二，丙第一，丁第三，成立，故第一名为丙，故答案为：丙．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知：复数ω＝﹣+．（1）求ω+的值；（2）求5ω3+3ω2+2ω﹣2的值．【分析】由复数ω＝﹣+，可得＝﹣﹣，＝1，ω2＝﹣ω﹣1，ω3＝1．代入转化即可得出：（1）ω+＝．（2）5ω3+3ω2+2ω﹣2＝5+3（﹣ω﹣1）+2ω﹣2＝﹣ω．解：∵复数ω＝﹣+，∴＝﹣﹣，＝1，ω2＝﹣ω﹣1，ω3＝1．（1）ω+＝＝﹣1．（2）5ω3+3ω2+2ω﹣2＝5+3（﹣ω﹣1）+2ω﹣2＝﹣ω＝﹣．18．为了了解文科生中男生和女生对选修教材4﹣4（《坐标系与参数方程》）和选修教材4﹣5（《不等式选讲》）这两本教材的选择倾向性，某教师对所教的120名文科生进行调研．发现选择教材4﹣4的女生人数与选择教材4﹣5的女生人数相等，但是选择教材4﹣5的男生人数只有选择教材4﹣4的女生人数的，根据调研情况制成如图所示的2×2联表：选择教材4﹣4选择教材4﹣5合计男生女生合计70120（1）完成2×2联表，并判断在犯错误的概率不超过0.010的前提下，能否认为教材的选择与性别有关；（2）按照分层抽样的方法，从男生和女生中共抽取6人进行问卷．若从这抽取的6人中依次挑选2人，在已知第一个被选取是女生的条件下，第二个被选取的还是女生的概率是多少？附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001≥k0）k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）根据分层抽样法分别求出抽取的男生、女生人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（1）根据题意填写列联表，选择教材4﹣4选择教材4﹣5合计男生301040女生404080合计7050120计算K2＝≈6.857＞6.635，所以可以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为教材的选择与性别有关．（2）男生与女生的人数比例为40：80＝1：2，所以抽取的6人中男生的人数为2人，女生的人数为4人．用大写字母M，N表示男生，用小写字母a，b，c，d表示女生．从中依次挑选2人共有以下30种情况：MN Ma Mb Mc Md NM Na Nb Nc Nd aM aN ab ac adbM bN ba bc bd cM cN ca cb cd dM dN da db dc；记事件A为“第一次选取的是女生”，事件B为“第二次选择是女生”，计算P（A ）＝，P（AB ）＝＝；则在第一次选取的是女生的条件下，第二次选择的也是女生的概率为：P（B|A ）＝＝．19．在直角坐标系xOy中，直线1的方程为x﹣y+4＝0，曲线C 的参数方程为（α为参数，且α∈[0，2π））．（1）求曲线C的普通方程；（2）求曲线C上的一点P到直线l的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标．【分析】直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换和点到直线的距离公式的应用及三角函数的关系式的变换及余弦型函数性质的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数，且α∈[0，2π））．转换为直角坐标方程为．（2）设P（），所以d＝，当时，即P（），点P到直线l的距离取最大值．20．（1）已知a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），求证：+≥，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数f（x）＝+（x∈（0，））的最小值，指出取最小值时x的值．【分析】（1）利用基本不等式a2+b2≥2ab，乘积一定，和有最小值，等号成立的条件是两正数相等；（2）利用（1）的结论，将（2）变形为即可．解：（1）应用二元均值不等式，得＝（a+b）2，故．当且仅当，即时上式取等号．（2）由（1）．当且仅当，即时上式取最小值，即[f（x）]min＝25．21．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：（1）两个人都译出密码的概率；（2）恰有1个人译出密码的概率；（3）若要达到译出密码的概率为99%，至少需要像乙这样的人多少个？（附：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）【分析】（1）记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，利用相互独立事件概率乘法公式能求出两个人都译出密码的概率．（2）利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出恰有1个人译出密码的概率．（3）假设有n个像乙这样的人分别独立地破译密码，能译出密码的概率为1﹣（P（））n＝1﹣（）n，即1﹣（）n≥0.99，由此能求出至少有像乙这样的人17名，才能使译出密码的概率达到99%．解：（1）记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A、B为相互独立事件，且P（A）＝，P（B）＝．两个人都译出密码的概率为：P（AB）＝P（A）P（B）＝＝．（2）恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，∴恰有1个人译出密码的概率为：P（A+）＝P（A）P（）+P（）P（B）＝＝．（3）假设有n个像乙这样的人分别独立地破译密码，要译出密码相当于至少有1个译出密码，其对立事件为所有人都未译出密码，故能译出密码的概率为1﹣（P（））n＝1﹣（）n，即1﹣（）n≥0.99，故（）n≤0.01，n≥＝≈16.01，∴至少有像乙这样的人17名，才能使译出密码的概率达到99%．22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2＝0，点P的极坐标是（，）．（1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△PMN的面积．【分析】（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN的长度，从而得出面积．【解答】解（1）由消去t，得到y＝，则ρsinθ＝ρcosθ，∴θ＝，所以直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．点P（，）到直线l的距离为d＝×sin（﹣）＝×＝．（2）由，得，ρ2﹣ρ﹣2＝0所以ρ1+ρ2＝1，ρ1ρ2＝﹣2所以，|MN|＝|ρ1﹣ρ2|＝＝3则△PMN的面积为．S△PMN＝|MN|×d＝×＝．。
河南省南阳市2021-2022高二数学下学期期末考试试题 文(含解析)
河南省南阳市2021-2022高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数231i i -⎛⎫=⎪+⎝⎭( ) A. 34i -- B. 34i -+ C. 34i - D. 34i +【答案】A 【解析】 【分析】把复数的分子分母同时乘以1-i,31ii-+ (3)(1)12(1)(1)i i i i i --==-+-， ()22312341i i i i -⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭．故选A. 考点：复数的除法运算． 【详解】2.在集合{a ，b ，c ，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d ⊗()a c ⊕= A. a B. bC. cD. d【答案】A 【解析】d ⊗()a c ⊕=d c a ⊗=3.相关变量,x y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（ ）A. 1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<< 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.【详解】由散点图得负相关，所以12,0r r <，因为剔除点()10,21后，剩下点数据更具有线性相关性，r 更接近1，所以2110r r -<<<.选D.【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.4.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a 、b 、c 中至多有一个是偶数”的正确假设为（ ）A. 自然数a 、b 、c 中至少有一个是偶数B. 自然数a 、b 、c 中至少有两个是偶数C. 自然数a 、b 、c 都是奇数D. 自然数a 、b 、c 都是偶数【答案】B 【解析】 【分析】对结论进行否定可得出正确选项.【详解】“自然数a 、b 、c 中至多有一个是偶数”其意思为“三个自然数a 、b 、c 中全是奇数或一个偶数两个奇数”，其否定为“三个自然数a 、b 、c 中两个偶数一个奇数或全是偶数”，即“自然数a 、b 、c 中至少有两个是偶数”，故选：B.【点睛】本题考查反证法的基本概念的理解，考查命题的否定，同时要熟悉“至多n 个”与“至少1n +个”互为否定，考查对概念的理解，属于中等题.5.在复平面内，复数201921iz i i=-+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法和复数的乘方运算将复数z 表示为一般形式，可得出其共轭复数，从而得出复数z 对应的点所在的象限. 【详解】()()()()20145043932111122111i i i iz i i i i i i i i i i ⨯+-=-=--=++=++=-+-，12z i ∴=-.因此，复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限，故选：D.【点睛】本题考查复数的除法与乘方运算，考查共轭复数以及复数的对应的点，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.6.观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A. 28 B. 76 C. 123 D. 199【答案】C 【解析】【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=，111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b += 故选C.考点：观察和归纳推理能力.7.若点P 的直角坐标为(1,，则它的极坐标可以是（ ） A. 52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D.112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则2ρ==，tan θ==. 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3π⎛⎫⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.8.下列说法：①对于独立性检验，2χ的值越大，说明两事件相关程度越大；②以模型kxy ce=去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y a bx =+中，2b =，1x =，3y =，则1a =；④通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可以精确反映变量的取值和变化趋势，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断.【详解】对于命题①，根据独立性检验的性质知，两个分类变量2χ越大，说明两个分类变量相关程度越大，命题①正确；对于命题②，由kxy ce =，两边取自然对数，可得ln ln y c kx =+， 令ln z y =，得ln z kx c =+，0.34z x =+，所以ln 40.3c k =⎧⎨=⎩，则40.3c e k ⎧=⎨=⎩，命题②正确； 对于命题③，回归直线方程y a bx =+中，3211a y bx =-=-⨯=，命题③正确； 对于命题④，通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可估计和预测变量的取值和变化趋势，命题④错误.故选：C.【点睛】本题考查了回归直线方程、非线性回归方程变换以及独立性检验相关知识，考查推理能力，属于中等题.9.已知具有线性相关关系的变量x 、y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i =⋅⋅⋅，回归直线方程为12y x a =+，若()1286,2OA OA OA ++⋅⋅⋅+=，（O 为原点），则a =（ ） A. 14 B. 14- C. 18D. 18-【答案】D【解析】 【分析】计算出样本中心点(),x y 的坐标，将该点坐标代入回归直线方程可求出实数a 的值. 【详解】由题意可得6384x ==，2184y ==，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程得131244a ⨯+=， 解得18a =-，故选：D.【点睛】本题考查利用回归直线方程求参数的值，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点(),x y ”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.10.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()6πρθ+=M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（ ） A.34B.25C.23D.13【答案】C 【解析】分析：先由曲线C 的直角坐标方程得到其极坐标方程为()221+2sin 6ρθ=，设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，将射线M 的极坐标方程为θα=分别代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，得到关于α的三角函数，利用三角函数性质可得结果.详解：∵曲线C 的方程为22162x y +=，即2236x y +=，∴曲线C 的极坐标方程为()221+2sin 6ρθ=设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，联立()221+2sin6ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，得221112sin6θρ+=，同理得222cos163πθρ⎛⎫+⎪⎝⎭=，根据极坐标的几何意义可得22222212cos111112sin663OA OBπθθρρ⎛⎫+⎪+⎝⎭+=+=+1+1cos21cos23sin23666ππθθθ⎛⎫⎛⎫-+++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即可得其最大值为23，故选C.点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中ρ的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．11.执行如图的程序框图，如果输入10N=，那么输出的S=（）A.11112310++++B.11111212312310++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯C. 11112311++++D. 11111212312311++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可确定程序的输出结果. 详解：结合所给的流程图运行程序如下： 首先初始化数据：10,1,0,1N k S T ====，第一次循环：1TT k ==，1S S T =+=,12k k =+=，此时不满足k N >； 第二次循环：112T T k ==⨯，1112S S T =+=+⨯,13k k =+=，此时不满足k N >；第三次循环：1123T T k ==⨯⨯，11112123S S T =+=++⨯⨯⨯,14k k =+=，此时不满足k N >；一直循环下去， 第十次循环：112310T T k ==⨯⨯⨯⨯，S S T =+=1112+⨯1123+⨯⨯++112310⨯⨯⨯⨯,111k k =+=，此时满足k N >，跳出循环. 则输出的11111212312310S =++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯.本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．12.某中学为提升学生的数学学习能力，进行了主题分别为“运算”、“推理”、“想象”、“建模”四场竞赛.规定：每场竞赛前三名得分分别为a 、b 、c （a b c >>，且a 、b 、c N *∈），选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名，在四场竞赛中，已知甲最终得分为15分，乙最终得分为7分，丙最终得分为10分，且乙在“运算”这场竞赛中获得了第一名，那么“运算”这场竞赛的第三名是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 甲和丙都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】总分为()41571032a b c ++=++=，得出8a b c ++=，只有两种可能521>>或431>>，再分类讨论，能得出结果.【详解】总分为()41571032a b c ++=++=，可得8a b c ++=， 只有两种可能521>>或431>>.若a 、b 、c 的值分别为5、2、1，若乙在“运算”中得到第一名，得5分，即使他在剩下的三场比赛中全得到第三名，得分总数为511187+++=>，不合乎题意.a ∴、b 、c 的值分别为4、3、1，乙的得分组成只能是“运算”、“推理”、“想象”、“建模”分别得分4、1、1、1分，即乙在“运算”中得到第一名，其余三项均为第三名. 由于甲得分为15分，其得分组成只能是“运算”、“推理”、“想象”、“建模”分别得分3、4、4、4分，在“运算”比赛中，甲、乙、丙三人得分分别是3、4、1分.因此，获得“运算”这场竞赛的第三名只能是丙，故选：C.【点睛】本题考查“运算”这场竞赛的第三名获奖学生的判断，考查简单的合情推理等基本性质，考查运算求解能力与推理能力，属于难题.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.一次数学考试后，甲，乙，丙，丁四位同学一起去问数学考试成绩，数学老师对他们说：甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等；乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间；丙同学考试分数不是最高的；丁同学考试分数不是最低的.由此可以判断分数最高的同学是__________． 【答案】丁 【解析】分析：由甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等，将四人分数从大到小排列可得甲，乙在两端或丙，丁在两端，再结合乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间可得丙丁在两端，最后根据丙同学考试分数不是最高的可得最高分的同学为丁. 详解：将四人分数从大到小排列，∵甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等， ∴甲，乙在两端或丙，丁在两端，即甲乙最大或最小、丙丁最大或最小 又∵乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间，∴丙丁最大或最小 又∵丙同学考试分数不是最高的，丁同学考试分数不是最低的 ∴分数最高的同学是丁，故答案为丁.点睛：本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，解答此题的关键是逐条进行分析，排除，是基础题.14.设()f z z =，且115z i =+，232z i =-+，则12()f z z -的值是__________． 【答案】4＋3i 【解析】分析：由题意可得1243z z i -=+，再结合()f z z =，即可得到答案 详解：115z i =+，232z i =-+，1243z z i ∴-=+1243z z i ∴-=-又()f z z =，()1243f z z i ∴-=+点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。
2017-2018学年河南省南阳市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位学生的话有且只有两个人的话是对的，则
获奖的学生是
．
14．（5 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，
多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周
率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆
），求|PA|•|PB|的值．
19．（12 分）保险公司统计的资料表明：居民住宅距最近消防站的距离 x（单位：千米）和
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火灾所造成的损失数额 y（单位：千元）有如下的统计资料：
距消防站的 1.8
2.6
3.1
4.3
5.5
6.1
距离 x
（千米）
火灾损失数 17.8
19.6
27.5
D．ρ＝4sin（θ﹣ ）
8．（5 分）在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无 关的可能性不足 1%，那么 K2 的一个可能取值为（ ）
P（k2＞ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k）
K 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
B．4
C．﹣6
D．6
6．（5 分）观察下列各式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，…，则 32018 的末位数字为（ ）
A．1
B．3
C．7
D．9
7．（5 分）在极坐标系中，与圆 ρ＝4sinθ 相切的一条直线的方程为（ ）
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A．ρcosθ＝
B．ρcosθ＝2
河南省南阳市2020-2021学年高二下学期期末考试数学(文)试题(1)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．原命题为“若 互为共轭复数，则 ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
（1）请完成上面的列联表；
（2）请问：是否有75%的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”？
（3）用分层抽样的方法从甲、乙两个文科班的数学成绩优秀的学生中抽取5名学生进行调研，然后再从这5名学生中随机抽取2名学生进行谈话，求抽到的2名学生中至少有1名乙班学生的概率.
参考公式： （其中 ）
参考数据：
20．
3．B
【解析】
分析：观察图形不难发现每行有两个阴影图形，三个图形有长方形、圆、三角形
详解：其规律是每行有方块，三角形，圆形各一个，且有两块是有阴影部分，照此规律，第三行第三格应填方块，由于前两格只有一格有阴影部分，故第三格应是阴影部分的方块
故选
点睛：本题属于规律题，只要观察图形做出判断不难发现规律。
8．圆 与直线 （ 为参数）的位置关系是（ ）
A．相切B．相离C．相交且过圆心D．相交但不过圆心
9．如图所示的数阵中，用 表示第 行的第 个数，则依此规律 为（）
A． B． C． D．
10．执行如图的程序框图，如果输入的 ，则输出 的值满足（ ）
A． B． C． D．
11．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 求得 ，类似上述过程，则 （）
2022-2023学年河南省南阳市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．直线a ，b ，c 的斜率分别为2，1，﹣2，倾斜角分别为α，β，γ，则（ ） A ．α＞β＞γB ．γ＞α＞βC ．γ＞β＞αD ．α＞γ＞β2．函数f （x ）＝x 3﹣2x 2+6在[﹣2，2]上的最小值为（ ） A ．13027B ．6C ．﹣10D ．﹣113．某市农科所实验基地现有并排的10块试验田，选择其中的两块分别种植A ，B 两种作物，每块种植一种作物，要求A ，B 两种作物的间隔不小于6块试验田，则不同的种植方法共有（ ） A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种4．设数列{a n }是由正数组成的等比数列，且a 1a 2a 3⋯a 30=230，则a 2a 5a 8⋯a 29＝（ ） A ．225B ．220C ．215D ．2105．在单位正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为C 1D 1的中点，则点M 到平面A 1BD 的距离为（ ） A ．√33B ．√34C ．√32D ．2√336．过坐标原点O 作圆C ：x 2+y 2﹣4x +3＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则|AB |＝（ ）． A ．32B ．3C ．√32D ．√37．若f(x)=log 0.5(x 3−3x 2+ax +6)在区间（1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，0]B ．[﹣1，+∞）C ．[﹣1，0]D ．（﹣1，0）8．设a ＝﹣ln 0.9，b ＝0.1，c ＝sin0.1，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．若椭圆x 2k+8+y 29=1的离心率为12，则实数k 的值可能为（ ）A ．−54B ．54C ．﹣4D ．410．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n=7n+51n+3，则满足a nb n∈Z 的n 的值可能为（ ）A ．2B ．4C ．12D ．1411．设(2x −1)2023=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2023x 2023，则（ ）A ．a 2＝2023×4044B ．a 2＝﹣2023×4044C ．a 1+2a 2+3a 3+⋯+2023a 2023＝2023D ．a 1+2a 2+3a 3+⋯+2023a 2023＝404612．定义在（0，π）上的函数f （x ）满足f ′(x)＜f(x)cosxsinx恒成立，则（ ） A ．f(π3)＞f(2π3) B ．f(π3)＜f(2π3)C ．√2f(π4)＞f(π2)D ．√2f(π4)＜f(π2)三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 2023＝119，则a 1012＝ ． 14．曲线y =2x −1x+1在x ＝1处的切线方程为 ． 15．已知F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，P 为双曲线C 右支上的一点，且Rt △OPF 的三个内角∠PFO ，∠POF ，∠OPF 成等差数列（公差d ＞0，则双曲线C 的离心率e ＝ ． 16．记f （n ）为正整数n 的最大奇因数，如f （2023）＝2023，f （2022）＝1011，设f （2）+f （3）+⋯+f （2n ），则a 3＝ ；a n ＝ ．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某收费APP （手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱．该APP 所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x （单位：元）及该月对应的用户数量y （单位：万人），得到如下数据表格：已知x 与y 线性相关．（1）求y 关于x 的线性回归方程(∑ 5i=1x i 2=135，∑ 5i=1x i y i =41.7)；（2）据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，⋯，n ），其回归直线y ＝bx +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =∑(x i−x)ni=1(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i 2−nx2，a =y −b x18．（12分）现将某校高三年级不同分数段的学生对数学感兴趣程度进行调查（只有感兴趣和不感兴趣两个选项且每人必须选择其中一项），随机抽调了50人，各分数段频数（单位：人）及对数学感兴趣人数如表：（1）根据以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.5%的把握认为“该校高三学生对数学的兴趣程度与成绩110分为分界点有关”？（2）若在成绩为[90，110）分数段并且对数学感兴趣的人中随机选取4人，求成绩来自[90，100）这一分数段人数ξ的分布列及数学期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣1（n∈N*），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，∠A1AC＝45°，AA1=2√2，AC＝2．（1）证明：平面A1BC⊥平面ABC；（2）求二面角A1﹣BC1﹣B1的平面角的余弦值．21．（12分）已知抛物线E：y2＝x的焦点为F，过x轴正半轴上一点M的直线l与抛物线E交于A、B两点，O 为坐标原点，且OA →⋅OB →=6． （1）求点M 的坐标；（2）设点F 关于直线OB 的对称点为C ，求四边形OABC 面积的最小值． 22．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣kx 2（k ∈R ）有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （1）求实数k 的取值范围； （2）证明：lnx 1+lnx 2＞1．2022-2023学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．直线a ，b ，c 的斜率分别为2，1，﹣2，倾斜角分别为α，β，γ，则（ ） A ．α＞β＞γB ．γ＞α＞βC ．γ＞β＞αD ．α＞γ＞β解：k =tanx ，x ∈[0，π)，x ≠π2，由正切函数的性质可知，当x ∈(0，π2)时，k 为增函数，且k ＞0， 由2＞1，可知π2＞α＞β＞0；又当x ∈(π2，π)时，k 为增函数，且k ＜0， 且﹣2＜0，得γ＞π2． ∴γ＞α＞β，故选项B 正确． 故选：B ．2．函数f （x ）＝x 3﹣2x 2+6在[﹣2，2]上的最小值为（ ） A ．13027B ．6C ．﹣10D ．﹣11解：由f （x ）＝x 3﹣2x 2+6可得f ′（x ）＝3x 2﹣4x ， 令f ′（x ）＝3x 2﹣4x ＝0，∴x 1=0，x 2=43，当﹣2＜x ＜0或43＜x ＜2时，f ′（x ）＞0，当0＜x ＜43时，f ′（x ）＜0，即f （x ）在(−2，0)，(43，2)上单调递增，在(0，43)上单调递减， 则x ＝0为函数的极大值点，x =43为函数的极小值点， 故f(−2)=−10，f(0)=6，f(43)=13027，f(2)=6， 故函数f （x ）＝x 3﹣2x 2+6在[﹣2，2]上的最小值为﹣10． 故选：C ．3．某市农科所实验基地现有并排的10块试验田，选择其中的两块分别种植A ，B 两种作物，每块种植一种作物，要求A ，B 两种作物的间隔不小于6块试验田，则不同的种植方法共有（ ） A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解：由题意A ，B 两种作物的间隔至少为6块，至多为8块， 当间隔为6块时，有3A 22=6种种植方法； 当间隔为7块时，有2A 22=4种种植方法； 当间隔为8块时，有A 22=2种种植方法； 故共有6+4+2＝12种种植方法． 故选：A ．4．设数列{a n }是由正数组成的等比数列，且a 1a 2a 3⋯a 30=230，则a 2a 5a 8⋯a 29＝（ ） A ．225B ．220C ．215D ．210解：设A ＝a 1a 4a 7⋯a 28，B ＝a 2a 5a 8⋯a 29，C ＝a 3a 6a 9⋯a 30，公比为q ， 则A ，B ，C 成等比数列，公比为q 10，且B 2＝A •C ， 由条件得A •B •C ＝230， 所以B 3＝230，所以B ＝210． 故选：D ．5．在单位正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为C 1D 1的中点，则点M 到平面A 1BD 的距离为（ ） A ．√33B ．√34C ．√32D ．2√33解：如图，以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A 1(1，0，1)，B(1，1，0)，M(0，12，1)， 故A 1M →=(−1，12，0)，DA 1→=(1，0，1)，DB →=(1，1，0)， 设平面A 1BD 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{n →⋅DA 1→=x +z =0n →⋅DB →=x +y =0， 令x ＝1，则n →=(1，−1，−1)，故点M 到平面A 1BD 的距离为d =|A 1M →⋅n →||n →|=323=√32． 故选：C ．6．过坐标原点O 作圆C ：x 2+y 2﹣4x +3＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则|AB |＝（ ）． A ．32B ．3C ．√32D ．√3解：根据题意，圆C ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，即（x ﹣2）2+y 2＝1， 其圆心为（2，0），半径r ＝1，过坐标原点O 作圆C ：x 2+y 2﹣4x +3＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则|OA |＝|OB |=√|OC|2−1=√3， 则A 、B 在圆x 2+y 2＝3上，故A 、B 是圆x 2+y 2＝3和圆C 的公共点，即AB 为两圆的公共弦，联立两圆方程：{x 2+y 2=3(x −2)2+y 2=1，可得x =32，即直线AB 的方程为x =32，圆x 2+y 2＝3的圆心（0，0）到直线AB 的距离d =32， 则|AB |＝2×√3−94=√3， 故选：D ．7．若f(x)=log 0.5(x 3−3x 2+ax +6)在区间（1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，0]B ．[﹣1，+∞）C ．[﹣1，0]D ．（﹣1，0）解：令f(t)=log 0.5t ，t =x 3−3x 2+ax +6，则f （t ）＝log 0.5t 在（0，+∞）上单调递减， 由题意可得需满足t ＞0，且t ＝x 3﹣3x 2+ax +6在（1，2）上单调递减， 令g （x ）＝x 3﹣3x 2+ax +6，则g ′（x ）＝3x 2﹣6x +a ≤0在（1，2）上恒成立， 即a ≤﹣3x 2+6x 在（1，2）上恒成立，而y ＝﹣3x 2+6x 在（1，2）上单调递减， 即﹣3x 2+6x ＞﹣3×22+6×2＝0，故a ≤0；经检验当a ＝0时，g ′（x ）＝3x 2﹣6x ≤0在（1，2）上恒成立， t ＝x 3﹣3x 2+ax +6在（1，2）上单调递减，符合题意； 由t ＞0，则g （x ）＝x 3﹣3x 2+ax +6＞0在（1，2）上恒成立， 所以g （2）＝8﹣12+2a +6≥0， 故a ≥﹣1，综合以上可得a ∈[﹣1，0]．故选：C ．8．设a ＝﹣ln 0.9，b ＝0.1，c ＝sin0.1，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解：构造函数f （x ）＝x +ln （1﹣x ），x ∈[0，1），则b ﹣a ＝f （0.1）＝0.1+ln 0.99， 因为f ′(x)=1−11−x =−x1−x，当x ∈[0，1）时，f ′（x ）＜0，则函数f （x ）单调递减， 则f （0.1）＜f （0）＝0，即0.1+ln 0.99＜0，所以0.1＜﹣ln 0.9，即b ＜a ， 构造函数g （x ）＝x ﹣sin x ，x ∈[0，1），则b ﹣c ＝g （0.1）＝0.1﹣sin0.1，因为g ′（x ）＝1﹣cos x ＞0，当x ∈[0，1）时，g ′（x ）＞0，则函数g （x ）单调递增， 则g （0.1）＞g （0）＝0，即0.1﹣sin0.1＞0，所以0.1＞sin0.1，即b ＞c ， 所以a ＞b ＞c ． 故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．若椭圆x 2k+8+y 29=1的离心率为12，则实数k 的值可能为（ ）A ．−54B ．54C ．﹣4D ．4解：因为椭圆x 2k+8+y 29=1的离心率为12，当焦点在x 轴上时，即k +8＞9，得到k ＞1，由e =c a =√1−b 2a2=√1−9k+8=12，解得k ＝4；当焦点在y 轴上时，即0＜k +8＜9，得到﹣8＜k ＜1，由e =c a =√1−b 2a2=√1−k+89=12，解得k =−54．故选：AD ．10．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n=7n+51n+3，则满足a nb n∈Z 的n 的值可能为（ ）A ．2B ．4C ．12D ．14 解：因为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n=7n+51n+3，则a nb n=a 1+a 2n−1b 1+b 2n−1=S 2n−1T 2n−1=7(2n−1)+51(2n−1)+3=14n+442n+2=7+15n+1，因为a nb n∈Z ，则n +1＝1，3，5，15，所以n ＝0，2，4，14，且n ∈N *，则n ＝0舍，所以n 的可能值为2，4，14． 故选：ABD ．11．设(2x −1)2023=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2023x 2023，则（ ） A ．a 2＝2023×4044B ．a 2＝﹣2023×4044C ．a 1+2a 2+3a 3+⋯+2023a 2023＝2023D ．a 1+2a 2+3a 3+⋯+2023a 2023＝4046解：∵(2x −1)2023=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2023x 2023，∴a 2=C 20232021(−1)2021×(2)2=−2023×20221×2×4=−2023×4044，A 错误，B 正确；等式两边对x 求导，得[(2x −1)2023]′=2×2023(2x −1)2022=a 1+2a 2x +3a 3x 2+⋯+2023a 2023x 2022， 令x ＝1得：a 1+2a 2+3a 3+…+2023a 2023＝4046，C 错误，D 正确． 故选：BD ．12．定义在（0，π）上的函数f （x ）满足f ′(x)＜f(x)cosxsinx恒成立，则（ ） A ．f(π3)＞f(2π3) B ．f(π3)＜f(2π3)C ．√2f(π4)＞f(π2)D ．√2f(π4)＜f(π2)解：∵x ∈（0，π），∴sin x ＞0， f ′(x)＜f(x)cosxsinx 即f ′（x ）sin x ﹣f （x ）cos x ＜0， 问题转化为f′(x)sinx−f(x)cosxsin 2x＜0，令g(x)=f(x)sinx ，则g ′(x)=f′(x)sinx−f(x)cosxsin 2x＜0， ∴g （x ）在（0，π）上单调递减，∵π3＜2π3，∴g(π3)＞g(2π3)，即f(π3)sin π3＞f(2π3)sin 2π3， ∴f(π3)＞f(2π3)，故A 选项正确，B 选项错误； ∵π4＜π2，∴g(π4)＞g(π2)，即f(π4)sin π4＞f(π2)sinπ2， ∴√2f(π4)＞f(π2)，故C 选项正确，D 选项错误；故选：AC ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 2023＝119，则a 1012＝ 117．解：由S n 为等差数列{a n }的前n 项和，因为S 2023＝119， 根据等差数列的求和公式，可得S 2023=2023(a 1+a 2023)2=119，解得a 1+a 2023=2×1192023， 又由等差数列的性质，可得a 1+a 2023＝2a 1012，所以2a 1012=2×1192023，所以a 1012=1192023=117． 故答案为：117．14．曲线y =2x −1x+1在x ＝1处的切线方程为 3x ﹣y ﹣1＝0 ． 解：由y =f(x)=2x −1x+1，得f(1)=2−11+1=2， 且f ′(x)=2+1x 2，∴f ′(1)=2+112=3，即切线的斜率k ＝3， ∴曲线y =2x −1x +1在x ＝1处的切线方程为y ﹣2＝3（x ﹣1），即3x ﹣y ﹣1＝0． 故答案为：3x ﹣y ﹣1＝0． 15．已知F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，P 为双曲线C 右支上的一点，且Rt △OPF 的三个内角∠PFO ，∠POF ，∠OPF 成等差数列（公差d ＞0，则双曲线C 的离心率e ＝ √7+√3 ． 解：不妨设P （m ，n ）（n ＞0），因为Rt △OPF 的三个内角∠PFO ，∠POF ，∠OPF 成等差数列（公差d ＞0），所以2∠POF ＝∠PFO +∠OPF ，又∠POF +∠PFO +∠OPF ＝π， 解得∠PFO =π6，∠POF =π3，∠OPF =π2， 又|OF |＝c ，所以|OP|=12c ，故m =c 4，n =√3c4， 即P(c4，√3c4)，由题有(c 4)2a2−(√3c 4)2b 2=1，又c 2=a 2+b 2，e =c a ，代入(c4)2a 2−(√3c4)2b 2=1，得到e 2−31−1e2=16，化简得到e 4﹣20e 2+16＝0， 解得e 2=10+2√21或e 2=10−2√21（舍弃）， 所以e =√7+√3．故答案为：√7+√3．16．记f （n ）为正整数n 的最大奇因数，如f （2023）＝2023，f （2022）＝1011，设f （2）+f （3）+⋯+f （2n），则a 3＝ 22 ；a n ＝4n +23(n ∈N ∗) ．解：由题意可得f （2n ）＝f （n ），f （2n ﹣1）＝2n ﹣1，a 1＝f （1）+f （2）＝1+1＝2，a 2＝f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝1+1+3+1＝6，a 3＝f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）+f （6）+f （7）+f （8）＝1+1+3+1+5+3+7+1＝22； a n =[1+3+5+⋯+(2n −1)]+f(2)+f(4)+f(6)+⋯+f(2n ) ＝[1+3+5+⋯+（2n ﹣1）]+[f （1）+f （2）+f （3）+⋯+f （2n ﹣1）]，所以a n =1+(2n−1)2×2n−1+a n ﹣1（n ≥2）， 即a n =4n−1+a n−1(n ≥2)， 所以a n =4n−1+4n−2+4n−3+⋯+41+2=4(1−4n−1)1−4+2=4n+23(n ∈N ∗)．故答案为：22；4n +23(n ∈N ∗)．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某收费APP （手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱．该APP 所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x （单位：元）及该月对应的用户数量y （单位：万人），得到如下数据表格：已知x 与y 线性相关．（1）求y 关于x 的线性回归方程(∑ 5i=1x i 2=135，∑ 5i=1x i y i =41.7)；（2）据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，⋯，n ），其回归直线y ＝bx +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x（1）解：由x=15×(3+4+5+6+7)=5，y=15×(1+1.1+1.5+1.9+2.2)=1.54，有b=41.7−5×5×1.54135−5×52=0.32，a=1.54−0.32×5=−0.06，故y关于x的线性回归方程为y＝0.32x﹣0.06；（2）解：由（1）知回归方程为y＝0.32x﹣0.06，当x＝10时，y＝0.32×10﹣0.06＝3.14，所以预测该月的用户数量为3.14万人．18．（12分）现将某校高三年级不同分数段的学生对数学感兴趣程度进行调查（只有感兴趣和不感兴趣两个选项且每人必须选择其中一项），随机抽调了50人，各分数段频数（单位：人）及对数学感兴趣人数如表：（1）根据以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.5%的把握认为“该校高三学生对数学的兴趣程度与成绩110分为分界点有关”？（2）若在成绩为[90，110）分数段并且对数学感兴趣的人中随机选取4人，求成绩来自[90，100）这一分数段人数ξ的分布列及数学期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．解：（1）由题意2×2列联表如下：K2=50(9×4−21×16)230×20×25×25=12＞7.879，所以有99.5%的把握认为“该校高三学生对数学的兴趣程度与成绩110分为分界点有关”；（2）成绩为[90，100）分数段并且对数学感兴趣的有3人，成绩为[100，110）分数段并且对数学感兴趣的有5人，从中随机选取4人，成绩来自[90，100）这一分数段人数ξ的取值可以为：0，1，2，3，P(ξ=0)=C54C84=114，P(ξ=1)=C31C53C84=37，P(ξ=2)=C32C52C84=37，P(ξ=3)=C33C51C84=114，所以ξ的分布列为：E(ξ)=0×114+1×37+2×37+3×114=32．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣1（n∈N*），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）当n＝1时，S1＝2a1﹣1＝a1，得a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1，得a n＝2a n﹣1，∴a na n−1=2，故数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，故a n=2n−1；（2）由a n=2n−1，b n＝a n log2a n，得b n=(n−1)⋅2n−1，∴T n=0⋅20+1⋅21+2⋅22+⋯+(n−1)⋅2n−1，则2T n=0⋅21+1⋅22+⋯+(n−2)⋅2n−1+(n−1)⋅2n，两式作差可得−T n=2+22+23+⋯+2n−1−(n−1)⋅2n=2(1−2n−1)1−2−(n−1)⋅2n＝﹣（n﹣2）•2n﹣2，则T n=(n−2)⋅2n+2，n∈N∗．20．（12分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，∠A1AC＝45°，AA1=2√2，AC＝2．（1）证明：平面A1BC⊥平面ABC；（2）求二面角A1﹣BC1﹣B1的平面角的余弦值．解：（1）证明：因为∠A1AC＝45°，AA1=2√2，AC＝2，所以A1C2=A1A2+AC2−2A1A⋅AC⋅cos45°=4，则A1C＝2，即A1A2=A1C2+AC2，所以A1C⊥AC，又平面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，A1C⊂平面ACC1A1，所以A1C⊥平面ABC，又A1C⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ABC；（2）建立如图所示空间直角坐标系：则A1(0，0，2)，B(1，√3，0)，C1(−2，0，2)，B1(−1，√3，2)，则A 1B →=(1，√3，−2)，A 1C 1→=AC →=(−2，0，0)， BB 1→=AA 1→=(−2，0，2)，B 1C 1→=BC →=(−1，−√3，0)． 设平面A 1BC 1的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅A 1B →=0m →⋅A 1C 1→=0，即{x +√3y −2z =0−2x =0，取m →=(0，2，√3)； 设平面BC 1B 1的法向量为n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅BB 1→=0n →⋅B 1C 1→=0，即{−2a +2c =0−a −√3b =0，取n →=(√3，−1，√3)，故cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →|×|n →|=−2+37×7=17，又两个法向量同时指向二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的内部， 所以二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值为−17．21．（12分）已知抛物线E ：y 2＝x 的焦点为F ，过x 轴正半轴上一点M 的直线l 与抛物线E 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA →⋅OB →=6． （1）求点M 的坐标；（2）设点F 关于直线OB 的对称点为C ，求四边形OABC 面积的最小值． 解：（1）设直线l 的方程为x ＝my +t （t ＞0）， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （t ，0），由{y 2=x x =my +t，可得y 2﹣my ﹣t ＝0，则y 1y 2＝﹣t ， 所以x 1x 2=y 12y 22=t 2，因为OA →•OB →=x 1x 2+y 1y 2＝6， 所以t 2﹣t ﹣6＝0，解得t ＝3， 所以直线l 过点M （3，0）． （2）不妨设y 1＞0，y 2＜0，则由（1）知y 1y 2＝﹣3，即y 2=−3y 1，由对称性得S △BOC ＝S △BOF =12|OF |•|y 2|=12×14•3y 1=38y 1， 又S 四边形AOBC ＝S △AOB +S △BOC =12|OM |•|y 1﹣y 2|+38y 1=12×3（y 1+3y 1）+38y 1=32y 1+398y 1≥2√32y 1⋅398y 1=3√132， 当且仅当32y 1=398y 1，即y 1=√132时，取等号． 故四边形OABC 面积的最小值为3√132．22．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣kx 2（k ∈R ）有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （1）求实数k 的取值范围； （2）证明：lnx 1+lnx 2＞1．解：（1）因为函数f （x ）＝lnx ﹣kx 2（k ∈R ）有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2）， 所以方程k =lnxx 2有两个根x 1，x 2（x 1＜x 2）， 设g （x ）=lnxx 2，x ＞0， 即y ＝k 与g （x ）=lnxx 2有两个交点， g ′（x ）=1x ⋅x 2−2xlnxx 4=1−2lnxx 3， 令g ′（x ）＝0得x =√e ，所以在（0，√e ）上g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增， 在（√e ，+∞）上g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减， 所以g （x ）max ＝g （√e ）=12e， x →0时，g （x ）→﹣∞；x →+∞时，g （x ）→0， 所以0＜k ＜12e ， 所以k 的取值范围为（0，12e）．（2）证明：由题知lnx 1−kx 12=0，lnx 2−kx 22=0，且0＜x 1＜√e ＜x 2， 所以lnx 1=kx 12①，lnx 2=kx 22②， ①+②得lnx 1+lnx 2＝k （x 12+x 22），③ ①﹣②得lnx 1﹣lnx 2＝k （x 12−x 22），④③④得lnx 1+lnx 2lnx 1−lnx 2=x 12+x 22x 12−x 22，所以lnx 1+lnx 2=x 12+x 22x 12−x 22•（lnx 1﹣lnx 2）=(x 1x 2)2+1(x 1x 2)2−1ln x 1x 2，0＜x 1x 2＜1， 要证lnx 1+lnx 2＞1，即证(x1x 2)2+1(x1x 2)2−1ln x 1x 2＞1，0＜x1x 2＜1，令t =x1x 2，则0＜t ＜1， 即证t 2+1t 2−1lnt ＞1，即证（t 2+1）lnt ＜t 2﹣1， 即证（t 2+1）lnt ﹣t 2+1＜0，令h （t ）＝（t 2+1）lnt ﹣t 2+1，0＜t ＜1， h ′（t ）＝2tlnt +（t 2+1）•1t −2t ＝2tlnt ﹣t +1t ，令u （t ）＝2tlnt ﹣t +1t，0＜t ＜1， u ′（t ）＝2lnt +2t •1t −1−1t 2=2lnt +1−1t 2， u ″（t ）=2t +2t3＞0，所以u ′（t ）在（0，1）上单调递增， 所以u ′（t ）＜u ′（1）＝0， 所以u （t ）在（0，1）上单调递减， 所以u （t ）＞u （1）＝0， 所以h ′（t ）＞0，所以h （t ）在（0，1）上单调递增， 所以h （t ）＜h （1）＝0，得证．。
河南省南阳市高二下学期数学期末考试试卷(文科)
河南省南阳市高二下学期数学期末考试试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合M={y|y=,x＜0},N=,则M∩N=（）A . (1,+∞)B . (0,1)C .D . (0,1)∪(1,+∞)2. （2分） (2018高二上·泸县期末) 已知命题：，则（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·淮南模拟) 已知向量，则是“ 与反向”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，过F2的直线与椭圆交于A、B 两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（）A .B . 2﹣C . ﹣2D . ﹣5. （2分） (2019高三上·郑州期中) 已知命题p：函数在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数在上是减函数，若p且为真命题，则实数的取值范围是（）A .B . 2C . 1<≤ 2D . ≤ l或 >26. （2分）(2017·成武模拟) 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4 ，|DE|=2 ，则C的焦点到准线的距离为（）A . 2B . 4C . 6D . 87. （2分） (2017高一上·青浦期末) 已知函数f（x）=lg（ax﹣bx），（a，b为常数，a＞1＞b＞0），若x∈（2，+∞）时，f（x）＞0恒成立，则（）A . a2﹣b2＞1B . a2﹣b2≥1C . a2﹣b2＜1D . a2﹣b2≤18. （2分）已知直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，则m的取值范围是（）A . m≥3B . m≤3C . m＞3D . m＜39. （2分）曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数f（x）（x∈R）满足＞f（x），则（）A . f（2）＜f（0）B . f（2）≤f（0）C . f（2）＝f（0）D . f（2）＞f（0）11. （2分） (2016高二上·成都期中) 点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A .B .C .D .12. （2分）若函数f(x)的导函数f'(x)=x2-4x+3，则函数f(x+1)的单调递减区间是（）A . (-3,-1)B . (0,2)C . (1,3)D . (2,4)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={|x（x﹣2）（x﹣5）＜0}，则A∪B=________．14. （1分）(2017·吉安模拟) 已知双曲线C：的离心率为，实轴为AB，平行于AB的直线与双曲线C交于点M，N，则直线AM，AN的斜率之积为________15. （1分）已知a＞0，f（x）=x+alnx，若对区间内的任意两个相异实数x1 ， x2 ，恒有，则实数a的取值范围是________．16. （1分）下列结论正确的是________①f（x）=ax﹣1+2（a＞0，且a≠1）的图象经过定点（1，3）；②已知x=log23，4y=，则x+2y的值为3；③若f（x）=x3+ax﹣6，且f（﹣2）=6，则f（2）=18；④f（x）=x（）为偶函数；⑤已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且B⊆A，则m的值为1或﹣1．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2016高二下·潍坊期末) 设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≤0，（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （10分） (2015高二上·莆田期末) 已知双曲线C过点A（﹣，1），且与x2﹣3y2=1有相同的渐近线．（1）求双曲线C的标准方程；（2）过双曲线C的一个焦点作倾斜角为45°的直线l与双曲线交于A，B两点，求|AB|．19. （5分） (2016高一上·上饶期中) 如果函数f（x）=（x﹣1）2+1定义在区间[t，t+1]上，求f（x）的最小值．20. （10分） (2018高二下·哈尔滨月考) 已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是．（1）求椭圆E的方程；（2）过点，斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21. （10分）已知函数（1）若函数f（x）在点（1，f（1））的切线平行于y=2x+3，求a的值．（2）求函数f（x）的极值．22. （10分） (2018高二下·鸡泽期末) 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的普通方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.23. （10分）(2017·延边模拟) [选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=3时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣3|，∀x∈R，f（x）+g（x）≥5，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
河南省南阳市城郊高级中学2022年高二数学文下学期期末试题含解析
河南省南阳市城郊高级中学2021-2022学年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么角A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°参考答案：B【考点】余弦定理．【分析】由（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，可得b2+c2﹣a2=bc，利用余弦定理即可求得角A．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，∴b2+c2﹣a2=bc，∵b2+c2﹣a2=2bccosA，∴2cosA=1，∴cosA=，又A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：B．2. 复数为纯虚数，则实数的值为( )A. B. 0 C. 1 D.参考答案：A略3. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，横纵坐标均为整数的点的个数是（）A．3 B．2 C．1D． 0参考答案：D略4. 若且是，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角参考答案：C5. (本小题满分12分)一个平面用条直线去划分，最多将平面分成个部分．（1）求（2）观察有何规律，用含的式子表示（不必证明）；（3）求出．参考答案：解：（1）易知-----------------4分（2）猜想 --------------------------8分（3）把（2）中的个式子相加得，故 ----------------------------12分略6. 一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒参考答案：C7. 取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得的两段长度都不小于1.5m的概率是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．【解答】解：记“两段的长都不小于1.5m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1.5，所以事件A发生的概率 P（A）=．故选：A．8. 已知函数，则( * ).A． B．C．D．ks5u参考答案：D略9. 设且，下列命题中的真命题是（）A. B. C. D.参考答案：C略10. 设，若，则等于（）A．或 B．或 C．或D．或或参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是．参考答案：略12. 双曲线﹣y2=1的焦距是，渐近线方程是．参考答案：2, y=±x.【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．13. 六个面都是平行四边形的四棱柱称为“平行六面体”.如图甲在平行四边形ABCD中，有，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若设底面边长和侧棱长分别为a，b，c，则用a，b，c表示等于.参考答案：在平行四边形中，由题意可得．同理，在平行四边形和平行四边形中分别可得，，∴．14. 已知直线l1：3x﹣y+2=0，l2：x+my﹣3=0，若l1∥l2，则m的值等于．参考答案：﹣【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用平行线的充要条件即可得出．【解答】解：∵l1∥l2，∴，解得m=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了平行线的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15. 已知双曲线的焦点为，离心率为，则双曲线的方程是-----_________参考答案：略16. 的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大项为______．参考答案：【分析】根据二项式展开式奇数项的二项式系数之和公式列方程，求得的值，进而求得二项式展开式中二项式系数最大项.【详解】由于二项式展开式奇数项的二项式系数之和为，即，所以，此时二项式展开式一共有项，故第项的二项式系数最大，.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的二项式系数之和，考查二项式展开式中二项式系数最大的项的求法，属于基础题.17. 函数f(x)=a x－1－2(a＞0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx－ny－1=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为。