高中数学 第一章 计数原理 1.1 两个基本计数原理 染色问题素材 苏教版选修2-3
染色问题
例1正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同.
证明：正方形有6个面由最多[(m-1)÷n]+1 得出[(6-1)÷2]+1=[2.5]+1=3例2 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
分析与解答首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.根据抽屉原理，至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。
例3：假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？
解：首先可以从这六个点中任意选择一点，然后把这一点到其他五点间连五条线段，如图，在这五条线段中，至少有三条线段是同一种颜色，假定是红色，现在我们再单独来研究这三条红色的线。
这三条线段的另一端或许是不同颜色，假设这三条线段（虚线）中其中一条是红色的，那么这条红色的线段和其他两条红色的线段便组成了我们所需要的同色三角形，如果这三条线段都是蓝色的，那么这三条线段也组成我们所需要的同色三角形。
因而无论怎样着色，在这六点之间的所有线段中至少能找到一个同色三角形。
例3′（六人集会问题）证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。
”
例3”：17个科学家中每个人与其余16个人通信，他们通信所讨论的仅有三个问题，而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题。
证明：至少有三个科学家通信时讨论的是同一个问题。
解：不妨设A是某科学家，他与其余16位讨论仅三个问题，由鸽笼原理知，他至少与其中的6位讨论同一问题。
设这6位科学家为B，C，D，E，F，G，讨
论的是甲问题。
若这6位中有两位之间也讨论甲问题，则结论成立。
否则他们6位只讨论乙、丙两问题。
这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题，不妨设这三位是C，D，E，且讨论的是乙问题。
若C，D，E中有两人也讨论乙问题，则结论也就成立了。
否则，他们间只讨论丙问题，这样结论也成立。
两个基本计数原理教案
第一章计数原理第1节两个基本计数原理教材分析本节课《分类计数原理与分步计数原理》是苏教版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节的内容，是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根本方法.学情分析高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。
但在合作交流意识欠缺，有待加强. 目标分析⑴知识与技能①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题．⑵过程与方法①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题⑶情感、态度、价值观树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣.教学重难点分析教学重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握教学难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题．教法、学法分析教法分析：①启发探究法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
学法分析：本节课要求学生自主探究，学会用类比的思想解决问题，树立学生的合作交流意识.教学过程一、创设情境：对于分类计数原理设计如下情境（看多媒体）：该情境是原教材上情境经过加工设计的，比原教材情境更加贴近学生生活，能够增强学生的有意注意，激发学生的兴趣，调动学生的主动性和积极性,从而进入思维情境接着是对情境的处理：在情境处理过程中要启发学生由特殊情形归纳出一般原理,遵循由简单到复杂的认知规律，我处理情境的办法是：第一步在解决问题时首先让学生尝试分析,然后由学生代表分析解答，教师及时给出评价，并由老师给出解题过程，在这里由老师按分类计数原理给出解题过程，为学生顺利总结概括出原理做好铺垫.第二步对原问题加以引申：若当天有4次航班，则有多少种不同方法？设计的意图是让学生更清楚的认识到总方法数是各类方法数之和.第三步提出问题：你能否尽可能简练的总结出问题1中的计数规律？接着由学生分组讨论、总结问题1中计数规律，这样由学生总结归纳，并通过讨论准确叙述出分类计数原理，可以提高学生的数学表达意识，激发合作意识和竞争意识，体验获得成功的喜悦，也就完成了情感目标.第四步由教师板书分类计数原理(加法原理）并说明由于总方法数是各类方法数之和，树立学生平时学习生活中的讲道理意识.在分类计数原理中设计如下问题情境，问题2与问题1的背景一样：都是乘车方法的计数问题.对于问题2的处理办法是：第一步由学生自主尝试分析解答，但该问题并没有问题1般简单所以就有了第二步教师电脑屏幕显示分析及解题过程，利用多媒体显示动画，辅助分析，展示不同的走法,帮助学生更直观的解决问题，然后由感性进入理性，这也符合一般的认知规律.第三步问题引申将问题引申为若从兰州到天水新增一辆4号汽车，则有多少种乘车方法？设计的意图是：通过引申让学生更加清楚的认识到总方法数是各步方法数相乘.第四步提出问题：你能否对照分类计数原理，归纳概括出问题2蕴含的计数规律,并尝试命名，这样设计一可指导学生通过类比给出分步计数原理，渗透类比思想第二也可在自主探究中掌握本节重点，当然重点的突破也为难点突破打下了知识基础第五部教师板书：分步计数原理（乘法原理），由学生说明其称为乘法原理的理由.分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.二、建构数学在总结出两个计数原理的基础上让学生进行如下三个问题的探究，初步突破难点.探究1：对比两计数原理，指出相同点与不同点设计探究1的意图是通过自主探究合作探究，加深两个定理的理解并且在两个定理内容的比较中提高学生阅读数学的能力.探究方式：分组讨论（合作交流，加深理解）探究结果：共同点是：研究对象相同,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”由于学生的认识水平有限，在这里只要求认识到分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”.探究2：何时用分类计数原理,何时用分步计数原理探究方式：自主探究，代表发言，共同总结.探究结果：若完成一件事情有n类方法，则用分类计数原理.若完成一件事情有n个步骤，则用分步计数原理.设计意图：在探究1基础上进一步突破重难点，培养学生分析问题的能力.探究3：用两个计数原理解决计数问题的思维步骤探究方式：分组讨论，合作探究，代表发言,共同总结.探究结果：1、明确要完成什么事2、判断分类还是分步3、计算总方法数（一）两个计数原理内容1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法.2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法.（二）例题分析例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。
江苏省兴化市高中数学 第一章 计数原理 1.1 两个基本计数原理导学案(含解析)苏教版选修23
两个基本计数原理班级 姓名 学号 组别1.通过实例总结得出并理解两个基本计数原理2.了解分类、分步的特征，合理分类、分布3.应用两个计数原理解决简单的实际问题掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理．会用两个基本计数原理解决一些简单的应用问题．※预习检测I.阅读课本《选修2-3》P4-8内容. II.预习自测：1.（1）分类计数原理（加法原理）：完成一件事有n 类方式，由第1种方法中有1m 种不同的方法可以完成，由第2种方法有2m 种不同的方法可以完成，……由第n k 种途径有n m 种方法可以完成。
那么，完成这件事共有=N 种不同的方法。
（2）分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，……做第 n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有=N 种不同的方法。
2. 分类计数原理中提到“完成一件事有n 类方式”，是何含义？【提示】“完成一件事，有n 类方式”，是说每种方式“互斥”，即每种方式都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以．3．利用分类计数原理计数时，应采用怎样的分类标准？【提示】(1)分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合该问题的分类标准；其次完成这件事的任何一种方法必须属于且只能属于某一类方式．(2)分类的对象要单一，分类的标准要一致．对于多对象的分类要层次分明，有条不紊．4．分步计数原理中，“完成一件事，需要分成几个步骤”是何含义？【提示】第一，完成这件事必须且只需连续做完所分步骤，即分别从各个步骤中选一种完成该步骤的方法，将各步骤方法依次串联在一起就得到完成这件事情的一种方法；第二，完成任何一个步骤所选用的方法与其他步骤所选用的方法无关．简而言之，就是应用分步计数原理时要做到“步骤完整”．5.分类计数原理与分步计数原理有什么区别？【提示】分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．6．完成《选修2-3》P8的练习No.3、5、6，并将答案写在《导学案》上（不必抄题）※问题提交（将你预习后的疑惑以及你还有的想法写在下面的“我思我疑”中）I.解决“预习自测”和“我思我疑”中的问题。
苏教版高中数学高二课件 1.1 两个基本计数原理(一)
题型二 分步计数原理的应用
例2 已知集合M＝{－3,－2,－1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示 平面上的点,问： (1)点P可表示平面上多少个不同的点？ 解 确定平面上的点P(a,b),可分两步完成：第一步确定a的 值,有6种不同方法；第二步确定b的值,也有6种不同方法.根 据分步计数原理,得到平面上点P的个数为6×6＝36.
(2)甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步计数原理, 有1×6＝6(种)选法. 故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种). 第二类：甲不入选,可分两步. 第一步,从只会英语的6人中选1人有6种选法：第二步,从只 会日语的2人中选1人有2种选法.由分步计数原理,有6×2＝ 12(种)不同的选法. 综上,共有8＋12＝20(种)不同选法.
由分类计数原理知,符合题意的两位数共有 9＋8＋7＋6＋5 9×1＋9
＋4＋3＋2＋1＝ 2 ＝45(个).
即个位数字小于十位数字的两位数共有45个.
反思与感悟 该问题与计数有关,完成的事是组成两位数, 当两位数的十位数字、个位数字确定后,这个两位数也就 确定了,因而可考虑以排个位上的数字情况进行分类,对于 每一个个位上的数字,满足条件的十位上的数字的个数就 是完成一件事的一类办法中的不同方法数.
课堂小结
1.应用两个基本计数原理时,要仔细区分原理的不同,分类计 数原理关键在于分类,不同类之间互相排斥,互相独立；分步 计数原理关键在于分步,各步之间互相依存,互相联系. 2.通过对这两个原理的学习,要进一步体会分类讨论思想及等 价转化思想在解题中的应用.
所以,共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋ 9×10＝431(种).
反思与感悟 (1)在处理具体的应用题时,首先必须弄清是 “分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”或“分步”的 具体标准是什么,选择合理的标准处理事件,关键是看能否独 立完成这件事,可以避免计数的重复或遗漏. (2)对于一些比较复杂的既要运用分类计数原理又要运用分 步计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格, 使问题更加直观、清晰.
高中数学第一章计数原理1_1两个基本计数原理优化训练苏教版选修23
第1章计数原理两个基本计数原理五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.将三封信投到4个邮筒,最多的投法有______________种( ).3 C答案：C解析：分三步:(1)第一封信可投入4个中任一个,4种情况;(2)第二封信可投入4个中任一个,4种情况;(3)第三封信可投入4个中任一个,4种情况;根据分步计数原理,知N=4×4×4=43(种).2.已知集合A={1,2,3},集合B={4,5,6},映射f:A→B,且满足1的象是4,则这样的映射有( )个个个个答案：D解析:因为1→4,则由映射定义知2和3各有3种对应方式.由分步乘法计数原理得N=3×3=9(种).3.某商业大厦有东,南,西三个大门,楼内东西两侧各有两个楼梯,由楼外到二楼上的走法种数是( )答案：D解析:分三步:第一步:进大门有3种情况;第二步:上二楼有4种情况.∴N=3×4=12(种).4.从1,2,3,4,7,9六个数中,任取两个数作对数的底数和真数,则所有不同的对数的值的个数是______________个.答案：17解析:分两类:(1)当取1时,1只能为真数,此时y=0.(2)不取1时,分两步.①取底数有5种;②取真数有4种.其中,log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93,∴N=1+5×4-4=17(个).十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.已知集合A={0,2,5,7,9},从集合A中取两个元素相乘组成集合B,则集合B的子集个数为( )1.答案：D解析:分两类:(1)取0时,有1种;(2)不取0时,有6种.∴B 中含有7个元素,子集为27=128个.2.把10个苹果分成三堆，要求每一堆至少有1个，至多5个，则不同的分类方法共有( ) 种 种 种 种答案：A解析：按每堆苹果的数量可分为4类，即1，4，5；2，3，5；3，3，4；2，4，4；且每一类中只有一种分法.3.现有四种不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的选法种数为…（ ）答案：C解析：因为在四件上衣中任取一件有4种不同的取法,再在三件长裤中任取一件有3种不同的取法,要完成配套,则由分步计数原理,共有4×3=12种不同的取法.4.集合A={a,b,c,d,e}有5个元素,集合B={m,n,f,h}有4个元素,则(1)从集合A 到集合B 可以建立____________个不同的映射;(2)从集合B 到集合A 可以建立____________个不同的映射.答案：(1)45 (2)54 解析:要想建立一个从A 到B 的映射,必须使集合A 中的每一个元素都能在B 中有唯一确定的元素与之对应.因此,要使A 中5个元素均找到象,必分5步完成.首先看A 中元素a 在B 中有象的可能有4种,其他同样用分步原理求解.根据映射定义,以及分步计数原理可得(1)可建立起4×4×4×4×4=45(个)不同的映射;(2)可建立起5×5×5×5=54(个)不同的映射.5.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有____________个.答案：36解析：根据题意,将十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.由0,1,2,3组成的四位数(数字可重复使用)的个数为…（ ）×43答案：D解析：组成的四位数的千位上有3种选择,其余位都有4种选择,故有3×43种.名教师和7名学生排成一横排照相，3名教师必须排在一起的不同排法种数有（ ）A.3388A AB.88AC.3377A AD.38781010A A A答案：A解析：3名教师排一起，有33A 种方法，再把3名老师看成1人，与7名学生排，有A 88种方法，由乘法原理，共有33A A 88种不同的排法. 3.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想从01至10中选3个连 续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则此人把这种特殊要求的号买全,至少要花( )360元 720元 320元 640元答案：D解析:这种特殊要求的号共有8×9×10×6=4 320(注),因此至少需花钱4 320×2=8 640(元).4.设集合A={1,2,3,4},m,n∈A ,则方程ny m x 22 =1表示焦点位于x 轴上的椭圆有（ ） 个 个 个 个答案：A解析：当m=4时,n=1,2,3;当m=3时,n=1,2；当m=2时,n=1，共有3+2+1=6,选A.5.圆周上有2n 个等分点(n>1)，以其中三个为顶点的直角三角形的个数为___________.答案：2n 2-2n解析：因为有2n 个等分点,由每两个过圆心的等分点可组成(2n-2)个直角三解形,有22n =n 对过圆心的等分点,所以有n(2n-2)个直角三角形.张卡片的正、反面分别有0与1、2与3、4与5、6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解:分三个步骤：第一步：首位可放8-1=7个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数.据乘法原理，可组成N=7×6×4=168个.160的正约数有多少个?其中偶数有多少个?解:由已知,得2 160的正约数为2m ·3n ·5P ,其中m∈{0,1,2,3,4},n∈{0,1,2,3},p∈{0,1}.由分步计数原理知2 160的正约数有5×4×2=40个.其中偶数有4×4×2=32个.是集合M={a,b,c,d}到集合N={0,1,2}的映射,有f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,则不同的映射有多少个?解:由f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4知4=0+0+2+2,4=1+1+2+0,4=1+1+1+1,共3类,由加法原理,共有6+6×2+1=19个映射.9.甲、乙、丙、丁四个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？解：排出所有的分配方案.（1）甲取得乙卡，分配方案如下图，此时乙有甲、丙、丁3种取法，若乙取甲,则丙取丁、丁取丙；若乙取丙，则丙取丁、丁取甲;若乙取丁，则丙取甲、丁取丙，故有3种分配方案.（2）甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取得贺卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；（3）甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取得贺卡如下：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.由加法原理，共有3+3+3=9种.10.从甲地到乙地,如果翻过一座山,上山有2条路,下山有3条路.如果不走山路,由山北绕道有2条路,由山南绕道有3条路.问:(1)如果翻山而过,有多少种不同走法?(2)如果绕道而行,有多少种不同走法?(3)从甲地到乙地共有多少种不同走法?解:(1)翻山分两步:①上山有2种;②下山有3种.∴N=2×3=6(种).(2)绕道分两类:①山南绕道有3种;②山北绕道有2种.∴N=2+3=5(种).(3)从甲到乙共两类:①不走山路有5种;②走山路有6种.∴N=5+6=11(种).。
高中数学 第1章 计数原理 1.1 两个基本计数原理教学案 苏教版选修2-3
1.1 两个基本计数原理第1课时分类计数原理与分步计数原理1．2016年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，每天有7次航班，5列火车．问题1：该志愿者从北京到南京可乘的交通工具可分为几类？提示：两类，即乘飞机、乘火车．问题2：这几类方法相同吗？提示：不同．问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？提示：7＋5＝12(种)．2．甲盒中有3个不同的红球，乙盒中有5个不同的白球，某同学要从甲盒或乙盒中摸出一球．问题4：不同的摸法有多少种？提示：3＋5＝8(种)．3．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为生活委员．问题5：不同选法的种数为多少？提示：26＋24＝50.完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.1．2016年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，但需在天津停留，已知从北京到天津有7次航班，从天津到南京有5列火车．问题1：该志愿者从北京到南京需要经历几个步骤？提示：两个，即从北京到天津、从天津到南京．问题2：这几个步骤之间相互有影响吗？提示：没有，第一个步骤采取什么方式完成与第二个步骤采用的方式没有任何关系．问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？提示：7×5＝35 种．2．若x∈{2，3，5}，y∈{6，7，8}．问题4：能组成的集合{x，y}的个数为多少？提示：3×3＝9(个)．3．某班有男生26人，女生24人，从中选一位男同学和一位女同学担任生活委员．问题5：不同的选法的种数为多少？提示：26×24＝624种．完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．1．分类计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步计数原理的每一个步骤只是完成这件事情的中间环节，不能独立完成这件事情．2．分类计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积．[例1] 某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有29人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人，从中任选1人去献血，共有多少种不同的选法？[思路点拨] 先按血型分类，再求每一类的选法，然后求和．[精解详析] 从中选1人去献血的方法共有4类：第一类：从O型血的人中选1人去献血共有29种不同的方法；第二类：从A型血的人中选1人去献血共有7种不同的方法；第三类：从B型血的人中选1人去献血共有9种不同的方法；第四类：从AB型血的人中选1人去献血共有3种不同的方法．利用分类计数原理，可得选1人去献血共有29＋7＋9＋3＝48种不同的选法．[一点通] 利用分类计数原理，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次确定一个合理的分类标准，将完成“这件事”的方法进行分类；然后，对每一类中的方法进行计数，最后由分类计数原理计算总方法数．1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出1种种植，不同的种植方法有________种．解析：分4种品种种植，根据分类计数原理可知，共有4种不同的种植方法．答案：42．所有边长均为整数，且最大边长均为11的三角形的个数为________．解析：假设另两边长分别为a，b(a，b∈Z)，不妨设a≤b≤11，要构成三角形，必有a ＋b≥12，因此b≥6.当b＝11时，a可取1，2，3，…11；当b＝10时，a可取2，3，…，10；当b＝6时，a只能是6.故所有三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：363．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因此根据分类计数原理，这名同学可能的专业选择共有5＋4＝9(种).[例2] 要安排一份 5 天的值班表，每天有一个人值班，共有 5 个人，每个人值多天或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有多少种不同的排法？[思路点拨] 该问题是计数问题，完成一件事是排值班表，因而需一天一天的排，用分步计数原理，分步进行．[精解详析] 先排第一天，可排5人中任一人，有 5 种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有 4 种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有 4 种排法；同理，第四、五天各有 4 种排法．由分步计数原理可得值班表不同的排法共有：N＝5×4×4×4×4＝1 280 (种)．[一点通] 利用分步计数原理解决问题应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事．4. 用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要“眼睛”(如图A，B所示区域)用相同颜色，则不同的涂色方法共有________种．解析：第1步涂眼睛有6种涂法，第2步涂鼻子有6种涂法，第三步涂嘴有6种涂法，所以共有63＝216种涂法．答案：2165．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为________．解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．答案：126．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？解：(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法．根据分步计数原理，得到平面上点P的个数为6×6＝36.(2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a<0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b>0，所以有2种不同方法．由分步计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6.[例3] 有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？(3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？[思路点拨] (1)从老师、男、女同学中选 1人，用分类计数原理．(2)从老师、男、女同学中各选1人，用分步计数原理．(3)分类计数原理与分步计数原理的综合．[精解详析] (1)有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．(2)分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步计数原理，共有3×8×5＝120种选法．(3)可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第二类：选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．由分类计数原理，共有24＋15＝39种选法．[一点通] 用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准．在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性．7．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的直线共有________条．解析：解决这件事分两类完成：第1类，当A或B中有一个为0时，表示直线为y＝0或x＝0，共2条；第2类，当A，B都不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成．第1步，确定A的值，有4种不同的方法；第2步，确定B的值，有3种不同的方法．由分步计数原理，共可确定4×3＝12(条)直线．所以由分类计数原理，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14(条)．答案：148．从5名医生和8名护士中选出1名医生和1名护士组成一个两人医疗组，共有________种不同的选法．解析：完成这件事需分两步：第一步，从5名医生中选一名，有5种不同的选法；第二步，从8名护士中选一名，有8种不同的选法，故共有5×8＝40种不同的选法．答案：409．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明的爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？解：(1)小明的爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类计数原理，小明的爸爸共有8＋6＝14种坐法．(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；第二步，小明的爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，(小明坐下后，空闲凳子数变成13)共13种坐法．由分步计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．1．利用分类计数原理解题的步骤(1)分类：理解题意，确定分类标准，做到不重不漏；(2)计数：求出每一类中的方法数；(3)结论：将每一类中的方法数相加得最终结果．2．利用分步计数原理解题的步骤(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．课下能力提升(一)一、填空题1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法有________种．解析：由分类计数原理知，有3＋5＝8种不同的选法．答案：82．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有________种．解析：分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：由第一步教师监考班的数学老师选有3种选法；第三步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法．共有3×3×1×1＝9种监考的方法．答案：93．3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有________种．解析：第1名学生有4种选报方法；第2、3名学生也各有4种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有4×4×4＝64.答案：644．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)解析：分两类，第一棒是丙有1×2×4×3×2×1＝48(种)；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×1＝48(种)，根据分类计数原理得：共有方案48＋48＝96(种)．答案：965．从集合A＝{1，2，3，4}中任取2个数作为二次函数y＝x2＋bx＋c的系数b，c，且b ≠c ，则可构成________个不同的二次函数．解析：分成两个步骤完成：第一步选出b ，有4种方法；第二步选出c ，由于b ≠c ，则有3种方法．根据分步计数原理得：共有4×3＝12个不同的二次函数．答案：12二、解答题6．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列有多少个？解：当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为32时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个．7．已知a ∈{3，4，6}，b ∈{1，2，7，8}，r ∈{8，9}，则方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2可表示多少个不同的圆？解：按a ，b ，r 取值顺序分步考虑：第一步：a 从3，4，6中任取一个数，有3种取法；第二步：b 从1，2，7，8中任取一个数，有4种取法；第三步：r 从8、9中任取一个数，有2种取法；由分步计数原理知，表示的不同圆有 N ＝3×4×2＝24(个)．8．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．(1)从中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？解：(1)从书架上任取一本书，有两类方法：第一类方法是从上层取一本数学书，有6种方法；第二类方法是从下层取一本语文书，有5种方法．根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是6＋5＝11.答：从书架上任取一本书，有11种不同的取法．(2)从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种取法；第二步取一本语文书，有5种取法．根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是6×5＝30.答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的取法．第2课时分类计数原理与分步计数原理的应用[例1] 从0，1，2，3，4，5这些数字中选出4个，能组成多少个无重复数字且能被5整除的四位数？[思路点拨] 能被5整除的数分为末位数字为0及末位数字为5两类．[精解详析] 满足条件的四位数可分为两类：第一类是0在末位的，需确定前三位数，分三步完成，第一步：确定首位有5种方法；第二步，确定百位有4种方法；第三步，确定十位有3种方法．所以第一类共有5×4×3＝60(个)．第二类是5在末位，前三位数也分三步完成．第一步确定首位有4种方法，第二步，确定百位有4种方法，第三步确定十位有3种方法．第二类共有4×4×3＝48(个)．所以，满足条件的四位数共有60＋48＝108(个)．[一点通] 对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成．如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．1.将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有________种．解析：由于3×3方格中，每行、每列均没有重复数字，因此可从中间斜对角线填起．如图中的△，当△全为1时，有2种(即第一行第2列为2或3，当第二列填2时，第三列只能填3，当第一行填完后，其他行的数字便可确定)，当△全为2或3时，分别有2种，共有6种；当△分别为1，2，3时，也共有6种，共12种．答案：122．由0，1，2，3，…，9十个数字和一个虚数单位可以组成虚数的个数为________．解析：复数a＋b i(a，b∈R)为虚数，则a有10种选法，b有9种选法，根据分步计数原理，共计90种选法．答案：903．从 1，2，3，4 中选三个数字，组成无重复数字的整数，问：满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数．解：(1)三位数有三个数位，故可分三个步骤完成：第一步，排个位，从1，2，3，4 中选 1 个数字，有 4 种方法；第二步，排十位，从剩下的 3 个数字中选 1 个，有 3 种方法；第三步，排百位，可以从剩下的 2 个数字中选 1 个，有 2 种方法．根据分步计数原理，共有4×3×2＝24 个满足要求的三位数．(2)分三个步骤完成：第一步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法；第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个三位偶数.[例2] 如图，要给地图A，B，C，D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？[思路点拨] 根据地图的特点确定涂色的顺序，再进行计算，注意分类讨论．[精解详析] 按地图A，B，C，D四个区域依次涂色，分四步完成：第一步，涂A区域，有3种选择；第二步，涂B区域，有2种选择；第三步，涂C区域，由于它与A，B区域颜色不同，有1种选择；第四步，涂D区域，由于它与B，C区域颜色不同，有1种选择．所以根据分步计数原理，得到不同的涂色方案种数共有3×2×1×1＝6.[一点通] 给区域涂色(种植)问题的一般思路：为了便于分析问题，先给区域(种植的品种)标上相应序号，然后按涂色(种植)的顺序分步或颜色(种植的品种)当选情况分类，最后利用两个原理计数．4．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同种法的种数为________种．解析：先种A地有4种，再种B地有3种，若C地与A地种相同的花，则C地有1种．D 地有3种；若C地与A地种不同花，则C地有2种，D地有2种，即不同种法的种数为N＝4×3×(1×3＋2×2)＝84.答案：845．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是________．解析：因为每四个小方格(2×2型)中有L型图案4个，共有2×2型小方格12个，所以共有L型图案4×12＝48(个)．答案：486. 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图所示的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？解：①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种不同的涂色方法；②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种不同的涂色方法．故共有48＋24＝72种不同的涂色方法.[例3] 有四位同学参加三项不同的竞赛．(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？[思路点拨] (1)分四步，让每一位同学都选择一项竞赛；(2)分三步，每一项竞赛都有一名同学参加．[精解详析] (1)学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有3个不同的机会．要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步．而每位学生均有3个不同机会，所以用分步计数原理可得3×3×3×3＝34＝81种不同结果．(2)竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4位不同学生中的一位．要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步计数原理可得4×4×4＝43＝64种不同结果．[一点通] 解答此题，每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生对完成整个事件的影响至关重要，否则容易把两问结果混淆，其原因是对题意的理解不清，对事情完成的方式有错误的认识．7．保持例题条件不变，若每位学生只能参加一项竞赛，且每项竞赛只许一位学生参加，则有________种不同结果．解析：第一个项目可挑选4位学生中的一位，有4种不同的选法；第二个项目可从剩余的3位学生中选一位，有3种不同的选法；第三个项目可从剩余的2位学生中选一位，有2种不同的选法．故共有4×3×2＝24种不同结果．答案：248．(1)8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？(2)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？(3)3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？解：(1)分三步，每位同学取书一本，第1，2，3个同学分别有8，7，6种取法，因而由分步计数原理，不同分法共有N＝8×7×6＝336(种)．(2)完成这件事情可以分作四步，第一步，投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步，投第二封信，同样有3种投法；第三步，投第三封信，也同样有3种投法；第四步，投第四封信，仍然有3种投法．由分步计数原理，可得出不同的投法共有N＝3×3×3×3＝81种．(3)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同的方法共有N＝4×4×4＝64种．两个计数原理在解决实际问题时常采用的方法课下能力提升(二)一、填空题1．用1，2，3，4可组成________个三位数．解析：组成三位数这件事可分为三步完成：第一步，确定百位，共有4种选择方法；第二步，确定十位，共有4种选择方法；第三步，确定个位，共有4种选择方法，由分步计数原理可知，可组成4×4×4＝64个三位数．答案：642．若在登录某网站时弹出一个4位的验证码：XXXX(如2a8t)，第一位和第三位分别为0到9这10个数字中的一个，第二位和第四位分别为a到z这26个英文字母中的一个，则这样的验证码共有________个．解析：要完成这件事可分四步：第一步，确定验证码的第一位，共有10种方法；第二步，确定验证码的第二位，共有26种方法；第三步，确定验证码的第三位，共有10种方法；第四步，确定验证码的第四位，共有26种方法．由分步计数原理可得，这样的验证码共有10×26×10×26＝67 600个．答案：67 6003．集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．解析：当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7，则共有14个点．答案：144．某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，不同发送方法的种数为________．解析：每封电子邮件都有3种不同的发法，由分步计数原理可得，共有35＝243种不同的发送方法．答案：2435. 如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________种．解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，故不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．答案：480二、解答题6．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．7．用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？解：由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．(1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900 个．(2)由于数字不可重复，可知百位的数字有9种选择，十位的数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648个．(3)百位只有4种选择，十位可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288个．8.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号，B球必须放在与A球相邻(有公共边)的盒子中，求不同的放法有多少种．解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3×2×1＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3×2×1＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有6种不同的放法，根据分步计数原理得，有3×3×2×1＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．。
2020学年高中数学第1章计数原理章末复习课讲义苏教版选修2-3(2021-2022学年)
第１章计数原理【例1】（1)椭圆错误!未定义书签。
+＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3，4,5}，ｎn∈{1，2，3，4，５，6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________．(2)某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且宣传广告与公益广告不能连续播放,两个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?（1)20 ［因为焦点在y轴上,所以0〈m<n，考虑m依次取1,2，3,4,5时，符合条件的ｎ值分别有6，5，4,3,2个，由分类加法计数原理知,满足题意的椭圆的个数为６+5+4＋3＋２=２0个．] (2）解：用1,２,３,4，5,６表示广告的播放顺序,则完成这件事有三类方法.第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事,共有３×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式．第二类:宣传广告与公益广告的播放顺序是１,4,6,分6步完成这件事，共有３×３×２×2×1×1＝３6种不同的播放方式.第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1，3,6,同样分6步完成这件事,共有３×３×2×2×１×1＝３６种不同的播放方式.由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有３6+36＋36＝1０8种．１．使用两个原理解决问题的思路（１)选择使用两个原理解决问题时,要根据我们完成某件事情采取的方式而定,确定是分类还是分步,要抓住两个原理的本质．(2)分类加法计数原理的关键是“类”,分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次分类时要注意，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法.(３)分步乘法计数原理的关键是“步＂,分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准;其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续完成这ｎ个步骤后，这件事才算完成,只有满足了上述条件，才能用分步乘法计数原理．２.使用两个原理解决问题时应注意的问题对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰.1.某外语组有１0人,每人至少会英语、法语中的一门．其中7人会英语，5人会法语．从中选择会英语和法语的各一人派往两地参加会议,有多少种不同的方法？[解]由集合知识可知，既会英语又会法语的有７＋5-10＝2（人)，仅会英语的有７－２=5(人），仅会法语的有5-２=3（人)．易知此题的任务是派遣适合条件的两人.法一:按仅会英语的5人的派遣情况分成两类.第１类：仅会英语的5人中有1人选中，则有5种方法,而会法语的则有５种方法.从而由分步乘法计数原理知，有5×5＝2５种方法;第２类:仅会英语的5人中没有人被选中，则会英语的必须从既会英语又会法语的２人中选，从而有2种选法.而会法语的只能从两种语言均会的剩余1人或仅会法语的3人中选，共有1+３＝4种.由分步乘法计数原理得，此时共有2×4=8种方法．由分类加法计数原理得,共有２5+８＝3３种方法.法二:按既会英语又会法语的２人的选派情况分成3类.ﻬ第１类:２人均未被选派，则有3×５＝15种方法;第2类：２人均被选派，则有2种方法;第3类：2人中恰有1人被选派,则又分为两类：若另一人只会英语，则有2×5＝１0种方法，若另一人只会法语,则有２×3=６种方法,由分类加法计数原理得，共有１5+2＋10＋6=33种方法．【例２】在1,３,可组成多少个不同的五位偶数？［解]共分两类,第一类,五位数中不含数字零．第一步,选出５个数字，有C错误!Ｃ错误!种选法.第二步,排成偶数——先排末位数，有A错误!种排法，再排其他四位数字，有Ａ错误!种排法．∴N1=C错误!·C错误!·A错误!未定义书签。
高中数学新苏教版精品教案《1.1.1 两个基本计数原理》
1．1两个基本计数原理江苏省泰兴中学李建新【课程标准】通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类计数原理或分步计数原理解决一些简单的实际问题．【目标分解】1．通过实例，感知学习两种计数原理的必要性．2．在不同的案例中，通过师生合作，明确分类标准，归纳两种计数原理的问题特征．3．通过不同案例的比较，在教师的引导下，归纳分类计数原理与分步计数原理．4．在不同的案例中，能初步运用两个原理解决问题．【教学重点】分类计数原理与分步计数原理的应用理解．【教学难点】利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题．【教学过程】问题情境（完成目标1）世界杯足球赛决赛阶段比赛，共有32支球队参加。
第一阶段比赛：将32支球队平均分成8组，每组中4个球队进行单循环赛，即每2支球队踢一场，按成绩排出一、二、三、四名，小组积分前2名进入16强。
第二阶段比赛：胜出的16支球队进行单淘汰赛，两队分为一组，败者淘汰，胜者进入下一轮比赛，决出8强。
第三阶段比赛：8强仍进行单淘汰赛，决出4强。
第四阶段比赛：4强分为2组，每组各比赛一场，胜者进行冠、亚军决赛，败者进行三、四名的比赛。
请你计算世界杯足球赛共要进行多少场比赛。
【目标达成分析】通过案例的引入，让学生感受到我们的以前的计数知识已不能满足生活与学习的需要，为计数原理学习的必要性作铺垫．活动一：合作交流，体验过程问题1：从泰州到宿迁，可以乘火车，也可以乘汽车。
一天中，火车有3班, 汽车有2班。
那么一天中乘坐这些交通工具从泰州到宿迁共有多少种不同的走法问题2：从泰州到宿迁，要先从泰州乘火车到淮安，再从淮安乘汽车到宿迁。
一天中，火车有3班, 汽车有2班。
那么一天中乘坐这些交通工具从泰州到宿迁共有多少种不同的走法问题3：为了准备晚饭，小张找出了3种冷冻蔬菜、5种罐装蔬菜和4种不同的新鲜蔬菜．如果晚饭时小张只吃一种蔬菜，那么共有多少种不同的选择？问题4：现有高中一年级的学生4名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生3名．（1）从中任选1人参加夏令营，有多少种不同的选法？（2）从每个年级的学生中各选1人参加夏令营，有多少种不同的选法？问题5：“问题1”中若火车有m1班，汽车有m2班，那么一天中乘坐这些交通工具从泰州到宿迁共有多少种不同的走法问题6：“问题2”中若火车有m1班，汽车有m2班，那么一天中乘坐这些交通工具从泰州到宿迁共有多少种不同的走法试分析上述问题中的计数方式有何特点？能否归纳成一般的数学原理．1．___________原理：2．___________原理：【目标达成分析】通过6组简单案例的讲解，同学们形成两类计数原理的感性认识，教师归纳出两类计数原理的概念，同时提醒学生思考两类计数原理的区别与联系，为活动二作铺垫．活动二：师生合作，共同探究（完成目标2，3，4）例1．某班共有男生28名、女生2021从该班选出学生代表参加校学代会． （1）若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？例2．（1）在图（1）的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？ （2）在图（2）的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？归纳、总结两个计数原理的区别与联系．【目标达成分析】结合前面的活动一，学生小组讨论，师生共同归纳两个计数原理的区别与联系，完成教学目标3．活动三：小组合作，共同探究（深化目标2，3，4）1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理略解：①9234=++=N②24234=⨯⨯=N③26232434=⨯+⨯+⨯=N2 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？【目标达成分析】初步运用分步计数原理解决实际问题，初步体会分步计数原理与分类计数原理不同之处，比较各自的适用范围．为后面的进一步学习作铺垫．【课堂小结】【课后作业】课本第9页的习题第3,4,6题【教学反思】课堂教学设计讨论：分类计数原理、与分步计数原理概念上虽是新东西，但是究其本质，其实就是简单的计数，学生理解起来并不困难，课本的案例虽在原理上很好的说明了两类计数原理的本质，但因为过于简单，不能引起学生的学习兴趣，同时也不足以支撑学生两个计数原理的必要性．所以我们在讨论的时候，加入环节一的两个案例，这两个案例学生虽不能现时解决，却能激发他们的学习兴趣，为两个原理的学习必要性作了很好的铺垫．此外，由于本节课是该章的起始课，所以在介绍两个原理的之后，侧重分步计数原理的运用．我们认为，学生只要能做好分步计数原理，那么对分类计数原理的理解就不困难了．。
高中数学1.1两个基本计数原理课件1苏教版选修2_3
所以，共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.
典型例题
1. 5 位同学各有一套不同的复习资料要投寄, 若有 7 个邮筒 可供他们使用, 则有 75 种不同的投寄方法. 2.将数字1, 2, 3, 4填入编号为1, 2, 3, 4的四个格里, 每格填一 个数字, 则每格的标号与所填数字不同的填法有 9 种. 3.三边长均为整数且最大边长为11的三角形的个数为 36 . 4.有四个好友A、B、C、D经常通电话交流信息, 已知在通 了三次电话后这四人都熟悉某条信息, 那么第一个电话是A打 的情形共有 36 种. 3×2×2×3 5.将一个四棱锥的每一个顶点上染上一种颜色, 并使同一条 棱上的两端点颜色不同, 如果只有 5 种颜色可供选择使用, 则 不同的染色方法总数为 420 种.
某城市在中心广场建造一个花 圃，花圃分为6个部分（如右图）现 要栽种4种不同颜色的花，每部分栽 种一种且相邻部分不能栽种同样颜色 的花，不同的栽种方法有______种. （以数字作答）
例6、
5 1 6 2 3 4
解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图 形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类 求 （1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所 以共有N1=4×3×2×2×1=48种；
一、前置性补偿：
１、五一期间，某家庭自助旅游，欲从常州 去千岛湖，一天中火车有３班，汽车有２班， 那么一天中乘坐这些交通工具从常州到千岛 湖有多少种不同的走法？ 2、某电话局的电话号码为168-×××××, 若后面的五位数字是由6或8组成的,则这样的 电话号码一共有( )个 .
高中数学第一章计数原理1.1两个基本计数原理分类分步计数原理素材苏教版选修(1)
分类加法计数原理、分步乘法计数原理
通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。
⑴分类计数原理：完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和。
⑵分步计数原理：完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积。
1。
高中数学第一章计数原理1_4计数应用题课堂导学苏教版选修23
高中数学 第一章 计数原理 计数应用题课堂导学 苏教版选修2-3三点剖析一、排列数、组合数的运算【例1】 已知2114611+-==m n m n m n C C C ,求mn C 1-. 解析:已知条件可化为)!(!14!)!1()!1(6!m n m n m n m n -•=+--•=)!1()!1(21!---•m n m n .又n !,(m -1)!,(n –m -1)!都是正整数,故有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+-)1(211)(141141)1(61m m n mm n ,即⎩⎨⎧=--=+-035203103m n m n . 解得n=9,m=3.所以381C C m n =-=56.温馨提示要注意依据排列数与组合数公式及其变形,在计算过程中要注意阶乘的运算、组合数性质的使用和提取公因式等方法的运用.【例2】 某天某班的课程表要排语文、数学、外语、物理、化学、体育六门课程,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,一共有多少种不同的排法? 解析:把六门课程看成六个元素,把顺序看成位置:(1)位置分析法:依第一节课的情况进行分类,有以下情况排法: ①第一节课排数学,第六节课排体育,共有44A 种排法. ②第一节课排数学,第六节课不排体育,共有4414A A 种排法. ③第一节课不排数学,第六节课排体育,共有4414A A 种排法. ④第一节课不排数学,第六节课不排体育,共有4424A A 种排法. 由分类计数原理,所求的不同排法共有44244414442A A A A A ++=504种. (2)元素分析法:依数学课的排法进行分类,有以下情况的排法:①数学课排在第一节,体育课排在第六节,共有44A 种排法. ②数学课排在第一节,体育课不排在第六节,共有4414A A 种排法. ③数学课不排在第一节,体育课排在第六节,共有4414A A 种排法. ④数学课不排在第一节,体育课不排在第六节,共有4424A A 种排法. 由分类计数原理,所求的不同排法共有44244414442A A A A A ++=504种. 温馨提示排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题,它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序.不需要考虑顺序的是组合问题,需要考虑顺序的是排列问题,排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队,因此,分析解决排列组合问题的基本思维是“先选之,再排队”.三、排列、组合的综合应用【例3】 从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学、物理、化学和英语竞赛,每名同学只能参加一种竞赛,且任2名同学不能参加同一种竞赛,若甲不参加物理和化学竞赛,则共有72种不同的参赛方法,问一共有多少名同学?思路分析:若设共有n 名同学,则我们可以用n 把参赛方法种数表示出来,从而得到一个关于n 的方程,解方程可求出n 的值.解:设共有n 名同学,首先从这n 名同学中选出4人,然后再分别参加竞赛,按同学甲进行分类:第一类,不选甲,则从剩下的n-1名同学中选出4人分别参加4种竞赛,有41-n A 种参赛方式;第二类,选甲,首先安排甲,有12A 种方法,再从剩下的n-1名同学中选出3人参加剩下的3种竞赛,有31-n A 种方法,共有312n A A •种参赛方式.由分类计数原理共有311241--•+n n A A A 种方法,根据题意,得311241--•+n n A A A 解得n =5 对于这类较为复杂的问题,往往会感到无从下手,如果从竞赛学科角度来思考,则需分很多情况,容易出错,而我们可以采取“先取后排”的原则,即首先取出符合条件的元素,再按要求把它们排起来,这样解答条理性强,有利于问题的解决. 类题演练 1 化简:n n nA nA A A +++++......2332211.解:由于nn n n n n nA A A =-++11 则n n nA A A A ++++ (32332211)=)...()()()(11334422331122n n n n A A A A A A A A -+-+-+-++=11++n n A -1=(n +1)!-1. 变式提升 1求11223111312313...n n n n n n n C C C C ++++-+-++的值.解:由nn C 313+知n 满足3n ≤13+n ,① 由112n C 知n 满足11≤2n .② 联立①②得211≤n ≤213,而n ∈N *, 所以n =6.所以原式=1112161717181819...C C C C ++++ =112117118119...C C C C +++=19+18+17+…+12=124.类题演练 2用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数. (1)可组成多少个不同的四位数? (2)可组成多少个不同的四位偶数?解:(1)直接法:3515A A • =300;间接法:3546A A - =300.(2)由题意知四位数个位数上必须是偶数,同时暗含了首位不能是0,因此该四位数的个位和首位是“特殊位置”,应优先处理;另一方面,0既是偶数,又不能排在首位,属“特殊元素”,应重点对待.方法一:(直接法)0在个位的四位偶数有35A 个;0不在个位时,先从2,4中选一个放在个位,再从余下的四个数(不包括0)中选一个放在首位,应有241412A A A ••个.综上所述,共有24141235A A A A ••+=156个.方法二:(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法,有3513A A •个,其中第一位是0的有2412A A •个,故适合题意的数有24141235A A A A ••+=156个.变式提升 2将4个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中. (1)有多少种放法?(2)每盒至多一球,有多少种放法? (3)恰好有一个空盒,有多少种放法?解:(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个,将小球一个一个地放入盒子,共有4×4×4×4=44=256种放法.(2)为全排列问题,共有44A =24种放法. (3)先将四个小球分为三组,有24C 种,再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子, 有34A 种投放方法, 故共有3424A C =144(种).类题演练 3从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有( )种 种 种 种思路分析:取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各一台,它包括两种可能:2甲1乙或1甲2乙,所以可用分类计数原理和分步计数原理解决,另外也可以采用间接法.解:从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台,有1425C C •种取法;从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有1425C C •种取法,所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各一台的取法共有25141524C C C C •+•=70(种).答案:C 变式提升 34个不同的小球,全部放入3个不同的盒子中,要求不能有空盒,则有多少种不同的放法? 解析:从4个小球中取出2个看成一个“大球”,有24C 种取法,再把这“3个球”全部放入3个盒子中,有33A 种放法,共有3324A C •=36种放法.。